Processos Pontuais Espaciais para Dados das Unidades Prisionais no Brasil

(1)

Processos Pontuais Espaciais para dados

das unidades prisionais no Brasil

Rebecca de Oliveira Souza

Universidade Federal do Rio de Janeiro

Instituto de Matem´

atica

Departamento de M´etodos Estat´ısticos

2018

(2)

Processos Pontuais Espaciais para dados

das unidades prisionais no Brasil

Rebecca de Oliveira Souza

Disserta¸cão de Mestrado submetida ao Programa de Pós-Gradua¸cão em Estat´ıstica do Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro, UFRJ, como parte

dos requisitos necessários à obten¸cão do grau de Mestre em Estat´ıstica.

Orientadora: Marina Silva Paez Coorientador: Vinicius Pinheiro Israel

Rio de Janeiro, RJ - Brasil 2018

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Processos Pontuais Espaciais para dados

das unidades prisionais no Brasil

Rebecca de Oliveira Souza

Disserta¸cão de Mestrado submetida ao Programa de Pós-Gradua¸cão em Estat´ıstica do Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte dos requisitos necessários à obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Estat´ıstica.

Aprovada por:

Rio de Janeiro, RJ - Brasil 2018

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CIP - Catalogação na Publicação

Elaborado pelo Sistema de Geração Automática da UFRJ com os dados fornecidos pelo(a) autor(a).

S719p

Souza, Rebecca de Oliveira

Processos Pontuais Espaciais para dados das unidades prisionais no Brasil / Rebecca de Oliveira Souza. -- Rio de Janeiro, 2018.

103 f.

Orientadora: Marina Silva Paez. Coorientador: Vinicius Pinheiro Israel.

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, Programa de Pós-Graduação em Estatística, 2018.

1. Estatística Espacial. 2. Inferência bayesiana. 3. Processo de Cox. 4. Aprisionamento no Brasil. I. Paez, Marina Silva, orient. II. Israel, Vinicius Pinheiro, coorient. III. Título.

(5)

Agradecimentos

Agrade¸co, primeiramente, a Deus por nunca desistir de mim. Pelo Seu amor incon-dicional e pela f´e que me faz seguir em frente.

Aos meus pais Alexandre Carlos e Adriana Gon¸calves por todo carinho e cuidado. Por entenderem todo meu estresse e me darem conforto quando eu mais precisei.

Aos meus orientadores Marina Paez e Vinicius Israel pela aten¸cão e dedica¸cão durante todo o ano. Foi um prazer trabalhar e aprender com vocês.

Ao meu melhor amigo e companheiro Marcus Gerardus por ser minha pessoa prefe-rida. Obrigada tamb´em pelas ideias compartilhadas sobre esse trabalho.

`

A minha querida amiga Vanessa Eufrauzino por todas as conversas e desabafos. Por saber mais de mim do que eu mesma.

A todos os amigos que fiz durante o mestrado por tornarem esses dois anos mais agradáveis. Em especial à Ra´ıra Marotta por ser minha gêmea.

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Resumo

O aprisionamento vem sendo estudado no âmbito internacional e apresenta resulta-dos preocupantes com crescimento acelerado nas últimas décadas. Segundo dados do Institute for Criminal Policy Research da universidade de Birkbeck em Londres, o Brasil multiplicou o número de presos em 20 vezes desde 1973 até os dias de hoje. Diante disso, há interesse em investigar a distribui¸cão das unidades prisionais no Brasil e estudar a as-socia¸cão de covariáveis para então entender a disposi¸cão dessas unidades. Neste trabalho, propomos modelar as localiza¸cões dessas unidades através de Processos de Cox. Primei-ramente, a fun¸cão de intensidade foi definida a partir de uma mistura de distribui¸cões normais com o objetivo de definir a forma¸cão de conglomerados de pontos. As covariáveis nesse modelo são referentes as unidades prisionais e são inclusas nas dimensões dos pon-tos, isso leva a forma¸cão de conglomerados compostos por unidades prisionais próximas geograficamente e que possuem poss´ıveis caracter´ısticas semelhantes. Na segunda parte do trabalho foi utiliza um modelo proposto por Diggle et al. (1997) que permite que a fun¸cão de intensidade leve em considera¸cão as distâncias das localiza¸cões das unidades prisionais às fontes de influências previamente definidas, além de covariáveis espaciais. Em ambos os modelos, a inferência foi feita sob o enfoque bayesiano.

Palavras-Chave: Estat´ıstica Espacial; Inferˆencia bayesiana; Processo de Cox; Aprisiona-mento no Brasil.

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Abstract

Imprisonment has been studied in the international scene and it has worrying out-comes with a rapid growth in recent decades. According to data from the Institute for Criminal Policy Research in Birkbeck University in London, the size of the Brazilian im-prisoned population increased twentyfold from 1973 to the present days. Therefore, there is an interest in investigating the distribution of the locations of prison units in Brazil anda also their association with covariates. This work aims to model the location of this units through a Cox Process. Firstly, the intensity function was defined by the mixture of normal distributions with the goal of describing the formation of point clusters. The covariates in this model are realtive to the prison units, and they are included as new dimensions in the model, leading to the formation of clusters of points which are close not only geografically but also present similar values of covariates. The second part of this work uses a model proposed byDiggle et al.(1997) that allows the intensity function to depend on covariates, as well as on the distance between the prison units to sources of influence which are fixed, and previously specified. In both parts, inference is performed under the Bayesian approach.

(8)

Sum´

ario

Sum´ario viii

Lista de Tabelas x

Lista de Figuras xii

1 Introdu¸c˜ao 1

2 Aplica¸c˜ao motivacional 6

3 Revis˜ao metodol´ogica 16

3.1 Processos pontuais espaciais . . . 17

3.1.1 Propriedades de primeira e segunda ordem . . . 18

3.1.2 Analisando padr˜oes pontuais no espa¸co . . . 19

3.1.3 Modelagem para padr˜oes de pontos espaciais . . . 27

3.2 Inferˆencia sob o enfoque bayesiano. . . 29

3.2.1 Amostrador de Gibbs . . . 30

3.2.2 Metropolis-Hastings. . . 31

3.3 Crit´erios de compara¸c˜ao de modelos . . . 33

4 Estrutura de mistura normal para a fun¸c˜ao de intensidade 35 4.1 O modelo . . . 36

4.1.1 Distribui¸c˜ao a posteriori . . . 39

4.2 Estudo simulado . . . 43

(9)

4.3.1 Mistura de normais em duas dimens˜oes . . . 51

4.3.2 Mistura de normais em trˆes dimens˜oes . . . 54

4.3.3 Mistura de normais em quatro dimens˜oes . . . 61

5 Fontes de pontos para a fun¸c˜ao de intensidade 67 5.1 O modelo . . . 68

5.1.1 Distribui¸c˜ao a posteriori . . . 70

5.2 Estudo simulado . . . 72

5.3 Aplica¸c˜ao . . . 75

6 Conclus˜oes 80

Referˆencias Bibliogr´aficas 83

(10)

Lista de Tabelas

2.1 Número de unidades prisionais exclu´ıdas das análises, número de unidades analisadas e informa¸cões prisionais para as divisões administrativas do Brasil. 7

2.2 Resumo das variáveis popula¸cão prisional, capacidade prisional e taxa de ocupa¸cão das 1392 unidades prisionais no Brasil para o ano de 2014. . . . 9

2.3 Resumo do IDH do ano de 2010 e GINI do ano de 2014 para os estados brasileiros. . 11

2.4 Medidas de posicionamento pol´ıtico para um per´ıodo de classifica¸c˜ao de 2003 a 2014, segundo crit´erios de Madeira e da Silva Tarouco (2013) e

Braga et al. (2015), em Israel e Bachini (2017). . . 15

4.1 Critérios de compara¸cão para os modelos com mistura de normais consi-derando apenas as coordenadas na dimensão. . . 52

4.2 Moda e intervalo de credibilidade de 95% a posteriori para os parˆametros

do modelo com mistura de 5 normais com dimens˜oes compostas pelas

coordenadas das unidades prisionais no Brasil. . . 52

4.3 Critérios de compara¸cão para os modelos com mistura de normais conside-rando coordenadas e logaritmo da taxa de ocupa¸cão prisional na dimensão. 54

coordenadas e logaritmo da taxa de ocupa¸c˜ao das unidades prisionais no Brasil. . . 55

4.5 Crit´erios de compara¸c˜ao para os modelos com mistura de normais

(11)

coordenadas e logaritmo da taxa de ocupa¸c˜ao das unidades prisionais no Brasil. . . 59

4.7 Crit´erios de compara¸c˜ao para os modelos com mistura de normais

con-siderando coordenadas, logaritmo da taxa de ocupa¸c˜ao e logaritmo da

capacidade prisional na dimens˜ao. . . 61

coordenadas, logaritmo da taxa de ocupa¸c˜ao e logaritmo da capacidade

das unidades prisionais no Brasil. . . 63

5.1 Resultados dos ajustes dos modelos com fontes pontuais na fun¸c˜ao de

(12)

Lista de Figuras

2.1 Localiza¸c˜ao das unidades prisionais no Brasil no ano de 2014. ´Area e cor dos c´ırculos representam a quantidade de presos (a) e a quantidade de vagas (b). . . 8

