n. 10 – PRODUTO VETORIAL ou PRODUTO EXTERNO
O produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um espaço vetorial.
Seu resultado difere do produto escalar por ser também um vetor, ao invés de um escalar.
Seu principal uso baseia-se no fato que o resultado de um produto vetorial é sempre ortogonal a ambos os vetores originais.
Aplicações:
na fórmula do operador vetorial rotacional.
para descrever a Força de Lorentz experimentada por uma carga elétrica movendo-se em um campo magnético. As definições de torque e momento angular também envolvem produto vetorial.
para calcular a normal de um triângulo ou outro polígono, o que é importante no ramo da computação gráfica.
para o desenvolvimento de jogos eletrônicos, para permitir efeitos que simulam iluminação, dentre outros.
Dados dois vetores ⃗⃗ e ⃗⃗ no espaço, podemos definir um terceiro vetor, chamado de produto vetorial de ⃗⃗ por ⃗⃗
como sendo o vetor ortogonal a esses dois vetores:
O produto vetorial de ⃗ por é denotado por ⃗ ou ⃗ Se ⃗ , então, por definição o produto vetorial (ou produto
externo) de ⃗ por , é o vetor nulo.
Notação: ⃗ ⃗ ou ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗
Ao contrário do produto escalar, que resulta num escalar, e pode ser definido em vetores do espaço e em vetores do plano, o produto vetorial só pode ser definido em vetores do espaço, pois está ligado essencialmente ao conceito de orientação.
A regra da mão direita pode ser melhor observada nas figuras que seguem, onde o polegar indica o sentido do vetor oriundo do produto vetorial:
Assim, nas figuras que seguem tem-se:
⃗ ⃗⃗ e ⃗ ⃗⃗
Propriedades do produto vetorial
i. ⃗ ( ⃗⃗ ) ⃗ ⃗ ⃗⃗ Ou ( ⃗ ) ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
ii. ( ⃗ ) ( ⃗ ) ⃗ ( ) iii. ⃗ ⃗
Interpretação geométrica do produto vetorial
A área do paralelogramo que tem ⃗ como lados é a norma do produto vetorial destes vetores, isto é
⃗
Fórmula canônica
Dados dois vetores:
⃗ = x1 + y1 + z1 ⃗ e = x2 + y2 + z2 ⃗
o produto vetorial ⃗ pode ser escrito na forma de um determinante:
⃗ ||
⃗
|| | | | | | | ⃗
Obs.: Para usar positivo na fórmula é preciso fazer: | |
Vetor unitário e ortogonal
Para achar um vetor que seja ortogonal aos vetores ⃗ e , calculamos o produto externo, pois pela definição: o produto externo resulta em um vetor ortogonal a outros dois vetores.
Logo, se é ortogonal, é produto externo, mas para calcular um vetor unitário e ortogonal, temos que achar o vetor unitário ⃗ , pelo cálculo do versor:
Vetor unitário e ortogonal: ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
1º ⃗ = | | . – | | . + | | . ⃗
Exercícios:
1. Sendo ⃗ = 2 - + ⃗ e = + - 2 ⃗ , calcule o produto externo entre ⃗ . R: ( ⃗ ⃗⃗⃗ ) ( )
2. Conhecidos ⃗ e calcule:
a. ⃗ R: 7i – 3 j – 5 k
b. ⃗ R: - 7i + 3 j + 5 k
c. | ⃗ | R: √
3. Sejam os vetores ⃗ ( ) ( ), calcule o valor de a para que a área do paralelogramo determinado por ⃗ seja igual a √ .
4. Calcule a área do quadrilátero dado por A= (1, 4 , 0) , B = (5, 0, 0) , C = (0, -2, 0) e D= ( -4, 2, 0). R: 28 u. a.
5. Do exercício anterior em que ⃗ = 2 - + ⃗ e = + - 2 ⃗ , encontre um vetor unitário ⃗ , ortogonal aos vetores ⃗ .
⃗ ( )
√ ( √ √ √ )
6. Determine o vetor unitário ⃗ , ortogonal aos vetores ⃗ ( ) e ( ). R: ⃗ (
√ √ √ )
1. Sendo ⃗ = 2 - + ⃗ e = + - 2 ⃗ , calcule o produto externo entre ⃗ . R: ( ⃗ ⃗⃗⃗ ) ( )
⃗ = (2, - 1, 1) e =(1, 1, -2) ⃗ | ⃗ | | | | | | | ⃗ ⃗ (2 – 1) . – (-4 -1) . + (2 + 1) . ⃗ ⃗ = + 5 + 3 ⃗ Logo, ( ⃗ ⃗⃗⃗ ) ( ) 2. Conhecidos ⃗ e calcule: a. ⃗ R: 7i – 3 j – 5 k b. ⃗ R: - 7i + 3 j + 5 k x y z (x,y,z) = (2,-1,1) (x,y,z) = (0,0,0) (x,y,z) = (1,1,-2) segmento (2,-1,1)--(0,0,0) segmento (1,1,-2)--(0,0,0) (x,y,z) = (1,5,3) segmento (1,5,3)--(0,0,0) x y z (x,y,z) = (2,-1,1) (x,y,z) = (0,0,0) (x,y,z) = (1,1,-2) segmento (2,-1,1)--(0,0,0) segmento (1,1,-2)--(0,0,0) (x,y,z) = (1,5,3) segmento (1,5,3)--(0,0,0)
c. ⃗ ⃗ | ⃗ | | | | | | | ⃗ ( ) ( ) ( ) ⃗ ⃗ ( ) ⃗ √ ( ) ( ) ⃗ √ R: √
3. Sejam os vetores ⃗ ( ) ( ), calcule o valor de a para que a área do paralelogramo determinado por ⃗ seja igual a √ . ⃗ ⃗ √ ⃗ | ⃗ | | | | | | | ⃗ ⃗ (2) . – (6 + a) . + (- a) . ⃗ ⃗ = 2 – (6 + a) - a ⃗ = (2, -6 - a, - a) ⃗ √ ⃗ √ ( ) ( )
√ √ ( ) ( ) ( √ ) (√ ( ) ( ) )
4. Calcule a área do quadrilátero dado por A= (1, 4 , 0) , B = (5, 0, 0) , C = (0, -2, 0) e D= ( -4, 2, 0).
Primeiro temos que verificar se os lados são paralelos:
⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) ( )
⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) ( )
⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) ( )
⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) ( )
⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) ( ) ⃗ ( ) e ( ) ⃗ | ⃗ | | | | | | | ⃗ ⃗ (0) . – (0) . + (- 8 - 20) . ⃗ ⃗ = 0 – 0 - 28 ⃗ = (0, 0, - 28) ⃗ √ ⃗ √ ( ) ⃗ √ R: 28 u. a.
5. Do exercício anterior em que ⃗ = 2 - + ⃗ e = + - 2 ⃗ , encontre um vetor unitário ⃗ , ortogonal aos vetores ⃗ .
⃗ ( ) √ ( √ √ √ ) ⃗ = (2, - 1, 1) e =(1, 1, -2) ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ Do exercício anterior: ⃗ = (1, 5, 3) ⃗ = √ √ Logo, ⃗ ( ) √ ( √ √ √ )
6. Determine o vetor unitário ⃗ , ortogonal aos vetores ⃗ ( ) e ( ). ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ = (2, 3, -1) e =(1, 1, 2) ⃗ | ⃗ | | | | | | | ⃗ ⃗ = (6 +1) . – (4 +1) . + (2 -3) . ⃗ ⃗ ⃗ Logo, ( ⃗ ⃗⃗⃗ ) ( )
E, ⃗ √ ( ) ( ) √ √ √ Assim, ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ( ) √ R: ⃗ ( √ √ √ ) Referências Bibliográficas
BOULOS, P. e CAMARGO, I. de. Geometria analítica: um tratamento vetorial. São Paulo: McGraw-Hill, 1987.
NUNES, Luiz Fernando. Notas de aula: Matemática 1. Professor do Departamento de Matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR.
STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Geometria analítica. São Paulo: Pearson-Makron Books, 2010. VALLADARES, R. J. C. Geometria analítica do plano e do espaço. Rio de Janeiro: LTC, 1990.
