O T E O R E M A F U N D A M E N TA L D O C Á L C U L O. Prof. Benito Frazão Pires

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O T E O R E M A F U N D A M E N TA L D O C ´A L C U L O

Prof. Benito Fraz˜ao Pires

Conforme foi visto na Aula 1, se f : [a, b] →R for cont´ınua, ent˜ao a integral Zb

a

f(x)dx existirá e será igual à área l´ıquida (contabilizando o sinal) delimitada pelo gráfico de f e pelo eixo x. O mesmo vale se trocarmos b por qualquer um n úmero arbirário t ∈ [a, b], nesse caso a integral

Zt a

f(x)dx será igual à área l´ıquida delimitada pelo gráfico de f, pelo eixo x e pelas retas x = a e x = t.

(a) x y = f(x) b a (a) x y = f(x) b t a Figura 1: As integrais Zb a f(x)dx e Zt a f(x)dx

Seja F : [a, b] →R a função que associa a cada t ∈ [a, b], o n úmero F(t) = Zt

a

f(t)dt. O Teorema Fundamental do Cálculo afirma que a função F é uma antiderivada de f, istoé, ele diz que F é cont´ınua em [a, b], diferenciável em (a, b) e F0(t) = f(t)para todo t∈ (a, b).

Exemplo 4.0.1 Seja f : [0, 4] → R a função f(x) = |x − 2|. Faça um gráfico da função F(t) =

Zt 0

f(x)_{dx para 0 6 t 6 4.}

Resolução. A função f pode ser escrita da seguinte forma

f(x) =    2 − x se 0 6 x 6 2 x − 2 _{se 2 6 x 6 4} .

(2)

A integral F(t) = Zt

0

f(x)dx ser´a dada por:

F(t) =          Zt 0 f(x)dx = Zt 0 (2 − x) dx = 2x −x 2 2 t 0 = 2t − t 2 2 se 0 6 t 6 2 Zt 0 f(x) dx = Z2 0 (2 − x)dx + Zt 2 (x − 2)dx = t 2 2 − 2(t − 2)se 2 6 t 6 4 .

Assim, a função F é definida por

F(t) =        2t −t 2 2 se 06 t 6 2 t2 2 − 2t + 4 se 26 t 6 4 . x f(x) 2 4 2 1 0 Figura 2 Integrac¸˜ao t F(t) 2 4 4 0

O que o exemplo 4.0.1 mostra é que o processo de integração retorna uma função melhor do que a função original. Mais precisamente, o processo de integração transformou uma função cont´ınua não-derivável numa função derivável. O Teorema Fundamental do Cálculo afirma que o comportamento observado no Exemplo 4.0.1 é a regra, isto é, o processo de integração transforma toda função cont´ınua numa função derivável.

Teorema 4.0.2 (Teorema Fundamental do Cálculo) Seja f : [a, b] → R uma função cont´ınua. A função F : [a, b] →R definida por F(t) =

Zt a

f(s)ds é uma função cont´ınua em [a, b], derivável em (a, b) e F0(t) = f(t)para todo t ∈ (a, b).

Prova. Ver apˆendice.

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Embora o Teorema Fundamental do Cálculo assegure a existência de uma anti-derivada F de toda função cont´ınua f : [a, b] → R, nem sempre é poss´ıvel escrever uma f órmula expl´ıcica de F envolvendo funç ões elementares (polin ômios, log, funç ões trigonométricas, etc. . . ). Este é exatamente o caso da função f(s) = e−s2_.

O Teorema Fundamental do C´alculo tamb´em pode ser enunciado da seguinte maneira.

Teorema 4.0.3 Seja f : [a, b] →R uma função cont´ınua, então d

dt Zt

a

f(s)ds = f(t) para todo t∈ (a, b).

