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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA. Luiz Arthur Dornelles Júnior MECÂNICA ANALÍTICA E O TEOREMA DE LIOUVILLE

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Luiz Arthur Dornelles J´unior

MEC ˆANICA ANAL´ITICA E O TEOREMA DE LIOUVILLE

Florian´opolis 2018

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MEC ˆANICA ANAL´ITICA E O TEOREMA DE LIOUVILLE

Disserta¸c˜ao submetida ao Programa de Mestrado Profissional em Matem´ a-tica para a obten¸c˜ao do Grau de Mes-tre em Matem´atica com ´area de con-centra¸c˜ao PROFMAT-UFSC associado ao Programa de Mestrado Profissio-nal em Matem´atica em Rede Nacional (PROFMAT).

Orientador: Prof.Dr. Abdelmoubine Amar Henni

Florian´opolis 2018

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Dornelles Jr., Luiz Arthur

Mecânica Analítica e a Geometria Simplética / Luiz Arthur Dornelles Jr. ; orientador, Prof.Dr.

Abdelmoubine Amar Henni, 2018. 100 p.

Dissertação (mestrado profissional)

-Universidade Federal de Santa Catarina, Centro de Ciências Físicas e Matemáticas, Programa de Pós Graduação em Matemática, Florianópolis, 2018. Inclui referências.

1. Matemática. 2. Geometria Simplética. 3. Mecânica Analítica. 4. Lagrange. 5. Hamilton. I. Amar Henni, Prof.Dr. Abdelmoubine. II. Universidade Federal de Santa Catarina. Programa de Pós-Graduação em Matemática. III. Título.

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cial, `a minha m˜ae, Profa. Dra. Heloisa Martins Mano Dornelles (in memorian).

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A todos meus colegas de curso, que lutaram juntos, desde o `ınicio e que formaram uma grande equipe e fam´ılia.

Aos professores do curso, em especial `a professora Maria Inˆes, ao professor Celso e, em especial ao professor Amar, meu orientador.

Aos amigos Eduardo (os dois) e, em especial, ao Airton Silva, saudoso amigo.

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Querendo, quero o infinito. Fazendo, nada ´e verdade. Que nojo de mim me fica Ao olhar para o que fa¸co! Minha alma ´e l´ucida e rica, E eu sou um mar de sarga¸co Um mar onde b´oiam lentos Fragmentos de um mar de al´em... Vontades ou pensamentos? N˜ao o sei e sei-o bem.

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Resumo

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Abstract

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Figura 1 Trajet´oria . . . 21

Figura 2 V´ınculo fpx, y, zq “ 0 . . . 28

Figura 3 M´aquina de Atwood - Equa¸c˜ao de V´ınculo . . . 29

Figura 4 Moeda em um plano horizontal - Equa¸c˜oes de V´ınculo . 30 Figura 5 Pˆendulo simples plano . . . 31

Figura 6 For¸cas que atuam no pˆendulo simples . . . 31

Figura 7 M´aquina de Atwood . . . 33

Figura 8 Pˆendulo duplo acoplado . . . 34

Figura 9 For¸ca restauradora da mola . . . 36

Figura 10 For¸cas que atuam no pˆendulo duplo . . . 36

Figura 11 Poss´ıveis movimentos dos pˆendulos acoplados . . . 39

Figura 12 Varia¸c˜ao de uma curva . . . 41

Figura 13 Contru¸c˜ao da fun¸c˜ao h . . . 43

Figura 14 Contru¸c˜ao da transforma¸c˜ao de Legendre . . . 60

Figura 15 Involutibilidade da transforma¸c˜ao de Legendre . . . 62

Figura 16 Fluxo de Fase . . . 78

Figura 17 Conserva¸c˜ao do volume . . . 80

Figura 18 Teorema de Recorrˆencia de Poincar´e . . . 81

Figura 19 Mol´eculas retornam ao ponto inicial . . . 82

Figura 20 Conjunto denso no c´ırculo . . . 83

(18)
(19)

1 INTRODU ¸C ˜AO . . . 19

2 PRINC´IPIOS B ´ASICOS DA MEC ˆANICA ANA-L´ITICA: DO FORMALISMO NEWTONIANO AO LAGRANGIANO . . . 21

2.1 POSI ¸C ˜AO, VELOCIDADE E ACELERA ¸C ˜AO . . . 21

2.2 LEIS DO MOVIMENTO DE NEWTON . . . 22

2.3 AS EQUA ¸C ˜OES DE NEWTON . . . 23

2.4 CONSERVA ¸C ˜AO DE ENERGIA E TRABALHO . . . 24

2.5 SISTEMAS SUJEITOS `A V´INCULOS . . . 27

2.6 EXEMPLOS DE APLICA ¸C ˜OES NA DIN ˆAMICA DE NEW-TON . . . 30

2.7 PRINC´IPIOS VARIACIONAIS E EQUA ¸C ˜AO DE EULER-LAGRANGE . . . 39

2.7.1 Funcionais e o c´alculo variacional . . . 39

2.7.2 Equa¸c˜ao de Euler-Lagrange . . . 45

2.7.3 Princ´ıpio da A¸c˜ao M´ınima de Hamilton e as Equa¸c˜oes de Lagrange . . . 47

2.8 PRINC´IPIO DE D’ALEMBERT E A EQUA ¸C ˜AO DE EULER-LAGRANGE . . . 49

2.8.1 Deslocamentos virtuais e o Princ´ıpio de d’Alembert . . . 49

2.8.2 Equa¸c˜ao de Euler-Lagrange pelo Princ´ıpio de d’Alembert . 51 2.9 EXEMPLOS DE APLICA ¸C ˜OES NA DIN ˆAMICA DE LA-GRANGE . . . 54

3 TRANSFORMA ¸C ˜AO DE LEGENDRE E AS EQUA-¸ C ˜OES DE HAMILTON . . . 59

3.1 TRANSFORMA ¸C ˜AO DE LEGENDRE . . . 59

3.1.1 Involutividade . . . 61

3.1.2 Desigualdade de Young . . . 62

3.1.3 Transforma¸c˜ao de Legendre para mais de uma vari´avel . . . 63

3.2 AS EQUA ¸C ˜OES DE HAMILTON . . . 68

3.2.1 A Fun¸c˜ao Hamiltoniana e a Energia Total . . . 70

3.2.2 Coordenadas c´ıclicas . . . 71

3.3 EXEMPLOS DE APLICA ¸C ˜OES NA DIN ˆAMICA DE HA-MILTON . . . 73

3.4 TEOREMA DE LIOUVILLE . . . 77

3.5 TEOREMA DE RECORRˆENCIA DE POINCAR´E . . . 80

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(21)

1 INTRODU ¸C ˜AO

Desenvolver assuntos abaixo para introdu¸c˜ao

• Sistemas mecˆanicos sujeitos a restri¸c˜oes de natureza geom´etrica ou cinem´atica

• Formula¸c˜ao newtoniana: extensa e antieconˆomica; quantidades vetoriais

• Formula¸c˜ao lagrangiana: de uma ´unica fun¸c˜ao saem as equa¸c˜oes de movimento; uso de coordenadas independentes arbitr´arias (m´ı-nimo de coordenadas) e n˜ao envolve for¸cas de v´ınculo; equa¸c˜oes ordin´arias de segunda ordem

• Transforma¸c˜ao de Legendre. Formula¸c˜ao Hamiltoniana: al´em de envolver da fun¸c˜ao de Lagrange, reduz as equa¸c˜oes de movimento `

a equa¸c˜oes ordin´arias de primeira ordem, em termos das coorde-nadas e momentos

• Espa¸co de fase, fluxo de fase, Teorema de Liouville e Teorema de Recorrˆencia de Poincar´e.

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(23)

2 PRINC´IPIOS B ´ASICOS DA MEC ˆANICA

ANAL´ITICA: DO FORMALISMO NEWTONIANO AO

LAGRANGIANO

Neste cap´ıtulo veremos que a dinˆamica de Newton depende, al´em das coordenadas que define a posi¸c˜ao de uma part´ıcula, depende das for¸cas de v´ınculo, tornando-se mais robusta e complexa, ao contr´ario da dinˆamica de Lagrange, que ´e mais esbelta e objetiva, pois depende so-mente de coordenadas generalizdas, al´em de usar quantidades escalares, ao contr´ario de Newton que usa quantidades vetoriais.

Para que possamos chegar ao formalismo newtoniano e ao for-malismo lagrangiano, precisamos conhecer alguns conceitos b´asicos da F´ısica, bem como `as leis de movimento de Newton.

2.1 POSI ¸C ˜AO, VELOCIDADE E ACELERA ¸C ˜AO

Consideremos um sistema de eixos coordenados, x, y e z, orto-gonais qualquer e neste sistema, uma part´ıcula desloca-se do ponto A para o ponto B, conforme figura 1.

A posi¸c˜ao inicial da part´ıcula ´e dada pelo vetor ~xptq e a posi¸c˜ao final por ~xpt ` tq. Logo o vetor deslocamento ´e dado por

~xptq “ ~xpt ` tq ´ ~xptq (2.1)

Figura 1 – Trajet´oria

Com base na equa¸c˜ao 2.1 podemos definir algumas grandezas f´ısicas.

(24)

Defini¸c˜ao 2.1. A velocidade m´edia de uma part´ıcula, em um intervalo de tempo, ´e dada por:

~vm“ ~x

t (2.2)

Defini¸c˜ao 2.2. A velocidade instantˆanea num ponto qualquer da tra-jet´oria de uma part´ıcula ´e dada por:

9~x “ lim tÑ0 ~x t “ d~x dt (2.3)

Defini¸c˜ao 2.3. A acelera¸c˜ao m´edia de uma part´ıcula, em um intervalo de tempo, ´e dada por:

~am“ ~v

t (2.4)

Defini¸c˜ao 2.4. A acelera¸c˜ao instantˆanea num ponto qualquer da tra-jet´oria de uma part´ıcula ´e dada por:

:~x “ limtÑ0 ~vt “ d~vdt (2.5)

:~x “ ddt2~x2 (2.6)

2.2 LEIS DO MOVIMENTO DE NEWTON

A formaliza¸c˜ao newtoniana da Mecˆanica, est´a baseada nas trˆes leis do movimento de Newton, segundo Lemos1:

Primeira Lei de Newton: Existem sistemas de referˆen-cia, ditos inerciais, em rela¸c˜ao aos quais toda part´ıcula iso-lada descreve um movimento retil´ıneo uniforme.

Segunda Lei de Newton: Em qualquer referencial iner-cial o movimento de uma part´ıcula ´e regido pela equa¸c˜ao:

m.~a“ ~F (2.7)

Sendo:

~a: acelera¸c˜ao da part´ıcula m: massa da part´ıcula

~

F : for¸ca total `a qual ela est´a sujeita 1Adaptado de (LEMOS, 2007), p´agina 5

(25)

Terceira Lei de Newton: A cada a¸c˜ao corresponde uma rea¸c˜ao igual e oposta, isto ´e, se Fij´e a for¸ca sobre a part´ıcula i exercida pela part´ıcula j, ent˜ao:

Fij“ ´Fji (2.8)

Para Newton, a existˆencia de um referencial inercial, implica na existˆencia de uma infinidade de outros referenciais e, ainda, para ele o tempo ´e absoluto, ou seja, flui uniformemente ”sem rela¸c˜ao com qualquer coisa externa”.

