Prob. 1:
Uma lâmpada de sódio com potência P = 100 W irradia energia (λ = 589 nm) uniformemente em todas as direções.
a) Quantos fótons por segundo (R) são emitidos pela lâmpada?
b) A que distância da lâmpada uma tela totalmente absorvente absorve fótons à razão (ou fluxo: F) de 1,00 fóton/(cm2 s) ?
c) Qual é o fluxo de fótons, F (número de fótons por unid. de área e de tempo), em uma pequena tela situada a 2,00 m da lâmpada?
fótons/s 10 96 , 2 ) m/s 10 3 )( s J 10 63 , 6 ( ) W 100 ( ) m 10 589 ( 20 8 34 9 × ≈ × × × × = = − − hc P R λ
s)
fótons/(m
10
89
,
5
m)
(2
4
fótons/s
10
96
,
2
4
2 18 2 20 2≈
×
×
=
=
π
π
r
R
F
c)
→
=
24 r
R
F
π
4
10
fótons/(m
s)
4
,
85
10
m
fótons/s
10
96
,
2
4
7 2 / 1 2 4 20 2 / 1×
≈
×
×
=
=
π
π
F
R
r
onde: F = 1 fóton/(cm
2s) = 10
4fótons/(m
2s)
b)
→
=
=
=
λ
ν
R
h
c
h
R
E
R
P
a)
0 2 02 0 1 01
φ
λ
φ
λ
−
=
−
=
hc
eV
hc
eV
(
)
)
(
)
(
)
(
1 2 1 1 02 01 1 2 1 1 02 01 − − − −−
−
=
→
−
=
−
λ
λ
λ
λ
V
V
c
e
h
hc
V
V
e
a) e b)
s
eV
10
136
,
4
)
083
,
0
(
10
3
eV
03
,
1
10
)
4
3
(
10
3
eV
82
,
0
eV
85
,
1
15 15 7 1 1 8 − − −−
×
=
×
×
≈
×
×
×
−
=
h
eV
28
,
2
eV
85
,
1
10
3
10
3
10
136
,
4
7 8 15 01 1 0−
≈
×
×
×
×
=
−
=
hc
eV
− −λ
φ
→
=
=
max 0 0λ
φ
ν
c
h
c)
0ν
λ
maxnm
544
m
10
44
,
5
28
,
2
10
3
10
136
,
4
15 8 7 0 max=
=
×
×
×
≈
×
−=
−φ
λ
hc
:frequência de corte comprimento de onda de corte:
Prob.2:
Numa experiência do efeito fotoelétrico, onde utilizamos luz monocromática e um fotocatodo de sódio, encontramos um potencial de corte de 1,85 V para um comprimento de onda de 3000 Å e de 0,82 V para um comprimento de onda de 4000 Å. Destes dados determine:
a) O valor da constante de Planck. b) A função trabalho do sódio.
Prob. 3:
Considere um feixe de raios-X com comprimento de onda de 1,00 Å. Se a radiação espalhada pelos elétrons livres é observada a 90o do feixe incidente, determine:
a) O deslocamento Compton.
b) A energia cinética fornecida ao elétron.
c) A percentagem da energia do fóton incidente que é cedida ao elétron.
