Análise e modelagem do comportamento dinâmico de cabos cilíndricos sob ação de excitação transiente

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Texto

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PROJETO DE GRADUAÇÃO

Análise e Modelagem do Comportamento

Dinâmico de Cabos Cilíndricos sob Ação de

Excitação Transiente

Por,

Marcos Fabrício de Souza Aleixo Filho

Brasília,

5 de dezembro de 2019

UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA

FACULDADE DE TECNOLOGIA

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UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA Faculdade de Tecnologia Departamento de Engenharia Mecânica

PROJETO DE GRADUAÇÃO

Análise e Modelagem do Comportamento

Dinâmico de Cabos Cilíndricos sob Ação de

Excitação Transiente

Por,

Marcos Fabrício de Souza Aleixo Filho

Relatório submetido como requisito parcial para obtenção do grau de Engenheiro Mecânico

Banca Examinadora

Prof. Francisco Ricardo da Cunha (Orientador) Prof. Marcus Vinicius Girão de Morais

Prof. Taygoara Felamingo de Oliveira

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“Nada te turbe Nada te espante Todo se pasa Dios no se muda La paciencia todo lo alcanza Quien a Dios tiene nada le falta Solo Dios basta” (Santa Tereza de Jesus)

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Agradecimentos

Agradeço antes de tudo aos meus pais, Elisângela e Fabrício, e à minha irmã Ísis, por terem me dado tanto amor e carinho durante esta árdua caminhada pela Engenharia Mecânica.

Por aqueles mais envolvidos no trabalho, agradeço primeiramente ao meu orienta-dor prof. Francisco, por toda a orientação e atenção dada durante a pesquisa, que graças a ele terminou com ótimos resultados.

Sou grato também ao prof. Alex, ao prof. Jorge e a toda equipe do Laboratório de Fadiga e Integridade Estrutural de Cabos Condutores de Energia, que ajudaram com a parte experimental do projeto, destacando o pós doutorando Remy, que sempre foi muito atencioso e gentil quando precisei e por ter sido ele quem me forneceu os dados experimentais que utilizei para gerar os resultados presentes no relatório.

Agradeço aos meus amigos e colegas de pesquisa do grupo Vortex: Yurinho, mestre Filipe, seu Igor e em especial ao Victor Shuma, por ter me ajudado e apoiado em alguns momentos tenebrosos do projeto.

E por fim, sou grato a todos os outros colegas e amigos de curso, em especial ao Vitor Caixeta e ao Paulo Roberto. Sempre foram companheiros e amigos em todos os momentos. Sou grato também pelo apelido carinhoso de Chefe que todos me deram. Espero que por esse trabalho tenha feito jus a ele.

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Resumo

O presente trabalho traz um arcabouço teórico sobre o fenômeno da vibração indu-zida por vórtice que ocorre em corpos de seção circular, como são os cabos de transmissão de energia elétrica, foco principal desse estudo. Disso, alguns modelos foram desenvolvi-dos para descrever ou aproximar o movimento vibratório induzido por vento de um cabo. Esses modelos são: o oscilador harmônico não linear, o concentrado de um cilindro subme-tido a um escoamento transversal e o do cabo vibrante. Nos casos em que um parâmetro adimensional muito menor que a unidade estava presente, foi possível obter soluções ana-líticas pelo método das perturbações. Uma excelente concordância foi observada entre as soluções numéricas e analíticas. Dados experimentais foram coletados em um ensaio de cabo real, para se verificar a vibração ao longo do tempo em pontos específicos do condu-tor. Ajustando os parâmetros do sistema, o modelo concentrado do oscilador harmônico não linear recuperou muito bem os resultados experimentais. Para determinada condição de excitação e amortecimento, o modelo concentrado do cilindro poderia ser simplificado de maneira a recuperar o modelo concentrado do oscilador harmônico. O modelo do cabo vibrante foi resolvido para o caso homogêneo e com uma excitação do tipo impulso delta de Dirac. Os resultados apresentados foram para pontos específicos ao longo do com-primento do cabo e alguns modos de vibração. Pela dedução das equações governantes, mostrou-se a consistência do modelo contínuo com os concentrados discutidos ao longo do projeto. Para uma tensão pequena aplicada ao cabo, a velocidade de propagação da onda é suficientemente pequena a ponto de se desprezar a derivada segunda em 𝑥, recuperando um modelo massa mola amortecedor.

Palavras-chaves: cabos condutores, vibração eólica, esteira de Von Kárman,

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Abstract

The present work brings a theoretical investigation of vortex-induced vibration, a phenomenon that commonly occurs in cylindrical bodies subjected to wind, such as electric power transmission lines, which are the main focus of this work. Some models were developed to predict the oscillatory motion of a cable subjected to wind, namely: a non-linear harmonic oscillator, a concentrated cylinder subjected to a transverse flow and a vibrating cable. In the cases where a nondimensional parameter much smaller than unity was present, a perturbation method provided analytical solutions for the models. An excellent agreement was found between the analytical and numerical solutions. An experimental setup was used to measure the time-response of a real transmission cable at different longitudinal positions. Adjusting the system parameters, the non-linear harmonic oscillator successfully recovered the experimental results. For the adequate condition of damping and excitation, it was observed that with some simplifications the concentreted cylinder model recovered the non-linear harminic oscillator model. The vibrating cable model was solved for the homogeneous case and for a Dirac’s impulse excitation. The results are presented for discrete longitudinal points through the cable, as well as some vibrating modes. From the governing equations, the consistency between the continuous model and the concentrated ones was shown. For a small tension applied to the cable, the wave propagation velocity is sufficiently small, allowing to ignore the second derivative of

𝑥 and thus recovering a mass-spring-damper system.

Key-words: conductive cables, wind vibration, Von Kárman vortex shedding,

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Lista de Figuras

Figura 1 – Foto ilustrativa de uma esteira de vórtices em um escoamento entorno

de um cilindro (DYKE; DYKE, 1982). . . 1

Figura 2 – Imagem ilustrativa de linhas de transmissão de energia elétrica. . . 2

Figura 3 – Bancada para ensaio de cabos (cortesia do Laboratório de Fadiga e Integridade Estrutural de Cabos Condutores de Energia - Faculdade de Tecnologia - Departamento de Engenharia Mecânica - Universidade de Brasília). . . 2

Figura 4 – Comparação das respostas exata e aproximada para 𝜀 = 0, 01. . . . 9

Figura 5 – Comparação das respostas exata e aproximada para 𝜀 = 0, 1. . . . 9

Figura 6 – Comparação das respostas exata e aproximada para 𝜀 = 0, 5. . . . 10

Figura 7 – Comparação das respostas analítica e aproximada para diferentes va-lores de 𝜀 e tempo adimensional fixo de 2. . . . 11

Figura 8 – Comparação da resposta aproximada e numérica para 𝜀 = 0, 01 . . . . 14

Figura 9 – Comparação da resposta aproximada e numérica para 𝜀 = 0, 1 . . . 14

Figura 10 – Comparação da resposta aproximada e numérica para 𝜀 = 0, 5 . . . 15

Figura 11 – Comparação da resposta aproximada e numérica para 𝜀 = 0, 01. . . . . 17

Figura 12 – Comparação da resposta aproximada e numérica para 𝜀 = 0, 1. . . . 17

Figura 13 – Comparação da resposta aproximada e numérica para 𝜀 = 0, 5. . . . 18

Figura 14 – Comparação de fases com 𝑡* = 12, 6 e 𝜀 variando. . . . 19

Figura 15 – Comparação de fases com 𝑡* = 50 e 𝜀 variando. . . . 19

Figura 16 – Comparação de fases com 𝑡* = 100 e 𝜀 variando. . . . 20

Figura 17 – Comparação das respostas aproximadas, tanto pelo método das pertur-bações quanto pelo Poincaré-Lindstedt, com a solução numérica para 𝑡* = 12, 6. . . . 21

Figura 18 – Comparação das respostas aproximadas, tanto pelo método das pertur-bações quanto pelo Poincaré-Lindstedt, com a solução numérica para 𝑡* = 50. . . 21

Figura 19 – Comparação das respostas aproximadas, tanto pelo método das pertur-bações quanto pelo Poincaré-Lindstedt, com a solução numérica para 𝑡* = 100.. . . 22

(8)

Figura 20 – Esquema do oscilador harmônico. . . 26 Figura 21 – Sinal do deslocamento, sinal da velocidade, diagrama de fase e espectro

de amplitude e frequência para o oscilador harmônico linear com 𝛽 = 0, 01 e 𝜔* = 3. . . 29 Figura 22 – Sinal do deslocamento, sinal da velocidade, diagrama de fase e espectro

de amplitude e frequência para o oscilador harmônico linear com 𝛽 = 1 e 𝜔* = 3. . . 30 Figura 23 – Sinal do deslocamento, sinal da velocidade, diagrama de fase e espectro

de amplitude e frequência para o oscilador harmônico linear com 𝛽 = 10 e 𝜔* = 3. . . . . 30

Figura 24 – Sinal do deslocamento, sinal da velocidade, diagrama de fase e espectro de amplitude e frequência para o oscilador harmônico não linear para

