• Nenhum resultado encontrado

Espírito Santo CPM - Programa de Certificação de Pessoal de Caldeiraria

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Espírito Santo CPM - Programa de Certificação de Pessoal de Caldeiraria"

Copied!
95
0
0

Texto

(1)

CPM - Programa de Certificação de Pessoal de Caldeiraria

Caldeiraria

(2)

Matemática Elementar - Caldeiraria

© SENAI - ES, 1997

Trabalho realizado em parceria SENAI / CST (Companhia Siderúrgica de Tubarão)

Coordenação Geral

Supervisão

Elaboração

Aprovação

Editoração

Francisco Lordes (SENAI)

Marcos Drews Morgado Horta (CST)

Paulo Sérgio Teles Braga (SENAI) Rosalvo Marcos Trazzi (CST)

Evandro Armini de Pauli (SENAI) Fernando Saulo Uliana (SENAI)

José Geraldo de Carvalho (CST) José Ramon Martinez Pontes (CST) Tarcilio Deorce da Rocha (CST) Wenceslau de Oliveira (CST)

Ricardo José da Silva (SENAI)

SENAI - Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial DAE - Divisão de Assistência às Empresas

Departamento Regional do Espírito Santo Av. Nossa Senhora da Penha, 2053 Bairro Santa Luíza - Vitória - ES. CEP 29045-401 - Caixa Postal 683 Telefone: (27) 3325-0255 Telefax: (27) 3227-9017

CST - Companhia Siderúrgica de Tubarão

AHD - Divisão de Desenvolvimento de Recursos Humanos

AV. Brigadeiro Eduardo Gomes, n° 930, Jardim Limoeiro - Serra - ES. CEP 29163-970

(3)

Sumário

Números Inteiros...04

• Números Naturais...04

• Operações Fundamentais com Números Naturais...04

• Números Naturais - Exercícios ...06

Frações ...10

• Números Racionais ...10

• Números Mistos...14

• Extração de Inteiros...14

• Transformação de Números Mistos em Frações Impróprias...15 • Simplificação de Frações...16 • Redução de Frações ao mesmo Denominador ...16 • Comparação de Frações ...18 • Frações - Exercícios ...22 Números Decimais ...33 • Conceito e Leitura...33

• Operações com Números Decimais ...35

• Números Decimais - Exercícios ...38

Números Inteiros Relativos ...43

• Números Opostos ou Simétricos...43

• Operações com Números Inteiros...44

• Expressões com Números Inteiros...46

• Exercícios com Números Inteiros...48

Medidas de Ângulos...49

• Operações com Medidas de Ângulos...50

• Exercícios - Medidas de Ângulos... ...51

Triângulos...61

• Classificações dos Triângulos...62

• Elementos Notáveis de um Triângulo...66

• Teorema...68 • Exercícios - Triângulos...69 Quadrilátero...72 • Paralelogramo...76 • Trapézio...81 • Polígonos Convexos...84

Nomes dos Polígonos...85

(4)

Números Inteiros

Números Naturais

Desde os tempos mais remotos, o homem sentiu a necessidade de verificar quantos elementos figuravam em um conjunto.

Antes que soubessem contar, os pastores verificavam se alguma ovelha de seus rebanhos se havia extraviado, fazendo corresponder a cada uma delas uma pedrinha que colocavam na bolsa. Na volta do rebanho, a última ovelha devia corresponder à última pedrinha. Tinham assim, a noção dos números naturais, embora não lhes dessem nomes nem os representassem por símbolos.

Nos dias de hoje, em lugar das pedrinhas, utilizam-se, em todo o mundo, os símbolos:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

O conjunto dos números naturais é representado pela letra IN e escreve-se:

IN

= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}

Operações Fundamentais Com Números Naturais Adição

É a operação que permite determinar o número de elementos da união de dois ou mais conjuntos:

1.004 577 → parcelas 12 + 4 1.597 → total ou soma Subtração

É a operação que permite determinar a diferença entre dois números naturais:

837 → Minuendo

- 158 → Subtraendo

(5)

___________________________________________________________________________________________________ Multiplicação

A multiplicação é muitas vezes definida como uma adição de parcelas iguais:

Exemplo: 2 + 2 + 2 = 3

×

2 (três parcelas iguais a 2)

381 → Multiplicando Fatores x 23 → Multiplicador 1143 + 762_ 8763 → Produto Atenção:

Qualquer número natural multiplicado por zero é zero. Exemplo: 4

×

0 = 0

Divisão

É a operação que permite determinar o quociente entre dois números.

A divisão é a operação inversa da multiplicação. Exemplo: 18

×

4 = 72 → 72

÷

4 = 18 Termos da Divisão: Dividendo → 4051 8 → Divisor - 40__ 506 → Quociente 051 - 48 03 → Resto Atenção:

Quando o dividendo é múltiplo do divisor, dizemos que a divisão é exata.

Exemplo: 16

÷

8 = 2

Quando o dividendo não é múltiplo do divisor, diz-se que a divisão é aproximada ou inexata.

Exemplo: 16

÷

5 = 3 (resto = 1)

Numa divisão, em números naturais, o divisor tem de ser sempre diferente de zero, isto é, não existe divisão por zero no conjunto de números naturais (

IN

).

(6)

Números Naturais - Exercícios

1) Complete as sucessões numéricas seguintes: Exemplo: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35 a) 7, 14, 21, ..., ..., ..., ... b) 9, 18, 27, ..., ..., ..., ... c) 11, 22, 33, ..., ..., ..., ... d) 12, 24, 36, ..., ..., ..., ... e) 15, 30, 45, ..., ..., ..., ... 2) Resolva: a) 4 + 577 + 12 + 1.004 = b) 285 + 122 + 43 + 8 + 7.305 = c) 7.815 + 427 + 2.368 + 864 =

3) Escreva as denominações dos termos e do resultado da adição:

623 ... + 321 ... 944 ...

4) Complete as sucessões numéricas seguintes: Exemplo: 50, 46, 42, 38, 34, 30, 26, 22... a) 50, 45, ..., ..., ..., ..., ... b) 50, 44, ..., ..., ..., ..., ... c) 80, 72, ..., ..., ..., ..., ... d) 108, 96, ..., ..., ..., ..., ... 5) Efetue as subtrações: a) 196 - 74 = b) 937 - 89 = c) 4.800 - 2.934 = d) 100.302 - 97.574 = e) 1.301.002 - 875.037 =

(7)

___________________________________________________________________________________________________

6) Em uma subtração, o subtraendo é 165 e o resto é 428. Qual é o minuendo?

7) Qual é o número que somado a 647 é igual a 1.206?

8) De 94.278 subtraia 62.574. Tire a prova.

9) Efetue mentalmente: a) 7

×

1 = b) 810

×

1 = c) 8

×

10 = d) 72

×

10 = e) 1.705

×

10 = f) 9

×

100 = g) 81

×

100 = h) 365

×

100 = i) 5

×

1000 = j) 12

×

1000 = k) 170

×

100 = l) 3.800

×

1000 = 10) Complete:

a) Um produto é sempre uma adição de ... iguais.

b) O produto de vários fatores é zero, quando pelo menos um de seus fatores for ...

(8)

11) Complete: a) 4

×

5

×

0 = b) 6

×

0

×

9 = c) 0

×

5

×

8 = d) 1

×

...

×

8 = 0 e) 7

×

9

×

... = 0 f) ...

×

4

×

8 = 0 12) Escreva os termos da divisão:

... 107 5 ... 07 21 ... ... 2 13) Efetue: a) 810

÷

4 = b) 408

÷

4 = c) 560

÷

8 = d) 12.018

÷

6 =

14) O número 9 está contido em 3.663 ... vezes.

15) Arme, efetue e verifique a exatidão das operações através de uma prova. a) 8.750 + 3 + 1.046 = b) 37.600 - 28.935 = c) 2.091

×

45 = d) 9.327

×

814 = e) 3.852

×

208 = f) 68.704

÷

74 = g) 1.419

÷

87 = h) 4.056

÷

68 =

(9)

___________________________________________________________________________________________________

16) Resolva as situações problemas:

a) Um reservatório contém 400 litros de água e efetuamos, sucessivamente, as seguintes operações:

• retiramos 70 litros • colocamos 38 litros • retiramos 193 litros • colocamos 101 litros • colocamos 18 litros

Qual a quantidade de água que ficou no reservatório?

b) Em uma escola estudam 1.920 alunos distribuídos igualmente em 3 períodos: manhã, tarde e noite. Pergunta-se:

• Quantos alunos estudam em cada período?

