Capítulo 3
Derivadas de funções complexas
3.1. Introdução
O primeiro estudo sistemático das funções complexas e das suas aplicações a problemas de análise, hidrodinâmica e cartografia deve-se a L. Euler, em 1776-77. Contudo, funções deste tipo tinham sido anteriormente consideradas por outros matemáticos, com destaque para J. d’Alembert1 que utilizou funções complexas em 1752, no âmbito do estudo do movimento de fluidos. Euler obteve, então, condições necessárias para a diferenciabilidade de uma função complexa, embora não as tenha explorado completamente. Estas condições resultam da forma especial das funções lineares complexas, dado que a diferenciabilidade de uma função num ponto corresponde a poder ser aproximada por uma função linear numa vizinhança desse ponto.
Por volta de 1825, A.L. Cauchy2 deu um sentido preciso à noção de derivada de uma função, tornando rigorosa a noção de limite da sua razão incremental, na sequência de uma ideia de d’Alembert cerca de 1752. Cauchy deu passos decisivos no estudo das funções complexas com base nas condições necessárias de diferenciabilidade obtidas por Euler, mas só com o trabalho de B. Riemann3, em 1851, é que estas condições são plenamente exploradas. Ficaram conhecidas por “condições de Cauchy-Riemann”. Podem ser expressas por equações que relacionam as derivadas parciais das partes real e imaginária da função. Estabelecem que a diferenciabilidade de funções complexas
1 Jean le Rond d’Alembert (1717-1783). 2 Augustin Louis Cauchy (1789-1857). 3 Bernhard Riemann (1826-1866).
implica fortes restrições de interligação das suas partes real e imaginária, ausentes na diferenciabilidade de funções de ℝ2 em ℝ2.
As transformações lineares definidas pelas derivadas de funções complexas diferenciáveis num conjunto aberto correspondem a relações geométricas de semelhança do domínio para o contradomínio, isto é, transformações que preservam ângulos entre rectas e expandem (ou contraem) comprimentos uniformemente em todo o espaço. Como as derivadas de uma função definem transformações lineares que são boas aproximações locais da função, as propriedades referidas tendem a ser satisfeitas pela função, no limite quando se tende para um ponto de diferenciabilidade. Euler chamava-lhes “transformações infinitesimamente semelhantes” para traduzir a ideia de, na vizinhança de cada ponto, tenderem a definir transformações de semelhança no sentido da geometria elementar (triângulos semelhantes têm ângulos correspondentes iguais e lados correspondentes proporcionais com a mesma constante de proporcionalidade). Estas transformações foram consideradas nos trabalhos de Euler de 1777 sobre cartas geográficas da Rússia, de cuja elaboração foi encarregado pela Academia das Ciências de S. Petersburgo. Na verdade, um aspecto essencial para o uso prático de mapas é que o “traçado de rumos” definindo um ângulo de direcção de percurso com uma direcção de referência (por exemplo, com o Norte magnético ou celeste) possa ser feito marcando o mesmo ângulo numa carta plana, o que exige a preservação de ângulos na construção de mapas planos da superfície do globo terrestre e, portanto, a propriedade de corresponderem a “transformações infinitesimamente semelhantes”. A designação “transformações conformes”, utilizada para transformações do plano com as propriedades geométricas referidas, foi introduzida apenas em 1789 por S. Schubert, académico de S. Petersburgo.
3.2. Diferenciabilidade e derivadas de funções complexas
Seja f :Ω ℂ uma função definida num conjunto aberto não-vazio ℂ. Diz-se que é diferenciável num ponto se existe o limite da razão incremental de
entre → Ω ∈ ⊂ Ω f z0∈Ω f z e quando z0 z→z0: ( f 0 0 0 ) ( ) lim ) ( 0 z z z f z z f z z − − = ′ → .
A chama-se a derivada de em . Se é diferenciável em todos os pontos do conjunto aberto que contém um conjunto não-vazio , diz-se que é holomorfa em . O conjunto de todas as funções holomorfas em designa-se por . Chama-se função inteira a uma função que é holomorfa em ℂ , isto é, o conjunto das funções inteiras é ℂ) . ) (z0 f′ S f z0 f Ω ⊂ S S f H(S) ( H (3.1) Exemplos:
1. A função complexa só é diferenciável no ponto . Na verdade, com , 2 | | ) (z z f = z=0 θ i e r h= r >0,θ∈ℝ , obtém-se
θ θ i i z re e z h h h z h h z h z z h z h z h z f h z f( + )− ( ) = ( + )( + )− = + + = −2 + + − . Como lim(ze−2iθ +z+re−iθ)= ze−2iθ +z
r→0 , verifica-se que para este limite
4 varia com 0 ≠ z θ, pelo que
h 0→ não existe, e para o limite existe e é
zero. Portanto a derivada de só existe no ponto e, neste caso, é nula.
h z f h z f( ) ( ))/ ( lim + − f 0 = z 0 = z
2. As funções complexas constantes são holomorfas em ℂ e têm derivada nula em todos os pontos. Na verdade,
c z f( )= 0 lim ) ( ) ( lim ) ( 0 0 = − = − + = ′ → → h c c h z f h z f z f h h .
3. A função identidade é holomorfa em ℂ e tem derivada em todos os pontos. Na verdade, z z f( )= f′(z)=1 1 1 lim ) ( lim ) ( ) ( lim 0 0 0 = = − + = − + → → → h h h h z h z h z f h z f .
4. As funções potência de expoente inteiro positivo, , com ℕ, são holomorfas em ℂ e têm derivada em todos os pontos. Na verdade, da fórmula binomial de Newton5 obtém-se
n z z f( )= n∈ 1 ) ´(z =nzn− f h h z h n z h n n z h n h z h z h z f h z f n n n + − n + + n + n = − + = − + ) ( ) ( ) −1 ( 2 1) 2 −2 −1 ( Λ e, portanto, = + − + + + = − + = ′ − − − − → → 1 2 2 1 0 0 2 ) 1 ( lim ) ( ) ( lim ) ( n n n n h h hz nh z h n n z n h z f h z f z f Λ nzn−1 .