2.2 Localiza¸cão das unidades prisionais no Brasil no ano de 2014. Área e cor dos c´ırculos representam a taxa de ocupa¸cão. . . 9

2.3 Taxa prisional (a) e taxa da capacidade prisional (b) dos estados brasileiros por 100 mil habitantes no ano de 2014. Cores mais escuras representam taxas mais altas. . . 10

2.4 Taxa de ocupa¸c˜ao prisional dos estados brasileiros no ano de 2014. Cores mais escuras representam taxas mais altas. . . 11 2.5 Distribui¸c˜ao do IDH 2010 (a) e do GINI 2014 (b) para os estados brasileiros de acordo

com as regi˜oes Centro-Oeste (CO), Nordeste (NE), Norte (N), Sudeste (SE) e Sul (S). 12

2.6 Logaritmo da taxa prisional por 100 mil habitantes e o IDH 2010 para os estados brasileiros classificados pelo ´ındice GINI 2014. . . 13

2.7 Distribui¸c˜ao das medidas de posicionamento pol´ıtico segundo Madeira e da Silva Ta-rouco(2013) (a) eBraga et al.(2015) (b) para os estados brasileiros de acordo com as

regi˜oes Centro-Oeste (CO), Nordeste (NE), Norte (N), Sudeste (SE) e Sul (S). . . 14

3.1 Simula¸cão de padrões de pontos aleatórios (a); agrupados (b); e regulares (c). . . 17

3.2 Estimativa da fun¸c˜ao de intensidade utilizando o estimador Kernel com

(13)

3.3 Estimador da fun¸cão F (linha preta sólida), fun¸cão F aproximada para a hipótese de CSR (linha vermelha pontilhada) e envelopes de 99 simula¸cões de CSR (pol´ıgono cinza) para dados artificiais de um padrão de pontos aleatórios (a); agrupados (b); e regulares (c). . . 22

3.4 Estimador da fun¸cão G (linha preta sólida), fun¸cão G aproximada para a hipótese de CSR (linha vermelha pontilhada) e envelopes de 99 simula¸cões de CSR (pol´ıgono cinza) para dados artificiais de um padrão de pontos: aleatórios (a); agrupados (b); e regulares (c). . . 23

3.5 Estimador da fun¸cão K menos πx2 (linha preta sólida), linha de referência em K(x) − πx2 _{= 0 para a hip´}_{otese de CSR (linha vermelha pontilhada) e}

envelopes de 99 simula¸cões de CSR (pol´ıgono cinza) para dados artificiais de um padrão de pontos aleatórios (a); agrupados (b); e regulares (c). . . 25

3.6 Estimativas da intensidade pontual das unidades prisionais utilizando a fun¸c˜ao de Quar-tic Kernel variando a largura da banda. . . 27

3.7 Estimador das fun¸c˜oes G (a), F (b) e K-πx2_{(c) para as unidades prisionais brasileiras}

(linha preta sólida), respectivas fun¸cões teóricas para a hipótese de CSR (linha vermelha

pontilhada) e envelopes de 99 simula¸c˜oes de CSR (pol´ıgono cinza). . . 27

4.1 Fun¸cão de intensidade simulada considerando o cenário 1 (a) e o cenário

2 (b) para o modelo com mistura de normais. . . 44

4.2 Pontos simulados considerando o cen´ario 1 (a) e o cen´ario 2 (b) para o modelo com mistura de normais.. . . 45

4.3 Histogramas para as amostras a posteriori para os parâmetros µ₁ (supe-rior) e µ₂ (inferior) no primeiro cenário dos dados simulados. Limites do intervalo de credibilidade de 95% (linha tracejada vermelha), moda a pos-teriori (linha tracejada azul), valor verdadeiro (linha tracejada verde) e distribui¸cão a priori (linha pontilhada preta).. . . 46

(14)

4.4 Histogramas para as amostras a posteriori para os parˆametros Σ1

(supe-rior) e Σ2 (inferior) no primeiro cen´ario dos dados simulados. Limites

do intervalo de credibilidade de 95% (linha tracejada vermelha), moda a posteriori (linha tracejada azul) e valor verdadeiro (linha tracejada verde). 47

4.5 Histogramas para as amostras a posteriori para os parˆametros λ0

(es-querda), w1 (meio) e w2 (direita) no primeiro cen´ario dos dados simulados.

Limites do intervalo de credibilidade de 95% (linha tracejada vermelha), moda a posteriori (linha tracejada azul), valor verdadeiro (linha tracejada verde) e distribui¸c˜ao a priori (linha pontilhada preta). . . 47

4.6 Histogramas para as amostras a posteriori para os parâmetros µ₁ (supe-rior) e µ₂ (inferior) no segundo cenário dos dados simulados. Limites do intervalo de credibilidade de 95% (linha tracejada vermelha), moda a pos-teriori (linha tracejada azul), valor verdadeiro (linha tracejada verde) e distribui¸cão a priori (linha pontilhada preta).. . . 48

4.7 Histogramas para as amostras a posteriori para os parˆametros Σ1

(su-perior) e Σ2 (inferior) no segundo cen´ario dos dados simulados. Limites

do intervalo de credibilidade de 95% (linha tracejada vermelha), moda a posteriori (linha tracejada azul) e valor verdadeiro (linha tracejada verde). 49

4.8 Histogramas para as amostras a posteriori para os parˆametros λ0

(es-querda), w1 (meio) e w2 (direita) no segundo cen´ario dos dados simulados.

Limites do intervalo de credibilidade de 95% (linha tracejada vermelha), moda a posteriori (linha tracejada azul), valor verdadeiro (linha tracejada verde) e distribui¸c˜ao a priori (linha pontilhada preta). . . 49

4.9 Fun¸c˜oes de intensidade ajustada para os dados simulados referentes ao

cen´ario 1 (a) e cen´ario 2 (b) para o modelo com mistura de normais. . . . 50

4.10 Contorno da fun¸c˜ao de intensidade ajustada (a) e Mapa de calor para a fun¸c˜ao de intensidade ajustada (b) para o modelo com estrutura de mistura

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4.11 Localiza¸cões das unidades prisionais com cores representando cada con-glomerado de pontos para o modelo com coordenadas e logaritmo da taxa de ocupa¸cão (a). Box-plot do logaritmo da taxa de ocupa¸cão de acordo com os conglomerados de pontos (b), logaritmo da taxa de ocupa¸cão igual a zero (linha tracejada vermelha). . . 56

4.12 Fun¸c˜ao de intensidade estimada para o modelo com mistura de 4

nor-mais para cada coordenada e logaritmo da taxa de ocupa¸cão das unidades prisionais. Cor e área dos c´ırculos representam a fun¸cão de intensidade estimada. . . 57

4.13 Localiza¸c˜oes das unidades prisionais com cores representando cada con-glomerado de pontos para o modelo com coordenadas e logaritmo da ca-pacidade prisional (a). Box-plot do logaritmo da caca-pacidade prisional de

acordo com os conglomerados de pontos (b). . . 60

4.14 Fun¸cão de intensidade estimada para o modelo com mistura de 5 normais para cada coordenada e logaritmo da capacidade prisional das unidades prisionais. Cor e área dos c´ırculos representam a fun¸cão de intensidade estimada. . . 60

4.15 Localiza¸cões das unidades prisionais com cores representando cada conglo-merado de pontos para o modelo com coordenadas, logaritmo da taxa de ocupa¸cão e logaritmo da capacidade prisional (a). Box-plots do logaritmo da taxa de ocupa¸cão (b) e do logaritmo da capacidade prisional (c) de

acordo com os conglomerados de pontos. . . 65

4.16 Fun¸c˜ao de intensidade estimada para o modelo com mistura de 5

nor-mais para cada coordenada, logaritmo da taxa de ocupa¸c˜ao e logaritmo

da capacidade prisional das unidades prisionais. Cor e ´area dos c´ırculos representam a fun¸c˜ao de intensidade estimada. . . 66

5.1 Fun¸c˜ao de intensidade simulada (a) e pontos simulados (b) para o modelo com fontes pontuais. . . 73

(16)

5.2 Histogramas para as amostras a posteriori para os parˆametros λ0(superior

esquerda), β1 (superior direita), α (inferior esquerda), φ (inferior meio)

e δ (inferior direito) para o dados simulados. Limites do intervalo de

credibilidade de 95% (linha tracejada vermelha), moda a posteriori (linha tracejada azul), valor verdadeiro (linha tracejada verde) e distribui¸c˜ao a priori (linha pontilhada preta). . . 74

5.3 Fun¸c˜ao de intensidade ajustada para os dados simulados considerando o

modelo com fontes pontuais. . . 75

5.4 Fun¸cão de intensidade estimada para o modelo com mistura de normais de dimensões compostas pelas coordenadas (a). Número de unidades prisio-nais em cada estado do Brasil (b). Cores das barras indicam a região dos estados: Centro-Oeste (vermelho); Nordeste (verde); Norte (azul escuro); Sudeste (azul claro); Sul (rosa). . . 76

5.5 Localiza¸c˜ao das unidades prisionais com a identifica¸c˜ao das fontes pontuais (c´ırculos vermelhos) . . . 77

5.6 Fun¸c˜oes de intensidade estimadas com fontes pontuais para os modelos

com a covari´avel: IDH (a); GINI (b); Pol´ıtica I (c); Pol´ıtica II (d). . . 79

A.1 Gráfico de dispersão da longitude contra latitude contra logaritmo da taxa de ocupa¸cão marcados com os conglomerados para o modelo que considera as coordenadas e o

loga-ritmo da taxa de ocupa¸c˜ao. . . 86

A.2 Gr´afico de dispers˜ao da longitude contra latitude contra logaritmo da ca-pacidade marcados com os conglomerados para o modelo que considera as coordenadas e o logaritmo da capacidade.. . . 87