• Quantos alunos estudam em cada sala, por período, se há 16 salas de aula?

(10)

Frações

Números Racionais

Consideremos a operação 4 ÷ 5 = ? onde o dividendo não é múltiplo do divisor. Vemos que não é possível determinar o quociente dessa divisão no conjunto dos números naturais porque não há nenhum número que multiplicando por 5 seja igual a 4. A partir dessa dificuldade, o homem sentiu a necessidade de criar um outro conjunto que permite efetuar a operação de divisão, quando o dividendo não fosse múltiplo do divisor. Criou-se, então, o conjunto dos Números Racionais.

Número racional é todo aquele que é escrito na forma

a

b

onde a

e b são números inteiros e b é diferente de zero. São exemplos de números racionais:

3 5 1 2 4 3 10 5 12 24 36 18 , , , , ,

A seguir, estudaremos o conjunto dos números racionais fracionários, também chamados de frações.

Conceito de Fração:

Se dividirmos uma unidade em partes iguais e tomarmos algumas dessas partes, poderemos representar essa operação por uma fração.

Veja:

A figura foi dividida em três partes iguais. Tomamos duas partes.

Representamos, então, assim: 2 3 E lemos: dois terços.

O número que fica embaixo e indica em quantas partes o inteiro foi dividido, chama-se DENOMINADOR.

(11)

___________________________________________________________________________________________________

O número que fica sobre o traço e indica quantas partes iguais foram consideradas do inteiro, chama-se NUMERADOR.

Leitura e Classificações das Frações

Numa fração, lê-se, em primeiro lugar, o numerador e, em seguida, o denominador.

a) Quando o denominador é um número natural entre 2 e 9, a sua leitura é feita do seguinte modo:

1 2 - um meio 1 3 - um terço 1 4 - um quarto 1 5 - um quinto 1 6 - um sexto 1 7 - um sétimo 1 8 - um oitavo 1 9 - um nono

b) Quando o denominador é 10, 100 ou 1000, a sua leitura é feita usando-se as palavras décimo(s), centésimo(s) ou milésimo(s). 1 10 - um décimo 7 100 - sete centésimos 20 1000 - vinte milésimos

c) Quando o denominador é maior que 10 (e não é potência de 10), lê-se o número acompanhado da palavra "avos".

1

15 - um quinze avos

3

29 - três vinte e nove avos

13

(12)

Frações Ordinárias e Frações Decimais

As frações cujos denominadores são os números 10, 100, 1000 (potências de 10) são chamadas Frações Decimais. As outras são chamadas Frações Ordinárias.

Exemplos: 3 10 5 100 23 1000

, , são frações decimais

1 5 8 17 10 41

, , são frações ordinárias

Frações Próprias

Observe as frações abaixo:

1 2

2 3

Essas frações são menores do que a unidade. São chamadas Frações Próprias.

Nas frações próprias, o numerador é menor do que o denominador.

Frações Impróprias

Observe as frações abaixo:

7 4

4 3

Essas frações são maiores que o inteiro, portanto são Frações Impróprias.

Nas frações impróprias, o numerador é igual ou maior que o denominador.

(13)

___________________________________________________________________________________________________ Frações Aparentes

Observe:

12/6 ou 2 inteiros

3/3 ou 1 inteiro

As frações acima representam inteiros. Elas são chamadas Frações Aparentes.

Nas frações aparentes, o numerador é sempre múltiplo do denominador, isto é, o numerador é divisível pelo denominador. Uma fração aparente é também imprópria, mas nem toda fração imprópria é aparente.

Frações Equivalentes/Classe de Equivalência.

Observe as figuras: 2 3 4 6 6 9 As frações

2

3

4

6

,

e

6

9

representam o mesmo valor, porém

seus termos são números diferentes. Estas frações são denominadas Frações Equivalentes.

Para obtermos uma fração equivalente a outra, basta multiplicar ou dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número (diferente de zero).

(14)

Exemplo: 2 5 10 25 é igual a , pois

2 5

5 5

10

25

x

x

=

18 21 6 7 é igual a , pois

18

3

21 3

6

7

÷

÷

=

O conjunto de frações equivalentes a uma certa fração chama-se CLASSE DE EQUIVALÊNCIA. Exemplo: Classe de equivalência de 1 2 1 2 2 4 3 6 4 8 5 10 6 12 =      , , , , , Κ Números Mistos

São os números mistos formados por uma parte inteira e uma fração própria. 1 inteiro 1 2 Representamos assim: 1 1 2 E lemos: um inteiro e um meio Extração De Inteiros

É o processo de transformação de fração imprópria em número misto.

Observe a figura:

Podemos representar essa fração de duas maneiras:

1 1

4

5 4

(15)

___________________________________________________________________________________________________

Para transformar

5

4

em número misto, ou seja, para verificar

quantas vezes

4

4

cabe em

5

4

, procede-se assim: 5 4 1 1 1 1 4

É só dividir o numerador pelo denominador. O quociente será a parte inteira. O resto será o numerador e conserva-se o mesmo denominador.

Transformação de Números Mistos em Frações Impróprias.

Observe o exemplo e a ilustração:

Transformar 11

4 em fração imprópria.

Solução: Consiste em transformar 1 em quartos e juntar com o outro quarto. 1 1 4 4 + 1 = 5 1 + 1 4 4 4 4 1 1 ou 5 4 4

Resumidamente, procede-se assim:

Multiplica-se a parte inteira pelo denominador e adiciona-se o numerador ao produto obtido, mantendo-se o denominador.

1 1 4 1 4 1 4 5 4 = ( × + ) =

(16)

Simplificação de Frações

Simplificar uma fração significa transforma-la numa fração equivalente com os termos respectivamente menores.

Para isso, divide-se o numerador e o denominador por um mesmo número natural (diferente de 0 e de 1). Exemplo: Simplificar 8 16 8 2 16 2 4 2 8 2 2 2 4 2 1 2 ÷ ÷ = ÷÷ = ÷÷ =

Quando uma fração não pode mais ser simplificada, diz-se que ela é IRREDUTÍVEL ou que está na sua forma mais simples. Nesse caso, o numerador e o denominador são primos entre si.

Redução de Frações ao mesmo Denominador

Reduzir duas ou mais frações ao mesmo denominador significa obter frações equivalentes às apresentadas e que tenham todas o mesmo número para denominador.

Exemplo: As frações 1 2 , 2 3 e 3 4 são equivalentes a 6 12 , 8 12 e 9 12 respectivamente.

Para reduzirmos duas ou mais frações ao mesmo denominador, seguimos os seguintes passos:

1º - Calcula-se o m.m.c. dos denominadores das frações que será o menor denominador comum.

2º - Divide-se o m.m.c. encontrado pelos denominadores das frações dadas.

3º - Multiplica-se o quociente encontrado em cada divisão pelo numerador da respectiva fração. O produto encontrado é o novo numerador.

(17)

___________________________________________________________________________________________________

Exemplo:

Reduzir ao menor denominador comum as frações: 1 2 , 3 4 , 7 6 Solução: 1º - m.m.c. (2, 4, 6) = 12 é o denominador. 2, 4, 6 1, 2, 3 1, 1, 3 2 2 3 1, 1, 1 12 2º - 12

÷

2 = 6 12

÷

4 = 3 12

÷

6 = 2 3º - 1 6 12 6 12 3 3 12 9 12 7 2 12 14 12 × = × = × = Portanto: 6 12 9 12 14 12 , , é a resposta.

(18)

Comparação de Frações

Comparar duas frações significa estabelecer uma relação de igualdade ou desigualdade entre elas.

Frações com o mesmo Denominador

Observe: 5 8 3 8 1 8 Percebe-se que : 5 8

>

3 8

>

1 8 Então:

Se duas ou mais frações tem o mesmo denominador, a maior é a que tem maior numerador.

Frações com o Mesmo Numerador

Observe: 3 16 3 8 3 4 Percebemos que: 3 16

<

3 8

<

3 4 Então:

Se duas ou mais frações tem o mesmo numerador, a maior é a que tem menor denominador.

(19)

___________________________________________________________________________________________________ Frações com os Numeradores e Denominadores Diferentes

Observe: 2 3 1 2 3 4

Para fazer a comparação de frações com numeradores e denominadores diferentes,

reduzem-se as frações ao mesmo denominador.

