AS EQUAÇÕES DIOFANTINAS LINEARES NO ENSINO MÉDIO COMO
TEMA MOTIVADOR PARA O DESENVOLVIMENTO DE COMPETÊNCIAS.
Wagner M. Pommer
email: wmpommer@usp.brResumo:
Este artigo tece considerações sobre a relevância e as possíveis contribuições que o tema
Equações Diofantinas Lineares pode viabilizar no Ensino Médio, não em termos de uma
inclusão curricular, mas sim na possibilidade da re-utilização de tópicos fundamentais da
Matemática Discreta, os múltiplos e divisores, como ferramentas que evoluem e
potencializam a escrita algébrica como estratégia otimizadora, viabilizando ao aluno
aprimorar competências essenciais, conforme Machado (2002). Tais considerações foram
embasadas em uma seqüência didática, inspirada em Artigue (1996), aplicada a alunos do
Ensino Médio. As manifestações orais e escritas revelaram a possibilidade da articulação
competências & conhecimentos, num contexto de complementaridade entre a Aritmética
e a Álgebra, frente à necessidade da interatividade dos alunos no Ensino Médio.
Palavras-chave: Equação Diofantina Linear; Competências; Ensino Médio.
Introdução
Atualmente, as escolas brasileiras estão inseridas numa polêmica, em face de
algumas reformulações presentes na Matriz de Referência para o ENEM, Brasil (2009).
As mudanças propostas propiciam uma reflexão inicial e o rebuscar de alternativas que
viabilizem a construção de conhecimentos e o desenvolvimento de competências.
Machado (2002) pondera que no ensino básico um desafio primordial consiste em
promover a articulação entre conhecimento e competência, considerando-se que os
conteúdos são meios para se permitir o desenvolvimento de competências.
A articulação conteúdos&competências, num contexto de complementaridade, é
possibilitada pela elaboração de situações de ensino que incentivem a autonomia do aluno
em face do ‘aprender a aprender’, possibilitando a negociação de significados.
A viabilização de propostas de ensino que permitam a expressão e argumentação
do aluno em diferentes linguagens da Matemática (natural, numérica, algébrica, gráfica),
a análise e tomada de decisões que extrapolem a capacidade do âmbito original,
examinando e vislumbrando outros modos de encaminhamentos, abre caminhos para
explorar outros pontos de vista sobre um tema.
O Papel das Equações Diofantinas Lineares no Ensino Básico
Acreditamos que um dos modos de desenvolver competências e conhecimentos,
colocando o aluno num papel ativo, é através da inclusão de tópicos matemáticos que
propiciem a reutilização de temas do atual currículo do ciclo básico.
Considerando-se que as Equações Diofantinas Lineares consistem num tópico
introduzido no Ensino Superior, pode causar estranheza ao caro leitor a pretensão em
incluir tal assunto na problemática descrita. Não almejando acrescentar as Equações
Diofantinas Lineares como componente curricular, nossa proposta é a utilização deste
como tema motivador de situações de ensino propícias para o desenvolvimento de
múltiplas estratégias de resolução de problemas, que favoreça o ‘aprender a aprender’.
O tema das Equações Diofantinas Lineares permite articular, a partir da estratégia
da tentativa e erro, outras estratégias de enfoque aritmético, que possibilitam a evolução
para o uso da escrita algébrica, como condição otimizadora das condições dadas no
enunciado. Isto viabiliza o manejo de conceitos de forma integrada, no ensino básico,
estabelecendo uma natural transição entre a Aritmética e a Álgebra, conforme destacam
Maranhão; Machado; Coelho (2005).
Neste quadro, encaminhamos uma seqüência de atividades baseadas em
situações-problema e jogos, ambientas em contextos tematizados nas Equações Diofantinas
Lineares a duas incógnitas, do tipo ax + by = c, onde
a,
b,
c
∈
Z
e com soluções inteiras.
A seguir, apresentamos a análise de alguns resultados de uma pesquisa, inspirada
na Engenharia Didática, descrita em Artigue (1996), que visou verificar se, como e em
que medida alunos do Ensino Médio podem desenvolver conhecimentos envolvendo
Equações Diofantinas Lineares. Esta proposta se insere na problemática de valorização da
Matemática Discreta, conforme Brolezzi (1996), considerando-se que esta vertente
apresenta questões interessantes e de simples compreensão, porém raramente abordadas
na Escola Básica, o que permite o desenvolvimento de diversas estratégias de resolução
de problemas, viabilizando competências essenciais ao aluno do ciclo básico, conforme
Machado (2002).