A.3 Gráfico de dispersão da longitude contra latitude contra logaritmo da taxa de ocupa¸cão marcados com os conglomerados para o modelo que considera as coordenadas, logaritmo da taxa de ocupa¸cão e logaritmo da capacidade. 88

A.4 Gr´afico de dispers˜ao da longitude contra latitude contra logaritmo da ca-pacidade marcados com os conglomerados para o modelo que considera as

(17)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

O aprisionamento vem sendo estudado tanto no âmbito nacional quanto no internaci-onal e apresenta resultados preocupantes com crescimento acelerado nas últimas décadas em diversos pa´ıses desenvolvidos e nos estados brasileiros, em particular. Segundo da-dos do Institute for Criminal Policy Research (ICPR-Instituto de Pesquisa em Pol´ıticas Criminais) da universidade de Birkbeck em Londres (Jacobson et al., 2017), mais de 10 milhões de pessoas estavam presas em todo o mundo no ano de 2017. Dentre os princi-pais pa´ıses que apresentaram rápido crescimento da popula¸cão prisional, destacam-se os Estados Unidos que mais do que quadruplicou o número de presos de 1980 a 2008, pas-sando de aproximadamente 500 mil para 2,3 milhões. Já o Brasil multiplicou o número de presos em vinte vezes nos últimos quarenta e quatro anos, passando de cerca de 30 mil presos em 1973 para mais de 600 mil presos em 2017.

Segundo o último relatório da ICPR com dados referentes a outubro de 2015 ( Walms-ley,2016), o Brasil tem a quarta maior popula¸cão prisional em números absolutos, ficando atrás apenas dos Estados Unidos, China e Rússia. Além disso, o número de presos sem condena¸cão ultrapassa de 212 mil, sendo a terceira maior popula¸cão, em termos absolu-tos. O aumento dos n´ıveis de deten¸cão sem julgamento, principalmente em pa´ıses menos desenvolvidos, expressam a ineficiência, desorganiza¸cão e falta de recursos dos sistemas e processos judiciais.

(18)

acarretam no fenômeno conhecido como o “boom carcerário1”. São variadas as causas do aumento da popula¸cão carcerária no Brasil e em muitos outros pa´ıses. Pesquisadores atribuem esse aumento a fatores como mudan¸cas nos padrões de crimes, debates públicos cada vez mais punitivistas e culturas pol´ıticas, domina¸cão de classes, fatores econômicos, entre outros.

Enquanto as causas do crescimento carcerário podem apresentar certa complexidade, as consequências são incontestáveis. O encarceramento em massa junto com a escassez de cadeias levam a condi¸cões de superlota¸cão, que em muitas das vezes, são agravadas com a falta de estrutura das unidades prisionais. Isso afeta os grupos mais marginali-zados e diminui as chances de poss´ıveis reabilita¸cões, limitando a eficácia dos sistemas penitenciários em lidar com a minoria de presos que representam riscos para a seguran¸ca pública. Além de aumentar os riscos para os próprios prisioneiros, gerando violência e re-beliões. O uso excessivo da prisão também demanda gastos aos cofres públicos, podendo impedir o desenvolvimento econômico.

Segundo relatório do ministério da justi¸ca, o Brasil possui uma taxa de ocupa¸cão média de 161%, ou seja, 16 pessoas estariam ocupando um espa¸co destinado para apenas 10 pessoas. A maioria das unidades prisionais brasileiras não apresentam condi¸cões fa-voráveis para a sobrevivência dos presos que geralmente depende da prote¸cão de gangues. A violência nas prisões brasileiras tornou-se frequente nas últimas décadas e é uma das responsáveis por grande parte das mortes na popula¸cão carcerária. Um dos maiores con-flitos prisionais ocorreu no Complexo Penitenciário An´ısio Jobim (Compaj, Manaus) em janeiro de 2017, resultando em 56 mortes e desencadeando outros conflitos em diferentes unidades pelo Brasil. Muitas dessas rebeliões estão ligadas ao controle do narcotráfico e disputa de poder por façcões criminosas.

Heran¸cas históricas do per´ıodo da ditadura militar no Brasil (1964 a 1985) são em parte causadoras dos principais problemas do sistema penitenciário brasileiro. A transi¸cão da ditadura para a democracia marca um per´ıodo de grandes desafios pol´ıtico-institucionais (Adorno, 2002), com instabilidade pol´ıtica e não aprova¸cão das propostas

1_Mudan¸_{cas nas pol´ıticas de justi¸}_{ca criminal e resultam em aumento do tempo de encarceramento,}

(19)

do novo governo por agentes penitenciários. A mudan¸ca de regime veio acompanhado de muita violência, massacres e rebeliões nas prisões organizadas por dirigentes do crime organizado. Grupos como o Comando Vermelho (CV) e o Primeiro Comando da Capital (PCC) representam duas grandes organiza¸cões criminosas que foram formadas dentro das dependências das prisões. Esses grupos e o crime organizado controlam 90% das prisões do Brasil, onde conseguem organizar opera¸cões de tráfico e extorsão em grande parte do pa´ıs (Miraglia, 2015).

O aumento da puni¸cão reflete as desigualdades impostas aos grupos pobres e margi-nalizados da sociedade, incluindo grupos não nacionais e minoritários étnicos e culturais

(Israel, 2016). A aplica¸cão da lei e o sistema de justi¸ca são marcados por corrup¸cão e

ineficiência, isso mostra a instabilidade pol´ıtica e a falta de uma pol´ıtica criminal mais justa. As consequências levam a deteriora¸cão das prisões e da comunidade.

`

A vista disso, é relevante a realiza¸cão de estudos mais aprofundados das informa¸cões dispon´ıveis das unidades prisionais. Com a finalidade de compreender melhor o cenário das prisões do Brasil, não apenas tendo uma visão geral do contexto, mas entendendo como o sistema funciona e quais são os principais fatores que contribuem para a sua organiza¸cão. Ferramentas estat´ısticas atuais são de grande valor para essa tarefa, pois, através de análises de dados e modelagem é poss´ıvel extrair resultados que podem auxiliar na tomada de decisão dos responsáveis pelo sistema. Estat´ıstica voltada para o sistema prisional oferece, portanto, meios para entender se as decisões tomadas pelo governo realmente estão deixando a popula¸cão mais segura.

Nos Estados Unidos, Milgram (2012) usa análise de dados para resolver o problema de reincidência nas cadeias americanas e a grande quantidade de pessoas presas que estão apenas aguardando pelo julgamento. A autora calcula o risco do preso cometer um novo crime ou um ato de violência se for solto, além de prever se o preso vai voltar ao tribunal, ajudando nas decisões dos ju´ızes no julgamento do réu. No Brasil, ainda são poucos os trabalhos que utilizam ferramentas estat´ısticas robustas para o estudo do encarceramento em massa no Brasil. O trabalho desenvolvido porIsrael e Bachini (2017) utiliza modelos estat´ısticos para investigar quais seriam os principais fatores que contribuem para as taxas de encarceramento nos estados do Brasil. Variáveis como quantidade de jovens,

(20)

´ındice de desigualdade e influˆencia pol´ıtica apresentam associa¸c˜ao significativa com essa taxa.

O presente trabalho propõe explorar uma ferramenta estat´ıstica que lida com a va-riabilidade espacial dos dados. Em particular, serão utilizados modelos destinados às observa¸cões de eventos em uma região geográfica. Esses modelos são conhecidos como processos pontuais espaciais. Além disso, a inferência que será aplicada a esses modelos será sob a perspectiva bayesiana. Apesar do custo computacional, uma das vantagens da estat´ıstica bayesiana é a produ¸cão de modelos mais real´ısticos que podem incorpo-ram suposi¸cões do próprio pesquisador. Trabalhos que usam processos pontuais espaciais bayesianos podem ser visto, por exemplo, emPaez e Diggle(2009) eJunior et al.(2015). Esse trabalho é pioneiro na área, sendo sua proposta estudar a rela¸cão espacial das lo-caliza¸cões das unidades prisionais no Brasil, utilizando-se de processos pontuais espaciais sob o enfoque bayesiano. Há interesse em investigar a distribui¸cão das unidades prisi-onais no Brasil e estudar a associa¸cão de covariáveis para então entender a disposi¸cão dessas unidades. A partir disso, é poss´ıvel compreender as caracter´ısticas das unidades brasileiras e o fenômeno do encarceramento no Brasil, pois se espera que o número de unidades prisionais seja correspondente as necessidades de cada estado.

O primeiro modelo proposto nesse trabalho incorpora uma estrutura de mistura de distribui¸cões normais em modelos para processos pontuais. O objetivo dessa modela-gem é identificar padrões nas localiza¸cões das unidades prisionais brasileiras. O estudo considera não apenas o espa¸co geográfico, mas também um espa¸co social baseado em covariáveis. Com isso, deseja-se investigar se unidades próximas geograficamente apre-sentam caracter´ısticas sociais semelhantes.

