Carlos José Braga Barros e Josiney Alves de Souza Departamento de Matemática, Universidade Estadual de Maringá

Minicurso sobre transitividade e

transitividade por cadeias para ações de

semigrupos em espaços topológicos

Apresentado na Escola e Workshop de Teoria de Lie,

Unicamp, 2010

Carlos José Braga Barros e Josiney Alves de Souza

Departamento de Matemática, Universidade Estadual de Maringá

cjbbarros@uem.br

jasouza@uem.br

Prefácio

O objetivo deste minicurso é apresentar a noção de comportamento assintótico para ações de semigrupos em espaços topológicos. Mostramos como é feita a extensão dos conceitos de conjuntos !-limite e -limite por cadeias, que são originais da teoria de sistemas dinâmicos.

Para a teoria de ações de semigrupos em geral, comportamento assintótico é um assunto bastante recente, o qual foi proposto pelo professor Luiz San Martin do IMECC-Unicamp e estudado nos trabalhos [1],[2],[3],[7]. A idéi possibilita estudar dinâmicas de semigrupos em uma gama de direções, contribuindo com aplicações relevantes em sistemas de equações diferenciais, em sistemas de controle, e em ações de grupos de Lie, que são de interesse especial.

Utilizamos as três aulas para de…nir os conceitos de transitividade e transitividade por cadeias e apresentar alguns exemplos ilustrativos. Um estudo mais completo encontra-se nos artigos [1],[2], o que inclui outros conceitos relacionados com comportamento assintótico, tais como atrator e decomposição de Morse.

Esperamos que este minicurso ofereça uma idéia intuitiva sobre o assunto e até mesmo motive o ingresso de alunos neste nova linha de pesquisa.

Aula 1

Nesta primeira aula de…nimos conjuntos limites para ações de semigrupos e apresentamos o conceito de recorrência. Antes, estabelecemos algumas de…nições básicas de ações de semigrupos sobre espaços topológicos.

0.1

Preliminares

Uma ação de um semigrupo S sobre um espaço topológico X é de…nido por uma aplicação

: S M _! M

(s; x) _7! (s; x) = sx

que satisfaz s (tx) = (st) x, para todos s; t 2 S e x 2 X. A ação será indicada pela tripla (S; X; ) _{ou simplismente por (S; X). Para cada s 2 S, denotamos por s} : X _{! X a} aplicação s( ) = (s; ). Então, s t= st para todos s; t 2 S.

Dados subconjuntos A S e Y X de…nimos os conjuntos AY = [ s2A s(Y ) e A Y = [ s2A 1 s (Y ) :

Um subconjunto Y Xé dito progressivamente invariante se S Y, regressivamente invariante se S Y Y, e invariante se for progressiva e regressivamente invariante.

0.2

Recorrência

Seja (S; X; ) uma ação de semigrupo onde cada aplicação s: X ! X é contínua.

De…nição 0.1. _{Sejam F uma família de subconjuntos não vazios de S e Y} X. O conjunto !-limite de Y com respeito a F é dado por

! (Y;_{F) =} \

A2F

O conjunto ! -limite de Y com respeito a F é dado por ! (Y;_{F) =} \

A2F

A Y : Exemplo 0.1. Um semi‡uxo contínuo _{: R}+ _X

! X sobre um espaço topológico X satisfaz (i) 0 = IdX e (ii) (s + t; x) = (s; (t; x)) para todo s; t 2 R+ e x 2 X.

Logo, um semi‡uxo é uma ação do semigrupo (R+; +) sobre X. Para cada t _{2 R}+, de…na o subconjunto At R+ pondo At = fs 2 R+ : s tg. Considere a família F =

fAt: t2 R+g de subconjuntos de R+. Então ! (Y;_{F) =} \ At2F AtY = \ t 0 [ s t s(Y ) e ! (Y;F) = \ Att2F A_tY =\ t 0 [ s t 1 s (Y )

coincidem com os conjuntos ! e ! -limites usuais da teoria de semi‡uxos.

Substituindo R+ por Z+ temos a ação do semigrupo discreto (Z+; +) sobre X, con-hecida como semi‡uxo discreto. Sugerimos o artigo [6] para um estudo completo sobre semi‡uxos em espaços topológicos.

