UM ESTUDO SOBRE O COMPORTAMENTO DOS ZEROS DOS POLINÔMIOS ORTOGONAIS

(1)

UM ESTUDO SOBRE O

COMPORTAMENTO DOS ZEROS

DOS POLIN ˆ

OMIOS

ORTOGONAIS

Disserta¸cão apresentada ao Instituto de Biociências, Letras e Ciências Ex-atas da Universidade Estadual Paulista ”Júlio de Mesquita Filho”, Câmpus de São José do Rio Preto, para a obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática Aplicada.

Orientadora: Profa. Dra. Eliana X. L. de Andrade

S˜ao Jos´e do Rio Preto 1999

(2)

(3)

A Deus, por tudo.

Aos meus pais, que enchem minha vida de muito amor e bons exemplos e que participam de todas as minhas atividades, pelo apoio e incentivo em tudo que decidi realizar.

Ao Reginaldo, a quem pude confiar todas as minhas preocupa¸cões, pela aten¸cão, paciência, carinho e compreensão que me dispensou durante este per´ıodo.

`

A Nath´alia, por me ensinar a tranformar as dificuldades em completa alegria.

A todos os meus familiares, por compreenderem minha ausência con-stante. Em especial à minha avó Alice, tia Selma, toda a fam´ılia da tia Lúcia, ao meu irmão Leandro, Melissa e D.Maria, que sempre me acom-panharam e desejaram o melhor para mim.

`

A professora Eliana, que tornou poss´ıvel a realiza¸cão deste trabalho e que sempre esteve disposta a me atender com muita paciência e dedica¸cão, pela amizade e considera¸cão.

Aos professores Sebasti˜ao, Ranga, e Borges que me receberam com todo carinho no in´ıcio do meu curso de mestrado. Em especial ao professor Fernando Ferrari, pela preocupa¸c˜ao que teve comigo.

A todos os meus amigos, pelo companheirismo.

A todos os professores e funcion´arios que de alguma forma colaboraram para a realiza¸c˜ao deste trabalho.

`

(4)

uma máquina utilizável e não uma personalidade. É necessário que adquira um sentimento, um senso prático daquilo que vale a pena ser empreendido, daquilo que é belo, do que é moralmente correto.” Albert Einstein

(5)

O principal objetivo deste trabalho é realizar um estudo sobre o com-portamento dos zeros dos polinômios ortogonais definidos em um intervalo (a, b), onde − ∞ ≤ a < b ≤ ∞, com rela¸cão a uma fun¸cão peso w(x). A densidade dos zeros em (a, b) e a distância entre zeros consecutivos são discutidas. Além disso, se w(x) = w(x, τ ), alguns resultados sobre a de-pendência dos zeros dos polinômios ortogonais associados com rela¸cão ao parâmetro τ são apresentados. Em particular, discutimos a localiza¸cão e desigualdades para os zeros dos polinômios ortogonais clássicos.

(6)

The main purpose of this work is to study the behaviour of the zeros of orthogonal polynomials with respect to a weight function w(x) defined on the interval (a, b), where − ∞ ≤ a < b ≤ ∞. The density of the zeros on (a, b) and the distance between consecutive zeros are discussed. We present some results concerning the dependence of the zeros of orthogonal polynomials on a parameter τ which appears in the weight function w(x) = w(x, τ ). We give special emphasis regarding the locations and inequalities for the zeros of classical orthogonal polynomials.

(7)

´Indice

1 Resultados Preliminares 3 1.1 Equa¸cões Diferenciais . . . 3 1.2 Fun¸cão Gama . . . 5 1.3 Interpola¸cão de Lagrange . . . 5 1.4 Regra de Leibnitz . . . 6 1.5 Teorema de Rolle . . . 6 1.6 Teorema de Weierstrass . . . 6 1.7 Fun¸cão Hipergeométrica . . . 7 1.8 Teorema de Perron-Frobenius . . . 8

2 Polinˆomios Ortogonais 9 2.1 Propriedades gerais dos polinˆomios ortogonais . . . 9

2.2 Propriedades elementares dos zeros . . . 17

2.3 Polinˆomios ortogonais cl´assicos . . . 22

2.3.1 Polinˆomios de Jacobi - P(α,β) n (x) . . . . 22

(8)

2.3.2 Polinˆomios ultrasf´ericos . . . 29

2.3.3 Polinˆomios de Tchebychev de 1a esp´ecie - Tn(x) . . . . 33

2.3.4 Polinˆomios de Tchebychev de 2a esp´ecie - Un(x) . . . . 33

2.3.5 Polinˆomios de Laguerre - L(α) n (x) . . . . 34

2.3.6 Polinˆomios de Hermite - Hn(x) . . . . 35

2.3.7 Fun¸c˜oes de Bessel . . . 36

3 Comportamento dos zeros dos Polinˆomios Ortogonais 38 3.1 Densidade dos zeros . . . 38

3.1.1 Distˆancia entre zeros consecutivos . . . 39

3.1.2 Varia¸c˜ao dos zeros com um parˆametro . . . 43

3.2 Desigualdades para os zeros dos polinˆomios ortogonais cl´assicos . . . . 45

3.3 O M´etodo de Sturm . . . 48

3.3.1 O M´etodo de Sturm e os polinˆomios de Legendre . . . 51

3.3.2 Polinômios ultrasféricos e fun¸cões de Bessel Jλ(x) . . . . 55

3.3.3 O M´etodo de Sturm e os polinˆomios de Jacobi . . . 56

3.3.4 O M´etodo de Sturm e os polinˆomios de Laguerre . . . 57

3.3.5 O M´etodo de Sturm e os polinˆomios de Hermite . . . 60

4 Alguns resultados recentes 63 4.1 Interpreta¸c˜ao eletrost´atica dos zeros de P(α,β) n (x) . . . . 63

(9)

4.1.1 Limites para os maiores zeros dos Polinômios Ultrasféricos, de Laguerre e de Hermite . . . 69 4.2 Propriedades de Monotonicidade dos zeros dos polinômios ultrasféricos 71 4.2.1 Resultados preliminares . . . 71 4.2.2 Resultados principais . . . 76

(10)

Introdu¸c˜

ao

Entre os polinômios associados a uma rela¸cão de recorrência de três termos estão os polinômios ortogonais. As aplica¸cões de tais polinômios à Análise Aplicada são muitas e novas aplica¸cões surgem a todo momento ( ver Gautschi [15] ).

As aplica¸cões dos polinômios ortogonais associados às chamadas medidas clássicas, como as de Jacobi, Laguerre e Hermite, têm, particularmente, papel fundamental em muitos problemas das ciências e das engenharias. Por esta razão, a caracteriza¸cão de seus zeros é muito importante. Pelo Teorema Fundamental da Álgebra sabemos que se conhecemos os zeros de um polinômio, conhecemos o polinômio a menos de uma constante multiplicativa.

O objetivo inicial proposto para este trabalho era fazer um estudo sobre o com-portamento dos zeros dos polinˆomios ortogonais, principalmente sobre os de Jacobi, P(α,β)

n (x), e ultrasféricos, Pn(λ)(x), que admitem uma interpreta¸cão eletrostática

bas-tante interessante.

Este estudo, feito em detalhes nos cap´ıtulos 2 e 3, compreenderia o Teorema de Markov ( Teorema 3.5) e o de Sturm ( Teorema 3.10) e o livro de Szegö [29] é uma excelente referência para isso.

Porém, ao iniciarmos a pesquisa bibliográfica sobre o tema, deparamo-nos com muitos trabalhos sobre propriedades de monotonicidade dos zeros dos polionômios ul-trasféricos, vários deles bem recentes. Por ser um assunto bastante palpitante e atual, optamos, então, por incluir mais um cap´ıtulo nesta disserta¸cão, o cap´ıtulo 4, onde ap-resentamos um estudo sobre três desses artigos ( Dimitrov [4] e [5] e Elbert e Siafarikas

(11)

[10] ) para n˜ao tornar o trabalho muito extenso.

Preocupamo-nos em elaborar um texto didático sobre o assunto, que possa servir de referência aos que pretendem iniciar seus estudos nesta área.

Organizamos, ent˜ao, esta disserta¸c˜ao da seguinte forma.

O primeiro cap´ıtulo - Resultados Preliminares - contém os pré-requisitos matemá-ticos que necessitaremos no decorrer do trabalho.

No segundo cap´ıtulo - Polinômios Ortogonais - fazemos um estudo sobre os polinômios ortogonais: defini¸cões, propriedades e alguns resultados sobre seus zeros. Apresenta-mos, também, um resumo sobre os polinômios de Tchebychev, Laguerre e Hermite e um estudo detalhado dos polinômios de Jacobi.

No terceiro cap´ıtulo - Comportamento dos zeros dos polinômios ortogonais - estu-damos com mais detalhes a localiza¸cão e densidade dos zeros dos polinômios ortogonais, apresentamos alguns teoremas válidos sob condi¸cões gerais impostas sobre a fun¸cão peso e, em seguida, estudamos algumas desigualdades para os zeros dos polinômios ortogonais clássicos.

No cap´ıtulo 4 - Alguns resultados recentes, apresentamos o estudo dos trˆes artigos acima mencionados.

