Notas de aula - Ton Marar

(1)

Coordenadas polares no plano, cˆ

onicas e o

estudo da equa¸c˜

ao geral do segundo grau em duas vari´

aveis

As coordenadas dos pontos P = (x, y) de uma circunferˆencia de raio r e centro na origem O do sistema de coordenadas cartesianas S = {O, x, y} verificam x = r cos(θ) e y = r sen(θ), sendo θ o ˆangulo entre o vetor −→OP e o eixo de coordenadas Ox. Variando-se o raio r ∈ R+ podemos preencher todo o plano. Assim, cada ponto do

plano ´e um ponto de alguma circunferˆencia de centro em O e uma nova forma de descrever algebricamente os pontos do plano se apresenta.

x y P O P P O

Sistema de coordenadas polares no plano

Dado um ponto O e uma flecha com origem em O, a cada ponto P de um plano contendo a flecha ficam associados dois números ρ e θ, assim obtidos: ρ = k−→OP k e θ é o ângulo entre a flecha e o vetor−→OP , medido no sentido anti-horário. O ponto O é chamado pólo e a flecha fixada é chamada eixo polar. O conjunto {pólo, eixo polar} é chamado sistema de coordenadas polares no plano. Os números ρ e θ são chamados raio vetor e argumento, respectivamente. O par (ρ, θ) é denominado coordenadas polares do ponto P.

Escrevemos P = (ρ, θ), embora algumas redundˆancias ocorram, pois diversos pares de coordenadas polares ficam associados a um mesmo ponto.

Observa¸c˜oes:

1) Variando o argumento θ no intervalo [0, 2π) e o raio vetor ρ ∈ R+, fica associado

a cada ponto do plano um ´unico par ordenado (ρ, θ), exceto para o p´olo que tem coordenadas polares (0, θ), qualquer que seja θ.

2) Alguns adotam que tanto θ como ρ podem assumir qualquer valor real, porém é necessário interpreta¸cão apropriada.

Qualquer valor pode ser interpretado como argumento de um ponto P do plano desde que se reduza ou aumente o seu valor por m´ultiplos de 2π, de modo a obter 0 ≤ θ < 2π. Exemplos: (ρ,9π 4 ) = (ρ, π 4); (ρ, − π 3) = (ρ, 5π 3 ); (ρ, −π) = (ρ, π).

Qualquer valor pode ser interpretado como raio vetor de um ponto P do plano, por´em se este valor for negativo, troca-se o sinal e acrescenta-se ou reduz-se o argumento de π. Exemplos: (−1,π 4) = (1, 5π 4 ); (−2, − π 3) = (2, 2π 3 ); (−3, π 3) = (3, 4π 3 ).

3) Nas primeiras experiˆencias com os sistemas de coordenadas cartesianas, considera-se o plano reticulado por pares de retas perpendiculares, umas paralelas ao eixo dos x′

s (y = · · · − 2, −1, 0, 1, 2, . . . ) e as outras paralelas ao eixo dos y′

s (x = · · · − 2, −1, 0, 1, 2, . . . ), formando uma malha de modo a facilitar a localiza¸c˜ao dos

(2)

pontos no plano. Analogamente, no sistema de coordenadas polares usa-se a malha constituida de c´ırculos concêntricos (ρ = 1, 2, . . . ), com centro no pólo e segmentos radiais partindo do pólo (θ = π

6, π 4, π 3, π 2, . . . ) 1

Relacionamento entre coordenadas cartesianas e polares no plano

Sobrepondo-se um sistema de coordenadas cartesianas S = {O, x, y} ao sistema de coordenadas polares S′

= {O, eixopolar}, de modo que o semi-eixo positivo dos x′

s coincida com o eixo polar, obt´em-se as seguintes transforma¸c˜oes entre as coordenadas polares e cartesianas de um mesmo ponto P :

O P θ x y ρ x = ρ cos(θ) y = ρ sen(θ) ρ2 = x2 + y2 tg (θ) = y_x, x 6= 0 Esses sistemas fornecem as transforma¸c˜oes das coordenadas do sistema S′

para S e do sistema S para S′ , respectivamente. Os pontos de coordenadas (ρ,π 2) e (ρ, 3π

2 ) tˆem coordenadas cartesianas com abscissa

x = 0.

Fun¸c˜oes em coordenadas polares

O

θ

ρ

=

f( )

Expressões da forma ρ = f (θ) são denominadas fun¸cões em coordenadas polares. O tra¸cado de seu gráfico pode ser feito de maneira ”primitiva”, como no caso de coordenadas cartesianas y = f (x). Em outras palavras, após localizar alguns pontos (ρ, θ) que verificam a igualdade ρ = f (θ) o gráfico é obtido ”interpolando-se”os pontos localizados no sistema de coordenadas.

1π 2, π 3, π 4, . . . π 6; e o π 5?

(3)

Expressões algébricas envolvendo as coordenadas ρ e θ, mesmo que não se possa explicitar uma dessas coordenadas, serão denominadas equa¸cões de curvas em coor-denadas polares.

Algumas vezes, transformando a expressão algébrica de coordenadas polares para cartesianas, ou vice-versa, pode ser útil no tra¸cado das curvas.

Exemplos

Nos exemplos 1 e 2 abaixo, a transforma¸c˜ao para coordenadas cartesianas facilita o tra¸cado.

1) ρ = 3 sen(θ).