As derivadas nos exemplos anteriores foram calculadas directamente a partir da definição, como limites de razões incrementais. Contudo, da definição de derivada de funções complexas resultam propriedades de diferenciação de operações de funções análogas às da diferenciação de funções reais e que se estabelecem de forma idêntica. Na verdade, as somas, produtos e quocientes (com denominadores não nulos) de funções complexas diferenciáveis num ponto são diferenciáveis nesse ponto e as composições de funções complexas diferenciáveis em pontos correspondentes são diferenciáveis. As regras de derivação associadas são:
g f g f + )′= ′+ ′ ( , (fg)′= fg′ + fg′, 2 g g f g f g f ′ = ′ − ′ , (f οg)′=(f′οg)g′. Portanto, as somas, produtos, quocientes (com denominadores que não se anulam) e composições de funções holomorfas são funções holomorfas. Mais precisamente, com
ℂ , se tem-se e ( ; se
tem-se ( . Em particular, o conjunto das funções
⊂ S g∈ ) ( ,g H S f ∈ )) ( ( Sg H ∈ ) ( ) ( ), (f +g fg ∈H S ) ( ) H S g ∈ ο
(
[ ]
)
} 0 { \ ) /g ∈H S g−1 f ), (S f H f4 O limite indicado é a derivada direccional da correspondente função em ℝ no ponto
segundo o vector . 2 (x,y)=z ) sin , (cosθ θ 5 Isaac Newton (1642-1727).
holomorfas num conjunto ℂ é um espaço linear complexo com a soma e a multiplicação por escalares complexos usuais.
⊂ S z P( ) / ) Q z = 0 ( f 2 z y i + B A (3.2) Exemplos 1. As funções polinomiais =
∑
nk= k kz a 0 1 −são funções inteiras, visto que são somas de produtos de constantes por potências de expoentes inteiros não negativos, as quais são funções inteiras. As regras de derivação de operações de funções dão
. Assim, a derivada de uma função polinomial de grau n é uma função polinomial de grau
∑
n .− = + + = ′ 1 0( 1) 1 ) ( nk k k z a k z P
2. As funções racionais , onde são funções polinomiais e não é o polinómio zero, são holomorfas no seu domínio, isto é, no conjunto de pontos onde o denominador não é zero, dado que são quocientes de funções inteiras. As derivadas de funções racionais podem ser calculadas pela regra de derivação do quociente de funções e a fórmula de derivação de polinómios do exemplo anterior.
) ( ( z P P,Q Q ) (z Q
Note-se que a função definida por (3.3) = ≠ − − ′ − − 0 0 0 0 0 0 0 se , se , ) ( ) ( ) ( ) ) , ( z z z z z z z z z f z f z z z E satisfaz 0 →z
z . Por outro lado, a função T0 ℂ→ℂ, com T , é
uma transformação linear no espaço linear complexo ℂ. Assim, dada a correspondência entre pontos de ℂ e de ℝ , a diferenciabilidade de uma função complexa num ponto ℂ corresponde à diferenciabilidade da função ( , definida em pontos do espaço linear real ℝ e com valores neste espaço, no ponto ( , com derivada dada por uma transformação linear em ℝ que corresponde a uma transformação linear no espaço linear complexo ℂ. Designando , pode-se escrever a transformação linear T na forma
0 ) , ( limE z z0 = ∈ =( 0, 0) 0 x y : z z0(z)= f′(z0)z ) , ( vu f = ) , v u ) , 0 0 y x ) ( )= f′ z0 2 z 2 , (A B 0 ) , ( ) ( ) ( ) ).( ( ) , ( 0 x y A iB x Ax By i Bx Ay Ax By Bx Ay Tz = + = − + + = − + .
A representação matricial da correspondente transformação linear em ℝ , na base canónica, coincide com a matriz Jacobiana da função ( no ponto e é
2 ) , v u (x0,y0) ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − y v x v y u x u A B .
Portanto, há consistência com a observação em Álgebra Linear das representações matriciais das transformações lineares em ℝ que correspondem a transformações lineares complexas em ℂ serem, na base canónica de ℝ , as matrizes de componentes reais com as duas componentes na diagonal principal iguais e as outras duas componentes simétricas uma da outra.
2
Ficou provado o resultado seguinte.
(3.4) Teorema (equações de Cauchy-Riemann): Se f :S →ℂ , com S ⊂ℂ , é
diferenciável num ponto z0∈S e f =(u,v), então no ponto (x0,y0)=z0 verifica-se
y v x u ∂ ∂ = ∂ ∂ , x v y u ∂ ∂ − = ∂ ∂ .
Além disso, a derivada f′ é dada por cada uma das fórmulas seguintes:
x f x v i x u f def ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ′ , y f i y u i y v f def ∂ ∂ − = ∂ ∂ − ∂ ∂ = ′ , y u i x u f ∂ ∂ − ∂ ∂ = ′ , x v i y v f ∂ ∂ + ∂ ∂ = ′ .
É claro que as equações de Cauchy-Riemann estabelecem fortes restrições de interligação das partes real e imaginária de funções complexas diferenciáveis, mas também estabelecem restrições às próprias partes real e imaginária, o que é concretizado com casos particulares nos exemplos seguintes.
(3.5) Exemplos:
1. Seja uma função complexa holomorfa numa região Ω ℂ, cuja parte real é . A equação de Cauchy-Riemann ∂ é, neste caso, . Primitivando em ordem a obtém-se v , onde a constante de primitivação em ordem a se representa por dado que pode depender de ) , (u v f = 2 xy x − = x y x, )=2 ⊂ u ∂ = / = ) ,y x K 2 ) , (x y y u − y y v ∂ − ∂ / ( x y v/∂ ∂ ( 2xy ) (x y −y2/2+K(x) y
x. A outra equação de Cauchy-Riemann, ∂ , também tem de ser satisfeita, o que equivale a e, portanto, a , ou seja, +c, onde c é uma constante real. Assim, uma função holomorfa numa região com a parte real dada tem necessariamente de ter parte imaginária da forma
, onde c é uma constante real.
x y= ∂ /
)
−∂v/∂ u ) x(
+ ( 2y K x− =− ′ − c 2y K′(x)=−x 2 / K xy y x v( , ) 2 ) (x =−x2 x + − = 2/2 − y2/2+2. Seja uma função complexa definida num conjunto aberto ℂ, cuja parte
real é . Procedendo de forma análoga obtém-se ,
, , o que é impossível. Portanto, não há funções complexas holomorfas com parte real u .
) , (u v f = ) , ( yx u = 2xy+K = ⊂ Ω v /∂ ∂ 2 2 y x + ) (x 2y x y x y( , )=2 ) , (x y v =−
(
2y+K′(x) , (x)
2 2 ) x y y = +A diferenciabilidade de uma função complexa num ponto corresponde aos acréscimos dos valores da função numa vizinhança do ponto em relação ao valor nesse ponto serem bem aproximados por uma função linear complexa, no sentido dos erros de aproximação convergirem para zero quando os pontos no domínio convergem para o ponto considerado. Geometricamente, esta situação corresponde ao gráfico da função em ℝ associada à função complexa admitir um plano tangente (não vertical) no ponto correspondente ao ponto considerado. Esta tangência a um plano não vertical (gráfico de uma função contínua em ℝ ) implica que a função seja contínua no ponto de diferenciabilidade.
2
(3.6) Teorema: Se Ω⊂ℂ é um conjunto aberto e f :Ω→ℂ é diferenciável num ponto
Ω ∈
0
z , então é contínua em f z .0
Dem. Com definida para E(z,z0) z numa vizinhança de pela fórmula (3.3), tem-se
. Como , é ,
pelo que é contínua em . Q.E.D.