Exemplo: 2 = 8 3, 2, 4 2 3 12 3, 1, 2 2 3, 1, 1 3 1 = 6 1, 1, 1 12 2 12 3 = 9 4 12

Já aprendemos que comparando frações com denominadores iguais a maior fração é a que tem o maior numerador.

Daí, 9 12

>

8 12

>

6 12 Então: 3 4

>

2 3

>

1 2

(20)

Adição e Subtração de Frações

A soma ou diferença de duas frações é uma outra fração, obtida a partir do estudo dos seguintes "casos":

1º As Frações tem o mesmo Denominador.

Adicionam-se ou subtraem-se os numeradores e repete-se o denominador.. Exemplo: 2 5 1 5 + = 2 1 5 3 5 + = 6 7 4 7 − = 6 4 7 2 7 − =

2º As Frações tem Denominadores diferentes.

Reduzem-se as frações ao mesmo denominador e procede-se como no 1º caso. Exemplo: 2 + 3 = 8 + 9 = 17 3, 4 2 3 4 12 12 12 3, 2 2 3, 1 3 1, 1 12 3º Números Mistos.

Transformam-se os números mistos em frações impróprias e procede-se como nos 1º e 2º casos.

Exemplo: + + 2 1 + 1 1 3 4 x x 7 + 5 = 28 + 15 = 43 = 3 7 3 4 12 12 12 12 Atenção:

Nas operações com frações, é conveniente simplificar e extrair os inteiros do resultado sempre que possível.

(21)

___________________________________________________________________________________________________ Multiplicação de Frações

A multiplicação de duas ou mais frações é igual a uma outra fração, obtida da seguinte forma:

O numerador é o produto dos numeradores e o denominador é o produto dos denominadores.

Numa multiplicação de frações, costuma-se simplificar os fatores comuns ao numerador e ao denominador antes de efetua-la.

Exemplo: 2 3 5 2 1 1 5 2 5 1 1

3

/ × = × =

/

/ / × / / / × / / = × × = = 6 5 10 3 6 9 2 1 2 1 2 3 8 3 2 2 3 2 1 2 1 2 3

Divisão de Frações Ordinárias

O quociente da divisão de duas frações é uma outra fração obtida da seguinte forma:

Multiplica-se a primeira pela fração inversa da segunda. Para isso, exige-se:

3º - Transformar os números mistos em frações impróprias. 4º - Transformar os números inteiros em frações aparentes. 5º - Simplificar.

6º - Multiplicar os numeradores entre si e os denominadores entre si. 7º - Extrair os inteiros. Exemplo: 3 4 5 7 3 4 7 5 21 20 1 1 20 ÷ = × = = 8 1 4 3 33 4 3 1 33 4 1 3 11 4 2 3 4 11 1 ÷ = ÷ = / / × / = =

(22)

Atenção:

Quando houver símbolo de polegada ou de outra unidade em ambos os termos da fração, esse símbolo deve ser cancelado. Exemplo: 3 4 4 1 3 4 1 4 3 16 " " " " ÷ = × =

Partes Fracionárias de um Número

Observe: 2 3 15 2 3 15 1 10 1 5 de = / × / / =

Para determinar partes fracionárias de um número, devemos multiplicar a parte fracionária pelo número dado.

Frações - Exercícios

1) Observando o desenho, escreva o que se pede:

a) O inteiro foi dividido em ... partes iguais.

b) As partes sombreadas representam ... partes desse inteiro.

c) A fração representada é: ...

d) O termo da fração que indica em quantas partes o inteiro foi dividido é o ...

e) O termo da fração que indica quantas dessas partes foram tomadas é o ...

2) Escreva as frações representadas pelos desenhos:

a) c)

(23)

___________________________________________________________________________________________________

3) Represente com desenho as seguintes frações:

7 8 2 3 1 9 5 4 1 2

4) Complete com a palavra correta:

a) Frações próprias são frações cujo numerador é ... que o denominador.

b) Frações próprias representam quantidades ... que a unidade.

c) Frações impróprias são frações cujo numerador é ... que o denominador.

d) Frações impróprias representam quantidades

... que a unidade.

5) Numa pizzaria, Luís comeu 1

2 de uma pizza e Camila comeu 2

4 da mesma pizza.

a) Quem comeu mais?... b) Quanto sobrou da pizza? ...

6) Assinale V (VERDADEIRO) ou F (FALSO):

a) ( ) Toda fração imprópria é maior do que 1.

b) ( ) Toda fração imprópria pode ser representada por um número misto.

c) ( ) 1

3 é uma fração.

d) ( ) 3

(24)

7) Faça a leitura de cada uma das frações seguintes: a) 3 4 ... b) 5 8 ... c) 1 2 ... d) 5 100 ...

8) Classificar as frações seguintes em própria, imprópria ou aparente: a) 2 3 ... b) 5 2 ... c) 8 4 ... d) 12 15 ... e) 24 6 ...

9) Circule as frações equivalentes a:

a) 2 = 10 3 5 8 6

5 25 4 20 20 15

b) 6 = 2 18 7 30 1

(25)

___________________________________________________________________________________________________

10) Identifique as funções com o nº correspondente abaixo:

1. fração ordinária 2. fração decimal ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 2 7 10 359 1000 6 35

11) Transforme os números mistos em frações impróprias:

a) 27 9 = b) 3 1 2= c) 5 7 13 = d) 11 8 = e) 12 3 4 = 12) Extraia os inteiros das frações:

a) 17 5 = b) 38 7 = c) 87 4 = d) 25 13 = e) 42 19 =

13) Simplifique as frações, tornando-as irredutíveis:

a) 4 6 = b) 6 15 = c) 8 14 = d) 14 28 = e) 9 36 =

(26)

14) Reduza as frações ao mesmo denominador: a) 1 4 5 6 , = b) 1 8 3 16 , = c) 3 5 6 8 , = d) 1 2 5 16 3 12 , , = e) 3 4 6 16 3 5 , , =

15) Compare as frações, escrevendo-as em ordem crescente:

a) 2 4 3 4 1 4 10 4 , , , ; b) 3 6 3 10 3 2 3 1 3 12 , , , , ; c) 1 10 3 8 2 5 1 8 3 15 , , , , ; d) 1 5 16 1 1 8 5 6 1 1 5 , , , ;

16) Compare as frações apresentadas em cada item, escrevendo, entre elas, os sinais

<

ou

>

ou

=

: a) 1 5 4 5 b) 3 2 7 3 c) 5 2 4 3 d) 6 4 7 5 e) 3 9 1 9 f) 1 5 1 6 g) 3 4 5 4 h) 2 7 2 15 i) 7 11 3 5 j) 2 7 10 35

(27)

___________________________________________________________________________________________________

17) Descubra e escreva qual é a maior fração:

a) 3 5 2 3 ou b) 1 2 2 9 ou c) 3 4 5 6 ou d) 6 10 3 6 ou

18) Circule as frações menores do que um inteiro: 1 3 9 8 2 12 8 12 7 4 9 5

19) Observe as figuras e escreva as frações representadas:

Complete:

Essas frações representam o mesmo valor, porém seus termos são números diferentes.

Essas frações são denominadas ...

20) Numere a 1ª coluna de acordo com a fração equivalente na 2ª: ( ) 2 3 ( a ) 28 32 ( ) 1 2 ( b ) 25 40 ( ) 7 8 ( c ) 16 64 ( ) 1 4 ( d ) 6 9 ( ) 5 8 ( e ) 8 16

(28)

21) Torne as frações irredutíveis: a) 24 32 = b) 100 128= c) 12 15 = d) 4 32 = e) 48 64 = f) 25 100=

22) Circule as frações irredutíveis:

1 3 4 6 12 15 12 13 7 8 18 24 1 8 , , , , , , 23) Determine a soma: a) 5 16 3 16 7 16 + + b) 2 3 4 5 1 2 + + c) 3 8 7 16 15 32 + +

24) Efetue as adições e simplifique o resultado quando possível:

a) 2 1 2 1 3 4 + + = b) 13 16 1 5 1 8 + + = c) 25 3 1 1 4 1 + + = d) 21 2 2 3 1 4 + + =

(29)

___________________________________________________________________________________________________

25) Quanto falta a cada fração para completar a unidade? Exemplo: 5 8 8 8 5 8 3 8 → − = a ) 1 4 b) 13 16 c ) 5 32 d) 17 64

