M8 Produto Interno

Disciplina: ´Algebra Linear Professora: Lidiane Buligon

Material: UNIDADE III - Espa¸cos com Produto Interno

1

Espa¸

cos Munidos de Produto Interno

Defini¸c˜ao 1 Seja V um espa¸co vetorial sobre um corpo K, onde K = R ou K = C. Um produto interno em V ´e uma fun¸c˜ao_{h·, ·i : V × V → K, satisfazendo as seguintes propriedades:}

1. hx, yi = hy, xi;

2. hx + λy, zi = hx, zi + λ hy, zi; 3. hx, xi ≥ 0 e hx, xi = 0 ⇔ x = 0.

Um espa¸co V com produto interno ´e euclidiano se tiver dimens˜ao finita. Se V for um espa¸co vetorial sobre os complexos V ´e chamado de espa¸co hermitiano ou unit´ario e o produto interno de produto hermitiano.

Exemplo 1Se V = Cn, o produto canˆonico ´e definido por: hx, yi = x · y =

n

X

i=1

xiyi = xTy.

Observe que se V = Rn _{(produto escalar) ´e definido por: hx, yi = x · y =}

n

X

i=1

x_iy_i = xTy. Exemplo 2Se V = Rm×n, podemos definir o produto interno por:

hA, Bi = m X i=1 n X j=1 aijbij, com A e B em Rm×n_.

Exemplo 3Em C[a, b] podemos definir um produto interno por: hf, gi = Z b a f(x)g(x)dx. Observe que hf, fi = Z b a [f (x)]2 dx_{≥ 0.}

Exemplo 4Sejam x1, . . . , x_nn´umeros reais distintos. Para cada par p, q de polinˆomios em P_n

defina, hp, qi = n X i=1 p(xi)q(xi). Note que, hp, pi = n X i=1 [p(xi)] 2 ≥ 0. Se hp, pi = 0 ⇔ p = 0.

Defini¸c˜ao 2 Seja V um espa¸co vetorial sobre um corpo K, onde K = R ou K = C. Uma norma em V ´e uma aplica¸c˜ao

k·k : V → [0, ∞)

v _{7→ kvk =}phv, vi satisfazendo as seguintes propriedades:

1. kvk > 0 se v 6= 0;

2. kλvk = | λ | kvk para λ ∈ K;

3. ku + vk ≤ kuk + kvk (Desigualdade Triangular);

4. | hu, vi | ≤ kuk kvk (Desigualdade de Cauchy-Schwarz); 5. Identidades de Polariza¸c˜ao

(a) Se K = R ent˜ao hu, vi = 1₄ku + vk2− 1₄ku − vk2; (b) Se K = C ent˜ao hu, vi = 1 4ku + vk 2 − 1 4ku − vk 2 + i 4ku + ivk 2 − i 4ku − ivk 2 ; 6. Identidade do Paralelogramo ku + vk2− ku − vk2 = 2 kuk2+ kvk2
. Demonstra¸c˜oes: [1] e [2] Observa¸c˜oes:

1. Se um vetor tem norma 1 dizemos que ele ´e um vetor unit´ario ou normalizado. 2. Se v 6= 0 sua normaliza¸c˜ao ser´a dada por u = v

kvk.

Defini¸c˜ao 3 Se u e v s˜ao vetores em um espa¸co vetorial V com produto interno e se v _{6= 0,} ent˜ao a proje¸c˜ao escalar de u sobre v ´e definida por α= hu, vi

kvk , e a proje¸c˜ao vetorial de u sobre v ´e dada por p= α  1 kvkv  = hu, vi kvk2 v.

Observa¸c˜oes: _{Se v 6= 0 e se p ´e a proje¸c˜ao vetorial de u sobre v, ent˜ao:} 1. u − p e p s˜ao ortogonais;

2. u = p se, e somente se, u ´e um m´ultiplo escalar de v. Demonstra¸c˜oes: [1]

Interpreta¸c˜ao Geom´etrica:

Defini¸c˜ao 4 Seja V espa¸co vetorial com produto interno _{h·, ·i. Dizemos que dois vetores u e} v s˜ao ortogonais se _{hu, vi = 0.}

Observa¸c˜oes:

1. Suponhamos que v ∈ V ´e tal que hu, vi = 0 ∀u ∈ V , ent˜ao hv, vi = 0 logo v = 0. 2. O vetor nulo ´e ortogonal a qualquer vetor, pois h0, vi = 0.

Exemplo 5_{Considere o espa¸co vetorial C[−1, 1] com produto interno definido por:} hf, gi =

Z b

a

f(x)g(x)dx. 1. Mostre que os vetores 1 e x s˜ao ortogonais.

