Aula: Fatorial e binomial

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Aula: Fatorial e binomial

BINOMIAIS

E

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Fatorial e binomial

 Fatorial de um número inteiro e não negativo n se

define como sendo a expressão: Indicação: n! (n fatorial)

 Exemplos:

a) 2! = 2 . 1 = 2

b) 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120

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Observações:

 Definimos: 0! = 1 e 1! = 1

Convém notar que:

 7 = 7 . 6!

 9 = 9 . 8 . 7!

 n! = n . (n – 1)!

 (n + 1)! = (n + 1) . n!

 (n – 2)! = (n – 2) . (n – 3)!

Podemos desenvolver o fatorial até que ele se torne conveniente para resolvermos um exercício.

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Exemplos:

1) Simplifique as expressões: 𝑎) 7! 5! = 7.6.5! 5! = 42 𝑏) 𝑛! 𝑛 − 2 ! = 𝑛. 𝑛 − 1 . 𝑛 − 2 ! 𝑛 − 2 ! = 𝑛. (𝑛 − 1)

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𝑐) 𝑛! − 𝑛 + 1 ! 𝑛 − 1 ! = 𝑛. 𝑛 − 1 ! − 𝑛 + 1 . 𝑛. 𝑛 − 1 ! 𝑛 − 1 ! 𝑂𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒 𝑞𝑢𝑒: 𝑛 𝑛 − 1 ! 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑚 − 𝑛 + 1 . 𝑛. 𝑛 − 1 ! 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑚 𝑛 − 1 ! 𝐸𝑛𝑡ã𝑜: 𝑛 𝑛 − 1 !. 1 − (𝑛 + 1) 𝑛 − 1 ! = 𝑛. −𝑛 = −𝑛2

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Equações:

 Resolva as equações: 𝑎) 𝑛! = 24 Solução: 𝑛! = 4! ∎𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠: 24! 𝑒𝑚 4! 𝑛 = 4 𝑉 = 4

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Ainda em equações...

𝑏) 𝑛 − 1 ! = 10. 𝑛 − 2 ! Solução: 𝑛 − 1 . 𝑛 − 2 ! = 10 𝑛 − 2 ! 𝑛 − 1 = 10 𝑛 = 11 𝑉 = 11

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Números binomiais

 Número binomial é todo número na forma:

𝑛

𝑝 =

𝑛!

𝑝! 𝑛 − 𝑝 ! 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜: 𝑛, 𝑝 ∈ 𝑁 𝑒 0 ≤ 𝑝 ≤ 𝑛)

Obs.: n é o numerador do binomial e p é o

denominador. Exemplo: 7 3 = 7! 3! 7−3 ! = 7! 3!.4! = 7.6.5.4! 3.2.1.4! = 7.5 = 35

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Binomais importantes:

 𝑛_{0 =} 𝑛! 0!.(𝑛−0)! = 𝑛! 0!.𝑛! = 1 1 = 1  𝑛_{𝑛 =} 𝑛! 𝑛!. 𝑛−𝑛 ! = 𝑛! 𝑛!0! = 1  𝑛_{1 =} 𝑛! 1!. 𝑛−1 ! = 𝑛.(𝑛−1)! 1! 𝑛−1 ! = 𝑛 1 = 𝑛 Exemplos: 5 0 = 1 71 = 7 88 = 1

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Binomiais consecutivos:

 Dois binomiais são consecutivos se têm o mesmo

numerador e denominadores consecutivos. Ou seja: 𝑛

𝑝 e

𝑛

𝑝 + 1 ⇒ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑐𝑢𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 Exemplos: 7₂ 𝑒 7₃ 𝑜𝑢 8₁ 𝑒 8₂ .

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Propriedades:

 Relação de Stifel: a soma de dois binomiais

consecutivos resulta num binomial cujo numerador é uma unidade maior que o numerador dos binomiais

somados, e cujo denominador é o maior dos

denominadores envolvidos na soma.

𝑛 𝑝 + 𝑛 𝑝 + 1 = 𝑛 + 1 𝑝 + 1 Exemplo: 8₄ + 8₅ = ₅9

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Ainda em propriedades...

 Igualdade: dois binomiais são iguais quando:

o São “exatamente” iguais: 𝑛_𝑝 = 𝑛_𝑝 . Ex: 5₃ e 5₃

o São complementares: Dois binomiais de mesmo

numerador são complementares se a soma de seus

denominadores resulta o numerador. Ex: 7₂ e 7₅ . Pois:

7

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Exercícios:

1. Simplifique a expressão: 15 4 + 15 5 + 16 6 + 17 7 16 5 + 16 6 + 17 7 17 6 + 17 7 18 7

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2. Calcule x nas equações: 𝑎) 10 𝑥 = 9 2 + 9 3 𝑏) 10 5 + 10 𝑥 = 11 6 R: a) x = 3 ou x = 7 b) x = 4 ou x = 6

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Triângulo de Pascal

Quando expomos os binomiais 𝑛_𝑝 em linhas e colunas, de modo que os de mesmo numerador fiquem em uma mesma linha e os de mesmo denominador fiquem em uma mesma coluna, estamos construindo o triângulo de Pascal:

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Analisando os valores dos binomiais no

△

:

Substituindo-se cada elemento do triângulo pelo seu resultado, o triângulo fica assim:

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Propriedades do

△

:

 O primeiro elemento de cada linha é na forma 𝑛₀ ,

logo é igual a 1;

 O último elemento de cada linha é na forma 𝑛_𝑛 , logo

é igual a 1;

 Em uma linha binomiais equidistantes são iguais:

5 0 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 1 5 10 10 5 1

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Ainda em propriedades do

△...

