A porcentagem da superfície do ladrilho que está pintada de cinza é, aproximadamente:

Considerando j=3,14, a área da região pintada de preto é de (A) 7,74m² (B) 7,98m² (C) 8,42m² (D) 8,86m² (E) 9,12m² Resolução

A área de um quadrado de lado l é igual a lm. A área de uma circunferência de raio n é igual a onm.

Observe que a região branca é um quarto de círculo. Portanto, a área da região pintada de preto é igual à área do quadrado menos a área branca. Lembrando que a área branca é igual à área do círculo dividida por 4.

7 = 7pqrstrs 7uítuqv /E= ℓ< j < 4 = 6<

3,14 ∙ 6<

4 = 7,74 Letra A

39.

(APO – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Um ladrilho branco quadrado com 8 cm de

lado tem no seu interior um círculo cinza de 2 cm de raio.

A porcentagem da superfície do ladrilho que está pintada de cinza é, aproximadamente:

a) 11%

b) 14%

c) 17%

d) 20%

e) 24%

Resolução

Vamos lembrar as fórmulas das áreas do quadrado e do círculo.

A área de um quadrado de lado

+ é igual a +

<

.

Portanto, a área do quadrado é igual a

8

<

= 64

<

.

A área de um círculo de raio é igual a

j

<

. (

j = 3,1415926535 … )

Portanto, a área do círculo é igual a

j ∙ 2

<

= 4j ≅ 4 ∙ 3,14 = 12,56

<

Para calcular a porcentagem da superfície do ladrilho que está pintada de cinza devemos

dividir a área do círculo pela área do quadrado e multiplicar por 100%.

12,56

64 ∙ 100% =

1256

64 % = 19,625%

Letra D

40.

(BADESC 2010/FGV) Uma circunferência de centro em O está inscrita em um

quadrado de vértices A, B, C e D, como ilustrado. P, Q e R são pontos em que a

circunferência toca o quadrado.

Com relação à figura, analise as afirmativas a seguir:

I. A área interior ao quadrado e exterior à circunferência é menor do que a metade da

área total do quadrado.

II. A distância de A até O é menor do que a metade da medida do lado do quadrado.

III. O percurso PRQ, quando feito por cima da circunferência, é mais curto do que o feito

por sobre os lados do quadrado. Assinale:

(A) se somente a afirmativa I estiver correta.

(B) se somente a afirmativa II estiver correta.

(C) se somente a afirmativa III estiver correta.

(E) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas.

Resolução

Se o raio da circunferência for igual a , então o lado do quadrado é igual a

2 .

Comprimento da circunferência:

9 = 2jr

Área do círculo:

7

_u

= j

<

Área do quadrado:

7

_p

= ℓ

<

= (2 )

<

= 4

<

Vamos analisar cada uma das alternativas de per si.

I. A área interior ao quadrado e exterior à circunferência é menor do que a metade da

área total do quadrado.

Para calcular a área interior ao quadrado e exterior à circunferência, devemos calcular a

diferença entre a área do quadrado e a área do círculo.

7

xyz@ã

= 7

p

7

u

7

xyz@ã

= 4

<

j

<

Usando uma boa aproximação para o número

j = 3,14:

7

xyz@ã

≅ 4

<

3,14

<

= 0,86

<

Como á área do quadrado é

4

<

, então a metade da área do quadrado é

2

<

.

Portanto, a área interior ao quadrado e exterior à circunferência é menor do que a metade

da área total do quadrado.

0,86

<

_{< 2}

<

O item é verdadeiro.

O triângulo em destaque na figura é retângulo de catetos iguais a . A distância AO pode

ser calculada pelo Teorema de Pitágoras:

(7{

||||)

<

₌

<

₊

<

(7{

||||)

<

_{= 2}

<

7{

|||| = √2

Portanto, a distância de A até O é maior do que a metade da medida do lado do

quadrado. Isto porque a metade da medida do lado do quadrado é igual ao raio da

circunferência e

√2 Q .

O item é falso.

III. O percurso PRQ, quando feito por cima da circunferência, é mais curto do que o feito

por sobre os lados do quadrado.

O percurso PRQ feito por cima da circunferência equivale a 1/2 do comprimento da

circunferência.

1

2 ∙ 2j =

2j

2 ≅ 3,14 ∙

O mesmo percurso feito pelos lados do quadrado:

Este comprimento é igual a

+ + + = 4 .

Como

3,14 < 4 , o percurso PRQ, quando feito por cima da circunferência, é mais curto

do que o feito por sobre os lados do quadrado. O item é verdadeiro.

Letra D

41. (SEE-RJ 2007/CEPERJ) A figura abaixo mostra duas semicircunferências de diâmetros AB e AC.

Se AB = 2 e BC = 1, a razão R/S entre as áreas das regiões R e S mostradas na figura é: A) 0,5 B) 0,6 C) 0,8 D) 1 E) 1,2 Resolução

Seu diâmetro AB mede 2, portanto seu raio mede 1. A área de uma semicircunferência é a metade da área de uma circunferência.

} =j_{2 =}~< j ∙ 1₂ < } =j₂

Vamos calcular o raio da semicircunferência maior. Seu diâmetro é igual a: 78 + 89 = 2 + 1 = 3

Como o raio é a metade do diâmetro, então o raio da semicircunferência maior é igual a 3/2. A área da região S é igual à área da semicircunferência maior menos a área da região R.

? =j₂<< } ? =j ∙ S32V < 2 j2 =j ∙ 942 j2 ? =9j₈ j_{2 =}9j 4j₈ ? =5j₈

A razão R/S entre as áreas das regiões R e S mostradas na figura é: } ? = j 2 5j 8 =j_{2 ∙5j =}8 _{10 = 0,8}8 Letra C

42. (ATRFB 2009/ESAF) Em uma superfície plana horizontal, uma esfera de 5 cm de raio está encostada em um cone circular reto em pé com raio da base de 5 cm e 5 cm de altura. De quantos cm é a distância entre o centro da base do cone e o ponto onde a esfera toca na superfície? a) 5 b) 7,5 c) 5 +

5

2

/

2

d)

₅

₂

e) 10. Resolução.

Segue o desenho de um cone:

A base de um cone é uma circunferência. Seu perfil é de um triângulo.

A figura abaixo representa uma esfera, encostada num cone, ambos sobre uma superfície horizontal.

A esfera foi desenhada de modo que seu raio é igual à altura do cone (ambas valem 5).

Seja d a distância perguntada (entre o centro da base do cone e o ponto em que a esfera toca o solo).

Como os pontos P e Q estão a uma mesma distância em relação ao solo, então eles estão ao longo de uma mesma horizontal.

Seja R o ponto em que a circunferência toca o cone:

O ângulo entre o raio da circunferência e o segmento de reta tangente à circunferência é de 90º. Assim, o ângulo destacado em vermelho na figura abaixo é de 90º:

O segmento PS é altura. Portanto, é perpendicular ao solo. Logo, o triângulo é retângulo. O ângulo PST, também destacado em vermelho, é de 90º.

O segmento ST corresponde ao raio da base do cone. Logo, seu comprimento é 5. Com isso, o triângulo PST é isóceles, pois possui dois lados iguais entre si, com ambos valendo 5 cm.

Como o triângulo PST é isóceles, então os outros dois ângulos deste triângulo devem ser iguais entre si. Lembrando que a soma dos ângulos internos do triângulo é 180º, temos que cada um dos ângulos restantes, destacados em azul, valem 45º.

O ângulo entre os segmentos PS e PQ é de 90º (pois é um ângulo entre uma vertical e uma horizontal).

Como o ângulo SPR é de 45º (ver figura acima), o ângulo restante, RPQ, também é de 45º, para que a soma entre ambos seja de 90º.

Agora vamos analisar o triângulo PRQ. Ele também é retângulo. Já sabemos dois de seus ângulos. Um vale 45º e outro vale 90º (ver figura acima).

Logo, o ângulo restante deve ser de 45º, para que a soma dê 180º.

Disto resulta que o triângulo PQR tem dois ângulos de 45º. Logo, é um triângulo isósceles. Apresenta dois lados iguais. Portanto, os segmentos RQ e RP têm a mesma medida.

Como RQ é raio da circunferência, vale 5 cm.

O triângulo PQR é retângulo. Portanto, obedece ao teorema de Pitágoras:

2 2 2 5 5 + =d 2 25 2× =d

2

=

₅

d

I.

Corda, diâmetro e tangentes

Corda de uma circunferência é um segmento cujas extremidades pertencem à circunferência.