Em - Considera¸cões Finais - apresentamos as observa¸cões finais sobre o trabalho. Finalmente, relacionamos, nas Referências Bibliográficas, os livros e artigos por nós consultados ou citados.

(12)

Cap´ıtulo 1

Resultados Preliminares

Neste cap´ıtulo, apresentamos alguns resultados básicos da Análise Matemática, pré-requisitos essenciais ao desenvolvimento do trabalho. Muitos resultados serão con-siderados sem demonstra¸cões, que podem ser encontradas nos textos clássicos sobre o assunto.

1.1 Equa¸c˜

oes Diferenciais

Sejam K(x), M (x) e N(x) fun¸cões definidas no intervalo a < x < b, onde K(x) e M(x) têm derivadas cont´ınuas, K(x) 6= 0 e N(x) é cont´ınua. Consideremos a equa¸cão diferencial

K(x)y00_{+ M(x)y}0_{+ N(x)y = 0.} _(1.1)

Fazendo y = s(x)u(x), onde u(x) é uma fun¸cão desconhecida, podemos determinar s(x) de modo que u(x) satisfa¸ca a uma equa¸cão do tipo

u00_{+ δ(x)u = 0.}

Substituindo y em (1.1), c´alculos diretos nos fornecem 2Ks0+ Ms = 0 e s(x) = exp ( − Z _x x0 Mdx 2K ) , (1.2)

(13)

onde x0 é um ponto arbitrário. Então, δ(x) = − d dx µ M 2K ¶ − µ M 2K ¶2 + N K.

Se introduzirmos em (1.1) a vari´avel independente θ definida por x = σ(θ), obte-mos: K(x)σ0_(θ)d2y dθ2 + n M(x) [σ0_(θ)]2_{− K(x)σ}00_(θ)ody dθ + N(x) [σ 0_(θ)]3_{y = 0.} _(1.3) Fazendo y = s∗_{u em (1.3), obtemos} s∗ _{= exp} ( − Z _Mσ02_{− Kσ}00 2Kσ0 dθ ) = (σ0₎1/2_s,

onde s ´e dado por (1.2). Assim, y = (σ)0_{su e u satisfaz}

d2_u dθ2 + δ ∗_{u = 0,} onde δ∗ = − d dθ Ã Mσ02_{− Kσ}00 2Kσ0 ! − Ã Mσ02_{− Kσ}00 2Kσ0 !₂ +N Kσ 02_.

Outro resultado importante é a representa¸cão de uma solu¸cão y = y(x) da equa¸cão não homogênea

K(x)y00_{+ M(x)y}0 _{+ N(x)y = f (x)}

em termos de um sistema fundamental {y1(x), y2(x)} da equa¸c˜ao homogˆenea (1.1)

correspondente. Temos y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) + Z _x x0 y1(x)y2(t) − y2(x)y1(t) y0 1(t)y2(t) − y02(t)y1(t) f (t) K(t)dt, onde x0 ´e um valor fixo e c1 e c2 s˜ao constantes. Agora,

y0

1(x)y2(x) − y02(x)y1(x) = c exp

½ − Z _M Kdx ¾ , (1.4)

onde c ´e uma constante.

(14)

1.2 Fun¸c˜

ao Gama

Defini¸c˜ao 1.1 A fun¸c˜ao Gama pode ser definida como a integral de Euler de segunda esp´ecie, por Γ(x) = Z _∞ 0 e −t_tx−1_dt, para Re(x) > 0 ou x > 0.

S˜ao v´alidas as seguintes propriedades:

Γ(x + 1) = xΓ(x), Γ(x + 1) = x!, para x inteiro positivo e Γ(z)Γ(1 − z) = π

sen(πz). (1.5)

A integral de Euler de primeira esp´ecie define a fun¸c˜ao Beta B(p, q) =

Z ₁

0 x

n−1_{(1 − x)}q−1_{dx, p > 0, q > 0,}

que pode ser expressa em termos da fun¸c˜ao Gama por B(p, q) = Γ(p)Γ(q)

Γ(p + q).

1.3 Interpola¸c˜

ao de Lagrange

Consideremos o seguinte problema de interpola¸c˜ao.

Sejam x1, ..., xn pontos distintos e y1, ..., yn n´umeros reais dados. Existe um ´unico

polinômio real algébrico P (x) de grau menor ou igual a n, que satisfaz às condi¸cões

P (xv) = yv, v = 1, ..., n. (1.6)

Em outras palavras, dados n pontos {(xv, yv)}nv=1 no plano, constr´oi-se um ´unico

polinˆomio P de grau n − 1, cujo gr´afico passa pelos pontos dados (xv, yv), v = 1, ..., n.

A solu¸c˜ao do problema de interpola¸c˜ao (1.6) pode ser dada por P (x) = n X v=1   yv n Y i=1,i6=v x − xi xv− xi   = n X v=1 yv π(x) (x − xv)π0(xv) ,

(15)

onde π(x) = (x − x1)...(x − xn) e π0(xv) = (x − x1)...(x − xv−1)(x − xv+1)...(x − xn).

Em particular, quando os yv dados coincidem com os valores de fun¸c˜ao f (x), isto

é, quando yv = f (xv), v = 1, ..., n, o polinômio de Lagrange que interpola a a fun¸cão

f nos pontos {xi}n_i=1 ´e dado por

Ln−1(f ; x) = n X v=1 f (xv) π(x) (x − xv)π0(xv) .

A propriedade principal dos polinômios de interpola¸cão de Lagrange Ln−1(f ; x), é

que Ln−1(f ; x) = f (x), para qualquer f ∈ IPn−1, onde IPn−1 ´e o espa¸co dos polinˆomios

de grau at´e n − 1.

1.4 Regra de Leibnitz

Sejam as fun¸cões f (x) e g(x). A n-ésima derivada do produto f (x)g(x) é dada por dn dxn[f (x)g(x)] = n X i=0    n i    " di dxi(f (x)) # " dn−i dxn−i(g(x)) # .

1.5 Teorema de Rolle

Teorema 1.1 (Rolle) Sejam f ∈ C[a, b], com f (a) = f (b) e f ∈ C1_{(a, b). Ent˜ao,}

existe ξ ∈ (a, b) tal que f0_{(ξ) = 0.}

1.6 Teorema de Weierstrass

O resultado abaixo é de grande utilidade para a teoria de polinômios pois permite aproximar qualquer fun¸cão cont´ınua por um polinômio.

(16)

Teorema 1.2 (Weierstrass) Seja f (x) uma fun¸cão cont´ınua em um intervalo I fechado e finito e seja ² > 0. Então, existe um polinômio p(x) tal que

|f (x) − p(x)| < ², ∀x ∈ I. Para mais detalhes, ver Rivlin [25],p.33.

1.7 Fun¸c˜

ao Hipergeom´

etrica

A fun¸c˜ao hipergeom´etrica, definida por

2F1 (a, b; c; x) = 1 + ∞ X v=0 a (a + 1)...(a + v − 1) v! b (b + 1)...(b + v − 1) c (c + 1)...(c + v − 1)x v_, _(1.7)

onde c ´e um inteiro positivo, converge para |x| < 1 e satisfaz x (1 − x)d2y

dx2 + [c − (a + b + 1) x]

dy

dx− aby = 0. (1.8)

Se m ´e inteiro positivo, lim c→−(m−1)(c + m − 1) 2F1(a, b; c; x) = (−1) m−1a (a + 1) b (b + 1)...(b + m − 1) m! (m − 1)! x m ×2F1(a + m, b + m; m + 1; x) (1.9) e a fun¸c˜ao xm

2F1(a + m, b + m; m + 1; x) satisfaz `a equa¸c˜ao (1.8) com c = −(m − 1).

Em Erdelyi [11], p.103, foi demonstrado que

(c − a) 2F1(a − 1, b; c; z) + (2a − c − az + bz)2F1(a, b; c; z)

+ a(z − 1) 2F1(a + 1, b; c; z) = 0 (1.10)

e

(c − b)2F1(a, b − 1; c; z) + (2b − c − bz + az) 2F1(a, b; c; z)

(17)

1.8 Teorema de Perron-Frobenius

Em seguida, apresentaremos o teorema de Perron-Frobenius para matrizes tridia-gonais. N˜ao vamos enunciar o teorema em uma vers˜ao mais geral pois neste trabalho vamos utilizar apenas o caso especial que segue. Para maiores detalhes, veja Horn & Johnson [16].

Teorema 1.3 (Perron-Frobenius) Sejam A e B matrizes tridiagonais n × n com elementos positivos fora da diagonal e elementos não negativos na diagonal. Se os elementos de B − A são não-negativos, então o maior auto-valor de B é maior do que o maior auto-valor de A.

(18)

Cap´ıtulo 2

Polinˆ

omios Ortogonais

Neste cap´ıtulo, faremos um estudo sobre os polinômios ortogonais e suas pro-priedades, em particular sobre os polinômios clássicos. Em Szegö [29], encontramos todos os resultados aqui apresentados sobre as propriedades dos zeros dos polinômios ortogonais. Inclu´ımos, também, alguns detalhes de demonstra¸cões que foram omitidos no material consultado. Para mais detalhes veja, por exemplo, Szegö [29], Chihara [3], Freud [13].