26) Efetue as subtrações indicadas:

a) 15 10 3 10 − = b) 7 9 5 9 − = c) 8 5 2 7 − = d) 3 4 13 1 1 2 − = e) 52 3 1 8 − = 27) Resolva: a) 1 2 3 5 1 4 x x = b) 2 5 9 7 14 27 x x = c) 5 21 3 10 7 15 x x = d) 3 4 2 2 5 x x = e) 31 2 5 16 3 5 x x =

(30)

28) Qual o comprimento resultante da emenda de 16 barras em sentido longitudinal medindo cada uma 53

4 ′′? 29) Calcule: a) 22 3 1 1 2 ÷ = b) 31 2 2 3 5 ÷ = c) 42 3 5 1 2 ÷ = d) 61 3 5 1 2 ÷ = e) 15 16 ÷ =5 f) 21 3÷ =7 g) 3 10 1 5 ÷ = h) 2 4 de 32= i) 5 7 de 350= j) 1 3 de 930=

(31)

___________________________________________________________________________________________________

30) Leia com atenção os problemas e resolva:

a) Um carro percorre 8 Km com 1 litro de gasolina. Quantos quilômetros percorrerá com 10 1

2 litros?

b) Um vendedor tinha 4.850 parafusos e vendeu 3

5 deles. Ele quer colocar o restante, igualmente em 10 caixas. Quanto deve colocar em cada caixa?

c) Coloquei 6

12 de minhas ferramentas em uma caixa, 2 4 em outra caixa e o restante deixei fora das caixas. Pergunta-se: Que parte de ferramentas ficou fora das caixas?

(32)

d) João encheu o tanque do seu carro. Gastou 2 5 da gasolina para trabalhar e 1

5 para passear no final de semana. Quanto sobrou da gasolina no tanque?

e) Numa oficina havia 420 veículos, 1

4 eram caminhões. Quantos caminhões havia na oficina?

f) Em uma caixa, os lápis estão assim distribuídos: 1 2 correspondem aos lápis vermelhos, 1

5 são lápis azuis e 1

4 são pretos. Que fração corresponde ao total de lápis na caixa?

(33)

___________________________________________________________________________________________________ Números Decimais

Conceito e Leitura

Já estudamos que uma fração é decimal, quando o seu denominador é o número 10 ou potência de 10.

Exemplos: 5

10 Lê-se cinco décimos

45

1000 Lê-se quarenta e cinco milésimos

As frações decimais podem ser representadas através de uma notação decimal que é mais conhecida por "número decimal". Exemplos: 1 10 =0 1, Lê-se um décimo 1 100 =0 01, Lê-se um centésimo 1 1000 =0 001, Lê-se um milésimo

Essa representação decimal de um número fracionário obedece ao princípio da numeração decimal que diz: "Um algarismo escrito à direita de outro representa unidades dez vezes menores que as desse outro.

...Milhão Centena Dezena Unidade Simples

Décimo Centésimo Milésimo...

... 1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001...

Em um número decimal:

• Os algarismos escritos à esquerda da vírgula constituem a parte inteira.

• Os algarismos que ficam à direita da vírgula constituem a parte decimal.

Exemplo:

Parte inteira

12,63

Parte decimal Lê-se doze inteiros e sessenta e três centésimos.

(34)

seguinte maneira:

1- Enuncia-se a parte inteira, quando existe.

2- Enuncia-se o número formado pelos algarismos da parte decimal, acrescentando o nome da ordem do último algarismo.

Exemplos:

a) 0,438 - Lê-se: quatrocentos e trinta e oito milésimos. b) 3,25 - Lê-se: três inteiros e vinte cinco centésimos. c) 47,3 - Lê-se: quarenta e sete inteiros e três décimos.

Observações:

1- O número decimal não muda de valor se acrescentarmos ou suprimirmos zeros à direita do último algarismo.

Exemplo: 0,5 = 0,50 = 0,500

2- Todo número natural pode ser escrito na forma de número decimal, colocando-se a vírgula após o último algarismo e zero (s) a sua direita.

Exemplo: 34 = 34,000 1512 = 1512,00

Transformação de Fração Decimal em Número Decimal

Para escrever qualquer número fracionário decimal, na forma de "Número Decimal", escreve-se o numerador da fração com tantas casas decimais quantos forem os zeros do denominador.

Exemplos: a) 25 10 =2 5, b) 43 1000 =0 043, c) 135 1000 =0 135, e) 2343 100 =23 43,

Transformação de Número Decimal em Fração Decimal

Para se transformar um número decimal numa fração decimal, escrevem-se no numerador os algarismos desse número e no denominador a potência de 10 correspondente à quantidade de ordens (casas) decimais.

(35)

___________________________________________________________________________________________________ Exemplos: a) 0 34, =10034 b) 5 01 501 100 , = c) 0 01 1 100 , = d) 21057 21057 1000 , =

Operações com Números Decimais Adição e Subtração

Para adicionar ou subtrair dois números decimais, escreve-se um abaixo do outro, de tal modo que as vírgulas se correspondam (numa mesma coluna) e adicionam-se ou subtraem-se como se fossem números naturais.

Observações:

Costuma-se completar as ordens decimais com zeros à direita do último algarismo. Exemplos: a) 3,97 + 47,502 = 51,472 3,970 + 47,502 51,472 b) 4,51 - 1,732 = 2,778 4,510 - 1,732 2,778

(36)

mesma forma que na de duas parcelas. Exemplos: 4,310 5,200 + 17,138 26,648 Multiplicação

Para multiplicar números decimais, procede-se da seguinte forma: 1º Multiplicam-se os números decimais, como se fossem

naturais;

2º No produto, coloca-se a vírgula contando-se da direita para a esquerda, um número de ordens decimais igual à soma das ordens decimais dos fatores.

Exemplo: 0,012 x 1,2 = 0,012 3 ordens decimais x 1,2 + 1 ordem decimal 0024 + 0012 0,0144 4 ordens decimais

Para multiplicar um número decimal por 10, 100, 1000 ..., desloca-se a vírgula para a direita tantas ordens quantos forem os zeros do multiplicador.

Exemplos:

a) 2,35

×

10 = 23,5 b) 43,1

×

100 = 4310 c) 0,3145

×

1000 = 314,5

Para multiplicar três ou mais fatores, multiplicam-se os dois primeiros; o resultado obtido multiplica-se pelo terceiro e assim por diante até o último fator.

Exemplo:

(37)

___________________________________________________________________________________________________ Divisão

Para efetuarmos a divisão entre números decimais procedemos do seguinte modo:

1) igualamos o número de casas decimais do dividendo e do divisor acrescentando zeros;

2) eliminamos as vírgulas;

3) efetuamos a divisão entre os números naturais obtidos.

Atenção:

Se a divisão não for exata, para continua-la colocamos um zero à direita do novo dividendo e acrescenta-se uma vírgula no quociente. 1º Exemplo: 3,927

÷

2,31 = 1,7 3,927 2,310 16170 0000 1,7 2º Exemplo: 47,76

÷

24 = 1,99 47,76 24,00 23 7 2 16 00 1,99

Para dividir um número decimal por 10, 100 ou 1000 ..., desloca-se a vírgula no dividendo para a esquerda tantas ordens quantos forem os zeros do divisor.

Exemplos:

a) Dividir 47,235 por 10, basta deslocar a vírgula uma ordem para esquerda.

47,235

÷

10 = 4,7235

b) Dividir 58,4 por 100, basta deslocar a vírgula duas ordens para a esquerda.

58,4

÷

100 = 0,584

Quando a divisão de dois números decimais não é exata, o resto é da mesma ordem decimal do dividendo original.

Exemplo: 39,276

÷

0,7 = 56,108 resto 0,004 39,276 0,700 4 2 07 060 0,004 56,108

(38)

Números Decimais - Exercícios

1) Escreva com algarismos, os seguintes números decimais:

a) Um inteiro e três décimos ... b) Oito milésimos ... c) Quatrocentos e cinqüenta e nove milésimos ... d) Dezoito inteiros e cinco milésimos ... e) Vinte cinco inteiros e trinta e sete milésimos ...

2) Represente em forma de números decimais:

a) 97 centésimos =

b) 8 inteiros e 5 milésimos = c) 2 inteiros e 31 centésimos = d) 475 milésimos =

3) Observe os números decimais e complete com os sinais:

> < =

a) 1,789 ... 2,1 b) 3,78 ... 3,780 c) 4,317 ... 43,27 d) 42,05 ... 42,092 e) 8,7 ... 8,512

4) Escreva em forma de número decimal as seguintes frações decimais: a) 36 100 = ... b) 5 1000 = ... c) 3 8 10 = ...

