EXPERIMENTO DE COLISÕES BIDIMENSIONAIS

EXPERIMENTO DE COLISÕES

BIDIMENSIONAIS

O experimento é composto por dois discos (puques) que deslizam sob uma mesa de ar, confeccionada para reduzir o atrito entre os corpos e o solo, e estão em rota de colisão em uma trajetória retilínea. O objetivo central da experiência é verificar, através de um sistema físico real, as consequências das leis de conservação da quantidade de movimento linear total e energia mecânica total nos referenciais do laboratório e do centro de massa do sistema.

Com a leitura das posições dos puques foi possível calcular a velocidade média nos instantes que sucedem e antecedem a colisão e, a partir delas, obter o momento linear de cada puque e o total do sistema, resultando em conservação em ambos os referenciais Além disso, pudemos verificar o comportamento da energia mecânica total do sistema (representada pela energia cinética), que não se conserva, porém sua parcela de perda é muito baixa e o sistema ainda pode ser estudado com elástico.

Thais Ananda Brasil Gouvêa - 8568144, Victor Rocha Cardoso Cruz - 11223757 e Vitor Rodrigues da Silva - 11371774

INTRODUÇÃO

O centro de massa (CM) é o ponto que se move como se toda a massa do sistema e todas as forças externas estivesse concentrada nesse ponto [1]. No caso analisado temos uma situação na qual temos duas partículas de massa m₁e que estão separadas por uma distância d, considerando uma distância até a

m₂

origem temos x₁a distância entre m₁e a origem, e x₂a distância entre m₂ e a origem. A posição do centro de massa nesse caso pode ser definida como:

=

x

1 2

(m x + m x )_{1 1 2 2}

O momento linear de uma partícula em física é uma grandeza vetorial p definida através da equação (onde m é a massa e a velocidade da partícula):v

= m.

p

v

O momento p de um corpo que se comporta como partícula permanece constante a não ser que uma força externa atue sobre esse corpo. Em uma colisão, a força exercida sobre o corpo é de curta direção, tem módulo elevado e provoca uma mudança brusca do momento do corpo.

Quando temos um sistema de partículas podemos estender a definição, o sistema como um todo será definido como a soma vetorial dos momentos lineares das partículas, obtemos assim um momento linear total P .

P = p1 p2 + + p3 + …+ pn

Outro modo de definir o momento linear total de um sistema de partícula seria o produto da massa total do sistema pela velocidade do centro de massa: = MP Vcm =(m₁ + m₂) Vcm

Para encontrarmos a velocidade do centro de massa podemos relacionar ao momento linear do sistema de dois corpo, logo:

cm V P = cm V _{m + m} 1 2 (m v + m v )_{1 1 2 2} colisão em 1 ou 2 dimensões vetores...

não foi assim que calculamos....

Estudaremos uma colisão simples que ocorre entre dois puques. No caso, focaremos na colisão de dois corpos como um todo, supondo que trata-se de um sistema fechado e isolado, importante destacar que o momento linear total P não pode variar, já que não há uma força externa, sendo assim podemos determinar o resultado da colisão sem conhecer detalhes dessa.

Outro ponto de interesse é a energia cinética _{​K total desses dois puques.} Caso a energia cinética total permaneça _{​conservada ​(ou seja, é a mesma antes e} depois) ao longo do experimento, teremos a colisão elástica. Caso haja uma transferência para outra forma de energia, como a térmica, por exemplo, trata-se uma colisão inelástica. A maior perda ocorre quando os dois corpos permanecem juntos e temos uma colisão perfeitamente inelástica.

A energia ^mecânica que deve se conservar é a energia cinética total do sistema, ela tem diferentes estruturas dependendo do referencial. Quando tomamos o laboratório (ou o solo) como referencia, a energia cinética total do sistema pode ser expressa pela soma dos K de cada puque. Entretanto, quando é o CM o referencial, eliminamos a componente “tangencial” das velocidades dos puques, ou seja, para um observador no CM os corpos apenas se aproximam dele. Dessa maneira, necessita-se somar o K do centro de massa ao K dos dois puques nesse referência.

Sendo assim, no experimento estudaremos o comportamento dessas duas grandezas (quantidade de movimento linear e energia cinética) e verificar se houve a suas conservações, como previsto pelas leis físicas. Calcularemos _{​p e K} no referencial do laboratório para os dois corpos em rota de colisão antes e depois do choque, e o mesmo para o centro de massa do sistema. Além disso, iremos realizar a troca de referencial para estudar a conservação dessas grandezas em relação ao centro de massa do puques.

ARRANJO EXPERIMENTAL

As posições dos puques foram medidos baseando-se nos conjuntos de quadros D (D4,D5 e D6), disponibilizados no site do Laboratório de Mecânica Virtual [2] na aba Experimentos de Translação > Colisão Bidimensional. O conjunto utilizado é composto por:

- Dois puques (2 e 7) de massa, respectivamente, m₂ = 1 91, 88± 0 0, 01 g e (incerteza instrumental da balança de precisão)

3, 53 , 01 g

m₇ = 1 3 ± 0 0

- Uma mesa de ar, construída com o objetivo de reduzir o atrito e a perda e de energia cinética, por onde os puques se movimentavam. Ela apresenta uma escala milimetrada em centímetros (usada para as medições), com incerteza instrumental de 0,2 cm.

- Filmadora precisa com uma taxa de 480 quadros por segundo, resultando em um intervalo entre cada quadro de 0,0125s.

As incertezas ao longo do experimento foram obtidas através das regras gerais de propagação de erros:

A) Para expressões em que as variáveis (grandezas que possuem incertezas) se somam e estão multiplicadas por constantes (que não têm erro), como f=ax+by_{​, podemos escrever a incerteza de ​f​ da seguinte forma:}

B) Para expressões em que as variáveis estão sendo multiplicadas entre si e apresentam expoentes constantes, como f = k.(xa b cy /z ), podemos escrever a incerteza de _​f​:

adaptada...

assumida...

