Metodos de interpolação real e espaços de Sobolev e Besov sobre a esfera Sd

INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA

Departamento de Matemática

Dissertação de Mestrado

Métodos de Interpolação Real e Espaços de

Sobolev e Besov sobre a Esfera S

por

Andrielber da Silva Oliveira

Mestrado em Matemática - Campinas - SP

Orientador:

Prof. Dr. Sergio Antônio Tozoni

Besov sobre a Esfera Sd

Este exemplar corresponde à redação fi-nal da dissertação devidamente corrigida e defendida por Andrielber da Silva Oliveira e aprovada pela comissão julgadora. Campinas 28, de Abril o de 2006.

~

/Y§

Prof. Dr. Sé;gio Antonio Tozocl

Banca examinadora:

Prof. Dr. Sérgio Antonio Tozoni. Prof. DI. Dicesar Lass Fernandez. Prof. DI. Eduardo Brandani da Silva.

Dissertação apresentada ao Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica, UNICAMP, como requisito parcial para obtenção do título de

Mestre em Matemática. . -~--".,'".::~;" I}~-,~ r'~!i

.

i

I

H~i-~~;:;;:

-

.~"

---Pela Banca Examinadora composta pelos Profs. Drs.

:Pr

c7~

Prof. (a). Dr (ar. SERGIO ANTONIO TOZONI

-4

?~C;:

,_I Prof. (a). Dr (a). EDUARDO BRANDANI DA SILVA

Prof. (a). Dr

o

FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA DO IMECC DA UNICAMP

Bibliotecária: Maria Júlia Milani Rodrigues – CRB8a / 2116

Oliveira, Andrielber da Silva

OL4m Métodos de interpolação real e espaços de Sobolev e Besov sobre a esfera Sd / Andrielber da Silva Oliveira -- Campinas, [S.P. :s.n.], 2006.

Orientador : Sérgio Antonio Tozoni

Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.

1. Análise harmonica. 2. Análise funcional. 3. Sobolev, Espaços de. 4. Espaços de interpolação . I. Tozoni, Sérgio Antonio. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.

Título em inglês: Real interpolation methods and Sobolev and Besov espaces on the Sd sphere Palavras-chave em inglês (Keywords): 1. Harmonic analysis. 2. Functional analysis. 3. Sobolev spaces. 4. Interpolation spaces.

Área de concentração: Análise Titulação: Mestre em Matemática

Banca examinadora: Prof. Dr. Sérgio Antonio Tozoni (IMECC-UNICAMP) Prof. Dr. Dicesar Lass Fernandez (IMECC-UNICAMP) Prof. Dr. Eduardo Brandani da Silva (UEM)

AGRADECIMENTOS

Agradeço ao IMECC pela oportunidade de fazer este trabalho, ao CNPq pela concessão da bolsa, aos professores das disciplinas que cursei, aos professores do Departamento de Matemática da UEL, onde fiz minha graduação em Licenciatura em Matemática, aos membros da banca examinadora e um agradecimento especial ao Prof. Dr. Sérgio A. Tozoni, que foi quem me orientou, pela paciência, dedicação e ajuda.

Também sou muito grato aos amigos e familiares de Londrina e em especial aos meus pais Valcides de Oliveira e Nelci da Silva Oliveira pelo apoio antes e durante este mestrado, além deles sou muito grato aos amigos que fiz no IAPAR, principalmente a todos da Área de Biometria.

Não poderia deixar de agradecer aos amigos que fiz aqui em Campinas, aos amigos do curso, aos amigos de onde morei durante o primeiro ano em Campinas, que chamávamos de Clube dos Nove, aos moradores da pensão do Seu Ruy, onde morei durante os dois últimos anos, em fim, a todos os amigos que fiz em Campinas e principalmente ao Fábio Dadam, uma pessoa ímpar, realmente fantástica, um amigo pra todas as horas.

Agradeço a minha namorada, Graziela, que tenho certeza ser a mulher com quem me casarei, agradeço a ela pelo apoio, carinho, compreensão e companheirismo durante estes nove meses que estamos juntos, que foram, sem dúvida, os melhores que já vivi.

O objetivo da dissertação é realizar um estudo dos espaços de Besov sobre a esfera unitária

d-dimensional real Sd_.

No primeiro capítulo são estudados espaços de interpolação utilizando dois métodos de interpolação real. Em particular são estudados os Teoremas de Equivalência e de Reiteração para os J-método e K-método.

No segundo capítulo é realizado um estudo rápido sobre análise harmônica na esfera Sd_,

incluindo um estudo sobre harmônicos esféricos, harmônicos zonais, somas de Cesàro e sobre um teorema de multiplicadores.

O terceiro e último capítulo é o mais importante e nele são aplicados os resultados dos capítulos anteriores. São introduzidos os espaços de Besov, decompondo uma função suave definida sobre a esfera d-dimensional, em uma série de harmônicos esféricos e usando uma seqüência de polinômios zonais que podem ser vistos como uma generalização natural dos polinômios de Vallée Poussin definidos sobre o círculo unitário. O principal resultado estudado diz que todo espaço de Besov pode ser obtido como espaço de interpolação de dois espaços de Sobolev.

ABSTRACT

The purpose of this work is to make a study about Besov’s spaces on the unit d-dimensional real sphere Sd_.

In the first chapter are studied spaces of interpolation using two real interpolation methods. In particular, are studied The Equivalence Theorem and The Reiteration Theorem for the

J-method and the K-method.

In the second chapter it is made a short study about harmonic analysis on the sphere

Sd_{, including a study about spherics harmonics, zonal harmonics, Cesàro sums and about a}

multiplier theorem.

The third and last chapter is the most important of this work. In this chapter are applied the results of the others chapters. Are introduced the Besov spaces, decomposing a smooth function defined on the d-dimensional sphere, in a series of harmonics spherics and using a sequence o zonal polynomials which can be seen as a natural generalization of the Vallée Poussin polynomials defined on the unit circle. The main result studied says that every Besov’s space can be got as a interpolation space of two Sobolev’s spaces.

Agradecimentos . . . ii Resumo . . . iii Abstract . . . iv Introdução 1 1 Espaços de interpolação 3 1.1 A Integral de Bochner . . . 3

1.2 Dois métodos de interpolação real . . . 7

1.3 Teorema de Equivalência . . . 26

1.4 O Teorema de Reiteração . . . 31

2 Análise Harmônica na Esfera Sd ₃₅ 2.1 Harmônicos Esféricos . . . 35

2.2 Harmônicos Zonais . . . 37

2.3 Somas de Cesàro . . . 39

2.4 Teorema de Multiplicadores . . . 42

3 Espaços de Sobolev e Besov 45 3.1 Espaços de Sobolev e Besov . . . 45

3.2 Aplicações . . . 51

Apêndice 60

Referências Bibliográficas 68

Introdução

O objetivo desta dissertação é realizar um estudo de métodos de interpolação real e aplicá-los no estudo dos espaços de Besov sobre a esfera unitária d-dimensional real Sd_.

Os espaços de Besov clássicos sobre regiões do espaço euclidiano Rd_{foram sistematicamente}

estudados, por exemplo, nos trabalhos de H. Triebel [11] e de J. Peetre [10], e um estudo destes espaços sobre a esfera Sd_{pode ser encontrado no trabalho de P. I. Lizorkin e Kr. P. Rustamov}

[8].

Em [7], A. Kushpel, J. Levesley e S. A. Tozoni estudaram os espaços de Besov sobre espaços homogêneos, em particular sobre a esfera Sd_{, com o objetivo de obter estimativas para}

n-larguras de Kolmogorov. Os espaços de Besov foram introduzidos decompondo uma função suave definida sobre a esfera Sd _{em uma série de harmônicos esféricos e usando uma seqüência}

Kn(z) de polinômios zonais, os quais podem ser vistos como uma generalização dos polinômios

de Vallée Poussin definidos sobre o círculo unitário por

Vn(t) = 1 2 + 2n X k=1 λ(2n)_k cos kt,

onde λ(2n)_k = 1 se 1 ≤ k ≤ n e λ(2n)_k = (2n−k)/n se n < k ≤ 2n. Os polinômios de Vallée Poussin foram utilizados para introduzir os espaços de Besov sobre S1_{. O objetivo principal desta}

dissertação é realizar um estudo detalhado dos resultados sobre espaços de Besov apresentados em [7]. Para tal, foi realizado um estudo cuidadoso sobre espaços de interpolação no Capítulo 1 e um estudo sem muitos detalhes sobre análise harmônica na esfera Sd _{no Capítulo 2. Um}

estudo detalhado sobre análise harmônica na esfera Sd _{pode ser encontrado na dissertação de}

mestrado de F. M. de Oliveira [9].

No primeiro capítulo são estudados os espaços de interpolação utilizando os J-método e

K-método. Na Seção 1.1 é feito um estudo sobre a integral de Bochner utilizada nas seções

seguintes. Uma referência para esta seção é o Capítulo III de [4]. Na Seção 1.2 são apresentados 1

os resultados básicos da teoria dos espaços de interpolação, na Seção 1.3 é estudado o Teorema de Equivalência e na Seção 1.4 o Teorema de Reiteração. Os trabalhos [1], [5] e [7] são referências para os resultados destas seções.

