PROVA DE CONTROLE II –PRIMEIRO SEMESTRE DE 2016 (04/05/2016)
1) (PROVA ELETRONORTE 2006 – ENGENHEIRO ELETRÔNICO). Considere o sistema de controle digital representado pela figura 1. O bloco D(z) é implementado por um controlador de lógica programável que, a cada T segundos, executa o ciclo de instruções da interação de número k. O ciclo é especificado pelo pseudo-código a seguir:
A função de transferência D(z) = U(z)/Y(z) é igual a (Justificar!) (2,0):
Solução:
Uma maneira de visualizar o funcionamento do pseudo código é montar uma tabela, considerando entrada sequência degrau:
k y(k) u(k) x(k) x(k+1)
0 1 a 0 -ca+b
1 1 a-ca+b -ca+b -c(a-ca+b)+b 2 1 a- c(a-ca+b)+b -c(a-ca+b)+b ....
3 1 ....
Ou seja, é o mesmo que considerar para o ciclo corrente a seguência: x(k) = -cu(k-1)+by(k-1)
u(k) = x(k)+ay(k)
Ou ainda, por substituição: u(k) = -cu(k-1)+by(k-1)+ay(k) No domínio de z:
zU(z) = -cU(z)+bY(z)+azY(z)
Logo: U(z)/Y(z) = (az+b)/z+c), ou seja, a letra A.
2) O modelo discreto do movimento vertical de um submarino experimental (figura 1) é dado pela função
)
9
.
0
)(
1
(
)
2
.
0
(
25
.
0
)
(
)
(
z
z
z
z
V
z
Y
, onde V(z) é a entrada de tensão para os motores verticais. O Lugar das raízes do sistema original é apresentado na figura 2.
Projete um controlador PD discreto que modifique o comportamento do sistema original, garantindo que o sistema apresente um 2 rad/s <wn< 10 rad/s e 1s e um sobre sinal (mp) menor que 5%.
a) Qual a faixa de estabilidade do sistema original (1,0)? Solução:
A equação característica do sistema original é dado por: 1+KG(z) = 0
0
)
9
.
0
)(
1
(
)
2
.
0
(
25
.
0
1
z
z
z
K
0
05
.
0
9
.
0
9
.
1
25
.
0
05
.
0
25
.
0
9
.
0
9
.
1
2 2
K
z
Kz
z
K
Kz
z
z
Usando o critério de Jury: a0=1; a1 = 0.25K-1.9 a2 = 0.9-0.05K
1ª condição : |a
n|<a
0 |0.9+0.05K |<1 0.9-0.05K<1 => -0.05K<0.1 => K>0 0.9-0.05K>-1 => 0.05K<1.9 => K<38 Ou seja, 0<K<382ª condição: P(z)|
z=1>0
1+0.25K-1.9+0.9-0.05K>0 => K>03ª condição: P(z)|
z=-1>0
1-0.25K+1.9+0.9-0.05K>0 => 3.8-0.3K>0 => K<12.7Ou seja, 0<K<12.7
A solução final é a intersecção das 3 condições:
0<K<12.7
Outra maneira é verificar que um único ramo corta a circunferência unitária no ponto -1. Substituindo-se z =-1 na equação característica econtra-se K =12.7.
b) Determine a área de projeto do sistema (1,0). Solução:
Sobre-sinal de 5% => ξ>0.69. Wn dado.
c) Obtenha o Lugar das Raízes auxiliar para determinar o valor Kd (ganho derivativo) para um Kp = 1 (ganho proporcional). Apresente o PD projetado e sua equação a diferenças (3,0).
Solução:
z
T
d
K
)z
T
d
K
p
(k
PD(z)
z
d
10K
-)z
d
K
10
(1
z
0.1
1)
-(z
z
z
T
1)
-(z
z
PD(z)
z
1)
-(z
d
K
10
z
)
9
.
0
)(
1
(
)
2
.
0
(
25
.