(39)

___________________________________________________________________________________________________

5) Escreva na forma de fração decimal:

a) 0,5 = ... f) 8,71 = ... b) 0,072 = ... g) 64,01 = ... c) 0,08 = ... h) 347,28 = ... d) 0,481 = ... i) 0,12 = ... e) 1,3 = ... j) 0,201 = ...

6) Arme e efetue as adições:

a) 0,8 + 6,24 = b) 2,9 + 4 + 5,432 = c) 6 + 0,68 + 1,53 = d) 19,2 + 2,68 + 3,062 =

7) Arme e efetue as subtrações:

a) 36,45 - 1,2 = b) 4,8 - 1,49 = c) 9 - 2,685 = d) 76,3 - 2,546 = 8) Arme, efetue: a) 650,25

×

3,8 = b) 48

÷

2,4 = c) 0,60

÷

0,12 = d) 6,433 + 2 + 1,6 = e) 9 - 2,5 = 9) Resolva: a) 36,4 + 16,83 + 2,308 = b) 93,250 - 1,063 = c) 67403

×

6,9 = d) 204,35

÷

48 =

(40)

parênteses: a) (0,8 - 0,3) + 0,5 = b) (1,86 - 1) + 0,9 = c) (5 - 1,46) + 2,68 = d) (1,68 + 3,2) - 2,03 = e) (0,8 - 0,5) + (6,5 x 3) = f) 0,4 - (0,2

×

0,35) = 11) Arme e efetue as operações:

a) 0,471 + 5,9 + 482,23 = b) 6,68

×

5,986 = c) 5,73

×

6,8 = d) 24,8

÷

6,2 = 12) Calcule: a) 0,0789

×

100 = b) 0,71

÷

10 = c) 0,6

÷

100 = d) 8,9741

×

1000 = 13) Torne:

a) 3,85 dez vezes maior = b) 42,6 dez vezes menor = c) 0,153 dez vezes maior = d) 149,2 cem vezes menor = e) 1,275 mil vezes maior =

14) Resolva o problema:

Jorge pintou um carro em 2 dias. Sabendo-se que ele pintou 0,4 do carro no 1º dia, quanto ele pintou no 2º dia?

(41)

___________________________________________________________________________________________________

15) Relacione os elementos por igualdade:

a) 3 1 10 b) 0,3 31 100 3,1 3 10 3,01 3 1 100 0,31

Observe os elementos dos conjuntos acima e marque as sentenças que são verdadeiras:

a) Nenhum elemento do conjunto A é maior do que 1. b) Todos os elementos de A são maiores que zero. c) Nenhum elemento de B é menor que 1.

d) Todos os elementos de B são menores que 10.

16) a) 8 2 10 b) 0,82 8 2 100 8,002 82 1000 82 100 8,02 0,082 8 2 1000 8,2

a) Relacione os elementos dos conjuntos A e B e escreva verdadeiro ou falso.

1- Nenhum elemento do conjunto A é maior do que 1. 2- Todos os elementos de B são maiores que zero. 3- Nenhum elemento de B é menor do que 1. 4- Todos os elementos de A são maiores que 10.

(42)

a) 3

÷

0,05 = b) 6,52

×

38 =

c) 26,38 + 2,953 + 15,08 = d) 7,308 - 4,629 =

e) 63,50

÷

4,9 =

18) Calcule os quocientes abaixo com duas casas decimais:

a) 2,4

÷

0,12 = b) 5,85

÷

0,003 = c) 0,3

÷

0,008 = d) 48,6

÷

0,16 =

(43)

_________________________________________________________________________________________________ Números Inteiros Relativos

No estudo das operações com números naturais, você aprendeu que a subtração não pode ser efetuada quando o minuendo é menor do que o subtraendo.

5 - 9 = ? 1 - 2 = ? 3 - 8 = ?

Para que a subtração seja sempre possível foi criado o conjunto dos números inteiros negativos.

- 1, - 2, - 3, - 4, ...

Esses números negativos, reunidos com zero e com os números inteiros positivos, formam o conjunto dos números inteiros

relativos, cujo conjunto é representado por Z.

Z = {... - 3, - 2, - 1, 0, + 1, + 2, + 3, ...}

a) Conjunto dos números inteiros não negativos.

Z + = { 0, + 1, + 2, + 3, ...}

b) Conjunto dos números inteiros negativos.

Z - = { 0, - 1, - 2, - 3, ...}

O número zero (0) não é negativo nem positivo

Números Opostos ou Simétricos Observe: O oposto de +1 é -1 O oposto de +2 é -2 O oposto de +3 é -3

Β

Β

Β

Β

Β

Β

Β

Β

Β

O oposto de +4 é -4 ... -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 ... RETA NUMERADA

Na reta numerada, os números opostos estão a uma mesma distância do zero.

(44)

Valor Absoluto

Valor absoluto de um número inteiro relativo é o número natural que o representa, sem o sinal.

EXEMPLOS: Indicação:

O valor absoluto de + 5 é 5

+

5

= 5 O valor absoluto de - 5 é 5

5

= 5 O valor absoluto de - 8 é 8

8

= 8 O valor absoluto de zero é zero

Verifique:

1) -3 está à esquerda de +1 -3 < +1 Então, -3 é menor que +1

2) +2 está à direita de -3 +2 > -3

Então + 2 é maior que -3

OUTROS EXEMPLOS:

a) -2 < +2 b) 0 > -4 c) -1 > -3

Operações com Números Inteiros Relativos adição

1) Adição de números positivos Observe os exemplos: a) ( +2 ) + ( +5 ) = +7 b) ( +1 ) + ( +4 ) = +5 c) ( +6 ) + ( +3 ) = +9

Verificando os resultados anteriores, podemos concluir que:

(45)

_________________________________________________________________________________________________

2) Adição de números negativos Observe os exemplos:

a) ( -2 ) + ( -3 ) = -5 b) ( -1 ) + ( -1 ) = -2 c) ( -7 ) + ( -2 ) = -9

Verificando os resultados acima, podemos concluir que:

A soma de dois números negativos é um número negativo.

3) Adição de números com sinais diferentes Observe os exemplos:

a) ( +6 ) + ( -1 ) = +5 b) ( +2 ) + ( -5 ) = -3 c) ( -10) + ( +3) = -7

Observe que o resultado da adição tem o mesmo sinal que o número de maior valor absoluto.

Conclusão:

A soma de dois números inteiros de sinais diferentes é obtida subtraindo-se os valores absolutos dando-se o sinal do número que tiver maior valor absoluto.

Subtração

A operação de subtração é uma operação inversa da adição. EXEMPLOS:

a) (+8) - (+4) = (+8) + (-4) = +4 b) (-6) - (+9) = (-6) + (-9) = -15 c) (+5) - (-2 ) = (+5) + (+2) = +7 Conclusão:

Para subtrairmos dois números relativos, basta que adicionemos ao primeiro o simétrico do segundo.

(46)

Expressões com Números Inteiros Relativos

Lembre-se que os sinais de associação são eliminados, obedecendo à seguinte ordem:

1º - Parênteses ( ) 2º - Colchetes [ ] 3º - Chaves { }

EXEMPLOS 1) +10 - (-4 + 6) +10 - (+2) +10 - 2 = +8 2) (+7 -1) + (-3 +1 -5) (+6) + (-7) +6 - 7 = -1 3) 10 + [-3 +1 - (-2 +6)] 10 + [-3 +1 - (+4)] 10 + [-3 +1 -4] 10 + [-6] 10 -6 = +4 Multiplicação

Consideremos os seguintes casos:

1) Multiplicação de dois números positivos:

a) (+5) . (+2) = +10 ( + ) . ( + ) = + b) (+3) . (+7) = +21 ( - ) . ( - ) = + ( + ) . ( - ) = - ( - ) . ( + ) = -

Conclusão:

O produto de dois números positivos é um número positivo.

2) Multiplicação de dois números negativos:

a) (-3) . (-5) = +15 b) (-8) . (-2) = +16 c) (-7) . (-1) = +7

Conclusão:

O produto de dois números negativos é um número positivo.

(47)

_________________________________________________________________________________________________

3) Multiplicação de dois números de sinais diferentes:

a) (+3) . (-2) = -6

b) (-5) . (+4) = -20

c) (+6) . (-5) = -30

d) (-1) . (+7) = -7

Conclusão:

O produto de dois números inteiros de sinais diferentes é um número negativo.