A segunda lei de Newton, ainda pode ser representada, segundo (NETO, 2004), da seguinte forma:

Quando uma part´ıcula interage, seu estado de movimento ´e alterado da seguinte maneira

~ F“ d~p

dt (2.9)

onde ~F ´e a resultante das for¸cas que atuam sobre a part´ıcula e ~p ´e seu momento linear...

Logo da segunda lei de Newton, a defini¸c˜ao de Momento Linear segue:

Defini¸c˜ao 2.5. O momento linear (quantidade de movimento da par-t´ıcula) ´e dado por:

~

p“ m~v “ m 9~x (2.10)

2.3 AS EQUA ¸C ˜OES DE NEWTON

Os movimentos de um sistema de N part´ıculas, s˜ao determi-nados, exclusivamente pelas posi¸c˜oes iniciais e pelas velocidades ini-ciais, que determinam a acelera¸c˜ao, ou seja, existe uma fun¸c˜ao F : RN ˆ RN ˆ R ›Ñ R, tal que:

:x“ F px, 9x, tq (2.11)

sujeita `as condi¸c˜oes iniciais xpt0q P RN e 9xpt0q P RN

A equa¸c˜ao 2.11 ´e chamada de Equa¸c˜ao de Newton, cujas solu¸c˜oes, definem de forma ´unica o movimento2.

(26)

Para o sistema de N part´ıculas citado, podemos escrever a equa-¸c˜ao de movimento da i-´esima part´ıcula, conforme a segunda e a terceira leis de Newton da seguinte forma:

d~p dt “ N ÿ i,j“1, i‰j ~ Fij` ~Fipeq“ 1 2 N ÿ i,j“1, i‰j ´ ~ Fij` ~Fji ¯ ` N ÿ i“1 ~ Fipeq N ÿ i“1 ~ Fipeq (2.12) que, da equa¸c˜ao 2.10 temos:

~

pi“ mi~vi“ mid~xi

dt (2.13)

Onde:

pi: momento linear da i-´esima part´ıcula ~ri: vetor posi¸c˜ao da i-´esima part´ıcula mi: massa da i-´esima part´ıcula

~vi: vetor velocidade da i-´esima part´ıcula ~

Fij: for¸cas internas do sistema de N part´ıculas ~

Fpeq: for¸ca externa que age na i-´esima part´ıcula

Com isto, temos que o momento linear total P deste sistema de N part´ıculas pode ser expresso por:

~ P N ÿ i“1 mi~vi“ M d ~R dt (2.14) Onde: ~

P : momento linear total do sistema M : massa total do sistema

~

R: vetor posi¸c˜ao do centro de massa do sistema

2.4 CONSERVA ¸C ˜AO DE ENERGIA E TRABALHO

O estudo do movimento, sob o ponto de vista dos princ´ıpios de conserva¸c˜ao, permite uma an´alise das mesmas equa¸c˜oes de movimento vistas na se¸c˜ao anterior, s´o que com formatos diferentes. Para tanto, come¸camos definindo trabalho realizado pelas for¸cas:

(27)

o sistema de A para B, ´e definido pela quantidade escalar dada por: dWAB“ ¨ ˚ ˝ ~Fipeq` N ÿ i,j“1, i‰j ~ Fij ˛ ‹ ‚dxi Integrando, temos: WAB “ B ª A ~ Fipeqdxi` N ÿ i,j“1, i‰j B ª A ~ Fijdxi

Logo, pela equa¸c˜ao 2.13, temos

WAB“ N ÿ i“1 B ª A mi9~vi~vidt Logo WAB“ N ÿ i“1 B ª A d ˆ 1 2mi~v 2 i ˙ (2.15)

A equa¸c˜ao 2.15 d´a uma rela¸c˜ao muito importante entre trabalho e a Energia Cin´etica, que ´e definida a seguir.

Defini¸c˜ao 2.7. A Energia Cin´etica de uma massa ´e a quantidade de energia que a mesma possui devido ao seu movimento e ´e dada por:

T “1 2 N ÿ i“1 mi~vi2 (2.16)

Note que podemos associar as equa¸c˜ao 2.15 e 2.16 e escrever o trabalho em termos da Energia Cin´etica:

WAB “ TB´ TA

A conserva¸c˜ao de energia de um sistema de part´ıculas al´em de envolver a energia cin´etica, tamb´em envolve a energia potencial, que est´a definida abaixo:

Defini¸c˜ao 2.8. A Energia Potencial3de uma massa relacionada a sua posi¸c˜ao ´e a capacidade de uma for¸ca realizar trabalho, ou seja,

(28)

trans-formar trabalho em energia cin´etica.

Note que for¸cas conservativas derivam de potenciais escalares e for¸cas externas admitem uma fun¸c˜ao energia potencial, sendo assim, a rela¸c˜ao entre as for¸cas internas e a energia potencial ´e dada por:

Fij“ ´OiVij (2.17)

Onde Vij ´e a Energia potencial interna, isto ´e, a Fij ´e o vetor gradiente da energia potencial interna. Considerando um sistema de part´ıculas que se move de A para B, da terceira lei de Newton (equa¸c˜ao 2.9), temos: ÿ i,j, j‰i B ª A ~ Fijdxi“ ´ 1 2 ÿ i,j, j‰i B ª A ´ ~ Fijdxi` ~Fjidxj ¯ “ ´12ÿ i,j, j‰i B ª A ~ Fijdpxi´ xjq “ ´12ÿ i,j, j‰i B ª A OijVijdxij “ ´12ÿ i,j, j‰i Vijdxij ˇ ˇ ˇ ˇ B A

A rela¸c˜ao entre as for¸cas externas e a energia potencial ´e dada por:

Fipeq“ ´OiVpeq (2.18) Sendo assim, Fpeq ´e o vetor gradiente da energia potencial ex-terna. Logo a energia potencial total ´e dada por:

V “ Vpeq`1 2 ÿ i,j j‰i Vij (2.19)

Logo, para for¸cas conservativas atuando em um sistema, temos 3Adaptado de (NETO, 2004)

(29)

um importante teorema sobre Conserva¸c˜ao de Energia:

Teorema 2.1 (Teorema da Conserva¸c˜ao de Energia). Teorema da Con-serva¸c˜ao de Energia4. Se todas as for¸cas s˜ao conservativas, a energia total E “ T ` V de um sistema de part´ıculas ´e conservada

Demonstra¸c˜ao 2.1.

Da defini¸c˜ao 2.6 e da equa¸c˜ao 2.16, para for¸ca resultante atuando sobre um corpo, independente se as for¸cas s˜ao conservativas ou n˜ao, podemos escrever:

dW “ dT (2.20)

Caso a resultante seja conservativa, das equa¸c˜oes 2.17 e 2.18, podemos escrever:

dW “ ´dV (2.21)

Das equa¸c˜oes 2.20 e 2.21, temos:

dT“ ´dV ñ dpT ` V q “ 0 ñ T ` V “ CT E ⌅

Esta constante ´e chamada de Energia Mecˆanica do sistema, ou seja,

E“ T ` V (2.22)

No caso de somente for¸cas conservativas atuarem no sistema, a Energia Mecˆanica ´e constante de movimento.

2.5 SISTEMAS SUJEITOS `A V´INCULOS

As restri¸c˜oes, de natureza cinem´atica, associadas `as posi¸c˜oes e velocidades de uma sistema mecˆanico de part´ıculas s˜ao chamadas de V´ınculos. Estas restri¸c˜oes, ou seja, os v´ınculos, devem ser levados em considera¸c˜ao na constru¸c˜ao das equa¸c˜oes que descrevem o movimento deste sistema.

(30)

´

E importante salientar que as restri¸c˜oes decorrentes das equa¸c˜oes de movimento (restri¸c˜oes dinˆamicas) n˜ao s˜ao v´ınculos, ou seja, se uma part´ıcula se move devido `a a¸c˜ao de uma for¸ca no plano, este plano fixo, n˜ao caracteriza um v´ınculo.

Defini¸c˜ao 2.9. V´ınculos Holˆonomos5: Tamb´em chamada de holonˆ o-micos, s˜ao v´ınculos que envolvem funcionais exclusivamente em termos das coordenadas e, tamb´em, podem ser em termos do tempo, de modo expl´ıcito, ou seja, s˜ao da forma:

fp⇠1,¨ ¨ ¨ , ⇠N, tq “ 0 (2.23) onde:

⇠1,¨ ¨ ¨ , ⇠N s˜ao coordenadas que descrevem a configura¸c˜ao do sistema. Analisando alguns exemplos, a defini¸c˜ao de V´ınculos fica mais clara:

Exemplo 2.1. Uma part´ıcula restrita `a uma superf´ıcie

Figura 2 – V´ınculo fpx, y, zq “ 0

A superf´ıcie fpx, y, zq “ 0, fixa ao sistema cartesiano, na qual a part´ıcula se movimenta, restringe o movimento da mesma (Figura 2).

Um exemplo de uma superf´ıcie pode ser uma esfera centrada na origem, de raio R, cuja equa¸c˜ao de v´ınculo seria:

fpx, y, zq “ x2` y2` z2´ R2“ 0 Neste exemplo, o v´ınculo ´e Holˆonomo.

(31)

Exemplo 2.2. Um pˆendulo simples ideal (sem atrito e movimenta-se em um plano vertical fixo):

Tem como equa¸c˜ao de v´ınculo x2` y2´ l2 “ 0, sendo l o com-primento da aste.

Neste exemplo, o v´ınculo, tamb´em ´e Holˆonomo.

Exemplo 2.3. Um pˆendulo duplo (sem atrito e movimenta-se em um plano vertical fixo):

Tem como equa¸c˜oes de v´ınculo

x21` y12´ l21“ 0

px2´ x1q2` py2´ y1q2´ l22“ 0

sendo l1o comprimento da haste que prende a primeira massa na origem do sistema e l2 o comprimento da haste que prende a segunda massa na primeira massa.

Neste exemplo, o v´ınculo, tamb´em ´e Holˆonomo.

Exemplo 2.4. Maquina de Atwood (sistema conforme figura abaixo -figura 3):

Figura 3 – M´aquina de Atwood - Equa¸c˜ao de V´ınculo

Tem como equa¸c˜ao de v´ınculo x1` x2 “ l, sendo l dada pelo raio da roldana e comprimento da corda, tamb´em classificado como Holˆonomo.

(32)

Exemplo 2.5. 6Moeda que rola, sem deslizar em um plano horizontal (sistema conforme figura abaixo - figura 4):

Figura 4 – Moeda em um plano horizontal - Equa¸c˜oes de V´ınculo Sendo:

C1“ px, yq: posi¸c˜ao do centro de massa da moeda no plano ✓: ˆangulo do plano da moeda com o eixo x

: ˆangulo de rota¸c˜ao da moeda em torno de seu eixo de simetria ~v: velocidade do centro de massa

R: raio da moeda

Logo as equa¸c˜oes de v´ınculo s˜ao dadas por:

9x´ R 9 cos ✓ “ 0 e 9y ´ R 9 sen ✓ “ 0 (2.24) Neste caso, os v´ınculos n˜ao s˜ao holˆonomos, ou seja, n˜ao podem ser escritos na forma da equa¸c˜ao 2.23, pois as equa¸c˜oes diferenciais 2.24 n˜ao s˜ao integr´aveis.

2.6 EXEMPLOS DE APLICA ¸C ˜OES NA DIN ˆAMICA DE NEWTON

Abaixo, temos alguns exemplos de aplica¸c˜oes da formaliza¸c˜ao newtoniana.