a)
→ = ° − = ∆ c m h c m h 0 0 ) 90 cos 1 ( λ 2,43 10 m 2,43pm ) m/s 10 3 )( kg 10 11 , 9 ( Js 10 63 , 6 12 8 31 34 = × ≈ × × × = ∆ − − − λ°
=
=
10
−10m
;
θ
90
λ
i∆
λ
=
λ
f−
λ
i0
;
≈
+
≈
→
+
=
+
i e cin f i f e f f i e i fE
E
E
h
h
E
E
E
ν
ν
b)
(
)
[
−1 − + ∆ −1]
= (6,63× 10−34)(3× 108)[
1010 − 1010(
1,0243)
−1]
= − = λ λ λ λ λ i i f i cin hc c c h E[
2,37 10]
4,72 10 J 2,95 10 eV 295eV 10 989 , 1 × 15 × 2 ≈ × 17 ≈ × 2 = ≈ − − − cin Ec) Variação da energia do fóton:
− = − = − = ∆ −−1 1 1 1 f i i f i f i f f f f hc hc E E E E λ λ λ λ
(
0,976 1)
2,4% 100 1 10 0243 , 1 10 100 (%) 10 10 − ≈ − ≈ − × ≈ ∆ Ef − −(cedida ao
elétron)
Prob. 4:
Se o comprimento de onda de de Broglie de um próton é 100 fm,
a) qual é a velocidade do próton?
b) A que diferença de potencial deve ser submetido o próton para chegar a esta
velocidade?
a)
λ
λ
p pm
h
v
h
v
m
p
=
=
→
=
b)
e
v
m
V
v
m
eV
p p2
2
2 2=
→
=
Prob. 4:
Se o comprimento de onda de de Broglie de um próton é 100 fm,
a) qual é a velocidade do próton?
b) A que diferença de potencial deve ser submetido o próton para chegar a esta
velocidade?
a)
b)
Relativístico:
p =
γ
m
pv
2 Re1
+
=
c
v
v
v
clas clas l m c h v p clas = < <λ
“Deduzir em casa”
No regime relativístico, qual seria a
equação final? Deduzir em casa.
λ
λ
p pm
h
v
h
v
m
p
=
=
→
=
e
v
m
V
v
m
eV
p p2
2
2 2=
→
=
Prob.5:
a) Uma bola de gude, com 25 g, está numa caixa que tem 10 cm de lado. Achar a incerteza mínima no seu momento linear p e na sua velocidade v.
b) Resolver o mesmo problema, para um elétron confinado numa região de comprimento de 1 Å , que é da ordem de grandeza do diâmetro de um átomo.
)
/
(
10
28
.
5
)
(
40
)
.
(
10
63
.
6
27 29 min ,g
cm
s
cm
s
erg
p
b x − −×
≈
×
=
∆
π
min , min , b x b b xm
v
p
=
∆
∆
2
.
11
10
(
/
)
)
(
25
)
(
40
)
.
(
10
63
.
6
27 30 min ,cm
s
g
cm
s
erg
v
xb − −×
≈
×
×
=
∆
→
π
)
10
(
4
)
.
(
)
10
(
2
10
,mincm
s
erg
h
p
p
cm
p
x
cm
x
b x b x b x b bπ
=
∆
→
∆
≤
∆
∆
≤
→
≤
∆
a)
b) elétron num átomo:
e b x e x b x e x e
m
p
v
p
cm
s
erg
h
p
cm
x
min , 9 min , min , 9 8 min , 810
;
10
)
10
(
4
)
.
(
10
→
∆
=
=
∆
∆
=
∆
≤
∆
− −π
c s cm g s cm g v s cm g p e x e x 5.8 10 ( ) 0.019 ) ( 10 1 . 9 ) ( 10 28 . 5 ; ) ( 10 28 . 5 7 28 11 min , 20 min , ≈ × ≈ × × ≈ ∆ × ≈ ∆ − − − v m LProb. 6:
Mostre que o número de onda angular k, de uma partícula livre
não-relativística de massa m, pode ser escrito na forma abaixo,
onde K é a energia cinética da partícula.
h
mK
k
=
2
π
2
m
k
m
p
K
k
p
2
2
;
2 2 2
=
=
=
h
mK
mK
k
mK
k
2=
2
2→
=
2
=
2
π
2
Prob. 7:
a) Um feixe de prótons de 5,0 eV incide em uma barreira de energia potencial de 6,0 eV de altura e 0,70 nm de largura, com uma intensidade correspondente a uma corrente elétrica de 1000 A. Quanto tempo é preciso esperar (em média) para que um próton atravesse a
barreira?
b) Quanto tempo é preciso esperar se o feixe contém elétrons em vez de prótons?