Multiplicando-se por ρ ambos os lados da igualdade obtemos ρ2

= 3ρsen(θ). A identifica¸c˜ao da curva em coordenadas cartesianas, x2

+ y2

= 3y ´e mais f´acil. De fato, completando-se quadrados, podemos escrever x2

+ (y −3 2)

2

− 9

4 = 0. Portanto,

a curva ´e uma circunferˆencia de centro no ponto de coordenadas cartesianas (0,3 2)

e raio 3 2.

3/2 3 3/2 3

2) ρ cos(θ) = 3 ´e a reta, em coordenadas cartesianas, x = 3.

Nos três exemplos abaixo, passar para coordenadas cartesianas não facilita o tra¸cado. 3) ρ = θ é a espiral de Arquimedes (fig.1(a)).

4) ρ = 1 − sen(θ) ´e a cardi´oide (fig.1(b)).

5) ρ = sen(2θ) é a rosácea de quatro pétalas (fig.1(c)).

(a) (b) (c)

Figura 1.

Note que ρ = −sen(θ) é a circunferência dada em coordenadas cartesianas pela equa¸cão x2

+ (y + 1 2)

2

= 1

4. Enquanto ρ = 1 − sen(θ) ´e a cardi´oide. Portanto, os

gráficos em coordenadas polares não seguem as regras de transla¸cão de gráficos do caso cartesiano.

Exerc´ıcios Tra¸car ρ = cos(2θ), ρ = sen(3θ), ρ = 1 + cos(2θ), ρ = 1 + cos(4θ). Se k ∈ N é par, ρ = sen(kθ) é a rosácea de 2k pétalas. Se k é impar, ρ = sen(kθ) é a rosácea de k pétalas. O mesmo vale para ρ = cos(kθ). De fato, as rosáceas ρ = sen(kθ) e ρ = cos(kθ) diferem apenas por uma rota¸cão.

(4)

O exemplo a seguir mostra que a transfoma¸c˜ao de coordenadas cartesianas para polares pode facilitar o tra¸cado da curva

A lemniscata.2

´

E o lugar geométrico dos pontos P de um plano π cujo produto das distâncias a dois pontos fixados, F1 ∈ π e F2 ∈ π, é constante e igual a (d(F1, F2)/2)2.

⋆ Equa¸c˜ao cartesiana

Para obtermos uma equa¸c˜ao simples da lemniscata em coordenadas cartesianas, fixamos um sistema de coordenadas cartesianas {O, x, y} adequado. Neste caso, tomando-se o eixo 0x contendo o segmento F1F2 e o eixo 0y passando pelo ponto

m´edio de F1F2, obtemos, F1 = (−a, 0), F2 = (a, 0), e assim d(F1, F2) = 2a.

Seja P = (x, y) um ponto da lemniscata. Exprimindo em coordenadas a express˜ao que define os pontos da lemniscata, d(P, F1)d(P, F2) = (d(F1, F2)/2)2, obtemos a

equa¸c˜ao cartesiana

p((x + a)2_{+ y}2)p((x − a)2_{+ y}2_{) = a}2

.

Por meio de algumas opera¸c˜oes simplificaremos essa equa¸c˜ao.

Inicialmente, para eliminarmos os radicais, elevamos ao quadrado ambos os mem-bros, obtendo ((x + a)2 + y2 )((x − a)2 + y2 ) = a4 . Simplificando, chega-se `a express˜ao

(x2 + y2 )2 − 2a2 (x2 − y2 ) = 0.

O tra¸cado dos pontos (x, y) que verificam essa equa¸cão não é nada fácil de se obter. ⋆ Equa¸cão polar

Fixando o sistema de coordenadas polares com p´olo na origem O e eixo polar coin-cidindo com o semi-eixo positivo dos x′

s, temos x = ρ cos(θ) e y = ρ sen(θ). Substituindo na equa¸c˜ao cartesiana da lemniscata, obtemos:

(ρ2 )2 − 2a2 (ρ2 cos2 (θ) − ρ2 sin2 θ)) = 0.

Simplificando, obtemos a equa¸c˜ao polar da lemniscata ρ2

− 2a2

cos(2θ) = 0.

Agora sim, é mais fácil tra¸car a curva. Localizando alguns dos pontos (ρ, θ) que verificam a equa¸cão polar e ”interpolando”obtém-se o tra¸cado.

1 F2

F

.

F₁

.

F₂

.

ρ

As curvas definidas como o lugar geométrico dos pontos P de um plano π cujo produto das distâncias a dois pontos fixados, F1 ∈ π e F2 ∈ π, é constante são

chamadas ovais de Cassini. A lemniscata ´e um caso particular dessas ovais.

2

Do dicion´ario Aur´elio

lemniscata [Do lat. lemniscata, ornada de fitas; a sua forma, um 8, lembra um la¸co de fitas.] Substantivo feminino. 1.Geom. Lugar geométrico dos pontos de um plano cujas distâncias a dois pontos fixos desse plano são constantes.

O dicionário está errado. Quem poderia imaginar - um dicionário errado. O erro já foi comuni-cado aos editores que insistem em não corrigir nas novas edi¸cões.

(5)

Ovais de Cassini têm a aparência de certas fatias da superf´ıcie de um tóro (donut).

Curvas obtidas como fatias de um cone são definidas de modo análogo à lemniscata.