𝜀 = 1. . . . 32 Figura 25 – Sinal do deslocamento, sinal da velocidade, diagrama de fase e espectro

de amplitude e frequência para o oscilador harmônico não linear para

𝜀 = 10. . . . 32 Figura 26 – Sinal do deslocamento, sinal da velocidade, diagrama de fase e espectro

de amplitude e frequência para o oscilador harmônico não linear com forçamento harmônico para 𝛽 = 1 e 𝜀 = 1. . . . 33 Figura 27 – Sinal do deslocamento, sinal da velocidade, diagrama de fase e espectro

de amplitude e frequência para o oscilador harmônico não linear com forçamento harmônico para 𝛽 = 10 e 𝜀 = 10. . . . 34 Figura 28 – Sinal do deslocamento, sinal da velocidade, diagrama de fase e espectro

de amplitude e frequência para o oscilador harmônico não linear com forçamento harmônico para 𝛽 = 100 e 𝜀 = 100.. . . 34 Figura 29 – Sinal do deslocamento, sinal da velocidade, diagrama de fase e espectro

de amplitude e frequência para o oscilador harmônico não linear com forçamento harmônico para 𝛽 = 0, 01 e 𝜀 = 1. . . . 35 Figura 30 – Sinal do deslocamento, sinal da velocidade, diagrama de fase e espectro

de amplitude e frequência para o oscilador harmônico não linear com forçamento harmônico para 𝛽 = 0, 01 e 𝜀 = 10. . . . 36 Figura 31 – Sinal do deslocamento, sinal da velocidade, diagrama de fase e espectro

de amplitude e frequência para o oscilador harmônico não linear com forçamento harmônico para 𝛽 = 1 e 𝜀 = 10. . . . 36 Figura 32 – Sinal do deslocamento, sinal da velocidade, diagrama de fase e

espec-tro de amplitude e frequência para o oscilador harmônico não linear amortecido com forçamento harmônico para 𝛽 = 10, 𝜀 = 10 e 𝜁 = 0, 5. . 37 Figura 33 – Sinal do deslocamento, sinal da velocidade, diagrama de fase e

espec-tro de amplitude e frequência para o oscilador harmônico não linear amortecido com forçamento harmônico para 𝛽 = 10, 𝜀 = 10 e 𝜁 = 1. . . 38

(9)

Figura 34 – Sinal do deslocamento, sinal da velocidade, diagrama de fase e espec-tro de amplitude e frequência para o oscilador harmônico não linear amortecido com forçamento harmônico para 𝛽 = 100, 𝜀 = 100 e 𝜁 = 0, 5. 39 Figura 35 – Sinal do deslocamento, sinal da velocidade, diagrama de fase e

espec-tro de amplitude e frequência para o oscilador harmônico não linear amortecido com forçamento harmônico para 𝛽 = 100, 𝜀 = 100, 𝜁 = 1 e

𝜔* = 2. . . 39

Figura 36 – Sinal do deslocamento, sinal da velocidade, diagrama de fase e espec-tro de amplitude e frequência para o oscilador harmônico não linear amortecido com forçamento harmônico para 𝛽 = 100, 𝜀 = 100, 𝜁 = 1 e 𝜔* = 9. . . 40

Figura 37 – Sinal do deslocamento, sinal da velocidade, diagrama de fase e espec-tro de amplitude e frequência para o oscilador harmônico não linear amortecido com forçamento harmônico para 𝛽 = 100, 𝜀 = 100, 𝜁 = 5 e 𝜔* = 9. . . 41

Figura 38 – Sinal do deslocamento, sinal da velocidade, diagrama de fase e espec-tro de amplitude e frequência para o oscilador harmônico não linear amortecido com forçamento harmônico para 𝛽 = 100, 𝜀 = 100, 𝜁 = 9 e 𝜔* = 9. . . 41

Figura 39 – Representação esquemática da bancada de ensaios. . . 44

Figura 40 – Talha de alavanca ancorada ao bloco fixo (ROCHA, 2006). . . 44

Figura 41 – Braço de alavanca (ROCHA, 2006). . . 45

Figura 42 – Da esquerda para a direita: célula de carga, grampo de ancoragem e polia de apoio. . . 45

Figura 43 – Grampo CGS.. . . 47

Figura 44 – Shaker eletromecânico. . . . 48

Figura 45 – Cabo enrolado na bobina (MIRANDA, 2017). . . 49

Figura 46 – Polias de apoio. . . 49

Figura 47 – Grampo CGS montado à bancada. . . 50

Figura 48 – Aplicação de pré carga usando tifor (ROCHA, 2006). . . 50

Figura 49 – Sistema de tracionamento do cabo por braço de alavanca (MIRANDA, 2017). . . 51

Figura 50 – Esquema da instrumentação dos acelerômetros sobre o cabo. . . 52

Figura 51 – Resultados experimentais para tensão aplicada no cabo de 15% do li-mite de ruptura e amplitude de 0,2 mm no acelerômetro 1. . . 55

Figura 52 – Resultados experimentais para tensão aplicada no cabo de 15% do li-mite de ruptura e amplitude de 0,4 mm no acelerômetro 1. . . 55

Figura 53 – Resultados experimentais para tensão aplicada no cabo de 15% do li-mite de ruptura e amplitude de 0,6 mm no acelerômetro 1. . . 56

Figura 54 – Resultados experimentais para tensão aplicada no cabo de 15% do li-mite de ruptura e amplitude de 0,8 mm no acelerômetro 1. . . 56

(10)

Figura 55 – Resultados experimentais para tensão aplicada no cabo de 15% do

li-mite de ruptura e amplitude de 1 mm no acelerômetro 1. . . 57

Figura 56 – Resultados experimentais para tensão aplicada no cabo de 20% do li-mite de ruptura e amplitude de 0,2 mm no acelerômetro 1 . . . 57

Figura 57 – Resultados experimentais para tensão aplicada no cabo de 20% do li-mite de ruptura e amplitude de 0,4 mm no acelerômetro 1 . . . 58

Figura 58 – Resultados experimentais para tensão aplicada no cabo de 20% do li-mite de ruptura e amplitude de 0,8 mm no acelerômetro 1 . . . 58

Figura 59 – Resultados experimentais para tensão aplicada no cabo de 20% do li-mite de ruptura e amplitude de 1 mm no acelerômetro 1 . . . 59

Figura 60 – Resultados experimentais para tensão aplicada no cabo de 25% do li-mite de ruptura e amplitude de 0,2 mm no acelerômetro 1 . . . 59

Figura 61 – Resultados experimentais para tensão aplicada no cabo de 25% do li-mite de ruptura e amplitude de 0,4 mm no acelerômetro 1 . . . 60

Figura 62 – Resultados experimentais para tensão aplicada no cabo de 25% do li-mite de ruptura e amplitude de 0,6 mm no acelerômetro 1 . . . 60

Figura 63 – Resultados experimentais para tensão aplicada no cabo de 25% do li-mite de ruptura e amplitude de 0,8 mm no acelerômetro 1 . . . 61

Figura 64 – Resultados experimentais para tensão aplicada no cabo de 25% do li-mite de ruptura e amplitude de 1 mm no acelerômetro 1 . . . 61

Figura 65 – Resultado para 𝛽 = 0, 007, 𝜀 = 0, 1 e 𝜁 = 0, 005. . . . 63

Figura 66 – Resultado para 𝛽 = 0, 015, 𝜀 = 0, 1 e 𝜁 = 0, 005. . . . 64

Figura 67 – Resultado para 𝛽 = 0, 022, 𝜀 = 0, 1 e 𝜁 = 0, 005. . . . 64

Figura 68 – Resultado para 𝛽 = 0, 03, 𝜀 = 0, 1 e 𝜁 = 0, 005.. . . 65

Figura 69 – Resultado para 𝛽 = 0, 038, 𝜀 = 0, 1 e 𝜁 = 0, 005. . . . 65

Figura 70 – Comparação do modelo (linha cheia) com os resultados experimentais (∙) para tensão de 15% do limite de ruptura aplicado no cabo. . . 66

Figura 71 – Comparação do modelo (linha cheia) com os resultados experimentais (∙) para tensão de 20% do limite de ruptura aplicado no cabo. . . 67

Figura 72 – Comparação do modelo (linha cheia) com os resultados experimentais (∙) para tensão de 25% do limite de ruptura aplicado no cabo. . . 67

Figura 73 – Formação das esteiras de Von Kárman em um escoamento de 𝑅𝑒 = 140 (DYKE; DYKE, 1982). . . 70

Figura 74 – Várias configurações das esteiras de Von Kárman em função do número de Reynolds. . . 71

Figura 75 – Modelo concentrado de um cilindro suspenso por quatro molas e sub-metido a um escoamento laminar de velocidade 𝑈 . . . . 72

Figura 76 – Modelo massa mola simplificando o sistema concentrado do cilindro.. . 73

Figura 77 – Resposta do modelo concentrado do cilindro para o caso subamortecido e parâmetro 𝜀 = 0, 01. . . . 77

(11)

Figura 78 – Resposta do modelo concentrado do cilindro para o caso critico amor-tecido e 𝜀 = 0, 01. . . . 78 Figura 79 – Resposta do modelo concentrado com excitação eólica para o caso de