O segundo capítulo é dedicado a um estudo rápido sobre análise harmônica na esfera Sd_,

incluindo um estudo sobre harmônicos esféricos, harmônicos zonais, somas de Cesàro e sobre um teorema de multiplicadores. Um estudo cuidadoso e detalhado sobre este assunto foi feito na dissertação de mestrado de F. M. de Oliveira [9] que é a nossa referência para este capítulo. O terceiro e último capítulo é o mais importante e nele estão aplicados os resultados dos capítulos anteriores. Na Seção 3.1 são definidos os espaços de Sobolev e de Besov como foram introduzidos em [7]. Esta definição de espaços de Besov pode também ser encontrada em [6]. São definidas indutivamente funções Ψj, 1 ≤ j ≤ d, onde d é a dimensão da esfera Sd. São

estudadas várias propriedades destas funções e é definida, para cada número natural n, uma seqüência numérica (λn

k)nk=0. Usando estas seqüências são definidas funções zonais Kn que

são utilizadas para definir as funções dos espaços de Besov. Na Seção 3.2 são aplicados os resultados da seção anterior e do Capítulo 1 para demostrar o principal resultado estudado nesta dissertação que diz que todo espaço de Besov é espaço de interpolação de dois espaços de Sobolev.

No final desta dissertação é apresentado um apêndice no qual são enunciadas algumas definições e resultados clássicos de teoria da medida e de análise funcional que são utilizados em algum momento no desenvolvimento deste trabalho.

Capítulo 1

Espaços de interpolação

Neste capítulo são estudados os espaços de interpolação definidos pelos J-método e K-método.

Na primeira seção é feito um estudo sobre a integral de Bochner que será utilizado nas seções seguintes. Uma referência para este estudo é o Capítulo III de [4]. Nesta seção (X, X , µ) representará um espaço de medida σ-finito e E um espaço de Banach com norma k·k_E.

Na segunda seção são apresentados os resultados básicos da teoria dos espaços de interpo-lação, na seção seguinte é estudado o Teorema de Equivalência e na quarta e última seção o Teorema de Reiteração. Os trabalhos [1], [5] e [7] são as nossas referências para os resultados destas seções.

1.1

A Integral de Bochner

Definição 1.1.1. Dizemos que uma função f : X −→ E é simples se assume apenas um número finito de valores em E, f (X) = {ak : 1 ≤ k ≤ n}, e Ak = f−1(ak) ∈ X para todo 1 ≤ k ≤ n.

Dizemos que f = n X k=1 akχ_Ak (1.1) é a representação padrão de f .

Definição 1.1.2. Dizemos que uma função f : X −→ E é X -fortemente mensurável se existe uma seqüência (fn)_n∈N de funções simples definidas em X tomando valores em E, tais que

lim

n→∞kfn− f kE = 0 q.s. (1.2)

Teorema 1.1.3. (a) Se f, g são funções X -fortemente mensuráveis e α ∈ R, então f + g e αf são X -fortemente mensuráveis.

(b) Se f é limite q.s. de uma seqüência de funções X -fortemente mensuráveis, então f é X -fortemente mensurável.

Observação 1.1.4. Se E for separável, então uma função f : X −→ E é X -fortemente mensurável se e somente se f−1_{(B) ∈ X para todo boreliano B de E, isto é, f é X -mensurável.}

Definição 1.1.5. Dizemos que uma função simples f : X −→ E é Bochner-integrável se a função x 7−→ kf (x)k_E é µ-integrável. Se f = n X k=1 akχ_Ak

é uma representação padrão de f e B ∈ X , definimos a integral de Bochner de f sobre B por Z B f dµ = n X k=1 akµ (Ak∩ B) . (1.3) Observação 1.1.6. Como n X k=1 kakk_Eµ (Ak∩ B) = Z B kf k_Edµ < ∞

então a integral (1.3) está bem definida, para todo B ∈ X , e também temos ° ° ° ° Z B f dµ ° ° ° ° E ≤ Z B kf k_Edµ. (1.4)

Definição 1.1.7. Dizemos que uma função f : X −→ E é Bochner-integrável se existe uma seqüência (fn)_n∈N de funções simples Bochner-integráveis, tal que

fn−→ f q.s. e lim n→∞

Z

X

kfn− f k_Edµ = 0. (1.5)

Definimos a integral de Bochner de f sobre B ∈ X por Z B f dµ = lim n→∞ Z B fndµ. (1.6)

Observação 1.1.8. O limite limR_Bfndµ, quando n −→ ∞, existe e independe da seqüência

(fn)n∈N considerada. De fato, se B ∈ X ° ° ° ° Z B fndµ − Z B fmdµ ° ° ° ° E ≤ Z B kfn− fmk_Edµ ≤ Z B kfn− f k_Edµ + Z B kfm− f k_Edµ

e como lim n→∞ Z B kfn− f kEdµ = 0 temos que¡R_Bfndµ ¢

n∈N é de Cauchy em E. Portanto essa seqüência converge em E.

Para demonstrar a independência da seqüência, consideremos duas seqüências de funções simples (fn)n∈N e (gn)n∈N Bochner-integráveis convergindo para f q.s., tais que

lim n→∞ Z X kfn− f kEdµ = 0 e _n→∞lim Z X kgn− f kEdµ = 0. Como ° ° ° ° Z B fndµ − Z B gndµ ° ° ° ° E ≤ Z B kfn− f kEdµ + Z B kgn− f kEdµ,

fazendo n −→ ∞ em ambos os membros da desigualdade acima, obtemos lim n→∞ Z B fndµ = lim n→∞ Z B gndµ.

Teorema 1.1.9. Uma função f : X −→ E X -fortemente mensurável é Bochner-integrável se

e somente se a função real x 7−→ kf (x)k_E é µ-integrável, isto é, se e somente se

Z

X

kf k_Edµ < ∞. (1.7)

Teorema 1.1.10. Se f é Bochner-integrável, então ° ° ° ° Z X f dµ ° ° ° ° E ≤ Z X kf k_Edµ. (1.8)

Teorema 1.1.11. Seja (fn)_n∈N uma seqüência de funções Bochner-integráveis, tal que

lim

n,m→∞

Z

X

kfn− fmk_Edµ = 0. (1.9)

Então existe uma função Bochner-integrável f tal que

lim n→∞ Z X kfn− f k_Edµ = 0 (1.10) e lim n→∞ Z X fndµ = Z X f dµ. (1.11)

Teorema 1.1.12 (Teorema da Convergência Dominada para integral de Bochner).

uma função real µ-integrável tal que kf (x)k_E ≤ g(x) q.t. x ∈ X. Então f é Bochner-integrável e lim n→∞ Z X kfn− f k_Edµ = 0. (1.12)

Em particular, para todo B ∈ X ,

Z B f dµ = lim n→∞ Z B fndµ. (1.13)

Definição 1.1.13. O espaço Lp_E = Lp_{(X, E) = L}p_{(X, X , µ; E), 0 < p < ∞, é definido como o}

conjunto das funções X -fortemente mensuráveis f : X −→ E, tais que

kf k_Lp E = µZ X kf (x)kp_Edµ ¶_1/p < ∞. (1.14) Observação 1.1.14. Quando 1 ≤ p < ∞, k·k_Lp

E é uma norma sobre L

p_{(X, E) e}³_Lp_{(X, E) , k·k} Lp_E

´ é um espaço de Banach. Quando X = E = R escrevemos Lp_{(R) = L}p_{(R, R) e k·k}

p = k·kLp. Definição 1.1.15. O espaço L∞_{(X, E) é definido como o conjunto das funções X -fortemente}

mensuráveis f : X −→ E, tais que

kf k_L∞

E = inf (c : kf (x)kE ≤ c q.t. x ∈ X) < ∞. (1.15) Observação 1.1.16. Temos que k·k_L∞

E é uma norma sobre L

∞_{(X, E) e} ³_L∞_{(X, E) , k·k} L∞

E ´ é um espaço de Banach.

Teorema 1.1.17. Seja 1 ≤ p < ∞. Então o conjunto formado por todas as funções simples

f ∈ Lp_{(X, E) é denso em L}p_{(X, E).}

Definição 1.1.18. Definimos o espaço `p(E), 1 ≤ p < ∞, como sendo o conjunto de todas as seqüências x = (xn)_n∈N tais que xn ∈ E para todo n ∈ N e

kxk_`p (E)= Ã _∞ X n=1 kxnkp_E !_1/p < ∞. (1.16)

Observação 1.1.19. Para 1 ≤ p < ∞, k·k_{`</sub>p<sub>(E)</sub> é uma norma sobre ` p (E) e ³ `p(E) , k·k<sub>`}p_(E) ´ é um espaço de Banach.

