REVER
Para efetuar a multiplicaçâo de polinómios, utilizase a propliedade distributiva da multiplicaçào em relação à adição. Contudo, há casos especiais em que essa multipticaçáo pode ser realizada de um modo mais rápido. De seguida, apresentany se dois desses casos.
Quadrado do binómio:
(o b)? a i 2ab b) +36Diferença de quadrados:
e n f;MPtO(2v
-
EXEMPLOS (a b)(a + b) = a 2 b 2 + 3) = 4x2 -9dc
poliiiómio
Fatorizar um polinómio é escrevê-lo como um produto de dois ou mais fatores.
1. 2v2 14xy Polinomio não fatorizado 2. 2r(.v — 7y) Polinómio fatorizado
Pode fatonzar-se um polinómio através da aplicação da propriedade distributiva da multiplicação em relação à adiçáo ou através da aplicação dos casos notáveis da multiplicação.
Considera o polinómio 4x - 8y.
Repara que 4x - 8y = 4 xx - 4 x 2 x y. 0 4 é o fator comum aos dois monómios, pelo que pode ser co-locado em evidência.
Assim, podemos fatorizar o polinómio escrevendo 4x - 8y = 4(x — 2y). Considera, agora, o polinómio x2 - 8.r + 16.
Repara que o polinómio corresponde ao desenvolvimento de — 4) 2 .
Assim, podemos fatorizar o polinómio escrevendo x2 - 8x+ 16 = (x- 4) 2 = (x — 4)(x - 4). Considera, agora, o polinómio -r2 25.
Repara que o polinómio é uma diferença de quadrados:x 2 — 25 = x2 — 5 2
Transforma cada uma das seguintes expressões algébricas num polinómio reduzido.
1.2, (x — 1.3.
02
1 . IO (5a - + 5x)
1.12.
50
Dos polinómios seguintes, quais representam o desenvolvimento de quadrados de binómios?
2.1. x2 —4x+4 2.3. 2.4. g 2 5g+6
O completa cada uma das seguintes expressões de forma a obteres o desenvolvimento de qua-drados de binómios.
3.3,x2+
O
Completa as seguintes igualdades.4.1. (X— 4.3, (3a +
-36
+ 49 3.2. + 24x 3 4 4a2 + 25b2 + + 5) = 1692 — — 402 = 9y2 —O Transforma cada uma das seguintes expressões algébricas num produto de dois fatores,
pondo em evidência o fator comum.5.1.
-6
2a - 3ab
5d2 - 25d
26h 2 - 13h 3
Transforma cada uma das seguintes expressões algebricas num produto de dois fatores.
6.1.4x 2 — 16 a 2 — 4a +4 100 5h 2 - 12U5h +36
Sabendo que 100x2 — 20x+ 1 representa a área de um quadrado, determina uma expressáo
que possa representar o comprimento dos seus lados.
Sugestão: aplica um dos casos notáveis da multiplicação.
De seguida apresenta-se a fatorizaçáo de um polinómio. Completa-a.
= 4x2 — 8x —
O restaurante da Joana, que fico à beira mar, tem um terraço com a forma de um retôngulo
O terraço tem 48 m? de área e o seu comprimento
ex-cede o largura em dois metros.
O comprimento do terraço excede a largura em dois metros. Assim, o esquema seguinte pode repre_ sentar a situação.
A sua área pode, então, ser dada pela expressáo lx (l + 2). Como a área do terraço é 48 m 2, temos:
21=48
21-48=0
A equação P + 21 — 48 = 0, que traduz a situação anterior, é uma equação do 2? grau.
Toda a equaçáo que pode ser reduzida a uma equação do tipo + bV+ c = 0, com 0, diz-se uma equação do 2? grau com uma incógnita
Diz-se que uma equação do 29 grau escrita na forma ar2 + bV+ c = O, com G, está forma canónica
Quando numa equação do 29 grau, escrita na sua forma canónica, b = O elou c: O, a equaçáo diz-se
I X (l + 2) = 48
I x (l + 2) = 48
uma equação do 2? grau incompleta.
É uma equação do 2? grau, porque pode ser escrita na forma a-v2 + bx+ c = 0, com a 0.
P + 21 — 48 = 0 —+ Forma canónica
12 — 48 = O —+ Equação do 2? grau incompleta.
6/2 — 1521 = 0 —i Equação do 2? grau incompleta.
Lei do
do produto
Nota: O produto de fatores é nulo quando pelo menos um dos fatores é zero:
O símbolo V lê-se "out
Quais das seguintes equações são do 29 grau? Justifica.
1 .1. 3x2 12=0 1.2. = -50- 12)
16=0
1.4.
Escreve cada uma das seguintes equações do 2? grau na forma canónica.
12/2=16
2.2. (w- 13)2 = 100
2.3, 5) = 13
O Indica o valor lógico de cada uma das seguintes afirmações, corrigindo as falsas. A. Na equação -2v 2 + x- 1 = 0, o coeficiente do termo em xl é 2.
B. A equação x + (-1)2 = 0 é do 29 grau. C. A equação 3x2 1 é completa.
De entre as seguintes equações do 29 grau, indica as completas e as incompletas. 4.3. 3x2 = o
4.5.2=
4.4. x = 5 +x2
4 S. xcv
Resolve as seguintes equações, utilizando a lei do anulamento do produto. 5,1.
5.2. (3x- 6) = o
3 r -2 -5 -O
O Formula um problema que possa ser traduzido pela equação r?
0 Escreve uma equaçao do 2? grau que traduza o seguinte problema: "Um triângulo, cuja
me-dida da altura é o dobro da meme-dida da base, tem 128 mm2 cie área. Quanto mede a base do triângulo?"
O Considera a equação (x - 4)(x + 4) = 9. A Xi Lu resolveu-a do seguinte modo:
e* x = 13 V x = 5
cs = {5, 13}
Concordas com a resolução da Xi Lu? Explica porquê.
Equações
REVER
Para determinar as soluções de algumas equações do 2? grau escritas na forma canónica, basta fato. rizar o primeiro membro da equação e utilizar, de seguida, a lei do anulamento do produto.
EXEüViO
i }
x V x 12 Oc.s. = {0, 12}
EXEMPLO 4x2 - 49 = 0 7 7 EXEMPLO 3o
Algumas equações também podem ser resolvidas utilizando a noção de raiz quadrada. x 2 — EXEMPLO 4
c.s. = {-2, 2}
EXEMPLO S p + 21 — 48 12 -4-21 = 48 12 + 21 + 1 = 48 + 1 e:} (l + 49c.s. =
6}
As equações seguintes são equações do 29 grau incompletas, do tipo ar2 = 0, a 0. Resolve-as.
-500X2=O 2
3
As equações seguintes são equações do 2? grau incompletas, do tipo ar2 + c = O, a * O e O. Resolve-as.
, e -16=0
-17
2,2.
23
As equaçóes seguintes são equações do 2? grau incompletas, do tipo av2 + 0, a # Oe b 0.
Resolve-as.
32. 5x-x 2 =o
3 a. 30 2 -x) = o
2(x2
Resolve as equaçóes seguintes.
4.3. 3x2 - 12 = o
4.5.4x2-12v=-9
40 — 25 = O
x2 -
36=0
A diferença entre o quadrado de um número e o seu quádruplo é —4. De que número se trata?
C
O perímetro de um retángulo é 60 metros e a sua área é 225 m 2. Determina as dimensões deste retângulo.Observa o círculo de centro em C
(2t— 1) cm