Multiplicação com mais de dois números Relativos

Multiplicamos o primeiro número pelo segundo. O produto obtido pelo terceiro e, assim, sucessivamente, até o último fator.

EXEMPLOS a) (+3) . (-2) . (+5) (-6) . (+5) = -30 b) (-5) . (+4) . (-9) (-20) . (-9) = +180 Divisão

Você sabe que a divisão é a operação inversa da multiplicação. Observe:

a) (+12) ÷ (+4) = (+3) porque (+3) . (+4) = +12 b) (-12) ÷ ( -4) = (+3) porque (+3) . (-4 ) = -12 c) (+12) ÷ ( -4) = (-3 ) porque (-3 ) . (-4 ) = +12 d) (-12 ) ÷ (+4) = (-3 ) porque (-3) . (+4) = -12

(48)

Divisão ( + ) ÷ ( + ) = + ( - ) ÷ ( - ) = + ( + ) ÷ ( - ) = - ( - ) ÷ ( + ) = - Observações:

1) A divisão nem sempre é possível em Z (+9) ÷ (-2 ) = (

Z )

→ Lê-se: não pertence. 1) O zero nunca pode ser divisor

(+5) ÷ 0 é impossível

(-2 ) ÷ 0 é impossível

Exercícios - Números Inteiros Relativos Calcule: a) ( +5 ) + ( -3 ) - ( +2 ) + ( -1 ) = b) 10 + { 5 -( -3 +1) } = c) 23 - { 1 + [ 5 - (+3 -2 +1 ) ] } = d) ( +5 -3 ) ÷ ( -1 +3 ) = e) ( -16 ÷ -8 ) . ( +3 . -4 ) =

(49)

_________________________________________________________________________________________________ Medidas de ângulos

Um ângulo pode ser medido de um instrumento chamado

transferidor e que tem do grau como unidade. O ângulo AÔB

da figura mede 40 graus.

Indicação: m (AÔB) = 40º

A unidade grau tem dois submúltiplos: minuto e segunda.

1 grau tem 60 minutos (indicação: 1º = 60’) 1 minuto tem 60 segundos (indicação: 1’ = 60”)

Simbolicamente:

• Um ângulo de 25 graus e 40 minutos é indicado por 25º 40’ • Um ângulo de 12 graus, 20 minutos e 45 segundos é

(50)

Exercícios

1) Escreva as medidas em graus dos ângulos indicados pelo transferidor: a) m (AÔB) = b) m (AÔB) = c) m (AÔB) = d) m (AÔB) = a) m (AÔB) = b) m (AÔB) = c) m (AÔB) = d) m (AÔB) =

Operações com medidas de ângulos Adição 1) Observe os exemplos: 17º 15’ 10” + 30º 20’ 40” 17º 15’ 10” + 30º 20’ 40” 47º 35’ 50” 2) 13º 40’ + 30º 45’ 13º 40’ + 30º 45’ 43º 85’ + 1º 25’ 44º 25’

(51)

_________________________________________________________________________________________________ Exercícios 1) Calcule as somas: a) 49º + 65º = b) 12º 25’ + 40º 13’ = c) 28º 12’ + 52º 40’ = d) 25º 40’ + 16º 50’ = e) 23º 35’ + 12º 45’ = f) 35º 10’ 50” + 10º 25’ 20” = g) 31º 45’ 50” + 13º 20’ 40” = h) 3º 24’ 9” + 37º 20’ 40” = Subtração Observe os exemplos: 1) 58º 40’ - 17º 10’ 58º 40’ - 17º 10’ 41º 30’ 2) 80º - 42º 30’ 79º 60’ - 42º 30’ 37º 30’ Exercícios 1) Calcule as diferenças: a) 42º - 17º = b) 48º 50’ = 27º 10’ = c) 12º 35’ - 13º 15’ = d) 30º - 18º 10’ = a) 90º - 54º 20’ = b) 120º - 50º 20’ = c) 52º 30’ = 20º 50’ = d) 39º 1’ - 10º 15’ =

(52)

Multiplicação de um ângulo por um número Observe os exemplos: 1) 17º 15’ x 2 17º 15’ x 2 34º 30’ 2) 24º 20’ x 3 24º 20’ x 3 72º 60’ 1º 73º

Nota: “Não há multiplicação entre ângulos.” 90º x 90º = ?

Exercícios 1) Calcule os produtos: a) 25º 10’ x 3 = b) 44º 20’ x 2 = c) 35º 10’ x 4 = d) 16º 20’ x 3 = a) 28º 30’ x 2 = b) 12º 40’ x 3 = c) 15º 30’ x 3 = d) 14º 20’ x 5 =

Divisão de um ângulo por um número

Observe os exemplos: 36º 30’ ÷ 3 36º 30’ 3 0 0 12º 10’ 39º 20’ ÷ 4 39º 20’ 4 3º 180’ 9º 50’ 200’ 00

(53)

_________________________________________________________________________________________________ Exercícios 1) Calcule os quocientes: a) 48º 20’ ÷ 4 = b) 45º 30’ ÷ 3 = c) 75º 50’ ÷ 5 = a) 55º ÷ 2 = b) 90º ÷ 4 = c) 22º 40’ ÷ 5 = 2) Calcule: a) 2 3 de 45º = b) 5 7 de 84º = a) 3 4 de 48º 20’ = b) 3 2 de 15º 20’ = Ângulos Congruentes

Dois ângulos são Congruentes se as suas medidas são iguais.

A B O 30º O C D 30º

(54)

Bissetriz de um ângulo

Bissetriz de um ângulo é a semi-reta com origem no vértice do

ângulo e que o divide em dois outros ângulos congruentes.

O

A

B

M

Se AÔM ≅ MÔB, então OM é bissetriz de AÔB.

Exercícios

1) Calcule x em cada caso, sabendo-se que OM é bissetriz do ângulo dado. a) O A B M 4X + 5º 37º b) O A B M 3X X + 20º

(55)

_________________________________________________________________________________________________

2) Calcule x em cada caso, sabendo-se que OC é bissetriz do ângulo dado. a) O A B M 3X 5X - 20º b)

O

A

B

C

35º - 5º x 2

Ângulos Reto, Agudo e Obtuso

Os ângulos recebem nomes especiais de acordo com suas medidas:

• Ângulo reto é aquele cuja medida é 90º.

• Ângulo agudo é aquele cuja medida é menor que 90º. • Ângulo obtuso é aquele cuja medida é maior que 90º.

(56)

Retas Perpendiculares

Quando duas retas se interceptam formando ângulos retos, dizemos que elas são perpendiculares.

Indicação: r s

Significa: r perpendicular a s.

Ângulos Complementares

Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90º. m (AÔB) + m (BÔC) = m (AÔC)

A

B

C

O

Exemplos:

• 65º e 25º são ângulos complementares, porque 65º + 25º = 90º • 40º e 50º são ângulos complementares, porque 40º + 50º = 90º

(57)

_________________________________________________________________________________________________ Exercícios:

1) Resolva as equações abaixo, onde a incógnita x é um ângulo (medido em graus):

a) 2x = 90º b) 4x + 10º = 90º c) 5x - 20º = 1º + 2x d) x = 2 (90º - x) e) 4 (x + 3º) = 20º f) (3x - 20º) + 50º = 90º g) 3 (x + 1º) = 2 (x + 7º) h) 2x + 2 (x + 1º) = 4º + 3 (x + 2º)

2) Observe o exemplo abaixo e resolva as seguintes questões:

• Calcular a medida de um ângulo cuja medida é igual ao dobro do seu complemento.

Solução:

Medida do ângulo = x

Medida do complemento do ângulo = 90º - x

x = 2 ( 90º - x ) Resolvendo a equação: x x x + 2x 3x x = 2 (90º - x) = 180º - 2x = 180º = 180º = 60º Resposta: 60º

a) A medida de um ângulo é igual à medida de seu complemento. Quanto mede esse ângulo ?

b) A medida de um é a metade da medida do seu complemento. Calcule a medida desse ângulo.

(58)

c) Calcule a medida de um ângulo cuja medida é igual ao triplo de seu complemento.

d) A diferença entre o dobro da medida de um ângulo e o seu complemento é 45º. Calcule a medida desse ângulo.

e) A terça partes do complemento de um ângulo mede 20º. Qual a medida do ângulo ?

f) Dois ângulos complementares têm suas medidas expressas em graus por 3x + 25º e 4x - 5º. Quanto medem esses ângulos ?