Cˆonicas 1) Elipse3

´

E o lugar geométrico dos pontos P de um plano π cuja soma das distâncias a dois pontos fixados, F1 ∈ π e F2 ∈ π, é uma constante. Essa constante, que indicaremos

por 2a, tem que ser maior que a distˆancia d(F1, F2) entre os pontos F1 e F2. Em

outras palavras, d(P, F1) + d(P, F2) = 2a.

⋆ Equa¸c˜ao cartesiana da elipse

Para obtermos uma equa¸c˜ao simples em coordenadas cartesianas para os pontos da elipse, fixamos um sistema de coordenadas cartesianas em π, S = {O, x, y} no qual F1 = (−c, 0), F2 = (c, 0) e P = (x, y). Em outras palavras, o eixo Ox cont´em os

3

Do dicionário Aurélio (neste caso o dicionário está certo!)

elipse [Do gr. élleipsis, omissão, pelo lat. ellipse.] Substantivo feminino. 1.E. Ling. Omissão deliberada de palavra(s) que se subentende(m), com o intuito de assegurar a economia da expressão. 3.Geom. Lugar geométrico dos pontos de um plano cujas distâncias a dois pontos fixos desse plano têm soma constante; interse¸cão de um cone circular reto com um plano que faz com o eixo do cone um ângulo maior que o do vértice.

(6)

pontos F1e F2e o eixo Oy passa pelo ponto m´edio do segmento F1F2de comprimento

2c. Seja 2a, com a > c uma constante positiva.

Assim, uma equa¸c˜ao cartesiana da elipse ´e obtida exprimindo d(P, F1) + d(P, F2) =

2a em coordenadas:

p(x + c)2_{+ y}2₊p(x − c)2_{+ y}2 _{= 2a.}

Isto ´e,

p(x + c)2_{+ y}2 = −p(x − c)2_{+ y}2_{+ 2a.}

Elevando-se ao quadrado ambos os lados, obtemos: (x + c)2 + y2 = 4a2_{− 4ap(x − c)}2_{+ y}2_{+ (x − c)}2 + y2 . Ou seja, (x + c)2 + y2 − 4a2 − (x − c)2 − y2 _{= −4ap(x − c)}2_{+ y}2_.

Elevando-se ao quadrado ambos os lados, obtemos: ((x + c)2 + y2 − 4a2 − (x − c)2 − y2 )2 = 16a2 ((x − c)2 + y2 ). Simplificando, (4cx − 4a2 )2 = 16a2 ((x − c)2 + y2 ). Isto ´e, (a2 − c2 )x2 + a2 y2 = a2 (a2 − c2 ). Como a > c, o n´umero a2 − c2

´e positivo e portanto pode ser considerado como o quadrado de algum n´umero, digamos b. Assim, pondo b2

= a2 − c2 , obtemos x2 a2 + y2 b2 = 1.

O sistema de coordenadas foi escolhido de modo a fornecer uma equa¸cão bem sim-plificada da curva. Esta equa¸cão é denominada equa¸cão reduzida da elipse.

.

-a a b -b F₁ F2 c -c eixo maior eixo menor centro

• Os pontos F1 e F2 s˜ao denominados focos da elipse.

• A origem O, ponto m´edio do segmento focal F1F2 ´e chamado centro.

• Os pontos V1 = (a, 0), V2 = (−a, 0), V3 = (0, b) e V4 = (0, −b) s˜ao chamados

v´ertices.

• O segmento V1V2, que cont´em os focos, ´e chamado eixo maior.

• O segmento V3V4 ´e chamado eixo menor.

• Os segmentos OV1 e OV3 s˜ao chamados semi-eixo maior e semi-eixo menor,

respectivamente.

Exemplo 1: A elipse com focos F1 e F2 cujas coordenadas no sistema S = {O, x, y}

s˜ao F1 = (−2, 0) e F2 = (2, 0) e medida do semi-eixo maior igual a 3 tem equa¸c˜ao

5x2

+ 9y2

(7)

De fato, temos c = 2, a = 3 e portanto b2

= a2

− c2

= 5. Assim, a equa¸c˜ao da elipse ´e: x2 9 + y2 5 = 1. Ou seja, 5x2 + 9y2 − 45 = 0.

s˜ao F1 = (1, 1)S e F2 = (3, 1)S e medida do semi-eixo maior igual a 2 tem equa¸c˜ao

3x2 + 4y2 − 12x − 8y + 4 = 0.

.

F1 F2 x x‘ y‘ y O‘

.

x x‘ y‘ y O‘ P h k O Figura 2.

De fato, neste exemplo a = 2, c = 1 e portanto b2

= a2 − c2 = 3. Assim, no sistema de coordenadas S′ = {O′ , x′ , y′ }, sendo O′

= (2, 1)S o ponto m´edio do segmento

focal e os eixos O′

x′

e O′

y′

paralelos aos eixos Ox e Oy respectivamente, a elipse tem equa¸c˜ao reduzida

x′2

4 + y′2

3 = 1.

Sobrepondo os dois sistemas de coordenadas, como na figura 2, nota-se que as coor-denadas (x, y) de um ponto P no sistema {0, x, y} se relacionam com as coorcoor-denadas (x′

, y′

) do mesmo ponto P no sistema {0′

, x′ , y′ } da seguinte forma: x′ = x − 2 e y′ = y − 1.