0 z )= ) ( ) ( ) ( ) (z f z z z0 E 0 f − − + f z0 , z z ( ) 0 0 = f′ z lim ( , 0 0 0 →z E z z z lim0 ( ) ( 0) 0 = − →z f z f z z
As equações de Cauchy-Riemann num ponto são necessárias para a diferenciabilidade nesse ponto. O exemplo seguinte mostra que não são suficientes.
(3.7) Exemplo: Considera-se a função complexa f(z)= |xy| 0 ) ,y = x θ i e r = > , onde . Com
, verifica-se u , e , pelo que ( ,
, , . Portanto, as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas no ponto zero. Por outro lado, com h ,
z y x, )= ( 0 , 0 )( /∂ ∂u x f v u, )= ( 0 )( / (∂u ∂y 0 ) 0 , (x = 0 ) /∂x = ( 0 ) , 0 ( y = u 0 ) /∂y = u ( v )=0 0 ) 0 , = (∂v ∂ ∈ θ , 0 r ℝ , tem-se θ θ θ θ θ i i e e r r h f h f − = = − 2 | 2 sin | | ) )(sin (cos | ) 0 ( ) ( .
Os valores desta função variam com θ, por exemplo, o valor da função é zero para 0
=
θ , e é (1/2,-1/2) para θ =π/4. Portanto,
h→0 não existe. Segue-se que não é diferenciável no ponto zero, mas as equações de Cauchy-Riemann verificam-se nesse ponto.
h f h f( ) (0))/ ( lim − f
Sabe-se do estudo de funções em ℝ que uma condição suficiente para a diferenciabilidade de uma função num conjunto aberto não-vazio é que as duas componentes reais da função sejam C nesse conjunto, isto é, as suas derivadas parciais existam e sejam contínuas no conjunto. Esta propriedade permite estabelecer condições em que as equações de Cauchy-Riemann são necessárias e suficientes para diferenciabilidade de uma função complexa.
2
1
(3.8) Teorema: Seja Ω⊂ℝ um conjunto aberto não-vazio e 2 u,v:Ω→ℝ funções C1.
Então a função complexa f =( vu, ) é holomorfa em Ω se e só se as equações de
Cauchy-Riemann se verificam em . Ω
Dem. Nas condições dadas, a função (x,y)α (u(x,y),v(x,y)) em ℝ é diferenciável em . A derivada é uma transformação linear em ℝ que corresponde a uma transformação linear no espaço linear complexo ℂ se e só se a sua matriz Jacobiana, na base canónica de ℝ , tem as componentes na diagonal principal iguais e as outras duas componentes simétricas, ou seja, se e só se são satisfeitas as equações de Cauchy-Riemann. Q.E.D.
2
Ω 2
2
(3.9) Equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares
Em certos casos é útil considerar as equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares. As relações entre coordenadas cartesianas x,y e coordenadas polares r,θ são
θ θ, sin cos y r r x= = ) , ( ), , (x y v x y u cos ( ) , (
. A transformação de coordenadas no domínio de funções pode ser expressa na forma
r u y x u = ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ r Vr U ) sin (cosy i y e ez = x + y e x u = xcos ∂ ∂ e z) iz (cos = ′ ) , ( ) sin , θ θ θ r =U r , v(x,y)=v(rcosθ,rsinθ)=V(r,θ). Com a regra de derivação da função composta, obtém-se
− ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂∂ ∂ θ θ θ θ θ θ cos sin sin cos r r y v x v y u x u V r V U r U
As equações de Cauchy-Riemann em coordenadas cartesianas são
A
y
v
x
u
def=
∂
∂
=
∂
∂
, B y u x v def = ∂ ∂ − = ∂ ∂ , pelo que − + + − − = ∂ ∂∂ ∂ ) sin cos ( cos sin ) cos sin ( sin cos θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ B A r B A B A r B A V Ue, portanto, as equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares são (3.10) r U r V ∂ ∂ = ∂ ∂ θ , r V r U ∂ ∂ − = ∂ ∂ θ . (3.11) Exemplos
1. Considera-se a função complexa . Com e , verifica-se
, pelo que e v . Tem-se
z e z f( )= e y) xcos , = ) , ( vu f = e y x, ) x ( = ) , ( yx z= y y x u( sin v ∂ ∂v , e y y u =− xsin ∂ ∂ , e y x xsin = ∂ , y e y xcos = ∂ .
Estas funções são contínuas e satisfazem as equações de Cauchy-Riemann em ℂ. Conclui-se do teorema (3.8) que é uma função inteira. A sua derivada é ez
z x x z e y ie y e x v i x u e = + = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ′ cos sin ) ( .
Portanto, tal como no caso real, a derivada da exponencial é ela própria. 2. As funções complexas coseno e seno foram definidas por
2 cos z i z i e e z= + − , i e e z z i z i 2 − − = sin .
Como somas, produtos e composições de funções inteiras são inteiras, conclui-se que as funções complexas coseno e seno também são funções inteiras. As suas derivadas são
z ie ie e iz iz iz sin 2 2 =− − = ′ + − − , z i ie ie i e e z iz iz iz iz cos 2 2 ) = + = ′ − = ′ − − (sin .
Portanto, tal como para as correspondentes funções reais, a derivada do coseno complexo é o simétrico do seno e a derivada do seno complexo é o coseno.
A tangente complexa é . Como é um quociente de funções inteiras, esta função é holomorfa no seu domínio, isto é, no conjunto onde o denominador não se anula, ℂ\{ ℂ: ) /(cos ) (sin tanz= z z ∈ + k,k 2 ∈ z z=π/ π ℤ}. A derivada é 2 z z z z z 2 2 2 cos 1 cos sin cos ) (tan ′= + = .
Também neste caso, permanece válida a fórmula da derivação da tangente real.
