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poliiiómio (2v- REVER Quadrado do binómio: Diferença de quadrados: (o b)? a i 2ab b) +36

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Academic year: 2021

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(1)

REVER

Para efetuar a multiplicaçâo de polinómios, utilizase a propliedade distributiva da multiplicaçào em relação à adição. Contudo, há casos especiais em que essa multipticaçáo pode ser realizada de um modo mais rápido. De seguida, apresentany se dois desses casos.

Quadrado do binómio:

(o b)? a i 2ab b) +36

Diferença de quadrados:

e n f;MPtO

(2v

-

EXEMPLOS (a b)(a + b) = a 2 b 2 + 3) = 4x2 -9

dc

poliiiómio

Fatorizar um polinómio é escrevê-lo como um produto de dois ou mais fatores.

1. 2v2 14xy Polinomio não fatorizado 2. 2r(.v — 7y) Polinómio fatorizado

Pode fatonzar-se um polinómio através da aplicação da propriedade distributiva da multiplicação em relação à adiçáo ou através da aplicação dos casos notáveis da multiplicação.

Considera o polinómio 4x - 8y.

Repara que 4x - 8y = 4 xx - 4 x 2 x y. 0 4 é o fator comum aos dois monómios, pelo que pode ser co-locado em evidência.

Assim, podemos fatorizar o polinómio escrevendo 4x - 8y = 4(x — 2y). Considera, agora, o polinómio x2 - 8.r + 16.

Repara que o polinómio corresponde ao desenvolvimento de — 4) 2 .

Assim, podemos fatorizar o polinómio escrevendo x2 - 8x+ 16 = (x- 4) 2 = (x — 4)(x - 4). Considera, agora, o polinómio -r2 25.

Repara que o polinómio é uma diferença de quadrados:x 2 — 25 = x2 — 5 2

(2)

Transforma cada uma das seguintes expressões algébricas num polinómio reduzido.

1.2, (x — 1.3.

02

1 . IO (5a - + 5x)

1.12.

50

Dos polinómios seguintes, quais representam o desenvolvimento de quadrados de binómios?

2.1. x2 —4x+4 2.3. 2.4. g 2 5g+6

O completa cada uma das seguintes expressões de forma a obteres o desenvolvimento de qua-drados de binómios.

3.3,x2+

O

Completa as seguintes igualdades.

4.1. (X— 4.3, (3a +

-36

+ 49 3.2. + 24x 3 4 4a2 + 25b2 + + 5) = 1692 — — 402 = 9y2 —

O Transforma cada uma das seguintes expressões algébricas num produto de dois fatores,

pondo em evidência o fator comum.

5.1.

-6

2a - 3ab

5d2 - 25d

26h 2 - 13h 3

Transforma cada uma das seguintes expressões algebricas num produto de dois fatores.

6.1.4x 2 — 16 a 2 — 4a +4 100 5h 2 - 12U5h +36

Sabendo que 100x2 — 20x+ 1 representa a área de um quadrado, determina uma expressáo

que possa representar o comprimento dos seus lados.

Sugestão: aplica um dos casos notáveis da multiplicação.

De seguida apresenta-se a fatorizaçáo de um polinómio. Completa-a.

= 4x2 — 8x —

(3)

O restaurante da Joana, que fico à beira mar, tem um terraço com a forma de um retôngulo

O terraço tem 48 m? de área e o seu comprimento

ex-cede o largura em dois metros.

O comprimento do terraço excede a largura em dois metros. Assim, o esquema seguinte pode repre_ sentar a situação.

A sua área pode, então, ser dada pela expressáo lx (l + 2). Como a área do terraço é 48 m 2, temos:

21=48

21-48=0

A equação P + 21 — 48 = 0, que traduz a situação anterior, é uma equação do 2? grau.