A Metodologia de Pesquisa
Nossa pesquisa aplicou e analisou uma seqüência didática a um grupo de dez
alunos do Ensino Médio, agrupados em pares, em uma escola pública de São Paulo, em
três sessões de sessenta minutos cada, no período diurno.
A utilização de jogos e situações-problema visou favorecer a devolução
1, o
reconhecimento e a necessária ação independente para o encaminhamento das tentativas
de resolução para a busca de soluções inteiras. Estes recursos possibilitam contexto de
regulação e desafio, de modo a possibilitar a ação para a construção de conhecimentos e
o desenvolvimento de competências essenciais, conforme Machado (2002): capacidade
de argumentação e de tomar decisões ao desenvolver ferramentas (mobilizar estratégias
e conhecimentos anteriores para a busca mais eficiente de soluções), capacidade de
compreensão (nas habilidades de leitura e interpretação de texto) e de expressão
(habilidade de conjecturar), para a buscar de significado.
A oportuna proposta do ‘aprender a aprender’, aqui entendida como a
capacidade de desenvolver estratégias e habilidades possibilitadoras do aprender por si
mesmo, da exploração de novos conhecimentos, do monitoramento e reflexão do
próprio pensamento, permite uma atitude ativa na busca de respostas sugestivas e
oportunas, possibilita o trabalho individual e na interlocução com seus pares, pressupõe
o desenvolvimento de procedimentos e a utilização dos conhecimentos disponíveis e
necessários para se chegar a(s) solução(ões) dos jogos e problemas propostos.
As Atividades
As atividades objetivaram propiciar situações com variado número de soluções
inteiras e com nenhuma solução, que possibilitam provocar outras formas de estratégia
além da tentativa e erro, assim como no desenvolvimento da escrita algébrica como
facilitadora para a busca de soluções.
1
A devolução, de acordo com Brousseau (1996) significa o aceite do aluno em enfrentar o desafio intelectual de resolver as situações propostas, como se o problema fosse do aluno.
Na 1ª sessão, viabilizamos um jogo e duas situações-problema envolvendo
diferentes possibilidades: existência de variado número finito de soluções inteiras e
nenhuma solução, de modo que o aluno percebesse a insuficiência da tentativa e erro,
principalmente em problemas onde há inexistência de solução.
O jogo inicial transcorreu em quatro rodadas e foi disputado por dois grupos,
composto cada qual por duas duplas de alunos da mesma série. Cada grupo recebeu uma
folha contendo as regras do jogo, quatro cartas fechadas com os seguintes valores:
R$ 8,00, R$ 10,00, R$ 12,00 e R$ 14,00, correspondendo aos valores a seres gastos para
a compra de sorvetes. Existiam duas opções de sorvetes de casquinha: bola simples
(b.s.), a R$ 2,00 e bola dupla (b.d.), a R$ 4,00. Nos dois grupos, cada dupla registrou o
valor da carta e todas as possibilidades de compra de sorvetes de casquinha, sem as
revelar ao adversário. Os resultados obtidos estão disponíveis nas tabelas 1 e 2.
Tabela 1: Resultados da atividade 1 relativo ao grupo G1 (alunos da 3ª série do Ensino Médio) Grupo G1
Dupla D1 Dupla D2
Gasto (R$) Gasto (R$)
8,00 12,00 10,00 14,00
Soluções corretas 4 bolas simples 2 bola dupla 6 bola simples 3 bola dupla 5 bola simples 1 b.s. e 2 b.d. todas (4)
Tabela 2: Resultados da atividade 1 relativo ao grupo G2 (alunos da 1ª série do Ensino Médio)
Grupo G2 Dupla D3 Dupla U3
Gasto (R$) Gasto (R$)
Soluções 12,00 14,00 8,00 10,00
2 b.s. e 2 b.d. 3 b.s. e 2 b.d. 1 b.d. + 1 b.d. 1 b.s. e 2 b.d.