𝜀 = 0, 01 e superamortecido. . . . 79 Figura 80 – Comparação das respostas assintótica e numéricas para uma unidade

de tempo adimensional fixa igual a 51, no caso de subamortecimento. . 80 Figura 81 – Comparação das respostas assintótica e numéricas para uma unidade

de tempo adimensional fixa igual a 51,no caso de amortecimento crítico. 81 Figura 82 – Comparação das respostas assintótica e numéricas para uma unidade

de tempo adimensional fixa igual a 51, no caso de super amortecimento. 81 Figura 83 – Resultados para 𝜀 = 0, 001, 𝜁 = 0, 05, 𝛼0 = 7, 𝛼1 = 7, 𝛼2 = 7 e 𝛾 = 0, 1. 84

Figura 84 – Resultados para 𝜀 = 0, 001, 𝜁 = 0, 05, 𝛼0 = 15, 𝛼1 = 15, 𝛼2 = 15 e 𝛾 = 1. 84

Figura 85 – Resultados para 𝜀 = 0, 001, 𝜁 = 0, 05, 𝛼0 = 22, 𝛼1 = 22, 𝛼2 = 22 e 𝛾 = 1. 85

Figura 86 – Resultados para 𝜀 = 0, 001, 𝜁 = 0, 05, 𝛼0 = 30, 𝛼1 = 30, 𝛼2 = 30 e 𝛾 = 1. 85

Figura 87 – Resultados para 𝜀 = 0, 001, 𝜁 = 0, 05, 𝛼0 = 38, 𝛼1 = 38, 𝛼2 = 38 e 𝛾 = 1. 86

Figura 88 – Diagrama de corpo livre da corda vibrante.. . . 88 Figura 89 – Diagrama de corpo livre do cabo vibrante. . . 90 Figura 90 – Condição inicial para o cabo vibrante. . . 94 Figura 91 – Respostas no ponto 0,5 da corda vibrante livre ao longo do tempo.

Resposta é o somatório de 𝑛 = 10 modos. . . . 97 Figura 92 – Respostas no ponto 0,25 da corda vibrante livre ao longo do tempo.

Resposta é o somatório de 𝑛 = 10 modos. . . . 97 Figura 93 – Respostas no ponto 0,167 da corda vibrante livre ao longo do tempo.

Resposta é o somatório de 𝑛 = 10 modos. . . . 98 Figura 94 – Forma da corda vibrante livre no tempo adimensional de 37. Resposta

é o somatório de 𝑛 = 10 modos. . . . 99 Figura 95 – Forma da corda vibrante livre no tempo adimensional de 500. Resposta

é o somatório de 𝑛 = 10 modos. . . . 99 Figura 96 – Forma da corda vibrante livre no tempo adimensional de 624. Resposta

é o somatório de 𝑛 = 10 modos. . . . 100 Figura 97 – Respostas no ponto 0,5 do cabo vibrante ao longo do tempo quando

sujeito a um impulso do tipo delta de Dirac. Resposta é o somatório de 𝑛 = 10 modos. . . . 102 Figura 98 – Respostas no ponto 0,2 do cabo vibrante ao longo do tempo quando

sujeito a um impulso do tipo delta de Dirac. Resposta é o somatório de 𝑛 = 10 modos. . . . 103 Figura 99 – Respostas no ponto 0,05 do cabo vibrante ao longo do tempo quando

sujeito a um impulso do tipo delta de Dirac. Resposta é o somatório de 𝑛 = 10 modos. . . . 103 Figura 100 – Forma da corda vibrante excitada por impulso no tempo adimensional

(12)

Figura 101 – Forma da corda vibrante excitada por impulso no tempo adimensional de 62. Resposta é o somatório de 𝑛 = 10 modos. . . . 104

(13)

Lista de Tabelas

Tabela 1 – Tabela com valores das respostas e erros associados para cada 𝜀. . . . . 11 Tabela 2 – Erro entre a resposta aproximada sem o método de Poincaré-Lindstedt

e a numérica para tempo fixo de 12,6. . . 23 Tabela 3 – Erro entre a resposta aproximada pelo método de Poincaré-Lindstedt

e a numérica para tempo fixo de 12,6. . . 23 Tabela 4 – Tabela com as propriedades relevantes do condutor. . . 46 Tabela 5 – Tabela com algumas propriedades do grampo de ancoragem. . . 47 Tabela 6 – Tabela relacionando nível de tensão aplicada sobre o condutor, valores

de 𝑌𝑏, locação dos acelerômetros e frequência de excitação. . . 53 Tabela 7 – Valores de 𝛽 correspondentes a amplitude de controle no acelerômetro 1 62 Tabela 8 – Tabela com os parâmetros do modelo concentrado calculados a partir

dos dados do cabo usado nos experimentos. . . 83 Tabela 9 – Valores de 𝛼 correspondentes a amplitude de excitação adimensional . 83 Tabela 10 – Amplitudes máximas alcançadas pelos dois modelos concentrados. . . . 86 Tabela 11 – Tabela com os valores dos parâmetros do cabo usado nos experimentos

para calcular 𝐸𝐼

𝐿2𝑇. . . 92

Tabela 12 – Tabela com os valores calculados de 𝑐* a partir dos parâmetros do cabo usado no ensaio experimental. . . 96

(14)

Lista de abreviaturas e siglas

EDO Equação Diferencial Ordinária EDP Equação Diferencial Parcial

VIV Vibração Induzida por Vórtice (Vortex-Induced Vibration) FIV Vibração Induzida por Escoamento (Flow-Induced Vibration) MIE Excitação Induzida por Movimento (Movement Induced Excitation) RWIV Vibração Induzida por Chuva de Vento (Rain-Wind Induced Vibration) FFT Transformada Rápida de Fourier (Fast Fourier Transform)

UTS Limite de Ruptura (Ultimate Tensile Strength) CGS Cushion Grip Suspensions

(15)

Lista de símbolos

𝛼 Coeficientes empíricos do polinômio que define 𝐶𝐿

𝛽 Amplitude adimensional da excitação harmônica

𝛿 Deslocamento vertical adimensional

𝛿𝑑 Delta de Dirac

𝜑 Ângulo de fase

𝜀 Parâmetro adimensional da expansão assintótica

𝛾 Densidade linear

𝜁 Coeficiente de amortecimento

𝜈 Viscosidade cinemática

𝜔* Frequência adimensional

𝜔𝑟 Razão entre a frequência de espalhamento de vórtices a natural do

sistema do cilindro

𝜔𝑛 Frequência natural

𝜔𝑠 Frequência de espalhamento de vórtices

Ω Frequência de excitação

𝜃 Ângulo

𝜏 Variável adimensional do tempo

𝜋 Número Pi (=3,14...)

𝜌 Massa específica

𝜌𝑎𝑟 Massa específica do ar

𝜌𝑐𝑖𝑙 Massa específica do cilindro

(16)

𝐴 Deslocamento inicial Amplitude da excitação harmônica

𝐶𝐿 Coeficiente de sustentação adimensional para o problema do cilindro

𝑐* Velocidade adimensional de propagação da onda na corda

𝑅𝑒 Número de Reynolds

𝑆ℎ Número de Strouhal

𝑣* Velocidade adimensional

𝑡* Tempo adimensional

𝑥* Posição horizontal adimensional

𝑎 Raio do cilindro

𝐶 Amortecimento

𝑐 Velocidade de propagação da onda ao longo do comprimento

𝐸 Módulo de Elasticidade

Densidade linear de forças externas atuantes na corda

𝐼 Momento de inércia

𝐿 Comprimento

𝑘 Coeficiente elástico

𝑘* Coeficiente elástico não linear

𝑘𝑒𝑞 Coeficiente elástico equivalente

𝑘𝑚𝑜𝑙𝑎 Coeficiente elástico da mola

𝑀 Momento fletor

𝑚 Massa

𝑣 Velocidade adimensional

𝑇 Forças de tração sobre um cabo

𝑡 Tempo

𝑈 Velocidade do escoamento

𝑢 Velocidade adimensional para o oscilador não linear

(17)

𝑦 Posição vertical no plano cartesiano

(18)

Sumário

1 INTRODUÇÃO. . . . 1

1.1 Tipo de vibração em linhas de transmissão . . . 3

1.1.1 Oscilações de sub-linhas . . . 3 1.1.2 Galope . . . 3 1.1.3 Vibrações eólicas . . . 3 1.2 Objetivos . . . 4 1.3 Metodologia . . . 4 1.4 Estrutura do Relatório . . . 5