1.2

Dois métodos de interpolação real

Definição 1.2.1. Dois espaços complexos de Banach ¡E0, k·kE0

¢

e ¡E1, k·kE1

¢

são chamados um par de interpolação ¯E = (E0, E1) se existe um espaço vetorial topológico de Hausdorff no

qual E0 e E1 estão continuamente incluídos. Então os seguintes espaços e quantidades estão

bem definidos: ∆( ¯E) = E0∩ E1; (1.17) kxk_{∆( ¯E)} = max¡kxk_E0, kxk_E1¢; (1.18) Σ( ¯E) = E0+ E1 = {x0+ x1 : x0 ∈ E0, x1 ∈ E1} ; (1.19) kxk_{Σ( ¯E)} = inf x=x0+x1∈Σ( ¯E) ¡ kx0kE0 + kx1kE1 ¢ ; (1.20) K(t, x) = K(t, x; ¯E) = inf x=x0+x1∈Σ( ¯E) ¡ kx0kE0 + t kx1kE1 ¢ , 0 < t < ∞; (1.21) J(t, x) = J(t, x; ¯E) = max¡kxk_E0, t kxk_E1¢, 0 < t < ∞, x ∈ ∆( ¯E). (1.22) Definição 1.2.2. Dizemos que um espaço F é um espaço intermediário entre E0 e E1 se

∆( ¯E) ⊂ F ⊂ Σ( ¯E).

Proposição 1.2.3. Para t > 0, k·k_{Σ( ¯E)} e K(t, ·) são normas equivalentes sobre Σ( ¯E).

Demonstração. Primeiramente demonstraremos que K(t, ·) é norma sobre Σ( ¯E):

(i) Dado x ∈ Σ( ¯E), K(t, x) = inf

x=x0+x1∈Σ( ¯E)

¡

kx0kE0 + t kx1kE1

¢

≥ 0, pois kx0kE0 ≥ 0 para

todo x0 ∈ E0, kx1kE1 ≥ 0 para todo x1 ∈ E1 e t > 0, e portanto kx0kE0 + t kx1kE1 ≥ 0 para

qualquer representação x = x0+ x1 ∈ Σ( ¯E).

(ii) Temos que K(t, x) = 0 se, e somente se, x = 0. De fato se x = 0, então podemos escrever x = 0 + 0 ∈ Σ( ¯E). Assim k0k_E0 + t k0k_E1 = 0 e logo K(t, 0) = 0. Por outro lado se

K(t, x) = 0, segue por (1.21) que dado n ∈ N, existem x0

n ∈ E0 e x1n∈ E1, tal que x = x0n+ x1n e kx0 nkE0 + t kx1nkE1 < 1/n. Como kx0 n− x0mkE0 ≤ ° °x0 n ° ° E0 + kx 0 mkE0 ≤ 1 n + 1 m ≤ 2 min(n, m), temos que (x0

n)n∈N é uma seqüência de Cauchy em

¡ E0, k·kE0 ¢ . Analogamente (tx1 n)n∈N é uma seqüencia de Cauchy em ¡E1, k·k_E1 ¢ . Mas ¡E0, k·k_E0 ¢ e ¡E1, k·k_E1 ¢

são espaços de Banach, e portanto existem x0 _{∈ E}

para todo n ∈ N e logo x = x0 _{+ x}1_{. Portanto, como as normas k·k}

E0 e k·kE1 são funções

contínuas, segue que 0 ≤°°x0°_° E0 + t ° °x1°_° E1 = lim_n→∞ ³° °x0 n ° ° E0 + t ° °x1 n ° ° E1 ´ ≤ lim n→∞ 1 n = 0, isto é, x = x0_{+ x}1 _{= 0 + 0 = 0.}

(iii) Sejam x ∈ Σ( ¯E) e λ ∈ C. Se λ = 0, temos λK(t, x) = 0 = K(t, 0) = K(t, λx). Se λ 6= 0, temos,

K(t, λx) = inf

λx=y0+y1∈Σ( ¯E)(ky0kE0 + t ky1kE1) = x=λ−1_y0+λinf−1_{y1∈Σ( ¯E)}(ky0kE0 + t ky1kE1). Para y0 ∈ E0 e y1 ∈ E1, considere x0 = λ−1y0 e x1 = λ−1y1. Então

K(t, λx) = inf x=x0+x1∈Σ( ¯E) (kλx0k_E0 + t kλx1k_E1) = |λ| inf x=x0+x1∈Σ( ¯E) ¡ kx0k_E0 + t kx1k_E1 ¢ = |λ|K(t, x).

(iv) Sejam x, y ∈ Σ( ¯E), e

A =©kx0+ y0k_E0 + t kx1 + y1k_E1 : x = x0+ x1 ∈ Σ( ¯E) e y = y0+ y1 ∈ Σ( ¯E) ª , B =©kz0kE0 + t kz1kE1 : x + y = z0+ z1 ∈ Σ( ¯E) ª . É fácil ver que A ⊆ B e assim

K(t, x + y) = inf x+y=z0+z1∈Σ( ¯E)(kz0kE0 + t kz1kE1) ≤ inf x=x0+x1∈Σ( ¯E) y=y0+y1∈Σ( ¯E) (kx0+ y0k_E0 + t kx1+ y1k_E1) ≤ inf x=x0+x1∈Σ( ¯E) y=y0+y1∈Σ( ¯E) (kx0kE0 + ky0kE0 + t kx1kE1 + tky1kE1) = inf x=x0+x1∈Σ( ¯E) y=y0+y1∈Σ( ¯E) ¡ (kx0k_E0 + t kx1k_E1) + (ky0k_E0 + t ky1k_E1) ¢ = inf x=x0+x1∈Σ( ¯E) Ã inf y=y0+y1∈Σ( ¯E) ¡ (kx0k_E0 + t kx1k_E1) + (ky0k_E0 + t ky1k_E1) ¢! = inf x=x0+x1∈Σ( ¯E) ¡ (kx0kE0 + t kx1kE1) + K(t, y) ¢ = K(t, x) + K(t, y).

Portanto, segue por i), ii), iii) e iv) que para todo t > 0, K(t, ·) é uma norma sobre Σ( ¯E).

Em particular, para t = 1, temos que K(1, ·) = k·k_{Σ( ¯E)} é uma norma sobre Σ( ¯E). Agora falta

demonstrar que para t > 0, K(t, ·) e k·k_{Σ( ¯E)} são equivalentes. Para 0 < t < 1 e x ∈ Σ( ¯E) temos kxk_{Σ( ¯E)} = inf x=x0+x1∈Σ( ¯E) ¡ kx0kE0 + kx1kE1 ¢ ≥ K(t, x) e K(t, x) = inf x=x0+x1∈Σ( ¯E) ¡ kx0k_E0 + t kx1k_E1 ¢ ≥ inf x=x0+x1∈Σ( ¯E) (t kx0k_E0 + t kx1k_E1) = t kxk_{Σ( ¯E)}. Para t ≥ 1 e x ∈ Σ( ¯E) temos kxk_{Σ( ¯E)} = inf x=x0+x1∈Σ( ¯E) ¡ kx0kE0 + kx1kE1 ¢ ≤ K(t, x) e K(t, x) = inf x=x0+x1∈Σ( ¯E) ¡ kx0kE0 + t kx1kE1 ¢ ≤ inf x=x0+x1∈Σ( ¯E) (t kx0kE0 + t kx1kE1) = t kxkΣ( ¯E).

Podemos então concluir que dados t > 0 e x ∈ Σ( ¯E),

min(1, t) kxk_{Σ( ¯E)} ≤ K(t, x) ≤ max(1, t) kxk_{Σ( ¯E)}. (1.23) Proposição 1.2.4. Para t > 0, k·k_{∆( ¯E)} e J(t, ·) são normas equivalentes sobre ∆( ¯E).

Demonstração. Primeiramente demonstraremos que J(t, ·) é norma sobre ∆( ¯E):

(i) Dado x ∈ ∆( ¯E), J(t, x) = max¡kxk_E0, t kxk_E1¢≥ 0, pois kxk_E0 ≥ 0 para todo x ∈ E0 e

t kxk_E1 ≥ 0 para todo x ∈ E1.

(ii) Se x = 0, então kxk_E0 = 0 = t kxk_E1 e logo, J(t, x) = J(t, 0) = 0. Se J(t, x) = 0, então

kxk_E0 ≤ 0 e t kxk_E1 ≤ 0. Logo, kxk_E0 = kxk_E1 = 0, ou seja, x = 0.

(iii) Sejam λ ∈ C e x ∈ ∆( ¯E). Então

J(t, λx) = max¡kλxk_E0, t kλxk_E1¢= max(|λ| kxk_E0, t|λ| kxk_E1) = |λ| max¡kxk_E0, t kxk_E1¢= |λ|J(t, x).

(iv) Sejam x, y ∈ ∆( ¯E). Então

J(t, x + y) = max¡kx + yk_E0, t kx + yk_E1¢

≤ max(kxk_E0 + kyk_E0, t kxk_E1 + t kyk_E1)

≤ max¡kxk_E0, t kxk_E1¢+ max¡kyk_E0, t kyk_E1¢

= J(t, x) + J(t, y).