Os valores monetários
2viabilizaram a mobilização na busca das soluções. De
modo geral, os alunos compreenderam o enunciado e o caráter discreto das soluções
inteiras ao encaminhar as soluções inteiras, assim como utilizaram o método da tentativa
e erro como estratégia preferencial, conforme havíamos previsto na análise a priori.
A seguir foi introduzida a situação ‘Quantos pacotes de café?’, cujo enunciado é
:2
De acordo com Brousseau (1996), uma prerrogativa essencial na problematização se vincula as variáveis didáticas, que correspondem aos intervalos de valores numéricos que permite estimular nos alunos, de forma controlada, a necessidade de busca por novas estratégias para a resolução dos jogos ou problemas, a partir de uma estratégia de base, fomentando condições para surgir o conhecimento almejado.
Uma loja de conveniência trabalha com diversas marcas de café. Num determinado mês, um comprador desta loja adquiriu 2 tipos de café – tipo A (normal) e tipo B (descafeinado). Sabendo-se que ele gastou exatamente R$ 58,00, quais são as diversas maneiras que pode adquirir os pacotes do tipo A e/ou do tipo B? O preço do pacote da marca A é R$ 2,00 e do pacote da marca B, R$ 3,00 (POMMER, 2008, p.61).
Esta situação-problema propiciou um desafio maior ao exigir organização e
percepção na busca das nove soluções inteiras. Um dos grupos, partindo da tentativa e
erro, percebeu um padrão de formação, o que fomentou a rápida organização e resolução
após alguns cálculos, indicando evolução na estratégia.
Os outros grupos compreenderam a natureza discreta das variáveis, ao procurar
as soluções inteiras, porém encontraram somente algumas soluções, pelo fato de se
basearem exclusivamente no método da tentativa e erro.
Por último, apresentamos o enunciado da situação-problema, denominada ‘Qual
sua escolha: CD ou DVD?’:
Uma aluna, Bianca, fã de música, reserva num certo mês R$ 70,00 para a compra de CDs ou DVDs. Um CD custa R$ 12,00 e um DVD R$ 16,00. Quais são as possibilidades de compra destes dois bens gastando-se exatamente R$ 70,00 (POMMER, 2008, p.63).
A escolha dos valores numéricos das variáveis didáticas visava apresentar ao
aluno uma situação-problema com nenhuma solução, de modo a possibilitar a percepção
de um dos limites intrínsecos do método da tentativa e erro como estratégia de resolução.
Conforme previsto, os três grupos dispuseram de maior tempo na tentativa de busca das
soluções, questionando se havia ou não solução inteira devido à insistência na utilização
da tentativa e erro, porém não formularam nenhuma conjectura em relação à inexistência
de solução. Sintetizo as considerações em relação à 1ª sessão, conforme a tabela 3.
Tabela 3: Síntese das conclusões em relação a 1ª sessão.
1ª sessão D1 D2 D3 U3
G1 G2
Perceberam o caráter discreto das grandezas X X X X
Perceberam que havia mais de uma solução X X Em geral Em geral
utilizaram o método da tentativa e erro como estratégia preferencial X X X X
Com relação às atividades propostas na 2ª sessão, estas visaram oportunizar ao
aluno o desenvolvimento de outras estratégias que permitissem o abandono gradual da
tentativa e erro. Mantivemos a formação dos grupos conforme a 1ª sessão. Neste texto,
fazemos a exposição de alguns resultados mais relevantes dessas situações.
Inicialmente, apresentamos o enunciado do ‘Jogo dos Saques no Caixa Eletrônico’:
Usualmente, um caixa eletrônico de banco pode dispor de cédulas para atender eventuais solicitações de saques. Suponha que todos os caixas possuam suficientes cédulas para emissão. Um usuário deseja fazer um saque e decide utilizar um caixa eletrônico que emite somente cédulas de R$ 5,00 ou R$ 10,00. Consulta o seu saldo e verifica que possui em sua conta, no momento, R$ 61,00. Indeciso, resolve efetuar um saque, mas não deseja zerar o saldo. Aponte todos os possíveis saques que poderiam ser realizados pelo usuário. Explique seu raciocínio(POMMER, 2008, p.83).
Este problema objetivava a observação dos múltiplos como estratégia mais
favorável à busca das soluções. A escolha dos valores das cédulas (R$ 5,00 e R$ 10,00),
representativos das variáveis didáticas, facilitariam a percepção dos múltiplos inteiros
positivos de R$ 5,00 até o valor de R$ 60,00.