2.1 Propriedades gerais dos polinˆ

omios ortogonais

Sejam [a, b] um intervalo real, −∞ ≤ a < b ≤ ∞ e α(x) uma fun¸c˜ao real, limitada, n˜ao-decrescente e com infinitos pontos de aumento em [a, b].

Defini¸c˜ao 2.1 Sejam os momentos definidos por: µn =

Z _b

a x

n_{dα(x), n = 0, 1, 2, ... .} _(2.1)

Se os momentos µn, n = 0, 1, 2, ..., existem, dα(x) ´e chamada uma distribui¸c˜ao em

(19)

Defini¸c˜ao 2.2 Dizemos que {Pn(x)}∞_n=0 é uma Seqüência de Polinômios Ortogonais

(SPO) se:

(i) Pn(x) ´e de grau exatamente n, n ≥ 0;

(ii) hPn, Pmi = Z _b a Pn(x)Pm(x)dα(x) =      0 , se n 6= m σn6= 0 , se n = m. (2.2)

Se σn = 1, dizemos que a SPO é uma Seqüência de Polinômios Ortonormais

(SP O∗_{). Nota¸c˜ao: {p}

n(x)}∞n=0.

Neste trabalho, denotaremos os coeficientes do polinˆomio Pn(x) por an,i, i =

0, ..., n. Logo, Pn(x) = n X k=0 an,kxk, an,n 6= 0. (2.3)

Teorema 2.1 Sejam P0(x), P1(x), ..., Pm(x), pertencentes a uma SPO {Pn(x)}∞_n=0.

En-t˜ao, eles s˜ao linearmente independentes.

Demonstra¸c˜ao: Suponhamos que existam constantes cj, j = 0, 1, ..., m, tais que m

X

j=0

cjPj(x) = 0. Fazendo o produto interno por Pk(x), k = 0, ..., m, em ambos os

membros, teremos:

m

X

j=0

cjhPj(x), Pk(x)i = 0.

Por defini¸c˜ao, hPj(x), Pk(x)i = 0, j 6= k. Logo, m

X

j=0

cjhPj(x), Pk(x)i = ckhPk(x), Pk(x)i = 0.

Portanto, ck= 0, k = 0, ..., m.

Teorema 2.2 Seja {Pn(x)}∞_n=0uma SPO no intervalo [a, b] com rela¸cão à distribui¸cão

dα(x). Então, as seguintes afirma¸cões são equivalentes: (i) {Pn(x)}∞_n=0 é uma SPO ;

(ii) hPn(x), π(x)i = 0, ∀ π(x) ∈ IPn−1; (iii) hxm_{, P} n(x)i = Z _b a x m_P n(x)dα(x) =      0 , se m < n ρn 6= 0 , se n = m . (2.4)

(20)

Demonstra¸cão: [(i) ⇒ (ii)] Seja π(x) um polinômio de grau m, m < n. Então, π(x) = m X k=0 ckPk(x), cm 6= 0. Da´ı, hPn(x), π(x)i = m X k=0 ckhPn, Pki = 0, pois m < n.

Considerando π(x) = xm_{, temos prontamente que (ii) implica (iii).}

[(iii) ⇒ (i)] Seja m ≤ n. Temos, ent˜ao, por (iii), que hPm, Pni = * _m X k=0 am,kxk, Pn + = m X k=0 am,k D xk_{, P} n E      = 0 , se m < n 6= 0 , se n = m.

Como conseq¨uˆencia imediata deste teorema temos o seguinte resultado:

Corol´ario 2.1 Sejam {Qn(x)}∞_n=0 e {Pn(x)}∞_n=0 duas SPO no intervalo [a, b] com

rela¸cão à dα(x). Então, Qj(x) = cjPj(x), j = 0, 1, 2, ....

Defini¸c˜ao 2.3 Denominam-se Determinantes de Hankel os determinantes Dn de

or-dem n + 1, n ≥ 0, dados por:

Dn= µ0 µ1 ... µn µ1 µ2 ... µn+1 ... ... . .. ... µn µn+1 ... µ2n ,

onde µj, j = 0, ..., 2n, s˜ao os momentos definidos em (2.1).

Teorema 2.3 Se os momentos µn existem, Dn6= 0, n = 0, 1, 2, ... .

Demonstra¸cão: Tomemos o sistema linear homogêneo, Dna = 0, isto é,

          µ0 µ1 ... µn µ1 µ2 ... µn+1 ... ... . .. ... µn µn+1 ... µ2n                     a0 a1 ... an           =           0 0 ... 0           .

(21)

Observe que o determinante da matriz dos coeficientes ´e Dn. Mostremos que a

única solu¸cão do sistema linear acima é a0 = a1 = ... = an = 0. Dessa forma, teremos

Dn6= 0.

Substituindo os momentos no sistema linear pela sua defini¸c˜ao, teremos:

                   a0 R_b ax0dα(x) + a1 R_b axdα(x) + ... + an R_b axndα(x) = 0 a0 R_b axdα(x) + a1 R_b ax2dα(x) + ... + an R_b axn+1dα(x) = 0 ... ... ... ... a0 R_b axndα(x) + a1 R_b axn+1dα(x) + ... + an R_b ax2ndα(x) = 0.

Multiplicando, respectivamente, por a0, a1, ..., anas equa¸c˜oes do sistema e

somando-as, obteremos: a2 0 Z _b a dα(x) + a 2 1 Z _b a x 2_{dα(x) + ... + a}2 n Z _b a x 2n_{dα(x) + 2a} 0a1 Z _b a xdα(x) + ... + 2a0an Z _b a x n_{dα(x) + 2a} 1an Z _b a x n+1_{dα(x)dx + ... = 0,} ou seja, Z _b a (a0+ a1x + ... + anx n₎2_{dα(x) = 0.} Ent˜ao, (a0+ a1x + ... + anxn)2 ≡ 0. Portanto, a0 = a1 = ... = an = 0. Substituindo (2.4) em (2.3), obtemos n X i=0 an,i D xs, xiE=      0 , s = 0, 1, ..., n − 1 ρn6= 0 , s = n

ou, na forma matricial,

              µ0 µ1 ... µn µ1 µ2 ... µn+1 ... ... . .. ... µn−1 µn ... µ2n−1 µn µn+1 ... µ2n                             an,0 an,1 ... an,n−1 an,n               =               0 0 ... 0 ρn               . (2.5)

Resolvendo o sistema linear acima por Cramer, obtemos an,n= ρn

Dn−1

Dn

(22)

Substituindo a ´ultima linha de (2.5) por (2.3), temos               µ0 µ1 ... µn µ1 µ2 ... µn+1 ... ... ... ... µn−1 µn ... µ2n−1 1 x ... xn                             an,0 an,1 ... an,n−1 an,n               =               0 0 ... 0 Pn(x)               . Logo, Pn(x) = an,n Dn−1 µ0 µ1 µ2 ... µn µ1 µ2 µ3 ... µn+1 ... ... ... ... ... µn−1 µn µn+1 ... µ2n−1 1 x x2 _... _xn . (2.7)

Portanto, da express˜ao acima, demonstramos que existe uma ´unica SPO, {Pn(x)}∞_n=0,

se, e somente se, Dn 6= 0, n = 0, 1, ... .

Observe que xn₌Xn j=0 cjPj(x) com cn = 1 an,n . Ent˜ao, ρn = hxn, Pn(x)i = n X j=0 cjhPj(x), Pn(x)i = 1 an,n hPn(x), Pn(x)i . Logo, ρn= hPn(x), Pn(x)i an,n . De (2.6), temos, ent˜ao, a2 n,n = Dn−1 Dn hPn(x), Pn(x)i .

Da´ı, de (2.7), chegamos ao seguinte resultado:

(23)

Então, para n ≥ 1, o polinômio ortonormal de grau n é dado por: pn(x) = (DnDn−1)−1/2 µ0 µ1 µ2 ... µn µ1 µ2 µ3 ... µn+1 ... ... ... ... ... µn−1 µn µn+1 ... µ2n−1 1 x x2 _... _xn , (2.8)

onde Dn ´e o determinante de Hankel e o coeficiente principal de pn(x) ´e dado por

an,n =

s

Dn−1

Dn

.

Uma propriedade bastante útil e interessante dos polinômios ortogonais é o seguinte teorema:

Teorema 2.5 (Rela¸c˜ao de Recorrˆencia de trˆes termos) Seja {Pn(x)}∞_n=0uma SPO

em [a, b], com rela¸cão à distribui¸cão dα(x). Então,

Pn+1(x) = (γn+1x − βn+1)Pn(x) − αn+1Pn−1(x), n ≥ 0, (2.9)

com P−1(x) = 0, P0(x) = 1, αn+1, βn, γn∈ IR, n ≥ 1, onde

γn+1 = an+1,n+1 an,n 6= 0, αn+1= γn+1 γn hPn, Pni hPn−1, Pn−1i 6= 0, βn+1= γn+1 hxPn, Pni hPn, Pni . (2.10)

Demonstra¸c˜ao: Como xPn(x) ∈ IPn+1, pode ser escrito como xPn(x) = n+1_X i=0 biPi(x). Mas, Pn(x) = n X i=0 an,ixi, an,n 6= 0. Logo, xPn(x) = n X i=0 an,ixi+1.

