METODOLOGIA DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Resolução de Problemas

METODOLOGIA DE

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Prática Pedagógica em Matemática 1 – UERJ Prof. Ilydio Pereira de Sá

Resolução de Problemas

O que é um problema? Respostas dadas por alunos

“Situação que requerresposta ou resolução não imediata”

“Uma questão em que existe algo a descobrir” “Questão que suscita dúvidas”

“Tarefa para despertar a curiosidadee o entusiasmo”

“Desafio” “Inquietação” “Obstáculo” “Apelo à auto-satisfação”

”É problema enquanto não for encontrada resposta”

Resolução de Problemas

“Uma questão para a qual aresposta não é imediata” “Uma questão em que existe algo a descobrir”

“Coisa que [nos] move a pensar” “Situação que suscita dúvidas”

“Situação que provoca curiosidade, desperta a atenção” “Desafio” “Enigma” “Incógnita”

“... Dependedo conhecimento que cadapessoapossui” “É uma questão cuja solução não é óbvia” “É uma situação que pode gerar várias interpretações” “É algo que põe em ação os nossos conhecimentos ...

Resolução de Problemas

Um problema é ...

Tarefa, questão ou situação que nos

interessa realizar, responder ou

resolver, e não dispomos previamente

de uma estratégia para a solução.

Resolução de Problemas

•

Uma das “finalidades”

•

Um “eixo organizador”

•

Um “contexto no qual se constroem

con-[ceitos e descobrem relações”

•

Uma “atividade que estimula o espírito

[de pesquisa”

“Para a aquisição de conhecimentos deve partir-se preferencialmente de situações problemáticas”

Papel no currículo:

Nos programas atuais

Resolução de Problemas

A resolução de problemas no ensino

(perspectivas de utilização)

Objetivo Ensinarpara(resolver problemas)

Do ponto de vista do professor:

Conteúdo Ensinara(resolver problemas)

Método Ensinaratravés de(resolver problemas) (Contexto)

RESOLUÇÃO DE

PROBLEMAS

A resolução de problemas é uma estratégia

didática/metodológica importante e fundamental para o desenvolvimento do Raciocínio Lógico dos estudantes.

• Normalmente, em sala de aula, constata-se um uso exagerado de regras, resoluções por meio de procedimentos padronizados, desinteressantes para professores e alunos, empregando-se problemas rotineiros e que não desenvolvem a criatividade e nem a autonomia em matemática.

O processo ensino e aprendizagem pode ser

desenvolvido através de

desafios

, problemas

interessantes que possam ser explorados e não

apenas resolvidos.

Quando o professor adota a metodologia da

resolução de problema

s

, seu papel será de

incentivador, facilitador, mediador das ideias

apresentadas pelos alunos, de modo que estas sejam

produtivas, levando os alunos a pensarem e a

gerarem seus próprios conhecimentos.

Exercício ou Problema?

O exercício é uma atividade de adestramento no uso

de algum conhecimento matemática prévio, como

aplicação imediata de uma fórmula. O problema,

necessariamente, envolve invenção e/ou investigação,

possibilitando o desenvolvimento da criatividade e do

raciocínio lógico.

Exemplo de exercício:

Exemplo de problema:

Área com balança????

Como você pode calcular, de forma

aproximada, a área de uma forma irregular

(como o coração ao lado), usando uma

balança de dois pratos?

Tira retangular, com 1 cm de largura, feita com o mesmo material que a figura que se deseja calcular a área.

Devemos colocar uma tira bem grande e ir cortando com cuidado. Quando a balança ficar em equilíbrio, se a tira tiver x cm de comprimento, a área da figura será x cm2_.

Por que?

Os caminhos são muitos na busca de uma solução

Problema Clássico: Num quintal existem galinhas e

cachorros, num total de 8 cabeças e 22 pés (ou

patas). Quantos são os cachorros?

Solução algébrica: x galinhas_{y cachorros}

x = 5 Y = 3

5 galinhas 3 cachorros

Solução de uma aluna de 9 anos de idade

8 cabeças = 8 animaisSe só fossem galinhas, _{teríamos 16 pés} Faltam ainda 6 pés (22 –

16)

São 3 cachorros

A

resolução

de

problemas

não

depende

exclusivamente de uma matéria ou área do

conhecimento. É muito comum a necessidade de

integração de conhecimentos diversos, ou seja, de

uma ação INTERDISCIPLINAR.