Ângulos Suplementares

Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180º. m (AÔB) + m (BÔC) = 180º C B O A Exemplos:

• 50º e 130º são ângulos suplementares, porque 50º + 130º = 180º • 125º e 55º são ângulos suplementares, porque 125º + 55º = 180º

(59)

_________________________________________________________________________________________________ Exercícios:

1) Determine x, sabendo que os ângulos são suplementares:

a) 2x - 40º 3x - 10º 2) Calcule x: a) 2x 5x - 4º 3x 2x - 2º

3) A quarta parte da medida de um ângulo mede 30º. Calcule a medida do seu suplemento.

4) A medida de um ângulo é igual à medida de seu suplemento. Calcule esse ângulo.

5) Calcule a medida de um ângulo que é igual ao triplo de seu suplemento.

(60)

6) O dobro da medida de um ângulo é igual à medida do suplemento desse ângulo. Calcule a medida do ângulo.

7) O triplo da medida de um ângulo mais a medida do suplemento desse ângulo é 250º

8) Calcule a medida de um ângulo cuja medida é igual a 2 3 do seu suplemento.

9) A soma do complemento com o suplemento de um ângulo é 110º. Quanto mede o ângulo ?

Ângulos opostos pelo vértice

Duas retas concorrentes determinam quatro ângulos, dois a dois, opostos pelo vértice.

Na figura:

• â e c são opostos pelo vértice. ∃ • ∃m e n são opostos pelo vértice. ∃

∃ m n∃ ∃ c ∃ a

(61)

_________________________________________________________________________________________________ Triângulos

Conceito

Triângulo é um polígono de três lados.

A

C

B

Na figura acima:

Os pontos A, B e C são os vértices do triângulo.

Os segmentos AB , BC e CA são os lados do triângulo. • Os ângulos A , ∃ B e ∃ C são ângulos internos do triângulos. ∃ Indicamos um triângulo de vértices A, B e C por ∆ ABC.

(62)

Ângulo Externo

Ângulo externo é o ângulo suplementar do ângulo interno.

A

C

B

m

Na figura acima m é um ângulo externo. ∃

Perímetro

O perímetro de um triângulo é igual à soma das medidas dos seus lados.

Perímetro ∆ ABC = AB + AC + BC

Classificação dos Triângulos

Quanto aos lados os triângulos se classificam em:

Equilátero quando tem os três lados congruentes. Isósceles quando tem dois lados congruentes. Escaleno quando não tem lados congruentes.

A C B C B C B A A

(63)

_________________________________________________________________________________________________

Quanto aos ângulos os triângulos se classificam em:

Acutângulo quando tem três ângulos agudos Retângulo quando tem um ângulo reto. Obtusângulo quando tem um ângulo obtuso.

T S

R R

R

S T S T

ACUTÂNGULO RETÂNGULO OBTUSÂNGULO

Em um triângulo retângulo os lados que formam o ângulo reto chamam-se catetos e o lado oposto ao ângulo reto chama-se

hipotenusa.

A

B

C

Hipotenusa Cateto Cateto

(64)

Exercícios:

1) Determine o comprimento do lado BC , sabendo-se que o perímetro do ∆ ABC é 48cm.

A

C

B

x 2 x 15

2) O perímetro do triângulo é 34 cm. Determine o comprimento do menor lado.

R

S

T

x x + 7 x + 3

3) Classifique o triângulo de acordo com as medidas dos ângulos: C B A A B C 80º 60º 40º 45º 35º 100º A B C

(65)

_________________________________________________________________________________________________

4) Observe a figura e responda:

A

B

C

a) Que nome recebe o lado BC ?

b) Que nome recebem os lados AB e AC ?

5) Que nome recebe o maior lado de um triângulo retângulo ?

Condição de existência de um Triângulo

Em qualquer triângulo, cada lado é menor que a soma dos outros dois lados.

Exemplo: Seja o triângulo: A B C 2 cm 4 cm 3 cm

(66)

Vamos comparar a medida de cada lado com a soma das medidas dos outros dois.

Assim: 2 < 3 + 4 ou 2 < 7

2 < 3 + 4 ou 2 < 7 2 < 3 + 4 ou 2 < 7

Para verificar a citada propriedade, procure construir um triângulo com as seguintes medidas: 7 cm, 4 cm e 2 cm.

A

7 cm

B

2 cm 4 cm

É impossível, não ? Logo não existe o triângulo cujos lados medem 7cm, 4cm e 2cm.

Elementos notáveis de um triângulo

Mediana de um triângulo é o segmento que une um vértice

ao ponto médio do lado oposto.

R

S

M

T

media n a

R

S

T

baricentro

Todo triângulo tem três medianas que se encontram em um ponto chamado baricentro.

(67)

_________________________________________________________________________________________________

Bissetriz de um triângulo é o segmento da bissetriz de um

ângulo interno que tem por extremidades o vértice desse ângulo e o ponto de encontro com o lado oposto.

R

S

P

T

bis setr iz

R

S

T

incentro

Todo triângulo tem três bissetrizes que se encontram em um ponto interior chamado incentro.

Altura de um triângulo é o segmento da perpendicular

traçada de um vértice ao lado oposto ou ao seu prolongamento. R S T al tur a R S T alt ur a T S R ortocentro

Todo triângulo tem três alturas que se encontram em um ponto chamado ortocentro.

(68)

Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo

Observe os triângulos e as medidas dos ângulos internos.

60º 40º 80º

B

A

C

80º + 40º + 60º = 180º

B

C

A

30º 60º 30º + 60º + 90º = 180º Note que: m (A ) + m (∃ B ) + m (∃ C ) = 180º ∃

Vamos à demonstração desse teorema.

Teorema

Em qualquer triângulo, a soma das medidas dos ângulos internos é igual a 180º.

Prova:

consideremos um triângulo ABC. Vamos provar que m (A ) + m (∃ B ) + m (∃ C ) = 180º ∃

A

B

C

s

A

^

2

^

1^

(69)

_________________________________________________________________________________________________

a ) Pelo vértice A, traçamos a reta s paralela ao lado BC .

m (1 ) + m (∃ A ) + m (∃ 2 ) = 180º ∃

1

Note que: m (1 ) ∃ ≅ m (B ) (alternos internos) ∃

2

m (2 ) ∃ ≅ m (C ) (alternos internos) ∃

3

b ) Temos que:

c ) Substituindo

2

e

3

em

1

, temos:

m (A ) + m (∃ B ) + m (∃ C ) = 180º ∃

Exercícios:

1) Calcular x no triângulo abaixo:

B

A

C

80º

(70)

2) Calcular x no triângulo abaixo:

R

S

T

5x 4x 45º

3) Calcular x no triângulo abaixo:

P

R

Q

5x - 50º

x + 10º x

4) Determine a medida dos ângulos x, y e z.

a)

A

B

C

y

x

45º

60º

(71)

_________________________________________________________________________________________________ b)

A

B

C

D

E

35º

105º

50º

x

z

y

c)

A

B

C

y

x

40º

55º

D

30º

d)

(72)

Quadrilátero

Conceito

Quadrilátero é um polígono de quatro lados.

No quadrilátero ao lado, destacamos:

vértice: A, B, C, D lados: AB , BC , CD e DA ângulos internos: A , ∃ B , ∃ C e ∃ D ∃ • lados opostos: AB e CD , AD e BC ângulos opostos: A e ∃ C , ∃ B e ∃ D ∃

A

D

C

B

Lembre-se de que um quadrilátero é convexo quando qualquer segmento com extremidades no quadrilátero está contido nele.

B A C D Quadrilátero convexo

B

A

C

D

Quadrilátero não-convexo

(73)

_________________________________________________________________________________________________ Diagonal

O segmento que une dois vértices não consecutivos é chamado

diagonal.

Na figura, AC e BD são diagonais.

D

B

C

A

Exercícios

1) Observe o quadrilátero e responda:

a ) Quais são os lados ? b ) Quais são os vértices ?

c ) Quais são os ângulos internos ? d ) Quais são as diagonais indicadas ?

M

P

N

O

2) Considere o quadrilátero ABCD.

a ) Nomeie os dois pares de lados opostos.

b ) Nomeie os dois pares de ângulos opostos.

A B

(74)

3) O perímetro de um quadrilátero mede 41cm. Quanto mede cada lado se as medidas são representadas por x, x + 2, 3x + 1 e 2x - 4 ?

Soma dos ângulos internos de um quadrilátero

ABCD é um quadrilátero convexo e a diagonal AC o divide em dois triângulos.