METODOLOGIA E RESULTADOS

PARTE 1 - VARIAÇÃO DO VETOR POSIÇÃO, VELOCIDADE MÉDIA, QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR E ENERGIA CINÉTICA NO REFERENCIAL DO LABORATÓRIO.

Primeiramente fixamos um sistema de coordenadas (referencial laboratório) com o eixo _{​x orientado para a esquerda, eixo ​y orientado para baixo} e origem no canto superior esquerdo das imagens. Em seguida, cada aluno realizou as medições das posições horizontais e verticais do puque 7 (vindo da direita) e do puque 2 (vindo da esquerda) para cada conjunto de quadros (D4, D5 e D6). Após isso, a posição _{​x e ​y do centro de massa do sistema (cm) foi} obtida pela fórmula abaixo:

A incerteza das posições x e y do centro de massa foram obtidas usando as fórmulas gerais de incerteza A e B: A soma das massas dos puques foi denominada M e sua incerteza obtida pela fórmula A. Logo após a expressão foi dividida em a = r_{7 7}m /M e b = r_{2 2}m /M e a incerteza de cada uma calculada pela expressão B. Por fim, a incerteza da posição rcm foi obtida através da fórmula B.

Nas tabelas abaixo consta as medições dos 3 conjuntos (D4, D5 e D6) para as posições em _{​x e ​y do puque 7 (X1 e Y1) e puque 2 (X2 e Y2) em 40} quadros, com suas incertezas instrumentais de 0,2 cm. Além disso, ao lado, está apresentado também os cálculos das posição do centro de massa do sistema (XCM e YCM) ao longo destes mesmos quadros e sua incerteza ( _{​inc XCM​}), obtida anteriormente.

O quadro 21 está marcado em vermelho nas tabelas pois é o instante mais próximo da colisão entre os dois puques.

Conjunto D4:

Inc leitura dist (cm) 0,2

D4 puque 7 puque 2 Centro de massa

Quadro X1 (cm) Y1 (cm) X2 (cm) Y2 (cm) XCM (cm) inc XCM YCM (cm) inc YCM

1 3,4 1,5 27,0 4,0 14,6 0,1 2,7 0,1 2 4,0 1,9 26,5 4,2 14,6 0,1 3,0 0,1 3 4,2 2,2 26,0 5,0 14,5 0,1 3,5 0,1 4 4,7 2,8 25,9 5,2 14,7 0,1 3,9 0,1 5 5,0 3,1 25,4 5,8 14,7 0,1 4,4 0,1 6 5,3 3,8 25,1 6,1 14,7 0,1 4,9 0,1 7 5,6 4,0 24,9 6,8 14,7 0,1 5,3 0,1 8 5,9 4,6 24,5 7,0 14,7 0,1 5,7 0,1 9 6,2 5,0 24,1 7,6 14,7 0,1 6,2 0,1 10 6,7 5,3 23,9 8,0 14,8 0,1 6,6 0,1 11 7,0 5,9 23,4 8,4 14,8 0,1 7,1 0,1 12 7,3 6,3 23,0 9,0 14,7 0,1 7,6 0,1 13 7,8 6,8 22,9 9,3 14,9 0,1 8,0 0,1 14 8,1 7,1 22,3 9,9 14,8 0,1 8,4 0,1 15 8,5 7,5 22,0 10,1 14,9 0,1 8,7 0,1 16 8,9 7,9 21,8 10,8 15,0 0,1 9,3 0,1 17 9,2 8,4 21,4 11,2 15,0 0,1 9,7 0,1 18 9,7 8,9 21,0 11,8 15,0 0,1 10,3 0,1 19 10,0 9,3 20,9 12,0 15,2 0,1 10,6 0,1 20 10,3 9,9 20,3 12,6 15,0 0,1 11,2 0,1 21 10,8 10,3 20,0 13,0 15,2 0,1 11,6 0,1 22 10,5 10,4 20,2 13,8 15,1 0,1 12,0 0,1 23 10,4 10,9 20,8 14,2 15,3 0,1 12,5 0,1 24 10,2 11,0 20,9 14,9 15,2 0,1 12,8 0,1 25 10,1 11,4 21,0 15,6 15,3 0,1 13,4 0,1 26 10,0 11,8 21,1 16,1 15,3 0,1 13,8 0,1 27 9,9 12,0 21,4 16,8 15,3 0,1 14,3 0,1 28 9,7 12,3 21,6 17,3 15,3 0,1 14,7 0,1 29 9,6 12,7 21,9 18,0 15,4 0,1 15,2 0,1 30 9,4 13,0 22,1 18,6 15,4 0,1 15,6 0,1 31 9,2 13,2 22,4 19,2 15,4 0,1 16,0 0,1 32 9,1 13,5 22,7 19,8 15,5 0,1 16,5 0,1 33 9,0 13,9 22,9 20,4 15,6 0,1 17,0 0,1 34 8,9 14,1 23,0 21,1 15,6 0,1 17,4 0,1 35 8,8 14,7 23,2 21,8 15,6 0,1 18,1 0,1

36 8,6 14,9 23,4 22,3 15,6 0,1 18,4 0,1 37 8,5 15,1 23,8 23,0 15,7 0,1 18,8 0,1 38 8,3 15,4 24,0 23,4 15,7 0,1 19,2 0,1 39 8,1 15,8 24,1 24,1 15,7 0,1 19,7 0,1 40 8,0 16,0 24,4 24,9 15,8 0,1 20,2 0,1 Conjunto D5:

Inc leitura dist (cm) 0,2

D5 puque 7 puque 2 Centro de massa

Quadro X1 (cm) Y1 (cm) X2 (cm) Y2 (cm) XCM (cm) inc XCM YCM (cm) inc YCM

1 3,6 -3,5 26,7 -1,0 14,5 0,1 -2,3 0,1 2 4,0 -3,0 26,4 -0,7 14,6 0,1 -1,9 0,1 3 4,3 -2,5 26,1 -0,1 14,6 0,1 -1,4 0,1 4 4,7 -2,1 25,8 0,2 14,7 0,1 -1,0 0,1 5 5,0 -1,8 25,4 0,9 14,7 0,1 -0,5 0,1 6 5,3 -1,3 25,0 1,2 14,6 0,1 -0,1 0,1 7 5,7 -0,9 24,8 1,8 14,7 0,1 0,4 0,1 8 6,0 -0,5 24,4 2,1 14,7 0,1 0,7 0,1 9 6,5 0,0 24,0 2,6 14,8 0,1 1,2 0,1 10 6,8 0,5 23,8 3,0 14,8 0,1 1,7 0,1 11 7,1 0,9 23,4 3,5 14,8 0,1 2,1 0,1 12 7,5 1,3 23,0 4,0 14,8 0,1 2,6 0,1 13 7,9 1,8 22,6 4,5 14,9 0,1 3,1 0,1 14 8,2 2,1 22,3 4,9 14,9 0,1 3,4 0,1 15 8,6 2,6 22,0 5,4 14,9 0,1 3,9 0,1 16 8,9 3,1 21,6 5,9 14,9 0,1 4,4 0,1 17 9,3 3,5 21,3 6,2 15,0 0,1 4,8 0,1 18 9,8 3,9 21,0 6,8 15,1 0,1 5,3 0,1 19 10,1 4,5 20,6 7,2 15,1 0,1 5,8 0,1 20 10,5 4,9 20,3 7,6 15,1 0,1 6,2 0,1 21 10,6 5,2 20,1 8,1 15,1 0,1 6,6 0,1 22 10,5 5,5 20,4 8,8 15,2 0,1 7,1 0,1 23 10,3 5,9 20,6 9,5 15,2 0,1 7,6 0,1 24 10,1 6,1 20,9 10,0 15,2 0,1 7,9 0,1 25 10,0 6,5 21,1 10,6 15,3 0,1 8,4 0,1 26 9,9 6,8 21,2 11,2 15,2 0,1 8,9 0,1 27 9,8 7,0 21,4 11,9 15,3 0,1 9,3 0,1

não usaram a mesma origem para y...

28 9,6 7,4 21,6 12,6 15,3 0,1 9,9 0,1 29 9,5 7,8 22,0 13,1 15,4 0,1 10,3 0,1 30 9,3 8,0 22,3 13,7 15,4 0,1 10,7 0,1 31 9,2 8,3 22,5 14,3 15,5 0,1 11,1 0,1 32 9,1 8,6 22,6 14,9 15,5 0,1 11,6 0,1 33 9,0 8,9 22,9 15,6 15,6 0,1 12,1 0,1 34 8,8 9,3 23,1 16,2 15,6 0,1 12,6 0,1 35 8,7 9,6 23,3 16,8 15,6 0,1 13,0 0,1 36 8,6 9,9 23,5 17,4 15,6 0,1 13,4 0,1 37 8,4 10,2 23,8 18,0 15,7 0,1 13,9 0,1 38 8,3 10,5 24,0 18,6 15,7 0,1 14,3 0,1 39 8,2 10,8 24,2 19,2 15,8 0,1 14,8 0,1 40 8,0 11,1 24,5 19,8 15,8 0,1 15,2 0,1 Conjunto D6:

Inc leitura dist (cm) 0,2

D6 puque 7 puque 2 Centro de massa

Quadro X1 (cm) Y1 (cm) X2 (cm) Y2 (cm) XCM (cm) inc XCM YCM (cm) inc YCM

1 3,7 0,7 26,8 4,0 14,6 0,1 2,3 0,1 2 4,0 1,0 26,4 4,4 14,4 0,1 2,6 0,1 3 4,3 1,4 26,0 5,0 14,4 0,1 3,1 0,1 4 4,8 1,9 25,8 5,4 14,5 0,1 3,6 0,1 5 5,0 2,3 25,4 5,9 14,5 0,1 4,0 0,1 6 5,4 2,8 25,0 6,2 14,5 0,1 4,4 0,1 7 5,8 3,2 24,8 6,8 14,6 0,1 4,9 0,1 8 6,0 3,6 24,4 7,1 14,6 0,1 5,3 0,1 9 6,5 4,0 24,0 7,6 14,5 0,1 5,7 0,1 10 6,8 4,4 23,7 8,1 14,6 0,1 6,2 0,1 11 7,2 5,0 23,3 8,6 14,6 0,1 6,7 0,1 12 7,5 5,4 23,0 9,0 14,7 0,1 7,1 0,1 13 7,9 5,9 22,7 9,5 14,7 0,1 7,6 0,1 14 8,2 6,2 22,2 10,0 14,6 0,1 8,0 0,1 15 8,7 6,8 22,0 10,4 14,7 0,1 8,5 0,1 16 9,0 7,0 21,7 11,0 14,8 0,1 8,9 0,1 17 9,4 7,7 21,2 11,2 14,8 0,1 9,4 0,1 18 9,8 8,0 20,9 11,9 14,8 0,1 9,8 0,1 19 10,1 8,5 20,6 12,2 14,9 0,1 10,3 0,1