Os dois grupos inicialmente utilizaram cálculos mentais e a estratégia da tentativa
e erro, porém rapidamente operacionalizaram e explicitaram os múltiplos como estratégia
preferencial e facilitadora, ao perceberam a relação dos possíveis saques e o fato de que
todos eles são divisíveis de 5, conforme relatado na tabela 4.
Tabela 4: Resultados obtidos em uma etapa do ‘Jogo dos Saques Eletrônicos’, pelos grupos G1 e G2.
Seqüência de valores de possíveis saques Justificativa
G1 (5, 20, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60) Todos os números divisíveis por 5 até o 60.
G2 (5, 20, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60) Todos os números divisíveis por 5
A seguir, abordamos o ‘Jogo dos Saques Eletrônicos’, idealizada para bloquear o
uso da estratégia da tentativa e erro, pela escolha, nas análises preliminares, de um valor
de saque apropriado (R$ 1060,00), conforme mostrado na tabela 5.
Os dois grupos não utilizaram cálculos e acertaram todas as respostas. Pode-se
observar, conforme a conforme a tabela 6 indica, que não houve a explicitação da relação
dos resultados obtidos com os múltiplos ou divisores.
Tabela 5: Situação apresentada no ‘Jogo Dos Saques No Caixa Eletrônico’.
Um terceiro cliente entra na agência com serviço de caixa eletrônico, indicado na tabela abaixo, e deseja fazer um saque de R$ 1060,00. Indique na 3ª coluna, escrevendo SIM ou NÂO, qual(is) o(s) caixa(s) eletrônico(s) do banco que permite(m) tal saque. Justifique (POMMER, 2008, p.86).
Caixa eletrônico Cédulas emitidas Saque de R$ 1060,00
Caixa 1 5 e 10
Caixa 2 10 e 20
Caixa 3 20 e 50
Caixa Especial 2 e 10
Tabela 6: Resultados obtidos na Variação do ‘Jogo Dos Saques No Caixa Eletrônico’.
Cédulas Grupo G1 Grupo G2
Caixa 1 5 e 10 Sim Sim
Caixa 2 10 e 20 Sim Sim
Caixa 3 20 e 50 Sim Sim
Caixa 4 2 e 10 Sim Sim
Justificativa - Sim, pois todos os números são pares. Todos os números são inteiros.
Concluímos que, na 2ª sessão, os alunos perceberam, em algumas ocasiões, os
múltiplos ou divisores como estratégia facilitadora para a busca das soluções inteiras nas
situações-problema apresentadas, mostrando indícios de evolução da estratégia de
resolução pelos alunos (ver tabela 7).
Tabela 7: Síntese das produções da 2ª sessão, pelos grupos G1 e G2.
2ª sessão
Grupo G1 Grupo G2
utilizaram as grandezas discretas X X
perceberam que havia mais de uma solução X X utilizaram o método da tentativa e erro como estratégia
preferencial
poucas vezes
Em geral houve evolução para qual estratégia? Múltiplos Múltiplos
Na 3ª sessão o objetivo era retomar problemas resolvidos nas sessões anteriores,
propiciando condições para que os alunos escrevessem a equação e a utilizasse como
ferramenta otimizadora na busca e organização das soluções inteiras.
Como os alunos desta pesquisa não utilizaram a escrita algébrica na 1ª e 2ª
sessões, realizamos uma institucionalização antecedendo o início da 3ª sessão. Utilizamos
como suporte as próprias produções da situação-problema ‘
Quantos pacotes de café
?’,
realizada na 1ª sessão, questionando-os quanto às características dos dados e das soluções,
organizando os resultados de modo a possibilitar elementos para a evolução da escrita
algébrica a partir da tentativa e erro e como esta ferramenta facilita a busca das soluções.
A institucionalização proveu os alunos de recursos para prosseguir nas atividades.
Conforme expresso na síntese apresentada na tabela 8, todos os grupos atingiram objetivo
nas situações-problema apresentadas na 3ª sessão, quanto à escrita algébrica e a utilização
desta para a obtenção das situações onde há mais de uma solução.
Tabela 8: Síntese dos resultados obtidos na 3ª sessão.