3. De forma análoga, conclui-se que as funções complexas coseno hiperbólico e seno hiperbólico são funções inteiras e que as suas derivadas são (cosh ,
. A tangente hiperbólica é holomorfa no seu domínio. A sua derivada é . z z)′=sinh z z) cosh (sinh ′= z) 1/cosh (tanh ′= 2z
4. Como se viu na secção 2.6, o logaritmo complexo pode ser definido por escolhas em infinitos valores, mas podem considerar-se funções dadas por cada ramo do logaritmo
z
ln , por exemplo, ln|z|+i(Argz+2kπ), com ℤ fixo. Cada um destes ramos do logaritmo complexo está definido em ℂ\{0} e é descontínuo no semieixo real negativo, com a parte imaginária a aproximar-se de
∈ k π ) 1 2
( k+ quando os pontos do domínio se
aproximam deste semieixo pelo semiplano complexo superior (Imz>0) e de (2k−1)π quando os pontos do domínio se aproximam deste semieixo pelo semiplano complexo inferior (Im ) . As partes real e imaginária de cada um destes ramos são, em coordenadas polares 0 < z θ , r com reiθ =z e θ∈
]
( k2 −1)π,(2k+1)π]
, respectivamente r r U ,( θ)=ln e V(r,θ)=θ. Verifica-se ∂U /∂r =1/r, ∂U/∂θ =0 e ∂V /∂r =0, 1 = ∂ /∂V θ . Estas funções são contínuas e satisfazem as equações de Cauchy-Riemann
em coordenadas polares no conjunto , o qual
corresponde em coordenadas cartesianas a ℂ\{( ℂ: . É claro que a continuidade de
]
[ ]
× (2k−1 ∈ ) 0 , x<[
π π,(2 ) k } 0 θ)∈ 0,+∞ +1) x , (r ) , ( ), , (r θ V r θ , ( ), , (x y v xU no conjunto indicado implica a continuidade das partes real e imaginária u de cada ramo do logaritmo considerado no conjunto ℂ\{( ℂ: . Conclui-se do teorema (3.8) que cada uma destas funções logaritmo é holomorfa no conjunto referido. A sua derivada pode ser facilmente calculada pela regra de derivação da função composta, derivando e . Obtém-se
e, portanto, (ln , o que generaliza a fórmula análoga para a derivada da função real logaritmo.
) )′ y z ∈ ) 0 , x 1 ) (lnz ′= } 0 < x z z = ln ln e z =1/z
5. As potências complexas de base complexa foram definidas na secção 2.7 por , para
z w w e z
zα = ln z∈ℂ\{0} e w∈ℂ ℚ. Para \ z∉ℝ , + z pode ser escolhido de w
infinitos valores, tal como lnz, e, para z∈ℝ , convencionou-se tomar para + lnz o
logaritmo real, o que dá uma única possibilidade para os valores de z que corresponde w
ao valor principal do logaritmo complexo. Cada um dos ramos do logaritmo complexo
z
ln acima considerados corresponde a um ramo da potência complexa , o qual é uma função complexa definida em ℂ\{( ℂ: , tal como o correspondente ramo de w z zα ∈ ) 0 , x x<0} z ln f
. A fórmula acima dá cada ramo de como composição de funções holomorfas, pelo que também é uma função holomorfa no seu domínio. A derivada de cada ramo de , nos pontos de ℂ\{( ℂ: , calcula-se facilmente pelas regras da derivação de operações entre funções diferenciáveis, obtendo-se
w z < x z ∈ ) α 0 w z zα x, 0}
= ′(z) f
( ) ( )
w ′ = wlnz ′ = wlnz =wzw−1 z w e e z ,o que generaliza a fórmula análoga para a derivada da função real potência definida para bases positivas.
Para z∈ℂ e ℚ, com em termos mínimos, ℤ, ℕ , temos , pelo que as conclusões anteriores também se aplicam neste caso. A situação de potências inteiras positivas, ℕ foi considerada no exemplo (3.1.4), dando a mesma fórmula de derivação, e para potências inteiras negativas ℕ
obtém-se , também em
concordância com a fórmula de derivação anterior. } 0 { \ w e = / 1 ( = ′ ∈ w )′= w q p w= / 2(z−w)′=− ∈ p 1 − ∈ q − } 1 { \ ∈ w z w p z / ln ) z− q = z (zw ∈ w )z−w−1/ 2 ( ) /( 1 − − − = − z w w z w wzw
6. As exponenciais complexas de base complexa foram definidas na secção 2.7 por , para
z w w e z
wα = ln z,w∈ℂ, com . Considerando a função potência complexa definida em ℂ por um dos ramos do logaritmo, de acordo com a fórmula acima, verifica-se que esta função é uma composição de funções inteiras e, portanto, também é uma função inteira. A sua derivada calcula-se facilmente pelas regras da derivação de operações entre funções diferenciáveis, obtendo-se
0 ≠ z w z w f( )=
( ) ( )
ln (ln ) , ) (w zw ewlnz ewlnz z z zw f′ = ′ = ′ = =o que generaliza a fórmula análoga para a derivada das exponenciais reais de bases positivas.
7. Na secção 2.8 obteve-se a relação arccosz=±iln
(
z+ z2 −1)
=±iln(
z+i 1−z2)
2
. Para definir uma função correspondente a um ramo desta relação há que escolher o sinal, escolher um ramo da raiz quadrada que aparece na última parcela da expressão e um ramo do logaritmo. Podemos escolher o valor principal do logaritmo, o ramo da raiz quadrada definido no plano sem o semieixo real negativo e que assume valores de parte imaginária positiva e o sinal negativo na expressão acima. Para que 1 z− não esteja no semieixo real negativo, temos de excluir do domínio os números reais z da união de intervalos
]
−∞,−1] [
∪ 1,+∞[
. Se z+i 1 z− 2 pertence ao semieixo real negativo, atendendo a que z−i 1 z− 2 é o seu recíproco, também este pertence ao semieixo real negativo e a sua soma 2z]
, resta verificar que para é um número real negativo. Como já se excluiu o intervalo é]
−∞,−1 z∈] [
−1,0 1−z2 >0 e z+i 1−z2 não é real, paraconcluir que podemos considerar a função 2)
[
1,1 1 ln(z i z i + −)
]
]
arccos definida naregião ℂ , considerando o valor principal do logaritmo (ver Figura 2.20). É de notar que esta função dá para números reais o valor da função real usual arccos que tem contradomínio
[
. A função fica definida por composições, produtos e somas de funções holomorfas, pelo que é uma função holomorfa em . A derivada desta funçãoz=− π , 0 = Ω \
(
]
−∞,−1]
∪[
1,+∞ Ω[
− ∈ z zarccos calcula-se facilmente pela regra de derivação de operações entre funções diferenciáveis, obtendo-se
2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ) (arccos z z z i z z i z i z z i z i z i z − − = − − − − + − = − − + − + − = ′ .
Para arcsinz=π /2−arccosz pode-se tomar o ramo de arccosz
Ω
acima considerado. Como se trata de uma diferença de funções holomorfas em , conclui-se que também é holomorfa em . A sderivada obtém-se aplicando as regras de derivação: Ω
(
)
2 1 1 arccos 2 / ) (arcsin z z z − = ′ − = ′ π .O resultado seguinte dá algumas condições simples que implicam que uma função holomorfa numa região seja constante em toda essa região. Ilustram, mais uma vez, que a existência de derivada de uma função complexa numa região impõe restrições fortes de interligação entre as suas partes real e imaginária, e os seus módulo e argumento.