O diâmetro de uma circunferência é uma corda que passa pelo seu centro (ver segmento em azul na figura acima). O comprimento do diâmetro é o dobro do comprimento do raio.

Uma reta tangente a uma circunferência é uma reta que intercepta a circunferência em um único ponto. A reta “toca” a circunferência.

As retas tangentes são perpendiculares aos raios traçados no ponto de tangência.

Há uma propriedade muito importante referente à retas tangentes.

Considere uma circunferência qualquer e marque um ponto P fora dela. A partir deste ponto P, trace duas retas tangentes à circunferência.

Pois bem, estas duas retas tangentes tocam a circunferência em dois pontos distintos A e B. O teorema afirma que PA é igual a PB, ou seja, a distância de P até A é igual à distância de P até B.

B A

Em suma, o segmento azul tem o mesmo comprimento do segmento vermelho.

Pois bem, a partir deste teorema, podemos inferir outro teorema (corolário) que é imediato.

Vamos traçar uma circunferência. A partir desta circunferência vamos desenhar um quadrilátero de forma que todos os lados do quadrilátero sejam tangentes à circunferência. Dizemos que o quadrilátero é circunscrito à circunferência. Da mesma forma, podemos dizer que a circunferência é inscrita ao quadrilátero.

Bom, a figura fica assim:

Os segmentos tangentes que forem congruentes, vamos colocar com cores iguais.

Vamos somar os pares de lados opostos: AB com CD e AD com BC.

Lembre-se que os segmentos de mesma cor são congruentes, ou seja, têm a mesma medida. 78 + 9= = /• + + € +ℎ + € > +

7= + 89 = /• + + + € +ℎ + € > Portanto,

78 + 9= = 7= + 89

Resumindo o teorema diz o seguinte: um quadrilátero convexo é circunscrito a uma circunferência se e somente se a soma de dois lados opostos é igual à soma dos outros dois.

43. (MPOG 2005/ESAF) Se de um ponto P qualquer forem traçados dois segmentos tangentes a uma circunferência, então as medidas dos segmentos determinados pelo ponto P e os respectivos pontos de tangência serão iguais. Sabe-se que o raio de um círculo inscrito em um triângulo retângulo mede 1 cm. Se a hipotenusa desse triângulo for igual a 20 cm, então seu perímetro será igual a:

C B

A

a) 40 cm b) 35 cm c) 23 cm d) 42 cm e) 45 cm Resolução.

Um círculo é inscrito ao triângulo quando ele está dentro do triângulo, tangenciando todos os seus lados. A figura abaixo representa as informações do enunciado:

O raio do círculo mede 1 cm. O raio é o segmento de reta que parte do centro do círculo e termina na sua extremidade.

Abaixo desenhamos dois raios:

O ângulo entre o raio e o lado do triângulo, no ponto de tangência, é 90º. Logo, os dois ângulos destacados em vermelho, abaixo, são de 90º:

Como o triângulo é retângulo, o ângulo destacado em azul também é de 90º. Por fim, como a soma dos ângulos de um quadrilátero é 360º, o ângulo destacado em verde é também de 90º. Com isso, podemos concluir que os dois segmentos abaixo medem 1 cm:

Agora vem a informação dada pela questão. Observem os segmentos a e b acima. Eles partem de um mesmo ponto. E ambos tangenciam a circunferência. Quando isso acontece, os dois

segmentos têm a mesma medida. Repetindo:

- dados dois segmentos, de medidas a e b, que partem de um mesmo ponto - ambos terminam sobre a circunferência, tangenciando-a.

Logo:

b

a =

Isto vale sempre, para qualquer circunferência.

A hipotenusa do triângulo vale 20 cm. Logo:

20

=

+

c

a

A questão pede o perímetro do triângulo. O perímetro é dado pela soma de todos os seus lados. O perímetro fica:

Perímetro = (_c+_a)+(_a+1)+(1+_c)=? =

2

_a

+

2

_c

+

2

Lembrando que

a

+

c

=

20

, temos: Perímetro = 2×(_a+_c)+2

=

2

×

20

+

2

=

42

Letra D

44. (Enap 2006/ESAF) Considere um triângulo ABC cujos lados, AB, AC e BC medem, em metros, c, b e a, respectivamente. Uma circunferência inscrita neste triângulo é tangenciada pelos lados BC, AC e AB nos pontos P, Q e R, respectivamente. Sabe-se que os segmentos AR , BP e CQ medem x, y e z metros, respectivamente. Sabe-se, também, que o perímetro do triângulo ABC é igual a 36 metros. Assim, a medida do segmento CQ, em metros, é igual a

a) 18 - c. b) 18 - x. c) 36 - a. d) 36 - c. e) 36 - x. Resolução.

Os segmentos BR e BP partem do mesmo ponto B e terminam tangenciando a mesma

circunferência. Logo, estes dois segmentos têm o mesmo comprimento. Assim, o segmento BR também mede y.

O exercício pede a medida do segmento CQ. Ou seja, pede-se o valor de z. O perímetro do triângulo é igual a 36. Ou seja, a soma de todos os lados é 36.

36 ) ( ) ( ) (_y+_x + _x+_z + _z+ _y = 36 ) ( 2 _x+_y+_z = 18 = + + _{y z} x ) ( 18 x y z= − +

O enunciado disse que o lado AB mede c metros. Portanto, concluímos que:

c

y

x

+

=

Deste modo: ) ( 18 x y z= − +

c

z

=

18

−

Letra A

45. (CGU 2008/ESAF) Um quadrilátero convexo circunscrito a uma circunferência possui os lados a, b, c e d, medindo (4 x - 9), (3 x + 3), 3 x e 2 x, respectivamente. Sabendo-se que os lados a e b são lados opostos, então o perímetro do quadrilátero é igual a:

a) 25 b) 30 c) 35 d) 40 e) 50 Resolução.

A figura abaixo representa um quadrilátero circunscrito a uma circunferência. Ou seja, o quadrilátero está do lado de fora e seus lados tangenciam a circunferência. Podemos também dizer que a circunferência está inscrita ao quadrilátero.

Vamos dar nomes aos pontos:

Já vimos que, se dois segmentos de reta partem de um mesmo ponto e terminam tangenciando a mesma circunferência, eles têm a mesma medida. Assim, os segmentos PD e PA têm a mesma medida. O mesmo vale para QA e QB. Ou para RC e RB. E também para SD e SC.

Na figura acima, estamos dizendo que PD e PA medem p. Estamos dizendo que QA e QB medem s. E assim por diante.

Vamos agora somar as medidas dos lados opostos. PQ e SR são opostos. Somando-os, temos:

) ( )

(p+s + q+r =

p

+

q

+

r

+

s

) ( )

(p+q + s+r =

p

+

q

+

r

+

s

Disto, concluímos que a soma dos lados opostos é constante. Isto vale sempre.

Em outras palavras: sempre que um quadrilátero for circunscrito a uma circunferência, as somas de seus lados opostos serão iguais entre si.

Nesta questão da CGU, os lados que medem a e b são opostos entre si. Consequentemente, c e d também são opostos entre si. Vamos somar os lados opostos.

6 7 ) 3 3 ( ) 9 4 ( − + + = − = +_{b x x x} a

x

x

x

d

c

+

=

3

+

2

=

5

Como este quadrilátero está circunscrito a uma circunferência, as duas somas acima são iguais entre si.

3

5

6

7

_x

−

=

x

⇒

_x

=

O perímetro do quadrilátero fica:

30

6

36

6

12

−

=

−

=

=

+

+

+

_b

_c

_d

_x

a

Letra B

II.

Relações entre cordas e secantes

Vejamos a relação entre cordas que existe em uma circunferência e a relação que existe entre os segmentos que cortam uma circunferência a partir de um ponto exterior.

“Se duas cordas de uma mesma circunferência se interceptam, então o produto das medidas das duas partes de uma é igual ao produto das medidas das duas partes da outra”.

“Se por um ponto (P) exterior a uma circunferência conduzimos dois “segmentos secantes” (PB e PD), então o produto da medida do primeiro (PB) pela de sua parte exterior (PA) é igual ao produto do segundo (PD) pela de sua parte exterior (PD).”

Em suma, •8 ∙ •7 = •= ∙ •9.

46. (Prefeitura de Ituporanga 2009/FEPESE) Na circunferência abaixo:

Determine a medida x indicada. a) 3 b) 6 c) 7 d) 10 e) 12 Resolução

Pela teoria exposta,

6

5 0 10

= 10

Letra D

10.