“Na perspectiva escolar, ainterdisciplinaridadenão tem a pretensão de criar novas disciplinas ou saberes, mas de utilizar os conhecimentos de várias disciplinas pararesolver um problema concretoou compreender um determinado fenômeno sob diferentes pontos de vista. (Parâmetros Curriculares Nacionais Ensino Médio, 2000, p.21)

Uma aplicação Interdisciplinar do problema da balança

Para analisar a transpiração das plantas, os botânicos precisam conhecer a área das suas folhas. Como são formas geométricas não regulares, essa área pode ser obtida pelo processo da balança. Coloca-se a folha da planta sobre uma cartolina e traça-se o seu contorno. Na mesma cartolina, desenha-se um quadrado de, por exemplo, 10 cm de lado, como se vê na figura abaixo:

Após serem recortadas, as duas figuras são pesadas em uma balança de precisão. O pesquisador verifica que o quadrado de cartolina indica uma massa de 1,44 g. Desse modo, usando proporções, os biólogos podem determinar o valor aproximado da área da folha. Como pode ser feita essa determinação?

a) Se a figura da folha tem uma massa de 3,24 g, qual o valor aproximado de sua área?

b) Um estudante usou o seguinte processo. Contornou a folha com um fio bem fino, em seguida uniu as pontas desse fio e o transformou num retângulo. Para esse aluno, a área do retângulo é igual à área da folha. Está correto esse raciocínio?

SOLUÇÃO

A) Pelas informações do texto, temos que a área é proporcional à massa, logo, se designarmos a área da folha por x cm2_{, teremos:}

100 cm2 _{_____ 1,44 g} x cm2 _{_______3,24 g} 5 cm 5 cm 3 cm 3 cm 4 cm 4 cm 4 cm 4 cm

Observe que as duas figuras têm o mesmo perímetro (16 cm) mas as áreas são diferentes. O retângulo tem área de 15 cm2_{e o}

quadrado tem área de 16 cm2_.

B) A conclusão do aluno estáerradapois podemos ter formas com o mesmo perímetro mas com áreas diferentes. Observe as figuras abaixo:

Resolução de Problemas

OBJETIVOS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Fazer o aluno pensar produtivamente.

É sem dúvida um dos principais objetivos do ensino da matemática, e, para ser atingido, devemos sempre procurar situações desafiadoras e interessantes, nunca esquecendo de que uma aula de matemática não tem de ser uma coisa desagradável.

Desenvolver o raciocínio do aluno.

Na escola ou fora dela, o aluno deve ser capaz de desenvolver, de forma lógica e eficiente, o seu raciocínio, de modo a propor boas soluções aos problemas que se apresentem.

Preparar o aluno para enfrentar situações novas.

Para isto a resolução de problemas deve ter por objetivo desenvolver no aluno o espírito de iniciativa, curiosidade, independência e segurança.

Dar ao aluno um real significado das aulas de matemática.

Dessa forma, partindo de situações do cotidiano do aluno, poderemos favorecer o desenvolvimento de atitudes positivas em relação à matemática. Nada é mais desagradável ao aluno do que a mecânica repetição de cálculos e expressões cansativas e sem objetivos práticos.

Resolução de Problemas

OBJETIVOS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Tornar as aulas de matemática interessantes e desafiadoras.

Uma aposta no lúdico, que pode, através de desafios e jogos tornar muito mais interessantes as aulas de matemática.

Ser um elemento de ação contra o mito da “Má-Temática”

Na fase inicial dos estudos de matemática é, através da resolução de problemas, que o aluno vai se alfabetizando matematicamente e adquirindo confiança no que se propõe realizar.

Ser um modo holístico de estudar matemática.

Como os problemas propostos devem ser ricos em situações nas mais diversas áreas do conhecimento humano, bem como nas suas relações de interdisciplinaridade, contribuem para um modo holístico e integral do ensino da matemática na Educação Básica.

Resolução de Problemas Problemas de Reconhecimento

São exercícios de identificação de propriedades, conceitos, definições.

Exemplos:

a) Qual o maior número natural par, de três algarismos distintos? b) Qual o valor do produto de dois números racionais recíprocos?

Problemas de Algoritmos

São exercícios que visam “treinar” uma habilidade específica qualquer como operações, expressões, etc.

Exemplos:

a) Qual o valor da expressão: 3 . [10 : (8 - 3)] + 4

b) Determinar o quociente de divisão 432 : 32 , com erro inferior a 0,01.

Resolução de Problemas

OS PRINCIPAIS TIPOS DE PROBLEMAS:

Problemas Padrão

São problemas imediatos, normalmente existentes como fixação, no final dos capítulos dos livros didáticos, e que requerem unicamente a aplicação dos algoritmos das 4 operações fundamentais. De um modo geral eles não aguçam a curiosidade do aluno e nem o desafiam.