Igualando os coeficientes dos termos de maior grau em ambas as express˜oes de xPn(x), obtemos: an,n= bn+1an+1,n+1. Da´ı, bn+1 = an,n an+1,n+1 . Temos que hxPn, Pji = Z _b a Pn(x)xPj(x)w(x)dx = hPn, xPji = 0, para j ≤ n − 2.

(24)

Mas, hxPn, Pji = n+1_X i=0 bihPi, Pji = bjhPj, Pji . Da´ı, bj = hxPn, Pji hPj, Pji . (2.11) Logo, bj = 0, j ≤ n − 2. Assim, Pn+1(x) = 1 bn+1 xPn(x) − bn−1 bn+1 Pn−1(x) − bn bn+1 Pn(x) = Ã 1 bn+1 x − bn bn+1 ! Pn(x) − bn−1 bn+1 Pn−1(x). Ou seja, Pn+1(x) = (γn+1x − βn+1)Pn(x) − αn+1Pn−1(x), com γn+1= 1 bn+1 , βn+1 = bn bn+1 e αn+1= bn−1 bn+1 . (2.12) Como bn+1 = an,n an+1,n+1 , temos γn+1 = an+1,n+1 an,n 6= 0.

Calculemos, agora, os valores de αn+1 e βn+1. De (2.11) e (2.12),

βn+1= γn+1hxPn, Pni

hPn, Pni

e αn+1 = γn+1 hxPn, Pn−1i

hPn−1, Pn−1i

. Mas, como Pn(x) = (γnx − βn)Pn−1(x) − αnPn−2(x), obtemos

xPn−1(x) = 1 γn Pn(x) + βn γn Pn−1(x) + αn γn Pn−2(x). Por´em, hxPn, Pn−1i = Z _b a Pn(x)xPn−1(x)w(x)dx = hPn, xPn−1i . Ent˜ao, hPn, xPn−1i = 1 γn hPn, Pni +βn γn hPn, Pn−1i +αn γn hPn, Pn−2i = 1 γn hPn, Pni . Portanto, αn+1 = γn+1 γn hPn, Pni hPn−1, Pn−1i 6= 0.

(25)

Corol´ario 2.2 Os polinômios ortonormais pn(x) satisfazem à seguinte rela¸cão de recorrência

de trˆes termos:

xpn(x) = an+1pn+1(x) + bnpn(x) + anpn−1(x), n ≥ 0, (2.13)

com as condi¸c˜oes iniciais p0(x) = 1 e p−1(x) = 0, onde

an= an−1,n−1 an,n e bn = an,n−1 an,n − an+1,n an+1,n+1 .

Aplicando a rela¸cão de recorrência de três termos à expressão pm+1(x)pm(y) − pm(x)pm+1(y),

obtemos:

pm+1(x)pm(y) − pm(x)pm+1(y) = γm+1(x − y)pm(x)pm(y)

+αm+1{pm−1(y)pm(x) − pm−1(x)pm(y)} . Por (2.10), am,m am+1,m+1 pm+1(x)pm(y) − pm(x)pm+1(y) x − y = pm(x)pm(y) +am−1,m−1 am,m pm(x)pm−1(y) − pm−1(x)pm(y) x − y .

Escrevendo a express˜ao acima para m = 0, 1, ..., n, (que vale para m = 0 com a−1,−1

arbitr´ario) e somando-as, obtemos a importante identidade:

Teorema 2.6 (Identidade de Christoffel-Darboux) Seja {pn(x)}∞_n=0 uma

seqüên-cia de polinômios ortonormais - SP O∗_{. Então,} n X k=0 pk(x)pk(y) = an,n an+1,n+1 pn+1(x)pn(y) − pn(x)pn+1(y) x − y . (2.14)

No caso especial em que y = x, chegamos que

n X k=0 {pk(x)}2 = an,n an+1,n+1 n p0_n+1(x)pn(x) − p0n(x)pn+1(x) o . (2.15)

(26)

2.2 Propriedades elementares dos zeros

Teorema 2.7 Os zeros dos polinˆomios ortogonais Pn(x), n ≥ 1, associados `a

dis-tribui¸c˜ao dα(x) no intervalo [a, b] s˜ao reais, distintos e pertencem ao interior de [a, b].

Demonstra¸cão: (i) Suponhamos que Pn(x) não tenha zeros no interior de [a, b]. Então,

Pn(x) 6= 0, ∀x ∈ (a, b). (2.16)

Consideremos, sem perda de generalidade, Pn(x) > 0, x ∈ (a, b). Temos, pelo

Teorema 2.2, que Z _b a Pn(x)dα(x) = 0, n ≥ 1. (2.17) Mas, de (2.16), Z _b a Pn(x)dα(x) > 0. (2.18)

De (2.17) e (2.18) chegamos a um absurdo. Assim, existe pelo menos um zero real de Pn(x) em (a, b).

(ii) Mostremos que Pn(x) tem n zeros distintos em (a, b). Sejam xn,i ∈ (a, b), i =

1, ..., r, r < n, os pontos onde Pn(x) muda de sinal, isto ´e, os zeros de multiplicidade

´ımpar de Pn(x) em (a, b). Ent˜ao, Pn(x) pode ser escrito como

Pn(x) = (x − xn,1)(x − xn,2)...(x − xn,r)q(x), (2.19)

onde q(x) ter´a somente zeros complexos ou de multiplicidade par em (a, b). Portanto, q(x) n˜ao muda de sinal em (a, b).

Logo, como r < n,

Z _b

a Pn(x)(x − xn,1)(x − xn,2)...(x − xn,r)dα(x) = 0. (2.20)

Mas, substituindo (2.19) em (2.20) obtemos

Z _b

a (x − xn,1)

2_{(x − x}

(27)

De (2.20) e (2.21) temos um absurdo. Portanto, r ≥ n. Como Pn(x) ´e um polinˆomio

de grau n, Pn(x) tem exatamente n zeros distintos em (a, b).

Observe que podemos mostrar que os zeros de Pn(x) são reais através da fórmula

de recorrˆencia para os polinˆomios ortonormais. Na forma matricial, fazendo n = 0, 1, ..., m, (2.13) pode ser escrita como

Jm(x)u(x) = xu(x) − ampm(x)em,

onde Jm =                  b0 a1 0 0 ... 0 0 0 a1 b1 a2 0 ... 0 0 0 0 a2 b2 a3 ... 0 0 0 ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 0 0 ... am−2 bm−2 am−1 0 0 0 0 ... 0 am−1 bm−1                  , u(x) =                  p0(x) p1(x) p2(x) ... pm−2(x) pm−1(x)                  e em = µ 0 0 ... 0 1 ¶_t .

Consideremos xm,i um zero de pm(x), i = 1, ..., m. Ent˜ao,

Jmu(xm,i) = xm,iu(xm,i), i = 1, ..., m.

Portanto, xm,i ´e um autovalor da matriz Jm com correspondente autovetor u(xm,i).

A matriz Jmé tridiagonal e simétrica e é conhecida como matriz de Jacobi (finita).

A simetria de Jm implica imediatamente que os autovalores (zeros) s˜ao reais.

Consideremos, daqui por diante, {Pn(x)}∞_n=0 uma SPO com an,n > 0. Ent˜ao, de

(2.15), obtemos a importante desigualdade: P0

n+1(x)Pn(x) − Pn0(x)Pn+1(x) > 0, ∀x ∈ IR. (2.22)

(28)

Teorema 2.8 Seja {Pn(x)}∞_n=0 uma SPO em [a, b], com rela¸cão à distribui¸cão dα(x).

Ent˜ao, Pn(x) e Pn+1(x), n ≥ 1, n˜ao possuem zeros em comum.

Al´em disso, o teorema abaixo mostra que os zeros de dois polinˆomios de graus consecutivos se entrela¸cam.

Teorema 2.9 Seja Pn(x) pertencente a uma SPO em [a, b] com rela¸cão à distribui¸cão

dα(x) e sejam xn,1 < xn,2 < ... < xn,n os zeros de Pn(x), xn,0 = a e xn,n+1 = b. Ent˜ao,

cada intervalo [xn,k, xn,k+1], k = 0, 1, ..., n, cont´em exatamente um zero de Pn+1(x).

Demonstra¸c˜ao: Sejam xn,k e xn,k+1, 1 ≤ k ≤ n − 1, dois zeros consecutivos de Pn(x).

Ent˜ao,

P_n0(xn,k)Pn0(xn,k+1) < 0, 1 ≤ k ≤ n − 1. (2.23)

Lembrando que o coeficiente do termo de maior grau de Pn(x), n ≥ 1, ´e positivo,

se fizermos x = xn,k na desigualdade (2.22), teremos:

P0

n(xn,k)Pn+1(xn,k) < 0, 1 ≤ k ≤ n − 1. (2.24)

Analogamente, se considerarmos x = xn,k+1,

P_n0(xn,k+1)Pn+1(xn,k+1) < 0, 1 ≤ k ≤ n − 1. (2.25)

Multiplicando (2.24) e (2.25) e usando (2.23) chegamos que

Pn+1(xn,k)Pn+1(xn,k+1) < 0, 1 ≤ k ≤ n − 1. (2.26)

Ent˜ao, existe pelo menos um zero de Pn+1(x) entre xn,k e xn,k+1, o que resulta em

pelo menos n − 1 zeros de Pn+1(x) entre xn,1 e xn,n.