Grupo G1 Grupo G2
Atividade Soluções corretas Equação Soluções corretas Equação
‘Quantos pacotes
de café?’ 9 2x + 3y = 58 1
2x + 3y = 58 2.26+3.2=58
‘Saques no banco’ 4 5x + 20y= 65 4 5x + 20y= 65
‘CDs ou DVDs?’ Não há
possibilidades 12x + 16 y = 70 - 12x + 16 y = 70
A tabela 9, a seguir, descreve a conjectura de um dos grupos para se prever quando
uma equação diofantina linear tem solução.
Tabela 9: Critério formulado pelos grupos G1 e G2 no problema ‘CDs ou DVDs?’
Grupo Critério
G1
Procuramos verificar se os valores são divisíveis pelo valor estimado pelo professor. Se ele não for divisível, a equação não terá solução.
G2 -
Assim, quanto a formulação de um critério para se prever quando uma equação
diofantina tem ou não solução, somente um dos grupos revelou indícios de percepção de
relação entre os valores dados nos enunciados e o conceito de divisibilidade, porém não
houve verificação e aprofundamento desta conjectura.
Considerações Finais.
A seqüência didática permitiu aos alunos desta pesquisa a manifestação de
conhecimentos envolvendo as equações diofantinas lineares, ao interagirem
autonomamente com uma situação de ensino.
Os alunos perceberam o caráter discreto das grandezas envolvidas, descartando
os resultados de natureza contínua, assim como observaram a existência de diversas
possibilidades de aquisição na busca das quantidades de dois produtos.
Inicialmente, utilizaram a estratégia de tentativa e erro para as buscas das
soluções inteiras. Porém, alguns alunos manifestaram capacidade em desenvolver outras
estratégias como recurso para a resolução dos problemas, seja através do uso dos
múltiplos ou da escrita algébrica, como ferramenta para organizar e relacionar as
possíveis soluções inteiras.
Também, apresentaram, de modo indiciário, percepção em estabelecer alguma
conexão entre os dados fornecidos nos enunciados e a solução dos problemas,
manifestando relação com os múltiplos ou divisores de um número através de exemplos
particulares, porém não validaram tal resultado.
Destacamos que os alunos manifestaram inquietação nas situações onde não
encontraram solução, porém não formularam conjecturas que permitisse perceber algum
critério quando a situação não possui solução inteira. Isto provavelmente ocorreu
devido, principalmente, a insistência na utilização da estratégia da tentativa e erro.
Na pesquisa, foi grande o envolvimento e empenho dos alunos na busca das
soluções. A utilização de jogos e problemas favoreceu o desenvolvimento de
conhecimentos envolvendo as equações diofantinas lineares, pois estes recursos mediam
as possibilidades dos alunos e as exigências da tarefa, favorecendo a motivação e a
devolução das situações. Isto proporcionou condições para a interpretação dos
enunciados, a busca de soluções e estabelecimento de conjecturas, pela interação
independente do aluno na busca das soluções, ao entrar em contato com as situações
apresentadas.
Ainda, destaco a mínima interferência do pesquisador nas atividades propostas,
permitindo a interação do aluno com as situações-problema e jogos, favorecendo a
postura para o desenvolvimento de um ‘aprender a aprender’, viabilizado pela
possibilidade do aluno em utilizar o repertório das estratégias que ele dispunha –
tentativa e erro – que evoluiu para outras estratégias em virtude exclusivamente do
contato do aluno com as atividades apresentadas e através das trocas e discussões com
o(s) par(es), o que favoreceu o desenvolvimento de competências essenciais.
Diante de tais considerações, os alunos de Ensino Médio desta pesquisa
desenvolveram concomitantemente conhecimentos matemáticos e competências, ao se
deparar com uma seqüência didática inspirada na Engenharia Didática, que viabilizou a
ação independente para o desenvolvimento de várias estratégias.
Assim,
as
capacidades
desenvolvidas
se
manifestaram
através
da
operacionalização e verbalização dos múltiplos e divisores como ferramenta de
resolução dos problemas, assim como perceberam o uso da escrita algébrica como
condição otimizadora e organizadora na busca das soluções inteiras.
Por último, encerro este relato observando a fala de uma aluna, com relação a
este tipo de atividades como motivadoras para o ensino e aprendizagem: “Assim, dá
mais vontade de fazer”.
Referências Bibliográficas