20 10,6 9,0 20,1 12,9 14,8 0,1 10,8 0,1 21 10,7 9,3 20,0 13,1 15,0 0,1 11,1 0,1 22 10,5 9,7 20,3 14,0 15,2 0,1 11,7 0,1 23 10,4 9,9 20,7 14,6 15,3 0,1 12,1 0,1 24 10,2 10,2 20,9 15,0 15,4 0,1 12,5 0,1 25 10,1 10,6 21,0 15,8 15,3 0,1 13,1 0,1 26 10,0 10,8 21,2 16,2 15,4 0,1 13,4 0,1 27 9,8 10,9 21,5 17,0 15,4 0,1 13,8 0,1 28 9,7 11,4 21,8 17,3 15,5 0,1 14,2 0,1 29 9,5 11,8 22,0 18,2 15,5 0,1 14,8 0,1 30 9,4 12,0 22,2 18,9 15,5 0,1 15,3 0,1 31 9,3 12,3 22,5 19,5 15,6 0,1 15,7 0,1 32 9,1 12,8 22,8 20,0 15,7 0,1 16,2 0,1 33 9,0 13,0 22,9 20,6 15,6 0,1 16,6 0,1 34 8,8 13,3 23,1 21,2 15,7 0,1 17,0 0,1 35 8,6 13,6 23,3 21,8 15,7 0,1 17,5 0,1 36 8,5 13,9 23,5 22,4 15,6 0,1 17,9 0,1 37 8,4 14,2 23,7 23,0 15,7 0,1 18,4 0,1 38 8,3 14,5 23,9 23,6 15,7 0,1 18,8 0,1 39 8,1 14,8 24,1 24,2 15,8 0,1 19,2 0,1 40 8,0 15,1 24,3 24,8 15,8 0,1 19,7 0,1

Em seguida, utilizamos os quadros para encontrar a variação da posição de cada um dos puques no referencial do laboratório antes da colisão, subtraindo a posição imediatamente antes da colisão (quadro 20) da posição inicial (quadro 1). Analogamente, calculamos a variação da posição dos puques depois da colisão, subtraindo a posição final (quadro 40) da posição imediatamente após o choque (quadro 22).

Sendo (xi,yi) a posição inicial e (xf,yf) a posição final. A incerteza da variação de posição é simplesmente a raiz da soma quadrática entre a incerteza da posição em x e em y que, no caso desse experimento, têm mesmo valor da incerteza instrumental, resultando em raiz de 2 multiplicado por 0,2 cm.

tabela II

D4 Dr1 (cm) inc n intervalos Dr2 (cm) inc n intervalos

antes 10,9 0,3 19 10,90 0,3 19

D5 Dr1 (cm) inc (cm) n intervalos Dr2 (cm) inc (cm) n intervalos

antes 10,9 0,3 19 10,72 0,3 19

depois 6,1 0,3 18 11,74 0,3 18

D6 Dr1 (cm) inc (cm) n intervalos Dr2 (cm) inc (cm) n intervalos

antes 10,8 0,3 19 11,14 0,3 19

depois 6,0 0,3 18 11,52 0,3 18

Antes da colisão temos 20 quadros, que correspondem a 19 intervalos iguais de 0,0125s, enquanto após a colisão temos 19 pontos experimentais, que equivalem à 18 intervalos de 0,0125s. Sendo assim, para obter a velocidade média do puque 7 e 2 antes e depois do choque dividimos as suas respectivas variações de posição pelo intervalo de tempo em que elas ocorrem (multiplicando o número de intervalos _{​n ​pelo tempo 0,0125s):}

A incerteza das velocidades médias foram obtidas à partir da fórmula geral A, considerando 1/n.0,0125, ou apenas 1/ _​Δt, como constante (já que não há incerteza atribuída ao tempo).

_{​tabela III} D4 v1 (cm/s) inc (cm/s) v2 (cm/s) inc (cm/s) antes 46 1 46 1 depois 27 1 53 1 D5 v1 (cm/s) inc (cm/s) v2 (cm/s) inc (cm/s) antes 46 1 45 1 depois 27 1 52 1 D6 v1 (cm/s) inc (cm/s) v2 (cm/s) inc (cm/s) antes 45 1 47 1 depois 26 1 51 1 assumimos desprezível...

Com os valores de velocidade média de cada puque antes e depois da colisão, foi calculado a quantidade de movimento linear média dos puques no referencial do laboratório, usando a fórmula da introdução ( _{​p=m.v​). A incerteza} desse valor foi obtida através da fórmula de incerteza geral B:

tabela IV D4 P1 (g cm/s) inc (g cm/s) P2 (g cm/s) inc (g cm/s) antes 611 16 550 14 depois 364 17 632 15 D5 P1 (g cm/s) inc (g cm/s) P2 (g cm/s) inc (g cm/s) antes 611 16 541 14 depois 364 17 625 15 D6 P1 (g cm/s) inc (g cm/s) P2 (g cm/s) inc (g cm/s) antes 607 16 562 14 depois 353 17 614 15

De maneira análoga, todos os procedimentos foram calculados para o centro de massa, antes e depois da colisão. Usando as posições x e y do CM das tabelas foi obtido sua variação de posição, a incerteza é equivalente a raiz da soma quadrática da incerteza instrumental (0,2 cm) e a incerteza de leitura da posição do cm (0,1 cm) (fórmula de incerteza geral B). O cálculo da velocidade média e de sua incerteza se deu da mesma forma que para os puques.

E por fim o momento linear do CM foi calculado, considerando M (de incerteza obtida pela fórmula de incertezas geral B) como a soma da massa dos dois puques. A incerteza foi obtida pela fórmula de incertezas geral B, usando 0,001 para a incerteza da massa total M.