Precisamos ainda verificar a existˆencia de pelo menos mais dois zeros: um entre xn,0 e xn,1 e outro entre xn,n e xn,n+1.

Primeiramente, consideremos x = xn,n em (2.22). Ent˜ao, Pn0(xn,n)Pn+1(xn,n) < 0.

(29)

Al´em disso, como an+1,n+1 > 0, Pn+1(xn,n+1) > 0.

Ent˜ao, Pn+1(xn,n)Pn+1(xn,n+1) < 0. Assim, provamos a existˆencia de pelo menos

um zero de Pn+1(x) entre xn,n e xn,n+1.

Analogamente, se considerarmos x = xn,1em (2.22), provamos a existˆencia de pelo

menos um zero entre xn,0 e xn,1, totalizando os n + 1 zeros de Pn+1(x).

Dessa forma, temos que existe um, e somente um, zero de Pn+1(x) em cada intervalo

(xn,k, xn,k+1), k = 0, 1, 2, ..., n.

Teorema 2.10 A seguinte decomposi¸cão em fra¸cões parciais é válida: Pn−1(x) Pn(x) = n X k=1 Λk (x − xn,k) , Λk > 0,

onde xn,k, k = 1, ..., n, s˜ao os zeros de Pn(x).

Demonstra¸c˜ao: Consideremos o polinˆomio interpolador de Lagrange de Pn(x) sobre os

zeros, xn,1, ..., xn,n, de Pn(x). Ent˜ao, Pn−1(x) = n X i=1 π(x) (x − xn,1)π0(xn,i) Pn−1(xn,i), onde π(x) = (x − xn,1)(x − xn,2)...(x − xn,n) (2.27)

é o polinômio dos nós.

Se multiplicarmos ambos os membros de (2.27) pelo coeficiente do termo de maior grau do polinˆomio Pn(x) teremos:

an,nπ(x) = an,n(x − xn,1)(x − xn,2)...(x − xn,n) = Pn(x). Assim, Pn−1(x) = n X i=1 π(x) (x − xn,1)π0(xn,i) Pn−1(xn,i) = Pn(x) n X i=1 Pn−1(xn,i) (x − xn,i)Pn0(xn,i) .

(30)

Logo, Pn−1(x) Pn(x) = n X i=1 Λi (x − xn,i) , onde Λi = Pn−1(xn,i) P0 n(xn,i) , i = 1, ..., n. Observe que Λi = Pn−1(xn,i) P0 n(xn,i) = Pn−1(xn,i) P0 n(xn,i) P0 n(xn,i) P0 n(xn,i)

= Pn−1(xn,i)Pn0(xn,i) − Pn−10 (xn,i)Pn(xn,i) {P0

n(xn,i)}2

. Pela desigualdade (2.22) temos Λi > 0, i = 1, ..., n.

Teorema 2.11 (Quadratura de Gauss-Jacobi) Se xn,1 < xn,2 < ... < xn,n

deno-tam os zeros de Pn(x), ent˜ao existem n´umeros reais λn,1, λn,2, ..., λn,n tais que

Z _b

a ρ(x)dα(x) = λn,1ρ(xn,1) + λn,2ρ(xn,2) + ... + λn,nρ(xn,n), (2.28)

sempre que ρ(x) ∈ IP2n−1. A distribui¸c˜ao dα(x) e o inteiro n determinam unicamente

esses números λn,k. ( Os números λn,k são denominados pesos da fórmula de Gauss

ou n´umeros de Christoffel e xn,k, os n´os).

Demonstra¸c˜ao: Sabemos que o polinˆomio interpolador de Lagrange Ln−1(x) de grau

n − 1 que coincide com ρ(x) nos pontos xn,k, k = 1, ..., n, ´e dado por:

Ln−1(x) = n X k=1 ρ(xn,k) Pn(x) (x − xn,k)Pn0(xn,k) = n X k=1 ρ(xn,k)ln,k(x). Ent˜ao, ρ(xn,k) − Ln−1(xn,k) = 0, k = 1, 2, ..., n.

Logo, ρ(x) − Ln−1(x) ´e divis´ıvel por Pn(x) , isto ´e, ρ(x) − Ln−1(x) = Pn(x)r(x),

com r(x) um polinˆomio de grau n − 1. Mas, Z _b a ρ(x)dα(x) = n X k=1 ρ(xn,k) Z _b a ln,k(x)dα(x).

Isto nos d´a (2.28) com λn,k =

Z _b a ln,k(x)dα(x)= Z _b a Pn(x) (x − xn,k)Pn0(xn,k) dα(x), k = 1, 2, ..., n.

(31)

Teorema 2.12 Os n´umeros de Christoffel λn,k s˜ao positivos e

λn,1+ λn,2+ ... + λn,n =

Z _b

a dα(x) = α(b) − α(a). (2.29)

Demonstra¸c˜ao: Imediata. Basta considerarmos f (x) =

Ã π(x) x − xn,k !₂ e f (x) = 1 na f´ormula de quadratura (2.28).

São válidas, ainda, as seguintes representa¸cões para os pesos (ver Krylov[21]): λn,k = Z _b a Ã pn(x) p0 n(xn,k)(x − xn,k) !₂ dα(x), λn,k = an+1,n+1 an,n −1 pn+1(xn,k)p0n(xn,k) = an,n an−1,n−1 −1 pn−1(xn,k)p0n(xn,k) e (λn,k)−1 = n X j=0 {pj(xn,k)}2.

2.3 Polinˆ

omios ortogonais cl´

assicos

2.3.1 Polinˆ

omios de Jacobi - P

(α,β)

n

(x)

São ortogonais no intervalo [−1, 1], com rela¸cão à fun¸cão peso w(x) = (1 − x)α_{(1 +}

x)β_{, α, β > −1, α e β reais.}

Através da Fórmula de Rodrigues ( Szegö [29], p.67), para α e β arbitrários, os polinômios de Jacobi P(α,β) n (x) satisfazem (1 − x)α(1 + x)βP_n(α,β)(x) = (−1) n 2n_n! Ã d dx !_n n (1 − x)n+α(1 + x)n+βo. (2.30) De fato: primeiro, consideramos α e β ambos maiores do que −1.

Aplicando a f´ormula de Leibniz, temos que o lado direito de (2.30) ´e da forma (1 − x)α_{(1 + x)}β_ρ(x),

(32)

onde ρ(x) ´e um polinˆomio de grau n.

Para mostrar que ρ(x) = cnPn(α,β)(x) ´e suficiente provar que

Z ₁ −1 Ã d dx !_n n (1 − x)n+α(1 + x)n+βor(x) dx = 0, (2.31) onde r(x) é um polinômio de grau n − 1 arbitrário.

Integrando n vezes por partes obtemos que o lado esquerdo de (2.31) ´e igual a (−1)n

Z ₁

−1

n

(1 − x)n+α_{(1 + x)}n+βo_r(n)_(x)dx

que se anula pois r(n)_{(x) = 0.}

Determinamos o fator constante fazendo x = 1 e usando (2.32), dada a seguir. Os polinˆomios de Jacobi ser˜ao normalizados de modo a satisfazerem

P(α,β) n (1) =    n + α n   = Γ(n + α + 1) n!Γ(α + 1) , n ≥ 1. (2.32)

Da f´ormula de Rodrigues (2.30) obtemos facilmente que

P_n(α,β) (x) = (−1)nP_n(β,α) (−x). (2.33) De (2.32) e (2.33) chegamos que P(α,β) n (−1) = (−1)n    n + β n   . (2.34)

O seguinte teorema nos ser´a de grande utilidade no decorrer do trabalho.

Teorema 2.13 Os polinˆomios de Jacobi P(α,β)

n (x) satisfazem `a equa¸c˜ao diferencial de

segunda ordem: (1 − x2)y00+ [β − α − (α + β + 2)x]y0+ n(n + α + β + 1)y = 0 (2.35) ou d dx n (1 − x)α+1(1 + x)β+1y0o+ n(n + α + β + 1)(1 − x)α(1 + x)βy = 0.

(33)

Demonstra¸c˜ao: Seja y(x) = P(α,β) n (x) ∈ IPn. Observe que d dx n (1 − x)α_{(1 + x)}β_y0o = −(α + 1)(1 − x)α_{(1 + x)}β+1_y0 _{+ (β + 1)(1 − x)}α+1_{(1 + x)}β_y0 +(1 − x)α+1_{(1 + x)}β+1_y00 = (1 − x)α_{(1 + x)}βn_{−(α + 1)(1 + x)y}0_{+ (β + 1)(1 − x)y}0 _{+ (1 − x}2_)y00o = (1 − x)α_{(1 + x)}β_z(x), _{onde z(x) ∈ IP} n.