A segunda abordagem proposta nesse trabalho baseia-se no modelo desenvolvido por

Diggle et al. (1997) e faz uso de processos pontuais considerando que as observa¸c˜oes

estão sendo influenciadas por fontes pontuais. Nesse trabalho, as fontes pontuais serão selecionadas com base nas análises dos focos ou picos de pontos encontrados na primeira modelagem. A partir disso, novas covariáveis poderiam ser inclu´ıdas no modelo com o objetivo de explicar a disposi¸cão das unidades ao redor dessas fontes.

(21)

cor-robora com a base da investiga¸cão sociológica defendida porGoldthorpe (2016). Segundo Goldthorpe, uma investiga¸cão sociológica não dever ser conduzida através dos compor-tamentos particulares dos indiv´ıduos dessa popula¸cão, mas a partir das regularidades presentes nessa popula¸cão que são como propriedades. É necessário que tais regulari-dades sejam vis´ıveis para então tornarem-se transparentes, ou seja, deve-se explorar e descrever essas regularidades e depois deve-se buscar explica¸cões para as mesmas.

Este trabalho está organizado em seis cap´ıtulos, em que o primeiro é a introdu¸cão. O Cap´ıtulo 2 traz a aplica¸cão motivacional, onde são realizadas análises descritivas dos dados sobre encarceramento no Brasil com o objetivo de entender melhor como eles se organizam e compreender o problema em questão.

O Cap´ıtulo 3 consiste na apresenta¸cão dos métodos estat´ısticos trabalhados nessa disserta¸cão, com foco nos processos pontuais espaciais. Inicialmente, o cap´ıtulo traz defini¸cões básicas para a compreensão e identifica¸cão de um processo pontual. Também são abordados os métodos de inferência bayesiana e alguns critérios de compara¸cão de modelos.

No Cap´ıtulo 4, um processo pontual com uma estrutura de mistura de normais é estudado. A descri¸cão e a inferência do modelo são realizadas, seguidas de um breve estudo simulado para a valida¸cão do modelo proposto. A aplica¸cão do modelo é dada com base nas localiza¸cões das unidades prisionais brasileiras e a inclusão das covariáveis no modelo é feita a partir da amplia¸cão do espa¸co de estudo.

O cap´ıtulo 5 descreve uma nova abordagem discutida nesse trabalho que incorpora fontes de pontos ao processo espacial. A organiza¸cão do cap´ıtulo é análoga ao cap´ıtulo anterior, com descri¸cão e inferência do modelo proposto, seguidas de um breve estudo simulado e a aplica¸cão para os dados das unidades prisionais no Brasil. Por fim, no Cap´ıtulo 6 são apresentados a conclusão e trabalhos futuros.

(22)

Cap´ıtulo 2

Aplica¸

c˜

ao motivacional

Os dados sobre encarceramento no Brasil são provenientes do censo penitenciário bra-sileiro e foram obtidos a partir do Levantamento Nacional de Informa¸cões Penitenciárias (Infopen) organizado pelo Departamento Penitenciário Nacional (DEPEN) em 2014. Os dados contêm informa¸cões de todas as 1424 unidades prisionais brasileiras. No entanto, devido à indisponibilidade de alguns dados para determinadas unidades, preferiu-se ex-cluir essas das análises. A Tabela2.1mostra o número de unidades que apresentam dados faltantes e que foram exclu´ıdas das análises e também o número de unidades prisionais por estados e regiões do Brasil que foram consideradas nas análises, totalizando 1392 unidades. O número de unidades desconsideradas apresenta um percentual pequeno do número total de unidades e, aparentemente, não exibem nenhum padrão espacial. Por-tanto, a retirada dessas não deve prejudicar as análises das localiza¸cões das unidades que serão discutidas nos cap´ıtulos seguintes.

Das 32 unidades desconsideradas, 12 não informam a quantidade de presos, 7 não informam a quantidade de vagas dispon´ıveis e 2 não possuem ambas as informa¸cões. Além disso, 11 unidades apresentam quantidade de vagas igual a zero e foi observado que algumas não dispunham de infraestrutura adequada e foram interditadas.

Tomando como base as 1392 unidades analisadas, a Tabela 2.1 traz informa¸cões pri-sionais dos estados e regiões do Brasil. Os estados do Mato Grosso do Sul e São Paulo com o Distrito Federal são os que apresentam mais presos por 100 mil habitantes, sendo São Paulo o estado com maior número de presos em termos absolutos. Quanto à taxa de

(23)

ocupa¸cão, todas as regiões apresentam número de presos maior que o número de vagas oferecidas, sendo a região com maior taxa o nordeste (169,43%) e a com menor taxa a região sul (116,27%).

Tabela 2.1: Número de unidades prisionais exclu´ıdas das análises, número de unidades analisadas e informa¸cões prisionais para as divisões administrativas do Brasil.

Divis˜oes N. de unidades N. de unidades N. de Presos por Taxa de administrativas exclu´ıdas analisadas presos 100 mil hab. ocupa¸c˜ao %

Distrito Federal (DF) - 6 13.269 463,490 200,893

Goi´as (GO) - 95 13.244 202,376 155,977

Mato Grosso (MT) - 59 10.357 320,330 125,327

Mato Grosso do Sul (MS) 1 44 14.203 540,547 201,948

Centro-Oeste 1 204 51.073 334,513 168,042 Alagoas (AL) 1 8 3345 100,571 129,200 Bahia (BA) - 22 11.836 78,157 142,243 Cear´a (CE) 3 155 18.278 206,242 155,030 Maranh˜ao (MA) 3 29 4.392 64,046 89,982 Para´ıba (PB) 1 77 9.596 243,058 155,527 Pernambuco (PE) - 77 31.510 339,096 264,923 Piau´ı (PI) 1 12 2.414 75,499 140,512

Rio Grande do Norte (RN) - 33 7.192 210,489 152,308

Sergipe (SE) - 8 4.057 182,305 157,309 Nordeste 9 421 92.620 164,600 169,435 Acre (AC) 2 10 2384 300,601 114,615 Amap´a (AP) - 8 2.654 351,418 139,831 Amazonas (AM) 3 17 6.379 164,045 188,449 Par´a (PA) - 41 12.604 155,738 139,718

Rondˆonia (RO) 7 44 6.590 375,840 122,719

Roraima (RR) - 5 1.605 320,915 148,611

Tocantins (TO) 1 42 3.160 210,487 138,354

Norte 13 167 35.376 204,666 140,839

Esp´ırito Santo (ES) 1 34 15461 397,020 119,806

Minas Gerais (MG) - 184 56.236 270,798 150,674

Rio de Janeiro (RJ) 2 48 39.266 238,118 139,093

S˜ao Paulo (SP) 4 158 214.843 486,730 167,171

Sudeste 7 424 325.806 381,992 157,413

Paran´a (PR) 1 35 19.516 175,734 102,007

Rio Grande do Sul (RS) 1 95 25.858 230,365 119,145

Santa Catarina (SC) - 46 17.914 265,511 131,759

Sul 2 176 63.288 217,655 116,272

(24)

Na Figura 2.1, cada c´ırculo representa a localiza¸c˜ao de um unidade prisional e a ´

area do c´ırculo é proporcional ao número de presos (mapa da esquerda) ou ao número de vagas (mapa da direita) naquela unidade. Observando a Figura 2.1(a), é evidente o aglomeramento de presos em grande parte do litoral, em maior peso nas regiões sudeste e nordeste, sendo mais disperso ao norte e no interior do pa´ıs. Percebe-se também que a maioria das unidades que encarceram mais, em números absolutos, estão localizadas no estado de São Paulo. Na Figura2.1(b), o número de vagas parece acompanhar o número de presos que pode ser observado no mapa ao lado, porém, em propor¸cões menores.

(a) (b)

Figura 2.1: Localiza¸c˜ao das unidades prisionais no Brasil no ano de 2014. ´Area e cor dos c´ırculos representam a quantidade de presos (a) e a quantidade de vagas (b).

A Figura 2.2 traz a taxa de ocupa¸cão para cada uma das unidades prisionais no Brasil. Em todo o pa´ıs, a situa¸cão de superpopula¸cão é notória, destacando-se mais a região nordeste. Os estados que apresentam pelo menos uma unidade prisional com mais de cinco presos por vaga (c´ırculo vermelho escuro) são: Amazonas, Ceará, Goiás, Mato Grosso do Sul, Pará, Para´ıba, Pernambuco, Rio Grande do Norte, Rio Grande do Sul e Santa Catarina.

(25)

Figura 2.2: Localiza¸cão das unidades prisionais no Brasil no ano de 2014. Área e cor dos c´ırculos representam a taxa de ocupa¸cão.

A Tabela 2.2 mostra o cenário das unidades prisionais no Brasil em 2014. Em média, as unidades prisionais brasileiras possuem 408 presos, enquanto que em média as uni-dades dispõem de 267 vagas. Além disso, em torno de 75% das unidades apresentam superpopula¸cão de presos, ou seja, o número de presos excede o número de vagas.

Tabela 2.2: Resumo das variáveis popula¸cão prisional, capacidade prisional e taxa de ocupa¸cão das 1392 unidades prisionais no Brasil para o ano de 2014.