Triângulos, circunferências e áreas

Já falamos sobre as áreas dos quadriláteros e do círculo. Neste tópico, vamos falar sobre área de triângulos.

Podemos expressar a área do triângulo em função dos lados e suas respectivas alturas (os segmentos tracejados na figura abaixo são as alturas do triângulo).

Pois bem, a área do triângulo é igual a:

7 =/ ∙ ℎ₂ r

A área do triângulo é igual à metade do produto do lado tomado como base pela altura referente a esta base.

Há uma fórmula conhecida como Fórmula de Heron (ou Herão) que fornece a área de um triângulo conhecendo-se apenas os seus lados.

No início da aula, falamos que o perímetro de um polígono, em geometria, é representado por 2 . O semi-perímetro, ou seja, a soma dos lados dividido por 2 é representado por .

Se os lados de um triângulo são iguais a /, K, , então:

=/ + K + 2

A fórmula de Heron afirma que a área do triângulo é dada por:

7 = N ∙

− / ∙

− K ∙

−

a c

b ha

Há também uma importante fórmula da área do triângulo que expressa a sua área em função do raio da circunferência inscrita. E o que é uma circunferência inscrita?

É uma circunferência que fica dentro do triângulo de forma que os lados do triângulo sejam tangentes à circunferência. Bem parecido com aquele quadrilátero que mostramos anteriormente.

Pois bem, a fórmula da área do triângulo em função do raio da circunferência inscrita é a seguinte: 7 = ∙

Onde p é o semi-perímetro e r é o raio da circunferência inscrita.

47. (Secretaria de Administração – Balneário Camboriú – FEPESE/2007) Um terreno tem a forma triangular, e seus lados medem 40 m, 90 m e 110 m. A área desse terreno, em metros quadrados, é: a) 1800√2 b) 2200 c) 1950 d) 1200√2 e) 240 Resolução

Existem diversas formas para calcular a área de um triângulo, a depender dos dados fornecidos. Já vimos duas: i) A metade do produto da base pela altura. ii) Produto do semiperímetro pelo raio da circunferência inscrita. Vejamos outra maneira: quando forem dados os três lados, calculamos a área utilizando a fórmula de Heron. Denotemos por “p” o semiperímetro. A área é dada por:

7 = N ∙ − / ∙ − K ∙ − O semiperímetro é a semi-soma dos lados.

=40 + 90 + 110₂ = 120 A área é igual a 7 = N120 ∙ 120 − 40 ∙ 120 − 90 ∙ 120 − 110 7 = √120 ∙ 80 ∙ 30 ∙ 10 7 = √12 ∙ 8 ∙ 3 ∙ 10000 7 = √288 ∙ 10000

7 = √2 ∙ 144 ∙ 10000 7 = 12 ∙ 100√2

7 = 1200√2 Letra D

48. (Prefeitura de Ituporanga 2009/FEPESE) Se em um triângulo os lados medem 12 cm, 16

cm e 20 cm, então a altura relativa ao maior lado mede: a) 10,3 cm. b) 6,0 cm. c) 7,2 cm. d) 5,6 cm. e) 9,6 cm. Resolução

Sabemos que quando são dados os três lados de um triângulo, podemos calcular a área pela

fórmula de Heron. Sabemos também que a área é a metade do produto da base pela altura

(qualquer lado pode ser a base, e utilizamos a altura relativa a esse lado). O semiperímetro é dado por =12 +16 + 20₂ = 24 A área é igual a 7 = N24 ∙ (24 − 12) ∙ (24 − 16) ∙ (24 − 20) 7 = √24 ∙ 12 ∙ 8 ∙ 4 Como 24 = 12 x 2, 7 = √12 ∙ 2 ∙ 12 ∙ 8 ∙ 4 E 2 x 8 = 16, 7 = √12 ∙ 12 ∙ 16 ∙ 4 7 = √144 ∙ 16 ∙ 4 7 = 12 ∙ 4 ∙ 2 = 96

A área é igual a 96 e pode ser calculada como a metade do produto da base pela altura. Como queremos calcular a altura relativa ao maior lado, tomaremos o lado de comprimento 20 como base.

K ∙ ℎ 2 = 96 20 ∙ ℎ

10 ∙ ℎ = 96 ℎ = 9,6 Letra E

49. (SUSEP 2010/ESAF) Um círculo está inscrito em um triângulo isósceles de base 6 e altura 4. Calcule o raio desse círculo.

a) 1,50 b) 1,25 c) 1,00 d) 1,75 e) 2,00 Resolução

Pelo Teorema de Pitágoras, os lados congruentes do triângulo isósceles medem 5.

Pois, se os lados congruentes medem x, então

<_{= 3}<_{+ 4}< <_{= 25}

= 5

A área do triângulo é igual à metade do produto da base pela altura. Assim,

7 =K ∙ ℎ_{2 =} 6 ∙ 4

2 = 12

A área do triângulo pode ser expressa como o produto do semiperímetro (p) pelo raio da circunferência inscrita ao triângulo. Assim,

∙ = 12 5 + 5 + 6

2 ∙ = 12

8 ∙ = 12 ⇔ = 1,50 Letra A

50. (Professor de Matemática – Pref. de Campinas 2008/FGV) A figura abaixo mostra um triângulo ABC e o ponto D sobre o lado AC.

Sabendo que 78 = 89 = 9= e que =837 = 18°, então o ângulo 983= mede: a) 58º b) 60º c) 62º d) 64º e) 66º Resolução

Vamos marcar na figura os segmentos congruentes (mesma medida).

Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes.

Portanto, os ângulos A e C têm a mesma medida, pois o triângulo ABC é isósceles. Os ângulos CBD e BDC também são congruentes, pois o triângulo BCD é isósceles.

Sabemos ainda que o ângulo DBA mede 18º.

Queremos calcular o ângulo CDB = y.

A Lei Angular de Tales afirma que a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é 180º. Pois bem, olhemos o triângulo CBD, de ângulos x, y e y.

+ O + O = 180° + 2O = 180° = 180° − 2O Olhemos agora o triângulo ABC de ângulos x, x, e y+18º.

+ + O + 18° = 180° 2 + O = 162° Como = 180° − 2O, então:

2 ∙ (180° − 2O) + O = 162° 360° − 4O + O = 162

−3O = −198° O = 66°

Letra E

51. (Professor de Matemática – Pref. de Campinas 2008/FGV) A órbita da Terra em torno do Sol é quase circular com raio aproximado de 150 milhões de quilômetros. A velocidade do nosso planeta em seu eterno percurso em volta do Sol é cerca de:

(A) 2.000km/h. (B) 10.000km/h. (C) 50.000km/h. (D) 100.000km/h. (E) 200.000km/h. Resolução

Para calcular tal velocidade, basta dividir a distância percorrida pelo tempo gasto. O tempo é de 1 /) = 365 >./ = 365 h 24ℎ = 8.760 ℎ /

A distância é o comprimento de uma circunferência de raio 150 milhões de quilômetros. O comprimento da circunferência é 2j . Vamos utilizar a aproximação j ≅ 3,14.

9 = 2 ∙ 3,14 ∙ 150.000.000 = 942.000.000 C .+ô , A velocidade é aproximadamente:

942.000.000 a

8.760 ℎ ≅ 107.000 a /ℎ Letra D

52. (Professor de Matemática – Pref. de Campinas 2008/FGV) Em um jardim há um gramado com a forma de um quadrilátero OABC. Esse gramado será ampliado tomando a forma do quadrilátero OA'B’C’, semelhante ao anterior, como mostra a figura abaixo.

Sabendo que a área do quadrilátero OABC é de 108 m², que OA =15 m e que AA’ = 5m, a área de grama nova (parte sombreada da figura que será plantada) é de:

a) 36 m² b) 48 m² c) 58 m² d) 76 m² e) 84 m²

Resolução

Na questão 30, vimos que:

A razão entre as áreas de duas superfícies semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança.

O lado horizontal do quadrilátero menor mede OA = 15 m e o lado horizontal do quadrilátero maior mede OA'= OA + AA’ = 15m + 5m = 20 m.

A razão de semelhança (do menor para o maior) é: 15 20 =34

A razão de semelhança entre as áreas é o quadrado desta razão calculada.

Z3_4[< =₁₆9 Á / > C /> .+á, {789 Á / > C /> .+á, {7′8′9′= 9 16 108₌ 9 16 9 = 108 ∙ 16 = 192

Esta é a área do quadrilátero maior. A área da região sombreada é a diferença entre a área do

quadrilátero maior e a área do quadrilátero menor.