Realizamos também um teste Z de compatibilidade entre o valor de quantidade de movimento linear antes da colisão e depois da colisão, para verificar a conservação dessa grandeza.

tabela V D4 Drcm (cm) inc (cm) n intervalos antes 8,5 0,2 19 depois 8,2 0,2 18 D4 vcm (cm/s) inc (cm/s) antes 35,8 0,9 depois 37 1 D4 Pcm(g m/s) inc (g m/s) Teste Z antes 908 24 0,6 depois 927 25 D5 Drcm (cm) inc (cm) n intervalos antes 8,5 0,2 19 depois 8,2 0,2 18 D5 vcm (cm/s) inc (cm/s) antes 35,9 0,9 depois 36 1 D5 Pcm(g m/s) inc (g m/s) Teste Z antes 909 24 0,4 depois 921 25 D6 Drcm (cm) inc (cm) n intervalos antes 8,6 0,2 19 depois 8,0 0,2 18 D6 vcm (cm/s) inc (cm/s) antes 36,2 0,9 depois 35 1 D6 Pcm(g m/s) inc (g m/s) Teste Z antes 916 24 0,5 depois 898 25 entre alunos?

Para verificar a conservação da energia mecânica do sistema, foi calculada a energia cinética _{​K de cada um dos puques e do centro de massa, haja} visto que as alturas dos puques em relação ao solo não se alteram e portanto a variação da energia mecânica não depende da energia potencial gravitacional. A fórmula abaixo foi utilizada para os cálculos e a incerteza obtida pela fórmula de incerteza geral B:

Tabela com a energia cinética dos dois puques e a energia total entre eles (K1+K2). A incerteza de Ktot foi obtida pela fórmula geral de incertezas A: _{​tabela VI} D4 K1 (g.(cm/s)²) inc (g.(cm/s)²) K2 (g.(cm/s)²) inc (g.(cm/s)²) Ktot (g.(cm/s)²) inc (g.(cm/s)²) antes 13987 728 12630 655 26617 979 depois 4960 458 16677 795 21637 917 D5 K1 (g.(cm/s)²) inc (g.(cm/s)²) K2 (g.(cm/s)²) inc (g.(cm/s)²) Ktot (g.(cm/s)²) inc (g.(cm/s)²) antes 13987 728 12212 644 26199 972 depois 4960 458 16317 786 21277 910 D6 K1 (g.(cm/s)²) inc (g.(cm/s)²) K2 (g.(cm/s)²) inc (g.(cm/s)²) Ktot (g.(cm/s)²) inc (g.(cm/s)²) antes 13789 723 13187 670 26977 985 depois 4670 444 15705 771 20374 890

Tabela com os cálculos de quantidade de movimento linear para o centro de massa. Incerteza obtida com a fórmula de incerteza de K, com _{​m ​sendo a} soma das massas dos puques e σ _{​m ​o mesmo utilizado no cálculo de p (obtido} pela fórmula geral de incertezas B):

tabela VII D4 Kcm (g.(cm/s)²) inc (g.(cm/s)²) antes 16258 855 depois 16949 921 D5 Kcm (g.(cm/s)²) inc (g.(cm/s)²) antes 16292 856 depois 16740 916 D6 Kcm (g.(cm/s)²) inc (g.(cm/s)²) antes 16560 863 depois 15905 893

Por fim, foi feito um teste Z de compatibilidade entre os valores de energia cinética total inicial (Ktot antes) e final (Ktot antes) e entre os valores de energia cinética do CM antes (Kcm antes) e depois (Kcm depois) da colisão:

teste Z dos Ktot antes e depois teste Z dos Kcm antes e depois

4 0,5

teste Z dos Ktot antes e depois teste Z dos Kcm antes e depois

4 0,4

teste Z dos Ktot antes e depois teste Z dos Kcm antes e depois

5 0,5

pq ccomparou e do cm?

PARTE 2 - VARIAÇÃO DO VETOR POSIÇÃO, VELOCIDADE MÉDIA, QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR E ENERGIA CINÉTICA NO REFERENCIAL DO CENTRO DE MASSA.

Analogamente aos procedimentos adotados na parte 1, as mesmas grandezas foram obtidas, mas agora no referencial do centro de massa do sistema. Para realizar a troca de referencial, iremos utilizar a relação abaixo, onde _{​ri(s) é a posição do corpo (puque) no referencial do laboratório, ​ri(cm) a} posição do puque no referencial do centro de massa e _{​rcm(s) posição do centro} de massa no referencial do laboratório.

Descobrimos _{​ri(s) e ​rcm(s) na etapa anterior e estamos em busca de} ri(cm)_{​, que chamaremos apenas de ​ri*. ​O erro dessa medida foi calculada pela} fórmula de incerteza geral A (raiz da soma quadrática da incerteza de _{​ri(s) e} rcm(s)_​).

Sendo assim, calculamos as posições dos puques no referencial do centro de massa para quatro instantes: o quadro inicial (quadro 1), o instante anterior a colisão (quadro 20), o instante depois da colisão (quadro 22) e o quadro final (quadro 40).

tabela VIII

D4 distância puque 1 - CM distância puque 2 - CM

núm quadro r1*(cm) inc (cm) r2*(cm) inc (cm) antes 1 11,227 0,2 12,505 0,2

20 4,900 0,2 5,458 0,2

depois 22 4,862 0,2 5,416 0,2

40 8,827 0,2 9,832 0,2

D5 distância puque 1 - CM distância puque 2 - CM núm quadro r1*(cm) inc (cm) r2*(cm) inc (cm) antes 1 10,992 0,2 12,243 0,2

20 4,809 0,2 5,356 0,2

depois 22 4,937 0,2 5,499 0,2

D6 distância puque 1 - CM distância puque 2 - CM núm quadro r1*(cm) inc (cm) r2*(cm) inc (cm) antes 1 11,039 0,2 12,296 0,2

20 4,615 0,2 5,656 0,2

depois 22 5,159 0,2 5,543 0,2

40 9,018 0,2 9,950 0,2

Para calcular a velocidade média antes e depois da colisão (no referencial do CM) foram utilizados os quadros anteriores (quadro 1 e 20) e posteriores (quadros 22 e 40) à colisão como variação do vetor posição (deslocamento), e os intervalos de tempo utilizados foram os mesmos da primeira parte do experimento (19 intervalos antes e 18 depois).