Substituindo na equa¸c˜ao reduzida, obtemos: (x − 2)2 4 + (y − 1)2 3 = 1. Ou seja, 3(x − 2)2 + 4(y − 1)2

= 12, que ´e o mesmo que 3x2

+ 4y2

− 12x − 8y + 4 = 0. Observa¸c˜ao: No exemplo acima, a equa¸c˜ao da elipse no sistema de coordenadas S′

´e 3x′2

+ 4y′2

− 12 = 0 enquanto, a mesma elipse, no sistema S, tem equa¸c˜ao 3x2

+ 4y2

− 12x − 8y + 4 = 0. Note que os coeficientes dos termos do segundo grau das duas equa¸cões são idênticos enquanto os coeficientes dos termos do primeiro grau e termos constantes são diferentes.

A transforma¸c˜ao do sistema de coordenadas S para o sistema S′

, e vice-versa, ´e chamada transla¸c˜ao do sistema de coordenadas. Se O′

= (h, k)S, vide figura 2,

ent˜ao as transla¸c˜oes do sistema S = {O, x, y} para o sistema S′

= {O′

, x′

, y′

} e vice-versa, s˜ao dadas pelas transforma¸c˜oes:

x′ = x − h y′ = y − k x = x′ + h y = y′ + k

(8)

Quase sempre, por meio de transla¸cão adequada os coeficientes dos termos lineares de equa¸cões do segundo grau em duas variáveis podem ser eliminados, reduzindo a forma da equa¸cão. Isso será estudado no próximo cap´ıtulo.

s˜ao F1 = (−4, −3)S e F2 = (4, 3)S e medida do semi-eixo maior igual a 6 tem equa¸c˜ao

20x2 − 24xy + 27y2 − 396 = 0.

.

F1 F2 x x‘ y‘ y O 4 -4 -3 3

.

x x‘ y‘ y O P Figura 3.

De fato, consideremos o sistema de coordenadas cartesianas S′

= {O, x′

, y′

} de tal modo que o eixo de coordenadas Ox′

contenha os focos F1e F2. Assim, F1 = (−5, 0)S′

e F2 = (5, 0)S′. Neste sistema a equa¸c˜ao da elipse possui a forma reduzida (note que

c = 5, a = 6 e portanto b2 = a2 − c2 = 11): x′2 36 + y′2 11 = 1.

Sobrepondo os dois sistemas de coordenadas, como na figura 3, nota-se que as coor-denadas (x, y) de um ponto P no sistema {0, x, y} se relacionam com as coorcoor-denadas (x′

, y′

) do mesmo ponto P no sistema {0, x′

, y′ } da seguinte forma: x = 4 5x ′ − 3 5y ′ e y = 3 5x ′ + 4 5y ′ . Ou de outra forma: x′ = 4 5x + 3 5y e y ′ = −3 5x + 4 5y.

Substituindo na equa¸c˜ao reduzida, vem que: 11(4 5x + 3 5y) 2 + 36(−3 5x + 4 5y) 2 = 396. Simplificando obtemos a equa¸c˜ao da elipe: 20x2

− 24xy + 27y2

− 396 = 0.

Observa¸c˜ao: No exemplo acima, a equa¸c˜ao da elipse no sistema de coordenadas S′

´e 11x′2

+ 36y′2

− 396 = 0 enquanto, a mesma elipse, no sistema S, tem equa¸c˜ao 20x2

− 24xy + 27y2

− 396 = 0. Note que os coeficientes dos termos do segundo grau das duas equa¸cões são diferentes enquanto os coeficientes dos termos do primeiro grau e termos constantes são idênticos.

A transforma¸c˜ao do sistema de coordenadas S para o sistema S′

, e vice-versa, é chamada rota¸cão do sistema de coordenadas. Se θ é o ângulo de rota¸cão então as transforma cões do sistema S = {O, x, y} para o sistema S′

= {O, x′

, y′

} e vice-versa, s˜ao dadas pelas rela¸c˜oes:

x′ = x cos(θ) + y sen(θ) y′ = −x sen(θ) + y cos(θ) x = x′ cos(θ) − y′ sen(θ) y = x′ sen(θ) + y′ cos(θ)

(9)

Por meio de rota¸cão adequada o coeficiente do termo misto xy da equa¸cão do segundo grau em duas variáveis pode ser eliminado, reduzindo a forma da equa¸cão. Isso será estudado no próximo cap´ıtulo.

⋆ Equa¸c˜ao polar da elipse

Para obtermos uma equa¸c˜ao polar simplificada da elipse, fixamos o sistema de coor-denadas polares S′

= {F2, −Ox}, ou seja, p´olo em F2 e eixo polar coincidindo como

eixo dos x′ s no sentido oposto4 .

.

F₂ θ _θ

.

c cos(θ) =

{

d+c d

Com essa escolha, a rela¸cão entre as coordenadas cartesianas e polares é dada por: x = c − ρ cos(θ) e y = −ρ sen(θ), 0 ≤ θ < 2π. Substituindo na equa¸cão (a2 − c2 )x2 + a2 y2 = a2 (a2 − c2 ), obtemos: (a2 − c2 )(c2 − 2cρ cos(θ) + ρ2 cos2 (θ)) + a2 ρ2 sen2 (θ) = a4 − a2 c2 . Expandindo, a2 c2 − 2a2 cρ cos(θ) + a2 ρ2 cos2 (θ) − c4 + 2c3 ρ cos(θ) − c2 ρ2 cos2 (θ) + a2 ρ2 sen2 (θ) = a4 − a2 c2 . Simplificando, −2a2 cρ cos(θ) + a2 ρ2 (cos2 (θ) + sen2 (θ)) + 2c3 ρ cos(θ) − c2 ρ2 cos2 (θ) = (a2 − c2 )2 . Ou seja, cρ cos(θ)(−2a2 + 2c2 − cρ cos(θ)) + a2 ρ2 = (a2 − c2 )2 . Portanto, a2 ρ2 = (a2 − c2 )2 + 2(a2 − c2 )cρ cos(θ) + (cρ cos(θ))2 . Isto é, a2 ρ2 = ((a2 − c2 ) + cρ cos(θ))2 .

Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros 5

, devemos ter, aρ = ((a2 − c2 ) + cρ cos(θ)). Assim, ρ = a 2 − c2 a − c cos(θ) = b2 a − c cos(θ), 0 ≤ θ < 2π. Pondo e = c/a, a equa¸c˜ao polar da elipse torna-se:

ρ = a − ec

1 − e cos(θ), 0 ≤ θ < 2π.

4

esta escolha, pouco natural, ´e importante para uma certa unifica¸c˜ao deste exemplo com os dois exemplos seguintes

5_{Para qualquer valor to argumento, (a}2_−c2_{)+cρ cos(θ) > 0. De fato, a > c e quando cos(θ) < 0,}

isto ´e, π/2 < θ ≤ 3π/2, ρ cos(θ) varia entre 0 e ρcos(π) = (a − c)(−1). Portanto, o valor m´ınimo de (a2_{− c}2_{) + cρ cos(θ) ´e a}2_{− c}2_{+ c((a − c)(−1)) = a}2_{− ac > 0.}

(10)

Note que quando θ = 0, ρ = a + c e quando θ = π, ρ = a − c

O n´umero e = c/a ´e chamado excentricidade da elipse. Note que 0 < e < 1.

Fixado o número a, quanto menor for a excentricidade (desvio ou afastamento do centro), menor será o valor de c e portanto os focos da elipse estarão mais próximos do centro da elipse. excentricidade pequena grande

. .

.

2) Hip´erbole6 ´

E o lugar geométrico dos pontos P de um plano π cuja diferen¸ca das distâncias a dois pontos fixados, F1 ∈ π e F2 ∈ π, é uma constante. Essa constante, indicamos

por 2a, ´e menor que a distˆancia d(F1, F2) entre os pontos F1e F2. Em outras palavras,

|d(P, F1) − d(P, F2)| = 2a.

Para obtermos uma equa¸c˜ao simples em coordenadas cartesianas para os pontos da elipse, fixamos um sistema de coordenadas cartesianas em π, S = {O, x, y} no qual F1 = (−c, 0), F2 = (c, 0) e P = (x, y). Em outras palavras, o eixo Ox cont´em

os pontos F1 e F2 e o eixo Oy passa pelo ponto m´edio do segmento F1F2.

Para obtermos uma equa¸c˜ao em coordenadas cartesianas dos pontos da hip´erbole, fixamos um sistema de coordenadas cartesianas em π, S = {O, x, y} no qual F1 =

(−c, 0), F2 = (c, 0) e P = (x, y). Seja 2a uma constante positiva, com a < c. Assim,

a equa¸cão cartesiana da hipérbole é obtida da expressão |d(P, F1) − d(P, F2)| = 2a.

Vamos assumir quep(x + c)2_{+ y}2−p(x − c)2_{+ y}2 _{> 0. A an´alise do caso contr´ario}

´e an´aloga.

6

hipérbole [Do gr. hyperbolé, pelo lat. hyperbole.] Substantivo feminino. 1.E. Ling. Figura que engrandece ou diminui exageradamente a verdade das coisas; exagera¸cão, auxese. 2.Geom. Lugar geométrico dos pontos de um plano cujas distâncias a dois pontos fixos desse plano têm diferen¸ca constante; interse¸cão de um cone circular reto com um plano que faz com o eixo do cone um ângulo menor que o do vértice. Com uma escolha adequada das coordenadas cartesianas x e y, sua equa¸cão pode ser simplificada a (x2_/a2_{) − (y}2_/b2_{) = 1, onde a e b s˜}_{ao constantes.}

(11)

Assim, P = (x, y) ´e um ponto da hip´erbole se, somente se, p(x + c)2_{+ y}2₋_{p(x − c)}2_{+ y}2 _{= 2a.}

Ou seja,

p(x + c)2_{+ y}2 ₌p(x − c)2_{+ y}2_{+ 2a.}

Elevando-se ambos os membros ao quadrado, (x + c)2 + y2 = 4a2_{+ 4ap(x − c)}2_{+ y}2_{+ (x − c)}2 + y2 . Isto ´e, (x + c)2 + y2 − 4a2 − (x − c)2 − y2 _{= 4ap(x − c)}2_{+ y}2_.

Novamente elevando-se ao quadrado, ((x + c)2 + y2 − 4a2 − (x − c)2 − y2 )2 = 16a2 ((x − c)2 + y2 ). Simplificando, (4cx − 4a2 )2 = 16a2 ((x − c)2 + y2 ). Ou seja, (c2 − a2 )x2 − a2 y2 = a2 (c2 − a2 ). Como a < c, o n´umero c2 − a2

´e positivo e portanto pode ser considerado como o quadrado de algum n´umero, digamos b. Assim, pondo b2

= c2 − a2 , obtemos x2 a2 − y2 b2 = 1.