Exemplo 2.6 (Pˆendulo simples plano). Uma part´ıcula de massa m presa a um fio r´ıgido, fixado em 0 e seu movimento ´e dado em um plano vertical fixo, descrevendo um arco s dado por ✓ (ˆangulo com a vertical) conforme mostrado na figura 5.

An´alise do sistema: 6Adaptado de (LEMOS, 2007)

(33)

Figura 5 – Pˆendulo simples plano

V´ınculos: x2` y2“ l2 O arco s ´e dado por: s“ l✓

O peso da part´ıcula: P “ mg, sendo g= acelera¸c˜ao da gravidade. A velocidade: 9s “ l. 9✓

A acelera¸c˜ao: :s“ l.:✓

Figura 6 – For¸cas que atuam no pˆendulo simples

Seja F0a for¸ca restauradora do movimento de m, que ´e dada por (veja figura 6):

F0“ P. sen ✓ (2.25)

Substituindo P “ mg na equa¸c˜ao 2.25:

F0“ ´mg. sen ✓ (2.26)

Pela segunda lei de Newton, temos que

(34)

Logo, podemos escrever:

F0“ m:s “ ml.:✓ (2.28)

Agora, de 2.26 e 2.28, temos:

ml.:✓“ ´mg. sen ✓

Ou seja, para ˆangulos pequenos vamos considerar sen ✓« ✓:

:✓`gl.✓“ 0 (2.29)

A solu¸c˜ao desta EDO linear de segunda ordem pode ser obtida usando a equa¸c˜ao caracter´ıstica:

r2“ ´g

l ñ r “ ˘ c

g li Considerandoagl “ !, ✓ ´e dado por:

“ A cosp!tq ` B senp!tq (2.30) Sendo, A e B (constantes de integra¸c˜ao).

Uma forma alternativa de representar estas solu¸c˜oes, usando o ˆ

angulo de fase (posi¸c˜ao/localiza¸c˜ao angular) ' e um novo parˆametro K, dados por: K2“ A2` B2 '“ arctg ˆ A B ˙ (2.31)

Logo, a forma alternativa para esta solu¸c˜ao (2.30), usando 2.31, ser´a:

“ K cos p!t ` 'q (2.32)

A equa¸c˜ao 2.32 descreve o movimento do pˆendulo simples plano, que ´e uma equa¸c˜ao diferencial de segunda ordem n˜ao linear.

Exemplo 2.7 (M´aquina de Atwood). Conforme exemplo 2.4, a m´ a-quina de Atwood pode ser vista na figura 7 abaixo.

V´ınculos: x1` x2“ l An´alise do sistema:

(35)

Figura 7 – M´aquina de Atwood

(i) Consiste em uma roldana sem massa e sem atrito com seu eixo; (ii) O fio que prende as massas m1 e m2, sem massa, n˜ao se extende; (iii) Sistema come¸ca em repouso e somente come¸ca o movimento ao

soltarmos as duas massas;

Sejam: T1e T2: tra¸c˜oes (tens˜oes) das massas m1e m2sobre o fio, respectivamente; P1e P2: pesos das massas m1e m2, respectivamente. O movimento se d´a, somente, ao longo do eixo x e, sendo assim:

T1“ T2“ T (2.33)

Pela segunda lei de Newton, temos: F “ ma, logo, para a massa m1 temos:

P1´ T “ F1ñ m1g´ T “ m1a1 (2.34) Para m2, temos:

T´ P2“ F2ñ T ´ m2g“ m2a2 (2.35) Como o fio n˜ao tem massa e n˜ao se extende, temos:

|a1| “ |a2| “ a “ :x (2.36) Sendo assim, de 2.34, 2.35 e 2.36 temos:

(36)

$ & % T “ m1g´ m1:x T “ m2g` m2:x (2.37)

Igualando as duas equa¸c˜oes, temos: m2g` m2:x“ m1g´ m1:xñ :x “

m1´ m2 m1` m2

g (2.38)

Observe que podemos escrever esta ´ultima equa¸c˜ao: :

x1“

m1´ m2

m1` m2g (2.39)

Que fornece a acelera¸c˜ao de m1, ou seja, descreve o movimento de m1, ´e se caracteriza por ser uma equa¸c˜ao diferencial de segunda ordem.

Como consequˆencia disto, temos que, para m2a acelera¸c˜ao ser´a :

x2“ ´ :x1.

Exemplo 2.8 (Pˆendulos idˆenticos acoplados por mola). Considere os pˆendulos conforme figura 8, abaixo:

Figura 8 – Pˆendulo duplo acoplado

An´alise do sistema: (i) S˜ao pˆendulos idˆenticos;

(ii) Fixos por hastes, de comprimento l, r´ıgidas com massas desprez´ı-veis;

(37)

(iii) A distˆancia entre as hastes ´e d;

(iv) As massas m1e m2, s˜ao conectadas por uma mola medindo d de comprimento;

(v) As massas m1e m2, por serem idˆenticos, s˜ao iguais.

Analisando o sistema em repouso, vamos fazer as seguintes con-sidera¸c˜oes.

A posi¸c˜ao inicial da massa m1 ´e de abscissa zero. Sendo assim, a posi¸c˜ao inicial da massa m2 ´e dada por x2“ x1` d.

Usando coordenadas polares podemos representar x1e x2como segue:

x1“ l sen ✓1 x2“ d ` l sen ✓2

(2.40)

Para pequenos deslocamentos a partir do repouso, podemos apro-ximar sen ✓1« ✓1 e sen ✓2« ✓2, logo, temos em 2.40:

x1“ l✓1ñ :x1“ l:✓1 x2“ d ` l✓2ñ :x2“ l :✓2

(2.41)

Para determinar a for¸ca restauradora da mola, consideremos x0“ 0 (posi¸c˜ao da massa m1 e xd “ x2´ x1 o comprimento da mola (referente `a posi¸c˜ao da massa m2), ambas em repouso. Logo, a for¸ca restauradora da mola, FM, ´e dada por:

FM “ k|xd´ d| (2.42)

onde:

FM ´e a for¸ca restauradora da mola xd´e dado por x2´ x1

d ´e a distˆancia entre as massas com sistema em repouso k ´e a constante el´astica da mola.

Substituindo xd em 2.42, temos:

FM “ k|x2´ x1´ d| (2.43) Substituindo as equa¸c˜oes 2.41 em 2.43:

(38)

Como esta for¸ca age simultˆaneamente nas duas massas, de forma oposta, conforme figura 9, temos:

FM 1“ klp✓2´ ✓1q FM 2 “ ´klp✓2´ ✓1q

(2.45)

Figura 9 – For¸ca restauradora da mola

Al´em da for¸ca restauradora da mola, as for¸cas que agem em cada pˆendulo s˜ao as mesmas que agem em um pˆendulo simples. Vamos analisar conforme a figura 10 abaixo, tomando como referˆencia a massa m1.

For¸cas que atuam nas massas m1 e m2, respectivamente: (i) P1e P2, pesos;

(ii) T tra¸c˜ao exercida pelas massas no fio;

(iii) FR1 e FR2 resultante tangente ao arco definido pelo movimento (perpendicular a T );

(iv) ✓1e ✓2 s˜ao arcos que o fio faz com a vertical quando o sistema sai do repouso.

Figura 10 – For¸cas que atuam no pˆendulo duplo As for¸cas FP 1 e FP 2, decorrentes dos pesos, s˜ao dadas por:

(39)

FP 1“ ´m1g sen ✓1« ´m1g✓1 FP 2“ ´m2g sen ✓2« ´m2g✓2

(2.46)

Sendo assim, pela segunda lei de Newton, temos: FR1“ FP 1` FM 1

FR2“ FP 2` FM 2

(2.47)

O que podemos escrever, substituindo as equa¸c˜oes 2.45 e 2.46 em 2.47 da seguinte forma:

m1l :✓1“ ´m1g✓1` klp✓2´ ✓1q m2l :✓2“ ´m2g✓2´ klp✓2´ ✓1q

(2.48)

Como as massas m1 e m2, s˜ao iguais, podemos escrever m1 “ m2“ m, e isolando :✓1 e :✓1 em 2.48, temos: :✓1“ ´ g l✓1` k mp✓2´ ✓1q :✓2“ ´ g l✓2´ k mp✓2´ ✓1q (2.49)

Somando e subtra´ındo as equa¸c˜oes de 2.49, temos o sistema: $ ’ ’ & ’ ’ % :✓2` :✓1“ ´g lp✓2` ✓1q :✓2´ :✓1“ ´ g lp✓2´ ✓1q ´ 2k mp✓2´ ✓1q (2.50)

O que podemos escrever da seguinte forma: $ ’ ’ ’ & ’ ’ ’ % d2 dt2p✓2` ✓1q ` g lp✓2` ✓1q “ 0 d2 dt2p✓2´ ✓1q ` ˆ g l ` 2k m ˙ p✓2´ ✓1q “ 0 (2.51)

Tomando f “ ✓2` ✓1e h“ ✓2´ ✓1, ficamos com duas equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias lineares de segunda ordem descritas da seguinte forma:

(40)

$ ’ ’ ’ & ’ ’ ’ % d2f dt2 ` g lf “ 0 d2h dt2 ` ˆg l ` 2k m ˙ h“ 0 (2.52)

Cujas solu¸c˜oes, dadas usando as equa¸c˜oes caracter´ısticas r2 ´gl e r2“ ´ ˆg l ` 2k m ˙ . Considerando !2 1“ g l e ! 2 2“ ˆ g l ` 2k m ˙

, temos que f e h ser˜ao: f “ A cos p!1tq ` B sen p!1tq

h“ C cos p!2tq ` D sen p!2tq

(2.53)

Sendo, A, B, C e D, os parˆametros (constantes de integra¸c˜ao). Uma forma alternativa de representar estas solu¸c˜oes, usando os ˆ

angulos de fase (posi¸c˜ao/localiza¸c˜ao angular) '1e '1e novos parˆ ame-tros K1 e K2, dados por:

K12“ A2` B2 K2 2 “ C2` D2 '1“ arctg ˆA B ˙ '2“ arctg ˆC D ˙ (2.54)

Logo, a forma alternativa para estas solu¸c˜oes (2.53), usando 2.54, ser´a:

f “ K1cosp!1t` '1q h“ K2cosp!2t` '2q

(2.55)

Como f “ ✓2` ✓1 e h“ ✓2´ ✓1, precisamos deternar ✓1 e ✓2. f “ ✓2` ✓1“ K1cosp!1t` '1q

h“ ✓2´ ✓1“ K2cosp!2t` '2q

(2.56)

(41)

✓2“ 1 2rK1cosp!1t` '1q ` K2cosp!2t` '2qs (2.57) Subtraindo f e h, temos: ✓1“ 1 2rK1cosp!1t` '1q ´ K2cosp!2t` '2qs (2.58) Que s˜ao as equa¸c˜oes de movimento para o sistema de pˆendulos idˆenticos acoplados por uma mola.

As possibilidades de movimento de m1e m2est˜ao representadas abaixo, na figura 11, que dependem das condi¸c˜oes iniciais, ou seja, ✓1p0q, ✓2p0q, 9✓1p0q e 9✓2p0q.

Na figura 11(a), ocorre se uma das massas ´e puxa para fora, ou seja,

Figura 11 – Poss´ıveis movimentos dos pˆendulos acoplados ou m1 para esquerda ou m2 para direita. Na figura 11(b), ocorre se uma das massas ´e empurrada para dentro, ou seja, ou m1 para direita ou m2 para esquerda.