(3.12) Teorema: Seja uma função holomorfa numa região f Ω⊂ℂ . Se a derivada de
f é nula em , então é constante em Ω f Ω. O mesmo acontece se é constante em Ω
qualquer das funções seguintes: a parte real, a parte imaginária, o módulo ou o argumento de .f
Dem. Se a derivada de é nula, então são todas
nulas em . Segue-se que as funções e )
, ( vu
f = ∂u/∂x,∂u/∂y,∂v/∂x,∂v/∂y
Ω u v são constantes em todos os segmentos de
recta contidos em e paralelos aos eixos coordenados. Como é um conjunto aberto e conexo, qualquer par dos seus pontos pode ser ligado por uma linha poligonal contida em cujos segmentos são paralelos a um dos eixos coordenados. Conclui-se que tanto
como
Ω Ω
Ω
u v são constantes em e, portanto, o mesmo acontece a . Ω f
Se u (ou v ) é constante em Ω, então é (ou
) , pelo que é constante em .
0 / /∂ − ∂ ∂ = ∂ = ′ u x i u y f 0 / /∂ + ∂ = ∂ = ′ v i v f y ∂x f Ω
Se | f | é constante em Ω, então u também é constante em . Derivando esta expressão em ordem a
2
2 +v Ω
x e em ordem a , e aplicando as equações de Cauchy-Riemann a esta última equação obtém-se
y 0 = ∂ ∂ + ∂ ∂ x v v x u u , =0 ∂ ∂ + ∂ ∂ y v v y u u , =0 ∂ ∂ + ∂ ∂ − x u v x v u .
O sistema de duas equações constituído pela primeira e a última destas equações é equivalente à equação matricial
0 = ∂ ∂ ∂ ∂ − x ux u u v v u
O determinante da primeira matriz é . Se u se anula num ponto, como é constante em anula-se em toda esta região e é igual a zero em . Se u não se anula em Ω, então a primeira matriz na equação matricial acima é não-singular em todos os pontos de e, em consequência, em Ω, o que implica
em Ω, pelo que é constante em Ω. ) (u2 +v2 − ∂u f 2 2 +v /∂ ∂ = u y Ω ∂u i f /∂ Ω 2 +v2 Ω = y 0 = x 0 / /∂ ∂ ∂ = ′ u x f −
Se o argumento de é constante em , então ou f Ω v é nula em e
em implica que é constante em , ou existe uma
Ω 0 / /∂ + ∂ ∂ = ∂ = ′ v y i v x f Ω f Ω
constante c∈ℝ tal que u cv em . Neste último caso, a parte real da função é = c Ω ) )( ) 1
( +ic f =(1+ic u+iv u v=0 em Ω, pelo que . Como ,
resulta que é igual a zero em . Q.E.D.
− Ω 0 ) 1 ( +ic f = (1+ic)≠0 f ) Ω ) , ( = u v ∈ f v u v 0 ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ = x v x u y v ∂ ∂ x u = ∂ ∂ ⋅ x v y u ⋅ ∇u u ∇
A consequência seguinte das equações de Cauchy-Riemann é muito útil para a representação geométrica de funções holomorfas (podia já ter sido observada no caso particular do exemplo (2.1)). Mais uma vez, verifica-se que a diferenciabilidade de uma função complexa num conjunto aberto impõe fortes restrições de interligação entre as suas partes real e imaginária, neste caso com uma expressão geométrica muito simples. (3.13) Teorema: Se H( , então as curvas de nível de u e de intersectam-se ortogonalmente (ver Figura 3.1).
Dem. Das equações de Cauchy-Riemann resulta que o produto interno dos gradiantes de
e de satisfaz , , = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∇ x u x v y u x v y v x u v .
Portanto e são ortogonais, o que é equivalente à ortogonalidade das curvas de nível de u e de
v ∇
Figura 3.1: Intersecção ortogonal das curvas de nível das partes real (traço grosso) e ima-ginária (traço fino) de funções holomorfas (exemplos: z , 2 1 , , /z ez tan , z lnz, arccosz)
3.3. Transformações conformes
Para analisar a forma como transformações definidas num plano deformam o espaço, é útil observar o seu efeito em curvas contidas nos domínios das transformações.
As noções de curva e de caminho em subconjuntos de ℂ são análogas às correspondentes noções em subconjuntos de ℝ . Em particular, um caminho em ℂ é uma função contínua definida num intervalo limitado e fechado de números reais com valores em Ω. Chama-se curva
2 Ω⊂
*
γ em ao contradomínio de um caminho Ω γ em Ω. Um caminho regular é um caminho C cuja derivada nunca se anula. Para um caminho regular ℂ, a derivada 1 )≠ t
[ ]
→ :γ a,b γ′( 0 é um vector tangente à curva γ* no ponto ) (t γ , para todo t∈
[ ]
a,b . θ γ γ β β 1 2 1 2 θFigura 3.2: Transformação de curvas por uma função holomorfa
Seja Ω⊂ℂ um conjunto aberto, e um caminho regular. Então ) (Ω ∈H f γ :
[ ]
a,b →Ω γβ = f ο também é um caminho. A curva correspondente é a imagem pela função da curva representada pelo caminho
f γ (Figura 3.2). Da regra de derivação da função
composta obtém-se β′(t)= f′
( )
γ(t) γ′(t), para t∈[
a,b]
. Portanto, sendo f C1, β é um caminho regular se e só se f′(z)≠0, para z∈γ *. Além disso,argβ′(t)=arg f′
( )
γ(t) +argγ′(t) , para t∈[
a,b]
com f′( )
γ(t) ≠0. Assim, se o ângulo entre as tangentes dirigidas e , respectivamente, ao caminho 0 ) ( 0 ≠ ′ z f γ′(t0) β′(t0) γ em z0 =γ(t0) e ao caminho β em , é igual a . Portanto, caminhos regulares que formam um ângulo) 0 z ( 0 f w = ) ( arg f′ z0 θ em são z0
transformados pela função em caminhos que formam o mesmo ângulo f θ em (Figura 3.3). Também se tem
0 w lim z→ f 0 z 0 z γ2 f′ γ ο = | ) ( | | | | ) ( ) ( | 0 0 0 0 z f z z z f z f z − = ′ − ,
pelo que pequenos segmentos de recta com origem em são, no limite quando , contraídos ou expandidos na razão | . Assim, a mudança de escala em resultante da transformação é independente da direcção (Figura 3.3). Quando uma função satisfaz estas duas propriedades diz-se que é uma transformação conforme.
0 z z→ | ) (z0 f′
As observações anteriores ilustram que as funções holomorfas satisfazem restrições geométricas muito fortes, o que já se tinha notado quando se observou que as curvas de nível das partes real e imaginária de uma função holomorfa se intersectam ortogonalmente.