2. Determine o comprimento dos dois vetores.

3. Calcule k1 + xk2. 4. Verifique que: k1 + xk2 = h1 + x, 1 + xi = Z 1 −1 (1 + x)2dx= 8 3

1.1

Conjuntos Ortonormais

Defini¸c˜ao 5 O conjunto _{v1,· · · , v_n} ´e dito ortogonal se:

hvi, vji =kvik 2

se i= j 0 se i_{6= j.}

Defini¸c˜ao 6 Dizemos que o conjunto ´e ortonormal se for um conjunto ortogonal e se_{kvjk =} 1, ∀ j, isto ´e, o conjunto {u1,· · · , u_n} ´e ortonormal se, e somente se:

hui, uji = δij

com

δij =1 se i = j

0 se i 6= j.

Dado qualquer conjunto ortogonal de vetores n˜ao nulos {v1,· · · , v_n} ´e poss´ıvel formar um

conjunto ortonormal definindo: ui =

1 kvik

Exemplo 6O conjunto n(1, 1, 1)T ,_{(2, 1, −3)}T ,_{(4, −5, 1)}To´e um conjunto ortogonal em R3

.

Exemplo 7 _{O conjunto {v}1, v2, v3}, com v1 = (1, 1, 1)T, v2 = (2, 1, −3)T e v3 = (4, −5, 1)T.

Construa o conjunto ortonormal.

Teorema 1 Seja _{v1,· · · , v_n} um conjunto de vetores ortogonais n˜ao nulos. Ent˜ao este

con-junto ´e linearmente independentes. Demonstra¸c˜ao.

Teorema 2 Seja_{u1,· · · , u_n} uma base ortonormal para um espa¸co V munido de um produto

interno. Se v= n X i=1 aiui, ent˜ao hui, vi = ai. Demonstra¸c˜ao.

Corol´ario 1 Seja_{u1,· · · , u_n} uma base ortonormal para um espa¸co V munido de um produto

interno. Se u= n X i=1 a_iu_i e v = n X i=1 b_iu_i, ent˜ao _{hu, vi = a}ibi. Demonstra¸c˜ao.

Corol´ario 2 F´ormula de Parseval. Seja _{u1,· · · , u_n} uma base ortonormal para um espa¸co V

munido de um produto interno. Se v =

n X i=1 aiui, ent˜ao hv, vi = kvk 2 = a2 i. Demonstra¸c˜ao. Exemplo 8Os vetores v1 =  1 √ 2, 1 √ 2 T e v2 =  1 √ 2,− 1 √ 2 T

formam uma base ortonormal para R2

. Se x ∈ R2

ent˜ao,

Defini¸c˜ao 7 Uma matriz Q_n×n ´e dita ortogonal se seus vetores colunas formam um conjunto ortonormal em Rn.

1.1.1 Processo de Ortogonaliza¸c˜ao de Gram-Schmidt

Teorema 3 Dada uma base arbitr´aria _{x1,· · · , x_n} do espa¸co euclidiano V , existe uma base

ortonormal_{u1,· · · , u_n} de V formada pelos vetores u_i que s˜ao combina¸c˜oes lineares dos vetores

{x1,· · · , x_i} para i = 1, · · · , n.

Exemplo 9 _{Seja β = {(2, 1) , (1, 1)} uma base de R}2

. Vamos obter a partir de β uma base ortonormal em rela¸c˜ao ao produto interno usual.

1.2

Exerc´ıcios.

1. Seja V = R3

com produto interno usual. Determine c de modo que v = (6, −3, c + 1) tenha norma igual a 7.

2. Determine um subespa¸co com dimens˜ao trˆes de V = R4

tal que qualquer vetor deste subespa¸co seja ortogonal a v = (1, 2, −2, 3).

3. Dado um subespa¸co vetorial W = {(x, y, z, t, w) ∈ R5

| x − 3y + t = 0}, determine um vetor ortogonal a todos os vetores de W .

4. Usando o produto usual (ou escalar), determine uma base ortonormal a partir das seguin-tes bases: (a) β = {(1, 2) , (2, 1)} de V = R2 ; (b) β = {(1, 1, 0) , (1, 0, 1) , (0, 2, 0)} de V = R3 ; (c) β = {(1, 2, 0) , (0, 3, 1) , (0, 1, 0)} de V = R3 ;

5. Determine uma base ortonormal em rela¸c˜ao ao produto interno usual, para os subespa¸cos: (a) W = {(x, y, z) ∈ R3

| x − y + z = 0} (b) W = [(1, 0, 0) , (0, 1, 1) , (1, −1, −1)]

6. Construa uma base ortonormal para o subespa¸co W ⊆ R3

gerado pelos vetores (1, 1, 1), (0, 0, 1), (1, 2, 3) e (2, 2, 2).

7. Seja P2 os espa¸co vetorial das fun¸c˜oes polinomiais de grau menor ou igual a dois com

produto interno:

hf, gi = Z 1

−1

f(t)g(t)dt.

