Capítulo 1 Estatística de Contagem e Propagação de Erro

Capítulo 1

Estatística de Contagem e Propagação de

Erro

Por favor me comunique os erros que encontrar versão 2008.2

Neste curso você estará envolvido em medidas de processos randômicos como decaimentos radioativos, espalhamentos, etc... Nestes experimentos, as medidas são sujeitas as flutuações estatísticas. Estas flutuações representam uma fonte inevitável de incerteza nas medidas em física corpuscular e não obstante constituem uma fonte de imprecisão e erro. O termo, estatística de contagem, inclui a descrição da análise estatística necessária para processar os dados obtidos nos experimentos e a predição sobre a precisão esperada das quantidades derivadas destas medidas.

1 – Caracterização dos dados

Começaremos supondo que temos uma coleção de N medidas independentes de uma mesma grandeza física: x1, x2,...,xn , como por exemplo, o comprimento de uma

mesa, ou a meia-vida de um elemento radioativo. Duas propriedades elementares deste conjunto são a soma S

∑

= = N i i x S 1 (1) e a média experimental N S xe = (2)

a média experimental é escrita com um sub-escrito para diferir-la da média de um modelo estatístico em particular, conforme será definido mais adiante.

É freqüentemente conveniente representar o conjunto de dados por uma

distribuição de freqüências correspondente F(x). O valor de F(x) é a freqüência relativa com que o número aparece no conjunto de dados. Por definição

F(x) = (número de ocorrências do valor x)/(número de medidas (N)) (3) A distribuição é automaticamente normalizada, ou seja,

∑

= = N i i x F 1 1 ) ( (4)

A forma relativa de F(xi) dá uma indicação qualitativa das flutuações internas no

conjunto de dados e é de certa forma centrada em torno do valor médio. Uma conclusão óbvia é que a largura da distribuição é a medida relativa da quantidade de flutuações em torno da média em um dado conjunto de dados.

É possível calcular a média experimental usando a função distribuição

∑

= = N i i i e xF x x 1 ) ( (5) É também possível derivar outro parâmetro, conhecido como variância, que serve para quantificar as flutuações internas no conjunto de dados. O primeiro passo é definir o

desvio de qualquer ponto da média

e i i =x −x

µ (6) Há uma contribuição igual dos desvios positivos e negativos, de modo que

∑

= = N i i 1 0 µ (7) Se no entanto, tomarmos os quadrados de cada desvio, resultará sempre em um número positivo. Podemos então introduzir a variância experimental como

∑

− = N _i N s 1 2 2 1 1 _µ (8) que servirá como um índice do grau de flutuação inerente ao conjunto de dados original. Conforme N torna-se razoavelmente grande, a variância experimental é essencialmente o valor médio do desvio quadrático de cada ponto. Sendo mais preciso, a variância experimental é uma aproximação para a variância teórica, σ2, mais fundamentalmente definida como o valor médio do desvio quadrático (desvio padrão da população) de cada ponto do valor médio real x (valor verdadeiro de uma grandeza5) que seria obtido se um número infinito de medidas fossem acumulados ou quando se conhecem todos os valores possíveis da população

(

)

2 1 2 1

∑

= − ≡ N i i x x N σ (9) Onde N é o tamanho da população. Mas como não podemos conhecer x a partir de um

conjunto finito de medidas, usamos no seu lugar o valor x (e x ≈ xe) derivado a partir dos

dados para calcular os valores dos desvios. Analogamente usamos s2 ≅ σ2 . O valor verdadeiro de uma grandeza é independente do conjunto de dados, enquanto que o valor experimental é dependente. O uso do valor experimental em vez do valor médio verdadeiro teórico fará com que o desvio médio e conseqüentemente resultará em uma variância normal menor. No linguajar estatístico, o número de graus de liberdade do sistema terá sido reduzido por uma unidade. Na equação 8, a média experimental é usada para calcular os valores de µi. Entretanto, a soma é dividida por N-1 (ao invés de N) para

fazer o valor calculado de s2 um pouco maior, levando em conta o grau de liberdade perdido. Deve-se notar que a variância amostral é uma medida absoluta da flutuação interna nos dados e não depende, em primeira aproximação, do número de valores no conjunto de dados. Por exemplo, se um determinado conjunto de dados fosse aumentado coletando-se 30 valores adicionais pelo mesmo processo, não esperaríamos que a variância amostral calculada para o novo conjunto estendido fosse substancialmente

diferente do valor inicial. Outra grandeza é o desvio padrão experimental da média cuja expressão matemática é