Toda a equaçáo que pode ser reduzida a uma equação do tipo + bV+ c = 0, com 0, diz-se uma equação do 2? grau com uma incógnita

Diz-se que uma equação do 29 grau escrita na forma ar2 + bV+ c = O, com G, está forma canónica

Quando numa equação do 29 grau, escrita na sua forma canónica, b = O elou c: O, a equaçáo diz-se

I X (l + 2) = 48

I x (l + 2) = 48

uma equação do 2? grau incompleta.

É uma equação do 2? grau, porque pode ser escrita na forma a-v2 + bx+ c = 0, com a 0.

P + 21 — 48 = 0 —+ Forma canónica

12 — 48 = O —+ Equação do 2? grau incompleta.

6/2 — 1521 = 0 —i Equação do 2? grau incompleta.

Lei do

do produto

Nota: O produto de fatores é nulo quando pelo menos um dos fatores é zero:

O símbolo V lê-se "out

(4)

Quais das seguintes equações são do 29 grau? Justifica.

1 .1. 3x2 12=0 1.2. = -50- 12)

16=0

1.4.

Escreve cada uma das seguintes equações do 2? grau na forma canónica.

12/2=16

2.2. (w- 13)2 = 100

2.3, 5) = 13

O Indica o valor lógico de cada uma das seguintes afirmações, corrigindo as falsas. A. Na equação -2v 2 + x- 1 = 0, o coeficiente do termo em xl é 2.

B. A equação x + (-1)2 = 0 é do 29 grau. C. A equação 3x2 1 é completa.

De entre as seguintes equações do 29 grau, indica as completas e as incompletas. 4.3. 3x2 = o

4.5.2=

4.4. x = 5 +x2

4 S. xcv

Resolve as seguintes equações, utilizando a lei do anulamento do produto. 5,1.

5.2. (3x- 6) = o

3 r -2 -5 -O

O Formula um problema que possa ser traduzido pela equação r?

0 Escreve uma equaçao do 2? grau que traduza o seguinte problema: "Um triângulo, cuja

me-dida da altura é o dobro da meme-dida da base, tem 128 mm2 cie área. Quanto mede a base do triângulo?"

O Considera a equação (x - 4)(x + 4) = 9. A Xi Lu resolveu-a do seguinte modo:

e* x = 13 V x = 5

cs = {5, 13}

Concordas com a resolução da Xi Lu? Explica porquê.

(5)

Equações

REVER

Para determinar as soluções de algumas equações do 2? grau escritas na forma canónica, basta fato. rizar o primeiro membro da equação e utilizar, de seguida, a lei do anulamento do produto.

EXEüViO

i }

x V x 12 O

c.s. = {0, 12}

EXEMPLO 4x2 - 49 = 0 7 7 EXEMPLO 3

o

Algumas equações também podem ser resolvidas utilizando a noção de raiz quadrada. x 2 — EXEMPLO 4

c.s. = {-2, 2}

EXEMPLO S p + 21 — 48 12 -4-21 = 48 12 + 21 + 1 = 48 + 1 e:} (l + 49

c.s. =

6}

(6)

As equações seguintes são equações do 29 grau incompletas, do tipo ar2 = 0, a 0. Resolve-as.

-500X2=O 2

3

As equações seguintes são equações do 2? grau incompletas, do tipo ar2 + c = O, a * O e O. Resolve-as.

, e -16=0

-17

2,2.

23

As equaçóes seguintes são equações do 2? grau incompletas, do tipo av2 + 0, a # Oe b 0.

Resolve-as.

32. 5x-x 2 =o

3 a. 30 2 -x) = o

2(x2

Resolve as equaçóes seguintes.

4.3. 3x2 - 12 = o

4.5.4x2-12v=-9

40 — 25 = O

x2 -

36=0

A diferença entre o quadrado de um número e o seu quádruplo é —4. De que número se trata?

C

O perímetro de um retángulo é 60 metros e a sua área é 225 m 2. Determina as dimensões deste retângulo.

Observa o círculo de centro em C

(2t— 1) cm

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