Considerando W = [p (t) = 1, q (t) = 1 − t], obtenha uma base ortogonal para W . 8. Sejam x = (−1, −1, 1, 1)T e y = (1, 1, 5, −3)T. Mostre que x ⊥ y. Calcule kxk, kyk e

9. Sejam x = (1, 1, 1, 1)T e y = (8, 2, 2, 0)T. (a) Encontre o ˆangulo θ entre x e y.

(b) Encontre a proje¸c˜ao vetorial p de x e y. (c) Verifique que x − p ´e ortogonal a p.

(d) Calcule kxk, kpk e kx − pk e verifique a validade do teorema de Pit´agoras. 10. Para C[0, 1] com produto interno definido por:

hf, gi = Z b

a

f(x)g(x)dx.

Considerando os vetores 1 e x.

(a) Encontre o ˆangulo θ entre 1 e x.

(b) Determine a proje¸c˜ao vetorial p de 1 sobre x. (c) Verifique que 1 − p ´e ortogonal a p.

(d) Calcule k1k, kpk e k1 − pk e verifique a validade do teorema de Pit´agoras. 11. Para C[−π, π] com produto interno definido por:

hf, gi = Z b

a

w(x)f (x)g(x)dx.

sendo w(x) a fun¸c˜ao peso, dada pelo valor constante w(x) = 1

π. Mostre que cos mx e sen nx s˜ao ortogonais e que ambos s˜ao vetores unit´arios. Determine a distˆancia entre os dois vetores. 12. Sejam u1 =  1 3√2, 1 3√2,− 4 3√2 T , u2 =  2 3, 2 3, 1 3 T , u3 =  1 √ 2,− 1 √ 2,0 T

(a) Mostre que {u1, u2, u3} formam uma base ortonormal para R 3

.

(b) Seja x = (1, 1, 1)T. Escreva x como uma combina¸c˜ao linear de u1, u2e u3 usando o

Teorema (2) e use a f´ormula de Parseval para calcular kxk. 13. Seja θ um n´umero fixo real e sejam x1 = cos θ

sen θ 

e x2 =−sen θ

cos θ 

(a) Mostre que {x1, x2} formam uma base ortonormal para R 2

. (b) Escreva um vetor arbitr´ario y em R2

como uma combina¸c˜ao linear de c1x1+ c2x2.

(c) Verifique que c2 1+ c 2 2 = kyk 2 = y2 1 + y 2 2.

14. Para C[0, 1] com produto interno definido por:

hf, gi = Z b

a

f(x)g(x)dx.

Seja S o subespa¸co gerado pelos vetores 1 e 2x − 1. (a) Mostre que s˜ao ortogonais.

15. Dada uma base n_{(1, 2, −2)}T ,(4, 3, 2)T ,(1, 2, 1)To para R3

, use o processo de Gram-Schmidt para encontrar uma base ortonormal.

16. Para C[−1, 1] munido do produto interno:

hf, gi = Z b

a

f(x)g(x)dx.

Encontre uma base ortonormal para o subespa¸co gerado por 1, x e x2

. 1.2.1 Respostas. 1. c = −3 2. W = {(a, b, c, d) ∈ R4 | a = −2b + 2c − 2d, a, b, c, d ∈ R} 3. u = (1, −3, 0, 1, 0) 4. (a) β′ ₌n 1 √ 5, 2 √ 5  , 2 √ 5,− 1 √ 5 o ; (b) β′ ₌n 1 √ 2, 1 √ 2,0  ,√1 6,− 1 √ 6, 2 √ 6  ,₋√1 3, 1 √ 3, 1 √ 3 o ; (c) β′ ₌ 0, 3 10 √ 10, 1 10 √ 10
, 0, 1 10 √ 10, − 3 10 √ 10
, (1, 0, 0) ; 5. (a) {(1, 0, 0) , (0, −1, 0) , (0, 0, 1)} (b) n(1, 0, 0) ,0, 1 √ 2, 1 √ 2 o 6. 7. 8. kxk = 2, kyk = 6 e kx + yk = 2√10 9. (a) θ = π4; p = 4 3, 1 3, 1 3,0
T 10. (a) θ = π6; (b) p = 3 2x 11. 12. (b) x = −√2 3 u1+ 5 3u2; kxk =   −√2 3 2 + 5 3
2 1/2 =√3 13. (b) c1 = y1cos θ + y2sen θ, c2 = −y1sen θ + y2cos θ

14. 15. n 1 3, 2 3,− 2 3
T , 2₃,1₃,2₃
T, ₋2₃,2₃,1₃
To 16. u1(x) = 1 √ 2, u2(x) = √ 6 2 x e u3(x) = 3√10 4 x 2 −1 3

Referˆ

encias

[1] Leon, S. J.: ´Algebra Linear com aplica¸c˜oes, 4a

edi¸c˜ao, LTC, 2008.

[2] Boldrini, J. L., Costa, S. I. R., Ribeiro, V. L. F. F. e Wetzler, H. G., ´Algebra Linear. Harper & Row do Brasil Editora, 1980.

[3] Coelho, F. U. e Louren¸co, M. L.: Um curso de ´Algebra Linear, 2a