Exemplo 0.2. Seja S _Rn _{um cone munido com a operação de soma de vetores.}

Considere uma ação : S X _{! X de S sobre um espaço topológico X. Tome a família} F das translações de S dada por F = fS + u : u 2 Sg. De…na a seguinte relação de ordem em S: v > u , v 2 S + u ou v = u: Temos que ! (Y;_{F) =} \ S+ut2F (S + u) Y = \ u2S [ v>u v(Y ) e ! (Y;_{F) =} \ S+u2F (S + u) Y = \ u2S [ v>u 1 v (Y ):

De…nição 0.2. _{Seja F uma família de subconjuntos não vazios de S. Um ponto x 2 X} é dito F-recorrente se x 2 ! (x; F). Um subconjunto Y X _{é F-transitivo se} Y ! (y;_{F) para todo y 2 Y . Denotando por RF} o conjunto de todos os pontos F-recorrentes, o fecho é chamado de centro de Birkho¤ com respeito a F.

Exemplo 0.3. Seja S = GL (n; R)+ = _{fg 2 M}n(R) : det g > 0g e considere a ação

natural de S sobre Rn

: (g; v) 7! gv. Para cada t > 0, de…na At =fg 2 S : det g tg e

tome a família F = fAt: t > 0g de subconjuntos de S. Para U Rn temos

! (U;_{F) =}\ t>0 [ det g t gU e ! (U;_{F) =} \ t>0 [ det g 1_t gU:

Observe que a origem 0 de Rn é um ponto …xo para a ação de S. Logo, ! (0; F) = ! (0;_{F) = f0g, e 0 é um ponto F-recorrente. Agora, para quaisquer u; v 2 R}n _{r f0g} e t > 0, é possível encontrar uma matriz g 2 At tal que gu = v (veri…que isso). Logo,

v _{2 ! (u; F) e, portanto, R}n

r f0g ! (u;_{F) para todo u 2 R}n

r f0g. Assim, Rn

r f0g é um conjunto F-transitivo.

Exemplo 0.4. Seja S = e s cos t sent

sent cos t : s; t > 0 agindo naturalmente sobre o disco unitário X = fx 2 R2 _:

kxk 1_{g. Observe que a componente escalar e} s_comprime

e a componente matricial cos t sent

sent cos t faz girar os elementos de X. Considere a família F dos subconjuntos An = e s

cos t sent

sent cos t : s + t n , n 2 N. Note que ! (x; F) = fy 2 X : kyk kxkg é o disco de raio kxk. Assim, cada círculo de raio 0 r 1 é um conjunto _{F-transitivo.}

Aula 2

Esta segunda aula é dedicada ao conceito de recorrência por cadeias para ações de semi-grupos na forma mais abstrata conhecida até o momento. Este tipo de recorrência generaliza a recorrência simples ou ordinária, que foi apresentada na aula anterior, e depende tanto de uma família de subconjuntos do semigrupo quanto de uma família de coberturas do espaço topológico.

0.3

Recorrência por cadeias

Seja (S; X; ) uma ação de semigrupo. Dadas duas coberturas abertas U e V de X, escrevemos V 6 U se V é um re…namento de U. Também escrevemos V 6 12U se para

todo V; V0 _{2 V com V \ V}0 _{6= ;, existe U 2 U com V [ V}0 U. Se N X é aberto e K N _{é compacto, dizemos que uma cobertura aberta U de X é K-subordinada a N} se U 2 U e U \ K 6= ? implicar U N.

De…nição 0.3. _{Seja O uma família de coberturas abertas de X. Dizemos que O é} admissível se

1. para cada U 2 O, existe V 2 O tal que V 6 12U;

2. N X é um conjunto aberto e K N _{é compacto, existe U 2 O o qual é} K-subordinado a N ;

3. dadas U; V 2 O, existe W 2 O que re…na ambas as coberturas U e V.

Exemplo 0.5. _{Se X é paracompacto, então a família O (X) de todas as coberturas} abertas de X é admissível. Ver em qualquer bom tratado de topologia geral. Assim, O (X) é a família admissível mais …na de X.

De…nição 0.4. _{Sejam U uma cobertura aberta de X, x; y 2 X e A} S_{. Uma (U;} A)-cadeia de x para y consiste de uma sequência de pontos x0 = x; x1; :::; xn = y 2 X, de

elementos s0; :::; sn 1 2 A, e de abertos U0; :::; Un 1 2 U tais que sixi; xi+1 2 Ui, para

A grosso modo, uma (U; A)-cadeia de x para y consiste em "atingir"o ponto y a partir de x com ações de elementos de A e com saltos em abertos da cobertura U.