2 ESTUDO DO MÉTODO DAS PERTURBAÇÕES . . . . 6

2.1 Método das Perturbações . . . 6

2.2 Movimento em meio resistivo. . . 7

2.3 Oscilador não linear . . . 12

2.3.1 Aplicando o método das perturbações . . . 12

2.3.2 Método Poincaré-Lindstedt . . . 15

2.3.3 Comparação do método das perturbações sem e com Poincaré-Lindstedt . . 20

3 MODELO CONCENTRADO - OSCILADOR NÃO LINEAR COM FORÇAMENTO HARMÔNICO . . . 25

3.1 Equacionamento do modelo e adimensionalização . . . 25

3.2 Metodologia . . . 27

3.3 Runge-Kutta de 4a ordem para solucionar o oscilador não linear amortecido . . . 27

3.4 Resultados e análise . . . 28

3.4.1 Análise do oscilador linear não amortecido com forçamento externo. . . 28

3.4.2 Análise do oscilador não linear não amortecido . . . 31

3.4.3 Análise do oscilador não linear não amortecido com forçamento externo . . 32

3.4.4 Análise do oscilador não linear amortecido e forçado. . . 37

3.4.4.1 Caso subamortecido . . . 37

(19)

3.4.4.3 Caso superamortecido . . . 40

4 METODOLOGIA EXPERIMENTAL . . . 43

4.1 Bancada Experimental . . . 43

4.2 Materiais Utilizados no Ensaio . . . 46

4.2.1 Cabo condutor . . . 46 4.2.2 Grampo de suspensão. . . 46 4.2.3 Grampo de Ancoragem . . . 47 4.2.4 Shaker Eletromecânico . . . 47 4.2.5 Sensores. . . 48 4.3 Procedimento Experimental. . . 48 4.3.1 Montagem da amostra . . . 48 4.3.2 Metodologia experimental . . . 51

5 RESULTADOS EXPERIMENTAIS E COMPARAÇÃO COM O MODELO CONCENTRADO. . . 54

5.1 Resultados a partir dos dados experimentais do cabo . . . 54

5.2 Resultados do modelo concentrado ajustado aos parâmetros do cabo 63 5.3 Comparando o modelo concentrado e os resultados experimentais . 66 6 MODELO CONCENTRADO DO MOVIMENTO VIBRATÓ-RIO DE UM CILINDRO SUBMETIDO A UM ESCOAMENTO EÓLICO . . . 69

6.1 Vibração induzida por vórtices (VIV) . . . 69

6.2 Modelo do cilindro submetido a um escoamento transversal . . . 72

6.3 Solução pelo método das perturbações . . . 75

6.4 Excitação eólica como polinômio de segunda ordem . . . 79

6.5 Soluções do modelo concentrado do cilindro usando parâmetros de cabos reais. . . 82

7 MODELO DO CABO VIBRANTE . . . 87

7.1 Equação da onda . . . 87

7.2 Equação do movimento vibratório do cabo . . . 89

7.3 Solução da equação do cabo vibrante no caso homogêneo . . . 93

7.3.1 Resultados gráficos para a solução homogênea do problema do cabo vibrante 96 7.4 Solução da equação do cabo vibrante no caso de haver uma exci-tação do tipo impulso delta de Dirac . . . 100

7.4.1 Resultados gráficos para a solução do problema do cabo vibrante excitado com uma função impulso . . . 102

8 CONCLUSÕES . . . 106

(20)

REFERÊNCIAS . . . 109

ANEXOS

111

ANEXO A – CÁLCULOS PARA A SOLUÇÃO EXATA DO

PRO-BLEMA DE UMA PARTÍCULA EM MEIO RESISTIVO112

ANEXO B – CÁLCULOS PARA ENCONTRAR A SOLUÇÃO DA EDO ORIUNDA DA EXPANSÃO ASSINTÓTICA PARA

O PROBLEMA DO OSCILADOR NÃO LINEAR . . . 114

ANEXO C – SOLUÇÃO ANALÍTICA PARA O FORÇADOR HARMÔ-NICO LINEAR . . . 116

(21)

1 INTRODUÇÃO

Estruturas de seção circular são comumente submetidas a esforços cíclicos causados por um escoamento transversal. Por causa do descolamento da camada limite a jusante do corpo, uma esteira de vórtices de Kárman ocorre (Fig.1). Sua configuração alternada é responsável por um forçamento periódico na estrutura. A emissão desses vórtices é mais forte na faixa do número de Reynolds (𝑅𝑒) de aproximadamente 60 a 500 (RAO,2009) e (DALTON, 2013).

Figura 1 – Foto ilustrativa de uma esteira de vórtices em um escoamento entorno de um cilindro (DYKE; DYKE, 1982).

Esse fenômeno de interação estrutura e esteira de vórtices é de extremo interesse em diferentes campos da engenharia. Sua relevância pode ser notada, por exemplo, em tubos de transferência de calor; tubos ascendentes de transporte de óleo de reservatórios a alto mar até a superfície; periscópios submarinos; pontes e cabos de transmissão de energia elétrica. Este último caso é o de interesse do atual projeto e é de extrema importância, uma vez que as vibrações eólicas podem provocar excitação nos cabos de frequência próxima a natural, levando a falha por fadiga da estrutura, geralmente na região de fixação dos cabos às torres de transmissão (Fig.2) ou grampos de apoio.

(22)

Figura 2 – Imagem ilustrativa de linhas de transmissão de energia elétrica.

Diversos estudos já foram realizados para investigar o problema, abordando dife-rentes tipos de metodologia. Para citar algumas delas, destaca-se: a) o estudo do modelo concentrado do cabo por um cilindro, fixado na extremidade por quatro molas, subme-tido a um escoamento transversal de ar em túnel de vento (GARCIA; CUNHA, 2007); b) a simulação de cabos reais em uma bancada de ensaios, como a ilustrada na Fig. 3, que possui excitadores eletromecânicos (shakes) que excitam o cabo com um forçamento programável em computador (MIRANDA,2017). Esses experimentos são muito utilizados para verificar a característica da fratura que leva o cabo ao rompimento e seu tempo de vida de fadiga.

Figura 3 – Bancada para ensaio de cabos (cortesia do Laboratório de Fadiga e Integridade Estrutural de Cabos Condutores de Energia FaculIntegridade de Tecnologia -Departamento de Engenharia Mecânica - Universidade de Brasília).

(23)

1.1

Tipo de vibração em linhas de transmissão

Segundo (HADULLA, 2000), existem três tipos principais de oscilação em redes de transmissão elétrica causados por ação do vento. São elas: oscilações de sub-linhas, galope e vibrações eólicas.

1.1.1

Oscilações de sub-linhas

Oscilações de sub-linhas ocorrem somente em feixes de cabos, de forma que o cabo central oscila devido ao escoamento não homogêneo provocado pelos cabos anteriores. A frequência de excitação desse tipo de oscilação está entre 1 e 15 Hz e o comprimento de onda é da ordem de grandeza da distância entre um condutor e outro. Os ventos que provocam essa espécie de oscilação possuem velocidade na faixa de 4 a 18 m/s e podem causar diferentes tipos de modos de oscilação. A amplitude de oscilação depende do modo de oscilação e pode alcançar até metade da distância entre os condutores, chegando a causar o rompimento deles. Oscilações de sub-linhas são consideradas como vibrações induzidas pelo escoamento (FIV).

1.1.2

Galope

Oscilações por galope ocorrem quando há formação de gelo entorno do condutor, o que modifica o perfil da seção transversal, que é aerodinamicamente instável e assimétrico. Nesse perfil, uma força aerodinâmica transversal e não estacionária age na direção de movimento do cabo, excitando-o continuamente, podendo levar o cabo ao rompimento quando atinge altas amplitudes de oscilação. Os ventos que causam esse tipo de oscilação atingem velocidades na faixa de 6 a 25 m/s, causando oscilações de frequência menores que 1 Hz. Galope de um condutor é considerada como FIV com excitação induzida por movimento (MIE).

1.1.3

Vibrações eólicas

Vibrações eólicas ocorrem quando os ventos apresentam estrutura laminar e alcan-çam velocidades entre 5 m/s e 10 m/s. São caracterizadas por um movimento de baixa amplitude e alta frequência, tipicamente entre 5 a 100 Hz, e as amplitudes de vibração po-dem chegar a ser da mesma orpo-dem do diâmetro do cabo. Segundo (MEIER-WINDHORST, 1939) e (CIGRE, 1998), essas vibrações pertencem ao grupo de vibrações induzida por vórtice (VIV) e é da interesse no trabalho.

Existem ainda outros tipos de vibrações induzidas por ventos em cabos, cujos fenômenos físicos envolvidos são mais complexos, como as vibrações induzidas por chuva

(24)

de vento (RWIV). Esse fenômeno é investigado por (JING et al.,2017) e (SEIDEL; DIN-KLER, 2006), o qual consiste em uma combinação do efeito de galope com a excitação causada pela emissão de vórtices. O perfil formado pela película de água ao redor do cabo é aerodinamicamente instável e varia á medida que os vórtices são formados, tornando o problema difícil de se descrever.

1.2

Objetivos

O presente projeto tem por objetivo estudar a dinâmica da oscilação de cabos transmissores de energia elétrica por meio de modelos concentrados que possam capturar bem o fenômeno oscilatório em um ponto do condutor.

Os objetivos específicos são:

∙ Obter soluções analíticas aproximadas para valores de um parâmetro adimensional muito menor que a unidade;

∙ Estudar o modelo do oscilador harmônico não linear em condições que variam de lineares para altamente não lineares;

∙ Realizar o estudo de um modelo mais completo de equação de onda.