Vari´avel M´ınimo 1o _Quartil _Mediana _M´_{edia (Desvio Padr˜}_ao) ₃o_Quartil _M´_aximo

Popula¸c˜ao Prisional 0 51 134 408 (354,300) 476 4337

Capacidade Prisional 4 43 105 267 (595,680) 359 2696

Taxa de Ocupa¸c˜ao 0 0,953 1,333 1,563 (0,996) 1,965 9,778

´

E de grande importância lembrar a diversidade no âmbito econômico, pol´ıtico e so-cial dos estados do Brasil. Consequentemente, é natural pensar que para estados mais desenvolvidos, ou que possuem uma pol´ıtica punitivista (ou carcerária) mais agressiva, ou ainda os mais populosos, o quantitativo de presos será maior. Sendo assim, espera-se que o número de unidades prisionais seja correspondente às necessidades de cada estado. Tendo em vista isso, as análises a seguir possuem grande relevância para a investiga¸cão das variáveis associadas às unidades prisionais dos estados brasileiros.

(26)

A taxa da popula¸cão carcerária brasileira em 2014 foi de 279,62 presos por 100 mil habitantes, apesar das cadeias brasileiras ofertarem apenas 182,87 vagas por 100 mil habi-tantes. Esses dados são ainda mais preocupantes no cenário estadual. Os mapas represen-tados nas Figuras2.3 e2.4 remetem a realidade da superpopula¸cão de presos dos estados brasileiros no ano de 2014. O gráfico da esquerda, na Figura 2.3, representa a taxa prisi-onal dos estados por 100 mil habitantes (#presos/#habitantes × 100mil) e o gráfico da direita indica a taxa da capacidade prisional por 100 mil habitantes (#vagas/#habitantes × 100mil). Observa-se que o mapa da taxa prisional possui cores mais escuras para a maioria dos estados do que o mapa da taxa da capacidade prisional, indicando a super-popula¸cão carcerária para esses estados. A superpopula¸cão pode ser mais evidenciada na Figura 2.4 que apresenta a taxa de ocupa¸cão (#presos/#vagas) para cada estado do Brasil. Apenas o estado do Maranhão possui um quantitativo de presos inferior ao número de vagas dispon´ıveis. Além disso, o Distrito Federal e os estados do Mato Grosso do Sul e Pernambuco são os que possuem mais que o dobro de presos por vagas, sendo Pernambuco o estado com maior taxa de ocupa¸cão com 264,92%.

(a) (b)

Figura 2.3: Taxa prisional (a) e taxa da capacidade prisional (b) dos estados brasileiros por 100 mil habitantes no ano de 2014. Cores mais escuras representam taxas mais altas.

Com o objetivo de entender as caracter´ısticas das unidades prisionais, foram estudadas também variáveis referentes aos estados brasileiros. O IDH (Índice de Desenvolvimento Humano), ´ındice desenvolvido pelo Programa das Na¸cões Unidas para o Desenvolvimento

(27)

Figura 2.4: Taxa de ocupa¸c˜ao prisional dos estados brasileiros no ano de 2014. Cores mais escuras representam taxas mais altas.

(PNUD) em 1990, é comumente utilizado para mensurar as condi¸cões básicas de vida de uma sociedade. Valores altos desse ´ındice indicam sociedades com condi¸cões de vida básica melhores. Já o GINI (Índice de desigualdade), foi criado pelo matemático italiano Conrado Gini, e mensura a concentra¸cão de renda em determinada sociedade. O valor de GINI igual a zero representa a situa¸cão de igualdade, ou seja, todos têm a mesma renda. A Tabela 2.3 mostra medidas resumo para o IDH e o GINI dos estados brasileiros.

Tabela 2.3: Resumo do IDH do ano de 2010 e GINI do ano de 2014 para os estados brasileiros.

´Indices M´ınimo 1o _Quartil _Mediana _M´_{edia (Desvio Padr˜}_ao) ₃o _Quartil _M´_aximo

IDH 2010 0,631 0,664 0,699 0,705 (0,049) 0,738 0,824

GINI 2014 0,429 0,463 0,480 0,480 (0,027) 0,495 0,565

Na Figura 2.5, estão representados os box-plots das distribui¸cões do IDH 2010, à esquerda, e do GINI 2014, à direita, para os estados brasileiros segundo as respectivas regiões. Nota-se que há uma alta variabilidade tanto do IDH 2010 quanto do GINI 2014 para os estados da região centro-oeste. Nessa região também se encontra o Distrito Federal que é o que apresenta maior ´ındice de desenvolvimento (IDH 2010 = 0,824) e maior ´ındice de desigualdade (GINI 2014 = 0,565). Deve-se ressaltar ainda que a região sul é a que possui valores relativamente altos e uma menor variabilidade do ´ındice de desenvolvimento de seus estados, e é a região que apresenta os menores ´ındices de desigualdade.

(28)

CO NE N SE S 0.65 0.70 0.75 0.80 Região Índice (a) IDH 2010 CO NE N SE S 0.44 0.48 0.52 0.56 Região Índice (b) GINI 2014

Figura 2.5: Distribui¸c˜ao do IDH 2010 (a) e do GINI 2014 (b) para os estados brasileiros de acordo

com as regi˜oes Centro-Oeste (CO), Nordeste (NE), Norte (N), Sudeste (SE) e Sul (S).

A Figura 2.6 apresenta um gráfico de dispersão do logaritmo da taxa prisional por 100 mil habitantes e o IDH calculado no ano de 2010 para os estados. Os dados foram classificados em dois grupos de acordo com o ´ındice GINI calculado no ano de 2014: o primeiro grupo engloba os estados que estão abaixo ou na média desse ´ındice e o outro grupo engloba os que estão acima da média. Nota-se que, para ambos os grupos de GINI 2014, o logaritmo da taxa prisional cresce a medida que o ´ındice de desenvolvimento au-menta. Porém, esse crescimento é mais lento para os estados com ´ındice de desigualdade menor, ou seja, estados mais desenvolvidos e mais desiguais tendem a apresentar taxas mais elevadas de encarceramento (Israel, 2016).

Somando-se a esses ´ındices, é de grande importância o estudo de medidas capazes de aferir sobre a ideologia e orienta¸cão dos partidos pol´ıticos dos governadores dos es-tados brasileiros, visto que a jurisdi¸cão das unidades prisionais pertence ao governo do estado. Israel e Bachini (2017) medem o posicionamento pol´ıtico dos governos estaduais do per´ıodo de 2003 a 2014 a partir da classifica¸cão dos partidos pol´ıticos dos governadores dos estados nesse per´ıodo. Para cada estado, os autores somam -1 se o partido é definido como de esquerda, 0 se é definido como de centro e 1 se é definido como de direita. O equivalente vale para a defini¸cão de liberal (-1) e conservador (1).

(29)

Figura 2.6: Logaritmo da taxa prisional por 100 mil habitantes e o IDH 2010 para os estados brasileiros classificados pelo ´ındice GINI 2014.

As medidas de Israel e Bachini (2017) s˜ao baseadas nos trabalhos de Madeira e

da Silva Tarouco(2013) e Braga et al. (2015). O primeiro classifica os partidos pol´ıticos

apenas pelos seus estatutos, enquanto que o segundo mostra-se como uma atualiza¸c˜ao do primeiro, classificando os partidos a partir dos seus estatutos e do seu grau de fisio-logismo. A Tabela 2.4 apresenta as medidas pol´ıticas desenvolvidas por Israel e Bachini

(2017) para um per´ıodo de classifica¸c˜ao de 2003 a 2014.

A Figura 2.7 mostra os box-plots das distribui¸cões das medidas de posicionamento pol´ıtico para os partidos dos governadores dos estados brasileiros de acordo com as res-pectivas regiões. Constata-se que, as medidas baseadas no trabalho deBraga et al.(2015) tende a classificar os partidos um pouco mais à esquerda, havendo certa dificuldade de diferenciar a classifica¸cão entre os partidos.

(30)

CO NE N SE S −3 −2 −1 0 1 2 3 Região P osicionamento político

(a)Madeira e da Silva Tarouco (2013)

CO NE N SE S −3 −2 −1 0 1 2 3 Região P osicionamento político (b)Braga et al. (2015)

Figura 2.7: Distribui¸c˜ao das medidas de posicionamento pol´ıtico segundoMadeira e da Silva Tarouco

(2013) (a) eBraga et al. (2015) (b) para os estados brasileiros de acordo com as regi˜oes Centro-Oeste

(31)

Tabela 2.4: Medidas de posicionamento pol´ıtico para um per´ıodo de classifica¸c˜ao de 2003 a 2014, segundo crit´erios deMadeira e da Silva Tarouco (2013) e Braga et al.(2015), em

Israel e Bachini (2017).