A soma de dois

elementos consecutivos de uma mesma linha é igual ao elemento situado imediatamente abaixo do segundo

elemento somado

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Teoremas...

Teorema das Linhas: a soma de todos os elementos de uma mesma linha do triângulo de Pascal é igual a 2𝑛 , onde n corresponde a linha do triângulo. (linha 0, linha 1 e assim por diante).

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Teorema das colunas: a soma dos elementos de uma mesma coluna do triângulo de Pascal, iniciando-se com o 𝑛_𝑛 , é igual ao elemento situado na linha imediatamente abaixo e na coluna imediatamente à direita do último

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Teorema das Diagonais: a soma dos elementos de uma mesma diagonal do triângulo de Pascal, iniciando-se com o 𝑛 0 é igual ao elemento situado na mesma coluna e na linha imediatamente abaixo do último elemento somado.

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Ampliando os horizontes...

 Somatório:

É indicado pela letra grega ∑ (sigma) e representa a soma de um determinado números de parcelas com uma característica comum. Observe:

𝑖2 3 𝑖=0 , 𝑜𝑛𝑑𝑒: _𝑖2 3 𝑖=0 Limite inferior Limite superior

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Isto quer dizer que....

𝑖2 3 𝑖=0 = 02 + 12 + 22 + 32 = 0 + 1 + 4 + 9 = 14 Mais um exemplo: 2𝑛 − 1 = 4 𝑛=1 2.1 − 1 + 2.2 − 1 + 2.3 − 1 + 2.4 − 1 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16

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Agora com equações...

 Resolva a equação na variável n:

𝑛 𝑖 = 29 2 𝑖=0 ⇒ 𝑛_{0 +} 𝑛_{1 +} 𝑛_{2 = 29} ⇒ 1 + 𝑛 + 1 2 = 29 ⇒ 𝑛 + 12 = 28 ⇒

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⇒ 𝑛 + 1! 2! 𝑛 + 1 − 2 ! = 28 ⇒ 𝑛 + 1! 2! 𝑛 − 1 ! = 28 ⇒ 𝑛 + 1 . 𝑛. 𝑛 − 1 ! 2.1. 𝑛 − 1 ! = 28 ⇒ 𝑛 + 1 . 𝑛 2 = 28 ⇒ 𝑛 + 1 . 𝑛 = 56 ⇒ 𝑛2 + 𝑛 = 56 ⇒ 𝑛2 + 𝑛 − 56 = 0 ⇒ 𝑛 = 7 𝑜𝑢 𝑛 = −8 𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣é𝑚 ⇒ 𝑉 = 7

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Desenvolvimento do binômio (𝑎 + 𝑏)

𝑛

 (𝑎 + 𝑏)0= 1

 (𝑎 + 𝑏)1= 1𝑎 + 1𝑏

 (𝑎 + 𝑏)2= 1𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 1𝑏2

 (𝑎 + 𝑏)3= 1𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 1𝑏3

... e assim por diante... Observe que:

 Os coeficientes que aparecem nos desenvolvimentos

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 Enquanto que os expoentes do 1º termo do binômio

(a) decrescem, os expoentes do 2º termo (b) crescem;

 Cada desenvolvimento tem um termo a mais que seu

expoente. Ex: (𝑎 + 𝑏)𝟐= 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

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Isto quer dizer que....

 Para determinar os termos do desenvolvimento de

um binômio elevado a n, temos que:

𝑎 + 𝑏 𝑛 = 𝑛_{0 𝑎}𝑛−0𝑏0 + 𝑛_{1 𝑎}𝑛−1𝑏1+ 𝑛_{2 𝑎}𝑛−2𝑏2+...+ 𝑛_{𝑛 𝑎}𝑛−𝑛𝑏𝑛

Logo, utilizando somatório:

(𝑎 + 𝑏)𝑛= 𝑛_{𝑘 𝑎}𝑛−𝑘𝑏𝑘 𝐨𝐛𝐬: 𝑠𝑒 𝑎 − 𝑏 𝑛 = 𝑎 + −𝑏 𝑛

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Termo geral do binômio:

Se quisermos “conhecer” um termo qualquer do binômio, basta utilizarmos o termo geral do binômio:

𝑇_𝑘+1 = 𝑛_{𝑘 . 𝑎}𝑛−𝑘. 𝑏𝑘 𝑜𝑛𝑑𝑒:

 Para termos o 1º termo (𝑇₁) k deve ser igual a zero,

pois:

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Fontes:

 http://produvasf.webs.com/Mat_em/BINOMIO_D

E_NEWTON.pdf

 http://www.cci401.com.br/Util/HandlerArquivoBibl

ioteca.ashx?arq=129

 Livro: Matemática ciência e aplicações – Gelson