1.3

Metodologia

Para a realização dos objetivos, seguiram-se as seguintes metodologias:

∙ Estudar o método das pertubações para aplicá-lo aos modelos concentrados propos-tos;

∙ Gerar soluções usando um método numérico de Runge-Kutta de 4a ordem para o

modelo concentrado do oscilador harmônico não linear;

∙ Obter dados experimentais de deslocamento por tempo em pontos específicos de um cabo real, na bancada de ensaios do Laboratório de Fadiga e Integridade Estrutural de Cabos Condutores de Energia, da Universidade de Brasília, para depois poder ajustar o modelo concentrado do oscilador harmônico não linear e obter respostas que se aproximem do observado experimentalmente;

∙ Propor um modelo concentrado de oscilador harmônico com uma excitação externa do tipo eólica, obtido a partir do modelo de um cilindro submetido a um escoamento laminar transversal de velocidade 𝑈 ;

(25)

∙ Por fim, desenvolver um modelo mais completo de cabo vibrante e obter a solução para o caso homogêneo e para quando existir uma excitação externa.

1.4

Estrutura do Relatório

O relatório começa introduzindo, no Capítulo 2, o estudo que se realizou sobre o método das perturbações, para poder aplicá-lo ao modelo concentrado do oscilador harmônico não linear, o qual é bastante explorado no Capítulo3. No Capítulo4, descreve-se a metodologia experimental do ensaio de cabos do qual descreve-se aproveitou os dados de deslocamento por tempo, que foram tratados e discutidos no Capitulo5, em que também se ajusta o modelo concentrado a condições próximas à experimental, gerando-se resultados que foram comparados aos experimentais.

Depois, é proposto no Capítulo 6 o modelo concentrado derivado do problema de um cilindro suspenso por quatro molas e submetido a um escoamento transversal. Essa parte é a que tem relação mais estreita com o fenômeno de vibrações eólicas. O trabalho então se encerra nos capítulos 7 e 8, propondo-se o modelo do cabo vibrante, obtendo soluções em dois casos diferentes do problema, e tecendo considerações e conclusões finais, além de propostas para futuros trabalhos que sigam essa linha de estudo da dinâmica da oscilação em cabos de transmissão de energia elétrica.

(26)

2 Estudo do método das

perturbações

Nesse capítulo, é descrito o estudo que se realizou a respeito do método das pertur-bações utilizando dois problemas: o de uma partícula se movendo em um meio resistivo e outro de um oscilador harmônico não linear. O objetivo é se familiarizar com a aplicação do método para depois usá-lo na solução do modelo concentrado do cilindro submetido a um escoamento transversal. O modelo do oscilador não linear permite também aplicar o método de Poincaré-Lindstedt, que vem a complementar o método assintótico quando este apresenta uma solução que diverge rapidamente da resposta exata do problema. Além disso, esse modelo servirá de base para se construir um mais completo, adicionando-se uma excitação externa e um amortecimento.

2.1

Método das Perturbações

O método das pertubações é possível quando existe, no problema, algum parâmetro pequeno (HINCH, 1991). Esse método de aproximação analítico vem complementar os métodos numéricos, como por exemplo o Runge-Kutta (adotado no projeto), a partir do momento que os validam para boas aproximações, como se há de demostrar. É um método largamente utilizado em diversas situações, desde a solução de equações algébricas até problemas de camada limite, em Mecânica dos Fluidos (DYKE, 1964). Para ilustrar o procedimento do método, suponha a seguinte equação diferencial

𝐹 (𝑡, 𝑦, 𝑦, 𝑦′′, 𝜀) = 0, 𝑡 ∈ 𝐼, (2.1) em que 𝑡 é a variável independente, 𝐼 é um intervalo do domínio, 𝑦 é a variável dependente e 𝜀 é um parâmetro explícito muito menor que a unidade, ou seja, 𝜀 ≪ 1. O método também admite parâmetros grandes, como 𝜆 ≫ 1, fazendo-se 𝜀 = 1/𝜆 ≪ 1. Assim sendo, é possível fazer uma expansão assintótica da solução (HINCH, 1991), que consiste em fazer

𝑦(𝑡) =

∑︁

(27)

Considerando-se essa a solução da equação diferencial, chega-se aos termos 𝑦0, 𝑦1,

𝑦2, ... se substituindo (2.2) em (2.1). Em geral, os primeiros termos da série são suficientes

para uma boa aproximação, uma vez que se assume 𝜀 como um número arbitrário muito menor que a unidade, o que faz com que os termos de ordem mais alta de (2.2) tendam a zero. O termo 𝑦0 da série é chamado de principal, dado que é a solução do problema não

perturbado, ou seja,

𝐹 (𝑡, 𝑦, 𝑦, 𝑦′′, 0) = 0, 𝑡 ∈ 𝐼, (2.3) em que 𝜀 = 0. Os demais termos 𝜀𝑦1, 𝜀2𝑦2, ... são de ordem alta e tendem a ser pequenos.

Uma abordagem somente pelo método das perturbações, em alguns casos, não é suficiente para se chegar a uma boa aproximação, podendo-se até chegar em uma apro-ximação falha. Isso pode acontecer caso o termo principal esteja mal colocado ou se a solução é válida em um intervalo restrito do domínio. Com isso, é necessário alterar a abordagem do problema por outros caminhos, que pertencem à classe de perturbação regular. O método Poincaré-Lindstedt (LOGAN, 2013) é uma dessas formas alternativas abordada na seção2.3.2.

Em suma, o método das perturbações traz uma solução aproximada de problemas com algum parâmetro pequeno, muito menor que a unidade, através de uma expansão assintótica, cujos primeiros termos são, em geral, suficientes para uma boa aproximação.

2.2

Movimento em meio resistivo

O modelo proposto nessa seção é somente um ponto de partida para o estudo do método assintótico, não tendo uma relação física com o objeto principal do projeto, que é o estudo da dinâmica da oscilação em cabos de rede elétrica quando submetidos a excitações externas. Foi um treinamento que se realizou para se entender melhor o método das perturbações e sua aplicação, para posteriormente usá-lo nos modelos que realmente têm relação com o problema principal da pesquisa.

Posto isso, o problema consiste em uma partícula de massa 𝑚 se movendo com velocidade inicial 𝑉0 em um meio resistivo, cujas forças viscosas apresentam magnitude

de 𝑎𝑣 − 𝑏𝑣2, em que 𝑣 = 𝑣(𝑡) é a velocidade do objeto ao longo do tempo 𝑡. As constantes

𝑎 e 𝑏 são arbitrárias e para o problema escolheu-se 𝑏 << 𝑎, implicando que a parcela

não linear da força é muito menor que a linear. Pela Segunda Lei de Newton, a equação governante é expressa por:

𝑚𝑑𝑣

𝑑𝑡 = −𝑎𝑣 + 𝑏𝑣

2; 𝑣(0) = 𝑉

0 (2.4)

Para adimensionalizar a equação, determinou-se os parâmetros característicos como sendo: 𝑣𝑐= 𝑉0 e 𝑡𝑐=

𝑚

(28)

𝑣* = 𝑣 𝑉0 ; 𝑡* = 𝑚𝑡 𝑎 Substituindo em (2.4), tem-se: 𝑑𝑣* 𝑑𝑡* = −𝑣 * + 𝜀𝑣*2, 𝑡* > 0, 𝑣*(0) = 1, (2.5) em que 𝜀 ≡ 𝑏𝑉0 𝑎 ≪ 1.

A equação diferencial (2.5)pode ser resolvida analiticamente, chegando-se à solução exata (AnexoA):

𝑣𝑒𝑥* = 𝑒

−𝑡* 1 + 𝜀(𝑒−𝑡*

− 1). (2.6)

Mas pela presença do termo 𝜀, que pode ser muito menor que a unidade, é possível utilizar o método da pertubação para achar uma solução aproximada e avaliar para quais valores de 𝜀 a aproximação seria satisfatória.

Aplicando o método da pertubação, segue:

𝑣* = 𝑣0*(𝑡*) + 𝜀𝑣1*(𝑡*) + 𝜀2𝑣*2(𝑡*) + · · · (2.7) Substituindo (2.7) em (2.5) (tanto na equação diferencial quanto na condição inicial), tem-se

̆

𝑣0*+ 𝜀 ̆𝑣1*+ 𝜀2𝑣̆2*+ · · · = −(𝑣0*+ 𝜀𝑣1*+ 𝜀2𝑣*2+ · · · ) + 𝜀(𝑣0*+ 𝜀𝑣1*+ 𝜀2𝑣2*+ · · · )2 (2.8) cujos termos podem ser separados de acordo com as potências de 𝜀, gerando o seguinte sistema de equações diferenciais

̆ 𝑣* 0 = −𝑣 * 0, (2.9) ̆ 𝑣1* = −𝑣1*+ ̆𝑣*02, (2.10) ̆ 𝑣2* = −𝑣2*+ 2 ̆𝑣*0𝑣̆*1, · · · (2.11) As condições iniciais ficam,

𝑣*0(0) + 𝜀𝑣1*(0) + 𝜀2𝑣*2(0) + · · · = 1, (2.12) no que implica

𝑣*0(0) = 1, (2.13)

𝑣*1(0) = 𝑣2*(0) = · · · = 0. (2.14)

Assim, basta resolver as três equações diferenciais separadamente, cujas soluções compõem a solução aproximada para 𝑂(𝜀2),

(29)

Expandindo-se (2.6) em série de Taylor em torno de 𝜀 = 0, chega-se à conclusão de que (2.15) corresponde aos três primeiros termos desta expansão. Assim, o erro entre as duas soluções seria dado por:

𝑣𝑒𝑥* − 𝑣𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥* = 𝑚1(𝑡)𝜀3+ 𝑚2(𝑡)𝜀4+ ..., 𝑡 > 0, (2.16)

em que 𝑚1 e 𝑚2 são funções relacionadas às ordens 3 e 4 de 𝜀. A partir de (2.16),

observa-se que à medida que 𝜀 → 0, para um tempo adimensional fixado, 𝜀3 tende a zero muito

mais rápido, no que implica em um erro muito pequeno. Porém, se 𝜀 se aproxima da unidade, o erro deixa de ser desprezível.