2.7 PRINC´IPIOS VARIACIONAIS E EQUA ¸C ˜AO DE EULER-LAGRANGE

Para que possamos definir a equa¸c˜ao de Euler-Lagrange, bem como as equa¸c˜oes de Lagrange que descrevem o movimento de um sis-tema mecˆanico, precisamos conhecer o c´alculo de varia¸c˜ao o os pr´ın-cipios variacionais, mais precisamente o Princ´ıpio Variacional de Ha-milton. As equa¸c˜ao de Euler-Lagrange tamb´em pode ser demostrada ou deduzida segundo o princ´ıpio de D’Alembert que tem como base os deslocamentos virtuais, o que ser´a visto mais no final do cap´ıtulo.

2.7.1 Funcionais e o c´alculo variacional

O c´alculo de varia¸c˜oes tem por objetivo estudar otimiza¸c˜ao de funcionais, ou seja, determinar m´aximos e m´ınimos de fun¸c˜oes cujo dom´ınio ´e um espa¸co de dimens˜oes infinitas. Definindo funcional: Defini¸c˜ao 2.10. Um funcional ´e qualquer mapeamento do espa¸co de curvas7para os n´umeros reais.

(42)

Para o c´alculo de varia¸c˜oes precisamos conhecer outra defini¸c˜ao importante, que segue:

Defini¸c˜ao 2.11. Um funcional ´e chamado de diferenci´avel se

p ` hq ´ p q “ F ` R (2.59)

onde:

(i) F ´e lineramente dependente de h, ou seja, para fixo, temos: Fph1` h2q “ F ph1q ` F ph2q e F pchq “ cF phq; (ii) Rph, q “ Oph2q; (iii) “ tpt, xq : xptq “ x, t0§ t § t1u para: |h| † ✏ e ˇ ˇ ˇ ˇdhdt ˇ ˇ ˇ ˇ † ✏ e |R| † c✏2.

Chamamos de diferencial , a parte linear do incremento Fphq. Exemplo 2.9. 8

Considerando “ tpt, xq : xptq “ x, t0 § t § t1u uma curva no planopx, tq, sendo 9x “ dx

dt e Lpa, b, cq uma fun¸c˜ao diferenci´avel. Vamos considerar uma aproxima¸c˜ao 1, para , tal que:

1 “ tpt, xq : x “ xptq ` hptqu e 1 “ ` h,

realtivo `a varia¸c˜ao de uma curva, conforme figura abaixo

7Segundo (ARNOLD, 1989), ”O c´alculo variacional diz respeito aos extremais de

fun¸c˜oes cujo dom´ınio ´e um espa¸co de dimens˜oes infinitas, chamado de espa¸co de curvas.”

(43)

Figura 12 – Varia¸c˜ao de uma curva

Definimos um funcional por:

p q “ t1 ª t0 Lpxptq, 9xptq, tq dt Teorema 2.2. O funcional p q “ t1 ≥ t0 Lpxptq, 9xptq, tq dt ´e diferenci´avel e sua derivada ´e dada por:

Fphq “ t1 ª t0 „ BL Bx ´ d dt ˆ BL B 9x ˙⇢ h dt` ˆ BL B 9x ˙ h ˇ ˇ ˇ ˇ t1 t0 (2.60)

Demonstra¸c˜ao 2.2. Tomando o incremento indicado na equa¸c˜ao 2.59, temos: p ` hq ´ p q “ t1 ª t0 ” L´x` h, 9x ` 9h, t¯´ L px, 9x, tqıdt ¨hh “ t1 ª t0 » –hL ´ x` h, 9x ` 9h, t¯´ L px, 9x, tq h fi fl dt ¨hh “ ªt1 t0 „ BL Bxh`BLB 9x9h ⇢ dt looooooooooooomooooooooooooon Fphq `Oph2 q (2.61) “ F phq ` R

(44)

onde, da equa¸c˜ao 2.61: Fphq “ t≥1 t0 „ BL Bxh`BLB 9x9h ⇢ dt R“ Oph2q

Note que na segunda igualdade multiplicamos por h

h e a terceira igualdade foi obtida usando a expans˜ao por s´erie de Taylor.

Integrando BL

B 9x9h por partes, tomando u “ B L B 9x e dv“ 9hdt, temos: t1 ª t0 BL B 9x9hdt “ ˆ hBL B 9x ˙ˇˇ ˇ ˇ t1 t0 ´ t1 ª t0 hd dt ˆ BL B 9x ˙ dt (2.62)

Ent˜ao, Fphq ser´a:

Fphq “ t1 ª t0 „ BL Bx ´ d dt ˆ BL B 9x ˙⇢ h dt` ˆ BL B 9x ˙ h ˇ ˇ ˇ ˇ t1 t0 ⌅ (2.63)

Sendo assim, podemos fazer a seguinte defini¸c˜ao:

Defini¸c˜ao 2.12. Sendo a curva um extremo de um funcional dife-renci´avel , ent˜ao Fphq “ 0 para todo h, ou seja, ´e um ponto cr´ıtico se o diferencial for zero neste ponto.

Antes de identificar se o ponto cr´ıtico ´e um extremo da fun¸c˜ao, vamo precisar do seguinte lema9:

Lema 2.1. Se uma fun¸c˜ao cont´ınua fptq, t0§ t § t1, satifaz t1

ª

t0

fptqhptqdt “ 0

para qualquer fun¸c˜ao cont´ınua hptq com hpt0q “ hpt1q “ 0, ent˜ao fptq ” 0.

Demonstra¸c˜ao 2.3. 9Sengundo (ARNOLD, 1989)

(45)

Seja fpt1q ° 0 para algum t1, t0† t1 † t1. Dado que a fun¸c˜ao f ´e cont´ınua e fptq ° c na vizinhan¸ca do ponto t1, tal que:

t0† t1´ d † t † t1` d † t1 (veja figura 13):

Figura 13 – Contru¸c˜ao da fun¸c˜ao h10

Fora da vizinhan¸ca temos que hptq “ 0, na vizinhan¸ca temos que hptq ° 0 e em 2, hptq “ 1, ou seja, para t, t0 † t1 ´12d † t † t1`12d† t1, ent˜ao:

t1

ª

t0

fptqhptqdt • dc ° 0

Essa contradi¸c˜ao mostra que fpt1q “ 0 para todo t1, t0† t1† t1. ⌅ Com ajuda do lema 2.1, podemos verificar se o ponto cr´ıtico ´e um extremo.

Teorema 2.3. Dado o funcional

p q “ t1

ª

t0

Lpxptq, 9xptq, tq dt

no espa¸co de curvas, que passa pelos pontos xpt0q “ x0 e xpt1q “ x1. A curva : x“ xptq ´e um extremo desta fun¸c˜ao se, e somente se,

d dt ˆ BL B 9x ˙ ´BLBx “ 0 ao longo da curva xptq. Demonstra¸c˜ao 2.4. 10Adaptado de (ARNOLD, 1989)

(46)

Pelo teorema 2.2, temos da equa¸c˜ao 2.60: Fphq “ t1 ª t0 „ BL Bx ´ d dt ˆ BL B 9x ˙⇢ h dt` ˆ BL B 9xh ˙ˇˇˇ ˇ t1 t0 Como hpt0q “ hpt1q “ 0, o termo ˆ BL B 9xh ˙ˇˇˇ ˇ t1 t0 “ 0.

Agora, se ´e um extremo, ent˜ao Fphq “ 0 para todo h com hpt0q “ hpt1q “ 0, portanto: t1 ª t0 fptqhptqdt “ 0 Onde: fptq “ d dt ˆ BL B 9x ˙ ´BL Bx (2.64) Para todo h. Pelo lema 2.1, fptq ” 0.

Por outro lado, se fptq ” 0, ent˜ao F phq ” 0. ⌅

Exemplo 2.10. 11Seja L ?1` 9x2, verifique que os extremos de comprimento s˜ao retas. Considere L“?1` 9x2, ent˜ao: BL Bx “ 0 BL B 9x “?1` 9x9x 2

Derivando esta ´ultima, com rela¸c˜ao ao tempo, substituindo na equa¸c˜ao 2.64 e considerando fptq “ 0, temos:

d dt ˆ BL B 9x ˙ “ dtd ˆ 9x ? 1` 9x2 ˙ “ 0 11Adaptado de (ARNOLD, 1989)

(47)

Logo:

9x ?

1` 9x2 “ c ñ 9x “ c1ñ x “ c1t` c2 Confirmando, assim, que os extremos s˜ao retas.

2.7.2 Equa¸c˜ao de Euler-Lagrange

Do teorema 2.3 temos uma importante defini¸c˜ao:

Defini¸c˜ao 2.13. Chamamos de equa¸c˜ao de Euler-Lagrange para o fun-cional p q “

t≥1

t0

Lpxptq, 9xptq, tq dt `a express˜ao dada por: d dt ˆ BL B 9x ˙ ´BLBx “ 0 (2.65) onde:

x ´e um vetor no espa¸co de coordenadas de dimens˜ao n (Rn)

“ tpt, xq : xptq “ x, t0§ t § t1u uma curva no espa¸co de dimens˜ao n` 1 (R ˆ Rn)

L :Rnˆ Rnˆ R Ñ R uma fun¸c˜ao de 2n ` 1 vari´aveis. Teorema 2.4. A curva ´e um extremo do funcional

p q “ t1

ª

t0

Lpxptq, 9xptq, tq dt

no espa¸co de curvas que unem os pontospt0, x0q e pt1, x1q, se e somente se, a equa¸c˜ao de Euler-Lagrange ´e satisfeita ao longo de .

Demonstra¸c˜ao 2.5.

Seja “ px1,¨ ¨ ¨ , xnq um extremo do funcional p q. Como a derivada total d p q ´e a soma das derivadas parciais, ou seja,

d p q “ n ÿ i“1r px

1,¨ ¨ ¨ , xi` i,¨ ¨ ¨ , xnq ´ px1,¨ ¨ ¨ , xnqs i` Op i2q logo, dos teoremas 2.2 e 2.3, da defini¸c˜ao 2.12 e do lema 2.1 temos:

(48)

d p q “ 0 ô p ` hq ´ p q “ 0 ô d p q “ ªt1 t0 n ÿ i“1 rL px1,¨ ¨ ¨ , xi` hi,¨ ¨ ¨ , xn, 9x1,¨ ¨ ¨ , 9xn, tq ´ L px1,¨ ¨ ¨ , xn,9x1,¨ ¨ ¨ , 9xn, tqs ¨ hi hidt ` ªt1 t0 n ÿ i“1 ” L´x1,¨ ¨ ¨ , xn,9x1,¨ ¨ ¨ , 9xi` 9hi,¨ ¨ ¨ , 9xn, t ¯ ´ L px1,¨ ¨ ¨ , xn,9x1,¨ ¨ ¨ , 9xn, tqs ¨ hi hi dt teor 2.2 “ t1 ª t0 n ÿ i“1 „ BL Bxi hi` BL B 9xi 9hi ⇢ dt` Oph2iq (2.66) Integrando BL B 9xi

9hi por partes, conforme equa¸c˜oes 2.62 e 2.63, tomando ui“ BL B 9xi e dvi“ 9hidt, temos: d p qteor 2.2 t1 ª t0 n ÿ i“1 „ BL Bxi ´ d dt ˆ BL B 9xi ˙⇢ hi dt` n ÿ i“1 ˆ BL B 9xi hi ˙ˇˇˇ ˇ t1 t0 Como hipt0q “ hipt1q “ 0, o termo ˆ BL B 9xi hi ˙ˇˇˇ ˇ t1 t0

“ 0, pelo lema 2.1, pelo teorema 2.3 e pela defini¸c˜ao 2.12, temos:

d p q “ t1 ª t0 n ÿ i“1 „ BL Bxi ´ d dt ˆ BL B 9xi ˙⇢ hi dt“ 0 ô BL Bxi ´ d dt ˆ BL B 9xi ˙ “ 0 (2.67) sendo assim, a equa¸c˜ao de Euler-Lagrange ´e satisfeita ao longo de para todo hi e para todo i“ 1, ¨ ¨ ¨ , n ⌅

(49)

segunda ordem, no qual tem solu¸c˜oes `a 2n parˆametros arbitr´arios e 2n condi¸c˜oes iniciais para determina-las, do tipo xpt0q “ x0 e xpt1q “ x1 Observa¸c˜ao 2.2. Para que a curva seja extremo de um funcional independe da escolha do sistema de coordenadas e as solu¸c˜oes satisfa-zem a equa¸c˜ao de Euler-Lagrange, tamb´em, independentes do sistema de coordenadas escolhido.

