Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Desigualdades 02/14 1 / 31

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Departamento de Estatística

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Um teorema de grande importância e bastante utilidade em probabilidade e estatística é a desigualdade de Chebyshev.

Esta desigualdade é fundamental para o entendimento de como a variância mede a variabilidade em relação ao valor esperado de uma variável aleatória.

Dada uma variável aleatória X e conhecida a sua distribuição de probabilidade

(fdp no caso contínuo e fp no caso discreto), Podemos determinar E

(

X

)

e

Var

(

X

)

, se existirem.

Contudo, a recíproca não é válida.

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Isto é, do conhecimento de E

(

X

)

e Var

(

X

)

não podemos reconstruir a

distribuição de probabilidade de X e, consequentemente, calcular probabilidades, tais como:

P

[

|X−E

(

X

)

| ≤C

]

Embora isto não seja possível, podemos, no entanto, estabelecer um limite superior (ou inferior) muito útil para estas probabilidades.

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Desigualdade Básica de Chebyshev

Seja X uma variável aleatória não negativa

(

X_≥0

)

. Para todoλ ≥0,

DEMONSTRAÇÃO:

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Exemplo 1: Em uma empresa com 100 funcionários, o número médio de usuários simultâneos de internet, em um certo período, é de aproximadamente 30.

Atualmente, existem 30 linhas telefônicas disponíveis para conexão. Deseja-se avaliar a necessidade de aumentar esse número.

Vamos admitir que 30 é o valor esperado do número de conexões simultâneas, mas nada sabemos da distribuição de probabilidade dessa variável.

Uma alternativa é usar a desigualdade de Chebyshev para construir uma tabela com o valor máximo da probabilidade, em função do número mínimo de usuários conectados simultaneamente.

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Apesar de podermos obter estimativas mais precisas por outros métodos, a desigualdade de Chebyshev fornece uma avaliação probabilística que combinada com outros fatores, dá subsídios à tomada de decisões.

Por exemplo, é possível verificar que a probabilidade de até 70 usuários

simultâneos é superior a 0.57.

Assim, se for aceitável um índice mínimo de 57

%

para a probabilidade de

conexão, a empresa deveria ampliar suas linhas telefônicas para 70.

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Desigualdade Clássica de Chebyshev

Se X é integrável, então para qualquerλ >0

As seguintes formas equivalentes são imediatas:

i) Generalizando para E

(

X

) =

c,

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iii) Escolhendoλ

=

kσ, ondeµ

=

E

(

X

)

eσ2

=

Var

(

X

)

>0,

DEMONSTRAÇÃO:

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Exemplo 2: Suponha que k

=

2 em iii

)

, assim

P

(

|X_{− µ| ≥}2σ

)

≤

ou

P

(

|X_{− µ| <}2σ

)

≥

Ou seja, a probabilidade de X diferir de sua média em mais de dois desvios

padrões é inferior ou, no máximo, igual a 0.25.

Equivalentemente, a probabilidade de X estar compreendido no intervalo de dois

desvios padrões de sua média, é superior ou, no mínimo, igual a 0.75.

É importante verificar que não precisamos para isso especificar a distribuição de probabilidade de X .

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Exemplo 3: Obtenha o limite da desigualdade

P

(

|X− µ| ≥3

2σ

) =?

Admita que X é uniformemente distribuída sobre

(

1₋1/p3,1

+

1/p3

)

e calcule

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O resultado obtido da desigualdade de Chebyshev está coerente com esse resultado. Contudo este último é mais preciso.

Na prática, a desigualdade de Chebyshev é usada na obtenção de estimativas, quando não é conveniente, ou quando é impossível obter valores exatos.

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A desigualdade de Chebyshev estabelece um limite superior em termos de

Var

(

X

)

eλpara a probabilidade de que X se desvie de sua média por maisλ

unidades.

Suas principais vantagens são:

Vantagens

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Exemplo 4: Em uma certa empresa, constatou-se que o número médio, por

semana, de faltas ao serviço é de 52.4 e um desvio padrão de 4.7. Qual a

probabilidade de se constatar uma variação de até 12 faltas em torno do valor médio registrado?

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Exemplo 5: Seja Z_∼N

(

0,1

)

, obtenha um limite para P

(

_|Z_{| ≥}2

)

através da desigualdade de Chebyshev.

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Um resultado semelhante à desigualdade de Chebyshev, mas que relaciona a probabilidade de um evento com seu momento de orfdem k é a desigualdade de Markov.

Seja X uma variável aleatória qualquer. Então, para quaisquerλe k>0, temos

DEMONSTRAÇÃO:

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Exemplo 1: Seja Y uma V.A. tal que E

(

Y4

₎

_≤_{100. Use esta informação para}

encontrar um limite superior para P

(

Y_≥5

)

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Exemplo 2: Seja X uma V.A. exp(1

)

. Use a desigualdade de Markov para provar que P

(

X>c

)

_≤1

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Antes de apresentar a desigualdade vamos introduzir uns conceitos importantes.

Funções convexas são funções cujo gráfico está abaixo de (ou coincide com) qualquer corda traçada entre dois de seus pontos na região entre esses pontos. Isso é equivalente a dizer que o gráfico está acima de qualquer tangente a um de seus pontos.

Uma função duas vezes diferenciável de uma variável é convexa num intervalo se e somente se, a sua segunda derivada é maior ou igual a zero em todo o

intervalo.

Se a sua segunda derivada é estritamente positiva então a função é estritamente convexa.

Exemplos de funções convexas: f

(

x

) =

x2_{, f}

₍

_x

_{) =}

_ex_{e f}

₍

_x

_{) =}

_|_x_|_.

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Desigualdade de Jensen Seja X uma variável aleatória com esperança finita e

sejaϕuma função convexa. Então

DEMONSTRAÇÃO:

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Exemplo 1 Seϕ

(

X

) =

X2_{, então, a partir da desigualdade de Jensen, temos que}

Exemplo 2 Seϕ

(

X

) =

eX_{, então, a partir da desigualdade de Jensen, temos que}

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Exemplo 3 Use a desigualdade de Jensen para provar que a variância de uma

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Estas desigualdades são casos especiais da desigualdade de Hölder apresentada a seguir.

Desigualdade de Hölder

Sejam X e Y variáveis aleatórias quaisquer. Então

|E

(

XY

)

| ≤E_|XY_{| ≤ {}E_|X_|r_}1/r_{E_|X_|s_}1/s, 1<r< ∞, 1

r

+

1 s

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Outras Desigualdades

Desigualdade de Liapounov

{E_|X_|r_}1/r_{≤ {}E_|X_|s_}1/s, 1<r<s< ∞ .