A fim de se observar graficamente o comportamento das respostas exata (solução analítica) e aproximada (solução pelo método das perturbações) para 𝜀 ≪ 1 e 𝜀 → 1, plotou-se 3 gráficos, comparando-se as duas respostas para 𝜀 = 0, 01, 𝜀 = 0, 1 e 𝜀 = 0, 5.

Figura 4 – Comparação das respostas exata e aproximada para 𝜀 = 0, 01.

(30)

Figura 6 – Comparação das respostas exata e aproximada para 𝜀 = 0, 5.

Observa-se que, na Figura6, as duas soluções já se distanciam bastante, enquanto que nas Figuras 4e 5 a diferença é quase imperceptível.

A partir desses gráficos já foi possível evidenciar que, à medida que 𝜀 se aproxima da unidade, o método da pertubação se torna inválido, fazendo-se necessário o uso da resposta analítica para resolver o problema.

Para evidenciar a diferença entre a solução dada pelo método e a analítica, plotou-se um gráfico que compara as duas soluções para valores crescentes de 𝜀, em um tempo adimensional fixado. Foi também elaborado um Runge-Kutta de 4a ordem, no Matlab,

para obter uma solução numérica do problema e mostrar que o código elaborado foi consistente, validando seu uso para os próximos problemas. O método foi calibrado a partir da resposta exata, verificando-se qual passo de tempo seria suficiente para gerar bons resultados. Assim, o Runge-Kutta foi elaborado com passo de tempo adimensional de 0,1.

(31)

Figura 7 – Comparação das respostas analítica e aproximada para diferentes valores de 𝜀 e tempo adimensional fixo de 2.

Pela Figura 7, nota-se novamente que quanto maior 𝜀, as duas respostas se dis-tanciam. Também, a solução numérica não diverge para qualquer 𝜀 da solução exata, validando o método numérico. A partir dos dados pelos quais se gerou o gráfico, é possí-vel aferir o erro entre as duas soluções. Com isso, a Tabela1foi montada, apresentando-se, para alguns valores de 𝜀, o erro absoluto e relativo entre 𝑣*

𝑒𝑥 e 𝑣*𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥.

Tabela 1 – Tabela com valores das respostas e erros associados para cada 𝜀.

𝜀 𝑣*𝑒𝑥 𝑣𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥* Erro absoluto Erro relativo(%) 0,01 0,3033 0,3032 4, 22×10−5 0,014 0,05 0,311 0,312 0,001 0,34 0,10 0,324 0,319 0,004 1,33 0,15 0,336 0,320 0,010 2,93 0,20 0,350 0,332 0,018 5,08 0,25 0,365 0,337 0,028 7,74 0,30 0,381 0,340 0,041 10,86 0,35 0,399 0,341 0,057 14,40

Nota-se que, para 𝜀 = 0, 01, a diferença entre as duas respostas está na quarta casa decimal e os erros relativo e absoluto confirmam que o uso da solução aproximada pelo método das perturbações é muito bom. Até 𝜀 = 0, 1, pode-se dizer que é aceitável o uso da aproximação, dado que a diferença está na terceira casa decimal e o erro relativo

(32)

ainda é baixo. Porém, dessa faixa em diante, dependendo do problema de engenharia que se aborda, a solução aproximada já deixa de ser aceitável, com o erro absoluto na segunda casa decimal e o erro relativo crescendo mais, aproximando-se da ordem dos 10%. Quando

𝜀 = 0.35, a diferença já está quase na primeira casa decimal, divergindo muito as soluções.

2.3

Oscilador não linear

O problema agora, que já possui uma relação com o escopo principal do projeto, descreve um sistema oscilatório massa mola, com uma massa 𝑚, uma força de restituição elástica não linear, dada por 𝑘𝑦 + 𝑎𝑦3, em que 𝑦 é o deslocamento da massa e não há

nenhum amortecimento.

Supondo-se que, no coeficiente de restituição, a parte não linear é muito menor que a unidade, ou seja, 𝑎 ≪ 𝑘, e que o sistema inicia o movimento em 𝑦 = 𝑦0, pode-se

escrever a equação regente do movimento, através da segunda lei de Newton, como

𝑚𝑑

2𝑦

𝑑𝑡2 = −𝑘𝑦 − 𝑎𝑦

3, 𝑡 > 0 (2.17)

e as condições iniciais como

𝑦(0) = 𝑦0,

𝑑𝑦

𝑑𝑡(0) = 0. (2.18)

Devido ao termo não linear 𝑎𝑦3, não é possível encontrar uma solução exata do

problema. Então, um método numérico se faz necessário e, pela hipótese 𝑎 ≪ 𝑘, o mé-todo das perturbações é conveniente. Adimensionalizando-se (2.17), definiu-se um tempo característico 𝑡* = √︁ 𝑡

𝑚/𝑘, em que

√︁

𝑚/𝑘 = 1 𝜔0

e 𝜔0 é a frequência natural do sistema, e

um deslocamento característico, pela condição inicial do problema (equação2.18), como sendo 𝑢 = 𝑦

𝑦0

. Fazendo-se a devida substituição desses termos adimensionais em (2.17) e (2.18), chega-se a ̈ 𝑢 + 𝑢 + 𝜀𝑢3 = 0, 𝑡* > 0, (2.19) 𝑢(0) = 1, ̆𝑢(0) = 0, (2.20) em que 𝜀 ≡ 𝑎𝑦 2 0 𝑘 ≪ 1 é o parâmetro adimensional.

2.3.1

Aplicando o método das perturbações

Com o problema adimensionalizado, seguiu-se com a aplicação do método da per-tubação, cuja solução é dada pela série

(33)

Substituindo em (2.19), segue que: ̈

𝑢0+ 𝜀̈𝑢1+ 𝜀2𝑢̈2+ · · · = −𝑢0− 𝜀𝑢1− 𝜀2𝑢2+ · · · − 𝜀(𝑢𝑜+ 𝜀𝑢1+ 𝜀2𝑢2+ · · · )3. (2.22)

Agrupando em potências de 𝜀, até 𝑂(𝜀), tem-se: ̈

𝑢0 = −𝑢0, 𝑢0(0) = 1, ̆𝑢0(0) = 0; (2.23)

̈

𝑢1 = −𝑢1− 𝑢30, 𝑢0(0) = 0, ̆𝑢1(0) = 0. (2.24)

A solução de (2.23) é facilmente determinada analiticamente, obtendo-se

𝑢0(𝑡*) = cos 𝑡*. (2.25)

Substituindo-se a solução de (2.25) em (2.24), segue a equação diferencial ̈

𝑢1+ 𝑢1 = − cos3𝑡*, (2.26)

que pode também ser facilmente determinada encontrando-se uma solução homogênea e outra particular, pelo método dos coeficientes indeterminados (cálculos completos no AnexoB). Assim, a solução de (2.26) é

𝑢1 = 1 32(cos 3𝑡 *− cos 𝑡* ) −3 8𝑡 * sin 𝑡*. (2.27)

A solução aproximada pelo método, para ordem 𝑂(𝜀), é a soma de (2.25) e (2.27), que resulta em 𝑢𝑎= cos 𝑡*+ 𝜀 [︂ 1 32(cos 3𝑡 *− cos 𝑡* ) −3 8𝑡 * sin 𝑡* ]︂ . (2.28)

Por se tratar de um sistema oscilatório não amortecido, espera-se que a resposta seja um sinal senoidal de amplitude constante, na parte permanente, ou seja, o desloca-mento da massa nunca tenderá a 0 ou muito menos tenderá a uma amplitude infinita. Contudo, por2.28, observa-se que o termo 3

8𝑡

*, que surge da solução particular da EDO

(Anexo C), faz com que as amplitudes cresçam à medida que o tempo se desenvolve, independente de 𝜀 ser pequeno. Tal termo é chamado de secular (LOGAN,2013) e devido a sua presença a resposta encontrada pelo método não é consistente com a realidade do sistema físico.

Para se comparar o comportamento real do sistema com o sinal gerado pela apro-ximação analítica, desenvolveu-se, no Matlab, um Runge-Kutta de 4a ordem, a fim de

gerar a resposta numérica para o sistema. Adotou-se, para tanto, um passo de tempo de 0, 1 (na escala adimensional), de acordo com a avaliação do método numérico feita na seção2.2.