N s

s = (10) Podemos também calcular a variância diretamente da função distribuição F(x). A equação 9 mostra que s2 é simplesmente o valor médio de

(

x −x

)

2, podemos escrever que a mesma média como

(

)

∑

∞ = − = 0 2 2 ) ( x x F x x σ (11) Uma expansão da equação 11 resultará na expressão bem conhecida

2 2 2 x x − = σ (12)

Exercício : Obtenha a equação 12.

Exemplo: Considere um experimento para medir o comprimento de um objeto. Os resultados a seguir foram encontrados (em cm):

17,62 17,62 17,615 17,62 17,61 17,61 17,62 17,625 17,62 17,62 17,61 17,615 17,61 17,605 17,61

Qual a melhor estimativa, e o respectivo desvio padrão, para o comprimento do objeto?

Solução : Usando Eq. 2, temos que x =17,61533 cm, enquanto que as Eqs. 8 e 10 e

resultam na variância experimental s = 5,855×10-3 cm e o desvio padrão experimental

N s

s = = 0,0015. Logo o melhor valor para o comprimento é 17,616 ± 0,002 ou 17,6152 ± 0,0015

A média ponderada

Se ocorrer de combinarmos dois ou mais resultados de uma mesma quantidade com incertezas diferentes, poderíamos usar a média dos resultados como a melhor estimativa da quantidade. Isto ignora o fato que certas medidas são mais precisas do que outras e deveriam ter maior importância. Um método melhor para a melhor estimativa, seria considerar que todos os resultados, mesmo os menos precisos carregam informação valiosa, mas não possuem a mesma importância do que os mais precisos. Introduz-se então a média ponderada:

∑

∑

= ₂ 2 / 1 i i i p x x σ σ (13)

∑

= 2 2 1 1 ) ( i p x σ σ (14)

Exemplo: Procurando na literatura, encontramos 7 valores a partir de experimentos distintos, para o tempo de vida do muon:

2,198 ± 0,002 µs 2,197 ± 0,005 µs 2,1948 ± 0,0010 µs 2,203 ± 0,004 µs 2,198 ± 0,002 µs 2,202 ± 0,003 µs 2,1966 ± 0,0020 µs

Qual a melhor estimativa?

Solução: Usando as Eqs. 13 e 14 temos τ = 2,19696 µs e σ = 0,00061 µs

2- Modelos estatísticos

Sob certas condições, podemos predizer a função distribuição que descreverá os resultados de várias medições repetidas. Podemos definir uma medida (veja também a definição 7) como uma contagem do número de sucessos resultando de um dado número de tentativas. Cada tentativa é ou um sucesso ou não. Para tudo que se segue, supomos que a probabilidade de sucesso é uma constante para todas as tentativas. Por exemplo, ao tentarmos observar um dado decaimento nuclear por um tempo t, o número de tentativas é equivalente ao número de núcleos na amostra sob observação, e a medida consiste em contar aqueles núcleos que decaem.

Três modelos estatísticos específicos são introduzidos:

1 - A Distribuição Binomial. Este é o modelo mais geral e é largamente aplicável para todos os processos de probabilidade constante. Infelizmente, computacionalmente é muito trabalhosa, para sistemas grandes, por exemplo em decaimentos nucleares, e é muito pouco utilizada em aplicações nucleares.

2 – Distribuição de Poisson. Este modelo é uma simplicação matemática da distribuição binomial sob condições que a probabilidade de sucesso é pequena. Em termos práticos, a condição implica que escolhemos um tempo de observação pequeno comparado com a meia-vida da fonte, ou que a eficiência de detecção é pequena.

3 – Distribuição Gaussiana ou Normal. A terceira distribuição importante é a Gaussiana, a qual é a uma simplificação ainda maior se o número médio de sucessos é relativamente grande (maior do que 20 ou 30). Esta condição se aplicará para qualquer situação na qual acumulamos mais dos que algumas contagens durante a medida. Este é o caso mais frequente de modo que a o modelo Gaussiano é largamente aplicável a muitos problemas em estatística de contagem.