Á / K />/ = 192 − 108 = 84 < Letra E

Esfera

A esfera é o sólido geométrico mais fácil de trabalhar. Isto porque tudo que precisamos

calcular depende apenas do seu raio.

O raio é simplesmente a distância do centro da esfera até qualquer ponto da sua

superfície.

Resumo:

Esfera

Volume

… =

4

_{3 ∙ j ∙ ³}

Área da Superfície

7 = 4 ∙ j ∙ ²

Exemplo: Qual é o volume de uma esfera, sabendo que a área de sua superfície é igual a

100j ²?

Resolução

Vamos igualar a área da superfície a

100j.

4 ∙ j ∙ ² = 100j

Podemos cortar

j.

4 ∙ ² = 100

² = 25

= 5

Vamos agora aplicar a fórmula do volume.

53. (Petrobras 2005/CESGRANRIO) Um reservatório esférico com 12 m de diâmetro foi

construído com chapas soldadas de aço. A área da superfície esférica, em m², é de:

(A)

144 j

(B)

216 j

(C)

288 j

(D)

432 j

(E)

576 j

Resolução

O diâmetro de uma esfera é o dobro do seu raio. Esta definição também serve para

circunferências.

> = 2 ∙

Como o diâmetro é de 12 m, então o raio da esfera é de 6 m. Para calcular a área da

superfície esférica, basta aplicar a fórmula do resuminho visto anteriormente.

7 = 4 ∙ j ∙ ²

7 = 4 ∙ j ∙ 6² = 144j

Letra A

54. (SEFAZ-SP 2009/FCC) Uma caixa retangular tem 46 cm de comprimento, 9 cm de

largura e 20 cm de altura. Considere a maior bola que caiba inteiramente nessa caixa. A

máxima quantidade de bolas iguais a essa que podem ser colocadas nessa caixa, de

forma que ela possa ser tampada, é

(A) 6

(B) 8

(C) 9

(D) 10

(E) 12

Resolução

O diâmetro da bola é limitado pela menor das dimensões da caixa retangular. Portanto, o

maior diâmetro possível da bola é de 9 cm. Como a altura da caixa é de 20 cm, podemos

arrumar duas camadas de bola (uma em cima da outra).

9 cm

Como a caixa tem 46 cm de comprimento, podemos colocar no máximo 5 bolas uma ao

lado da outra (pois 9x5=45). Teremos, portanto, 2 camadas de 5 bolas, totalizando 10

bolas.

Como a altura da caixa é de 20 cm, ficam “sobrando” 2 cm na altura. Como o

comprimento é de 46 cm, fica “sobrando” 1 cm no comprimento.

Letra D

Cilindro

Chamamos de cilindro reto ou de revolução o cilindro cujas geratrizes são perpendiculares às bases.

A distância entre as duas bases é chamada de altura (h).

Quando a altura do cilindro é igual ao diâmetro da base, o cilindro é chamado de equilátero. 9.+.)> C .+á, → ℎ = 2

A base do cilindro é um círculo. Portanto, a área da base do cilindro é igual a j ². A área da superfície lateral do cilindro é igual a 2j ℎ.

E o volume do cilindro é o produto da área da base pela altura: … = j ² ∙ ℎ.

Cilindro Reto

Área da base

7ˆ = j ²

Área da superfície lateral (área lateral)

7

_v

= 2 ∙ j ∙ ∙ ℎ

Volume

… = j ² ∙ ℎ

Cilindro equilátero

‰ = mn

Base (círculo)

55. (PROMINP 2006/CESGRANRIO)

Uma esfera está inscrita em um cilindro equilátero de volume 16j ³, como representado na figura acima. O volume da esfera, em cm³, vale:

(A) 16j/3 (B) 32j/3 (C) 64j/3 (D) 74j/3 (E) 92 j/3 Resolução

O problema informa que o cilindro é equilátero. Concluímos que ℎ = 2 . O volume do cilindro é 16j ³. … = j ² ∙ ℎ Como ℎ = 2 , então: … = j ² ∙ 2 … = 2j ³ 2j ³ = 16j Podemos cortar j. 2 ³ = 16 ³ = 8 = 2 Observe que o raio da esfera é igual ao raio do cilindro.

O problema pede o volume da esfera. Basta aplicar a fórmula dada anteriormente.

… =

4

_{3 ∙ j ∙ ³}

… =

4

_{3 ∙ j ∙ 2³}

… =

4

_{3 ∙ j ∙ 8}

… =32j₃ Letra B

56. (PROMINP 2009/CESGRANRIO) Um cilindro equilátero feito de cartolina foi recortado e

desenrolado, de modo a formar um retângulo, como mostra a figura abaixo. Observe que as bases do cilindro foram retiradas.

Se, quando montado, o volume do cilindro é 2.000j ³, qual é, em cm², a área aproximada do retângulo? (A) 314 (B) 628 (C) 742 (D) 980 (E) 1.256 Resolução

Novamente o problema nos informa que o cilindro é equilátero. Portanto, ℎ = 2 . … = j ² ∙ ℎ

Como ℎ = 2 , então:

… = j ² ∙ 2 … = 2j ³ Como o volume do cilindro é 2.000j ³, então:

2j ³ = 2.000j Podemos cortar j.

2 ³ = 2.000 ³ = 1.000

= 10 O cilindro é equilátero, portanto ℎ = 2 = 20.

Observe que a área do retângulo é justamente a área lateral do cilindro. Vamos aplicar a fórmula que eu coloquei no resuminho...

7

v

= 2 ∙ j ∙ ∙ ℎ

7

v

= 2 ∙ j ∙ 10 ∙ 20

7

v

= 400j

O problema pede um valor aproximado para a área lateral. Vamos utilizar a seguinte aproximação: j ≅ 3,14.

7v ≅ 400 ∙ 3,14 7v ≅ 1.256 Letra E

57. (CITEPE 2009/CESGRANRIO) Uma jarra contém 1,2 L de água. Parte da água será despejada em um copo cilíndrico, com 4 cm de raio e 8 cm de altura. Considerando j = 3, quantos mililitros de água sobrarão dentro dessa jarra?

(A) 1.184 (B) 1.084 (C) 912 (D) 816 (E) 784 Resolução

Para resolver este problema, precisamos saber que 1 mililitro é igual a 1 cm³.

Vamos calcular o volume total do cilindro que possui raio igual a 4 cm e altura igual a 8 cm (observe que este cilindro também é equilátero, já que ℎ = 2 ).

… = j ∙ 4² ∙ 8 … = 3 ∙ 16 ∙ 8 … = 384 ³ = 384 + Como a jarra possui 1,2 + = 1.200 + de água, então sobrarão:

1.200 + − 384 + = 816 + Letra D

58. (PROMINP 2010/CESGRANRIO)

Acima, estão representados dois copos cilíndricos, A e B, de diâmetros respectivamente

iguais a 6 cm e 8 cm. O copo A contém água até a metade, e o copo B está

completamente vazio. Transferindo-se a água contida no copo A para o copo B, esta

ocupará 37,5% de sua capacidade total. Se o copo B tem 9 cm de altura, qual é, em cm, a

altura do copo A?

(A) 10

(B) 12

(C) 15

(D) 16

(E) 18

Resolução

O problema forneceu os diâmetros. Lembre-se que diâmetro é o mesmo que duas vezes

o raio. Portanto, o raio do cilindro A é igual a 3 cm e o raio do cilindro B é igual a 4 cm.

O copo A contém água até a metade, e o copo B está completamente vazio.

Transferindo-se a água contida no copo A para o copo B, esta ocupará 37,5% de sua capacidade total.

Isto significa que metade do volume do cilindro A é igual a 37,5% do volume do cilindro B.

…

I

O número 2 que está dividindo o primeiro membro, passa multiplicando o segundo

membro.

…

r

= 2 ∙ 37,5% ∙ …

J

…

_r

= 75% ∙ …

_J

…

r

=

3

_{4 ∙ …}

J

Vamos aplicar a fórmula do volume do cilindro.

jI² ∙ ℎI=

3

_{4 ∙}

j ∙ J² ∙ ℎJ

Sabemos que _I = 3, _J = 4 e ℎJ = 9 (o enunciado informou que a altura do cilindro B é de 9 cm). Aproveite e corte logo o j.