As Figuras8,9e10mostram os resultados gerados pelo programa, comparando-se os gráficos da resposta numérica com a aproximada para os mesmos valores de 𝜀 escolhidos na seção 2.2.

(34)

Figura 8 – Comparação da resposta aproximada e numérica para 𝜀 = 0, 01

(35)

Figura 10 – Comparação da resposta aproximada e numérica para 𝜀 = 0, 5

Para 𝜀 = 0, 01 e um tempo adimensional em torno de 21, já se observa que a solução aproximada começa a divergir da numérica, sendo válida então para um intervalo de tempo restrito. Para 𝜀 = 0, 1 a divergência começa muito mais cedo, sendo o intervalo de validade muito menor, enquanto que para 𝜀 = 0, 5 as duas respostas são quase que absolutamente discrepantes. Observa-se, então, que a solução aproximada pode descrever adequadamente o problema para 𝑡* ∈ [0, 𝑇 ], em que 𝑇 é um limite de tempo a partir do qual a aproximação deixa de ser boa, e que esse intervalo de tempo [0, 𝑇 ] é menor à medida que 𝜀 cresce e se aproxima da unidade.

Assim, o uso do método das perturbações para esse problema é bastante restrito. Contudo, é possível contornar os termos seculares pela aplicação de outro método que vem a complementar o da perturbação.

2.3.2

Método Poincaré-Lindstedt

O chamado método de Poincaré-Lindstedt tem por princípio uma mudança de variável no tempo, com o intuito de suprimir os termos seculares que surgem na solução das equações diferenciais no método das perturbações (LOGAN, 2013). Assim sendo, a variável de tempo adimensional é expressa em termos de 𝜏 da seguinte forma:

𝜏 = 𝑡*𝜔*, (2.29) em que 𝜏 e 𝜔* são variáveis adimensionais do tempo e da frequência, respectivamente. Além disso, 𝜔* pode ser expresso em uma série assintótica, como segue abaixo:

𝜔* = 𝜔0*+ 𝜀𝜔1*+ 𝜀2𝜔2*+ · · · (2.30) em que 𝜔*0 = 1, pois 𝜔*é a razão entre uma frequência expandida (𝜔 = 𝜔0+𝜀𝜔1+𝜀2𝜔2+· · · )

(36)

Como ̈𝑢 = 𝑑

2𝑢

𝑑𝑡*2 e 𝑡 * = 𝜏

𝜔* por (2.29), substituindo, tem-se que

𝑑2𝑢 𝑑𝑡*2 = 𝜔2 𝑑 2𝑢 𝑑𝜏2 = 𝜔 2𝑢̈ e, portanto, 𝜔2𝑢 + 𝑢 + 𝜀𝑢̈ 3 = 0, 𝜏 > 0, (2.31) 𝑢(0) = 1, ̆𝑢(0) = 0. (2.32) Agora, aplicando-se o método das perturbações substituindo (2.30) e

𝑢(𝜏 ) = 𝑢0(𝜏 ) + 𝜀𝑢1(𝜏 ) + 𝜀2𝑢2(𝜏 ) + · · ·

em (2.31), agrupando-se, em seguida, em potências de 𝜀 até 𝑂(𝜀), segue o sistema de equações diferenciais: ̈ 𝑢0+ 𝑢0 = 0, 𝑢0(0) = 1, 𝑢̆0(0) = 0, (2.33) ̈ 𝑢1+ 𝑢1 = −2𝜔1*𝑢̈0− 𝑢30, 𝑢1(0) = ̆𝑢1(0) = 0. (2.34) Resolvendo (2.33), chega-se a 𝑢0 = cos(𝜏 ), (2.35)

da mesma maneira que se chegou em (2.25). Substituindo (2.35) em (2.34), tem-se que ̈ 𝑢1+ 𝑢1 = 2𝜔1*cos 𝜏 − cos 3𝜏 = (︂2𝜔 1 − 3 4 )︂ cos 𝜏 − 1 4cos 3𝜏. (2.36)

Observando que cos 𝑡* levou, em (2.27), a uma solução particular com um termo secular, o método de Poincaré-Lindstedt indica escolher um 𝜔1* tal que o termo com cos 𝜏 desapareça. Assim, 𝜔1* deve ser igual a 3

8 e (2.36) fica ̈

𝑢1+ 𝑢1 = −

1

4cos 3𝜏. (2.37)

A solução homogênea é do tipo 𝑢1(𝜏 ) = 𝑐1cos 𝜏 + 𝑐2sin 𝜏 e a particular do tipo

𝑢1(𝜏 ) = 𝐴 cos 3𝜏 , em que o coeficiente 𝐴 =

1

32, ao se substituir em (2.37). Pelas condições iniciais em (2.34), chega-se ao seguinte resultado:

𝑢1(𝜏 ) = cos 𝜏 +

1

32(cos 3𝜏 − cos 𝜏 ). (2.38)

Substituindo-se, (2.35) e (2.38) em 𝑢(𝜏 ) expandido em potências de 𝜀, determina-se a solução aproximada, em termos de 𝜏 , para 𝑢 até ordem 𝑂(𝜀):

𝑢𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥(𝜏 ) = cos 𝜏 + 1 32𝜀(cos 3𝜏 − cos 𝜏 ) + · · · (2.39) em que 𝜏 = 𝑡*+ 3 8𝜀𝑡 *+ · · · .

(37)

Com tal resultado em mãos, plotou-se três gráficos, semelhantes aos das Figuras 8, 9 e10, para comparar a nova solução encontrada, pelo método de Poincaré-Lindstedt, e a solução numérica.

Figura 11 – Comparação da resposta aproximada e numérica para 𝜀 = 0, 01.

(38)

Figura 13 – Comparação da resposta aproximada e numérica para 𝜀 = 0, 5.

As Figuras 11 e 12 evidenciam que o método é bastante eficiente, porque além de eliminar os termos seculares, mantém a solução coincidente com a numérica para um intervalo de tempo grande. Neste caso, como demonstra melhor a Fig.13, as duas respostas divergem pela diferença de fase (𝜑). Para a solução numérica, a fase é dada por

𝜑0 = 𝜔0*𝑡 *

= 1 · 𝑡*, (2.40)

e para a solução aproximada

𝜑 = 𝜔*𝑡* = (1 + 3

8𝜀 + · · · )𝑡

*

. (2.41)

Dessa maneira, caso se fixasse o tempo e se variasse 𝜀,2.40seria uma reta constante com valor 𝑡*, e 2.41 seria uma reta de inclinação positiva, partindo de 𝑡*, cuja tangente é 3

8𝑡

* (se considerarmos até o termo de 𝑂(𝜀)). Plotou-se, então, para três tempos distintos,

(39)

Figura 14 – Comparação de fases com 𝑡* = 12, 6 e 𝜀 variando.

(40)

Figura 16 – Comparação de fases com 𝑡* = 100 e 𝜀 variando.

Nota-se primeiro, que a diferença de fase se dá pelo aumento de 𝜀, corroborando o observado nos gráficos 11, 12 e 13. Além disso, para tempos grandes, essa diferença também cresce porque a tangente de 𝜑 aumenta à medida que se avança no tempo. Em14, para 𝜀 = 0, 5, 𝜑 é aproximadamente 15, com uma diferença de 2,4 para 𝜑0 = 12, 6. Já para

15e16, essa diferença é bem maior, sendo aproximadamente de 10 e 20, respectivamente. Essa diferença de fase crescente com o tempo pode ser observada já em 13, em que para

𝑡* = 10 a diferença de fase é pouco evidente, mas para 𝑡* = 70, por exemplo, já é bem discrepante.

2.3.3

Comparação do método das perturbações sem e com Poincaré-Lindstedt

Para comparar o método das perturbações e o Poincaré-Lindstedt, plotou-se os gráficos abaixo, nos quais um tempo adimensional foi fixado e fez-se 𝑢 em função de 𝜀.

(41)

Figura 17 – Comparação das respostas aproximadas, tanto pelo método das perturbações quanto pelo Poincaré-Lindstedt, com a solução numérica para 𝑡* = 12, 6.

Figura 18 – Comparação das respostas aproximadas, tanto pelo método das perturbações quanto pelo Poincaré-Lindstedt, com a solução numérica para 𝑡* = 50.

(42)

Figura 19 – Comparação das respostas aproximadas, tanto pelo método das perturbações quanto pelo Poincaré-Lindstedt, com a solução numérica para 𝑡* = 100.

Analisando-se a Figura17, constata-se que a solução por Poincaré-Lindsted é muito boa para todo intervalo de 𝜀 mostrado, começando a se distanciar da resposta numérica em 𝜀 = 0, 09, aproximadamente, mas ainda sim uma diferença muito pequena, enquanto a solução só com o método das perturbações já se distancia antes, em 𝜀 = 0, 01, chegando a ser discrepante em 𝜀 = 0, 1.