Para mostrar que z(x) = cte y(x), basta provar que, para todo ρ(x) ∈ IPn−1,

Z ₁ −1(1 − x) α_{(1 + x)}β_{z(x) ρ(x)dx =} Z ₁ −1 d dx n (1 − x)α_{(1 + x)}β_y0o_{ρ(x)dx = 0.}

Substituindo n(n + α + β + 1) por γ em (2.35), o teorema seguinte nos diz para quais valores de γ esta equa¸cão diferencial possui solu¸cão polinomial não-identicamente nula.

Teorema 2.14 Sejam α > −1, β > −1. A equa¸c˜ao diferencial

(1 − x2)y00+ [β − α − (α + β + 2)x]y0+ γy = 0, (2.36) onde γ é um parâmetro, tem solu¸cão polinomial não identicamente nula se, e somente se, γ tem a forma n(n + α + β + 1), n = 0, 1, .... A solu¸cão é cteP(α,β)

n (x) e n˜ao existe

solu¸c˜ao polinomial que seja linearmente independente de P(α,β)

n (x). Demonstra¸c˜ao: Seja y = ∞ X i=0 ai(x − 1)i. Substituindo o valor de y em (1 − x2)y00+ [β − α − (α + β + 2)x]y0+ γy = 0, obtemos −(x + 1) ∞ X i=2

i(i − 1)ai(x − 1)i−1− [2(α + 1) + (α + β + 2)(x − 1)]

× ∞ X i=1 iai(x − 1)i−1+ γ ∞ X i=0 ai(x − 1)i = 0.

(34)

Da´ı, − [2 + (x − 1)]

∞

X

i=2

i(i − 1)ai(x − 1)i−1− [2(α + 1) + (α + β + 2)(x − 1)]

× ∞ X i=1 iai(x − 1)i−1+ γ ∞ X i=0 ai(x − 1)i = 0.

Com isso, vemos que os coeficientes das potências de (x − 1) são nulos, isto é, [γ − i(i + α + β + 1)] ai− 2(i + 1)(i + α + 1)ai+1= 0, i = 0, 1, ... . (2.37)

Suponhamos que y é um polinômio e an é o último coeficiente não nulo.

Fazendo i = n em (2.37) obtemos γ = n(n + α + β + 1).

Reciprocamente, se γ = n(n + α + β + 1) ent˜ao, de (2.37), an+1= an+2 = ... = 0.

Portanto, y ´e um polinˆomio de grau n.

Agora, seja γ = n(n + α + β + 1) e z uma segunda solu¸cão de (2.35). Sabemos que z é um polinômio de grau n.

De (2.35), observe que

(1 − x2) [y00z − yz00] + [β − α − (α + β + 2)x] [yz0− zy0] = 0. (2.38) Consideremos a fun¸c˜ao (1 − x)α+1_{(1 + x)}β+1_{y0_{z − yz}0_{} .}

Pela equa¸c˜ao (2.38), temos que d dx n (1 − x)α+1_{(1 + x)}β+1_[y0_{z − yz}0_]o_{= (1 − x)}α_{(1 + x)}β_{[yz0 −zy0_{(−(α + 1)(1 + x) + (β + 1)(1 − x)) + (1 − x}2_{) [ y}00_{z − yz}00_]io = (1 − x)α_{(1 + x)}β_{{(β − α − (α + β + 2)x)} [yz0_{− zy}0_{] + (1 − x}2_{) [y}00_{z − yz}00_]o_{= 0.} Logo, (1 − x)α+1_{(1 + x)}β+1_{y0_{z − yz}0_{} = c, ∀x,}

onde c ´e uma constante.

Fazendo x → ±1, obtemos que c = 0. Logo, y0_{z − yz}0 _{= 0. Como y e z s˜ao}

(35)

Um outro resultado bastante interessante e que precisaremos mais adiante ´e o seguinte:

Teorema 2.15 Para v = 0, 1, ..., podemos escrever: P_2v(α,α) (x) = Γ(2v + α + 1)Γ(v + 1) Γ(v + α + 1)Γ(2v + 1)P (α,−1/2) v (2x2− 1) = (−1)vΓ(2v + α + 1)Γ(v + 1) Γ(v + α + 1)Γ(2v + 1)P (−1/2,α) v (1 − 2x2). (2.39) P_2v+1(α,α) (x) = Γ(2v + α + 2)Γ(v + 1) Γ(v + α + 1)Γ(2v + 2) x P (α,1/2) v (2x2− 1) = (−1)vΓ(2v + α + 2)Γ(v + 1) Γ(v + α + 1)Γ(2v + 2) x P (1/2,α) v (1 − 2x2).

Demonstra¸c˜ao: Sabemos que

Z ₁

−1P

(α,α)

2n (x)ρ(x)(1 − x2)αdx = 0, ∀ρ(x) ∈ IP2n−1.

Ent˜ao, vamos mostrar que I =

Z ₁

−1P

(α,−1/2)

n (2x2 − 1)ρ(x)(1 − x2)αdx = 0, ∀ρ(x) ∈ IP2n−1.

Podemos escrever ρ(x) = ρ1(x) + ρ2(x), onde ρ1(x) ´e uma fun¸c˜ao ´ımpar dada por

a2n−1x2n−1+ a2n−3x2n−3...a1x

e ρ2(x) ´e uma fun¸c˜ao par dada por

a2n−2x2n−2+ a2n−4x2n−4+ ... + a2x2+ a0. Ent˜ao, I = Z ₁ −1P (α,−1/2) n (2x2− 1)ρ1(x)(1 − x2)αdx + Z ₁ −1P (α,−1/2) n (2x2− 1)ρ2(x)(1 − x2)αdx = Z ₁ −1P (α,−1/2) n (2x2− 1)ρ2(x)(1 − x2)αdx.

(36)

Como ρ2(x) ´e um polinˆomio par, podemos escrever ρ2(x) = r(x2), onde r(x) ∈ IPn−1. Assim, I = Z ₁ −1P (α,−1/2) n (2x2− 1)r(x2)(1 − x2)αdx = 2 Z ₁ 0 P (α,−1/2) n (2x2− 1)r(x2)(1 − x2)αdx. Fazendo y = x2_{, temos} I = 2 Z ₁ 0 P (α,−1/2) n (2y − 1)r(y)(1 − y)α 1 2√ydx. Fazendo, agora, x = 2y − 1, obtemos

I = Z ₁ −1P (α,−1/2) n (x)r µ x + 1 2 ¶ µ 1 − x + 1 2 ¶_αµ 1 + x 2 ¶_−1/2 dx 2 = 2−α−1/2 Z ₁ −1P (α,−1/2) n (x)r µ_{x + 1} 2 ¶ (1 − x)α_{(1 + x)}−1/2_{dx = 0.} Portanto, P_2n(α,α)(x) = cnPn(α,−1/2)(2x2− 1), (2.40)

onde cn´e uma constante.

Fazendo x = 1 em (2.40) e usando (2.32), obtemos cn = Γ(2n + α + 1)Γ(n + 1)

Γ(n + α + 1)Γ(2n + 1). De (2.33), chegamos ao resultado

P_2n(α,α)(x) = cnPn(α,−1/2)(2x2− 1) = (−1)ncnPn(−1/2,α)(1 − 2x2).

Analogamente, podemos encontrar a segunda igualdade de (2.39).

Fun¸c˜oes Hipergeom´etricas

Fazendo x = 1 − 2x0 _{em (2.35) temos:} x0(1 − x0) d 2_y dx02 + [α + 1 − (α + β + 2)x 0_] dy dx0 + n(n + α + β + 1)y = 0,

que é a equa¸cão hipergeométrica de Gauss e que tem como solu¸cão a fun¸cão hiper-geométrica 2F1(−n, n + α + β + 1; α + 1; x0) = 2F1 µ −n, n + α + β + 1; α + 1;1 − x 2 ¶ .

(37)

Logo, pelo Teorema 2.14, se n ≥ 1, temos 2F1 µ −n, n + α + β + 1; α + 1;1 − x 2 ¶ = cteP(α,β) n (x). Como, de (1.7), 2F1 µ −n, n + α + β + 1; α + 1;1 − x 2 ¶ = 1 para x = 1, obtemos a importante representa¸c˜ao: P(α,β) n (x) =    n + α n    2F1 µ −n, n + α + β + 1; α + 1;1 − x 2 ¶ (2.41) = 1 n! n X v=0    n v   (n + α + β + 1)...(n + α + β + v) × (α + v + 1)...(α + n) µ_{x − 1} 2 ¶v . Desde que P(α,β)

n (x) ´e um polinˆomio em α e β, por (2.41) e como o mesmo acontece

com o lado direito de (2.30) quando divididos por (1 − x)α_{(1 + x)}β_{, segue que (2.30) ´e}

v´alida para α e β arbitr´arios.

Usando (2.41), notamos que o coeficiente an,n do termo de maior grau de Pn(α,β)(x)

´e: a(α,β) n,n = _x→∞lim x−nPn(α,β)(x) = 2−n    2n + α + β n    (2.42) = Γ(α + β + 2n + 1) 2n_{n!Γ(α + β + n + 1)}.

Outra aplica¸cão de (2.41) é a fórmula d dx n P(α,β) n (x) o = 1 2(n + α + β + 1)P (α+1,β+1) n−1 (x) (2.43)

que segue imediatamente da expans˜ao de ambos os membros de (1.9) de acordo com (2.41).

