EM REDE DE CANAIS
1EVANDRO RIBEIRO BASTOS
2ELI FERREIRA
3RESUMO - Um modelo matemático foi apresentado
para a simulação de escoamento transiente em rede de canais. As equações de Saint Venant foram integradas numericamente por um esquema explícito de diferenças finitas, com o auxílio do Método das Características. As equações características foram estendidas ao estudo de redes e algumas condições de contorno freqüentes em
rede de canais foram referidas. O modelo foi testado por um exemplo disponível na literatura. Concluiu-se que o modelo é capaz de simular com precisão os esco-amentos não permanente e permanente em rede de ca-nais, constituindo-se em um instrumento útil aos pro-fissionais das áreas de irrigação e de drenagem, na análise deste tipo de problema.
TERMOS PARA INDEXAÇÃO: Modelo matemático, escoamento transiente, rede de canais, irrigação.
MATHEMATICAL MODEL FOR ANALYSIS OF TRANSIENT FLOW IN
OPEN-CHANNEL NETWORK
ABSTRACT - A mathematical model was presented
for the simulation of transient flow in open-channel network. Saint Venant's equations were integrated numerically by an explicit finite differences scheme, with the aid of the Method of the Characteristics. The characteristic equations were extended to the study of nets and some frequent boundary conditions in
open-channel network were mentioned. The model was tested by an available example in the literature. It was concluded that the model is capable to simulate the unsteady and steady flows accurately in open-channel network, being an useful instrument to the professionals of the irrigation and drainage areas, in the analysis of this problem type.
INDEX TERMS: Mathematical model, transient flow, open-channel network, irrigation.
INTRODUÇÃO
A eficácia dos processos de condução e de distri-buição de água vem se constituindo num fator essencial ao estabelecimento de projetos de irrigação técnica e economicamente viáveis, sobretudo quando esses pro-cessos são realizados sob a forma de escoamento com superfície livre, isto é, através de canais. Entretanto, os fenômenos físicos que ocorrem no transporte de água através de uma rede de canais são complexos e reque-rem um estudo científico apurado.
Em hidráulica de canais, pode-se distinguir dois tipos básicos de regime de escoamento: permanente e transiente (não permanente). Os problemas de escoa-mento com superfície livre, na maioria dos casos, cons-tituem-se na análise de escoamentos transientes, nos quais as variáveis de estado do escoamento, velocidade, vazão e profundidade, variam com o tempo. O regime permanente é caracterizado como uma fase do escoa-mento em que suas variáveis de estado permanecem constantes com o tempo, sendo, portanto, um caso par-ticular do regime transiente.
Segundo a ASCE (1993), os modelos para a pre-dição de fluxo não permanente em rede de canais estão no início de seu desenvolvimento. Isso se deve, em grande parte, à complexidade do problema. Os pré-requisitos de um bom modelo para a simulação de esco-amentos transientes em rede de canais são: a aplicabili-dade às diversas condições de operação, a precisão dos resultados e uma forma mais amigável de uso.
Nesse sentido, o presente trabalho teve como objeti-vo apresentar um modelo matemático para a simulação de escoamentos transientes em rede de canais, constituindo-se em um instrumento útil aos profissionais das áreas de irri-gação e de drenagem, na análise deste tipo de problema.
APRESENTAÇÃO DO MODELO
De acordo com Chaudhry (1987) e Wylie e Stre-eter (1983), pode-se afirmar que os escoamentos com superfície livre são regidos pelas equações básicas da hidráulica, quais sejam a equação da Continuidade (1) e a equação da Quantidade de Movimento (2), que, em conjunto, são chamadas de equações de Saint Venant.
1. Parte da Dissertação apresentada à UNIVERSIDADE FEDERAL DE LAVRAS (UFLA), pelo primeiro autor, para a obtenção do grau de Mestre em Engenharia Agrícola, na área de Irrigação e Drenagem.
2. Engenheiro Agrícola formado pela UFLA.
As variáveis características destes escoamentos, velocidade média V e profundidade do escoamento h, são determinadas através da integração das equações de Saint Venant em relação ao tempo t e à posição ao lon-go do comprimento dos canais x, com o auxílio das equações que representam as diferentes condições de contorno em suas extremidades. Nas equações (1) e (2),
A representa a área de fluxo; q, a contribuição lateral
de vazão por unidade de comprimento de canal; J0, a declividade do fundo do canal; JE, a declividade da li-nha de energia e g, a aceleração da gravidade.
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ A t V A x A V x q + + − =0 (1)
(
)
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ V t V V x g h x V q A g Jo JE + + + − − =0 (2)As equações de Saint Venant constituem um sistema de equações diferenciais parciais hiperbólicas que não pode ser resolvido de forma exata por meios analíticos. Faz-se necessária a adoção de um esquema numérico que possa resolver essas equações com níveis aceitáveis de precisão e de compatibilidade com o fe-nômeno físico.
