CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS CAMPUS VII - UNIDADE TIMÓTEO

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CAMPUS VII - UNIDADE TIMÓTEO

1 ª Lista de Exercícios – Disciplina: Cálculo 1

Curso: Engenharia da Computação - Prof.: Júlio César de Jesus Onofre 1 –Dado o gráfico de uma função f :

a) Obtenha o valor de f (−1) ;

b) Estime o valor de f (2)

c) f (x)=2 para quais valores de x ? d) Obtenha o domínio e a imagem de f . e) Em qual intervalo a função é crescente?

2 – Se f (x)=3 x2

−x+2 , encontre:

f (2) , f (−2), f (a ), f (−a) , f (a+1), 2 f (a), f (2 a), f (a2

),

[

f (a)

]

2 e f (a+h) .

3 - Calcule o quociente das diferenças para a função dada. Simplifique sua resposta: a) f (x)=4+3 x−x2 _, f (3+h)− f (3)

h b) f (x)=1_{x ,} f ( x)− f (a)_x−a 4 – Encontre o domínio da função:

a) f (x)=_{3 x−1}x b) f (t)=

√

t +

√

3t c) h( x)=4 1

√

x2−5 x 5 – Encontre o domínio e esboce o gráfico da função:

a) f (x)=5 b) f (t)=t2_{−6 t c) g ( x)=}

_√

_{x −5} d) G( x)=3 x +∣x∣_x e) f (x)=

{

_{1−x se x≥0 f)} x +2 se x <0 f (x )=

{

x +2 se x≤1 x2 _{se x>−1}

6 – Encontre uma expressão para a função cujo gráfico é a curva: a) O segmento de reta unindo os pontos (1,−3) e (5,7) ; b) A metade inferior da parábola x+( y−1)2₌₀

7 – Encontre uma fórmula para a função descrita e obtenha seu domínio:

a) Um retângulo tem um perímetro de 20 metros. Expresse a área do retângulo como uma função do comprimento de um dos seus lados.

b) Expresse a área de um triângulo equilátero como uma função do comprimento de um lado. c) Uma caixa retangular aberta com volume de 2 m3 _{tem uma base quadrada. Expresse a} área da superfície da caixa como função do comprimento de um lado da base.

8 – Determine se a função dada é par, ímpar ou nenhum dos dois: a) f (x)= x

x2₊₁ b) f (x)=

x

x+1 c) f (x)=1+3 x2−x4 9 – O que todos os membros da família de funções lineares f (x)=c− x têm em comum? Esboce o gráfico de vários membros da família.

10 - Encontre uma expressão para uma função cúbica f se f (1)=6 e f (−1)= f (0)= f (2)=0 .

11 – Se a dose recomendada para um adulto de uma medicação é D (em mg), então, para determinar a dosagem apropriada c para uma criança com a anos de idade, os farmacêuticos usam a equação c=0,0417 D(a+1) . Suponha que a dosagem para um adulto seja de 200 mg.

a) Encontre a inclinação do gráfico de c . O que ela representa? b) Qual a dosagem para um recém-nascido?

12 – Biólogos notaram que a taxa de cricridos de uma certa espécie de grilos está relacionada com a temperatura de uma maneira que aparenta ser linear. Um grilo cricrila 112 vezes por minuto a 20 ºC e 180 vezes por minuto a 29 ºC.

a) Encontre uma equação linear que modele a temperatura T como uma função do número de cricridos por minuto N ;

c) Se os grilos estiverem cricrilando 150 vezes por minuto, estime a temperatura.

13 – Na superfície do oceano, a pressão da água é igual à do ar acima da água, 1,05 Kg /cm2 . Abaixo da superfície, a pressão da água cresce 0,10 Kg /cm2 para cada metro abaixo da

superfície.

a) Expresse a pressão da água como uma função da profundidade abaixo da superfície do oceano.

b) A que profundidade a pressão é de 7 Kg /cm2 _?

14 – Faça o gráfico de cada função abaixo, sem marcar pontos, mas começando com o gráfico de uma função conhecida e então aplicando as transformações:

a) y=−x3 _{b) y=( x+1)}2 _{c) y=1+2cos x d) y=sen}

(

x 2

)

e) y=

√

x +3 f) y=1₂

(

x2+8 x

)

_{g) y=} 2

x +1 h) y=∣sen x∣ 15 -

a) Como o gráfico de y= f

(

∣x∣

)

está relacionado com o gráfico de f ? b) Esboce o gráfico de y=

√

∣x∣ .

16 – Encontre as funções (a) f ∘ g , (b) g∘ f , (c) f ∘ f e (d) g∘ g e seus domínios: a) f (x)=x2_{−1 e g( x)=2 x+1} b) f (x)=1−3 x e g( x)=cos x c) f (x)=x+1_{x e} g ( x)=x+1 x +2 17 – Encontre f ∘ g ∘h : a) f (x)=x+1, g (x )=2 x , h (x )=x−1 b) f (x)=

√

x−3 , g ( x)=x2, h( x)= x3+2 18 – Expresse a função na forma f ∘ g :

a) F ( x)=

(

x2₊₁₀

₎

10 _{b) F ( x)=}

3

√

x 1+3

√

x c) u (t)=

√

cos t

a) H (x)=1– 3x2

b) H (x)=sec4

₍

√

x

)

20 – A queda de uma pedra num lago gera ondas circulares que se espalham a uma velocidade de de 60 cm/s.

a) Expresse o raio desse círculo como uma função do tempo t (em segundos);

b) Se A é a área do círculo como uma função do raio, encontre A∘ r em função de t e interprete-a.