Portanto, segue por i), ii), iii) e iv) que para todo t > 0, J(t, ·) é uma norma sobre ∆( ¯E).

Em particular, para t = 1, temos que J(1, ·) = k·k_{∆( ¯E)} é uma norma sobre ∆( ¯E). Agora falta

demonstrar que para t > 0, J(t, ·) e k·k_{∆( ¯E)} são equivalentes sobre ∆( ¯E).

Para 0 < t < 1 e x ∈ ∆( ¯E) temos kxk_{∆( ¯E)} = max¡kxk_E0, kxk_E1¢ ≥ J(t, x) e J(t, x) = max¡kxk_E0, t kxk_E1¢≥ max¡t kxk_E0, t kxk_E1¢= t kxk_{∆( ¯E)}. Para t ≥ 1 e x ∈ ∆( ¯E) temos kxk_{∆( ¯E)} = max¡kxk_E0, kxk_E1¢ ≤ J(t, x) e J(t, x) = max¡kxk_E0, t kxk_E1¢≤ max¡t kxk_E0, t kxk_E1¢= t kxk_{∆( ¯E)}.

Podemos então concluir que dados t > 0 e x ∈ ∆( ¯E),

min(1, t) kxk_{∆( ¯E)} ≤ J(t, x) ≤ max(1, t) kxk_{∆( ¯E)}. (1.24) Teorema 1.2.5. Os espaços ³ Σ( ¯E), k·k_{Σ( ¯E)} ´ e ³ ∆( ¯E), k·k_{∆( ¯E)} ´

são espaços de Banach.

Demonstração. Primeiramente demonstraremos que ³

∆( ¯E), k·k_{∆( ¯E)}

´

é Banach. Considere-mos então uma seqüência de Cauchy (xn)n∈N em ∆( ¯E). Assim, dado ² > 0, existe n0 ∈ N, tal

que para quaisquer n, m ≥ n0, kxn− xmk∆( ¯E) < ². Seque de (1.18) que kxn− xmkE0 < ² e

kxn− xmkE1 < ² para quaisquer m, n ≥ n0 e logo, (xn)n∈N é uma seqüencia de Cauchy em E0

e em E1. Portanto existem x0 ∈ E0 e x1 ∈ E1 tais que xn −→ x0 em E0 e xn −→ x1 em E1.

Pela Definição 1.2.1 existe um espaço vetorial topológico de Hausdorff E, tal que E0 e E1 estão

assim x0 _{= x}1_{. Tomemos x = x}0 _{= x}1 _{∈ ∆( ¯E). Então dado ² > 0, existe N ∈ N tal que}

kxn− xkE0 < ² e kxn− xkE1 < ² para todo n ≥ N e conseqüentemente

kxn− xk_{∆( ¯E)} = max ¡ kxn− xk_E0, kxn− xk_E1 ¢ < ², n ≥ N ∈ N. Assim, ³ ∆( ¯E), k·k_{∆( ¯E)} ´ é Banach. Mostremos agora que

³

Σ( ¯E), k·k_{Σ( ¯E)}

´

também é Banach. Dados x ∈ Σ( ¯E) e ² > 0, por

(1.20) existe uma decomposição x = x0_{+ x}1 _{tal que}

° °x0°_° E0 + ° °x1°_° E1 ≤ kxkΣ( ¯E)+ ².

Em particular, para ² = kxk_{Σ( ¯E)}, existe uma decomposição x = x0_{+ x}1 _{tal que}

° °x0°_° E0 + ° °x1°_° E1 ≤ 2 kxkΣ( ¯E).

Seja (xn)n∈N ⊂ Σ( ¯E) tal que,

P_∞

n=1kxnkΣ( ¯E) < ∞. Então para cada n ∈ N podemos encontrar

uma decomposição xn= x0n+ x1n tal que, (x0n)n∈N⊂ E0 e (x1n)n∈N ⊂ E1 e além disso,

° °x0 n ° ° E0+ ° °x1 n ° ° E1 ≤ 2kxnkΣ( ¯E).

Isto implica que P∞_n=1kx0

nkE0 < ∞ e

P_∞

n=1kx1nkE1 < ∞. Como E0 e E1 são de espaços

Banach, temos que P∞_n=1x0

n converge em E0 e P_∞ n=1x1n converge em E1. Sejam x0 = P_∞ n=1x0n e x1 ₌P∞

n=1x1n, e tomemos x = x0+ x1 ∈ Σ( ¯E), temos por (1.20) que,

° ° ° ° °x − N X n=1 xn ° ° ° ° ° Σ( ¯E) = ° ° ° ° ° Ã x0₋ N X n=1 x0 n ! + Ã x1₋ N X n=1 x1 n !°_° ° ° ° Σ( ¯E) ≤ ° ° ° ° °x 0₋ N X n=1 x0_n ° ° ° ° ° E0 + ° ° ° ° °x 1₋ N X n=1 x1_n ° ° ° ° ° E1 .

Assim, concluímos queP∞_n=1xnconverge em Σ( ¯E) para x. Portanto temos que,

³

Σ( ¯E), k·k_{Σ( ¯E)}

´ é Banach.

Corolário 1.2.6. Os espaços ¡Σ( ¯E), K(t, ·)¢ e ¡∆( ¯E), J(t, ·)¢ são espaços de Banach, para todo t > 0.

Demonstração. Segue imediatamente das Proposições 1.2.3, 1.2.4 e do Teorema 1.2.5. Lema 1.2.7. A função t 7−→ K(t, x) é não negativa, não decrescente e côncava, para qualquer

x ∈ Σ( ¯E). Em particular, para quaisquer t, s > 0,

Demonstração. Suponhamos que K(·, x) não seja não negativa. Então existe t0 > 0 tal que

K(t0, x) < 0, o que contradiz o fato de K(t0, ·) ser uma norma sobre Σ( ¯E). Logo K(·, x) é não

negativa.

Sejam t, s ∈ (0, ∞), tal que t < s. Então t kx1k_E1 ≤ s kx1k_E1 para todo x1 ∈ E1, e assim

kx0k_E0+t kx1k_E1 ≤ kx0k_E0+s kx1k_E1 para todo x0 ∈ E0 e x1 ∈ E1. Portanto K(t, x) ≤ K(s, x),

ou seja, K(·, x) é não decrescente.

Consideremos t1, t2 ∈ (0, ∞) e s ∈ [0, 1]. Então (1 − s)K(t1, x) + sK(t2, x) = (1 − s) inf x=x0+x1∈Σ( ¯E) ¡ kx0k_E0 + t1kx1k_E1 ¢ + + s inf x=x0+x1∈Σ( ¯E) ¡ kx0k_E0 + t2kx1k_E1 ¢ = inf x=x0+x1∈Σ( ¯E) ¡ (1 − s) kx0k_E0 + (1 − s)t1kx1k_E1 ¢ + + inf x=x0+x1∈Σ( ¯E)(s kx0kE0 + st2kx1kE1) ≤ inf x=x0+x1∈Σ( ¯E) ¡ kx0k_E0 + (1 − s)t1kx1k_E1 + st2kx1k_E1 ¢ = inf x=x0+x1∈Σ( ¯E) ¡ kx0k_E0 + ((1 − s)t1+ st2) kx1k_E1 ¢ = K ((1 − s)t1+ st2, x) , e portanto K(·, x) é côncava.

Sejam agora, t, s > 0. Se t < s, como K(·, x) é não decrescente, K(t, x) ≤ K(s, x) = max(1, t/s)K(s, x). Além disso, temos que

sK(t, x) = inf x=x0+x1∈Σ( ¯E) ¡ s kx0kE0 + st kx1kE1 ¢ ≥ inf x=x0+x1∈Σ( ¯E) ¡ t kx0kE0 + ts kx1kE1 ¢ = tK(s, x)

e portanto, K(t, x) ≥ (t/s)K(s, x) = min(1, t/s)K(s, x). Assim,

min(1, t/s)K(s, x) ≤ K(t, x) ≤ max(1, t/s)K(s, x). Se t ≥ s, K(t, x) ≥ K(s, x) = min(1, t/s)K(s, x). Além disso,

sK(t, x) = inf

x=x0+x1∈Σ( ¯E)(s kx0kE0 + st kx1kE1)

≤ inf

x=x0+x1∈Σ( ¯E)(t kx0kE0 + ts kx1kE1)

e portanto K(t, x) ≤ (t/s)K(s, x) = max(1, t/s)K(s, x). Assim

min(1, t/s)K(s, x) ≤ K(t, x) ≤ max(1, t/s)K(s, x).

Lema 1.2.8. A função t 7−→ J(t, x) é não negativa, não decrescente e convexa, para qualquer

x ∈ ∆( ¯E). Em particular, para quaisquer t, s > 0,

min(1, t/s)J(s, x) ≤ J(t, x) ≤ max(1, t/s)J(s, x)

e

K(t, x) ≤ min(1, t/s)J(s, x).

Demonstração. Dado x ∈ ∆( ¯E), como kxk_E0 ≥ 0 e t kxk_E1 ≥ 0, temos que J(t, x) =

max¡kxk_E0, t kxk_E1¢≥ 0, t > 0, ou seja, a função t 7−→ J(t, x) é não negativa.