Utilizou-se o Método das Características para transformar o sistema composto por duas equações diferenciais parciais hiperbólicas (equações de Saint
Venant) em outro sistema, agora constituído por quatro equações diferenciais ordinárias, válidas aos pares, (3) e (4), e (5) e (6). O termo c nestas equa-ções representa a celeridade de uma onda gravitaci-onal (Bakhmeteff, 1932).
(
)
( ) d V d t g c d h d t g J J q AV c E o + + − + − =0 (3) d x d t = +V c (4)(
)
( ) d V d t g c d h d t g J J q AV c E o − + − + + =0 (5) d x d t = −V c (6)A Figura 1 apresenta as chamadas curvas ca-racterísticas correspondentes às equações (4) e (6). A curva à esquerda do ponto P é denominada ca-racterística positiva e é representada pelo símbolo
C+ , correspondendo à equação (4). A equação (3) é válida ao longo da curva característica positiva. Já a curva à direita do ponto P é denominada caracterís-tica negativa e é representada pelo símbolo C¯ , cor-respondendo à equação (6). A equação (5) é válida ao longo da curva característica negativa.
Tempo
Para efeito de cálculo, os canais de uma rede são divididos em N trechos de comprimento ∆x, aos quais correspondem um número NS=N+1 de posições (ou de seções) computacionais i. Nos esquemas explícitos de diferenças finitas, Figuras 1 e 2, as dimensões ∆t e ∆x
são relacionadas pela condição de Courant (Chaudhry, 1987).
As equações diferenciais ordinárias (3) e (4), e (5) e (6) foram integradas numericamente por um es-quema explícito de diferenças finitas, obtendo-se, res-pectivamente, as equações (7) e (8), e (9) e (10), que relaci-onam as variáveis dependentes, V e h, no ponto P em ambas as curvas características (Figura 2).
(
)
(
)
(
)
V V g c h h g J J t q t V c A P R R P R E o R R R R − + − + − ∆ + ∆ − =0 (7)(
)
xP−xR=VR+cR ∆t (8)(
)
(
)
(
)
V V g c h h g J J t q t V c A P S S p S E o S S S S − − − + − ∆ + ∆ + =0 (9)(
)
xP−xS= VS−cS ∆t (10)Nas equações acima, os subscritos R e S indi-cam valores das variáveis de estado que são obtidos através de interpolação linear, a partir dos valores co-nhecidos em A, C e B. O subscrito P indica valores das variáveis de estado a serem calculados no instante atual.
Retomando-se a equação (7), válida ao longo da curva característica positiva, explicitando-se VP,
fazen-do-se Z g c R R = (11) e
(
)
(
)
W V Z h t g J J q V c A R R R R E o R R R R = + − − + − ∆ , (12)pode-se reescrever a equação (7) como:
VP=WR−Z hR P (13) De maneira análoga, retomando-se a equação (9), válida ao longo da curva característica negativa, explicitando-se VP, fazendo-se
Tempo
Z g c S S = (14) e
(
)
(
)
W V Z h t g J J q V c A S S S S E o S S S S = − − − + + ∆ , (15)pode-se reescrever a equação (9) como:
VP=WS+Z hS P (16) Substituindo-se a equação (16) na equação (13), obtém-se a equação da profundidade de escoamento
h
P: h W W Z Z P R S S R = − + (17)As equações (17) e (13) ou (16) permitem o cálculo, para um dado instante, dos valores das variáveis hP e VP
em todas as seções internas (2 a N) de um canal.
Nas seções extremas dos canais, 1 e NS, que constituem os nós da rede, as variáveis de estado, VP e
hP, são calculadas pela resolução de um sistema que envolve as equações características nas referidas seções de cada canal ligado ao nó e uma equação do tipo
( )
QPE =f hP (fluxo através de uma estrutura hidráulica em função da profundidade de escoamento no nó no instante atual), que expressa matematicamente a condi-ção de contorno ali presente. As condições de contorno representam estruturas hidráulicas, tais como reservató-rios, comportas, transições e curvas-chave de jusante.
Quando o nó é formado apenas por uma confluência de canais, QPE =0, ficando o sistema restrito às equações características dos canais.
A apresentação integral do modelo matemático e os fluxogramas de cálculo encontram-se no texto da dissertação da qual este artigo foi extraído, isto é, em Bastos (1997).
DESEMPENHO DO MODELO
Nesta seção, será simulado o escoamento transi-ente da “Rede C” do trabalho apresentado por Joliffe (1984), com a finalidade de testar o funcionamento do modelo pela comparação de seus resultados com aque-les obtidos pelo referido autor. Trata-se da simulação de um escoamento transiente em uma rede de canais, cau-sado por uma variação de vazão representada por um hidrograma na entrada da rede. A topologia desta rede, que está apresentada na Figura 3, é composta por 10 elementos, sendo 9 canais e 1 reservatório de jusante de nível constante com profundidade de 0,2 m.