I² ∙ ℎI=

3

₄

∙ J² ∙ ℎJ 3² ∙ ℎI =

3

₄

∙ 4² ∙ 9 9 ∙ ℎI=

3

₄

∙ 16 ∙ 9 Cortando o 9... ℎI=

3

₄

∙ 16 ℎI = 12 Letra B

59. (TRT 4ª Região 2006/FCC) Uma caixa de água tem o formato de um cilindro circular reto, altura de 5 m e raio da base igual a 2 m. Se a água em seu interior ocupa 30% de seu volume, o

número de litros de água que faltam para enchê-lo é Dado: j = 3,1 (A) 43,4 (B) 4.150 (C) 4.340 (D) 41.500 (E))43.400 Resolução

Uma questão que mistura sistema de medidas com volume de sólidos.

Sempre que um problema pedir o volume em litros, devemos trabalhar as medidas lineares em

Ou seja, se você transformar todas as medidas para decímetros, o volume calculado já será expresso em litros.

Há um cilindro reto com altura 5 metros e raio da base igual a 2 metros. Vamos transformar tais unidades para decímetros.

km hm dam m dm cm mm

Para transformar as unidades da esquerda para a direita, multiplicamos por 10 a cada

passagem. Para transformar as unidades da direita para esquerda devemos dividir por 10

a cada passagem.

ℎ = 5 = 50 > = 2 = 20 >

A base de um cilindro é um círculo. A área de um círculo de raio é igual a j <. Pois bem, o volume do cilindro é o produto da área da base pela sua altura. Ou seja:

… = j <_{∙ ℎ} … = 3,1 ∙ 20² ∙ 50 … = 62.000 +.,

A água no interior do cilindro ocupa 30% de seu volume. Queremos calcular o número de litros de água que faltam para enchê-lo. Para tanto, basta calcular 70% (100% - 30%) do volume do cilindro.

70% > … =_{100 ∙ 62.000 = 43.400 +.,}70 Letra E

60. (PROMINP 2010/CESGRANRIO) Um recipiente cilíndrico de 12 cm de raio e 20 cm de

altura está cheio de água até a metade. Doze esferas maciças são colocadas dentro do

recipiente, ficando totalmente imersas e, assim, o nível (altura) da água em seu interior

passa a ser 13 cm. Qual é, em cm, o diâmetro de cada esfera?

(A) 3

(B) 4

(C) 6

(D) 8

(E) 12

Resolução

Colocamos as 12 esferas na água e a altura do líquido passa a ser 13 cm (subiu 3 cm).

Isto significa que a soma dos volumes das 12 esferas é igual ao cilindro em azul.

Vamos considerar que o raio de cada esfera seja igual a

} e que o volume de cada esfera

seja igual a

….

Sabemos que o raio do cilindro é

= 12 e a sua altura é ℎ = 3. Portanto:

12 ∙ … =

j 2_{∙ ℎ}

12 ∙

4

_{3 ∙ j ∙ }³ =}

j ∙ 122_{∙ 3} Vamos cortar o j.

16 ∙ }³ =

144 ∙ 3

16 ∙ }³ = 432

}³ = 27

} = 3

Como o raio de cada esfera é igual a 3, então o diâmetro é igual a 6.

Letra C

3 cm

Cone

Vamos mostrar os elementos de um cone numa única figura.

Estamos interessados em calcular o seu volume e nas suas áreas.

Como a base é um círculo, então a área da base é

j ².

A área lateral é dada pela fórmula

j *, onde * é o comprimento da geratriz do cone.

O volume de um cone é igual a 1/3 do produto da área da base pela altura. Como a base

de um cone é um círculo (a área de um círculo é

7 = j

<

), então o volume do cone é

dado por:

… =

j

₃

<

ℎ

Cone Reto

Área da base

7_ˆ = j ²

Área da superfície lateral (área lateral)

7

_v

= j ∙ ∙ *

Volume

… =

j

₃

<

ℎ

Cone equilátero

Š = mn

61. (SEMAE de Piracicaba 2006/CETRO) Suponha que você possui um funil cônico, cujo

raio mede 10 cm e a altura é de 15 cm. Assinale a alternativa correta quanto ao volume

de líquido, em litros, que esse funil pode conter, no máximo.

(A) 2,7

(B) 3,2

(C) 1,57

(D) 4,83

(E) 1,66

Resolução

Altura Geratriz Base

O volume de um cone é igual a 1/3 do produto da área da base pela altura. Como a base

de um cone é um círculo (a área de um círculo é

7 = j

<

), então o volume do cone é

dado por:

… =

j

₃

<

ℎ

Queremos calcular o volume em litros. Sempre que quisermos calcular algum

volume em litros é interessante colocar todas os comprimentos em decímetros (isto

porque 1 dm

3

= 1 litro). Assim, o raio que mede 10 cm, diremos que mede 1 dm (pois 10

cm = 1 dm) e a altura que mede 15 cm diremos que mede 1,5 dm.

Dessa forma, o volume é dado por:

… =

j ∙ 1

<

₃

∙ 1,5

Fazendo uma aproximação de

j ≅ 3,14,

… =

3,14 ∙ 1

₃

<

∙ 1,5

≅ 1,57 +.,

.

Letra C

62. (ISS-RJ 2010/ESAF) Se o volume de um cone de altura h e diâmetro da base d é V,

então o volume de um cone de mesma altura h e diâmetro da base 2d é:

a) 2V.

b) 4V.

c) πV.

d) 2V

2

.

e) V

3

.

Resolução

O problema pergunta o que acontece com o volume de um cone quando mantemos a

altura e dobramos o diâmetro da base. Obviamente, se estamos dobrando o diâmetro da

base, estamos também dobrando o raio da sua base, já que o diâmetro é o dobro do raio.

Vamos então considerar um cone de altura

ℎ e raio . Seu volume é ….

… =

j

₃

<

ℎ

Queremos calcular o volume de um cone de raio

2 .

j(2 )

<

_ℎ

3

=

j ∙ 4 ² ∙ ℎ

3

= 4 ∙

j

<

_ℎ

3 = 4…

Letra B

Paralelepípedo reto-retângulo e cubo

Estes são outros dois sólidos importantes em matéria de concursos públicos.

Na realidade, o cubo é apenas um caso particular do paralelepípedo reto-retângulo. Basta

fazer

/ = K = .

Pois bem o volume de um paralelepípedo reto-retângulo é o produto das suas três

dimensões.

… = /K

No caso do cubo, o volume fica:

… = / ∙ / ∙ /

… = /³

As faces do paralelepípedo são retangulares, enquanto as faces do cubo são todas

quadradas.

63. (PROMINP 2009/CESGRANRIO) Uma embalagem de suco tem a forma de um

paralelepípedo reto retângulo de base quadrada, com 8 cm de aresta. Se a embalagem

comporta 1,28 L de suco, qual é, em cm, a altura dessa embalagem?

(A) 12

(B) 16

(C) 20

(D) 22

(E) 24

a b c a a a

Resolução

Sempre que um problema pedir o volume em litros, devemos trabalhar as medidas lineares em DECÍMETROS. Isto porque 1> ³ = 1 +.

Ou seja, se você transformar todas as medidas para decímetros, o volume calculado já será expresso em litros.

km hm dam m dm cm mm

A aresta da base é de 8 cm.

‹ Œ• = Ž, ‹ ••

Como a base é um quadrado, então temos duas dimensões iguais a 0,8 dm.

/ = K = 0,8 >

Vamos calcular a altura , sabendo que o volume é de 1,28 L.

/ ∙ K ∙ = 1,28

0,8 ∙ 0,8 ∙ = 1,28

0,64 ∙ = 1,28

= 2 > = 20

Letra C

64. (Assistente Administrativo CRP 4ª 2006/CETRO)

A área de uma face de um cubo é 50

cm

2

. Quanto mede a diagonal de sua face?

(A) 25 cm

(B) 20 cm

(C) 15 cm

(D) 12 cm

(E) 10 cm

Um cubo possui 6 faces quadradas.

A área de um quadrado é igual ao quadrado do seu lado.

Assim, um quadrado de lado ℓ tem área ℓ

<

.

A diagonal de um quadrado de lado ℓ é ℓ

√2.

Como a área do quadrado é

50 cm

2

,

ℓ

<

= 50

ℓ

= √50

A diagonal é dada por

= = ℓ√2.

= = √50 ∙ √2 = √100 = 10

Letra E

Podemos calcular a diagonal de um quadrado utilizando o Teorema de Pitágoras.