21 – Um navio se move a uma velocidade de 30 km/h paralelo a uma costa retilínea. O navio está a 6 km da costa e passa por um farol ao meio-dia.

a) Expresse a distância s entre o farol e o navio como uma função de d , a distância que o navio percorreu desde o meio-dia; ou seja, encontre f tal que s= f (d ) ;

b) Expresse d como uma função de t , o tempo decorrido deste o meio-dia; ou seja, encontre g tal que d =g(t) .

c) Encontre f ∘ g . O que esta função representa?

22 - Sejam f , g funções lineares com equações f (x)=m1x+n1 e g( x)=m2x+n2 . A função f ∘ g também é uma função linear? Em caso afirmativo qual a inclinação de seu gráfico?

23 -

(a) Se g( x)=2 x+1 e h( x)=4 x2

+4 x +7 , encontre uma função f tal que f ∘ g=h . Sugestão: Pense em quais operações você teria que efetuar na fórmula de g para chegar na fórmula de h ;

(b) Se f (x)=3 x+5 e h( x)=3 x2

+3 x+2 , encontre uma função g tal que f ∘ g=h . 24 -

(a) Suponha que f , g sejam funções pares. O que você pode dizer sobre as funções f +g e fg ?

(b) E se f , g forem ambas ímpares?

25 – Suponha que g seja uma função par e seja h= f ∘ g . A função h é sempre uma função par?

26 – Faça um esboço do gráfico de cada uma função. Não use calculadora. Utilize somente os gráficos das funções exponenciais e as transformações:

a)

y=4

x

−3

b)

y=−2

−x _c)

_{y=1− 1}

2

e

−x

27 – Começando com o gráfico de

y=e

x , escreva as equações correspondentes aos gráficos que resultam ao:

a) deslocar 2 unidades para baixo; b) deslocar 2 unidades para a direita; c) refletir em torno do eixo x; d) refletir em torno do eixo y;

e) refletir em torno do eixo x e, depois, em torno do eixo y. 28 – Encontre o domínio de cada função abaixo:

a)

f (x)= 1

1+e

x b)

f (x)= 1

1−e

x 29 – Se

f (x)=5

x , mostre que

f (x+ h)− f ( x)

h

=5

x

(

5

h

−1

h

)

.

30 – Suponha que os gráficos de

f (x)= x

2 _e

_{g ( x)=2}

x _{foram traçados sobre uma}

malha coordenada com 1 cm. Mostre que, a uma distância de 1 m à direita da origem, a altura do gráfico de

f

é de 100 m, enquanto a altura do gráfico de

g

é cerca de

10

25

_km

_. 31 – Sob condições ideais sabe-se que uma certa população de bactérias dobra a cada 3 horas. Supondo que inicialmente existam 100 bactérias:

a) Qual o tamanho da população após 15 horas? b) Qual o tamanho da população após t horas? c) Qual o tamanho da população após 20 horas?

d) Usando um recurso gráfico (calculadora gráfica ou pc) trace o gráfico da função população e estime o tempo para a população atingir 100000 bactérias.

32 – Uma função

f

é dada por uma tabela de valores, um gráfico, uma fórmula ou por meio de uma descrição verbal. Determine se

f

é injetora:

a)

x 1 2 3 4 5 6

b) c)

d)

f (x)= 1

2

(

x+5)

e)

g ( x)=

∣

x

∣

f)

f (t)

é a altura de uma bola

t

segundos após ser chutada.

33 – Se

f

for uma função injetora tal que

f (2)=9

, quanto é

f

−1

₍₉₎

_? 34 – Se

g ( x)=3+ x+e

x , ache

g

−1

(4)

.

35 – Encontre uma fórmula para a função inversa:

a)

f (x)=

√

10−3 x

b)

f (x)=e

x3 c)

y=ln (x+3)

36 – Encontre o valor exato de cada expressão:

a)

log

₅

125

b)

log

₃

1

27

c)

log

₂

6−log

₂

15+log

₂

20

d)

log

₃

100−log

₃

18−log

₃

50

37 – Expresse a quantidade dada como um único logaritmo:

a)

ln 5+5 ln 3

b)

ln

(

1+ x

2

)

+

1

38 – Faça o esboço do gráfico de cada função abaixo, usando transformações:

a)

y=log ( x+5)

b)

y=−ln x

39 – Resolva cada equação em

x

:

a)

2 ln x=1

b)

e

−x

₌₅

_c)

₂

x−5

₌₃

_d)

_{ln x+ln (x−1)=1}

40 – Considere

f (x)=

√

3−e

2 x _{. Determine (a) o domínio de}

_f

_{e (b)}

_f

−1 _{e seu} domínio.

41 - Encontre o valor exato de cada expressão:

a)

sen

−1

_(√

3/2

)

b)

cos

−1

(−1)

c)

arctg 1

d)

sen

−1

_(1/

√

2)

e)

tg (arctg 10)

f )

sen

−1

₍

_{sen(7 π/3))}

42 – Demonstre que

cos

(

sen

−1

x

)

=

√

1−x

2 . 43 – Simplifique a expressão

sen

(

tg

−1

_x

₎

_.