γ1
β2
β1
Figura 3.3: Preservação de ângulos e mudança de escala em cada ponto independente da direcção sob transformações definidas por funções holomorfas
É claro que os dois tipos de conformidade em , para uma função ℂ, implicam que existe: o seu módulo é a razão de contracção ou expansão de pequenos segmentos com origem em , e o seu argumento é, para cada caminho regular Ω ∈ 0 z → Ω : f (z0) 0 z
γ que passa por , a diferença entre os argumentos das tangentes
dirigidas do caminho 0
z
β = f em w0 = f(z0) e do caminho γ em . z0
Na verdade, como se vê no resultado seguinte, sob a hipótese adicional de existência e continuidade das derivadas parciais , com numa vizinhança de , o primeiro tipo de conformidade por si só já implica a existência de . Por outro lado, sob a mesma hipótese, o segundo tipo de conformidade implica a existência de ou da derivada y f x f ∂ ∂ ∂ ∂ / , / (x,y) z 0 z (z f′ ) (z0 f′ ) 0 (f)′(z0) da conjugada de . f
(3.14) Teorema: Seja Br(z0)⊂ℂ um círculo aberto centrado num ponto z0∈ℂ e →
) ( :B z0
f r ℂ uma função tal que nos pontos z=(x,y)∈Br(z0) as derivadas
y f x
f ∂ ∂ ∂
∂ / , / existem e são contínuas. Então:
1) A condição de conformidade de preservação dos ângulos entre caminhos regulares em z0 é equivalente à existência de derivada de f em diferente de zero. z0
2) A condição de conformidade de uma razão de expansão (ou contracção) constante de
segmentos tendem para zero, é equivalente à existência de derivada de f , ou da sua conjugada, em diferente de zero (no último caso z0 f preserva os valores absolutos de
ângulos entre caminhos regulares que se intersectam em mas inverte os seus z0
sentidos). 0 z0 → ) t z′) i(z i ∂ ∂ w ′+ 0 z x, 0 i + / y∂ x ∂ / / f ∂ = y ∂ ≠ f z′
Dem. Já se sabe que a existência de derivada de em diferente de zero implica a
validade das duas condições de conformidade. Como os valores absolutos de complexos conjugados são iguais e os ângulos definidos por complexos conjugados não nulos são iguais em valor absoluto mas de sentidos contrários, a existência de derivada de
f z0
f em
diferente de zero implica a validade das duas condições de conformidade, tendo em consideração que a preservação de ângulos é com inversão de sentidos.
0
z
Do teorema (3.8) sabe-se que, nas condições da hipótese do presente teorema, a existência de derivada de f (ou f ) em é equivalente à validade das equações de
Cauchy-Riemann de (ou 0
z
f f ) em , pelo que basta mostrar que, separadamente, cada uma das condições de conformidade implica a validade das equações de Cauchy-Riemann em e a não anulação da derivada de (ou
0
z
z f f ) em .
[ ]
Observe-se que para um caminho regular com ,
e , é Ω b a z: , , z(t0)= z0 ( )) ( ), ( (x t y t =z w(t)= f(z(t)) x′=(z′+z′)/2, y′=(z′− /(2i)=− ′−z′)/2, z y f x f z y f i x f y y f x x f ′ + ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ′ ∂ ∂ + ′ ∂ ∂ = ′ 2 1 2 1 ,
onde as derivadas parciais de são calculadas em e as derivadas de f y,z,w são calculadas em t .
Se os ângulos entre caminhos regulares em são preservados por , então z0 f
(3.15) z z y f x f y f i x f z w ′ ′ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ = ′ ′ 2 1 2 1
deve ser diferente de zero e ter argumento independente de z′. Quando z′ percorre todos os possíveis valores complexos, o quociente z′/z′
2 / )
y ∂
percorre a circunferência do plano complexo de raio 1 e centro na origem, pelo que os valores de (3.15) percorrem a
circunferência com centro em e raio . Ora a
única situação em que o argumento permanece constante corresponde ao raio ser nulo,
isto é, a ∂ . Com , esta equação equivale a e
que são as equações de Cauchy-Riemann. Portanto, neste caso, é diferenciável em . Como a expressão (3.15) tem de ser diferente de zero, o seu segundo termo é zero e , resulta que a expressão (3.15) é igual a e, das fórmulas para a derivada de no teorema (3.4), concluiu-se
. / / (∂f ∂x−i∂f f v u, )= ( y f i x=− ∂ ∂ ∂ / 2 / ) i x+ ∂ ∂ = ( ∂f u ∂ y f i x f /∂ − ∂ /∂ u −∂ / 0 z ∂ 0 /∂ ∂f x y v/∂ f x v ∂ = ∂ / x f ∂ ∂ / ) ( 0 = ′ z f f /
Por outro lado, se pequenos segmentos de recta com origem em são, no limite quando os seus comprimentos tendem para zero, expandidos (ou contraídos) numa razão constante, segue-se que | é diferente de zero e independente de
0 z | | / | z w′ ′ , pelo que o
valor absoluto de (3.15) tem de permanecer constante quando z′ percorre todos os possíveis valores complexos. Como os valores de (3.15) percorrem uma circunferência,
os seus módulos só permanecem constantes se o raio da circunferência é nulo ou o centro está na origem. Como se viu acima, a primeira situação implica a validade das equações de Cauchy-Riemann e, portanto, a diferenciabilidade de em . Por seu lado, a segunda situação corresponde a , ou seja a
f z0 y f i x f ∂ = ∂ ∂ ∂ / / f /∂ −i∂ f /∂y f x= ∂ , o que
implica a validade das equações de Cauchy-Riemann da conjugada de e, portanto, a sua diferenciabilidade em . O facto de z0 /∂ ≠0
) y / ) 0 =∂ f =∂ f x sin (cos i ex z = + ( )′ z f ) (z e f = ( prova-se de
forma idêntica ao caso anterior. Q.E.D.
∂x y π 2 π 2 } 0 { (3.16) Exemplos:
As funções holomorfas que foram consideradas em secções anteriores fornecem exemplos de transformações conformes. Em seguida, consideram-se três exemplos específicos mais detalhadamente.
1. A transformação exponencial
Considera-se a função exponencial , com .
Como a exponencial é uma função periódica de período
z y x, )=
(
i , cada faixa horizontal do plano complexo com largura é transformada em todo o contradomínio da exponencial, isto é, em ℂ\ .
/ 2
/
2
Figura 3.4: Transformação do plano definida pela exponencial complexa
As rectas verticais x=a são transformadas em circunferências de centro na origem e raio e (Figura 3.4). Em particular, o eixo imaginário é transformado na circunferência de raio 1, as rectas verticais do semiplano direito são transformadas em circunferências de raio maior do que 1 e as rectas verticais do semiplano esquerdo são transformadas em circunferências de raio menor do que 1.
a
Por outro lado, as rectas horizontais são transformadas em semirectas com extremidade na origem, mas não a contendo, que fazem o ângulo b com o semieixo real positivo (Figura 3.4).
b y=
/ /
Figura 3.5: Transformação de um rectângulo definida pela exponencial complexa Uma vez que as rectas horizontais são ortogonais às rectas verticais, as suas imagens têm de ser curvas ortogonais, pois (ez)′=ez ≠0 para todo z∈ℂ, o que é confirmado pelo facto das semirectas que passam pela origem serem ortogonais às circunferências de centro na origem.