0
G(z)PD(z)
z
z
z
z
1)
-(z
d
K
10
z
)
9
.
0
)(
1
(
)
2
.
0
(
25
.
0
1
G(z)PD(z)
1
z
z
z
1)
-(z
K
10
)
2
.
0
(
25
.
0
)
2
.
0
(
25
.
0
)
9
.
0
9
.
1
(
z
G(z)PD(z)
1
z
2
z
z
z
z
d1)
-(z
K
10
)
2
.
0
(
25
.
0
)
85
.
0
65
.
1
(
z
G(z)PD(z)
1
z
2
z
z
d)
85
.
0
65
.
1
2
(
z
1)
-(z
)
2
.
0
(
5
.
2
K
1
G(z)PD(z)
1
d
z
z
z
Cujo Lugar das Raízes é:
Root Locus Real Axis Im a g in a ry A x is -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.8/T 0.9/T 1/T 0.1/T 0.2/T 0.3/T 0.4/T 0.5/T 0.6/T 0.7/T 0.8/T 0.9/T 1/T 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 System: gz Gain: 0.299 Pole: 0.633 + 0.108i Damping: 0.934 Overshoot (%): 0.0267 Frequency (rad/s): 4.73 0.1/T 0.2/T 0.3/T 0.4/T 0.5/T 0.6/T 0.7/T
Basea no esboço do LR auxiliar e “chutando” um ponto em 0.5+0.2j (aproximadamente): >> x = 0.5+0.2j;
>> kd = -(x^3 -1.65*x^2 + 0.85*x)/ (2.5*x^2 - 3*x + 0.5) kd = 0.2816 - 0.0972i
Fazendo kd = 0.3 (despresa-se o termo imaginário e aproxima-se para 0.3), a equação característica será:
>> z^3 -1.65*z^2 +0.85*z + kd*(2.5*z^2 -3*z + 0.5) z^3 - 0.9 z^2 - 0.05 z + 0.15
Cujas raízes serão:
>> roots([1 -0.9 -0.05 0.15]) ans = 0.6324 + 0.1067i 0.6324 - 0.1067i -0.3647 + 0.0000i >> kP =1; kd=0.3; pdz = ((kp+kd/T)*z-kd/T)/z pdz = 4 z - 3 ---
Seja PD(z) = E(z)/U(z) U(z)(4z-3)= E(z)z 4u[k+1]-3u[k] = e[k+1] 4u[k]-3u[k-1] = e[k] u[k]=(3u[k-1] + e[k])/4
d) Prove que os requisitos de projeto foram atendidos (1,0). Solução:
A nova equação característica será:
0
z
3
-4z
)
9
.
0
)(
1
(
)
2
.
0
(
25
.
0
1
G(z)PD(z)
1
z
z
z
z(
z
1
)(
z
0
.
9
)
0
.
25
(
z
0
.
2
)(
4z
-
3)
0
0
15
.
0
05
.
0
9
.
0
2 3
z
z
z
Cujas raízes são: 0.6324 + 0.1067i 0.6324 - 0.1067i -0.3647 + 0.0000i
Considerando que as raízes complexas conjulgadas são as raízes dominantes do sistema e mapeando no plano s:
>> z1 = 0.6324 + 0.1067i; T = 0.1; s1 = log(s1)/T s1 = -4.4420 + 1.6715i
e) Apresente um código matlab que gere o LR do sistema compensado e a resposta ao degrau do sistema original e compensado (1,0). Solução:
T=0.1
z = tf(
'z'
,T)
subz = 0.25*(z-0.2)/((z-0.9)*(z-1))
kd = 0.3
kp =1
pdz = ((kp+kd/T)*z-kd/T)/z
rlocus(pdz*subz)
figure
step(feedback(subz,1))
hold
step(feedback(pdz*subz,1))
f) Qual o erro em regime permanente do sistema compensado (1,0)? Solução:
Trata-se de um sistema tipo 1. O erro em regima será zero.