No tempo de espera t
*para 1 próton tunelar:
r t
*T = 1
prot
.
T ≈ exp(− 2κ L)anos
s
t
*≈
4
,
4
×
10
111≈
10
104(maior que a idade do universo ! )
Taxa de incidência r de prótons:
r =I/q= 1000(C/s) / 1,6
×
10
-19(C)
≈
6,25
×
10
21s
-1a)
b)
Feixe de elétrons:
m
0
.
511
MeV
/
c
2e
=
π − × = − 8 (0.511 )(6 5 ) ) . ( 1240 ) 70 , 0 ( 2 exp ) ( 10 25 , 6 1 1 23 * Mev eV eV nm eV nm s tes
t
e*≈
2
.
1
×
10
−19!
− × = − = − 8(938 )(6 5 ) ) . ( 1240 ) 70 , 0 ( 2 exp ) ( 10 25 , 6 1 ) ( 8 2 exp 1 1 23 2 2 * Mev eV eV nm eV nm s h E V m L r t π p b π onde: mp = 938 MeV/c2 ; m e = 0.511 MeV/c2 hc = 1240 eV nmProb. 8:
Um carro de 1500 kg, que se move com uma velocidade constante de 20 m/s, está se aproximando de uma colina com 24 m de altura e 30 m de largura. Embora já se saiba de antemão que o carro é grande demais para ser tratado como uma onda de matéria, determine qual é o coeficiente de transmissão do carro. Considere a colina como uma barreira de energia potencial gravitacional.
(
)
(
)
2 2 2 2 2 8 1/2 8 h mv mgh m h E U m b − = − = π π κ(
)
(
)
( )
2 38 1 34 2 9,8 24 1/2 20 1,2 10 10 63 , 6 1500 2 − − × − × = × × = π m κ0
)
30
10
2
,
1
2
exp(
−
×
×
38×
≈
≈
T
)
2
exp(
L
T
≈
−
κ
Assim, o coeficiente de transmissão é nulo, ou seja, a
probabilidade de que o carro “tunele” através da colina é
zero.
Prob. 9:
Mostre que ∆E/E, a perda de energia relativa de um fóton em uma colisão com uma partícula de massa m, é dada por
onde E é a energia do fóton incidente, f’ a frequência do fóton espalhado e o ângulo φ é o ângulo de espalhamento.
(
1 cosφ)
' 2 − = ∆ mc hf E Ec
h
c
h
E
E
λ
λ
λ
−
=
∆
'
1
1
'
1
'
'
λ
λ
λ
λ λ
λ
λ
∆
=
−
=
∆
E
E
(
φ
)
λ
=
1
−
cos
∆
mc
h
Como
e
'
'
f
c
=
λ
(
1
cos
φ
)
'
2−
=
∆
mc
hf
E
E
Prob. 10 (prob. 58 7ª. Ed.): Funções de onda
Suponha que A=B na Eq. . Nesse caso, a equação representa a soma de duas ondas de matéria de mesma amplitude, propagando-se em sentidos opostos. (Lembre-se de que esta é a condição para uma onda estacionária)
(a)Mostre que nessas condições, é dado por
(b) Plote esta função e mostre que ela representa o quadrado da amplitude de uma onda estacionária.
(c) Mostre que os nós desta onda estacionária estão situados nos pontos para os quais x=(2n+1)(λ/4), onde n=0,1,2,3,..., e λ é o comprimento de onda de de Broglie da partícula. (d) Escreva uma expressão do mesmo tipo para as posições mais prováveis da partícula.
) ( ) ( ) , (x t Aei kx ωt Be i kx ωt ψ = − + − + 2 ) , ( tx ψ ( , ) 2 2[1 cos2 ] 0 2 kx t x = ψ + ψ