Veja:

B

A

D

C

A soma dos ângulos internos dos dois triângulos é a soma dos ângulos internos do quadrilátero.

Logo:

A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 180º + 180º = 360º

(75)

_________________________________________________________________________________________________ Exercícios:

1) Na figura abaixo, calcular o valor de n.

D

A

C

B

2x

x

2) Na figura abaixo, calcular o valor de n.

a) E F G H 110º x 120º 60º b) E F H G 130º x

3) Calcule o valor de x nos seguintes quadriláteros:

a) E F G H 5x 4x 6x 3x b)

R

S

T

U

60º 5x

(76)

4) Calcule as medidas dos ângulos indicados com letras: a) N R S M 130º 120º 95º x b) E F H G 110º 130º z y x 5) Calcule x na figura: 80º 40º 20º x x + 20º

6) Calcule os ângulos internos de um quadrilátero sabendo que eles medem x, 2x, x 2 e 3 2 x . Paralelogramos

Paralelogramo é o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos. A C D B Na figura, temos: AB CD AC BD

(77)

_________________________________________________________________________________________________ Tipos de Paralelogramos

Retângulo - Possui quatro ângulos retos. Losango - Possui os quatro lados congruentes.

Quadrado - Possui os quatro lados congruentes e os ângulos retos.

Retângulos Losango Quadrado

Note que:

• Todo quadrado é um losango. • Todo quadrado é um retângulo.

Teorema:

Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes.

Prova:

Seja o paralelogramo ABCD. Vamos provar que ∃ A ≅ C e ∃ B ∃ ≅ D ∃ A C D B 1^ 2 ^ 4^ 3^

a ) Tracemos a diagonal BD e consideremos os triângulos ABD e CDB.

(78)

b ) Temos: • ∃1 ≅ 4 (alternos internos) ∃ • BD ≅ BD (comum) • ∃2 ≅ 3 (alternos internos) ∃ A . L . A . ∆ ABD ≅ ∆ CDB

Então, os ângulos correspondentes são congruentes, ou seja: A ∃ ≅ C . ∃ • ∃1 ≅ 4 ∃ • ∃2 ≅ 3 ∃ ⇒ 1 + ∃ 4 ∃ ≅ 2 + ∃ 3 ∃ Logo: B ∃ ≅ D ∃ Exercícios:

1) Determinar as medidas de x, y e z no paralelogramo abaixo:

A B C D y z x 50º

(79)

_________________________________________________________________________________________________

2) Determinar as medidas de x, y e z no paralelogramo abaixo:

P Q

S R

3x - 10º

x - 50º

3) Observe a figura e calcule as medidas de x, y, z e w.

x y w z 110º 70º 110º 70º

4) Baseado nos resultados do exercício anterior, responda: Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes?

5) Calcule os ângulos indicados nos paralelogramos seguintes:

a) B C D A 60º b) Q P S R 142º

(80)

a) R S U T x + 70º 2x + 10º b) R S U T 2x + 8º 3x - 10º

7) Calcule os valor de x nos paralelogramos abaixo:

a) R S U T 3x b) R S U T 2x + 25º 5x + 20º

7) Calcule os valor de x, y e z nos losangos abaixo:

a) R U S T 5x x b) R U S T 2x + 20º y z x + 80º

(81)

_________________________________________________________________________________________________ Trapézio

Trapézio é o quadrilátero que possui dois lados paralelos (que são chamados de base).

A

D

C

altura base menor base maior

B

Na figura, temos: AB CD

A distância entre as bases chama-se altura.

Tipos de Trapézio

Isósceles - Os lados não-paralelos são congruentes. Retângulo - Tem dois ângulos retos.

Escaleno - Os lados não-paralelos não são congruentes. E H G Trapézio Isósceles F E H G Trapézio Retângulo F E H G Trapézio Escaleno F Exercícios:

(82)

2) Calcule o valor de x nas figuras: a) R U T S 2x 2x x x b) S T U R x 30º

3) Calcule o valor de x nas figuras:

a) R U T S 2x x + 30º b) S T U R x 110º 4) Responda:

a) Quantos lados possui um quadrilátero ? b) Quantos vértices possui um quadrilátero ? c) Quantas diagonais possui um quadrilátero ?

5) Quanto vale a soma dos ângulos internos de um quadrilátero?

(83)

_________________________________________________________________________________________________

6) Calcule o valor de x nos seguintes quadriláteros:

a) E H G F 150º 50º x 60º b) E H G F 2x 110º 70º x c) G F E H 2x 2x x x d) E F H G x x 3x 3x

7) Calcule o valor de x nos quadriláteros:

a) A D B 3x 2x 120º x C b)

F

H

G

E

x 105º 80º

(84)

Polígonos Convexos

Polígonos

Polígono é um conjunto de segmentos consecutivos não

colineares no qual os extremos do primeiro e do último coincidem.

Exemplos:

Polígonos convexos

Polígonos não-convexos

Assim como já vimos para os quadriláteros, dizemos que um polígono é convexo quando qualquer segmento com extremidades no polígono está contido nele.

(85)

_________________________________________________________________________________________________ Elementos de um Polígono

Observe o polígono ABCDE:

A, B, C, D, E são os vértices.

• ∃A , B , ∃ C , ∃ D , ∃ E são os ângulos internos. ∃ • AB , BC , CD , DE , EA são os lados. B D E A C vértice lado

Nomes dos Polígonos

Segundo o número de lados, os polígonos recebem nomes especiais: nome nº de lados triângulo ... 3 quadrilátero ... 4 pentágono ... 5 hexágono ... 6 heptágono ... 7 octógono ... 8 eneágono ... 9 decágono ... 10 undecágono ... 11 dodecágono ... 12 pentadecágono ... 15 icoságono ... 20

• O número de lados de um polígono é igual ao número de vértices.

(86)

Exercícios

1) Quais são os polígonos convexos ?

a) b) c)

2) Responda:

a) Quantos lados tem um hexágono ? b) Quantos lados tem um undecágono ?

c) Quantos lados tem um polígono de 15 vértices ? d) Quantos vértices tem um polígono de 9 lados ?

3) Como se chama um polígono de:

a) 5 lados ? b) 12 lados ? c) 7 vértices ? d) 20 vértices ?

Soma dos ângulos internos de um polígono convexo

A traçar as diagonais que partem de um mesmo vértice de um polígono, nós o dividimos em triângulos, cujo número de

triângulos é sempre o número de lados menos dois.

Veja:

A

B

C

D

1

2

4 lados ⇒ 2 triângulos

(87)

_________________________________________________________________________________________________ Circunferência e Círculo

Circunferência

Circunferência é o conjunto de pontos de um plano,

equidistantes de um ponto do plano chamado centro.

Qualquer segmento com uma extremidade no centro e a outra em um ponto da circunferência chamado de raio.

0 A

raio

Na figura:

O é o centro da circunferência. OA e o raio.

Indicação: C (O, r) (significa: circunferência de centro O e

Referências

Documentos relacionados

Caso necessite, a IOL Implantes Ltda fornece “Templates” (desenho em transparência), que tem a função de auxiliar a tomada de decisão do tamanho do implante na

Além disso, esta dissertação propõe a modelagem desses frames assim como a modelagem das relações Qualia ternárias, com o objetivo de testar o desempenho do sistema

Grupo B: o indivíduo que possui esse tipo sanguíneo apresenta na membrana plasmática de suas hemácias o antígeno B, e consequentemente ele não deve produzir

O valor da reputação dos pseudônimos é igual a 0,8 devido aos fal- sos positivos do mecanismo auxiliar, que acabam por fazer com que a reputação mesmo dos usuários que enviam

Apesar dos esforços para reduzir os níveis de emissão de poluentes ao longo das últimas décadas na região da cidade de Cubatão, as concentrações dos poluentes

Os dados referentes aos sentimentos dos acadêmicos de enfermagem durante a realização do banho de leito, a preparação destes para a realização, a atribuição

Em todos esses casos houve a proposta de aplicação da regra jurídica, mas esta não foi utilizada como razão para a ação ou decisão porque outro argumento institucional

COORDENADAS GEOGRÁFICAS IDENTIFICAÇÃO DAS CARACTERÍSTICAS QUANTITATIVAS DOS EDIFÍCIOS PLANILHA DE COMPILAÇÃO LOCALIZAÇÃO DOS EDIFÍCIOS FOTOGRAFIAS CARACTERÍSTICAS