Isto quer dizer que podemos escolher um sistema de coordenadas adequado para simplificar e reduzir as equa¸c˜oes de movimento, por exemplo, o comprimento de uma curva pode ser determinado em fun¸c˜ao de coordenadas cartesianas ou polares, como por exemplo:

p q “ t1 ª t0 b 9x2 1` 9x22dt ou p q “ t1 ª t0 a 9r2` r29'2dt

Para ambos casos, os extremos s˜ao os mesmos e s˜ao retas e, em-bora as equa¸c˜oes destas retas sejam dadas em coordenadas diferentes, ambas satisfazem a equa¸c˜ao de Euler-Lagrange (equa¸c˜ao 2.65)

2.7.3 Princ´ıpio da A¸c˜ao M´ınima de Hamilton e as Equa¸c˜oes de La-grange

Da dinˆamica newtoniana, podemos observar, do teorema 2.1 que: dT “ ´dV

Que pode ser escrito da seguinte forma:

d

dtpmi9xiq ` BV

Bxi “ 0 (2.68)

Comparando com a dinˆamica lagrangiana, a equa¸c˜ao: d dt ˆ BL B 9x ˙ ´BLBx “ 0 (2.69)

nos remete a um importante teorema, chamado de Princ´ıpio da A¸c˜ao M´ınima de Hamilton12.

(50)

Teorema 2.5 (Princ´ıpio da A¸c˜ao M´ınima de Hamilton). Movi-mentos do sistema mecˆanico (equa¸c˜ao 2.68), coincidem com extremos do funcional: p q “ t1 ª t0 Ldt

onde L“ T ´ V , ´e a diferen¸ca entre a energia cin´etica e potencial. Demonstra¸c˜ao 2.6. Como V “ V pxq e T “ 1 2 ∞ mi9x2i, temos que: BL B 9x “ BT B 9x “ mi9xi e BL Bx “ ´ BV Bx ⌅ (2.70)

Algumas nota¸c˜oes que vamos utilizar deste ponto em diante: (i) Lpq, 9q, tq “ T ´ V ´e a fun¸c˜ao de Lagrange ou lagrangiana; (ii) q1,¨ ¨ ¨ , qn chamadas de coordenadas generalizadas;

(iii) 9q1,¨ ¨ ¨ , 9qn chamadas de velocidades generalizadas; (iv) BL

B 9q “ pi chamados de momentos generalizados; (v) BL

Bq “ 9p chamadas de for¸cas generalizadas; (vi) p q “≥t1 t0Lpq, 9q, tq dt ´e a A¸c˜ao; (vii) d dt ˆ BL B 9q ˙ ´BL

Bq “ 0 s˜ao as equa¸c˜oes de Lagrange;

O n´umero de coordenadas generalizadas de um sistema ´e cha-mado de graus de liberdade do sistema - GL.

As coordenadas generalizadas como eixos coordenados, definem um espa¸co cartesiano chamada de espa¸co de configura¸c˜ao de um sistema de N part´ıculas com dimens˜ao n (n coordenadas generalizadas). Corol´ario 2.1. 13 Seja pq

1,¨ ¨ ¨ , q3nq se houver alguma coordenada no espa¸co de configura¸c˜ao de um sistema de n pontos de massa, ent˜ao a evolu¸c˜ao de q no tempo est´a sujeita `as equa¸c˜oes de Euler-Lagrange .

d dt ˆ BL B 9q ˙ ´BLBq “ 0 (2.71) 13Adaptado de (ARNOLD, 1989)

(51)

onde L“ T ´ V

Demonstra¸c˜ao 2.7. Pelo teorema 2.5, um movimento ´e um extremo do funcional ≥Ldt, portanto, em qualquer sistema de coordenadas, a equa¸c˜ao de Euler-Lagrange escrita nesse sistema de coordenadas ´e sa-tisfeita. ⌅

Para o caso que alguma coordenada generalizada qi n˜ao fizer parte da lagrangiana, faz com que o momento generalizado piseja cons-tante, ou seja, nos remete `a lei de conserva¸c˜ao do momento angular. Esta coordenada qi´e definida como segue:

Defini¸c˜ao 2.14. Uma coordenada generalizada qi ´e chamada de C´ı-clica, se n˜ao fizer parte da lagrangiana, ou seja, BL

Bqi “ 0.

Teorema 2.6. O momento generalizado correpondente `a uma coorde-nada c´ıclica qi ´e conservado, ou seja, pi “ Cte

Demonstra¸c˜ao 2.8. Pela equa¸c˜ao de Lagrange, temos que: dpi

dt “ BL

Bqi “ 0 ⌅

A equa¸c˜ao de Euler-Lagrange, bem como as equa¸c˜oes de La-grange, vistas at´e o momento, tem como base o Princ´ıpio variacional, mais precisamente, o Princ´ıpio da A¸c˜ao M´ınima de Hamilton, que foi adaptado e resumido de (ARNOLD, 1989). Note que as equa¸c˜oes de Lagrange descrevem um sistema de equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias de segunda ordem `a dois parˆametros para cada equa¸c˜ao, num total de 2n parˆametros para o sistema, ou seja, temos, para solucionar este sistema, que deve ter 2n coindi¸c˜oes inicias.

Outra dedu¸c˜ao pode ser feita usando o Pr´ınc´ıpio de d’Alembert e os deslocamentos virtuais, que est´a resumido e adaptado, de (LEMOS,

2007), a seguir.

2.8 PRINC´IPIO DE D’ALEMBERT E A EQUA ¸C ˜AO DE EULER-LAGRANGE

2.8.1 Deslocamentos virtuais e o Princ´ıpio de d’Alembert

A an´alise do movimento de um sistema mecˆanico, ou seja, a configura¸c˜ao deste sistema, consiste em definir a posi¸c˜ao das part´ıculas

(52)

que o comp˜oe, num dado momento. Associando isto aos v´ınculos que que este sistema tem, podemos ter uma infinidade de configura¸c˜oes.

A an´alise infinitesimal deste sistema, consiste em estudar os des-locamentos infinitesimais de uma configura¸c˜ao para outra, infinitesi-malmente pr´oxima, num dado instante t. Estes deslocamentos infinite-simais s˜ao chamados de deslocamentos virtuais e s˜ao denotados por

ri, sendo i“ 1, ¨ ¨ ¨ , N para um sistema de N part´ıculas.

Os deslocamentos virtuais tem as seguintes caracter´ısticas14: (i) s˜ao infinitesimais;

(ii) ocorrem num instante fixo; (iii) n˜ao violam os v´ınculos.

Sendo assim, podemos afirmar que, os trabalhos virtuais das for-¸cas de v´ınculo s˜ao zero, ou seja,

Wvirt“ ÿ i ~ fi ~ri“ 0, i“ 1, ¨ ¨ ¨ , N (2.72) Onde: ~ fi: for¸cas de v´ınculo ~ri: deslocamentos virtuais

Partindo de que o sistema est´a em equil´ıbrio, ou seja, est´a em uma situa¸c˜ao est´atica, podemos escrever:

~

Fi“ 0 (2.73)

~

Fi: resultante das for¸cas que atuam no sistema Ent˜ao: W ÿ i ~ Fi ~ri“ 0, i“ 1, ¨ ¨ ¨ , N (2.74) onde: ~

Fi: resultante das for¸cas que atuam no sistema ~ri: deslocamentos virtuais

Como ~Fi pode ser escrita em termos das for¸cas ativas atuantes e das for¸cas de v´ınculo, temos:

(53)

ÿ i ~ Fi ~ri“ ÿ i ~ Fipaq ~ri` ÿ i ~ fi ~ri “ 0 (2.75) onde: ~

Fipaq: for¸cas ativas atuantes ~

fi: for¸cas de v´ınculo

Ent˜ao das equa¸c˜oes 2.72, 2.73, 2.74 e 2.75, temos: ÿ i ~ Fipaq ~ri“ 0 (2.76) onde: ~

Fipaq: for¸cas ativas atuantes ~ri: deslocamentos virtuais

Que ´e chamado de princ´ıpio dos trabalhos virtuais. Note que so-mente as for¸cas ativas est˜ao envolvidas nesta equa¸c˜ao e que as for¸cas de v´ınculo n˜ao, ou seja, permite descrever um sistema em equil´ıbrio somente em termos das for¸cas atuantes, mesmo que ele tenha algum v´ınculo.

Agora, analisando o caso dinˆamico, a equa¸c˜ao de movimento de cada part´ıcula, pela segunda lei de Newton, pode ser escrita:

9~p “ ~Fi“ ~Fipaq` ~fi ñ 9~p ´ ~Fipaq“ ~fi ñÿ i ´ 9~p ´ ~Fpaq i ¯ ~ri“ 0 (2.77)

A equa¸c˜ao 2.77, ´e chamada de princ´ıpio de d’Alembert, que proporciona uma vantagem sobre formaliza¸c˜ao newtoniana, pois as for-¸cas de v´ınculo n˜ao est˜ao envolvidas.

2.8.2 Equa¸c˜ao de Euler-Lagrange pelo Princ´ıpio de d’Alembert

Embora o princ´ıpio de d’Alembert apresente grande redu¸c˜ao na descri¸c˜ao do movimento de um sitema, ainda n˜ao ´e o ideal, pois os deslocamentos virtuais ~ri n˜ao s˜ao todos independentes entre si, bem como, nem todas as posi¸c˜oes ri.

Para reduzir o princ´ıpio de d’Alembert devemos observar trˆes condi¸c˜oes:

(i) usar coordenadas que caracterizem a posi¸c˜ao de cada part´ıcula e que sejam independentes entre si;

(54)

(ii) que estas coordenadas caracterizem univocamente a configura¸c˜ao do sistema em cada instante;

(iii) e que elas tornem os v´ınculos identicamente satisfeitos .

Agora, sejam q1,¨ ¨ ¨ , qn coordenadas generalizadas, tal que, a posi¸c˜ao de cada particula do sistema seja definida univocamente por:

ri“ ripq1,¨ ¨ ¨ , qn, tq, i “ 1, ¨ ¨ ¨ , n (2.78) tal que, cada v´ınculo, a que este sistema esteja sujeito, seja iden-ticamente satisfeito e n ´e o n´umero total de coordenadas necess´arias para identificar a posi¸c˜ao de N part´ıculas (3N coordenadas) sujeitas a R v´ınculos, ou seja:

n“ 3N ´ R

sendo 3N as coordenadaspx1, y1, z1q, ¨ ¨ ¨ , pxN, yN, zNq.