A incerteza da velocidade foi obtida pela fórmula geral de incerteza B, em que a incerteza de _{​Δr é equivalente a raiz da soma quadrática da incerteza de} r*f_{​ e ​r*i ​e considerando que o tempo não tem incerteza.}

tabela IX D4 v1*(cm/s) inc (cm/s) v2*(cm/s) inc (cm/s) -27 1 -30 1 18 1 20 1 D5 v1*(cm/s) inc (cm/s) v2*(cm/s) inc (cm/s) -26 1 -29 1 17 1 19 1 D6 v1*(cm/s) inc (cm/s) v2*(cm/s) inc (cm/s) -27 1 -28 1 17 1 20 1

Com os valores de velocidade antes e depois da colisão para cada um dos puques, calculamos a quantidade de movimento linear deles no referencial do centro de massa, pela fórmula _{​p*=m.v* ​. A incerteza desse valor foi obtida da} mesma maneira que a incerteza do momento linear no referencial do laboratório (pela fórmula geral B).

tabela X D4 P1*(g.cm/s) inc (g.cm/s) P2*(g.cm/s) inc (g.cm/s) -356 -18 -356 -16 235 19 235 17 D5 P1*(g.cm/s) inc (g.cm/s) P2*(g.cm/s) inc (g.cm/s) -348 -18 -348 -16 231 19 231 17 D6 P1*(g.cm/s) inc (g.cm/s) P2*(g.cm/s) inc (g.cm/s) -361 -18 -335 -16 229 19 235 17

Como na primeira parte do experimento, a energia mecânica (representada pela energia cinética K) antes e depois da colisão foi calculada para os dois puques, usando a velocidade média no referencial do centro de massa. A incerteza foi calculada como da primeira vez, pela fórmula geral de incertezas B.

Obtivemos, também, a energia cinética total antes e depois do choque, pela soma das energias K1*, K2* e o Kcm calculado na parte 1. A incerteza desse valor foi calculada através da fórmula geral de incertezas A. Um teste Z de compatibilidade entre os valores final e inicial também foi realizado.

tabela XI D4 K1* (g.(cm/s)²) inc (g.(cm/s)²) K2* (g.(cm/s)²) inc (g.(cm/s)²) Ktot (g.(cm/s)²) inc (g.(cm/s)²) Teste Z antes 4738 474 5277 474 26273 1086 3,3 depois 2073 331 2309 331 21331 1033 D5 K1* (g.(cm/s)²) inc (g.(cm/s)²) K2* (g.(cm/s)²) inc (g.(cm/s)²) Ktot (g.(cm/s)²) inc (g.(cm/s)²) Teste Z antes 4525 463 5040 463 25857 1077 3,3 depois 1993 324 2220 324 20953 1024 D6 K1* (g.(cm/s)²) inc (g.(cm/s)²) K2* (g.(cm/s)²) inc (g.(cm/s)²) Ktot (g.(cm/s)²) inc (g.(cm/s)²) Teste Z antes 4884 481 4685 446 26129 1084 4,0 depois 1964 322 2299 330 20168 1005

PARTE 3 - REPRESENTAÇÃO DOS VETORES DESLOCAMENTO, VELOCIDADE MÉDIA E QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR NO REFERENCIAL DO LABORATÓRIO E DO CENTRO DE MASSA

Nesta etapa, utilizamos o Power Point para representar todos os vetores de cada puque, antes e depois da colisão, encontrados e calculados na primeira e segunda parte. São eles os vetores variação da posição (deslocamento), vetor velocidade média e vetor quantidade de movimento linear médio. Todos nos dois referenciais utilizados, laboratório e centro de massa do sistema.

1) REFERENCIAL LABORATÓRIO a) VETOR DESLOCAMENTO

Primeiramente plotamos as posições do puque 7, do puque 2 e do centro de massa de ambos em um gráfico de X por Y com escala 2cm x 2cm, com barras de incerteza vertical e horizontal respectivos de cada medida. Logo após, os gráficos da situação D4, D5 e D6 foram colados em um slide milimetrado do Powerpoint, em que cada quadrado tem lado de 2cm (escala de 1:1 com a realidade), e os vetores deslocamento desenhados sob os pontos experimentais dos puques e de seu CM antes e depois da colisão.

As setas amarelas representam os vetores variação da posição do puque 7 (mais pesado), as setas azuis do puque 2 (mais leve) e as setas pretas do centro de massa.

CONJUNTO D4

b) VETOR VELOCIDADE MÉDIA

Utilizamos os valores do módulo da velocidade média antes e depois da colisão de cada puque e do CM ( _{​tabela III​) para confeccionar os vetores.} Ajustamos o módulo da seta primeiramente na horizontal e depois a giramos até que ficasse na direção e sentido dos vetores deslocamentos anteriores. Vetorialmente, se somarmos as velocidades médias iniciais e finais dos dois puques obtemos exatamente a velocidade inicial e final do centro de massa.