Dados t, s ∈ (0, ∞), t < s, temos que

J(t, x) = max¡kxk_E0, t kxk_E1¢≤ max¡kxk_E0, s kxk_E1¢= J(s, x), ou seja, a função t 7−→ J(t, x) é não decrescente.

Dados t1, t2 ∈ (0, ∞) e s ∈ [0, 1], temos que,

(1 − s)J(t1, x) + sJ(t2, x) = (1 − s) max ¡ kxk_E0, t1kxk_E1 ¢ + s max¡kxk_E0, t2kxk_E1 ¢ = max¡(1 − s) kxk_E0, (1 − s)t1kxkE1 ¢ + max(s kxk_E0, st2kxkE1) ≥ max¡(1 − s) kxk_E0 + s kxk_E0, (1 − s)t1kxk_E1 + st2kxk_E1 ¢ = max¡kxk_E0, ((1 − s)t1+ st2) kxk_E1 ¢ = J ((1 − s)t1+ st2, x)

ou seja, a função t 7−→ J(t, x) é convexa.

Sejam agora t, s ∈ (0, ∞). Como x ∈ ∆( ¯E) podemos escrever x = x + 0 = 0 + x ∈ Σ( ¯E) e

assim segue por (1.21) que

K(t, x) ≤ kxk_E0 e K(t, x) ≤ t kxk_E1. (1.25)

Se t < s, então J(t, x) ≤ J(s, x) = max(1, t/s)J(s, x), e também

min(1, t/s)J(s, x) = (t/s)J(s, x) = max¡(t/s) kxk_E0, t kxk_E1¢ ≤ max¡kxk_E0, t kxk_E1¢= J(t, x).

Portanto,

Além disso, por (1.25)

min(1, t/s)J(s, x) = (t/s) max¡kxk_E0, s kxk_E1¢≥ t kxk_E1 ≥ K(t, x).

Se t ≥ s, então min(1, t/s)J(s, x) = J(s, x) ≤ J(t, x), e também

sJ(t, x) = max(s kxk_E0, st kxk_E1) ≤ max(t kxk_E0, ts kxk_E1) = t max¡kxk_E0, s kxk_E1¢= tJ(s, x),

ou seja, J(t, x) ≤ (t/s)J(s, x) = max(1, t/s)J(s, x). Portanto,

min(1, t/s)J(s, x) ≤ J(t, x) ≤ max(1, t/s)J(s, x). Além disso, por (1.25),

min(1, t/s)J(s, x) = max¡kxk_E0, s kxk_E1¢≥ kxk_E0 ≥ K(t, x).

Definição 1.2.9. Sejam 0 < θ < 1, 1 ≤ q ≤ ∞. Para cada função mensurável não negativa

ϕ : (0, ∞) −→ R definimos: Φθ,q(ϕ(t)) =      µZ _∞ 0 ¡ t−θϕ(t)¢q dt t ¶_1/q , 1 ≤ q < ∞, sup esst>0 ¡ t−θ_ϕ(t)¢ _{, q = ∞.}

Observação 1.2.10. Qualquer f : R −→ R não decrescente é Borel mensurável. De fato, se f é não decrescente, dado α ∈ R temos que Aα = {x ∈ R : f (x) > α} só pode ser uma semi-reta

da forma {x ∈ R : x > a} ou {x ∈ R : x ≥ a} para algum a ∈ R, ou Aα é R ou ∅. Em particular

as funções t 7−→ K(t, x) e t 7−→ J(t, y) são mensuráveis para cada x ∈ Σ( ¯E) e y ∈ ∆( ¯E).

Definição 1.2.11. Para x ∈ Σ( ¯E) definimos,

kxk_θ,q;K = Φθ,q(K(t, x)) .

Lema 1.2.12. A função t 7−→ K(t, x) é contínua, para todo x ∈ Σ( ¯E).

Demonstração. Vimos no Lema 1.2.7 que t 7−→ K(t, x) é não decrescente e côncava. Portanto para t0 ∈ (0, ∞) e s ∈ [0, 1], temos que,

K(t0, x) ≥ K µ (1 − s)t0 2 + st0, x ¶ ≥ (1 − s)K µ t0 2, x ¶ + sK(t0, x)

e assim lim s→1 s<1 K(t0, x) ≥ lim_s→1 s<1 K µ (1 − s)t0 2 + st0, x ¶ ≥ lim s→1 s<1 µ (1 − s)K µ t0 2, x ¶ + sK(t0, x) ¶ .

Logo, pelo Teorema do Confronto segue que, lim s→1 s<1 K µ (1 − s)t0 2 + st0, x ¶ = K(t0, x) = K Ã lim s→1 s<1 µ (1 − s)t0 2 + st0 ¶ , x ! .

Conseqüentemente K(·, x) é contínua à esquerda em todo ponto t0 ∈ (0, ∞). Suponhamos agora

que K(·, x) não seja contínua. Então existe t0 ∈ (0, ∞) tal que K(t0, x) < limt→t0

t>t0 K(t, x), pois

K(·, x) é contínua a esquerda em t0 e é não decrescente. Seja ² = limt→t0

t>t0 K(t, x) − K(t0, x) > 0. Então existe δ > 0 tal que se t0− δ ≤ t ≤ t0 então K(t0, x) − K(t, x) ≤ ²/2. Assim temos que,

( K(t0, x) − K(t0− δ, x) ≤ ²₂, K(t0+ δ, x) − K(t0, x) ≥ ² e logo, ₍ 1 2K(t0− δ, x) ≥ 12K(t0, x) − ²4, 1 2K(t0+ δ, x) ≥ 1 2K(t0, x) + ² 2. Portanto 1 2K(t0− δ, x) + 1 2K(t0+ δ, x) ≥ K(t0, x) + ² 4 > K(t0, x),

o que contradiz o fato de K(·, x) ser côncava. De fato, como K(·, x) côncava, temos que para todo s ∈ [0, 1],

K ((1 − s)(t0− δ) + s(t0+ δ), x) ≥ (1 − s)K(t0− δ, x) + sK(t0 + δ, x),

e em particular, para s = 1/2, temos

K(t0, x) ≥

1

2K(t0 − δ, x) + 1

2K(t0+ δ, x). Logo a função t 7−→ K(t, x) é contínua.

Lema 1.2.13. A função x ∈ Σ( ¯E) 7−→ kxk_θ,q;K tem as propriedades de uma norma.

Demonstração. (i) Dado x ∈ Σ( ¯E), a função t 7−→ K(t, x) é contínua e não negativa, e

portanto segue imediatamente que:

µZ _∞ 0 ¡ t−θ_{K(t, x)}¢q dt t ¶_1/q ≥ 0, 1 ≤ q < ∞, sup esst>0 ¡ t−θ_{K(t, x)}¢_{≥ 0, q = ∞.}

(ii) Novamente pelo fato de que a função t 7−→ K(t, x) é contínua e não negativa, segue imediatamente que, x = 0 se e somente se,

µZ _∞ 0 ¡ t−θ_{K(t, x)}¢qdt t ¶_1/q = 0, 1 ≤ q < ∞, sup esst>0 ¡ t−θ_{K(t, x)}¢_{= 0, q = ∞.}

(iii) Sejam λ ∈ C e x ∈ Σ( ¯E). Para 1 ≤ q < ∞, temos kλxk_θ,q;K = µZ _∞ 0 ¡ t−θ_{K(t, λx)}¢q dt t ¶_1/q = µZ _∞ 0 ¡ t−θ_{|λ| K(t, x)}¢q dt t ¶_1/q = µZ _∞ 0 |λ|q¡t−θK(t, x)¢q dt t ¶_1/q = µ |λ|q Z _∞ 0 ¡ t−θK(t, x)¢qdt t ¶_1/q = |λ| µZ _∞ 0 ¡ t−θ_{K(t, x)}¢q dt t ¶_1/q = |λ| kxk_θ,q;K e para q = ∞ temos kλxk_θ,q;K = sup esst>0 ¡ t−θ_{K(t, λx)}¢ _{= sup ess} t>0 ¡ t−θ_{|λ|K(t, x)}¢ = |λ| sup esst>0 ¡ t−θ_{K(t, x)}¢ _{= |λ| kxk} θ,q;K.

(iv) Sejam x, y ∈ Σ( ¯E). Para 1 ≤ q < ∞, temos kx + yk_θ,q;K = µZ _∞ 0 ¡ t−θ_{K(t, x + y)}¢qdt t ¶_1/q ≤ µZ _∞ 0 ¡ t−θK(t, x) + t−θK(t, y)¢qdt t ¶_1/q ≤ µZ _∞ 0 ¡ t−θK(t, x)¢qdt t ¶_1/q + µZ _∞ 0 ¡ t−θK(t, y)¢qdt t ¶_1/q = kxk_θ,q;K + kyk_θ,q;K,

onde a última desigualdade acima para o caso de kxk_θ,q;K < ∞ e kyk_θ,q;K < ∞, é garantida

pela Desigualdade de Minkowiski, e quando kxk_θ,q;K = ∞ ou kyk_θ,q;K = ∞, é trivial. Para

q = ∞, temos kx + yk_θ,q;K = sup esst>0 ¡ t−θ_{K(t, x + y)}¢ ≤ sup esst>0 ¡ t−θK(t, x) + t−θK(t, y)¢ ≤ sup esst>0 ¡ t−θ_{K(t, x)}¢_{+ sup ess} t>0 ¡ t−θ_{K(t, y)}¢ = kxk_θ,q;K + kyk_θ,q;K.