Exemplos:

Problemas-padrão simples

Uma hora tem 60 minutos. Quantos minutos têm 8 horas?

Problemas-padrão compostos

Ana, Beth e Carla possuem juntas $190,00. Sabendo que Ana possui $62,00 e as outras duas possuem quantias iguais, determine quanto possui cada uma.

Resolução de Problemas

OS PRINCIPAIS TIPOS DE PROBLEMAS: Problemas-processo ou HEURÍSTICOS

São problemas cuja solução não está diretamente explicita em seu enunciado, e não depende de aplicação automática de algum algoritmo previamente estudado.

São muito mais interessantes do que os problemas-padrão, pois aguçam a curiosidade do aluno, seu espírito de exploração e servem para iniciar o aluno no desenvolvimento de estratégias para sua resolução, o que é muito mais importante do que a própria resposta certa. Em nosso curso, além de indicarmos um conjunto de sugestões de como melhor desenvolver a resolução de problemas em classe, daremos também vários exemplos de problemas a serem utilizados, lógico que sejam problemas-processo ou heurísticos, de acordo com nossos objetivos.

Exemplo: Sete pessoas estão em um grupo. Se cada uma delas trocar um aperto de mão com todos os demais, quantos apertos de mão teremos ao todo?

Resolução de Problemas OS JOGOS

Os jogos, além da característica lúdica e de motivação que desperta nos alunos, apresentam também outros importantes motivos para seu uso no ensino de Matemática elementar:

• Permitem uma abordagem informal e intuitiva de conceitos e idéias matemáticas considerados demasiadamente abstratos em determinada fase do desenvolvimento do aluno.

• Podem contribuir, de forma positiva, para que o aluno encare o erro de forma mais natural.

• Favorecem, de modo natural, a interação entre os alunos.

• Permitem que os alunos sintam que podem ter sucesso, e ajudam a criar um ambiente alegre e descontraído.

Cabe ainda destacar que várias capacidades de domínio afetivo podem ser desenvolvidas com a prática de jogos. Entre elas destacamos a autoconfiança, a autonomia, o espírito de equipe e de cooperação, a capacidade de comunicação, de argumentação, de estimação, de “escutar o outro” e de “tomada de decisões”.

Resolução de Problemas 28 G. Polya

Compreensão do problema

Estabelecimento de um plano

Execução do plano

Análise retrospectiva

“Resolver problemas é uma habilidade prática, como nadar, esquiar ou tocar piano: você pode aprendê-la por meio de imitação e prática. (...) se você quer aprender a nadar você tem de ir à água e se você quer se tornar um bom ‘resolvedor de problemas’, tem que resolver problemas”.

George Polya (1887 – 1985)

Segundo Polya, em seu livro “How to solve it”, que

no Brasil teve a versão “A Arte de Resolver

Problemas”, a metodologia de resolução de

problemas envolve quatro etapas:

• A compreensão do problema;

• o estabelecimento de um plano de resolução;

• a execução desse plano;

1) Compreender o problema

a) O que se pede no problema?

b) Quais são os dados e as condições do problema? c) É possível fazer uma figura, um esquema ou um diagrama?

d) É possível estimar a resposta?_{2) Elaborar um plano} a) Qual é o seu plano para resolver o problema? b) Que estratégia você tentará desenvolver?

c) Você se lembra de um problema semelhante que possa ajudá-lo a resolver este?

d) Tente organizar os dados em tabelas ou gráficos. e) Tente resolver o problema por partes.

3) Executar o plano

a) Execute o plano elaborado, verificando-o passo a passo. b) Efetue todos os cálculos indicados no plano

c) Efetue todas as estratégias pensadas, obtendo várias maneiras de resolver o mesmo problema.

4) Fazer o retrospecto ou verificação a) Examine se a solução obtida está correta. b) Existe outra maneira de resolver o problema?

c) É possível usar este método em problemas semelhantes?

Exemplo de resolução de um problema, usando a metodologia de Polya

Haverá uma reunião de pais daqui a 100 dias. Se hoje é quarta feira, então a reunião acontecerá em uma

(A) quarta-feira. (B) quinta-feira. (C) sexta-feira. (D) segunda-feira. (E) terça-feira.

1° – Compreensão do Problema

A questão pede para determinar qual dia da semana ocorre, após 100 dias, sabendo que hoje é quarta–feira.

2° – Estabelecimento de um Plano

Utilizando conceito de Aritmética Modular, podemos utilizar o valor do resto da divisão de 100 dias por 7 dias (uma semana tem sete dias), para determinar o dia da semana.