Para facilitar a confecção, dessa vez utilizamos uma escala em que, a cada 1 cm representado equivale à 5 cm/s na realidade. Novamente, cada quadrado da malha tem lados de 2 cm.

c) VETOR QUANTIDADE DE MOVIMENTO ANGULAR

Utilizamos os valores do módulo do momento linear antes e depois da colisão de cada puque e do CM ( _{​tabela IV​) para confeccionar os vetores.} Ajustamos o módulo da seta primeiramente na horizontal e depois a giramos até que ficasse na direção e sentido dos vetores velocidade média anteriores. c

A escala usada foi 1:50 (a cada 1 cm na representação equivale à 50 g.cm/s na realidade). Cada quadrado da malha tem lados de 2 cm.

d) VETOR VARIAÇÃO DO MOMENTO LINEAR (IMPULSO) Para determinar a variação nos momentos de cada puque, ou seja, o impulso por eles sofridos durante a colisão (I=dp), basta subtrair vetorialmente a média da quantidade de movimento linear final (depois do choque) e inicial (antes do choques) ( _{​pfinal - pinicial​) e obter o vetor dp (em vermelho) para o} puque 7 e 2. O vetor dp2 tem mesmo módulo e direção do vetor dp1, apenas adicionamos 180º (invertemos seu sentido) para obtê-lo

A escala utilizada aqui é a mesma da representação anterior (1cm corresponde à 50 g.cm/s). Cada quadrado tem 2 cm de lado.

CONJUNTO D4

2) REFERENCIAL CENTRO DE MASSA a) VETOR DESLOCAMENTO

Com o mesmo gráfico de posições de cada puque e do CM, que utilizados para confeccionar os vetores no referencial do laboratório, foi feito os _​vetores posição inicial (quadro 1), instantes antes da colisão (quadro 20), instantes depois da colisão (quadro 22) e final (quadro 40) dos puques à partir da posição do centro de massa (referencial do CM). Eles estão representados em verde nas imagens abaixo.

Para encontrar a variação da posição dos puques dr* (vetor deslocamento) antes e após a colisão, subtraímos vetorialmente a posição inicial do quadro 1 da posição final do quadro 20 ( _{​r*(20)​-​r*(1)​) e fizemos o mesmo para as posições} depois da colisão (_{​r(40)​-​r*(22)​). As setas em vermelho representam o} deslocamento do puque 7 (dr1*) e 2 (dr2*) em relação ao centro de massa antes de depois da colisão. Cada quadrado da malha tem 2cm de lado.

CONJUNTO D4 _{deveriam estar na}

mesma linha...

deveriam ser sentidos opostos...

b) VETOR VELOCIDADE MÉDIA

Utilizamos os valores do módulo da velocidade média antes e depois da colisão de cada puque no referencial do CM ( _{​tabela IX​) para confeccionar os} vetores. Ajustamos o módulo da seta primeiramente na horizontal e depois a giramos até que ficasse na direção e sentido dos vetores deslocamentos anteriores. A escala utilizada é a mesmas paras as velocidades no referencial do lab (a cada 1 cm representado equivale à 5 cm/s na realidade). Cada quadrado da malha tem lados de 2 cm.

CONJUNTO D5

c) VETOR QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR

Utilizamos os valores do módulo do momento linear antes e depois da colisão de cada puque no ref do CM ( _{​tabela X​) para confeccionar os vetores.} Ajustamos o módulo da seta primeiramente na horizontal e depois a giramos até que ficasse na direção e sentido dos vetores velocidade média anteriores. A escala usada foi 1:50 (a cada 1 cm na representação equivale à 50 g.cm/s na realidade). Cada quadrado da malha tem lados de 2 cm.

CONJUNTO D5

CONCLUSÃO

i. A partir da análise de dados pode-se observar que, quando tomamos o referencial do laboratório, a quantidade de movimento total do sistema se conserva antes e depois da colisão. Isso é verificado pelo momento do centro de massa que, como apresentado na _{​Introdução​, é um ponto que se move como se} toda a massa do sistema estivesse concentrada nele. Sendo assim, pelo teste Z feita na _{​tabela V (entre o momento inicial e final do CM), é possível concluir} que os valores são compatíveis (a nível de 1 sigma) e, portanto, há conservação dessa grandeza.

Além disso, por meio das representações vetoriais dos momentos lineares de cada partícula e de seu centro de massa, foi possível realizar a soma vetorial entre o vetor quantidade de movimento médio dos dois puques antes e depois da colisão e verificar que o vetor resultante tem mesma direção e sentido do momento linear do centro de massa (respeitando a definição de centro de massa). Ou seja, a quantidade de movimento do sistema se conserva vetorialmente, consequentemente, não há ação significativa de forças externas que busquem dissipar o momento do sistema.

ii. Baseando-se na mesma representação vetorial dos momentos lineares

das partículas, calculamos o impulso (dp) causado pela colisão sob cada puque subtraindo o momento linear médio inicial e final. Após confeccionar o vetor dp para um dos puques, conseguimos, usando a ferramenta do powerpoint, inverter seu sentido (girá-lo 180º) e encaixá-lo perfeitamente como dp do outro puque, isto é, os impulsos têm mesmo módulo e direção mas sentidos contrários. Portanto, eles são impulsos internos e se anulam, mantendo a conservação do momento linear total do sistema.

iii. Uma colisão elástica é aquela, como explicado na _{​Introdução​, em que,} após o choque, não há perda de energia mecânica em outras formas de energia desorganizada, como energia sonora e energia térmica. O experimento analisado tinha o objetivo de simular um colisão dessa natureza, já que a mesa de ar impede que parte da energia cinética seja perdida na forma de calor devido ao atrito e o material rígido dos puques evita que essa energia mecânica seja convertida em energia interna (calor).

discussão

direção cm um pouco diferente

Entretanto, mesmo com todas essas condições, as energias cinéticas totais calculadas no referencial do laboratório (soma das energias dos puques) e no referencial do centro de massa (soma das energias no puque no ref. CM e da energia do CM) não se conservaram, pois os testes Z entre o K antes e depois da colisão resultaram em compatibilidade superior a três sigmas. Portanto o choque entre os puques dissipa uma parcela da energia mecânica do sistema em outras formas não aproveitáveis de energia .