De…nição 0.5. _{Sejam O uma família de coberturas abertas de X e F uma família de} subconjuntos de S. Para Y X, o conjunto -limite por cadeias com respeito a F e O é de…nido por

(Y;_{F; O) =} \

U2O;A2F

(Y;_{U; A)}

onde (Y;_{U; A) = fx 2 X : existem y 2 Y e uma (U; A) -cadeia de y para xg. O} con-junto -limite por cadeias com respeito a F e O é de…nido por

(Y;_{F; O) =} \

U2O;A2F

(Y;_{U; A)}

onde (Y;_{U; A) = fx 2 X : existem y 2 Y e uma (U; A) -cadeia de x para yg.}

Um ponto x 2 X é dito F-recorrente por cadeias se x 2 (x;_{F; O). Um conjunto} Y X _{é dito F-transitivo por cadeias se Y} (y;_{F; O) para todo y 2 Y .} Denota-se por R_{F;O o conjunto de todos os pontos F-recorrentes por cadeias com respeito a} O.

Observação 0.1. _{Os conjuntos F-transitivos por cadeias maximais formam uma} par-tição de R_F;O e são da forma

M = (x;_{F; O) \} (x;_{F; O)} (x_{2 RF;O}) :

Exemplo 0.6. Seja _{: R} X _{! X um ‡uxo sobre um espaço compacto X: 0} = IdX,

cada _té um homeomor…smo de X, e _t+s = _{t s 8t; s 2 R. Seja O}f a família de todas

as coberturas abertas e …nitas de X. Dados x; y 2 X, t > 0 e U 2 O, uma (U; t)-cadeia de x para y consiste de pontos x0 = x; :::; xn = y 2 X, de tempos t0; :::; tn 1 t e de

abertos U0; :::; Un 1 2 U tais que (ti; xi) ; xi+1 2 Ui, i = 0; :::; n 1 (ver Conley [5, pg

36]). Se para cada t > 0 de…nirmos At =fs 2 R : s tg e considerarmos a família F =

fAt: t > 0g, então (U; t)-cadeias coinsidem com (U; At)-cadeias. Portanto, o conhecido

conceito de transitividade por cadeias para o ‡uxo coinside com a F-transitividade por cadeias com respeito a Of.

PS.: A família Of é admissível (tente provar isso).

Exemplo 0.7. Sejam M uma variedade diferenciável de dimensão …nita, com métrica d, e _Od a família das coberturas U", " > 0, onde U" é constituído pelas bolas de raio

". Seja V uma família de campos de vetores completos sobre M , e denote por etX _o

difeomor…smo de M tal que _dtdetX(x) = X etX(x) . O sistema de controle sobre M determinado por V consiste da ação do semigrupo de difeomor…smos

S = et1X1 _etnXn _{: t}

Convencionamos denotar um elemento et1X1 _etnXn

2 S por 't, onde t =

Pn i=1ti.

Dados "; t > 0 e x; y 2 M , uma ("; t)-cadeia de x para y consiste de pontos x0 =

x; :::; xm = y 2 M e de tempos t0; :::; tn 1 t tais que

d 'i_t

i(xi) ; xi+1 < "

i = 0; :::; m 1 (sugerimos o livro de Colonius–Kliemann [4] para um estudo com-pleto sobre sistemas de controle). Se para cada t > 0 de…nirmos o conjunto At =

et1X1 _etnXn _:Pn

i=1ti t; Xi 2 V; n 2 N e considerarmos a família F = fAt : t > 0g

de subconjuntos de S, temos que ("; t)-cadeias coinsidem com U"=2; At -cadeias. Logo, o

conhecido conceito de transitividade por cadeias para o sistema de controle é reproduzido pela F-transitividade por cadeias com respeito a Od.

PS.: A família Od é admissível (desa…amos o leitor a provar isso).

Sugerimos os papers [1],[2],[3] para mais exemplos de assintoticidade estabelecida por uma família de subconjuntos de um semigrupo.

Aula 3

Nesta aula …nal apresentamos as relações entre transitividade e transitividade por cadeias. Podemos ver diretamente que todo conjunto transitivo é transitivo por cadeias. Por outro lado, damos um exemplo de conjunto transitivo por cadeias que não é transitivo. No caso de ações de semigrupos sobre espaços compactos, enunciamos o teorema que descreve os conjuntos -limite por cadeias como intersecção de conjuntos !-limites.