Usando os deslocamentos virtuais, o princ´ıpio dos trabalhos vir-tuais e o princ´ıpio de d’Alembert, (LEMOS, 2007) podemos ter uma outra dedu¸c˜ao para a equa¸c˜ao de Euler-Lagrange, bem como para a fun¸c˜ao Lagrangiana, representada abaixo, de forma resumida (a dedu-¸c˜ao completa pode ser vista no apˆendice A).

Segundo (LEMOS, 2007), ao usar coordenadas generalizadas q1,¨ ¨ ¨ , qn podemos representar os deslocamentos virtuais em termos de desloca-mentos virtuais independentes, expressos da seguinte forma:

~ri “ n ÿ k“1 B~ri Bqk qk (2.79)

Podemos representar o princ´ıpio de d’Alembert da seguinte forma: ÿ i mi9vi ~ri“ ÿ i ~ Fipaq ~ri (2.80)

Usando uma nota¸c˜ao abreviada ~Fipaq “ Fi e ~ri “ ri, temos, da equa¸c˜ao 2.80 temos a representa¸c˜ao das for¸cas generalizadas dada por:

Qk “ ÿ i FiBri Bqk (2.81)

Sendo Qk chamado de for¸ca generalizada ou k-´esima compo-nente da for¸ca generalizada

(55)

Observa¸c˜ao 2.3. Para as pr´oximas equa¸c˜oes usaremos i“ 1, ¨ ¨ ¨ , N e k“ 1, ¨ ¨ ¨ , n. Usando: d dt ˆ miviBri Bqk ˙ “ mi9viBri Bqk ` mi vi d dt ˆ Bri Bqk ˙ ñ mi9viBr i Bqk “ d dt ˆ miviBr i Bqk ˙ ´ mivi d dt ˆ Bri Bqk ˙ Associado `a: vi“ dri dt “ ÿ k Bri Bqk 9qk` Bri Bt

Derivando com rela¸c˜ao a 9qk, chamada de velocidade generalizada, temos: Bvi B 9qk “ Bri Bqk (2.82) O que nos leva a:

ÿ k „d dt ˆ BT B 9qk ˙ ´BqBT k ´ Qk ⇢ qk (2.83)

Ou, ainda, podemos escrever: d dt ˆ BT B 9qk ˙ ´BqBT k “ Qk (2.84) Quando as for¸cas Fiderivam de um potencial escalar Vpr1,¨ ¨ ¨ , rN, tq. temos da equa¸c˜ao 2.17:

Fi“ ´OiV ñ Qk “ ´BV

Bqk Ent˜ao, substituindo na equa¸c˜ao 2.84

d dt „ B B 9qkpT ´ V q ⇢ ´BqB kpT ´ V q “ 0 (2.85) Note que BV B 9qk “ 0.

(56)

Desta equa¸c˜ao vem a fun¸c˜ao de Lagrange Lpq, 9q, tq, tamb´em chamada de lagrangiana definida por:

L“ Lpq, 9q, tq “ T ´ V “ 0 (2.86) Ent˜ao, a equa¸c˜ao 2.85 pode ser, finalmente escrita:

d dt ˆ BL B 9qk ˙ ´BqBL k “ 0 (2.87)

Equa¸c˜ao conhecida como equa¸c˜ao de Euler-Lagrange ´

E importante salientar, de forma resumida, as principais diferen-¸cas entre os formalismos newtoniano e lagrangiano, que est´a na tabela abaixo:

Tabela 1 – Principais diferen¸cas entre Newton e lagrange Compara¸c˜ao entre os formalismos

Newton Lagrange

Equa¸c˜oes dependem da posi¸c˜ao, acelera¸c˜ao e do tempo

Equa¸c˜oes dependem somente de coordenadas genaralizadas15 n“ 3N ´ K e, tamb´em, geralmente do tempo Equa¸c˜oes do tipo vetorial Equa¸c˜oes do tipo escalar A dinˆamica depende das

for¸cas de v´ınculo

A dinˆamica depende do extremo de uma funcional

2.9 EXEMPLOS DE APLICA ¸C ˜OES NA DIN ˆAMICA DE LAGRANGE

Finalizando este cap´ıtulo, abaixo, alguns exemplos usando o for-malismo lagrangiano.

Exemplo 2.11 (Pˆendulo simples plano). Com base no exemplo 2.6 e na figura 5, temos uma part´ıcula de massa m presa a um fio r´ıgido, fixado em 0 e seu movimento ´e dado em um plano vertical fixo, descre-vendo um arco s dado por ✓ (ˆangulo com a vertical).

(57)

Precisamos usar um sistema de coordenadas adequado e que es-tas sejam independentes entre si. Sendo assim, usando coordenadas polares temos a posi¸c˜ao da massa m dada por:

x“ l. cos ✓ (2.88)

y“ l. sen ✓ (2.89)

As velocidades, derivando 2.88 e 2.89, s˜ao das por:

9x“ ´l 9✓. sen ✓ (2.90)

9y“ l 9✓. cos ✓ (2.91)

Podemos identificar que este sistema tem uma coordenada gene-ralizada ✓, ou seja, tem 1 grau de liberdade (G.L.=1).

A energia cin´etica ´e dada por: T 1

2mp 9x 2

` 9y2 q que das equa¸c˜oes 2.90 e 2.91 resultam em:

T 1 2m 9✓ 2l2psen2` cos2q T “1 2m 9✓ 2l2 (2.92)

A energia potencial, tomando V0“ 0, ´e dada por:

V “ ´mgl cos ✓ (2.93)

Sendo assim, das equa¸c˜oes 2.92 e 2.93, a lagrangiana ser´a dada por: L“ T ´ V L 1 2m 9✓ 2l2 ` mgl cos ✓ (2.94)

Logo, pelo corol´ario 2.1, temos: d dt ˆ BL B 9✓ ˙ ´BLB✓ “ 0 (2.95)

ent˜ao precisamos calcular o que segue: BL B 9✓ “ m 9✓l

(58)

BL B✓ “ ´mgl sen ✓ (2.97) Substituindo 2.96 e 2.97 em 2.95: d dt ´ m 9✓l2¯` mgl sen ✓ “ 0 (2.98) m:✓l2` mgl sen ✓ “ 0 (2.99) Dividindo 2.99 por ml2, temos a equa¸c˜ao que descreve o movi-mento de m (sen ✓« ✓):

:✓`gl“ 0 (2.100)

A equa¸c˜ao de Lagrange, dada em 2.100, que descreve o mo-vimento da massa ´e a mesma contru´ıda pelo formalismo newtoniano (equa¸c˜ao 2.29) e, tb, uma equa¸c˜ao diferencial de segunda ordem, ge-rando, assim, a solu¸c˜ao dada pela equa¸c˜ao 2.32.

Exemplo 2.12 (M´aquina de Atwood). Conforme exemplo 2.7, a m´ a-quina de Atwood pode ser vista na figura 7.

V´ınculos: x1` x2“ l

Por se tratar de um sistema de G.L. “ 1, pois os v´ınculos s˜ao descritos por x1` x2“ l, logo, x2“ l ´ x1. Tomando x1“ x, onde x ´e a coordenada generalizada do sistema.

A energia Cin´etica ´e dada por: T “ 1

2pm1` m2q 9x

2 (2.101)

A energia potencial ´e dada por:

V “ ´m1gx´ m2gpl ´ xq (2.102) Sendo assim, temos a lagrangiana:

L“ 1

2pm1` m2q 9x 2` m

1gx` m2gpl ´ xq (2.103) Para que possamos determinar as equa¸c˜oes de Lagrange, preci-samos calcular:

BL

(59)

BL

Bx “ m1g´ m2g“ pm1´ m2qg (2.105) Como as equa¸c˜oes de Lagrange s˜ao da forma:

d dt ˆ BL B 9x ˙ ´BLBx “ 0 (2.106) Substitu´ındo 2.104 e 2.105 em 2.106: d dtrpm1` m2q 9xqs ´ pm1´ m2qg “ 0 Logo, temos: pm1` m2q:x “ pm1´ m2qg O que resultam em:

:x“m1´ m2 m1` m2

g (2.107)

equa¸c˜ao de Lagrange para descrever o movimento deste sistema. Note que ´e a mesma equa¸c˜ao desenvolvida usando a dinˆamica newtoniana (equa¸c˜ao 2.39).

Exemplo 2.13 (Pˆendulos idˆenticos acoplados por mola). Com base no exemplo 2.8, considere os pˆendulos conforme figura 8.

Este sistema tem 2 G.L., ou seja, tem duas coordenadas genera-lizadas ✓1 e ✓2.

A energia Cin´etica ´e dada por: T “1 2pm1 9✓1 2 ` m29✓2 2 ql21 2ml 2´9✓ 1 2 ` 9✓2 2¯ (2.108) A energia potencial total ´e dada pela soma da energia potencial da mola e energia potencial de cada pˆendulo:

V “ VMola` VPˆendulo “kl22p✓2´ ✓1q2`mgl

2 p✓ 2

(60)

A lagrangiana ser´a dada por: L1 2ml 2´9✓ 1 2 ` 9✓2 2¯ ´kl22p✓2´ ✓1q2´ mgl 2 p✓ 2 2` ✓21q (2.110) Para que possamos determinar as equa¸c˜oes de Lagrange, preci-samos calcular: BL B 9✓1 “ ml2 9✓ 1 BL B 9✓2 “ ml2 9✓ 2 BL B✓1 “ kl 2p✓ 2´ ✓1q ´ mgl✓1 BL B✓2 “ ´kl 2p✓ 2´ ✓1q ´ mgl✓2 (2.111)

Como as equa¸c˜oes de Lagrange s˜ao da forma: d dt ˆ BL B 9✓i ˙ ´BL B✓i “ 0 (2.112) Substitu´ındo 2.111 em 2.112: d dt ´ ml2 9✓ 1 ¯ ´ kl2p✓ 2´ ✓1q ` mgl✓1“ 0 d dt ´ ml2 9✓ 2 ¯ ` kl2p✓ 2´ ✓1q ` mgl✓2“ 0 (2.113) Logo, temos: ml2: 1´ kl2p✓2´ ✓1q ` mgl✓1“ 0 ml2: 2` kl2p✓2´ ✓1q ` mgl✓2“ 0 (2.114)

que s˜ao as equa¸c˜oes de Lagrange que descrevem o movimento do sistema de dois pˆendulos idˆenticos acoplados por mola. Note que s˜ao equa¸c˜oes diferenciais de segunda ordem.

(61)

3 TRANSFORMA ¸C ˜AO DE LEGENDRE E AS EQUA ¸C ˜OES DE HAMILTON

Embora as equa¸c˜oes de Lagrange j´a apresentem equa¸c˜oes de mo-vimentos decorrente de equa¸c˜oes diferenciais de segunda ordem bem mais simples e associadas `as for¸cas aplicadas e n˜ao `a de v´ınculos (com-parada `as equa¸c˜oes de Newton), ainda podemos deixar as equa¸c˜oes de movimento ainda mais esbeltas e para tanto, vamos abordar, agora, sobre a transfoma¸c˜ao de Legendre, o que, por sua vez, nos levar´a `a equa¸c˜ao ou fun¸c˜ao de Hamilton (hamiltoniana) e, consequentemente, `

as equa¸c˜aos do movimento de Hamilton.