Lembramos que os modelo acima tornam-se idênticos para processos com uma probabilidade individual de sucesso pequena, mas com um número grande de tentativas de modo que o número médio esperado de sucessos é grande.

A distribuição binomial

Aqui alguma coisa é tentada repetidamente; a cada tentativa há sempre duas possibilidades, sucesso ou falha. Sendo p a probabilidade de sucesso e (1- p) a probabilidade de falha, podemos escrever

1 = (1- p) + p (13a)

(

)

[

]

n N n N n N N p p n N p p − = −       = + − = 1

∑

(1 ) 1 0 (13b)

A distribuição binomial é a mais geral dos modelos estatísticos discutidos aqui. Se N e o número de tentativas para o qual cada tentativa tem uma probabilidade de sucesso p, então a probabilidade de contar exatamente x sucessos é dada por

(

N x

)

x px p N x N x P − − − = (1 ) ! ! ! ) ( (13c)

P(x) é a função probabilidade, como dada pela distribuição binomial e é definida somente

para valores inteiros de N e x.

Algumas propriedades da distribuição binomial são importantes. Primeiramente, a distribuição é normalizada:

∑

= = N x x P 0 1 ) ( (14) Também, sabemos que a média ou valor médio de uma distribuição é dada por

∑

= = N x x xP x 0 ) ( (15) Se substituirmos a equação 13 para P(x) e realizarmos a soma, encontramos

pN

x = (16) O valor médio é sem dúvidas uma propriedade fundamental de qualquer distribuição.

É importante obtermos um parâmetro que descreve a flutuação prevista por uma dada distribuição. Nós já definimos tal parâmetro, chamado de variância amostral, para um conjunto de dados experimentais na equação 11. Por analogia definimos agora a variância prevista σ2, que é uma medida de como os dados estão distribuídos em torno da média prevista por modelo estatístico especifico P(x):

) ( ) ( 2 0 2 x P x x N x

∑

= − ≡ σ (17)

Convencionalmente, σ2 é chamada de variância, e enfatizamos o fato de que ela é associada com a distribuição de probabilidade prevista, por isto o nome variância

prevista. É convenção definirmos também o desvio padrão como a raiz quadrada de σ2.

Agora, se realizarmos a soma em (17) para o caso especifico da distribuição binomial, obtemos: ) 1 ( 2 p Np − = σ (18) Mas, usando (16), temos ainda

) 1 ( 2 p x − = σ (19) ) 1 ( p x − = σ (20) 0 5 10 15 20 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 N =20 p=0,1 0 5 10 15 20 0,00 0,05 0,10 0,15 N =20 p=0,5 0 5 10 15 20 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 x N=20 p= 0,75

Fig. 1 – Distribuições binomiais para alguns valores de N e p.

Como exemplo, suponha que tenhamos um dado honesto de tal modo que os números 1 a 6 sejam igualmente prováveis. Vamos definir um lance de sucesso quando quaisquer dos números 3,4,5 ou 6 apareçam como resultado. Como há quatro resultados em seis possíveis, a probabilidade é p = 4/6 ou 0,667. Agora jogamos o dado dez vezes e contarmos o número de lances que resultaram em sucesso. A distribuição binomial

permite calcular a probabilidade de exatamente x em N=10 tentativas serão sucesso, onde

x pode variar entre 0 e 10. Para este exemplo o valor médio de sucessos é 6,67 e a

variância é σ2 = Np(1-p)= 10×0,667×0,333 = 2,22 e o desvio padrão σ =1,49

Distribuição binomial para o decaimento radioativo

Considere o decaimento radioativo em um tempo t de um sistema contendo No

átomos radioativos. Este No átomos podem ser divididos em dois grupos, aqueles que

decairão em um tempo t e aqueles que não decairão. A partir da lei do decaimento exponencial para espécies radioativas, a probabilidade de que um dado átomo não decaia é e-λt (vide capitulo 9), onde λ é a constante de decaimento para a espécie em questão. Então, a probabilidade p para o decaimento é

t

e

p= 1− −λ (21) Usando a equação 13, temos a probabilidade P(x) de que x átomos decairão em um tempo

t

(

)