Estados Segundo crit´erios Segundo crit´erios

deMadeira e da Silva Tarouco(2013) deBraga et al.(2015)

Acre -3 -3 Alagoas 2 -1 Amapá -2 -3 Amazonas 0 1 Bahia -1 -1 Ceará 1 -2 Distrito Federal 0 0 Esp´ırito Santo 0 -2 Goiás 1 1 Maranhão 0 0 Mato Grosso 0 0

Mato Grosso do Sul -1 -1

Minas Gerais 3 0 Par´a 1 -1 Para´ıba 2 -1 Paran´a 1 0 Pernambuco 0 -2 Piau´ı -2 -3 Rio de Janeiro 0 -1

Rio Grande do Norte 1 -1

Rio Grande do Sul 0 -1

Rondˆonia 1 0 Roraima 2 1 Santa Catarina 1 1 S˜ao Paulo 3 0 Sergipe -1 -1 Tocantins 2 1

(32)

Cap´ıtulo 3

Revis˜

ao metodol´

ogica

Conjuntos de dados georreferenciados são comumente encontrados em diversas áreas da ciência. Diz-se de dados georreferenciados aqueles que estão relacionados à uma localiza¸cão e eles podem ser classificados em três tipos: dados geoestat´ısticos, dados de ´

area e padrões de pontos. Conjuntos de dados como por exemplo localiza¸cões de árvores de uma determinada espécie encontrada na floresta amazônica, focos de dengue em um estado, ocorrência de assalto em determinados pontos de um munic´ıpio, são chamados de padrão de pontos espaciais e referem as localiza¸cões como eventos. Ao estudar o padrão de pontos distribu´ıdo aleatoriamente no espa¸co, surgem questionamentos como: existe algum padrão na distribui¸cão desses pontos no espa¸co? É poss´ıvel associar covariáveis que expliquem esse padrão?

Verificar se os eventos observados apresentam algum tipo de padrão sistemático (agru-pado ou regular), ao contrário de estarem distribu´ıdos aleatoriamente, e entender a forma¸cão desses padrões são caracter´ısticas principais da análise estat´ıstica de padrão de pontos espaciais.

A Figura 3.1 ilustra três padrões de pontos espaciais que foram obtidos por meio de simula¸cões. Nota-se que, na Figura 3.1(a), não há uma estrutura claramente definida e pode ser vista como um padrão de pontos completamente aleatório. Por outro lado, na Figura 3.1(b), observa-se uma forte estrutura de agrupamento dos pontos. O padrão de pontos agrupados pode surgir através de algum mecanismo de agrupamento ou por meio de varia¸cões do meio de estudo levando à concentra¸cões de eventos relativamente altas

(33)

em determinadas regiões. Já na Figura3.1(c), tem-se uma distribui¸cão dos pontos mais ou menos regular sobre toda a área de estudo, indicando que a ocorrência de um ponto tende a repelir a existência de outro ponto em sua vizinhan¸ca.

(a) (b) (c)

Figura 3.1: Simula¸cão de padrões de pontos aleatórios (a); agrupados (b); e regulares (c).

Uma breve revisão de literatura sobre processos pontuais espaciais será exposta a seguir. Para defini¸cões mais completas matematicamente, ver por exemplo,Diggle(2003),

Cressie (1991) e Mφller e Waagepetersen (2003).

3.1 Processos pontuais espaciais

Considerando apenas processos pontuais simples em Rr (isto ´e, ou nenhum evento ou um ´_{unico evento ocorre em qualquer ponto do R}r_),_Diggle₍₂₀₀₃_{) define um processo}

pontual X = {X(s) : s ∈ S} como um processo estocástico que rege as localiza¸cões dos eventos {si} em algum conjunto S ⊆ Rr, onde o número desses eventos em S também é

aleatório. Logo, a aleatoriedade está nas localiza¸cões espaciais e não em caracter´ısticas associadas a elas.

Na prática, somente pontos contidos em uma região A ⊂ S limitada serão observados. Portanto, serão considerados realiza¸cões de um conjunto finito de localiza¸cões em S de um processo pontual. Essas realiza¸cões são ditas um padrão de pontos espaciais {s1, ..., sn},

si ∈ S, para i = 1, ..., n e n ≥ 0.

(34)

revisadas na se¸c˜ao seguinte.

3.1.1 Propriedades de primeira e segunda ordem

Definindo N (A) como sendo o número de eventos na região A ⊂ S limitada, pode-se calcular a esperan¸ca de N (A), denotada por E(N (A)), em termo da fun¸cão de intensidade λ(s). A fun¸cão de intensidade λ(s) mensura o potencial para um evento ocorrer em qualquer localiza¸cão s ∈ S (Cressie e Wikle, 2011), ou ainda, o número de eventos por unidade r-dimensional de volume.

Seja ds uma região pequena localizada em s com volume |ds|. Então, a fun¸cão de intensidade de primeira ordem do processo pontual X é definida por

λ(s) = lim

|ds|→0

E(N (ds))

|ds| , s ∈ S, (3.1)

se o limite existe. Assim,

E(N (A)) = Z

A

λ(s)ds, A ⊂ S. (3.2)

O conhecimento de λ(·) não caracteriza completamente o comportamento espacial do processo pontual. Propriedades de segunda ordem podem expressar a complexa intera¸cão espacial, ou seja, a dependência espacial do processo. Por exemplo, a estrutura de co-variância para N (A) é comumente baseada na fun¸cão de intensidade de segunda ordem λ2(s, x) entre duas regiões infinitesimais |ds| e |dx| contendo s e x, dada como

λ2(s, x) = lim |ds|,|dx|→0

E(N (ds)N (dx))

|ds||dx| , s, x ∈ S. (3.3)

Caracter´ısticas importantes de um processo pontual espacial X estão diretamente re-lacionadas com as fun¸cões de intensidade de primeira e segunda ordens. A seguir, serão introduzidos os conceitos de estacionariedade e isotropia, que são hipóteses simplificado-ras largamente utilizadas.

A estacionariedade de X afirma que a sua distribui¸cão é invariante sobre transla¸cão em Rr_{. Um processo ´}_{e fracamente estacion´}_{ario se}

(35)

em que λ∗₂(·) é a fun¸cão de intensidade de segunda ordem escrita como fun¸cão de um ´

unico parˆametro.

Para alguns autores, o termo estacionariedade é usado para processos que tenham propriedades semelhantes em todos os locais da região de interesse. Além disso, se um processo estacionário é também isotrópico, a sua distribui¸cão é invariante sobre rota¸cões na origem de Rr_{, isto ´}_e,

λ2(s, x) = λ∗2(||s − x||), (3.5)

ou seja, λ2(s, x) é fun¸cão apenas da distância entre s e x.

As hipóteses de estacionariedade e isotropia são amplamente utilizadas em mode-lagens espaciais, pois simplificam as análises de forma considerável. Essas suposi¸cões, entretanto, devem ser consideradas com cautela, apenas ao se verificar apropriadas para o processo pontual em questão. A seguir são revisadas algumas análises de processos pontuais utilizadas para a compreensão de padrões de pontos.

3.1.2 Analisando padr˜

oes pontuais no espa¸

co

Segundo Diggle(2003), a hipótese de aleatoriedade espacial completa (CSR - na sigla em inglês) para um padrão de pontos espacial afirma que: (i) o número de eventos em uma região A plana com área |A| segue uma distribui¸cão de Poisson com média λ|A|; (ii) dado n eventos na região A, as localiza¸cões desses eventos constituem uma amostra aleatória independente de uma distribui¸cão uniforme em A. Essa hipótese também pode ser vista como um processo de Poisson homogêneo, que será contemplado na Se¸cão3.1.3. A seguir, serão apresentadas algumas ferramentas que podem ser úteis na análise da hipótese de CSR.

Estimador de Kernel

Uma análise preliminar do comportamento do padrão de pontos em estudo pode ser realizada a partir da estima¸cão não paramétrica da fun¸cão de intensidade λ(·). O estimador de Kernel é uma op¸cão simples para essa tarefa, que tem como objetivo estimar

(36)

a densidade de probabilidade de uma variável aleatória. Baseado em n localiza¸cões de eventos {s1, ..., sn} em S, o estimador de intensidade de Kernel é (Cressie e Wikle,2011)

ˆ λ(s) = 1 pb(s) n X i=1 kb(s − si), s ∈ S, (3.6)

em que kb(·) é uma fun¸cão de densidade de probabilidade (Kernel) simétrica na origem,

b > 0 é o parâmetro de suaviza¸cão chamado largura da banda, e pb(s) =

R

Skb(s − x)dx

´

e a corre¸c˜ao de borda.

As fun¸c˜oes de Kernel mais utilizadas s˜ao a uniforme, quartic, triangular, Epanech-nikov, normal, entre outras. Por exemplo, em R2_{, considere a escolha de um Kernel}

quartic1_{, k} b(x) = ρb(x1)ρb(x2), em que x = (x1, x2)0 e ρb(·) ´e ρb(x) = 15 16b[1 − (x/b) 2_]2_{I(|x| ≤ b),} _(3.7)

sendo I(|x| ≤ b) uma fun¸cão indicadora que assume 1 se em módulo de x for menor ou igual a b e 0 caso contrário. A escolha do parâmetro b influencia fortemente o resultado da estima¸cão. Valores pequenos de b podem gerar superf´ıcies muito descont´ınuas, enquanto valores grandes geram superf´ıcies muito suavizadas. A Figura 3.2 mostra a estimativa da fun¸cão de intensidade para o padrão de pontos agrupados apresentados na Figura

3.1(b) definido em um quadrado [0, 1] × [0, 1], considerando as larguras de bandas 0,04, 0,1 e 0,24. Percebe-se que há picos da intensidade em locais com grande concentra¸cão de pontos e a medida que o parâmetro b aumenta, a fun¸cão intensidade vai sendo suavizada e apresentando valores mais baixos para essas regiões.

O estimador Kernel, como visto, é adequado para estudar de forma não paramétrica a distribui¸cão de primeira ordem do processo pontual. Para explorar propriedades de segunda ordem do processo, pode-se utilizar as fun¸cões emp´ıricas F, G e K. Tais fun¸cões são descritas a seguir.