Lema 1.2.14. Para x ∈ Σ( ¯E) e s ∈ (0, +∞), temos que K(s, x; ¯E) ≤ Cθ,qsθkxkθ,q;K

onde Cθ,q é uma constante positiva que depende somente de θ e q.

Demonstração. Lembremos que pelo Lema 1.2.7, para quaisquer t, s > 0 temos, min(1, t/s)K(s, x) ≤ K(t, x).

Como Φθ,q é não decrescente, aplicando Φθ,q preservamos a desigualdade acima, isto é,

Φθ,q(min(1, t/s))K(s, x) ≤ kxk_θ,q;K. (1.26)

Notemos agora que, se s > 0, ϕ(t) é mensurável e não negativa, então Ψ(t) = ϕ(t/s) também é mensurável e não negativa. Tomando u = t/s temos que du = dt/s e assim para 1 ≤ q < ∞,

Φθ,q(ϕ(t/s)) = Φθ,q(Ψ(t)) = µZ _∞ 0 ¡ t−θ_Ψ(t)¢qdt t ¶_1/q = µZ _∞ 0 ¡ t−θ_ϕ(t/s)¢q dt t ¶_1/q = s−θ µZ _∞ 0 ¡ (t/s)−θ_ϕ(t/s)¢q d(t/s) (t/s) ¶_1/q = s−θ_Φ θ,q(ϕ(t)) .

Para q = ∞ também temos que,

Φθ,q(ϕ(t/s)) = Φθ,q(Ψ(t)) = sup esst>0 ¡ t−θ_Ψ(t)¢ = sup esst>0 ¡ t−θ_ϕ(t/s)¢_{= s}−θ_{sup ess} t>0 ¡ (t/s)−θ_ϕ(t/s)¢ = s−θsup ess(t/s)>0 ¡ (t/s)−θϕ(t/s)¢ = s−θ_Φ θ,q(ϕ(t)) .

Em particular, para ϕ(t) = min (1, t) temos

Φθ,q(min(1, t/s)) = s−θΦθ,q(min(1, t)) . (1.27)

Logo, de (1.26) concluímos que,

Então segue o resultado, pois Φθ,q(min(1, t)) é uma constante positiva que só depende de θ e q. De fato, se 1 ≤ q < ∞ temos, Φθ,q(min(1, t)) = µZ ₁ 0 (t−θ_t)qdt t + Z _∞ 1 t−θqdt t ¶1/q = µZ ₁ 0 tq(1−θ)−1dt + Z _∞ 1 t−θq−1dt ¶1/q .

Como (q(1 − θ) − 1) 6= −1 e (−θq − 1) 6= −1 segue que, Φθ,q(min(1, t)) = à tq(1−θ) q(1 − θ) ¯ ¯ ¯ ¯ 1 0 + lim N →∞ Z _N 1 t−θq−1_dt !_1/q = à 1 q(1 − θ) + limN →∞ t−θq −θq ¯ ¯ ¯ ¯ N 1 !_1/q = µ 1 q(1 − θ) + limN →∞ µ N−θq −θq + 1 θq ¶¶1/q = µ 1 q(1 − θ) + 1 θq ¶_1/q = 1 (qθ(1 − θ))1/q. (1.28)

Consideremos agora q = ∞. Se 0 < t < 1, então t−θ_{min(1, t) = t}1−θ _{< 1. Se t = 1, então}

t−θ_{min(1, t) = 1. Se t > 1, então t}−θ_{min(1, t) = 1/t}θ _{< 1. Logo}

Φθ,q(min(1, t)) = sup esst>0

¡ t−θ_{min(1, t)}¢_{= 1.} Proposição 1.2.15. O conjunto Kθ,q ¡_¯ E¢= {x ∈ Σ( ¯E) : kxk_θ,q;K < ∞} é um espaço de Banach com a norma k·k_θ,q;K.

Demonstração. Segue do Lema 1.2.13 que o conjunto Kθ,q

¡_¯

E¢ é um espaço vetorial normado com a norma k·k_θ,q;K. Demonstraremos que ele é completo na métrica induzida por esta norma. Para isto, consideremos uma seqüência (xn)_n∈N⊂ Kθ,q

¡_¯

E¢ tal que X

n∈N

kxnkθ,q;K < ∞.

Pelo Lema 1.2.14 temos K (1, xn) ≤ C kxnk_θ,q;K e assim

X

n∈N

Mas pelo Teorema 1.2.5, Σ( ¯E) é Banach, ou sejaP_n∈Nxnconverge em Σ( ¯E) para um elemento

x. Agora, observemos que,

° ° ° ° °x − N X n=1 xn ° ° ° ° ° θ,q;K = Φθ,q à K à t, x − N X n=1 xn !! = Φθ,q à K à t,X n>N xn !! ≤ Φθ,q à X n>N K (t, xn) ! ≤ X n>N Φθ,q(K (t, xn)) = X n>N kxnkθ,q;K. Portanto, kxk_θ,q;K ≤ ° ° ° ° °x − N X n=1 xn ° ° ° ° ° θ,q;K + ° ° ° ° ° N X n=1 xn ° ° ° ° ° θ,q;K ≤ X n>N kxnk_θ,q;K + ° ° ° ° ° N X n=1 xn ° ° ° ° ° θ,q;K < ∞.

Além disso, dado ² > 0, existe N0 ∈ N tal que para todo N ≥ N0 temos

P n>Nkxnkθ,q;K < ² e portanto _° ° ° ° °x − N X n=1 xn ° ° ° ° ° θ,q;K ≤ X n>N kxnkθ,q;K < ².

Logo, segue que x ∈ Kθ,q

¡_¯ E¢ e P_n∈Nxn converge para x em Kθ,q ¡_¯ E¢. Definição 1.2.16. O conjunto Kθ,q ¡_¯

E¢ da proposição anterior é chamado espaço de

interpo-lação do par ¯E pelo K-método.

Teorema 1.2.17. Sejam (E0, E1) e (F0, F1) pares de interpolação e T uma aplicação linear

de E0+ E1 em F0+ F1 tal que Tj = T |Ej∈ L (Ej, Fj), com norma kTjk_Ej,Fj = Mj, j = 0, 1.

Então, se 0 < θ < 1 e 1 ≤ q ≤ ∞, T ∈ L ³ (E0, E1)_θ,q;K, (F0, F1)_θ,q;K ´ e a norma é limitada por M₀1−θMθ 1.

Demonstração. Seja x ∈ E0 + E1. Para cada decomposição x = x0 + x1 corresponde uma

decompósição T (x) = T (x0) + T (x1) e portanto K (t, T (x)) ≤ kT (x0)k_F0 + t kT (x1)k_F1 ≤ M0kx0kE0 + tM1kx1kE1 = M0 ¡ kx0kE0 + tM1M0−1kx1kE1 ¢ . Conseqüentemente K (t, T (x)) ≤ M0K ¡ tM1M0−1, x ¢

e Φθ,q(K (t, T (x))) ≤ M0Φθ,q ¡ K¡tM1M0−1, x ¢¢ kT (x)k_F¯_θ,q;K ≤ M0 ¡ M1M0−1 ¢_θ kxk_E¯_θ,q;K = M0M1θM0−θkxk_E¯_θ,q;K = M1−θ 0 M1θkxkE¯θ,q;K.

Notação 1.2.18. Sejam 0 < θ < 1, 1 < r < ∞, 1 ≤ q ≤ ∞. Denotaremos por λθ,r,q _{o espaço}

de todas as seqüências (αk)_k∈Z, tal que

k(αk)kλθ,r,q =      ¡P k∈Z ¡ r−kθ_|α k| ¢_q¢_1/q , 1 ≤ q < ∞, sup k∈Z ¡ r−kθ_|α k| ¢ , q = ∞. é finito.

Observação 1.2.19. É fácil ver que a função (αk)k∈Z ∈ λθ,r,q 7−→ k(αk)kλθ,r,q ∈ R tem as propriedades de uma norma, sendo que a desigualdade triangular é obtida utilizando a De-sigualdade de Minkowiski para series (ver Apêndice) junto com a deDe-sigualdade triangular da função módulo. Assim ¡λθ,r,q_{, k·k}

λθ,r,q ¢

é um espaço vetorial normado.