3.1 TRANSFORMA ¸C ˜AO DE LEGENDRE

A importˆancia, para este trabalho, da transforma¸c˜ao Legendre ´e a de ser um passo importante para a constru¸c˜ao da fun¸c˜ao de Hamilton (hamiltoniana) e as equa¸c˜oes de Hamilton para descrever o movimento. Al´em disto, ´e, tamb´em, uma ferramenta matem´atica muito ´util, pois transforma fun¸c˜oes em um espa¸co vetorial em fun¸c˜oes no espa¸co dual. As transforma¸c˜oes de Legendre est˜ao relacionadas `a dualidade projetiva e coordenadas tangenciais na geometria alg´ebrica e a constru¸c˜ao de espa¸cos duplos de Banach em an´alise e na f´ısica, mais precisamente, nas defini¸c˜oes de quantidades termodinˆamicas1.

Defini¸c˜ao 3.1 (Transforma¸c˜ao de Legendre). Uma transforma¸c˜ao de uma fun¸c˜ao f , convexa (ou seja, f ”pxq ° 0), em uma fun¸c˜ao g, de uma nova vari´avel p, tal que gppq “ F pp, xppqq dada por:

gppq “ px ´ fpxq (3.1)

´e chamada de Transforma¸c˜ao de Legendre.

Para a constru¸c˜ao desta transforma¸c˜ao vamos analisar a figura 14.

Considere a fun¸c˜ao f , uma fun¸c˜ao convexa, no plano xy e uma reta y“ px, onde p ´e um n´umero real dado.

Tomando x“ xppq no qual a curva f est´a mais distante da reta 1Segundo (ARNOLD, 1989)

(62)

y na dire¸c˜ao vertical. Sendo assim, para cada p a fun¸c˜ao: px´ fpxq “ F pp, xq

tem um m´aximo em rela¸c˜ao a x no ponto xppq.

Figura 14 – Contru¸c˜ao da transforma¸c˜ao de Legendre2

Logo, podemos escrever gppq “ F pp, xq “ px ´ fpxq e xppq ´e definido pela condi¸c˜ao de extremante por BF

Bx “ 0, ou seja, f1pxq “ p. Como f ´e uma fun¸c˜ao convexa, ent˜ao xppq ´e ´unico, se existir.

Exemplo 3.1. Abaixo, alguns exemplos de fun¸c˜oes gppq:

(i) Para fpxq “ x2ñ F pp, xq “ px ´ x2ñ xppq “1 2p ñ gppq “ F´p,p 2 ¯ “ p.12p´ ˆ 1 2p ˙2 ñ gppq “ p42 (ii) Para fpxq “ mx 2 2 ñ F pp, xq “ px ´ mx2 2 ñ f1pxq “ mx “ p xppq “ p m ñ gppq “ F ´ p, p m ¯ “ p.mp ´m `p m ˘2 2 ñ gppq “ p2 2m 2Adaptado de (ARNOLD, 1989)

(63)

(iii) Para fpxq “ x ↵ ↵ ñ F pp, xq “ px ´ x↵ ↵ ñ f1pxq “ x ↵´1“ p xppq “ p↵´11 ñ gppq “ F´p, p↵´11 ¯“ p.p↵´11 ´p 1 ↵´1 ↵ ñ gppq “ p.p↵´11 ´p ↵ ↵´1 ↵ “ p↵ ´ 1qp↵´1↵ ↵ Que podemos escrever:

gppq “ p ↵ ↵´1 ↵ ↵´ 1 Agora, tomando “ ↵ ↵´ 1, temos: gppq “ p Desde que 1 ↵` 1 “ 1 3.1.1 Involutividade

A transforma¸c˜ao de Legendre, para fun¸c˜oes convexas, leva fun-¸c˜ao convexas para fun¸c˜oes convexas. Para uma fun¸c˜ao f , diferenci´avel, quantas vezes forem necess´arias, com f2pxq ° 0, temos o seguinte teo-rema que mostra a involutividade desta transforma¸c˜ao.

Teorema 3.1. A transforma¸c˜ao de Legendre ´e involutiva, isto ´e, se sob a transforma¸c˜ao de Legendre, f for levada para g, ent˜ao a trans-forma¸c˜ao de Legendre de g levar´a para f .

Demonstra¸c˜ao 3.1. Seja gppq. Aplicando a transforma¸c˜ao de Legen-dre, pela defini¸c˜ao 3.1, temos:

Gpx, pq “ xp ´ gppq (3.2)

Onde usamos uma nova vari´avel x para determinar a nova fun¸c˜ao transformada G.

Como BG

Bp “ 0 ñ g1ppq “ x, pois ppxq ´e ponto de m´aximo de G, logo, a transforma¸c˜ao de Legendre de gppq, ser´a em fun¸c˜ao em x, ou seja, Gpx, ppxqq. Chamaremos esta fun¸c˜ao trasnformada de fpxq, ou seja, fpxq “ Gpx, ppxqq.

(64)

Note que, geometricamente, G ´e a ordenada do ponto de abscissa x na tangente ao gr´afico de fpxq, com inclina¸c˜ao p.

A a fun¸c˜ao g ´e linear em x com BG

Bx “ p, pois p ´e fixo e, tomando x“ xppq, temos, pela defini¸c˜ao 3.1 que:

fpxq “ Gpx, pq “ px ´ gppq Veja figura 15 abaixo:

Figura 15 – Involutibilidade da transforma¸c˜ao de Legendre3 Com p variando e x“ x0fixo, temos que Gpx, pq assume valores que s˜ao as ordenadas dos pontos de intersec¸c˜ao da reta x“ x0 com a reta tangente ao gr´afico de fpxq, para cada inclina¸c˜ao p.

Note que as tangentes est˜ao abaixo de f , pois f ´e convexa, logo, o m´aximo de gpx, pq para xpp0q ´e a fun¸c˜ao fpxq. ⌅

Corol´ario 3.1. Seja uma determinada fam´ılia de retas dadas por y“ px ´ gppq, ent˜ao sua transformada tem a equa¸c˜ao y “ fpxq, onde f ´e a transforma¸c˜ao de Legendre.

3.1.2 Desigualdade de Young

Defini¸c˜ao 3.2. Sejam duas fun¸c˜oes f e g, que s˜ao tranforma¸c˜oes de Legendre, uma da outra. Estas fun¸c˜oes s˜ao chamadas de dual no sen-tido de Young.

(65)

Pela defini¸c˜ao de tranforma¸c˜ao de Legendre, temos que

Fpx, pq “ px ´ fpxq ´e menor ou igual a gppq para qualquer x e p, desta forma, temos a desigualdade de Young, dada por:

px§ fpxq ` gppq (3.3)

Exemplo 3.2. Abaixo, alguns exemplos da desigualde de Young4:

(i) Para fpxq “ x 2 2 ñ temos gppq “ p2 2 Ent˜ao, px§ x2 2 ` p2 2 para todo x e p. (ii) Para fpxq “ x ↵ ↵ e gppq “ p onde 1 ↵` 1 “ 1 e ↵ ° 1 e ° 1, temos a desigualdade de Young dada por px§x

↵ ` p

para todo x° 0 e p ° 0.

3.1.3 Transforma¸c˜ao de Legendre para mais de uma vari´avel

Seja uma fun¸c˜ao vetorial fpxq convexa e x “ px1,¨ ¨ ¨ , xnq, ou seja, a forma quadr´atica

ˆˆ B2f Bx2 ˙ dx, dx ˙

´e positiva, ent˜ao a tranfor-ma¸c˜ao de Legendre ´e a fun¸c˜ao gppq da vari´avel vetorial p “ pp1,¨ ¨ ¨ , pnq sendo, conforme defini¸c˜ao 3.1:

gppq “ F pp, xppqq “ MAX F pp, xq

onde:

Fpp, xq “ px ´ fpxq e p “ Bf Bx

Sendo assim, a transforma¸c˜ao de Legendre, quando est˜ao envol-vidas mais de uma vari´avel, pode ser aplicada, inclusive a desigualdade de Young.

Problema. Seja f uma forma quadr´atica fpxq “ ∞fijxixj. Mostre que sua transforma¸c˜ao de Legendre ´e, tamb´em uma forma qua-dr´atica gppq “ ∞gijpipj, e que os valores de ambas as formas nos

(66)

pontos correspondentes coincidem (Figura 15): fpxppqq “ gppq e gpppxqq “ fpxq.

Solu¸c˜ao Seja fpxq uma forma quadr´atica dada por fpxq “ ∞f

ijxixj, sendo i, j “ 1, ¨ ¨ ¨ , n, logo, derivando f com rela¸c˜ao a xi, temos: Bf Bxi “ B Bxi ˜ ÿ j,k fjkxjxk ¸ “ÿ j,k fjk ˆ Bxj Bxi ˙ xk` ÿ j,k fjkxj ˆ Bxk Bxi ˙ “ÿ j,k fjk jixk` ÿ j,k fjkxj ki

sendo ji e ki chamados de Delta de Kronecker (ou s´ımbolo de Kro-necker), ent˜ao Bxj Bxi e Bxk Bxi s˜ao dadas por: Bxj Bxi “ ji“ $ & % 0 se i‰ j 1 se i“ j e Bxk Bxi “ ki“ $ & % 0 se i‰ k 1 se i“ k (3.4) ent˜ao Bf Bxi “ ÿ k fikxk` ÿ j fjixj “ÿ k fikxk` ÿ k fkixk “ÿ k pfik` fkiq xk

A transforma¸c˜ao de Legendre para f fica:

Fpp, xq “ÿ i pixi´ fpxq “ ÿ i pixi´ ÿ i fijxixj (3.5)

(67)

Derivando F : BF Bxi “ B Bxi ˜ ÿ k pkxk ¸ ´ÿ k pfik` fkiq xk ki “ pi´ ÿ k pfik` fkiq xk Como BF

Bxk “ 0, para todo k, temos: pi“ ÿ k pfik` fkiq xkñ pi“ ÿ k Cikxk (3.6)

Note que 3.6 representa um sistema linear e supondo fik` fki“ Cik invert´ıvel, dada a convexidade de f , temos como solu¸c˜ao deste sistema:

xi“ ÿ

k

Cikpk (3.7)

Substituindo na equa¸c˜ao 3.5, temos: Fpp, xq “ÿ i pixi´ ÿ kj fkjxkxj “ÿ i pi ˜ ÿ k Cikpk ¸ `ÿ kj fkj ˜ ÿ l Cklpl ¸ ˆ ˜ ÿ m Cjmpm ¸ “ÿ ik Cikpipk` ÿ kjlm ` fkjCklCjm ˘ plpm Considerando alm“∞ kj fkjCklCjm, temos: Fpp, xq “ÿ ik ` Cik` aik˘pipk “ ÿ ik gikpipk“ gppq (3.8) ou gppq “ÿ ij gijpipj (3.9) ou seja, de 3.9, gppq “∞ ik

(68)

Por outro lado, seja gppq “∞ ij

gijpipj ´e uma forma quadr´atica e sua derivada parcial com rela¸c˜ao a pi dada abaixo:

Bg Bpi “ B Bpi ˜ ÿ j,k gjkpjpk ¸ “ÿ j,k gjk ˆ Bpj Bpi ˙ pk` ÿ j,k gjkpj ˆ Bpk Bpi ˙ “ÿ j,k gjk jipk` ÿ j,k gjkpj ki