Observe que após sete dias é quarta – feira novamente (7 /7 tem resto 0); após oito dias é quinta – feira (8 / 7 tem resto 1); após nove dias é sexta – feira (9 / 7 tem resto 2); e assim sucessivamente. Podemos instituir uma tabela que resume esse comportamento.

Dia da Semana Resto Quarta – feira 0 Quinta – feira 1 Sexta – feira 2 Sábado 3 Domingo 4 Segunda – feira 5 Terça – feira 6 3° – Execução do Plano

Realizando a divisão de 100 dias por 7 dias obtemos o resto 2. Conforme a Tabela, observamos que após 100 dias teremos uma sexta – feira.

Em forma matemática temos que 100 ≡ 2 (mod 7). Lê-se “100 é côngruo a 2 módulo 7”.

4° – Verificação

Com o auxílio de um calendário qualquer, pode-se fazer a verificação da resposta obtida.

30 dias após o dia 1 30 + 28 =58 dias 58 + 31 =89 dias

89 + 11 = 100 dias

Resolução de Problemas

“De que é que a Matemática consiste verdadeiramente? Axiomas...? Teoremas...? Demonstrações...

Definições...? Teorias...? Fórmulas...? Métodos…? A Matemática certamente não existiria sem estes ingre-dientes. Todos eles são essenciais.

É todavia sustentável que nenhum desses ingredientes está no coração da Matemática, que a principal razão de existir de um matemático é resolver problemas e que, por isso, aquilo de que verdadeiramente a Matemática consiste, é de problemas e das suas soluções.”

coração

Paul Halmos The heart of mathematics (1980)

Resolução de Problemas

Assim concluímos que ao aproximar a

matemática do cotidiano e da resolução de

problemas, tem-se um resultado favorável no

que se refere ao aproveitamento do alunado.

Debates e discussões visando a criação de

problemas aplicados no dia a dia devem

acontecer constantemente nos cursos de

licenciatura em matemática, pois, assim, a

formação deste profissional será mais

completa.

Problemas que desafiam o raciocínio...

Estimulam a observação, a criação de hipóteses e

analogias, a tomada de decisões e a elaboração de

justificativas e conclusões. Favorecem o bom

desempenho em todas as disciplinas e preparam para

as situações simples e complexas da vida.

Uma das grandes dificuldades que os professores

(as) encontram para desenvolver seu trabalho com

desafios junto a seus alunos é localizarem problemas

adequados à faixa etária de sua série.

A resolução de problemas

constitui, em

matemática,

um

contexto

universal

de

aprendizagem e deve, por isso, estar sempre

presente, associada ao raciocínio lógico e à

comunicação, assim como integrada naturalmente

nas diversas atividades de ensino.

O professor deve se “policiar” de modo a não

oferecer “gratuitamente” a solução do que foi

proposto, mesmo porque devemos incentivar a

diversidade de caminhos e de soluções distintas.

Duas estratégias para resolução de problemas

Existem várias estratégias importantes para resolução de problemas. Uma delas, bastante importante, sugere que procuremos transformar o problema proposto em outro similar mas que seja mais simples. Após a verificação do que está ocorrendo com esse problema “menor”, volta-se ao problema inicialmente proposto. Vejamos um exemplo:

Trata-se de um problema de contagem e podemos transformá-lo num problema similar, que seja mais simples.

Quantos quadrados existem na figura abaixo?

1

2

3

4

5

1 quadrado maior + 4 quadradinhos - Total = 5 = (1 + 4)

= 12 _{+ 2}2

1 quadrado maior + 4 quadrados médios + 9 quadradinhos = 14. Total = 14 = (1 + 4 + 9) = 12 _{+ 2}2 _{+ 3}2 E na figura abaixo?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Duas estratégias para resolução de problemas

Em problemas onde existem muitos operadores, que se aplicam ao valor inicial ou valores deles decorrentes, conhecendo-se um valor final, a obtenção do valor inicial pode ser feita, de uma forma bem prática, partindo-se do resultado final e, através das operações inversas chegar-se ao início.

Princípios elementares, como asoperações inversas, podem com muita vantagem ser aplicados na

resolução de problemas de matemática que, muitas

vezes, seriam muito complexos e trabalhosos, se resolvidos pelos métodos clássicos de equacionamento. Vejamos um exemplo:

Um senhor levava uma cesta de ovos para dar de presente a seus cinco netos. Ao primeiro, ele deu metade dos ovos que levava, mais 1 ovo. Ao segundo, deu metade do que ficou, mais 2 ovos. Ao terceiro, deu metade do que restou. Ao quarto deu metade do novo resto, mais 3 ovos e ao quinto, deu metade do novo resto, mais 1 ovo. Quantos ovos o senhor tinha na cesta inicialmente, sabendo que ao chegar em casa ele comeu os únicos dois ovos restantes?