Calculando a n-´esima derivada em (2.30) pela Regra de Leibniz, obtemos a repre-senta¸c˜ao: P(α,β) n (x) = n X v=0    n + α n − v       n + β v    µ_{x − 1} 2 ¶_vµ_{x + 1} 2 ¶_n−v

(38)

=    n + α n    µ x + 1 2 ¶_{n n}_X v=0 n(n − 1)...(n − v + 1) (α + 1)(α + 2)...(α + v)    n + β v    (2.44) × µ x − 1 x + 1 ¶_v =    n + α n    µ x + 1 2 ¶_n F µ −n, −n − β; α + 1;x − 1 x + 1 ¶ . Obtemos, tamb´em, a f´ormula:

D P(α,β) n (x), Pn(α,β)(x) E = Z ₁ −1(1 − x) α_{(1 + x)}βn_P(α,β) n (x) o₂ dx = h(α,β) n , (2.45) onde h(α,β)_n = 2 α+β+1 2n + α + β + 1 Γ(n + α + 1)Γ(n + β + 1) Γ(n + 1)Γ(n + α + β + 1).

A fórmula de recorrência, válida para quaisquer três polinômios ortogonais de Ja-cobi consecutivos, é dada por:

2n(n + α + β) (2n + α + β − 2)P(α,β) n (x) = (2n + α + β − 1) × n(2n + α + β)(2n + α + β − 2)x + α2_{− β}2o_P(α,β) n−1 (x) − 2(n + α − 1)(n + β − 1)(2n + α + β)P_n−2(α,β)(x), n = 2, 3, 4, ..., com P₀(α,β)(x) = 1 e P₁(α,β)(x) = 1 2(+α + β + 2)x + 1 2(α − β).

O coeficiente de xP_n−1(α,β)(x) ´e obtido de (2.42) e calculamos os coeficientes de P_n−1(α,β)(x) e P_n−2(α,β)(x) substituindo os valores x = +1 e x = −1 na rela¸c˜ao (2.9).

Observa¸c˜ao: Quando α = β = 0, temos os Polinˆomios de Legendre, que são ortogonais em [−1, 1] relativamente à fun¸cão peso w(x) = 1.

2.3.2 Polinˆ

omios ultrasf´

ericos

Fazendo α = β = λ − 1/2 6= 0 nos polinômios de Jacobi, obtemos os Polinˆomios ultrasf´ericos ou de Gegenbauer, que são ortogonais no intervalo (−1, 1), com rela¸cão à fun¸cão peso w(x) = (1 − x2₎λ−1/2_.

A nota¸cão usual para os polinômios ultrasféricos é P(λ)

n (x), onde

P_n(λ)(x) = Γ(α + 1)Γ(n + 2α + 1) Γ(2α + 1)Γ(n + α + 1)P

(α,α)

(39)

(2.46) = Γ(λ + 1/2)Γ(n + 2λ)

Γ(2λ)Γ(n + λ + 1/2)P

(λ−1/2,λ−1/2)

n (x), α = λ − 1/2.

Vamos supor primeiro que α > −1 ou, λ > −1/2. Se α = −1/2 ou λ = 0, de (1.5), o polinˆomio P(α,β)

n (x) ´e identicamente nulo para

n ≥ 1. Com α = β = λ − 1/2, obtemos: P(λ) n (1) =    n + 2λ − 1 n    e P_n(λ)(−x) = (−1)nP_n(λ)(x). Substituindo α = λ −1

2 em (2.41) obtemos a importante representa¸cão: P_n(λ)(x) =    n + 2λ − 1 n    2F1 µ −n, n + 2λ; λ + 1 2; 1 − x 2 ¶ = 2n    n + λ − 1 n   (x − 1)n 2F1 µ −n, −n − λ +1 2; −2n − 2λ + 1; 2 1 − x ¶ . As últimas fórmulas definem P(λ)

n (x) para todos os valores de λ. Se necess´ario, para

alguns valores especiais de λ, como λ = λ0, as f´ormulas podem ser interpretadas como

limites para λ → λ0. Para λ = −m, m = 0, 1, 2, ..., temos Pn(λ)(x) = 0 se n > 2m.

Neste caso, lim λ→ (−m) P(λ) n (x) λ + m = Ã d dλP (λ) n (x) ! λ→ (−m) = 2(2m)!(n − 2m − 1)! n! 2F1 µ −n, n − 2m; −m + 1 2; 1 − x 2 ¶ existe.

Outra f´ormula envolvendo P(λ)

n (x), conseqüência imediata de (2.43), é a seguinte:

d dx

n

P_n(λ)(x)o= 2λP_n−1(λ+1)(x). (2.47) Finalmente obtemos algumas fórmulas especiais envolvendo as fun¸cões hipergeométricas. Combinando (2.39) e (2.41) temos: P_2v(λ)(x) =    2v + 2λ − 1 2v    2F1 µ −v, v + λ; λ +1 2; 1 − x 2 ¶

(40)

= (−1)v    v + λ − 1 v    2F1 µ −v, v + λ;1 2; x 2 ¶ ; (2.48) P_2v+1(λ) (x) =    2v + 2λ 2v + 1   x 2F1 µ −v, v + λ + 1; λ + 1 2; 1 − x 2 ¶ = (−1)v2λ    v + λ v   x2F1 µ −v, v + λ + 1;3 2; x 2 ¶ .

Os fatores constantes podem ser determinados substituindo-se x = 1 e comparando-se as maiores potˆencias.

Os Polinômios ultrasféricos satisfazem à seguinte equa¸cão diferencial de segunda ordem:

(1 − x2_)y00_{− (2λ + 1)xy}0_{+ n(n + 2λ)y = 0.} _(2.49)

No decorrer do trabalho necessitaremos tamb´em das seguintes integrais definidas. Sejam Iv = Iv(n, λ) definidas por:

Iν = Iν(n, λ) = Z ₁ −1(1 − x 2₎λ−ν−1 2 h P(λ) n (x) i₂ dx, λ > ν −1 2, ν = 0, 1, 2. (2.50) Particularmente, I0 ´e bem conhecida pois ´e

D P(λ) n , Pn(λ) E , isto é, I0(n, λ) = 21−2λ_{Γ(n + 2λ)} n!(n + λ)[Γ(λ)]2π, λ > − 1 2, n = 0, 1, . . . . (2.51) A fórmula para I1 é menos familiar:

I1(n, λ) = 21−2λ_{Γ(n + 2λ)} n!(λ − 1 2)[Γ(λ)]2 π, λ > 1 2, n = 0, 1, . . . . (2.52) De fato, para v = 1, 2 e λ > v − 1 2, temos, por (2.50), (2λ − 2v + 1)(Iv− Iv − 1) = (2λ − 2v + 1) Z ₁ −1(1 − x 2₎λ−ν−1₂_x2h_P(λ) n (x) i₂ dx = − Z ₁ −1 h (1 − x2₎λ−v+1 2 i₀ xhP(λ) n (x) i₂ dx = · −(1 − x2)λ−v+12 h P_n(λ)(x)i2 ¸₁ −1 (2.53) + Z ₁ −1(1 − x 2₎λ−v+1₂ ·h_P(λ) n (x) i₂ + 2xP(λ) n (x) h P(λ) n (x) i₀¸ dx = Iv−1+ 2 Z ₁ −1(1 − x 2₎λ−v+1 2x h P(λ) n (x) i₀ P(λ) n (x)dx.

(41)

Para v = 1, a ´ultima integral pode ser facilmente determinada. Como xhP(λ) n (x) i₀ = nP(λ) n (x) + n−2_X i=0

cn,ixi, onde cn,i s˜ao constantes, temos, pela rela¸c˜ao de ortogonalidade,

que esta ´ultima integral ´e dada por

Z ₁ −1(1 − x 2₎λ−1 2x h P_n(λ)(x)i0P_n(λ)(x)dx = Z ₁ −1(1 − x 2₎λ−1₂ Ã nP(λ) n (x) + n−2_X i=0 cn,ixi ! P(λ) n (x)dx = n Z ₁ −1(1 − x 2₎λ−1 2 h P(λ) n (x) i₂ dx = nI0.

Assim, por (2.53), temos

(2λ − 1)I1 = 2(n + λ)I0, para λ >

1

2. (2.54)

Logo, por (2.51) e pela equa¸c˜ao acima, obtemos (2.52).

Finalmente, o caso ν = 2 ainda n˜ao aparece nos livros sobre integrais definidas. Por (2.49), temos, para y = P(λ)

n (x), (1 − x2₎h_P(λ) n (x) i₀₀ − (2λ + 1)xhP(λ) n (x) i₀ + n(n + 2λ)P(λ) n (x) = 0.