=

<

_{= ℓ}

<

_{+ ℓ}

<

=

<

_{= 50 + 50}

=

<

_{= 100}

= = 10

65. (TRT 4ª Região 2006/FCC) Um peso de papel, feito de madeira maciça, tem a forma de um cubo cuja aresta mede 0,8 dm. Considerando que a densidade da madeira é 0,93 g/cm3, quantos gramas de madeira foram usados na confecção desse peso de papel?

(A) 494,18 (B))476,16 (C) 458,18 (D) 49,418 (E) 47,616 Resolução

Temos os seguintes múltiplos e submúltiplos do metro.

Submúltiplos: Decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm).

km hm dam m dm cm mm

Para transformar as unidades da esquerda para a direita, multiplicamos por 10 a cada

passagem. Para transformar as unidades da direita para esquerda devemos dividir por 10

a cada passagem.

A aresta do cubo é de 0,8 dm. Para transformar esta medida para centímetros, devemos multiplicar por 10.

0,8 > = 8

Sendo / aresta de um cubo, o seu volume é igual a /³. Portanto, o volume do cubo dado é igual a: … = /³ = 8³ = 512 ³

A densidade de um corpo é a razão entre a massa e o volume do corpo. > ) .>/> =_{€ +}/ /

Portanto:

/ / = > ) .>/> h € + / / = 0,93 h 512 = 476,16 * Letra B

11.

Relação das questões comentadas

01.

(Prefeitura Municipal de São José – FEPESE/2007) Se dois ângulos são

suplementares e a medida do maior é 35º inferior ao quádruplo do menor, assinale a

alternativa que indica a medida do menor desses dois ângulos:

a) 25º

b) 36º

c) 43º

d) 65º

e) 137º

02.

(Agente de Trânsito – Pref. de Mairinque 2006/CETRO) Na figura abaixo, as duas

aberturas angulares apresentadas são suplementares. Qual o valor da medida do ângulo

X?

(A) 100º 45’

(B) 106º 37’

(C) 98º 99’

(D) 360º

(E) 111º 11’

03. (Prefeitura de Ituporanga 2009/FEPESE) Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas.

Se o ângulo a mede 44°30’ e o ângulo q mede 55°30’, então a medida do ângulo b é: a) 100°.

b) 55°30’. c) 60°. d) 44°30”. e) 80°.

04. (CGU 2003-2004/ESAF) Os ângulos de um triângulo encontram-se na razão 2:3:4. O ângulo maior do triângulo, portanto, é igual a:

a) 40° b) 70° c) 75° d) 80° e) 90°

05. (Assistente de Chancelaria – MRE 2002/ESAF) Num triângulo ABC, o ângulo interno de vértice A mede 60º. O maior ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos internos de vértices B e C mede: a) 45º b) 60º c) 90º d) 120º e) 150º

06.

(Prefeitura Municipal de Cruzeiro 2006/CETRO) Calcule o perímetro de um terreno

retangular de medida 94 m e 36 m.

(A) 320 m

(B) 280 m

(C) 260 m

(D) 270 m

(E) 300 m

07. (Agente de Trânsito – Pref. de Mairinque 2006/CETRO) Um pedreiro construiu um muro ao redor de um terreno retangular que tinha um perímetro de 96 metros. O comprimento desse terreno equivale ao triplo de sua largura. As dimensões desse terreno valem

(A) 12 m por 36 m. (B) 25 m por 50 m. (C) 1 km por 12 km. (D) 15 m por 32 m. (E) 18 m por 36 m.

08. (Prefeitura Municipal de Eldorado do Sul 2008/CONESUL) Assinale a alternativa que corresponde ao número de diagonais de um icoságono.

a) 340 b) 190. c) 170. d) 380. e) 95.

09. (AFT 2006/ESAF) Em um polígono de n lados, o número de diagonais determinadas a partir de um de seus vértices é igual ao número de diagonais de um hexágono. Desse modo, n é igual a: a) 11 b) 12 c) 10 d) 15 e) 18

10. (Agente Administrativo Municipal- Prefeitura Municipal de Pinheiral 2006/CETRO) Um joalheiro recebe uma encomenda para uma jóia poligonal. O comprador exige que o número de lados seja igual ao número de diagonais. Sendo assim, o joalheiro deve produzir uma jóia

(A) triangular. (B) quadrangular. (C) pentagonal. (D) hexagonal. (E) decagonal.

11. (SUSEP 2010/ESAF) A soma S1 dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados,

com n ≥ 3, é dada por Si=(n-2).1800. O número de lados de três polígonos convexos, P1 , P2 , e

P3, são representados, respectivamente, por (x-3), x e (x+3). Sabendo-se que a soma de todos os

ângulos internos dos três polígonos é igual a 32400, então o número de lados do polígono P2 e o

total de diagonais do polígono P3 são, respectivamente, iguais a:

a) 5 e 5 b) 5 e 44 c) 11 e 44 d) 5 e 11 e) 11 e 5

12. (APO-MPOG 2008/ESAF) Dois polígonos regulares, X e Y, possuem, respectivamente, (n+1) lados e n lados. Sabe-se que o ângulo interno do polígono A excede o ângulo interno do polígono B em 5º (cinco graus). Desse modo, o número de lados dos polígonos X e Y são, respectivamente, iguais a: a) 9 e 8 b) 8 e 9 c) 9 e 10 d) 10 e 11 e) 10 e 12

13. (Pref. de São Gonçalo 2007/CEPERJ) A figura abaixo mostra dois pentágonos regulares colados.

O valor do ângulo ABC é: A) 18o

B) 20o C) 22o D) 24o E) 26o

14. (Prefeitura de São José 2009/FEPESE) Relacione as colunas 1 e 2. Cada número pode ser usado apenas uma vez.

Coluna 1

2. Triângulo acutângulo 3. Triângulo obtusângulo Coluna 2

( ) Triângulo cujos lados medem 6, 12 e 13 ( ) Triângulo cujos lados medem 5, 12 e 13 ( ) Triângulo cujos lados medem 6, 10 e 12

Assinale a alternativa que indica a sequência correta, assinalada de cima para baixo. a) 1, 2, 3

b) 3, 2, 1 c) 2, 3, 1 d) 3, 1, 2 e) 2, 1, 3

15. (Pref. Municipal de Serra Negra 2006/CETRO) Um triângulo equilátero possui (A) os três lados com medidas diferentes.

(B) dois lados com medidas iguais. (C) os três lados com medidas iguais. (D) um ângulo reto.

(E) dois ângulos obtusos.

16. (Assistente Administrativo IMBEL 2004/CETRO) Um triângulo que possui os três lados com a mesma medida, é chamado de triângulo

(A) isósceles (B) retângulo (C) equilátero (D) normal (E) escaleno

17. (EPPGG – MPOG 2000/ESAF) Os catetos de um triângulo retângulo medem, respectivamente, / + e / + O, onde /, O, são números reais. Sabendo que o ângulo

oposto ao cateto que mede / + é igual a 45º, segue-se que: a) O = −2 b) O = S3 T UV 2 c) O = 3TU d) O = e) O = 2

18. (Pref. de Taquarivaí 2006/CETRO) Na figura abaixo, as retas R, S e T são paralelas. Então o valor de X será de:

(A) 6 (B) 5 (C) 3 (D) 4 (E) 2

19. (Prefeitura Municipal de São José – FEPESE/2007) Tales de Mileto foi um grande matemático grego que conseguia calcular a altura de pirâmides. O famoso Teorema de Tales poderá ajudar você a encontrar as medidas indicadas na figura, sendo que as retas r, s e t são paralelas e a distância entre os pontos A e B é igual a 21.

Assinale a alternativa que represente o produto dos valores x e y. a) 36.

b) 42. c) 49. d) 96. e) 98.

20. (AFC 2005/ESAF) Um feixe de 4 retas paralelas determina sobre uma reta transversal, A, segmentos que medem 2 cm, 10 cm e 18 cm, respectivamente. Esse mesmo feixe de retas paralelas determina sobre uma reta transversal, B, outros três segmentos. Sabe-se que o

segmento da transversal B, compreendido entre a primeira e a quarta paralela, mede 90 cm. Desse modo, as medidas, em centímetros, dos segmentos sobre a transversal B são iguais a: a) 6, 30 e 54

b) 6, 34 e 50 c) 10, 30 e 50 d) 14, 26 e 50 e) 14, 20 e 56

21.