Lema 1.2.20. Seja ¯E = (E0, E1) um par de interpolação e seja x ∈ Σ( ¯E). Então, x ∈ Kθ,q

¡_¯ E¢ se e somente se ¡K¡rk_{, x}¢¢ k∈Z ∈ λ θ,r,q_{. Além disso,} r−θ_{(ln r)}1/q°_°¡_K¡_rk_{, x}¢¢°° λθ,r,q ≤ kxk_θ,q;K ≤ r (ln r) 1/q°_°¡_K¡_rk_{, x}¢¢°° λθ,r,q (1.29)

Demonstração. Sejam rk _{≤ t ≤ r}k+1 _{e 1 ≤ q < ∞. Pelo Lema 1.2.7 temos,}

K¡rk_{, x}¢ _{≤ K (t, x) ≤ rK}¡_rk_{, x}¢_,

e como r−θ_r−kθ _{≤ t}−θ _{≤ r}−kθ_{, segue que}

¡

r−θ_r−kθ_K¡_rk_{, x}¢¢q _≤¡_t−θ_{K (t, x)}¢q_≤¡_rr−kθ_K¡_rk_{, x}¢¢q_.

Integrando agora sobre o intervalo £rk_{, r}k+1¤_{, com respeito a medida dt/t, obtemos}

r−θq_{(ln r)}¡_r−kθ_K¡_rk_{, x}¢¢q _≤ Z _rk+1 rk ¡ t−θ_{K (t, x)}¢q dt t ≤ r q_{(ln r)}¡_r−kθ_K¡_rk_{, x}¢¢q

e em seguida, fazendo a soma sobre k ∈ Z obtemos r−θq_{(ln r)}X k∈Z ¡ r−kθ_K¡_rk_{, x}¢¢q_≤ Z _∞ 0 ¡ t−θ_{K (t, x)}¢q dt t ≤ r q_{(ln r)}X k∈Z ¡ r−kθ_K¡_rk_{, x}¢¢q_.

Finalmente, elevando a potência 1/q obtemos (1.29). Analogamente podemos obter o resultado para q = ∞.

Definição 1.2.21. Definimos o espaço de interpolação do par ¯E pelo J-método como sendo o

conjunto Jθ,q

¡_¯

E¢, de todo x ∈ Σ( ¯E) que pode ser representado por x =

Z _∞

0

u(t)dt

t , (1.30)

onde u é uma função fortemente mensurável tomando valores em ∆( ¯E), e a convergência da

integral está sendo considerada em Σ( ¯E) e

Φθ,q(J (t, u (t))) < ∞. (1.31)

Observação 1.2.22. Dados 0 < t1 < t2 < ∞, e u (t) fortemente mensurável, tomando valores

em ∆( ¯E) e tal que vale (1.31), então

µZ _t2 t1 u(t)dt t ¶ ∈ ∆( ¯E). De fato, Z _t2 t1 ku(t)k_{∆( ¯E)} dt t ≤ C µZ _t2 t1 ku(t)kq_{∆( ¯E)}dt t ¶1/q .

Agora, com 0 < θ < 1 temos t−θ

2 ≤ t−θ ≤ t−θ1 e assim 1 ≤ tθq2 t−θq ≤ (t2/t1)θq. Logo pelo Lema

1.2.8 Z _t2 t1 ku(t)k_{∆( ¯E)}dt t ≤ Ct θ 2 µZ _t2 t1 ³ t−θ_ku(t)k ∆( ¯E) ´_{q dt} t ¶1/q ≤ Ctθ 2 µZ _t2 t1 ¡ t−θ_{max (1, 1/t) J (t, u (t))}¢q dt t ¶1/q ≤ Ctθ₂max (1, 1/t1) µZ _t2 t1 ¡ t−θJ (t, u (t))¢q dt t ¶1/q ≤ C0 µZ _∞ 0 ¡ t−θJ (t, u (t))¢qdt t ¶_1/q < ∞, ou seja, ³R_t1t2u(t)dt t ´ ∈ ∆( ¯E).

Definição 1.2.23. Para x ∈ ∆( ¯E) definimos kxk_θ,q;J = inf

u Φθ,q(J (t, u (t))) ,

onde o ínfimo é tomado sobre toda função u : (0, ∞) −→ ∆( ¯E) fortemente mensurável tal que

valem (1.30) e (1.31).

Teorema 1.2.24. Sejam (E0, E1) e (F0, F1) pares de interpolação e T uma aplicação linear de

Σ( ¯E) em Σ¡F¯¢ tal que Tj = T |Ej∈ L (Ej, Fj), com norma kTjk_Ej,Fj = Mj, j = 0, 1. Então, se 0 < θ < 1 e 1 ≤ q ≤ ∞, T ∈ L

³

(E0, E1)θ,q;J, (F0, F1)θ,q;J

´

e a norma é limitada por M₀1−θMθ

1.

Demonstração. Para x ∈ Jθ,q

¡_¯

E¢, temos, desde que T : Σ( ¯E) −→ Σ¡F¯¢ seja linear e limitada, que T (u(t)) é mensurável,

T (x) = T µZ _∞ 0 u(t)dt t ¶ = Z _∞ 0 T (u(t))dt t ¡ convergência em Σ¡F¯¢¢.

Assim, com esta u,

J (t, T (u(t))) = max¡kT (u(t))k_F0, t kT (u(t))k_F1¢

≤ M0max ¡ ku(t)k_E0, tM1M0−1ku(t)kE1 ¢ = M0J ¡ tM1M0−1, u(t) ¢ e obtemos, pelas propriedades de Φθ,q,

Φθ,q(J (t, T (u(t)))) ≤ M01−θM1θΦθ,q(J (t, u(t))) .

Tomando o ínfimo sobre u, obtemos

kT (x)k_(F0,F1)

θ,q;J ≤ M

1−θ

0 M1θkxk(E0,E1)θ,q;J.

Lema 1.2.25. Seja ¯E = (E0, E1) um par de interpolação e seja x ∈ Σ( ¯E). Então, x ∈ Jθ,q

¡_¯

E¢ se e somente se existem uk ∈ ∆( ¯E), k ∈ Z, com

x =X k∈Z uk ¡ convergência em Σ( ¯E)¢ (1.32) tal que ¡J¡rk_{, u} k ¢¢ k∈Z ∈ λ θ,r,q_{. Além disso,} (ln r)−1+1q r−θinf (uk) ° °¡_J¡_rk_{, u} k ¢¢°_° λθ,r,q ≤ kxk_θ,q;J ≤ r (ln r) −1+1 q inf (uk) ° °¡_J¡_rk_{, u} k ¢¢°_° λθ,r,q . (1.33)

Demonstração. Suponhamos que x ∈ Jθ,q

¡_¯

E¢ e seja x =R₀∞u (t)dt

t uma representação de x

tal que Φθ,q(J (t, u (t))) < ∞. Escolhendo uk=

R_rk+1

rk u (t)dt_t, k ∈ Z, segue da Observação 1.2.22 que cada uk ∈ ∆( ¯E). É claro que

x =X

k∈Z

uk,

na norma de Σ( ¯E). De fato, como R₀∞u (t)dt

t converge para x na norma de Σ( ¯E), então sn =

R_rn+1

r−nu (t)dt_t −→ x em Σ( ¯E), considerando agora Sn=

P

|k|≤nuk a seqüência das soma parciais

de uk vimos que Sn = sn, então Sn −→ x em Σ( ¯E). Além disso, temos

J¡rk_{, u} k ¢ = max ð_° ° ° ° Z _rk+1 rk u (t)dt t ° ° ° ° ° E0 , rk ° ° ° ° ° Z _rk+1 rk u (t)dt t ° ° ° ° ° E1 ! ≤ max ÃZ _rk+1 rk ku (t)k_E0 dt t , r k Z _rk+1 rk ku (t)k_E1 dt t ! ≤ Z _rk+1 rk max¡ku (t)k_E0, rk_{ku (t)k} E1 ¢ dt t ≤ Z _rk+1 rk J¡rk_{, u (t)}¢ dt t .

Agora, usando o Lema 1.2.8, temos J¡rk_{, u(t)}¢ _{≤ max}¡_{1, r}k_/t¢_{J (t, u(t)) = J (t, u(t)) para}

todo t ∈ [rk_{, r}k+1_{] e logo} J¡rk, uk ¢ ≤ Z _rk+1 rk J (t, u (t))dt t . Assim, ¡ r−kθ_J¡_rk_{, u} k ¢¢_q ≤ Ã r−kθ Z _rk+1 rk J (t, u (t))dt t !_q = Ã rθ_r−θ(k+1) Z _rk+1 rk J (t, u (t))dt t !_q = rθq ÃZ _rk+1 rk r−θ(k+1)_{J (t, u (t))}dt t !_q .

com p = q/(q − 1) segue que ¡ r−kθJ¡rk, uk ¢¢_q ≤ rθq ÃZ _rk+1 rk t−θJ (t, u (t))dt t !_q = rθq ÃZ _rk+1 rk µ t−θJ (t, u (t)) 1 t1/q ¶µ 1 t1−1/q ¶ dt !_q ≤ rθq   ÃZ _rk+1 rk µ t−θ_{J (t, u (t))} 1 t1/q ¶_q dt !_1/qÃZ rk+1 rk µ 1 t1−1/q ¶_q/(q−1) dt !_1−1/q  q = rθq ÃZ _rk+1 rk ¡ t−θ_{J (t, u (t))}¢q dt t !ÃZ _rk+1 rk dt t !_q−1 = rθq_{(ln r)}q−1 Z _rk+1 rk ¡ t−θ_{J (t, u (t))}¢qdt t .