Em particular, a função exponencial transforma rectângulos de altura inferior a 2π em sectores de coroas circulares, definindo uma correspondência biunívoca entre os dois conjuntos (Figura 3.5). Por outro lado, rectângulos de altura superior a 2π são transformados em coroas circulares, não sendo injectiva a correspondência definida entre os dois conjuntos.
2. Transformações de Möbius
Chama-se transformação de Möbius6 a uma função da forma
d cz b az z f + + = ) ( ,
com ℂ e (o exemplo (2.2) é o caso particular com
). Veremos num dos capítulos finais que estas transformações desempenham um papel fundamental no esclarecimento da diversidade possível das transformações conformes. ∈ d c b a, , , 1 , 1 d =− 0 ≠ −bc ad a=0, = =c b Note-se que 2 2 ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( d cz bc ad d cz b az c d cz a z f + − = + + − + = ′ ,
desde que . Assim, se a derivada existe e é diferente de zero em ℂ ; se a derivada existe e é diferente de zero em ℂ. Portanto, as
0 ≠ +d cz 0 = c 0 ≠ c } / { \ −d c
6 August Ferdinand Möbius (1790-1868). As transformações de Möbius também são conhecidas por transformações homográficas, transformações lineares fraccionárias ou transformações bilineares fraccionárias.
transformações de Möbius com c são conformes em ℂ, e com c são conformes em ℂ . 0 = f 0 ≠ } / { \ −d c f −1 0 )( (− − b da , 0 = = b iz R( )= 2 / π π/2 S 2 2 + y x 0 ≠ B 2 y + > AD | 2 | / 4AD A − 2 2 C B + w w i z , − 2 + = + Bz z 1 2 w B 2 +w w 2 2 +v u
Começa-se por observar que é invertível e a sua inversa satisfaz
a cw b dw w + − − = ) ( ,
com , pelo que a inversa de uma transformação de Möbius também é uma transformação de Möbius.
)= − ≠
−c ad bc
Um caso particular especialmente simples de analisar obtém-se com , nomeadamente a função recíproco
1 = =d c a z z R( )= 1 ,
cujo domínio e contradomínio são iguais a ℂ . Note-se que , pelo que conhecendo a imagem de um certo conjunto de pontos , a imagem da rotação de ângulo } 0 { \ −iz S
deste conjunto é o resultado da rotação de ângulo − da imagem do conjunto . Vamos ver como esta função transforma rectas e circunferências. As rectas e as circunferências têm equações cartesianas que, com (x,y)= z, podem ser escritas
(3.17) A
(
)
+Bx+Cy+D=0.Obtêm-se rectas para e . Por outro lado, com ,
completando quadrados de somas, pode-se escrever a equação anterior na forma , 0 = A A=0,C ≠0 A≠0 2 2 2 2 4 4 2 2 A AD C B A C A B x = + − + + ,
pelo que (3.17) representa circunferências para , e estas têm raio 0 4 , 0 2 + 2 − ≠ B C A e centro em
(
−B/(2A),−C/(2A))
. Com as substituições i w w v w u w w v u iv u z z y z z x z z y x 2 , , , 1 2 , 2 , 2 2 2 2 + = = + = = = + + = = − ,a equação (3.17) transforma-se sucessivamente em
0 2 2 + = − + + D i z z C z z A , 0 1 1 2 1 1 + = − + + + D w w i C w w w A , 0 2 + = − − + Dww i w w C B A , (3.18) D
(
)
+Bu−Cv+A=0.Ora, se (3.17) representa uma recta é e e, portanto, (3.18) representa uma recta que passa na origem se , e uma circunferência que passa na origem se . Se (3.17) representa uma circunferência, então e
0 , 0 ≠ = B A 0 = D 0 , 0 ≠ = C A 0 ≠ D A≠0
0 4 2 2 +C − AD> B 0 = D 0 ≠ D ) 0 ), 2 /( 1 (− D
, pelo que (3.18) representa uma recta que não passa na origem se , e uma circunferência se D≠0. x = D z A1:
Em particular, rectas verticais (da forma (3.18) com ) transformam-se na recta u se , ou em circunferências se
. Por analogia com (3.17), estas circunferências têm raio 1 | e centro em (Figura 3.6). D − = 0 1 , 0 = = =C B A 0 ) 2 2 +v +u= u 2D 0 = D( | / ( ) / /
Figura 3.6: Transformação de uma recta vertical pela transformação de Möbius zα 1/z
Da análise anterior conclui-se que uma grelha de rectas verticais e rectas horizontais é transformada pela função numa grelha constituída por circunferências tangentes aos eixos coordenados na origem intersectando-se ortogonalmente e pelos próprios eixos coordenados (Figura 3.7).
z z
R( )=1/
Figura 3.7: Transformação do plano definida por uma transformação de Möbius Para analisar o caso geral, note-se que se c≠0 então
c a d cz c ad bc d cz b az z f + + − = + + = 1 ) ( .
Assim, em geral, uma transformação de Möbius resulta da composição de três
transformações , na forma , onde
) (z f w= ) ( ) 1 z A ο 2 1,R,A A w=(A2 οR
(homotetia e rotação centradas na origem seguidas de translação)
d cz
z1 = +
1 2 1 1 : z z z R α = β α + = 2 2 2 :z w z
A α (homotetia e rotação centradas na origem seguidas de translação), onde α =(bc−ad)/c e β =a /c. A1 e A2 são funções afins e R é a função recíproco considerada anteriormente. Por outro lado, se , é uma função afim, pelo que corresponde a uma homotetia e rotação seguidas de uma translação.
0
=
c f(z)=(a/d)z+b
3. Transformação de Joukovski
A transformação de Joukovski7 é a função
+ = z z z J 1 2 1 ) ( .
O seu domínio é ℂ . Trata-se de uma função racional e, portanto, é holomorfa no seu domínio. A derivada desta função é
} 0 { \ − = ′ 1 12 2 1 ) ( z z J ,
pelo que se anula nos pontos e , e apenas nestes pontos ( são pontos fixos da transformação pois ). Assim, a transformação de Joukovski é uma transformação conforme na região ℂ . Note-se que , pelo que a imagem de um ponto coincide com a do seu recíproco.