? :2 – 1 ? :2 – 2 ? :2 ? :2 – 3 ? :2 – 1 2 1º neto 2º neto 3º neto 4º neto 5º neto

Aplicando as operações inversas, teremos:

1 1) (2 + 1) x 2 = 6 6 2 2) (6 + 3) x 2 = 18 18 3 3) 18 x 2 = 36 36 4 4 (36 + 2) x 2 = 76 76 5 5) (76 + 1) x 2 = 154 154

Resposta: Ele levava, inicialmente, 154 ovos

Do livro 101 desafios matemáticos

UM HOMEM GASTOU TUDO O QUE TINHA

NO BOLSO EM TRÊS LOJAS. EM CADA UMA

GASTOU 1 REAL A MAIS DO QUE A METADE

DO QUE TINHA AO ENTRAR. QUANTO O

HOMEM TINHA AO ENTRAR NA PRIMEIRA

LOJA?

Solução algébrica apresentada no livro

Portanto o homem FICOU com ZERO REAIS, porque o problema diz que ele gastou tudo o que tinha nas três lojas. Então concluímos que o dinheiro que ele ENTROU na loja 3 menos o dinheiro que ele GASTOU na loja 3 é igual a ZERO:

(N-6)/4 - ((N+2)/8) = 0

(2N-12-N-2) / 8 = 0

2N-12-N-2 = 0

N-14 = 0

N = 14

PORTANTO, QUANDO O HOMEM ENTROU NA

PRIMEIRA LOJA ELE TINHA 14 REAIS !!!

Solução aritmética alternativa

?

?

?

0

2

6

14

Conclusão: O homem tinha, no início, 14 reais.

Resolução de Problemas

Um outro exemplo:

Uma pessoa teve parte de um terreno desapropriado pela prefeitura, que pretendia alargar as duas avenidas laterais. Do terreno, em forma de quadrado, foi perdida uma faixa de 4m de largura ao norte e uma faixa de 3m de largura a oeste. A área de terreno ficou reduzida à metade. De que tamanho era o terreno.

SOLUÇÃO:

Tal problema conduzirá o aluno à sentença:

x²/2 = (x – 4) . ( x – 3 ). Ou x² -14x + 24 = 0

Que pode ser um bom início para o estudo das equações do 2º grau.

Vou adivinhar a sua idade e a de um familiar

seu (à sua escolha). Quer ver?

1º) Escreva (sem que eu veja, é claro) o nome e a

idade desse seu familiar (número com dois dígitos.

Caso seja uma criança, represente por 03,

05....etc.)

2º) Multiplique essa idade (do familiar) por dois.

3º) Some cinco unidades ao resultado obtido.

Atividade De Investigação:

Adivinhando as idades

4º) Agora multiplique o novo resultado por 50.

5º) Se este ano (2015) você já fez aniversário, some

1765 ao produto obtido, caso ainda não

aniversariou, some 1764.

6º) Finalmente subtraia dessa última soma o ano

em que você nasceu. Separe o número em duas

partes de dois algarismos cada uma.

Pronto...já tenho as duas idades...concorda?

JUSTIFICATIVA MATEMÁTICA

Vamos seguir passo-a-passo todas os comandos da atividade. Representaremos por A a idade do familiar e por B a sua idade.

1) Multiplicar por 2 a idade do familiar = 2A. 2) Somar 5 ao resultado = 2A + 5.

3) Multiplicar por 50 = (2A + 5) . 50 = 100A + 250. 4) Somando 1765 ao resultado = 100A + 250 + 1764 = 100A

+ 2015.

5) Subtraindo o ano do SEU nascimento, é claro que a parcela 2015 – ano do seu nascimento vai gerar a sua idade (B) e, antes dela, como foi multiplicada por 100, a idade A do seu familiar.

Raciocínio Lógico: Cortando o Bolo

Como você poderia dividir um bolo em 8 fatias

iguais, com apenas 3 cortes com uma faca?

Uma possível solução

Área do Círculo

Como você poderia demonstrar a fórmula para o cálculo da área de um círculo, subdividindo-o em partes iguais (no modelo, fizemos com 24 partes)?

Possível solução: Recortar as 24 partes, dispondo-as como na figura abaixo, que representa aproximadamente um paralelogramo.

É sabido que a área do paralelogramo é igual ao produto do comprimento da base, pela altura. Nesse caso, teremos:

r

π

r