Seja (S; X; ) uma ação de semigrupo onde cada s é contínua. Considere …xadas

uma família F de subconjuntos de S e uma família O de coberturas abertas de X. Dado Y X, temos que

! (Y;_F) (Y;_{F; O) :}

Com efeito, se x 2 ! (Y; F), U 2 O e A 2 F, escolha um aberto U 2 U tal que x 2 U. Então U \ AY 6= ?, de onde segue que existem s 2 A e y 2 Y tais que sy; x 2 U, formando uma (U; A)-cadeia de x para y com apenas um salto.

Isto signi…ca que todo ponto x F-recorrente é F-recorrente por cadeias, pois x 2 ! (x;_F) (x;_{F; O). Por outro lado, um ponto F-recorrente por cadeias geralmente} não é F-recorrente, como podemos ver no exemplo abaixo.

De…nição 0.6. _{Uma família Fde subconjuntos de S satisfaz a hipótese de translação} à direita se, para cada A 2 F e s 2 S, existir B 2 F com B As.

Observe que as famílias consideradas em todos os exemplos das aulas anteriores sat-isfazem a hipótese de translação à direita, exceto aquela do Exemplo 0.4 da Aula 1 (convido você a veri…car).

Assuma a partir de agora que F satisfaz a hipótese de translação à direita. Dado Y X, temos que

! (Y;_F) (Y;_{F; O) :}

De fato, se x 2 ! (Y; F), U 2 O e A 2 F, escolha s0 2 A e tome B 2 F tal que

B As0. Escolha também U0 2 U tal que s0x2 U0. Pela continuidade de s0,

1 s0 (U0)

é um aberto que contém x. Logo, 1

s0 (U0)\ B Y 6= ?. Tomando u 2

1

existe b 2 B tal que bu 2 Y . Visto que B As, temos que b = s1s0, com s1 2 A.

Escolha U1 2 U tal que bu 2 U1. Finalmente, denote x0 = x; x1 = s0x; x2 = bu. Temos

que

s0x0; x1 2 U0 e s1x1 = bu2 U1

formando uma (U; A)-cadeia de x para bu 2 Y . Logo, x 2 (Y;_{F; O).}

Dizemos que a ação é aberta se sé uma aplicação aberta para todo s 2 S. Assumindo

que a ação é aberta, podemos mostrar que ! (Y; F) (Y;_{F; O), mesmo que F não} satisfaça a hipótese de translação à direita. O leitor …ca motivado a demonstrar este fato.

Proposição 0.7. _{Se x 2 X e ! (x; F) 6= ?, então ! (x; F) é F-transitivo por cadeias} com respeito a O.

Demonstração: _{Sejam y; z 2 ! (x; F), U 2 O e A 2 F. Escolha s}0 2 A. Como

y _{2 Ax, segue por continuidade que s}0y2 s0Ax. Tome U0 2 U tal que s0y2 U0. Então

U0 \ s0Ax 6= ?. Logo, existe s 2 S tal que sx 2 U0. Agora, escolha U1 2 U tal que

z _{2 U}1. Existe B 2 F com B As. Como z 2 Bx Asx, existe s1 2 A tal que

s1sx2 U1. Denotando x0 = y; x1 = sx; x2 = z, temos

s0x0; x1 2 U0 e s1x1; x2 2 U1

formando uma (U; A)-cadeia de y para z.

Este resultado diz que todo conjunto ! (x; F) 6= ? está contido em algum conjunto F-transitivo por cadeias maximal, mesmo que x não seja F-recorrente por cadeias. Em particular, todo conjunto F-transitivo é F-transitivo por cadeias. A recíproca não é verdadeira.