Note que o sistema de coordenadas foi escolhido de modo a fornecer uma equa¸cão bem simplificada da curva. Esta equa¸cão é denominada equa¸cão reduzida da hipérbole.

a -a

.

F₁ F2 c -c assíntotas x y • As retas y = b ax e y = − b

ax s˜ao chamadas ass´ıntotas da hip´erbole.

• Os pontos V1= (−a, 0) e V2 = (a, 0) são chamados vértices da hipérbole.

• Os pontos F1 e F2 s˜ao denominados focos da hip´erbole.

• A origem O, ponto m´edio do segmento focal F1F2 ´e chamado centro.

• O segmento V1V2 ´e chamado eixo transverso.

• O segmento V3V4, onde V3 = (0, −b) e V4 = (0, b) ´e chamado eixo conjugado.

Exemplo: Vamos obter a equa¸cão da hipérbole cujas retas ass´ıntotas são y = x − 1 e y = −x + 5 e eixo transverso igual a 2.

Temos que a = 1. As retas ass´ıntotas cruzam no ponto O′

de coordenadas (3, 2). No sistema de coordenadas S′

= {O′

, x′

, y′

} as equa¸c˜oes das ass´ıntotas s˜ao y′

= ±x′

. Assim, b/a = 1 e portanto b = 1. Logo, no sistema S′

a hip´erbole tem equa¸c˜ao x′

2 − y′2_{= 1. Note que o sistema S}′

(12)

.

assíntotas x y 3

.

2 x‘ y‘ o ponto O′ = (h, k) = (3, 2). Assim, x′ = x − 3 e y′ = y − 2. Portanto, a equa¸cão da hipérbole é x2 − y2 − 6x − 4y + 12 = 0. ⋆ Equa¸cão polar

Para obtermos uma equa¸c˜ao polar simplificada da hip´erbole, consideramos o sistema de coordenadas polares S′

= {F2, −Ox}, ou seja, polo em F2 e eixo polar coincidindo

como eixo dos x′

s no sentido oposto, exatamente como fizemos no exemplo anterior. De fato vamos obter a equa¸c˜ao polar de apenas um dos ramos da hip´erbole. Neste caso, o argumento θ deve variar no setor definido pelas ass´ıntotas. Em outras palavras, φ − π < θ < π − φ, sendo φ tal que tg(φ) = b

a; ou seja, φ ´e a inclina¸c˜ao da

reta ass´ıntota 7 . F₂ ramos da hipérbole θ θ x c assíntotas

Aqui tamb´em a escolha do sistema polar S′

fornece as seguintes rela¸c˜oes: x = c − ρ cos(θ) e y = −ρ sen(θ). Substituindo na equa¸c˜ao (c2 − a2 )x2 − a2 y2 = a2 (c2 − a2 ), obtemos: (c2 − a2 )(c2 − 2cρ cos(θ) + ρ2 cos2 (θ)) − a2 ρ2 sen2 (θ) = a2 c2 − a4 . Expandindo, c4 −2c3 ρ cos(θ)+c2 ρ2 cos2 (θ)−a2 c2 +2a2 cρ cos(θ)−a2 ρ2 cos2 (θ))−a2 ρ2 sen2 (θ) = a2 c2 − a4 . Ou seja, (c2 − a2 )2 − 2(c2 − a2 )cρ cos(θ) + c2 ρ2 cos2 (θ) − a2 ρ2 = 0. Portanto, a2 ρ2 = ((c2 − a2 ) − cρ cos(θ))2 .

7_{admitindo valores negativos para ρ e variando θ no intervalo (π − φ, π + φ) obtemos o tra¸cado} do outro ramo da hip´erbole

(13)

Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados, e sabendo que (c2 −a2 )−cρ cos(θ) > 0, obtemos: aρ = (c2 − a2 ) − cρ cos(θ)). Ou seja, ρ = c 2 − a2 a + c cos(θ) = b2 a + c cos(θ), φ − π < θ < π − φ. 8

Pondo e = c/a, obtemos:

ρ = ec − a

1 + e cos(θ), φ − π < θ < π − φ.

O número e = c/a é chamado excentricidade da hipérbole. Note que e > 1. Fixado 0 número a, quanto maior for a excentricidade (desvio ou afastamento do centro), maior será o valor de c e portanto os focos da hipérbole estarão mais afastados do centro da hipérbole. excentricidade pequena grande 3) Parábola9 ´

E o lugar geom´etrico dos pontos P de um plano π equidistantes a um ponto fixado F ∈ π e uma reta fixada r ⊂ π, F /∈ r. Em outras palavras, d(P, F ) = d(P, r).

r

8

No exemplo anterior obtivemos para a elipse a equa¸c˜ao polar : ρ = b2

a₋c cos_(θ), 0 ≤ θ < 2π.

Mudando a varia¸c˜ao do argumento de 0 ≤ θ < 2π para −π ≤ θ < π, a equa¸c˜ao polar da elipse torna-se: ρ = b2

a_{+c cos(θ)}, −π ≤ θ < π.

9

parábola[Do lat. parabola ¡ gr. parabolé.] Substantivo feminino. 1.Narra¸cão alegórica na qual o conjunto de elementos evoca, por compara¸cão, outras realidades de ordem superior. 2.Geom. Lugar geomtrico plano dos pontos equidistantes de um ponto fixo e de uma reta fixa de um plano.