Olhando a Figura18, o método de Poincaré-Lindstedt continua demonstrando um bom comportamento, distanciando-se da curva numérica mais cedo que anteriormente, mas com uma diferença ainda muito pequena. Enquanto que o método das perturbações sozinho se distancia já em um 𝜀 < 0, 01 e para 𝜀 = 0, 1 essa diferença entre as soluções é muito grande.

Na Figura 16, é importante notar que a solução só pelo método das perturbações praticamente não coincide com a numérica, o que leva a corroborar o que foi concluído na seção2.3.1 , que o método das perturbações só funciona para um intervalo de tempo restrito, por isso, para 𝑡* = 100, por exemplo, a solução não funciona mais.

(43)

Tabela 2 – Erro entre a resposta aproximada sem o método de Poincaré-Lindstedt e a numérica para tempo fixo de 12,6.

𝜀 𝑢𝑛𝑢𝑚. 𝑢𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥. Erro absoluto Erro relativo(%) 0,01 0,9967 0,9978 0,0011 0,11 0,02 0,9918 0,9963 0,0044 0,45 0,03 0,9847 0,9947 0,0099 1,01 0,04 0,9754 0,9931 0,0176 1,81 0,05 0,9641 0,9915 0,0274 2,84 0,06 0,9506 0,9899 0,0393 4,13 0,07 0,9351 0,9883 0,0532 5,69 0,08 0,9177 0,9867 0,0691 7,53 0,09 0,8983 0,9851 0,0868 9,67 0,10 0,8770 0,9835 0,1065 12,14

Tabela 3 – Erro entre a resposta aproximada pelo método de Poincaré-Lindstedt e a nu-mérica para tempo fixo de 12,6.

𝜀 𝑢𝑛𝑢𝑚. 𝑢𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥. Erro absoluto Erro relativo(%) 0,01 0,99673 0,99672 8, 36×10−6 0,001 0,02 0,99181 0,99176 5, 35×10−5 0,005 0,03 0,98471 0,98455 0,0002 0,017 0,04 0,97545 0,97508 0,0003 0,038 0,05 0,96407 0,96337 0,0007 0,072 0,06 0,95061 0,94944 0,0012 0,122 0,07 0,93512 0,93331 0,0018 0,193 0,08 0,91765 0,91500 0,0026 0,288 0,09 0,89827 0,89457 0,0037 0,412 0,10 0,87704 0,87206 0,0050 0,568

As Tabelas 2 e 3 mostram, de maneira qualitativa e para um dos tempos fixos analisados, a eficiência da aproximação pelo método Poincaré-Lindstedt em relação ao assintótico aplicado sozinho. Observa-se que o maior erro relativo entre as respostas,

(44)

aplicando-se Poincaré, foi de 0, 6% (com 𝜀 = 0, 1), enquanto que para o método das perturbações aplicado sem nenhuma correção para os termos seculares, o erro foi de 12, 1%.

(45)

3 Modelo Concentrado - Oscilador

não linear com forçamento

harmônico

Acrescentou-se ao modelo do oscilador não linear, estudado no capítulo anterior, uma excitação harmônica e amortecimento. O objetivo disso é apresentar, no presente capítulo, um modelo que possa simular a oscilação em um ponto de um cabo vibrante e se estudar também a dinâmica de sistemas oscilatórios que apresentam não linearidades. Por isso, segue-se com o equacionamento, adimensionalização e estudo dos parâmetros físicos do problema. Depois que esse modelo for bem explorado, pretende-se usá-lo para gerar resultados que representem bem as respostas de um condutor de rede elétrica quando submetido a um forçamento harmônico externo, como procedeu-se na bancada de ensaios, cujos resultados experimentais foram utilizados nesse projeto.

3.1

Equacionamento do modelo e adimensionalização

O sistema atual é um oscilador não linear excitado externamente por um força-mento harmônico do tipo 𝐵 sin(𝜔𝑡) (𝐵 dado em newtons), e sujeito a um amorteciforça-mento

𝐶. O coeficiente de restituição elástica é o que confere ao sistema a característica não

linear, uma vez que é dado por

𝑘* = 𝑘(1 + 𝑎

𝑘𝑦

2), (3.1)

que se trata da equação de Duffing (LOGAN, 2013), em que 𝑘 é o coeficiente elástico linear; 𝑎 é uma constante do sistema, que, se grande, aumenta a não linearidade; e 𝑦 é a coordenada de deslocamento. A Fig. 20 ilustra o sistema como um massa-mola não linear, acrescido de um elemento viscoso. Com base nesse modelo, a equação que descreve o problema é 𝑚𝑑 2𝑦 𝑑𝑡2 + 𝐶 𝑑𝑦 𝑑𝑡 + 𝑘 * 𝑦 = 𝐵 sin(𝜔𝑡), 𝑡 > 0, (3.2) em que 𝑚 é a massa do sistema. Essa equação pode ser adimensionalizada a fim de fazer uma abordagem mais geral do problema.

(46)

𝑚

𝐹 𝑡 = 𝐵sin(𝜔𝑡)

𝑦 0 = 𝐴

𝑘

𝐶

𝑦

𝑥

Figura 20 – Esquema do oscilador harmônico.

Considerando como condição inicial 𝑦(0) = 𝐴 e 𝑑𝑦(0)

𝑑𝑡 = 0, o deslocamento pode ser

adimensionalizado por um parâmetro característico do tipo 𝑢 = 𝑦

𝐴. Definindo a frequência

natural do sistema como 𝜔𝑛=

√︃

𝑘

𝑚, pode-se escolher o parâmetro característico do tempo

como 𝑡* = 𝑡𝜔𝑛. Substituindo esses parâmetros adimensionais em (3.2), chega-se a

𝑑2𝑢 𝑑𝑡*2 + 2𝜁 𝑑𝑢 𝑑𝑡* + 𝑢 + 𝜀𝑢 3 = 𝛽 sin(𝜔* 𝑡*), (3.3) em que 2𝜁 = 𝐶 𝑚𝜔𝑛 e 𝜀 = 𝐴 2𝑎

𝑘 é um parâmetro adimensional que, dependendo de sua

grandeza, faz o sistema responder com maior ou menor não linearidade. A variável adi-mensional 𝛽 é uma amplitude de excitação 𝛽 = 𝐵

𝑘𝐴. E por último 𝜔

* é a razão entre a

frequência de excitação e a natural do sistema 𝜔

𝜔𝑛

. Reescrevendo (3.3) da seguinte forma ̈

𝑢 + 2𝜁 ̆𝑢 + 𝑢 = 𝛽 sin(𝜔*𝑡*) − 𝜀𝑢3, 𝑡* > 0, (3.4) percebe-se que o forçamento é composto de uma parcela harmônica e outra não linear que depende do deslocamento ao cubo, a qual é desprezível se 𝜀 ≪ 1. Além disso as condições iniciais da forma adimensional seguem como:

𝑢(0) = 1, ̆𝑢(0) = 0. (3.5) A partir disso é possível avaliar a influência dos parâmetros 𝜁, 𝛽 e 𝜀, variando suas grandezas e verificando o comportamento do sistema, como se segue nas próximas seções.

(47)

3.2

Metodologia

Para se estudar o sistema descrito, decidiu-se verificar a influência de cada parâme-tro no sistema através de um código computacional que forneceria a solução numérica da equação diferencial em questão. Então, seguiu-se a seguinte sequência de procedimentos para se gerar os resultados almejados:

1. Estudo dos efeitos da amplitude de excitação adimensional 𝛽 sobre o sistema, variando-a de um valor pequeno até um valor grande, na ausência dos demais pa-râmetros, ou seja, a não linearidade 𝜀 e o amortecimento 𝜁;

2. Plotagem das séries temporais de deslocamento e velocidade, bem como diagrama de fase e espectro amplitude frequência, para as respostas do problema na condição acima descrita;

3. Estudo dos efeitos do parâmetro 𝜀 sem a presença da excitação e do amortecimento, gerando-se os mesmos gráficos que para o caso anterior;

4. Investigação dos efeitos da não linearidade e da excitação em conjunto, sem a pre-sença do amortecimento, plotando-se a mesma espécie de gráficos para registrar os resultados encontrados;

5. Verificar a sensibilidade do sistema ao amortecimento, gerando-se resultados para os casos: subamortecido, criticamente amortecido e superamortecido, considerando-se também, a presença da excitação e da não linearidade.

6. Por fim, averiguar respostas para diferentes frequências de excitação, incluindo-se todos os demais parâmetros em conjunto.

3.3

Runge-Kutta de 4

a

ordem para solucionar o oscilador não linear

amortecido

Tendo em vista a equação do movimento adimensional do oscilador não linear amortecido obtido anteriormente, uma solução analítica não é viável, fazendo-se necessário o uso de métodos numéricos para resolver. O método elegido foi um Runge-Kutta de 4a

ordem, por ser de fácil implementação e de baixo custo computacional.

Criou-se então uma função no Matlab que seguia o algorítimo do Runge-Kutta para a equação diferencial que se chegou acima, definindo como parâmetros de entrada

𝛽, 𝜀, 𝜔* e 𝜁, além dos valores inicial e final para se construir um vetor para 𝑡*, com passo

também definido como entrada. Assim, era possível obter diversas soluções, dependendo de quais valores para os parâmetros se escolhia como entrada.

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Referências