Portanto, fazendo a soma em k ∈ Z e elevando ambos os lados da desigualdade à potência 1/q obtemos, ° °¡_J¡_rk_{, u} k ¢¢°_° λθ,r,q ≤ (ln r) 1−1_{q r}θ_Φ θ,q(J (t, u(t))) < ∞ e assim¡J¡rk_{, u} k ¢¢

k∈Z ∈ λθ,r,q. Além disso, tomando o ínfimo sobre toda u satisfazendo (1.30),

em ambos os lados da desigualdade acima, obtemos (ln r)−1+1q r−θinf u ° ° ° ° ° Ã J Ã rk, Z _rk+1 rk u (t)dt t !!°_° ° ° ° λθ,r,q ≤ kxk_θ,q;J. (1.34)

Reciprocamente, suponhamos que x = P_k∈Zuk com (uk)_k∈Z ⊂ ∆( ¯E), e que

¡ J¡rk_{, u} k ¢¢ ∈ λθ,r,q_{. Escolhendo u(t) = u} k/ln r, rk≤ t < rk+1 temos, x =X k∈Z uk = X k∈Z Ã uk ln r Z _rk+1 rk dt t ! =X k∈Z ÃZ _rk+1 rk uk ln r dt t ! = X k∈Z ÃZ _rk+1 rk u(t)dt t ! = Z _∞ 0 u(t)dt t ,

onde a convergência ocorre em Σ( ¯E). Se rk_{≤ t < r}k+1 _{então segue do Lema 1.2.8 que}

J (t, u(t)) ≤ J¡rk+1_{, u(t)}¢_{≤ max}

µ 1,rk+1 rk ¶ J¡rk_{, u(t)}¢_{= r (ln r)}−1_J¡_rk_{, u} k ¢ e assim, observando que t−θ_{≤ r}−kθ _temos

Z _rk+1 rk ¡ t−θ_{J (t, u(t))}¢qdt t ≤ r q_{(ln r)}−q_J¡_rk_{, u} k ¢qZ r k+1 rk t−θqdt t ≤ r q_{(ln r)}1−q¡_r−kθ_J¡_rk_{, u} k ¢¢q .

Portanto, fazendo a soma em k ∈ Z e elevando à potência 1/q, segue que Φθ,q(J (t, u(t))) ≤ r (ln r)−1+ 1 q °°J¡rk, u k ¢°_° λθ,r,q < ∞ (1.35) e assim x ∈ Jθ,q ¡_¯

E¢. Além disso, tomando o ínfimo sobre toda seqüência (uk) satisfazendo

(1.32) e tal que ¡J¡rk_{, u} k

¢¢

k∈Z ∈ λθ,r,q, em ambos os lados da desigualdade acima obtemos,

kxk_θ,q;J ≤ r (ln r)−1+1q inf (uk) ° °¡_J¡_rk_{, u} k ¢¢°_° λθ,r,q. (1.36)

Logo, por (1.34) e (1.36) temos (1.33).

Proposição 1.2.26. Se 1 ≤ q < ∞ então ∆( ¯E) é denso em Jθ,q

¡_¯

E¢.

Demonstração. Seja x ∈ Jθ,q

¡_¯

E¢, então pelo Lema 1.2.25, x pode ser representado por x = P

k∈Zuk(convergência em Σ( ¯E)), onde uk∈ ∆( ¯E) para todo k ∈ Z e

¡P k∈Z ¡ r−kθ_J(rk_{, u} k) ¢_q¢_1/q < ∞. Então, yN = x − P |k|≤Nuk∈ Jθ,q ¡_¯ E¢ e yN = P

k∈Zvk (convergência em Σ( ¯E)) onde

vk =    uk, |k| > N, 0, |k| ≤ N.

Assim pelo Lema 1.2.25 e Proposição 1.2.4 segue que ° ° ° ° ° °x − X |k|≤N uk ° ° ° ° ° ° θ,q;J = kyNk_θ,q;J ≤ C k(vk)k_λθ,r,q = C Ã X k∈Z ¡ r−kθJ¡rk, vk ¢¢_q!1/q = C  X |k|>N ¡ r−kθJ¡rk, uk ¢¢_q   1/q e portanto lim N →∞ ° ° ° ° ° °x − X |k|≤N uk ° ° ° ° ° ° θ,q;J = 0.

1.3

Teorema de Equivalência

Lema 1.3.1 (Lema Fundamental da Teoria de Interpolação). Suponhamos que min (1, 1/t) K(t, x) −→ 0 com t −→ 0 ou t −→ ∞.

Então, existe uma representação

x =X k∈Z uk ¡ convergência em Σ( ¯E)¢ de x, tal que J¡2k_{, u} k ¢ ≤ 4K¡2k_{, x}¢_.

Demonstração. Dado um inteiro k, por (1.21), existe uma decomposição x = x0

k+ x1k, tal que ° °x0 k ° ° E0 + 2 k°_°x1 k ° ° E1 ≤ µ 1 + 1 3 ¶ K¡2k, x¢. (1.37)

Assim, usando a hipótese 0 ≤ lim k→−∞ ° °x0 k ° ° E0 + lim_k→−∞2 k°_°x1 k ° ° E1 ≤ µ 1 + 1 3 ¶ lim k→−∞K ¡ 2k, x¢ = µ 1 + 1 3 ¶ lim k→−∞min µ 1, 1 2k ¶ K¡2k, x¢ = 0 e portanto, lim k→−∞ ° °x0 k ° ° E0 = 0. (1.38) Além disso, 0 ≤ lim k→+∞ 1 2k ° °x0 k ° ° E0 + lim_k→+∞ ° °x1 k ° ° E1 ≤ µ 1 + 1 3 ¶ lim k→+∞ 1 2kK ¡ 2k, x¢ = µ 1 + 1 3 ¶ lim k→+∞ µ min µ 1, 1 2k ¶ K¡2k, x¢ ¶ = 0 e portanto, lim k→+∞ ° °x1 k ° ° E1 = 0. (1.39)

Escolhemos uk = x0k−x0k−1 = x1k−1−x1k, assim temos que uk∈ ∆( ¯E) e para quaisquer M, N ∈ N

segue que x − M X k=−N uk= x − x0M + x0−N −1 = x0−N −1+ x1M.

Portanto por (1.20) _° ° ° ° °x − M X k=−N uk ° ° ° ° ° Σ( ¯E) ≤°°x0 −N −1 ° ° E0 + ° °x1 M ° ° E1.

Fazendo N → ∞ e M → ∞ em ambos os membros da desigualdade acima e usando (1.38) e (1.39), obtemos x =X k∈Z uk ¡ convergência em Σ( ¯E)¢.

Além disso, temos por (1.37) e pelo Lema 1.2.7 que

J¡2k_{, u} k ¢ = max¡kukkE0, 2kkukkE1 ¢ ≤ max³°°x0_k°°_E0 +°°x0_k−1°°_E0, 2k³°°x1_k−1°°_E1 +°°x1_k°°_E1 ´´ ≤ ³°°x0 k ° ° E0 + 2 k°°x1 k ° ° E1 ´ +°°x0 k−1 ° ° E0 + 2 k°°x1 k−1 ° ° E1 ≤ µ 1 + 1 3 ¶ K¡2k, x¢+ 2°°x0_k−1°°_E0 + 2k°°x1_k−1°°_E1 ≤ µ 1 + 1 3 ¶ K¡2k, x¢+ 2 µ 1 + 1 3 ¶ K¡2k−1, x¢ ≤ 3 µ 1 + 1 3 ¶ K¡2k, x¢= 4K¡2k, x¢.

Corolário 1.3.2. Seja x ∈ Σ( ¯E) um elemento que satisfaz

lim

t→0K(t, x) = 0 e t→∞lim t

−1_{K(t, x) = 0.}

Então, existe uma função fortemente mensurável u = u(t), com u(t) ∈ ∆( ¯E), satisfazendo x = Z _∞ 0 u(t)dt t ¡ convergência em Σ( ¯E)¢ (1.40)

e para todo t > 0, J (t, u(t)) ≤ 8 (ln 2)−1K (t, x).

Demonstração. Sejam (x0

k)k∈Z, (x1k)k∈Z e (uk)k∈Z as seqüências obtidas na demonstração do

Lema 1.3.1. Agora, para 2k−1 _{≤ t < 2}k_{, definimos}

u(t) = (ln 2)−1uk= (ln 2)−1 ¡ x0 k− x0k−1 ¢ = (ln 2)−1¡x1 k−1− x1k ¢ . (1.41)

É claro que u = u(t) é uma função fortemente mensurável, toma valores em ∆( ¯E) e

Z ₂N 2−N u(t)dt t = N X k=−N +1 uk= x − x0−N − x1N.