(14)

Para obtermos uma equa¸c˜ao em coordenadas cartesianas, bem simples, dos pontos da par´abola, fixamos um sistema de coordenadas cartesianas em π, S = {O, x, y} no qual F = (c, 0), r : x = −c e P = (x, y).

Assim, a equa¸cão cartesiana da parábola é obtida da expressão d(P, F ) = d(P, r): p(x − c)2_{+ y}2_{= x + c. Isto é, (x − c)}2

+ y2

= (x + c)2

. Simplificando, obtemos y2

− 4cx = 0 que é uma equa¸cão reduzida, em coordenadas cartesianas, da parábola.

.

F r

-c c

.

F

• A reta r é chamada diretriz da parábola. • O ponto F é chamado foco.

• O ponto V = (0, 0) ´e chamado v´ertice.

• A distância do foco ao vértice é chamada parâmetro da parábola. • O eixo (dos x′

s) que contém o foco e é perpendicular à reta diretriz é chamado eixo da parábola ou eixo de simetria.

Exemplo: Considere a parábola gráfico da fun¸cão y = ax2

+ bx + c. Vamos obter as coordenadas do v´ertice V e foco F. Como a 6= 0, podemos escrever y = a(x2

+b ax+

c a).

Completando o quadrado, obtemos y = a((x + b 2a) 2 − b2 4a2+ c a). Ou seja, y + ( b2 4a− c) = a(x + b 2a) 2 . Pondo y′ = y + (b2 4a− c) e x ′ = x + b 2a a equa¸c˜ao fica y ′ = ax′2_{, portanto}

na forma reduzida. Assim, V = (− b 2a, −

b2_−4ac

4a ) é o vértice da parábola. Logo, no

sistema de coordenadas S′

= {V, x′

, y′

}, onde os eixos V x′

e V y′

s˜ao paralelos aos eixos Ox e Oy respectivamente, o foco F tem coordenadas F = (0, 1

4a)S′ e portanto,

no sistema {O, x, y}, F = (− b 2a, 1−b2+4ac 4a ).

.

F V x‘ y‘ x y ⋆ Equa¸c˜ao polar

Para obtermos uma equa¸c˜ao polar simplificada da par´abola, fixamos o sistema de coordenadas polares S′

= {F, −Ox}, ou seja, polo em F e eixo polar coincidindo como eixo dos x′

s no sentido oposto.

Escolhido este sistema polar temos, x = c − ρ cos(θ) e y = −ρ sen(θ), −π < θ < π. Substituindo na equa¸c˜ao cartesiana y2

(15)

ρ2 sen2 (θ) − 4c(c − ρ cos(θ)) = 0. Isto ´e, ρ2 − ρ2 cos2 (θ) − 4c2 + 4cρ cos(θ)) = 0. Ou seja, ρ2 = (ρ cos(θ) − 2c)2 .

Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados, e notando que ρ cos(θ) − 2c < 0, obtemos:

ρ = −ρ cos(θ) + 2c, com −π < θ < π. Portanto,

ρ = 2c

1 + cos(θ), −π < θ < π, é uma equa¸cão polar da parábola.

Propriedades unificadoras das cˆonicas

Sob certos pontos de vista, apresentamos três deles abaixo, as cônicas elipse, parábola e hipérbole podem ser entendidas como casos particulares de um mesmo exemplo. 1) Pontos no infinito

As curvas elipse, hipérbole e parábola, têm equa¸cões polares tão semelhantes que sugere uma certa unifica¸cão. Para ver isso é necessário adicionarmos aos pontos do plano euclidiano π os chamados pontos no infinito.

a a b b c c 1 1 1 reta projetiva plano projetivo

Um ponto no infinito é a dire¸cão de uma reta. Uma reta juntamente com o seu ponto no infinito é chamada reta projetiva. Retas paralelas têm o mesmo ponto no infinito. O plano euclidiano R2

juntamente com todos os seus pontos no infinito constitui o chamado plano projetivo P2

.

No plano projetivo as três curvas, elipse, parábola e hipérbole, são curvas fechadas. A hipérbole tem dois pontos no infinito, a parábola um e a elipse nenhum ponto no infinito 10

.

2) Propriedades ´opticas

Supondo que as curvas elipse, parábola e hipérbole são refletoras, então um raio de luz que emana de um dos focos reflete por um caminho bem definido (Figura 5). No caso da elipse ele reflete e se dirigi ao outro foco. No caso da parábola ele reflete paralelamente ao eixo de simetria da parábola. Finalmente, no caso da hipérbole a

10

No estudo da equa¸c˜ao geral do segundo grau em duas vari´aveis Ax2_{+ Bxy + Cy}2_{+ Dx + Ey +}

F = 0 verifica-se uma analogia interessante entre esta equa¸cão e a equa¸cão geral do segundo grau em uma variável ax2_{+ bx + c = 0. De fato, o sinal do n´}_{umero ∆ = B}2_{− 4AC discrimina as três}

cˆonicas; isto ´e, o fato do conjunto dos pontos (x, y) tais que Ax2_{+ Bxy + Cy}2_{+ Dx + Ey + F = 0}

ter dois pontos no infinito, um ponto no infinito ou nenhum ponto no infinito corresponde aos valores de ∆ positivo, nulo ou negativo, respectivamente

(16)

a

b b

Figura 4. _{Elipse, hip´erbole e par´abola: curvas fechadas em P}2_.

reflexão se dá na dire¸cão da reta determinada pelo ponto onde o raio de luz toca um ramo da hipérbole e pelo foco do outro ramo.

