Aula prática 2: Equação de Newton
Grandezas cinemáticas, Forças, equação de Newton
MO
Saber usar a Lei de Newton
• Identificar os corpos
• Escolher sistema de referência
• Representar forças em cada corpo
• Escrever a equação de movimento
• Encontrar a solução da equação do movimento.
• Saber usar as condições iniciais.
III-113) Duas bolas são atiradas de uma mesma altura H com a mesma velocidade inicial. Uma é atirada para cima segundo um ângulo α e a outra para baixo segundo um ângulo β.
Mostre que ambas atingem o solo com a mesma velocidade e calcule essa velocidade em função da altura H e da velocidade inicial V0.
Exemplo de lançamento (gravidade à superfície)
Solução:
Equações do movimento para qualquer bola:
Notar que se tem: Em qualquer ponto.
Quadrando e somando as eq. das velocidades obtém-se:
Reparando que o termo entre parêntesis está na eq. dos espaços, obtém-se:
Esta expressão não depende do ângulo de lançamento mas sim da velocidade inicial e da altura. Para a chegada ao chão temos y=0 e portanto:
Exemplo com atrito proporcional à velocidade (F = -bv)
V – 88
Considere um corpo em queda livre sob influência de uma força de resistência proporcional à velocidade: F = -bv.a) Mostra que a sua aceleração é proporcional a v e que existe velocidade limite. b) Escreva a equação de movimento na forma separável e obtenha a solução geral. c) Indique como se introduzem as condições iniciais.
Solução:
Equação do movimento:
Obtém-se fazendo:
Integrando dos 2 lados vem:
Admitamos uma velocidade inicial: para t=0 temos v=v0 obtenho a Cte:
Solução particular:
Esta é a aceleração, proporcional a -v, mais um termo constante (gravidade).
Podemos reescrever a eq. Diferencial:
a)
b) O formato anterior é util para
separar a parte em v da parte em
t: Agora integramos para obter a solução geral.
c)
Para se obter a lei dos espaços tenho de integrar novamente:
Exemplo de Estática
IV-51) O sistema da figura está em equilíbrio estático.
Calcule as Tensões T1, T2 e o valor da massa
m.
Começamos por escrever a condição de equilíbrio:
Escrevemos todas as componentes:
Resolvemos o sistema:
• IV-78)
Uma pintora de massa m=60Kg está em cima de uma plataforma de massa M=15Kg presa a uma corda que passa por uma roldana. A pintora agarra a outra extremidade da corda.a) Com que força deve a pintora puxar a corda para que se consiga uma aceleração a=0.8m/s2.
b) Quando se atinge a velocidade v=1m/s, a pintora puxa a plataforma de modo a que sobe com velocidade constante. Com que força a pintora puxa a corda ?
Exemplo com Lei de Newton (forças de tensão)
a)
Tensão na corda = Força feita pela
pintora b) Fazendo a = 0 na expressão anterior obtemos:
Exemplo com Lei de Newton (forças de tensão), sem atrito.
IV-79)
Considere um plano inclinado que faz um ângulo de 20 graus com a horizontal. Um bloco de massa M=20 Kg escorrega em cima de um bloco de massa m=10 Kg. Os dois blocos estão ligados por um fio que passa por uma roldana. Despreze o atrito das superfícies.Determine a tensão na corda e a aceleração de cada bloco.
Corpo de 20 Kg
Corpo de 10 Kg
Escrevemos a equação para cada corpo:
Somando obtém-se: Solução:
V-38) Considere um bloco de massa m1 =5Kg em
cima de um bloco de massa m2 =10Kg o qual se
desloca sem atrito em cima de uma mesa. O bloco m2 está preso através de um corda a um
bloco m3 . Os coeficientes de atrito entre m1 e m2 são µS =0.6 e µK =0.4.
a) Qual o valor máximo de aceleração de m1 ? b) Qual o valor máximo de m3 para que m1 e m2 se movam sem escorregar?
c) Se m3 =30 Kg, determine a aceleração de
cada corpo e a tensão na corda.
Exemplo com Lei de Newton (com forças de atrito)
Entre m1 e m2 há atrito. Entre m2 e a mesa não há atrito.
a) Corpo 1:
€
m
2a = T − m
1a
m
3a = m
3g − T
⎧
⎨
⎩
⇒ a =
m
3m
1+ m
2+ m
3g ⇒ m
3=
a
g − a
(m
1+ m
2) ⇒ m
3max=
µ
S1− µ
S(m
1+ m
2) ≅ 22.5Kg
b)Se m1 não escorrega então:
Solução:
€
m
1a − F
a= 0
Corpo 3: Corpo 2:€
m
3a = m
3g − T
€
m
2a = T − F
aV-38) Considere um bloco de massa m1 =5Kg em
cima de um bloco de massa m2 =10Kg o qual se
desloca sem atrito em cima de uma mesa. O bloco m2 está preso através de um corda a um
bloco m3 . Os coeficientes de atrito entre m1 e m2 são µS =0.6 e µK =0.4.
a) Qual o valor máximo de aceleração de m1 ? b) Qual o valor máximo de m3 para que m1 e m2 se movam sem escorregar?
c) Se m3 =30 Kg, determine a aceleração de
cada corpo e a tensão na corda.
Exemplo com Lei de Newton (com forças de atrito)
c)
Se m1 escorrega então:
Exemplo com Lei de Newton (forças de inércia), com atrito.
V-40) Um bloco de massa m=10Kg está em
cima de uma base de massa M=5Kg que escorrega sem atrito em cima de uma superfície. Os coeficientes de atrito entre o bloco e a base são µs=0.40 e µk=0.30. Uma força F é aplicada a uma corda ligada ao bloco e que passa por uma roldana de massa desprezável.
Qual a força máxima que se pode
aplicar, e a aceleração da base para que o bloco não escorregue?
Incógnitas: F ,T, Fa ,a € Fa − T − ma = 0 Ma = 2T − Fa ⎧ ⎨ ⎩ ⇒ a = T m + M Fa = (2m + M)a ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⇒ T = (m + M)a a = Fa (2m + M) ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⇒ F = m + M 2m + M Fa
Eq. para o bloco m: Eq. para a base
M:
A força de atrito é:
Solução:
Eq. para o sistema m+M:
€
Exemplo com Lei de Newton (forças de inércia), com atrito. V-42) Um bloco de massa m=0.5Kg está em cima de
uma plano inclinado de massa M=2Kg que faz
35 graus com a horizontal e que se move sem
atrito. Aplica-se uma força F no plano. O coeficiente de atrito é µs=0.8.
Determine o valor máximo e o valor mínimo de F para que o bloco não escorregue.
θ
Há atrito entre o bloco e o plano. Não há atrito entre plano e chão. Forças sobre o bloco: P=mg (peso), I=ma (inércia) e Fa=µN (atrito).
Segundo o plano: Normal ao plano:
Condição para não escorregar:
€
a
max= g
sin
θ
+
µ
Scos
θ
cos
θ
−
µ
Ssin
θ
≅ 33.5ms
−2