Multiplicando esta identidade por (1 − x2₎λ−3 2P(λ) n (x) e integrando no intervalo [−1, 1], obtemos (2λ + 1)R₋₁1 (1 − x2₎λ−3 2x h P(λ) n (x) i₀ P(λ) n (x)dx = − Z ₁ −1(1 − x 2₎λ−1₂_xh_P(λ) n (x) i P(λ) n (x)dx + n(n + 2λ)I1,

onde a integral do lado direito ´e nula devido `a ortogonalidade. Assim, de (2.53), 2 µ λ − 3 2 ¶ µ λ +1 2 ¶ I2 = h (n + λ)2+ λ2− λ − 1iI1. (2.55) Logo, de (2.52), obtemos I2(n, λ) = π2 −2λ_{Γ(n + 2λ)} n! [Γ(λ)]2 (n + λ)2_{+ λ}2_{− λ − 1} (λ + 1 2)(λ −12)(λ −32) , λ > 3 2, n = 0, 1, . . . . (2.56)

(42)

2.3.3 Polinˆ

omios de Tchebychev de 1

a

esp´

ecie - T

n

(x)

São ortogonais no intervalo [−1, 1], com rela¸cão à fun¸cão peso w(x) = √ 1 1 − x2 e

definidos por:

Tn(x) = cos(n arccos x), x ∈ [−1, 1], n = 0, 1, 2, ... .

Claramente, temos que Tn(x) = 0 para n arccos x = (2k − 1)

π

2, k = 1, ..., n. Assim, os zeros de Tn(x) s˜ao determinados por tn,k = cos

(2k − 1)π

2n , k = 1, ..., n. O coeficiente do termo de maior grau ´e dado por an,n = 2n−1e satisfazem `a seguinte

rela¸c˜ao de ortogonalidade: hTn, Tmi =              0 , se n 6= m; π , se n = m = 0; π 2 , se m = n 6= 0.

Observe que Tn(x) = cnPn(−1/2,−1/2)(x), onde cn ´e uma constante que depende

apenas de n.

Usando (2.43), notamos que T0

n(x) = ctePn(1/2,1/2)(x), Tn00(x) = ctePn(3/2,3/2)(x) e,

assim, sucessivamente.

De (2.32), ap´os c´alculos simples, obtemos P(−1/2,−1/2) n (x) = 1.3. ... (2n − 1) 2.4. ... 2n Tn(x) = 1.3. ... (2n − 1) 2.4. ... 2n cos nθ, (2.57) onde x = cos θ.

2.3.4 Polinˆ

omios de Tchebychev de 2

a

esp´

ecie - U

n

(x)

Os polinômios de Tchebychev de 2a espécie são definidos por: Un(x) =

sen [(n + 1)arccos x] √

(43)

São ortogonais no intervalo [−1, 1] com rela¸cão à fun¸cão peso w(x) = √1 − x2 _e

satisfazem `a seguinte rela¸c˜ao de ortogonalidade: hUn, Umi =      0 , se n 6= m; π 2 , se m = n.

O coeficiente do termo de maior grau ´e dado por an,n= 2ne Un(x) = dnPn(1/2,1/2)(x),

onde dn = dn(n) ´e constante.

De (2.32), obtemos P(1/2,1/2) n (x) = 2 1.3. ... (2n + 1) 2.4. ... (2n + 2)Un(x) = 2 1.3. ... (2n + 1) 2.4. ... (2n + 2) sen [(n + 1)θ] senθ , (2.58) onde x = cosθ.

De (2.57) e (2.58) podemos demonstrar que são válidas as seguintes representa¸cões para os polinômios de Jacobi, respectivamente para α = −1/2 e β = 1/2 e α = 1/2 e β = −1/2: P(−1/2,1/2) n (x) = 1.3...(2n − 1) 2.4...2n cos {(2n + 1)θ/2} cos(θ/2) (2.59) e P_n(1/2,−1/2)(x) = 1.3...(2n − 1) 2.4...2n sen [(2n + 1)θ/2] sen(θ/2) , (2.60) onde x = cosθ.

2.3.5 Polinˆ

omios de Laguerre - L

(α)_n

(x)

Os polinônios de Laguerre são ortogonais no intervalo [0, ∞), com rela¸cão à fun¸cão peso w(x) = xα_e−x_{, α > −1, e podem ser definidos, pela Fórmula de Rodrigues, por}

L(α) n (x) = (−1)nx−αex dn dxn h xα+n_e−xi_.

an,n = 1 é o coeficiente do termo de maior grau e satisfazem à equa¸cão diferencial

dada por

(44)

Conservam a seguinte rela¸c˜ao de ortogonalidade: D L(α) n , L(α)m E =      0 , se n 6= m; n!Γ(α + n + 1) , se n = m. Fazendo o limite lim

β→∞ 2F1(α, β; γ; β

−1_{x), obtemos a s´erie hipergeom´etrica}

1F1(α; γ; x) = 1 + ∞ X v=1 α(α + 1)...(α + v − 1) γ(γ + 1)...(γ + v − 1) xv v!. Pode-se, ent˜ao, demonstrar que ( ver Szeg¨o [29], p. 103 ) L(α)

n (x) ´e dado em termos

das fun¸c˜oes hipergeom´etricas, por L(α) n (x) =    n + α n    1F1(−n; α + 1; x).

Da´ı, obtemos a importante rela¸c˜ao entre os polinˆomios de Jacobi e de Laguerre L(α)

n (x) = lim_β→∞Pn(α,β)(1 − 2β−1x).

Como conseq¨uˆencia, se l_n,1(α)< ... < l(α)

n,n denotam os zeros de L(α)n (x), temos:

l(α)_n,n−j+1 = lim β→∞ β 2(1 − x (α,β) n,j ), j = 1, ..., n.

Portanto, obtemos os seguintes resultados para o menor e maior zeros do polinˆomio de Laguerre: l_n,1(α)= lim β→∞ β 2(1 − x (α,β) n,n ) (2.61) e l(α)_n,n= lim β→∞ β 2(1 − x (α,β) n,1 ). (2.62)

2.3.6 Polinˆ

omios de Hermite - H

n

(x)

São ortogonais no intervalo (−∞, ∞), com rela¸cão à fun¸cão peso w(x) = e−x2

. Pela F´ormula de Rodrigues, podem ser definidos por

Hn(x) = (−1)ne−x

2 dn

dxn

h

(45)

e satisfazem `a seguinte equa¸c˜ao diferencial:

y00_{− 2xy}0_{+ 2ny = 0.}

O coeficiente do termo de maior grau ´e dado por an,n = 2n e satisfazem

hHn, Hmi =      0 , se n 6= m; 2n_n!√_{π , se n = m.}

Um resultado muito interessante sobre o maior zero de Hn(x), demonstrado por

Elbert e Laforgia em [8], ´e o seguinte:

Teorema 2.16 Seja x(λ)_n,1 o maior zero do polinˆomio ultrasf´erico P(λ)

n (x). Ent˜ao,

lim

n→∞

√

λx(λ)_n,1= hn,1,

onde hn,1 ´e o maior zero do polinˆomio de Hermite Hn(x).

Também encontramos em Elbert & Laforgia [8], o seguinte resultado para os zeros dos polinômios ultrasféricos:

√ λx(λ)_n,k = hn,k " 1 − 2n − 1 + 2h 2 n,k 8λ + O µ ₁ λ2 ¶# (λ → ∞), (2.63)

onde hn,k denota o zero correspondente do polinˆomio de Hermite Hn(x).

2.3.7 Fun¸c˜

oes de Bessel

A fun¸cão de Bessel de primeira espécie de ordem n pode ser definida como Jα(z) = ∞ X v=0 (−1)v_(z/2)α+2v v! Γ(v + α + 1) e satisfaz à equa¸cão diferencial

(46)

Aplicando (1.3) à equa¸cão acima, temos d2_u dx2 + Ã k2₊ 14 − α2 x2 ! u = 0, de solu¸cão u(x) = x1/2_J α(kx) (2.65) e d2_u dx2 + Ã k x+ 1 − α2 4x2 ! u = 0, de solu¸cão u(x) = x1/2_J α n 2(kx)1/2o_.

Fazendo M = 0 em (1.4) e aplicando em (2.65) obtemos as importantes f´ormulas: J0 α(x)J−α(x) − J−α0 (x)Jα(x) = 2senαπ πx e J_α0(x) − Yα(x) − Yα0(x)Jα(x) = − 2 πx, α = 01, 2, ... .

Vamos denotar os zeros de Jα(x) por jv(α), v = 1, 2, ... e para α = 0, apenas

(47)

Cap´ıtulo 3

Comportamento dos zeros dos

Polinˆ

omios Ortogonais

Neste cap´ıtulo, nosso objetivo é fazer um estudo sobre outras propriedades refe-rentes à localiza¸cão dos zeros dos polinômios ortogonais, tais como sua densidade no intervalo [a, b] e a distância entre zeros consecutivos. Além disso, se w(x) = w(x, τ ), onde τ é um parâmetro, alguns resultados sobre a dependência dos zeros de Pn(x, τ )

com rela¸cão a esse parâmetro τ serão também apresentados. Em particular, discu-tiremos a localiza¸cão e desigualdades para os zeros de alguns polinômios ortogonais clássicos. Os principais resultados são os Teoremas de Markov e Sturm.

3.1 Densidade dos zeros

Teorema 3.1 Sejam dα(x) uma distribui¸c˜ao no intervalo finito [a, b] e {Pn(x)}∞n=0 a

seqüência dos polinômios ortogonais associada. Seja [a0, b0] um subintervalo de [a, b] tal que

Z _b0

a0 dα(x) > 0. Ent˜ao, para n suficientemente grande, todo polinˆomio Pn(x) tem