Logo, da mesma forma que 3.4, Bxj Bxi e Bxk Bxi s˜ao dadas por: Bpj Bpi “ ji“ $ & % 0 se i‰ j 1 se i“ j e Bpk Bpi “ ki“ $ & % 0 se i‰ k 1 se i“ k (3.10) ent˜ao Bg Bpi “ ÿ k gikpk` ÿ j gjipj “ÿ k gikpk` ÿ k gkipk “ÿ k pgik` gkiq pk

A transforma¸c˜ao de Legendre para g fica:

Gpx, pq “ÿ i xipi´ gppq “ ÿ i xipi´ ÿ i gijpipj (3.11)

(69)

Derivando G: BG Bpi “ B Bpi ˜ ÿ k xkpk ¸ ´ÿ k pgik` gkiq pk ki “ xi´ ÿ k pgik` gkiq pk Como BG

Bpk “ 0, para todo k, temos: xi“ ÿ k pgik` gkiq pk ñ xi“ ÿ k Cikpk (3.12)

Note que 3.12 representa um sistema linear e supondo gik`gki“ Cik invert´ıvel, temos como solu¸c˜ao deste sistema:

pi“ ÿ

k

Cikxk (3.13)

Substituindo na equa¸c˜ao 3.11, temos: Gpx, pq “ÿ i xipi´ ÿ kj gkjpkpj “ÿ i xi ˜ ÿ k Cikxk ¸ `ÿ kj gkj ˜ ÿ l Cklxl ¸ ˆ ˜ ÿ m Cjmxm ¸ “ÿ ik Cikxixk` ÿ kjlm pgkjCklCjmq xlxm Considerando alm“∞ kj gkjCklCjm, temos: Gpx, pq “ÿ ik pCik` aikq xixk“ ÿ ik fikxixk “ gppq (3.14) ou fpxq “ÿ ij fijxixj (3.15) ou seja, de 3.15, fpxq “∞ ij

(70)

Desta forma temos que: fpxppqqeq.3.7“ ÿ kjlm ` fkjCklCjm˘plpm“ ÿ ij gijpipj“ gppq,

sendo fkjCklCjm“ gij que, por sua vez, gpppxqqeq.3.13“ ÿ kjlm pgkjCklCjmq xlxm“ ÿ ij fijxixj “ fpxq. sendo gkjCklCjm“ fij.

3.2 AS EQUA ¸C ˜OES DE HAMILTON

O movimento de um sistema de part´ıculas descrito pelos sistema de n equa¸c˜oes de segunda ordem de Lagrange, pode ser transformado em um sistema sim´etrico de 2n equa¸c˜oes de primeira ordem usando a transforma¸c˜ao de Legendre. Este sistema ´e chamado de Equa¸c˜oes de Hamilton ou Equa¸c˜oes Canˆonicas.

Para que possamos entender a equivalˆencia entre as equa¸c˜oes de Lagrange e as de Hamilton, devemos considerar o sistema de equa¸c˜oes de Lagrange (conforme p´agina 48):

9p“BLBq onde p BL

B 9q (3.16)

Vamos assumir que a fun¸c˜ao lagrangiana L :Rnˆ Rnˆ R Ñ R ´e convexa5 em rela¸c˜ao a 9q.

Teorema 3.2. O sistema de n equa¸c˜oes de segunda ordem de Lagrange ´e equivalente ao sistema de 2n equa¸c˜oes de primeira ordem de Hamil-ton, dado por6 :

9p“ ´BH

Bq e 9q “ BH

Bp (3.17)

onde Hpp, q, tq “ p 9q ´ Lpq, 9q, tq ´e a transforma¸c˜ao de Legendre da fun¸c˜ao Lagrangiana em fun¸c˜ao de 9q.

5Fun¸c˜ao convexa frequentemente quadr´atica positiva 6Adaptado de (ARNOLD, 1989)

(71)

Demonstra¸c˜ao 3.2.

Dada a lagrangiana Lpq, 9q, tq. A trasnforma¸c˜ao de L com rela¸c˜ao a 9q, ´e a fun¸c˜ao:

Hppq “ p 9q ´ Lp 9qq (3.18) Sendo que 9q ´e dado em termos de p, que, por sua vez, ´e dado em termos de q e t, pois p BL

B 9q.

Como o diferencial total de Hpp, q, tq, que ´e dado por dH“ BH Bpdp` BH Bq dq` BH Bt dt (3.19)

´e igual ao diferencial total da equa¸c˜ao 3.18 para p“ BL

B 9q, que ´e dada por:

dH “ 9qdp ´BL

Bqdq´BLBtdt (3.20) Comparando os coeficientes de dq, dp e dt, das equa¸c˜oes 3.19 e 3.20, temos: 9q“ BH Bp, BH Bq “ ´ BL Bq, BH Bt “ ´ BL Bt (3.21)

Como das equa¸c˜oes 3.16 e 3.21, temos: 9p“BLBq e BH

Bq “ ´BLBq

ent˜ao

9p“ ´BHBq (3.22)

Sendo assim, das equa¸c˜oes 3.21 e 3.22, temos um sistema de equa¸c˜oes diferenciais de primeira ordem que s˜ao as equa¸c˜oes de Ha-milton:

Observe que se qptq satisfaz as equa¸c˜oes de Lagrange, ent˜ao, ppptq, qptqq satisfaz as equa¸c˜oes de Hamilton.

A demonstra¸c˜ao da rec´ıproca ´e an´aloga, e, portanto, os sistemas de equa¸c˜oes de Lagrange e de Hamilton, s˜ao equivalentes. ⌅

(72)

3.2.1 A Fun¸c˜ao Hamiltoniana e a Energia Total

Vamos supor que a lagrangiana de um sistema mecˆanica seja da forma L“ T ´ V , sendo T a energia cin´etica e V a energia potencial deste sistema. Vamos considerar que a energia cin´etica T tenha forma quadr´atica em rela¸c˜ao a 9q, ou seja,

T 1 2

ÿ

aij9qi9qj onde aij “ aijpq, tq (3.23)

e a energia potencial n˜ao dependa de 9q, mas somente de q, e seja da forma:

V “ V pqq (3.24)

Como a energia cin´etica T , assume uma forma quadr´atica em 9q, vamos precisar do seguinte lema, sobre a transforma¸c˜ao de Legendre para uma forma quadr´atica:

Lema 3.1. Os valores de uma forma quadr´atica f(x) e da transforma-¸c˜ao de Legendre g(p) coincidem nos pontos correspondentes a

fpxq “ gppq Demonstra¸c˜ao 3.3.

Pelo teorema de Euler7sobre fun¸c˜oes homogˆeneas, temos: ˆ Bf Bx ˙ x“ 2f como p“ Bf

Bx, podemos escrever da equa¸c˜ao 3.1: gpppxqq “ px ´ fpxq “ ˆ Bf Bx ˙ x´ fpxq “ 2fpxq ´ fpxq “ fpxq ⌅

Agora podemos relacionar a fun¸c˜ao hamiltoniana `a energia total de um sistema.

7Segundo (ARNOLD, 1989) - Teroema de Euler: f :Rn fiÑ R ´e homogˆenea de

grau k, ent˜ao n ÿ i“1 Bf Bxi

(73)

Teorema 3.3. A hamiltoniana H ´e a energia total do sistema, ou seja,

H“ T ` V (3.25)

Demonstra¸c˜ao 3.4.

Pela equa¸c˜ao 3.18 e o lema 3.1, temos:

H“ p 9q ´ L “ ˆ BT B 9q ˙ 9q ´ pT ´ V q “ 2T ´ pT ´ V q ñ H “ T ` V ⌅

A lei de conserva¸c˜ao de energia fica melhor definida pelo pr´oximo corol´ario:

Corol´ario 3.2. dH dt “

BH

Bt , em particular, para um sistema cuja a hamiltoniana n˜ao dependa explicitamente do tempo, ou seja, BH

Bt “ 0, a hamitoniana ´e constante de movimento:

Hppptq, qptqq “ Cte .

Demonstra¸c˜ao 3.5. Considerando a varia¸c˜ao de H ao longo da tra-jet´oria Hppptq, qptq, tq, temos:

dH dt “ BH Bp ˆ ´BHBq ˙ `BHBq ˆ BH Bp ˙ `BHBt “BHBt ⌅ 3.2.2 Coordenadas c´ıclicas `

A semelhan¸ca da fun¸c˜ao de Lagrange L, conforme observa¸c˜ao 2.2, a fun¸c˜ao de Hamilton pode ser determinada usando um sistema de coordenadas adequado com o objetivo de reduzir o sistema de equa¸c˜oes de Hamilton e esta escolha pode ocasionar, muitas vezes, que a fun¸c˜ao hamiltoniana seja independente de algumas delas (coordenadas).

Defini¸c˜ao 3.3. Se a fun¸c˜ao hamiltoniana, Hpp1, p2,¨ ¨ ¨ , pn, q1, q2,¨ ¨ ¨ , qn, tq n˜ao depende de uma coordenada q1, ent˜ao q1´e chamada de C´ıclica.

Isto se deve ao fato de que q1 tamb´em n˜ao faz parte da fun¸c˜ao lagrangiana, isto ´e BL

Bq1 “ 0, sendo assim, BH Bq1 “ 0

(74)

Quando temos coordenada c´ıclica envolvida, a fun¸c˜ao de Hamil-ton tem a forma conforme mostra o pr´oximo corol´ario:

Corol´ario 3.3. Considerando que q1´e uma coordenada c´ıclica, temos que p1 ser´a a primeira integral determinada. Neste caso, para as coor-denadas que restam, a varia¸c˜ao no tempo ´e a equivalente a um sistema de n´ 1 coordenadas independentes q2,¨ ¨ ¨ , qn. Logo a fun¸c˜ao de Ha-milton tem a forma:

Hpp2,¨ ¨ ¨ , pn, q2,¨ ¨ ¨ , qn, t, cq

onde, H depende do parˆametro c“ p1. Demonstra¸c˜ao 3.6.

Consideremos P “ pp2,¨ ¨ ¨ , pnq e Q “ pq2,¨ ¨ ¨ , qnq. A fun¸c˜ao H varia ao longo da trajet´oria Hppptq, qptq, tq, logo as equa¸c˜oes de Hamil-ton s˜ao das da seguinte forma:

dQ dt “ BH BP dq1 dt “ BH Bp1 dP dt “ ´ BH BQ dp1 dt “ 0 Integrando dp1

dt “ 0 obtemos que p1“ Cte, portanto, no sistema de equa¸c˜oes para P e Q, o p1entra como parˆametro da fun¸c˜ao H.

Neste sistema de 2n´ 2 equa¸c˜oes a equa¸c˜ao para a coordenada q1 ´e da forma dq1 dt “ fptq, onde fptq “ B Bp1 Hpp1, Pptq, Qptq, tq, cuja integral ´e imediata. ⌅

Ainda sobre coordenadas c´ıclicas, temos o pr´oximo corol´ario8: Corol´ario 3.4. Todo sistema com dois graus de liberdade (n“ 2) que possui uma coordenada c´ıclica ´e integr´avel.

Demonstra¸c˜ao 3.7. Se o sistema tem uma coordenada c´ıclica e como n“ 2, ele ´e unidimensional, logo ´e integr´avel e resulta em:

HpP, Qq “ c ⌅ 8Segundo (ARNOLD, 1989)

Referências

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