(EPPGG – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Os catetos de um triângulo retângulo

medem 9 cm e 12 cm. O perímetro desse triângulo é igual a:

a) 36 cm

b) 38 cm

c) 40 cm

d) 42 cm

e) 44 cm

22. (ATRFB 2009/ESAF) Duas estradas retas se cruzam formando um ângulo de 90º uma com a outra. Qual é o valor mais próximo da distância cartesiana entre um carro que se encontra na primeira estrada, a 3 km do cruzamento, com outro que se encontra na segunda estrada, a 4 km do cruzamento? a) 5 km b) 4 km c)

4

2

km d) 3 km e)

5

2

km

23. (Agente Administrativo Municipal- Prefeitura Municipal de Pinheiral 2006/CETRO) Durante um vendaval, um poste de iluminação de 18 metros de altura quebrou-se em um ponto a certa altura do solo. A parte do poste acima da fratura, inclinou-se, e sua extremidade superior encostou no solo a uma distância de 12 metros da base dele. Calcule a quantos metros de altura do solo quebrou-se o poste. (A) 6 (B) 5 (C) 4 (D) 3 (E) 2

24. (ENAP 2006/ESAF) A base de um triângulo isósceles é 2 metros menor do que a altura relativa à base. Sabendo-se que o perímetro deste triângulo é igual a 36 metros, então a altura e a base medem, respectivamente

a) 8 m e 10 m. b) 12 m e 10 m. c) 6 m e 8 m. d) 14 m e 12 m. e) 16 m e 14 m.

25. (RIOPREVIDENCIA 2010/CEPERJ) Na figura abaixo, os ângulos de vértices B e C são retos, AB = 9m, BC = 11m e CD = 4m.

Então, entre as alternativas abaixo, a que mais se aproxima da distância entre os pontos A e D é: a) 15m b) 16m c) 17m d) 19m e) 21m

26. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) O terreno de uma grande fazenda é muito plano. Certo dia, o fazendeiro saiu de casa com seu jipe e andou 11 km para o norte. Em seguida, andou 6 km para o leste, 3 km para o sul e 2 km para oeste. Neste ponto, a distância do fazendeiro à sua casa é de, aproximadamente: a) 7 km b) 8 km c) 9 km d) 10 km e) 11 km

27. (Agente Administrativo Municipal- Prefeitura Municipal de Pinheiral 2006/CETRO) Em um terreno plano, a sombra de um prédio, em determinada hora do dia, mede 15m. Próximo ao prédio, e no mesmo instante, um poste de 5m. de altura, produz uma sombra que mede 3m. A altura do prédio, em metros, é:

(A) 75 (B) 45 (C) 30 (D) 29 (E) 25

28. (Prefeitura Municipal de Mairinque 2009/CETRO) Uma criança está ao lado de um poste. Sabe-se que ela mede 80cm e que a medida da sombra do poste é de 5,4 metros. Se a sombra da criança mede 60cm, então, a altura do poste é de

(A) 6,2 metros. (B) 6,6 metros. (C) 6,8 metros. (D) 7,0 metros. (E) 7,2 metros.

29.

(APO – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Um poste de 8m de altura tem no alto uma

forte lâmpada. Certa noite, uma criança de 1,60m de altura ficou parada a uma distância

de 6m do poste. O comprimento da sombra dessa criança no chão era de:

a) 1,5m

b) 1,6m

c) 1,75m

d) 1,92m

e) 2,00m

30. (ENAP 2006/ESAF) A razão de semelhança entre dois triângulos, T1, e T2, é igual a 8.

Sabe-se que a área do triângulo T1 é igual a 128 m2. Assim, a área do triângulo T2 é igual a

a) 4 m2. b) 16 m2. c) 32 m2. d) 64 m2. e) 2 m2.

31. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) O triângulo retângulo ABC da figura abaixo tem catetos AB = 8 e AC = 6. Pelo ponto M, médio da hipotenusa, traçou-se o segmento MN perpendicular a BC. O segmento AN mede: a) 7/4 b) 2 c) 9/4 d) 5/2 e) 11/4

32. (Assistente Administrativo EBDA 2006/CETRO) Para construir um jardim, um jardineiro recebeu as seguintes recomendações da dona da casa: o jardim tem que ocupar uma área de 36m2, perímetro de 26m e formato retangular. As dimensões desse jardim são de:

(A) 2m e 18m (B) 20m e 6m (C) 4m e 9m (D) 3m e 12m (E) 10m e 16m

33. (Assistente de Informática – Pref. de Itapeva 2006/CETRO) A soma das áreas de dois quadrados é de 25 m2 e a soma dos seus perímetros é igual a 28m. Portanto, as medidas dos lados x e y desses quadrados são, respectivamente:

Obs.:Figuras fora de escala. (A) 3m e 4m (B) 3,5m e 3,5m (C) 5m e 2m (D) 7m e 7m (E) 20m e 8m

34. (Analista de Sistemas – UDESC – FEPESE/2010) Seja ABCD o paralelogramo abaixo, e seja E um ponto no segmento AD, conforme descrito na figura abaixo:

Sabendo que AB = 5, AE = 3 e AD = 8, a área do paralelogramo ABCD é: a) 15. b) 24. c) 30. d) 32. e) 40.

35. (Pref. Municipal de Arujá 2006/CETRO) Em um trapézio, os lados paralelos medem 16m e

44m, e os lados não paralelos, 17m e 25m. A área do trapézio, em m2, é: (A) 600.

(B) 550. (C) 500. (D) 450. (E) 400

36. (APO – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) A figura a seguir mostra três circunferências

com centros em A,B e C, tangentes entre si duas a duas.

As distâncias entre os centros são conhecidas: AB = 34, BC = 18 e CA = 30. O raio da

circunferência de centro A é:

a) 24

b) 23

c) 22

d) 21

e) 20

37. (TRT-SC 2005/FEPESE) Um círculo de área 16π está inscrito em um quadrado. O perímetro do quadrado é igual a: a) 32 b) 28 c) 24 d) 20 e) 16

38. (LIQUIGÁS 2008/CETRO) A figura abaixo é formada por um quadrado de lado 6m “cortado” por um arco de circunferência.

Considerando j=3,14, a área da região pintada de preto é de (A) 7,74m² (B) 7,98m² (C) 8,42m² (D) 8,86m² (E) 9,12m²

39. (APO – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Um ladrilho branco quadrado com 8 cm de lado

tem no seu interior um círculo cinza de 2 cm de raio.

A porcentagem da superfície do ladrilho que está pintada de cinza é, aproximadamente:

a) 11%

b) 14%

c) 17%

d) 20%

e) 24%

40. (BADESC 2010/FGV) Uma circunferência de centro em O está inscrita em um

quadrado de vértices A, B, C e D, como ilustrado. P, Q e R são pontos em que a

circunferência toca o quadrado.

Com relação à figura, analise as afirmativas a seguir:

I. A área interior ao quadrado e exterior à circunferência é menor do que a metade da

área total do quadrado.

II. A distância de A até O é menor do que a metade da medida do lado do quadrado.

III. O percurso PRQ, quando feito por cima da circunferência, é mais curto do que o feito

por sobre os lados do quadrado. Assinale:

(A) se somente a afirmativa I estiver correta.

(B) se somente a afirmativa II estiver correta.

(C) se somente a afirmativa III estiver correta.

(D) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas.

(E) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas.

41. (SEE-RJ 2007/CEPERJ) A figura abaixo mostra duas semicircunferências de diâmetros AB e

Se AB = 2 e BC = 1, a razão R/S entre as áreas das regiões R e S mostradas na figura é: A) 0,5 B) 0,6 C) 0,8 D) 1 E) 1,2

42. (ATRFB 2009/ESAF) Em uma superfície plana horizontal, uma esfera de 5 cm de raio está encostada em um cone circular reto em pé com raio da base de 5 cm e 5 cm de altura. De quantos cm é a distância entre o centro da base do cone e o ponto onde a esfera toca na superfície? a) 5 b) 7,5 c) 5 +

5

2

/

2

d)

5

2

e) 10.

43. (MPOG 2005/ESAF) Se de um ponto P qualquer forem traçados dois segmentos tangentes a uma circunferência, então as medidas dos segmentos determinados pelo ponto P e os respectivos pontos de tangência serão iguais. Sabe-se que o raio de um círculo inscrito em um triângulo retângulo mede 1 cm. Se a hipotenusa desse triângulo for igual a 20 cm, então seu perímetro será igual a:

a) 40 cm b) 35 cm c) 23 cm d) 42 cm e) 45 cm

44. (Enap 2006/ESAF) Considere um triângulo ABC cujos lados, AB, AC e BC medem, em metros, c, b e a, respectivamente. Uma circunferência inscrita neste triângulo é tangenciada pelos lados BC, AC e AB nos pontos P, Q e R, respectivamente. Sabe-se que os segmentos AR , BP e CQ medem x, y e z metros, respectivamente. Sabe-se, também, que o perímetro do triângulo ABC é igual a 36 metros. Assim, a medida do segmento CQ, em metros, é igual a a) 18 - c.

b) 18 - x. c) 36 - a.

d) 36 - c. e) 36 - x.