Exemplo 0.8. _{Seja S = R}+ o grupo multiplicativo dos números reais positivos. Con-sidere a seguinte ação de S (sobre si próprio) : S (0; +_{1) ! (0; +1), (s; x) = sx,} onde sx é o produto de s por x. Seja X = (0; +1) [ f1g a compacti…cação de Alexan-dro¤, ou seja, o espaço topológico compacto que tem como conjuntos abertos: (i) V , onde V _{é um aberto em (0; +1), e (ii) X n K, onde K é um compacto em (0; +1). A ação} de S se estende para X pondo (s;_{1) = 1, e} (s; x) = sx para todo s _{2 S e x 2 X.} Considere a família F de subconjuntos de S dada por F = f(a; +1) : a > 0g. Não é difícel ver que F satisfaz a hipótese de translação à direita. Como 1 é um ponto …xo, temos que ! (1; F) = ! (1; F) = f1g. Para x 2 (0; +1), temos

! (x;_{F) =} \ a>0 (a; +_{1) x}X = \ a>0 (ax; +₁₎X = \ a>0 ([ax; +_{1) [ f1g) = f1g ;} ! (x;_{F) =} \ a>0 (a; +_{1) x}X = \ a>0 0;1 a x X = \ a>0 0;x a i [ f1g = f1g :

Logo, o único ponto F-recorrente é 1. Agora, seja O a família de todas as coberturas abertas de X. Vejamos que X é F-transitivo por cadeias com respeito a O. Primeira-mente, notemos que 1 2 ! (x; F) (x;_{F; O), 8x 2 X. Sejam x; y 2 (0; +1),} (a; +_{1) 2 F e U 2 O. Tome U}0 2 U uma vizinhança de 1. Então existem 0 < b < c <

+_{1 tais que (0; b) [ (c; +1)} U0. Escolha s0; s1 2 (a; +1) su…cientemente grandes

tais que s0x > c e y s1 < b. Temos que s0x; y s1 2 U 0 e s1 y s1 = y;

formando uma (U; (a; +1))-cadeia de x para y. Portanto, X = (x;_{F; O) para todo} x_{2 X.}

0.4

Caso compacto

No caso em que o espaço é compacto Hausdor¤, existe uma relação mais forte entre os conjuntos !-limite e os conjuntos -limite por cadeias. Esta relação é obtida à partir do conceito de atrator.

Seja (S; X; ) uma ação de semigrupo onde X é compacto Hausdor¤ e cada _s é contínua. Seja F uma família de subconjuntos de S que satisfaz a hipótese de translação à direita e é uma base de …ltro, ou seja, ? =2 F, e para quaisquer A; B 2 F, existe C 2 F com C A_{\ B. Seja O uma família admissível de coberturas abertas de X.}

De…nição 0.8. _{Um conjunto A} X _{é um F-atrator se existe uma vizinhança V de} A tal que ! (V; F) = A.

O seguinte teorema requer uma sequência de resultados, e sua demonstração se en-contra em [1, Proposição 4.10]. Ele diz que no caso compacto a transitividade por cadeias não depende da família admissível de coberturas abertas de X.

Teorema 0.9. Seja Y X não vazio. O conjunto (Y;_{F; O) coinside com a} inter-secção de todos os F-atratores contendo ! (Y; F).

Uma consequência direta deste teorema é a seguinte caracterização do conjunto R_F de todos os pontos F-recorrentes por cadeias (que agora depende somente da família F). Veja a demonstração em [1, Teorema 4.1].

Teorema 0.10. _{O conjunto F-recorrente por cadeias RF} coinside com a intersecção \

fA [ A : A é um F-atratorg

Referências Bibliográ…cas

[1] Braga Barros, C. J. e Souza, J. A. (2010) Attractors and chain recurrence for semi-group actions. J. Dyn. Di¤. Equ., vol. 22, n. 4, p. 723-740.

[2] Braga Barros, C. J. e Souza, J. A. (2010) Finest Morse decompositions for semigroup actions on …ber bundles. J. Dyn. Di¤. Equ., vol. 22, n. 4, p. 741-760.

[3] Braga Barros, C. J. e San Martin, Luiz A. B. (1996) Chain control sets for semigroup actions. Comp. Appl. Math., vol. 15, n. 3, p. 257-276.

[4] Colonius, Fritz e Kliemann, Wolfgang. (2000) The Dynamics of Control. Boston: Birkhäuser.

[5] Conley, Charles C. (1978) Isolated invariant sets and the Morse index. CBMS Re-gional Conf. Ser. in Math., n. 38, American Mathematical Society.

[6] Patrão, M.M.A.; San Martin, L.A.B. (2007) Semi‡ows on topological spaces: chain transitivity and semigroups. J. Dyn. Di¤. Equ., v. 19, p. 155-180.

[7] Souza, J. A. (2008) Ações de Semigrupos: Recorrência por Cadeias em Fibrados e Compacti…cações de Ellis. Tese de doutorado. Universidade Estadual de Campinas.