Todos os canais que compõem esta rede, E1, E2, E3, E4, E6, E7, E8, E9 e E10, têm comprimento de 1000 m e coeficiente de rugosidade de Strickler de 50 m1/3/s; são trapezoidais, com largura da base de 5 m, inclinação dos taludes de 1:1 (horizontal:vertical) e fo-ram discretizados cada um em 10 trechos computacio-nais. Os canais E6, E8 e E10 têm declividade do fundo nula e os demais canais têm declividade do fundo igual a 0,0001 m/m.
Os dados que caracterizam o regime permanente inicial, que será utilizado para o início da simulação do es-coamento transiente, estão apresentados na Tabela 1.
A partir dos valores do regime permanente inici-al, simulou-se uma condição de escoamento transiente, através da variação da entrada de água na rede pelo nó número 1. Essa entrada de água que, inicialmente, era de
0,17 m3/s, aumentou linearmente para 4,83 m3/s em 60 min e, a seguir, caiu novamente, de forma linear, para 0,17 m3/s, também em 60 min, conforme hidrograma apresen-tado na Figura 4. O tempo total de simulação foi de 5 h.
TABELA 1 - Dados do regime permanente inicial para a simulação do escoamento transiente.
Elemento (no) Seção (no) Vazão (m3/s) Profund. (m) Elemento (no) Seção (no) Vazão (m3/s) Profund. (m) 1 1 0,1700 0,1946 7 1 0,0572 0,1091 11 0,1708 0,1549 11 0,0591 0,1492 2 1 0,1116 0,1549 8 1 0,0180 0,1521 11 0,1115 0,1521 11 0,0180 0,1492 3 1 0,0935 0,1521 9 1 0,0771 0,1492 11 0,0932 0,2000 11 0,0766 0,2176 4 1 0,1700 0,2000 10 1 0,0766 0,2176 11 0,1700 0,2000 11 0,0768 0,2000 6 1 0,0592 0,1549 11 0,0572 0,1091 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 Tempo (min) Vazão (m3/s)
Como resultado da simulação, foram gerados valores de vazão e de profundidade de escoamento em função do tempo para todos os canais da rede. Com esses dados, foram construídos dois grupos de gráficos. O primeiro (Figura 5) apresenta a variação da vazão com o tempo no início (nó 1) e no final da rede (nó 5), durante o tempo de simulação. O segun-do (Figura 6) apresenta a variação da profundidade com o tempo nos nós 2, 3 e 4 da rede, durante o tempo de simulação.
A Figura 7 é uma reedição dos gráficos dos resultados obtidos por Joliffe (1984) para as profun-didades de escoamento nos nós 2, 3 e 4 e para o hi-drograma de entrada na “Rede C”, durante o tempo de simulação.
Comparando-se os gráficos das Figuras 5 e 6 (resultados do modelo) com os gráficos da Figura 7 (re-sultados de Joliffe, 1984), conclui-se, por congruência gráfica, que, no exemplo simulado, os resultados
gera-dos pelo presente modelo convergiram para os mesmos resultados obtidos por Joliffe (1984).
CONCLUSÕES
O modelo matemático apresentado produziu re-sultados compatíveis com os rere-sultados obtidos por Jo-liffe (1984). O modelo conta com o tratamento de con-dições de contorno freqüentemente encontradas em re-des de canais, tais como: reservatórios, comportas, tran-sições, curvas-chave de jusante e demandas localizadas. Além disso, existe a possibilidade de simulação do es-coamento em redes com canais que possuem contribui-ção lateral de vazão (representada pela variável q na
equação 1). Isso é comum nas redes de canais de irriga-ção e de drenagem. Dessa forma, o modelo matemático desenvolvido constitui-se em um instrumento útil aos pro-fissionais das áreas de irrigação e de drenagem na análise de escoamentos em rede de canais.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 Tempo (min) 3
Vazão entrando na rede Vazão saindo da rede
0 0.3 0.6 0.9 1.2 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 Tempo (min) Nó 2 Nó 3 Nó 4
FIGURA 6 - Batigramas nos nós 2, 3 e 4 da rede de canais.
P
ro
fu
n
d
id
a
d
e
(
m
)
V
a
z
ã
o
(
m
/s
)
3 0 0,6 1,2 0,3 0,9nó 2
nó 3
nó 4
Tempo (min)
Tempo (min)
0 30 60 90 120 150 180 210 140 270 300 0 5,0 2,5 0 30 60 90 120 150 180 210 140 270 300REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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