(37)

Figura 3.2: Estimativa da fun¸cão de intensidade utilizando o estimador Kernel com fun¸cão quartic para uma simula¸cão do padrão de pontos agrupados.

Fun¸c˜ao F

Ripley(1977) define a fun¸cão F como a fun¸cão de distribui¸cão acumulada da distância

entre um ponto aleatório e o evento mais próximo a este. Um estimador para a fun¸cão F pode ser dado por:

ˆ F (d) =

Pm

i=1I(di ≤ d)

m d > 0, (3.8)

em que m é o número de pontos aleatórios não observados na região de estudo e di a

distância do i-ésimo ponto aleatório ao ponto mais próximo de n eventos na região de estudo.

Diggle (2003) mostra que a fun¸cão F para a hipótese de CSR é aproximadamente

dada por

F (d) = 1 − exp(−πλd2), (3.9)

em que λ = n|A|−1. Para avaliar a hipótese de CSR, é realizada uma análise gráfica do estimador da fun¸cão F avaliada em di, contra a distância di. Nesse gráfico, é poss´ıvel

incluir envelopes inferiores e superiores de simula¸c˜oes para um cen´ario de CSR, definidos como:

I(d) = min( ˆF (d)) S(d) = max( ˆF (d)). (3.10)

(38)

3.1). Eles são mostrados a seguir na Figura3.3. Percebe-se pela figura que para distâncias maiores, o padrão agrupado difere-se dos demais padrões apresentando um crescimento um pouco mais lento, uma vez que a probabilidade de um ponto aleatório estar próximo de pontos com padrão agrupado é menor do que se o padrão fosse aleatório ou regular. Além disso, identifica-se uma CSR quando os valores estimados da fun¸cão F se aproximam dos valores aproximados pela fun¸cão sob a hipótese de CSR descrita pela Equa¸cão 3.9.

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x F(x) (a) 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x F(x) (b) 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x F(x) (c)

Figura 3.3: Estimador da fun¸cão F (linha preta sólida), fun¸cão F aproximada para a hipótese de CSR (linha vermelha pontilhada) e envelopes de 99 simula¸cões de CSR (pol´ıgono cinza) para dados artificiais de um padrão de pontos aleatórios (a); agrupados (b); e regulares (c).

Fun¸c˜ao G

Comumente conhecida na literatura como método do vizinho mais próximo, a fun¸cão G é a distribui¸cão acumulada da distância entre um evento e o vizinho mais próximo. Também proposta por Ripley(1977), um estimador para esta pode ser definido por:

ˆ G(d) =

Pn

i=1I(di ≤ d)

n , d > 0, (3.11)

em que, para n eventos localizados na regi˜ao de estudo A, di representa a distˆancia do

i-ésimo evento ao evento mais próximo em A. A diferen¸ca entre as fun¸cões F e G é que a fun¸cão F usa a distância de um evento a um ponto aleatório não observado enquanto a fun¸cão G usa a distância de um evento a um outro evento.

(39)

Analogamente à fun¸cão F,Diggle(2003) demonstra que a fun¸cão G, sob a hipótese de CSR, é aproximadamente definida pela Equa¸cão3.9. Para verificar essa hipótese, análises gráficas equivalentes às realizadas para a fun¸cão F podem ser feitas para a fun¸cão G. Assim, para os dados artificiais apresentados na Figura 3.1, os gráficos das estimativas da fun¸cão G são apresentados da Figura3.4. Nota-se que a estimativa da fun¸cão G cresce mais rápido para o padrão de pontos agrupados do que para os outros padrões. Isso se deve ao fato de que a probabilidade de eventos estarem próximos uns dos outros a uma dada distância d é maior para padrões agrupados do que para os demais padrões. Já para o padrão regular, a estimativa da fun¸cão G cresce bem mais lentamente, pois os eventos estão bem mais espa¸cados uns dos outros.

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x G(x) (a) 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x G(x) (b) 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x G(x) (c)

Figura 3.4: Estimador da fun¸cão G (linha preta sólida), fun¸cão G aproximada para a hipótese de CSR (linha vermelha pontilhada) e envelopes de 99 simula¸cões de CSR (pol´ıgono cinza) para dados artificiais de um padrão de pontos: aleatórios (a); agrupados (b); e regulares (c).

Fun¸c˜ao K

A fun¸cão F é mais indicada para a identifica¸cão de agrupamentos de eventos, enquanto que a fun¸cão G é mais relevante para a identifica¸cão de padrões regulares (Diggle,2003). Diante disso, buscando-se uma fun¸cão igualmente capaz de distinguir ambos os padrões,

(40)

e segunda ordem de um processo estacion´ario e isotr´opico, definida como: K(d) = 2π λ2 Z d 0 λ∗₂(s)sds, (3.12)

ou alternativamente, pode ser definida como:

K(d) = λ−1E(N0(d)) d > 0, (3.13)

em que N0(d) é o número de eventos a menos de uma distância d de um evento arbitrário,

e λ ´e a intensidade do processo.

Um estimador proposto por Ripley (1977) para a fun¸c˜ao K ´e da foma:

ˆ K(d) = |A| n2 n X i=1 n X j=1 I(dij < d) wij , (3.14)

em que I(dij < d) ´e uma indicadora que assume 1 se a distˆancia dij entre os eventos i

e j (i 6= j) é menor que d, e 0 caso contrário. |A| é a área da região de estudo onde se localizam os n eventos; e wij é a propor¸cão da circunferência ao redor de um evento i,

passando sobre o evento j, que está dentro da região A. Já sobre a hipótese de CSR, sabe-se que as fun¸cões de intensidade mantêm-se constantes, ou seja, λ(s) = λ e λ∗₂(s) = λ2_.

Logo, sob estas condi¸cões, a fun¸cão K para a hipótese de CSR é

K(d) = 2π λ2 Z d 0 λ∗₂(s)sds = 2π λ2 Z d 0 λ2sds = πd2, (3.15)

e pode ser facilmente calculada para a constru¸cão de gráficos semelhantes aos gráficos apresentados para as fun¸cões F e G, e análise da hipótese de CSR.

Para facilitar a interpreta¸cão, a Figura 3.5 exibe o gráfico do estimador da fun¸cão K menos o seu valor teórico sob a hipótese CSR (ou seja, K(d) = πd2), contra a distância d, para os padrões de pontos artificiais apresentados no Figura3.1.

Nota-se pela Figura 3.5, que para o exemplo com padrão de pontos agrupados, a estimativa da fun¸cão K posiciona-se acima do envelope superior. Por outro lado, para o padrão regular, percebe-se uma curvatura para abaixo do envelope inferior em distâncias

(41)

0.00 0.10 0.20 0.30 −0.15 −0.05 0.05 0.15 x K(x) − π x 2 (a) 0.00 0.10 0.20 0.30 −0.10 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 x K(x) − π x 2 (b) 0.00 0.10 0.20 0.30 −0.20 −0.10 0.00 0.05 x K(x) − π x 2 (c)

Figura 3.5: Estimador da fun¸cão K menos πx2 (linha preta sólida), linha de referência em K(x) − πx2 _{= 0 para a hip´}_{otese de CSR (linha vermelha pontilhada) e envelopes de}

99 simula¸cões de CSR (pol´ıgono cinza) para dados artificiais de um padrão de pontos aleatórios (a); agrupados (b); e regulares (c).

pequenas (abaixo de 0,1), enquanto que para o padrão aleatório a estimativa da fun¸cão K está bem próxima à linha de referência da CSR. Conforme a distância aumenta, a estima¸cão da fun¸cão K para o padrão regular se assemelha à estima¸cão para o padrão aleatório.

An´alise explorat´oria espacial para os dados prisionais

A seguir será realizada uma análise exploratória espacial com base nas estat´ısticas apresentadas anteriormente. Com o objetivo de identificar a existência de padrões de pontos nos dados das localiza¸cões das unidades prisionais, primeiramente foi realizado uma estima¸cão da intensidade do processo utilizando o estimador de Kernel. Para tal, baseado nas localiza¸cões das 1392 unidades prisionais distribu´ıdas por todo Brasil, o estimador de Kernel foi calculado para diferentes valores de largura da banda e o resultado ´

e mostrado na Figura 3.6. São percept´ıveis fortes evidências de estrutura espacial na distribui¸cão pontual das unidades prisionais e com maior incidência no sudeste, em torno da região mais urbanizada e desenvolvida do Rio de Janeiro, São Paulo e Minhas Gerais, e no nordeste com centro entre Pernambuco e Ceará. Pode-se observar também que ao

(42)

aumentar o tamanho da largura da banda, a estimativa da intensidade vai sendo suavizada e fica claro a intensidade crescente da região norte em dire¸cão ao litoral brasileiro. Porém, esse estimador fornece apenas uma análise prévia do comportamento do processo. Para melhor compreender o padrão de pontos da amostra e assim poder classificá-lo entre os tipos de padrões sistemáticos (agrupamento ou regularidade), foi investigado a hipótese de CSR das unidades aplicando-se as fun¸cões G, F e K.