.

F₁ F2 F

.

₁

.

F2

.

F

Figura 5.

Vamos demonstrar essa propriedade no caso da par´abola x2

− 4cy = 0. A reta tangente `a par´abola y = 1

4cx 2

no ponto P = (x0, y0) tem inclina¸c˜ao 1 2cx0 e

portanto equa¸c˜ao y − y0 = 1

2cx0(x − x0); isto ´e, x0x − 2cy − 1 2x

2

0 = 0. Portanto,

essa reta tangente cruza o eixo dos y′

s no ponto A = (0, −1 4cx

2

0). Sendo F = (0, c)

e sabendo-se que os pontos P da parábola são equidistantes à diretiz (neste caso, y = −c) e ao foco, temos d(P, F ) = y0+ c =

1 4cx

2

0+ c. Logo, d(P, F ) = d(A, F ). Em

outras palavras, o triângulo AP F é isósceles. Logo, os ângulos da base, nos vértices A e P são iguais.

.

F

P A

Portanto são iguais os ângulos de incidência e reflexão do raio F P que reflete, em rela¸cão à reta tangente, paralelamente ao eixo de simetria da parábola (neste caso, eixo dos y′

s.) 3) Se¸c˜oes cˆonicas

As curvas elipse, parábola e hipérbole são obtidas como interse¸cão de um cone circular reto com um plano. De fato, na figura 6 nota-se que as curvas têm muita semelhan¸ca com a parábola, elipse e hipérbole. Cada caso depende do ângulo que

(17)

parábola

elipses hipérboles

Figura 6.

o plano faz com o eixo do cone e também da posi¸cão do plano. Por exemplo, se o plano for paralelo a (e não contém) uma das retas geratrizes do cone obtém-se uma curva semelhante à parábola. De fato a curva é uma parábola. Uma pequena mudan¸ca neste plano, de modo que ele deixa de ser paralelo à qualquer uma das geratrizes, e a curva interse¸cão se torna uma hipérbole (se o plano cortar as duas folhas do cone) ou uma elipse (se o plano só corta uma folha do cone).

Demonstraremos essa afirma¸cão para o caso da elipse. Esferas de Dandelin é o nome da constru¸cão em homenagem a Germinal Dandelin (1794-1847).

Antes porém, vamos mostrar que a interse¸cão de um cilindro circular reto por um plano π obl´ıquo ao eixo do cilindro é uma elipse (figura 7(a)).

F F₁ 2 P A B (a)

(b)

Figura 7.

Introduzimos na parte superior do cilindro uma esfera de raio igual ao raio do cilindro at´e tocar o plano π no ponto F1. Fazemos o mesmo na parte inferior e obtemos

o ponto F2 onde a esfera introduzida tangencia o plano. Essas duas esferas tˆem

em comum com o cilindro duas circunferências contidas em planos paralelos. Seja P um ponto qualquer da curva interse¸cão do cilindro com o plano π. Considere o segmento AB da geratriz do cilindro passando por P. Como os segmentos P A e P F1 são tangentes à esfera superior então eles têm o mesmo comprimento, em

outas palavras, d(P, F1) = d(P, A). Analogamente, os segmentos P B e P F2 tˆem o

(18)

´e constante, segue-se que d(P, F1) + d(P, F2) ´e constante. Portanto os pontos P da

interse¸c˜ao do cilindro com o plano π constituem de fato uma elipse de focos F1 e F2.

Passemos agora à constru¸cão de Dandelin no caso da elipse como se¸cão de um cone circular reto.

Considere a interse¸cão do cone por um plano π de modo a obter uma curva que se assemelha à elipse (figura 7(b)). O plano corta apenas uma das folhas do cone. Vamos demonstrar que existem dois pontos D ∈ π e E ∈ π tais que qualquer ponto B da curva interse¸cão verifica d(B, D) + d(B, E) é uma constante, isto é, a soma das distâncias de B aos pontos D ∈ π e E ∈ π é uma constante. Teremos portanto que os pontos B constituem uma elipse cujos focos são os pontos D e E.

De fato, o plano divide a folha do cone em duas partes, uma limitada e a outra não. Em cada uma dessas partes introduzimos uma esfera que tangencia o plano e toca o cone ao longo de uma circunferência. Essas duas circunferências estão contidas em planos paralelos. A esfera de raio menor tangencia o plano num ponto digamos E e a de raio maior no ponto D. A geratriz do cone que parte do vértice V e passa pelo ponto B cruza a circunferência da esfera menor no ponto A e a maior no ponto C. Como os segmentos BA e BE são ambos tangentes à esfera menor então eles têm o mesmo comprimento. O mesmo acontece com os segmentos BC e BD.

Portanto, qualquer que seja o ponto B na curva obtida da interse¸cão do cone com o plano π, a soma das distâncias de B aos pontos de tangência das esferas com o plano, D e E, é constante e igual ao comprimento do segmento AC, que é constante, qualquer que seja o ponto B, pois as circunferências estão em planos paralelos. Logo, o lugar gemétrico dos pontos da curva interse¸cão é de fato uma elipse, com focos D e E.