Enunciado desta maneira, o Teorema Fundamental do Cálculo diz que a operação de derivação é uma operação inversa à operação de integração, isto é, a derivação cancela a integração. Exemplo 4.0.4 Calcule d dt t=1 Zt 0

sds de dois modos diferentes: (a) Usando o Teorema Fundamental do C´alculo

(b) Integrando e depois calculando a derivada

Resolução. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos que

d dt t=1 Zt 0

sds = f(1) = 1, o que resolve o item (a). Para seguir o procedi-mento sugerido no item (b), observe que F(t) =

Zt 0

sds é a área de um triângulo retângulo com base t e altura t. Portanto, F(t) = t2

2. Sendo assim, d dt t=1 Zt 0 sds = d dt t=1F(t) = F 0_{(1) = 1} .

O procedimento (b) utilizado no Exemplo 4.0.4 nem sempre pode ser implementado conforme mostra o seguinte exemplo.

Exemplo 4.0.5 Calcule as seguintes derivadas:

(a) d du u=1 Zu 0 1 √ 2πe −s2 ds; (b) d dt _t=1 Zt2 0 1 √ 2πe −s2 ds.

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Resoluc¸˜ao.

(a) Pelo Teorema Fundamental do Cálculo , a função F(u) = Zu 0 1 √ 2πe −s2_ds é de-rivável. Entretanto, não é poss´ıvel exibir F em termos de funç ões elementares (polin ômios, funç ões trigonométricas, logaritmos, etc. . . ). Mesmo assim, podemos encontrar a sua derivada explicitamente aplicando o Teorema 4.0.3. Fazendo isso, obtemos: F0(u) = d du u=1 Zu 0 1 √ 2πe −s2_d s = √1 2πe −s2 s=u=1 = √1 2πe −1 . (b) Observe que Zt2 0 1 √ 2πe −s2_{ds = F(t}2₎

. Portanto, pela Regra da Cadeia do C´alculo I e pelo item (a), temos que

d dt _t=1 Zt2 0 1 √ 2πe −s2 ds = 2tF0(t2) _t=1 = 2F0(1) = √2 2πe −1 . 4.1 ap ˆendice

Prova do Teorema Fundamental do Cálculo. Dada f : [a, b] → R cont´ınua, seja F : [a, b] →R a função definida por F(t) =

Zt a

f(s)ds para todo t ∈ [a, b]. Afirmamos que para todo t ∈ (a, b) e t + h ∈ (a, b),

F(t + h) − F(t) = Zt+h

t

f(s)ds. (1)

A equac¸˜ao (1) segue dos seguintes fatos: F(t + h) − F(t) = Zt+h a f(t)dt − Zt a f(t)dt = − Za t+h f(t)dt − Zt a f(t)dt = = − Zt t+h f(t)dt = Zt+h t f(t)dt. Dividindo (1) por h e calculando o limite, obtemos:

F0(t) =lim h→0 F(t + h) − F(t) h =limh→0 Rt+h t f(s)ds h =h→0lim Rt+h t f(s)ds (t + h) − t . (2) Do Teorema do Valor M´edio (Teorema 3.3.1) segue que existe c ∈ [t, t + h] tal que_R

t+h

t f(s)ds

(t + h) − t = f(c). O valor c depende de h e tende a t conforme h tende a 0. Da continuidade de f e da equac¸˜ao (2) segue que

(5)

Em particular, F ´e cont´ınua em (a, b). Afirmamos que f ´e cont´ınua em [a, b]. De fato, segue da continuidade de f que existem constantes m ∈ R e M ∈ R tais que para todo t ∈ [a, b],

m_{6 f(t) 6 M.}

Integrando no intervalo [a, a + h] e usando (1) resulta em mh_{6 F(a + h) − F(a) =}

Za+h a

f(t)_{dt 6 Mh.}

Assim, F(a + h) → F(a) quando h → 0. Isto mostra que F ´e cont´ınua em a. Analoga-mente, provamos que F ´e cont´ınua em b.