A Figura 3.7(a) traz o gráfico da fun¸cão de distribui¸cão emp´ırica da fun¸cão G e claramente pode-se observar o excesso de pequenas distância de vizinhos mais próximos o que caracteriza um padrão de agrupamento. A Figura3.7(b) mostra o gráfico da fun¸cão de distribui¸cão emp´ırica da fun¸cão F em que se percebe que a estimativa de F encontra-se abaixo do limite inferior do envelope de simula¸cões de um CSR, indicando um padrão de pontos agrupados.

O conhecimento da intensidade não caracteriza completamente o comportamento es-pacial do processo pontual. Existem medidas de momento de ordem superior que ex-pressam complexas intera¸cões espaciais (Diggle, 2003). Além disso, as fun¸cões G e F tratam de apenas contagem de pontos na procura do vizinho mais próximo ou dentro de uma região espec´ıfica de estudo, sendo assim muito simplificadas e havendo perda de informa¸cão no que diz respeito a intera¸cão dos eventos. A fun¸cão K mostra-se mais completa e robusta para caracterizar o processo pontual, uma vez que se baseia na fun¸cão de intensidade de segunda ordem e então agregando mais informa¸cão a respeito da de-pendência espacial. Na Figura3.7(c) encontra-se a estimativa da fun¸cão K menos o valor teórico sob um CSR (K(r) = πx2_{) e nota-se que essa permanece acima do limite superior}

do envelope de simula¸c˜ao, caracterizando um padr˜ao de pontos agrupados.

Dada a descri¸cão dos dados e apresenta¸cão do problema, nos próximos cap´ıtulos, será feita uma revisão metodológica com o propósito de aprofundar o estudo do fenômeno apresentado.

(43)

Figura 3.6: Estimativas da intensidade pontual das unidades prisionais utilizando a fun¸c˜ao de Quartic Kernel variando a largura da banda.

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x G(x) (a) 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x F(x) (b) 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 x K(x) − π x 2 (c)

Figura 3.7: Estimador das fun¸c˜oes G (a), F (b) e K-πx2 _{(c) para as unidades prisionais brasileiras}

(linha preta sólida), respectivas fun¸cões teóricas para a hipótese de CSR (linha vermelha pontilhada) e

envelopes de 99 simula¸c˜oes de CSR (pol´ıgono cinza).

3.1.3 Modelagem para padr˜

oes de pontos espaciais

(44)

trabalho.

O Processo de Poisson desempenha um papel fundamental na modelagem de padrões de pontos. O processo pontual de Poisson X ´_{e definido no espa¸co S ⊆ R}d e especificado por uma fun¸cão de intensidade λ : S −→ [0, ∞) que é localmente integrável, isto é, R

Aλ(s)ds < ∞, A ⊂ S (Mφller e Waagepetersen,2003).

Tem-se que a intensidade do processo ´e dada por:

µ(A) = Z

A

λ(s)ds A ⊆ S, (3.16)

em que λ(s)ds é a probabilidade de ocorrência de um ponto em uma região infinitesimal centrada em s e de área ds. A intensidade do processo de Poisson pode ser interpretada como o número esperado de pontos em A, para todo A ⊆ S, ou seja E[N (A))] = µ(A).

Mφller e Waagepetersen(2003) definem o processo pontual de Poisson X com fun¸c˜ao

de intensidade λ(·) como aquele que satisfaz as seguintes propriedades (em que µ ´e dado por 3.16):

(i) para qualquer A ⊆ S com µ(A) < ∞, N (A) segue uma distribui¸cão de Poisson com média µ(A), isto é, N (A) ∼ P oisson(µ(A));

(ii) para qualquer n ∈ N e A ⊆ S com 0 < µ(A) < ∞, condicionado em N (A) = n, o processo pontual X|N (A) = n, que consiste em n pontos independentes e identicamente distribu´ıdos em A com densidade f (s) = _µ(A)λ(s), ´e um processo pontual binomial, ou seja, X|N (A) = n ∼ Binomial(A, n, f ).

Denota-se que X segue um processo de Poisson na regi˜ao S e com intensidade λ(·) por X ∼ P oisson(S, λ(·)).

Se χ = {s1, ..., sn}, si ∈ S ´e uma realiza¸c˜ao do processo pontual. Condicionalmente ao

número de eventos em S, as localiza¸cões si são independentes e tem distribui¸cão comum

com densidade λ(s)/µ. Ent˜ao, a verossimilhan¸ca para λ(·) baseada no dado χ ´e

L(λ(·); s1, ..., sn) = n Y i=1 λ(si)exp − Z A λ(s)ds . (3.17)

Se a fun¸cão de intensidade é uma constante que não depende das localiza¸cões dos eventos de X, isto é, λ(s) = λ, então tem-se um processo de Poisson homogêneo; do

(45)

contrário, se a fun¸cão de intensidade λ(s) varia no espa¸co S, tem-se um processo de Poisson não-homogêneo.

O processo de Poisson homogêneo é o mecanismo estocástico mais simples poss´ıvel para a gera¸cão de padrões de pontos espaciais e, em aplica¸cões, é usado como padrão idealizado de aleatoriedade espacial completa CSR (Diggle, 2013). Ele é isotrópico e estacionário o que faz com que, para muitos fenômenos, não seja realista, pois se mostra muito trivial. Já o processo não-homogêneo de Poisson se apresenta não-estacionário, porém o mesmo não possui efeitos de segunda ordem.

Apesar da classe de modelos do processo de Poisson ser muito simplista para dados reais, ela pode ser utilizada como base para constru¸cão de modelos mais flex´ıveis, como por exemplo, processos de Cox. Esses são modelos geralmente utilizados para padrões de pontos agregados devido à heterogeneidade aleatória do espa¸co ou pelo agrupamento de pontos de eventos relacionados (Mφller e Waagepetersen,2003) (Diggle,2013).

O processo de Cox foi considerado pela primeira vez por Lundberg (1940) e Cox

(1955) e ele é naturalmente uma extensão de um processo de Poisson. O processo de Cox é conduzido por um processo estocástico não negativo λ = {λ(s) : s ∈ S}. Se a distribui¸cão condicional de X dado λ é um processo de Poisson em S com fun¸cão de intensidade λ, então diz-se que X é um processo de Cox conduzido por λ.

3.2 Inferˆ

encia sob o enfoque bayesiano

Após a especifica¸cão do modelo, tornar-se essencial a escolha do método de estima¸cão dos parâmetros. A seguir é feito um breve resumo sobre os métodos de inferência baye-sianos.

Na inferência Bayesiana, a principal ferramenta para estima¸cão dos parâmetros do modelo é a distribui¸cão a posteriori. Essas distribui¸cões são capazes de conter tanto in-forma¸cões provindas dos dados, através da fun¸cão de verossimilhan¸ca, quanto informa¸cões vindas de cren¸cas ou conjecturas do pesquisador a respeito dos parâmetros desconhecidos. Assim, diferentemente dos métodos clássicos que tratam os parâmetros como quantida-des fixas, a inferência Bayesiana atribui aos parâmetros uma distribui¸cão de

(46)

probabi-lidade chamada de distribui¸cão a priori. Através dessas distribui¸cões que tais cren¸cas são incorporadas ao modelo. No entanto, quando não se tem informa¸cões prévias so-bre os parâmetros, distribui¸cões a priori não informativas são utilizadas, fazendo assim, uma associa¸cão à inferência clássica. Logo, a distribui¸cão a posteriori dos parâmetros ´

e dada como a combina¸cão da fun¸cão de verossimilhan¸ca e da distribui¸cão a priori dos parâmetros, da seguinte forma:

p(θ|s1, ..., sn) ∝ L(λ(·); s1, ..., sn)p(θ), (3.18)

em que p(θ|s1, ..., sn) e p(θ) s˜ao as distribui¸c˜oes a posteriori e a priori, respectivamente,

para o vetor de parâmetros θ. A expressão 3.18 é fundamentada no teorema de Bayes. Para obter mais detalhes sobre a teoria da inferência Bayesiana, consultar Migon et al.

(2014).

O estimador Bayesiano para θ é aquele que minimiza o risco a posteriori de Bayes. No caso particular da fun¸cão perda quadrática, um estimador para θ é representado por ˆθ que minimiza E[(θ − ˆθ)2|s], isto é, ˆθ = E(θ|s). Além de estimadores pontuais, o intervalo de credibilidade também pode ser obtido. No entanto, em muitos casos a distribui¸cão a posteriori não possui forma anal´ıtica conhecida ou os cálculos dessas medidas resumo são de dif´ıcil resolu¸cão. Para contornar tal problema, métodos iterativos computacionais são utilizados, como os métodos de Monte Carlo via cadeias de Markov (MCMC).

Os métodos MCMC permitem obter amostras de uma distribui¸cão alvo π(.) (no caso da estima¸cão bayesiana, a distribui¸cão alvo é a distribui¸cão a posteriori) por meio de simula¸cão estocástica e então calcular as estimativas amostrais. O processo é iniciado em um estado arbitrário θ(0), e após um número suficientemente grande de simula¸cões, a distribui¸cão das observa¸cões geradas é aproximadamente igual a distribui¸cão alvo π(θ), θ ∈ Rr. Para mais detalhes desses métodos, consultar Gamerman e Lopes (2006). Os dois algoritmos MCMC mais significativos serão apresentados a seguir.

3.2.1 Amostrador de Gibbs

O amostrador de Gibbs gera, de forma iterativa, uma amostra da distribui¸cão conjunta de interesse a partir das distribui¸cões condicionais completas dos parâmetros