Contudo, o teste Z das energias cinéticas nos dois referenciais resultou, apesar de incompatível, em valores entre 4 e 5. Ou seja, a diferença das energias antes e depois da colisão dos puques é de, no máximo, 5 sigmas, ou pode-se dizer que têm incompatibilidade de 2 sigmas. Sendo assim, é possível concluir que a quantia de energia útil transformada em energia inútil é bem baixa, e que a estimativa do conjunto experimental ainda é razoável para estudar o comportamento de uma colisão elástica.

iv. Com base no teste Z de compatibilidade feito na _{​tabela V ​, entre o} módulo da velocidade do centro de massa antes e depois da colisão, pudemos constatar que houve conservação dessa grandeza, já que o teste resultou em compatibilidade de 1 sigma e a diferença se mantém dentro do erro. Dessa forma, conclui-se que de fato não houve interferência significativa de forças externas, como o próprio atrito entre os puques e o ar na superfície da mesa, no sistema estudado.

v_​. A representação 1c) dos vetores quantidade de movimento média (e o exemplo abaixo p/ o conjunto D5) nos mostra que, vetorialmente, a soma das momentos lineares iniciais do puques tem como resultante o momento linear inicial do centro de massa, e o mesmo é válido após a colisão. Porém, partindo do pressuposta da geometria, a→ _{= b}→ _{+ c}→não implica em _|a→_{| = |b}→_{|+ |c}→_|, já que as direções de _{​a e ​b podem ser diferentes. Logo, a soma dos módulos das} quantidades de movimento dos puques não resulta no módulo do momento linear do centro de massa.

Quando alteramos o referencial e fixamos o centro de massa como referência notamos que as velocidades dos puques, têm mesma direção e vão de encontro ao CM antes da colisão e se afastam dele após o choque. Sendo assim, para um observador fixo no centro de massa, os puques se aproximam em direção a ele em trajetórias retilíneas, colidem e em seguida se afastam, em trajetórias de sentido oposto.

Após calcular a quantidade de movimento linear dos puques, notamos que elas têm o mesmo módulo antes e depois da colisão. o mesmo acontece com a direção, já que o vetor momento linear médio tem mesma direção e sentido do vetor velocidade. Portanto, se somarmos esses vetores quantidade de movimento linear médio de cada puque em relação ao CM (representação 2c) irão resultar no vetor nulo, antes e depois da colisão.

A previsão teórica afirma que a energia cinética total do sistema é a soma das energias cinéticas dos puques no referencial do centro de massa com a energia cinética de translação do próprio centro de massa no referencial laboratório. Realizamos esse cálculo na _{​tabela XI ​e agora faremos um teste Z de} compatibilidade entre os valores de _{​Ktot obtidos com o calculado levando em} conta a energia cinética dos puques no ref. laboratório ( _{​tabela VI​), para verificar} se a previsão teórica é assertiva.

D4 Ktot (g.(cm/s)²) inc (g.(cm/s)²) Teste Z K1 + K2 antes 26617 979 0,2 K1*+K2*+Kcm antes 26273 1086 K1 + K2 depois 21637 917 0,2 K1*+K2*+Kcm depois 21331 1033 desnecessário...

D5 Ktot (g.(cm/s)²) inc (g.(cm/s)²) Teste Z K1 + K2 antes 26199 972 0,2 K1*+K2*+Kcm antes 25857 1077 K1 + K2 depois 21277 910 0,2 K1*+K2*+Kcm depois 20953 1024 D6 Ktot (g.(cm/s)²) inc (g.(cm/s)²) Teste Z K1 + K2 antes 26977 985 0,6 K1*+K2*+Kcm antes 26129 1084 K1 + K2 depois 20374 890 0,2 K1*+K2*+Kcm depois 20168 1005

Consequentemente é possível concluir, com base na compatibilidade a nível de um sigma do teste, que a proposição teórica está correta, a energia cinética total do sistema pode ser expressa como a soma das energias dos puques no referencial do centro de massa mais a energia de translação do CM. Com base na representação de vetores 2b podemos observar que as velocidades dos puques em relação ao centro de massa são inteiramente radiais. Ou seja, é necessário adicionar a própria energia cinética do CM para se obter a energia mecânica total no sistema

parece que oo puques giram um pouco.,,

CONCLUSÃO

Fundamentando-se nos resultados empíricos obtidos ao longo do experimento, é possível afirmar que a quantidade de movimento linear total do sistema e do centro de massa permanecem constantes antes e depois da colisão entre os puques. Comprovando, assim, que a ação de forças externas, como de atrito entre os puques e a mesa é minimizado, graças ao arranjo experimental utilizado no experimento, que cria uma camada de ar entre os puques e a superfície, reduzindo o coeficiente de atrito dinâmico.

A energia cinética total do sistema antes e depois da colisão não se conservou, isso pode ter ocorrido, provavelmente, porque o material dos discos não é completamente rígido, causando uma pequena deformação ou aumento em sua energia interna. Outro fator considerável, que pode ter causado a não conservação dessa grandeza, é a incertezas utilizadas, que podem ter sido subestimadas, visto que a compatibilidade entre a energia total inicial e final ficou próximo dos 3 sigmas.

Sendo assim, apesar das adversidades, foi possível estudar o sistema e a colisão como elástica e comprovar experimentalmente que as grandezas físicas, como quantidade de movimento linear e energia mecânica total, se conservam. Entretanto, é preciso adaptar o sistema de maneira idealista, buscando reduzir forças externas atuantes e dissipações de energia mecânica, para que elas se conservem plenamente.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] Halliday & Resnick. Fundamentos da Física- Volume I - Mecânica. 9 ª edição. Gen. Rio de Janeiro, 2013.