45. (CGU 2008/ESAF) Um quadrilátero convexo circunscrito a uma circunferência possui os lados a, b, c e d, medindo (4 x - 9), (3 x + 3), 3 x e 2 x, respectivamente. Sabendo-se que os lados a e b são lados opostos, então o perímetro do quadrilátero é igual a:

a) 25 b) 30 c) 35 d) 40 e) 50

46. (Prefeitura de Ituporanga 2009/FEPESE) Na circunferência abaixo:

Determine a medida x indicada. a) 3

b) 6 c) 7 d) 10 e) 12

47. (Secretaria de Administração – Balneário Camboriú – FEPESE/2007) Um terreno tem a forma triangular, e seus lados medem 40 m, 90 m e 110 m. A área desse terreno, em metros quadrados, é: a) 1800√2 b) 2200 c) 1950 d) 1200√2 e) 240

48. (Prefeitura de Ituporanga 2009/FEPESE) Se em um triângulo os lados medem 12 cm, 16 cm e 20 cm, então a altura relativa ao maior lado mede:

a) 10,3 cm. b) 6,0 cm. c) 7,2 cm.

d) 5,6 cm. e) 9,6 cm.

49. (SUSEP 2010/ESAF) Um círculo está inscrito em um triângulo isósceles de base 6 e altura 4. Calcule o raio desse círculo.

a) 1,50 b) 1,25 c) 1,00 d) 1,75 e) 2,00

50. (Professor de Matemática – Pref. de Campinas 2008/FGV) A figura abaixo mostra um triângulo ABC e o ponto D sobre o lado AC.

Sabendo que 78 = 89 = 9= e que =837 =18°, então o ângulo 983= mede: a) 58º

b) 60º c) 62º d) 64º e) 66º

51. (Professor de Matemática – Pref. de Campinas 2008/FGV) A órbita da Terra em torno do Sol é quase circular com raio aproximado de 150 milhões de quilômetros. A velocidade do nosso planeta em seu eterno percurso em volta do Sol é cerca de:

(A) 2.000km/h. (B) 10.000km/h. (C) 50.000km/h. (D) 100.000km/h. (E) 200.000km/h.

52. Professor de Matemática – Pref. de Campinas 2008/FGV) Em um jardim há um gramado com a forma de um quadrilátero OABC. Esse gramado será ampliado tomando a forma do quadrilátero OA'B’C’, semelhante ao anterior, como mostra a figura abaixo.

Sabendo que a área do quadrilátero OABC é de 108 m², que OA =15 m e que AA’ = 5m, a área de grama nova (parte sombreada da figura que será plantada) é de:

a) 36 m² b) 48 m² c) 58 m² d) 76 m² e) 84 m²

53. (Petrobras 2005/CESGRANRIO) Um reservatório esférico com 12 m de diâmetro foi

construído com chapas soldadas de aço. A área da superfície esférica, em m², é de:

(A)

144 j

(B)

216 j

(C)

288 j

(D)

432 j

(E)

576 j

54. (SEFAZ-SP 2009/FCC) Uma caixa retangular tem 46 cm de comprimento, 9 cm de

largura e 20 cm de altura. Considere a maior bola que caiba inteiramente nessa caixa. A

máxima quantidade de bolas iguais a essa que podem ser colocadas nessa caixa, de

forma que ela possa ser tampada, é

(A) 6

(B) 8

(C) 9

(D) 10

(E) 12

55. (PROMINP 2006/CESGRANRIO)

Uma esfera está inscrita em um cilindro equilátero de volume 16j ³, como representado na figura acima. O volume da esfera, em cm³, vale:

(A) 16j/3 (B) 32j/3 (C) 64j/3 (D) 74j/3 (E) 92 j/3

56. (PROMINP 2009/CESGRANRIO) Um cilindro equilátero feito de cartolina foi recortado e

desenrolado, de modo a formar um retângulo, como mostra a figura abaixo. Observe que as bases do cilindro foram retiradas.

Se, quando montado, o volume do cilindro é 2.000j ³, qual é, em cm², a área aproximada do retângulo? (A) 314 (B) 628 (C) 742 (D) 980 (E) 1.256

57. (CITEPE 2009/CESGRANRIO) Uma jarra contém 1,2 L de água. Parte da água será despejada em um copo cilíndrico, com 4 cm de raio e 8 cm de altura. Considerando j 3, quantos mililitros de água sobrarão dentro dessa jarra?

(B) 1.084 (C) 912 (D) 816 (E) 784

58. (PROMINP 2010/CESGRANRIO)

Acima, estão representados dois copos cilíndricos, A e B, de diâmetros respectivamente

iguais a 6 cm e 8 cm. O copo A contém água até a metade, e o copo B está

completamente vazio. Transferindo-se a água contida no copo A para o copo B, esta

ocupará 37,5% de sua capacidade total. Se o copo B tem 9 cm de altura, qual é, em cm, a

altura do copo A?

(A) 10

(B) 12

(C) 15

(D) 16

(E) 18

59. (TRT 4ª Região 2006/FCC) Uma caixa de água tem o formato de um cilindro circular reto, altura de 5 m e raio da base igual a 2 m. Se a água em seu interior ocupa 30% de seu volume, o número de litros de água que faltam para enchê-lo é

Dado: j 3,1 (A) 43,4 (B) 4.150 (C) 4.340 (D) 41.500 (E))43.400

60. (PROMINP 2010/CESGRANRIO) Um recipiente cilíndrico de 12 cm de raio e 20 cm de

altura está cheio de água até a metade. Doze esferas maciças são colocadas dentro do

recipiente, ficando totalmente imersas e, assim, o nível (altura) da água em seu interior

passa a ser 13 cm. Qual é, em cm, o diâmetro de cada esfera?

(A) 3

(B) 4

(C) 6

(D) 8

(E) 12

61. (SEMAE de Piracicaba 2006/CETRO) Suponha que você possui um funil cônico, cujo

raio mede 10 cm e a altura é de 15 cm. Assinale a alternativa correta quanto ao volume

de líquido, em litros, que esse funil pode conter, no máximo.

(A) 2,7

(B) 3,2

(C) 1,57

(D) 4,83

(E) 1,66

62. (ISS-RJ 2010/ESAF) Se o volume de um cone de altura h e diâmetro da base d é V,

então o volume de um cone de mesma altura h e diâmetro da base 2d é:

a) 2V.

b) 4V.

c) πV.

d) 2V

2

.

e) V

3

.

63. (PROMINP 2009/CESGRANRIO) Uma embalagem de suco tem a forma de um

paralelepípedo reto retângulo de base quadrada, com 8 cm de aresta. Se a embalagem

comporta 1,28 L de suco, qual é, em cm, a altura dessa embalagem?

(A) 12

(B) 16

(C) 20

(D) 22

(E) 24

64. (Assistente Administrativo CRP 4ª 2006/CETRO)

A área de uma face de um cubo é 50

cm

2

. Quanto mede a diagonal de sua face?

(A) 25 cm

(B) 20 cm

(C) 15 cm

(D) 12 cm

(E) 10 cm

65. (TRT 4ª Região 2006/FCC) Um peso de papel, feito de madeira maciça, tem a forma

de um cubo cuja aresta mede 0,8 dm. Considerando que a densidade da madeira é 0,93

g/cm

3

, quantos gramas de madeira foram usados na confecção desse peso de papel?

(A) 494,18

(B)

)

476,16

(C) 458,18

(D) 49,418

(E) 47,616

12.

Gabaritos

01. C 02. B 03. A 04. D 05. D 06. C 07. A 08. C 09. B 10. C 11. ANULADA 12. ANULADA 13. A 14. E 15. C 16. C 17. D 18. B 19. B 20. A 21. A 22. A 23. B 24. B 25. C 26. C 27. E 28. E 29. A 30. E 31. A 32. C 33. A 34. D 35. D 36. B 37. A 38. A 39. D 40. D 41. C 42. D

43. D 44. A 45. B 46. D 47. D 48. E 49. A 50. E 51. D 52. E 53. A 54. D 55. B 56. E 57. D 58. B 59. E 60. C 61. C 62. B 63. C 64. E 65. B