1 − 1 ± = 1 + \ 1 ± ) / 1 z ) 1 (± J 0 ≠ z } 1 , 0 , 1 {− J( = J(z)
Se z=e é . Portanto, a circunferência de raio 1 e centro na origem é transformada no segmento de recta no eixo real entre os números e (Figura 3.9). Pares conjugados de pontos da circunferência são transformados num mesmo ponto do intervalo
[
, igual à parte real dos pontos considerados.θ i f(z)=(eiθ +e−iθ)/2=cosθ
]
1 , 1+ − 1 − 1 + θPara identificar a imagem da circunferência de raio r ≠1, toma-se e calcula-se i re z = (3.19)
( )
θ θ θ θ θ 1 sin 2 cos 1 2 1 2 1 − + + = + = = + − r r i r r r e e r e r f iY X i i i , pelo que 1 1 4 1 1 4 1 2 2 2 2 = − + + r r Y r r X .Portanto, a circunferência de raio r ≠1 e centro na origem é transformada na elipse de semieixos e | ao longo do eixo real e do eixo imaginário, respectivamente. Os gráficos das funções ( e | em função de são como esboçados na Figura 3.8. Segue-se que toda a região exterior à circunferência de raio 1 e centro na origem é transformada no complementar em ℂ do segmento de recta no eixo real de extremos nos números e , o mesmo acontecendo com o
2 / ) / 1 (r+ r r−1/r|/2 2 / ) / 1 r r+ 1 − 2 / | / 1 r r− 1 0 > r + 7 Nicolai Joukovski (1847-1921).
complementar da origem na região limitada pela circunferência de raio 1 e centro na origem.
−
:
iy
Figura 3.8: Gráficos das funções (r+1 r/ )/2 e |r−1 r/ |/2
Por outro lado, de (3.19) obtém-se também, para θ tal que cosθ ≠0 e sinθ ≠0, 1 sin cos 2 2 2 2 = − θ θ Y X ,
pelo que as rectas de declive com valor absoluto igual a |sinθ |/|cosθ | que passam na origem são transformadas na hipérbole de semieixos |sinθ |, |cosθ | ao longo do eixo real e do eixo imaginário, respectivamente (ver Figura 3.9). Estas hipérboles são ortogonais às elipses acima consideradas, uma vez que são imagens de curvas ortogonais por uma transformação conforme.
Conclui-se também que o eixo real (excluindo o zero) é transformado na união das semirectas que se obtêm retirando ao eixo real o segmento de recta com extremos nos números e , enquanto que cada semieixo imaginário é transformado em todo o eixo imaginário (ver Figura 3.9), com os conjuntos { e { a serem transformados no semieixo imaginário negativo e os conjuntos { e
a serem transformados no semieixo imaginário positivo. 1 − } 1 − 1 + } 1 : y> iy iy: 1< y<0} } 1 0< y< : {iy y <
Figura 3.9: Transformação de Joukovski Com w= f(z), obtém-se 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 ) / 1 ( 2 ) / 1 ( 1 1 + − = + + + − = + + − + = + − z z z z z z z z z z w w .
Como wα (w−1)/(w+1) é uma transformação de Möbius cuja inversa é ) 1 /( ) 1 (ς ς
ς α + − , a transformação de Joukovski resulta da composição de
três transformações, , onde ) (z J w= ) )( 1οQοM z − (M w= 1 − z 1 : 1 + = z z z M α , Q
( )
2 , 1 2 1 :z α z = z 1 1 : 2 2 2 1 − + = − z z w z M α .M e M são transformações de Möbius e é a função potência de expoente . −1
Verifica-se ℂ , ℂ) e M ℂ\ . Como estas transformações são conformes preservam os ângulos entre curvas regulares em todos os pontos dos seus domínios. A transformação Q duplica os argumentos em relação ao ponto , o qual corresponde ao ponto do domínio . Com a função recíproco , obtém-se que a transformação de Joukovski também é a composição . A função Q H ∈ 1 + 2 z / ) )(z ( H M∈ \{−1}) Q∈H( z ( 1 − ) 0 ( = }) 1 {+ 0 1 = z z R )( Q M = ο ο ο 1 =M− =1 1 M− (R w
R é uma transformação de Möbius holomorfa em ℂ e conforme no seu domínio. Assim, as transformações preservam os ângulos entre curvas regulares em todos os pontos dos seus domínios, e a transformação Q duplica os argumentos em relação ao ponto , o qual corresponde, neste caso, ao ponto do domínio . Portanto, a transformação de Joukovski duplica tanto os argumentos em relação ao ponto
} 0 { \ 1 − , M M , 0 R = 1 = 1 z 1 − = ) 0 ( )=M 0 ( ) (M−1 −1 = z
Figura 3.10: Transformação de Joukovski da região delimitada por duas circunferências tangentes em +1, com uma delas a passas no ponto −1.
Qualquer circunferência S que passe nos pontos − e + do plano complexo tem centro num ponto do eixo imaginário e raio
1 1
ia 2
1 a+ , com . A imagem do arco de que está no semiplano complexo inferior pela transformação é um arco de circunferência que passa nos pontos e e pertence ao semiplano complexo superior, ou seja, é o arco da circunferência pertencente ao semiplano complexo superior. Como 1 ≥ R a S (z)=1/z 1 − +1 S J R J = 0 >
ο , é claro que a imagem do arco de no semiplano complexo inferior coincide com a imagem do arco de no semiplano complexo superior. Pode-se verificar que esta imagem é um arco de uma circunferência C que passa nos pontos e
. Designando por S S 1 − 1
+ α o ângulo da tangente a no ponto com a semirecta com origem neste ponto contida no semieixo real positivo (Figura 3.10), obtém-se que a transformação de Joukovski
S +1
J é uma função bijectiva conforme do interior do círculo delimitado por para o conjunto U ℂ e que o arco de circunferência C faz um ângulo
S = \C
α
2 com a semirecta de origem neste ponto contida no semieixo real positivo. Conclui-se, também, que J é uma função bijectiva conforme do exterior desse círculo para . Observa-se, ainda, que a transformação de Joukovski transforma a região delimitada pela circunferência e por uma outra qualquer circunferência tangente a no ponto + numa região semelhante ao perfil clássico da asa de um avião planador, como é ilustrado na Figura 3.10.
U
S S
1
Os exemplos anteriores mostram que as propriedades de conformidade podem ser úteis para obter o traçado das imagens de certas curvas do plano complexo que resultam da aplicação de uma dada função holomorfa. Pode-se assim conseguir uma ideia geométrica da forma como essa função deforma regiões do plano complexo.
Além disso, o estudo de transformações conformes tem grande interesse tanto de um ponto de vista estritamente matemático como para aplicações em diversas outras áreas. Por exemplo, as transformações de Möbius foram usadas em electrotecnia no estudo de variações de impedância de circuitos quando certos componentes do circuito são alterados, e a transformação de Joukovski foi usada em 1906 para calcular a força de sustentação de um perfil de asa de avião e constituiu a base do primeiro método de cálculo da aerodinâmica de asas de aviões.