(

) ( )

x N t x t o o o e e x x N N x P − − − − − = λ λ 1 ! ! ! ) ( (22)

o número médio verdadeiro de decaimentos no tempo t é ) 1 ( t o e N x= − −λ (23) e o desvio padrão é

(

)

[

]

1/2

(

)

1/2 1 t t t o e e xe N λ λ λ σ _{= −} − − ₌ − (24) para λt<< 1, ou seja, para tempos de observação curtos comparados com a meia vida, o

desvio padrão é simplesmente

2 / 1 2 / 1 e x x ≈ = σ (25)

Se ε é a probabilidade de uma desintegração resultar em um contagem (eficiência de detecção), então a probabilidade de um de um átomo produzir uma contagem em um tempo t é ε λ ) 1 ( t e p= − − (26) ainda para a condição λt<< 1, a equação 24 continua válida.

A distribuição de Poisson

Várias categorias de processos binários podem ser caracterizados por uma baixa probabilidade de sucesso para cada tentativa individual. Por exemplo, em um experimento típico de física de colisões atômicas, apenas uma fração muito pequena do

feixe de projéteis, interage com os centros espalhadores do alvo gasoso. Nestes casos, a aproximação p → 0 e N → ∞ (na prática N ≥ 30 e p ≤ 0.05), de tal modo que a média

<x> = Np permaneça finita, será válida e algumas simplificações matemáticas podem ser

aplicadas à distribuição binomial. Usando que

x N x N N ≈ − )! ( ! (27) e pN x N e p − ≈ − − ) 1 ( (28) Mostrar-se que, neste limite a distribuição binomial se reduz a

! ) ( ) ( x e pN x P pN x − = (29)

Assim como a distribuição binomial, a distribuição de Poisson é discreta. Ela essencialmente descreve processos para os quais a probabilidade de tentativa única é muito pequena, mas o número de tentativas é grande. Repare que a distribuição binomial possui dois parâmetros: o número de tentativas N e a probabilidade individual de sucesso

p. Mas, a partir de (16) podemos ver que apenas um parâmetro é necessário na

distribuição de Poisson, o produto Np. Esta é uma simplificação muito útil porque precisamos conhecer apenas o valor médio da distribuição para reconstruir sua amplitude

P(x) para todos os outros valores do argumento x.

Algumas das propriedades da distribuição binomial, também são válidas para o caso da distribuição de Poisson. Em particular, as equações (14-17) também se aplicam para o caso da distribuição de Poisson. Contudo, a variância no caso da distribuição de Poisson é dada por

x

= 2

σ (30) conseqüentemente, o desvio padrão é dado pela raiz quadrada da equação (30). Note que este resultado é obtido diretamente das equações (19 e 20) no limite de p <<1.

Ex. 1 (University of Columbia, EUA) Se o numero médio de contagens por segundo de uma fonte radioativa é 4, qual a probabilidade de acumular 8 contagens em um segundo? R. P(8) = 48 e-4/8! = 0,03

Ex. 2 – O numero de partícula emitidas por uma fonte radioativa é medida por 10 horas e um total de 1800 contagens é obtida. Quantos intervalos de um minuto espera-se medir : a) nenhuma partícula , b) uma partícula ?

R. O número de contagens por minuto é 1800/10(60) = 3 contagens/minuto. Este é o valor de pn. Então a probabilidade de x contagens por minuto é P(x) = 3x e-3/x! . a) Para x = 0 temos P(0) = 0,05. Então devemos esperar nenhuma partícula em 5 % dos 600 intervalos de 1 minuto, ou seja em 30 dos 600 intervalos de um minuto, nenhuma partícula devera ser detectada. B) Para x =1 temos P(1) =31e-3 =0,15 ou 15 % dos intervalos.

A distribuição Gaussiana

Consideremos agora uma outra simplificação, que o valor médio da distribuição é alto (maior do que 20), pode-se mostrar que esta simplificação adicional leva à distribuição Gaussiana ou distribuição normal:

( ) x x x e x x P 2 2 2 1 ) ( − − = π (31). Onde x = 2 σ

De novo, as equações (14-17), assim como a equação (30) são válidas para o caso da distribuição gaussiana. Podemos tecer algumas observações sobre a distribuição gaussiana: ela é simétrica em relação ao seu valor médio e devido ao fato do valor médio ser alto, os valores de P(x) para valores de x adjacentes não diferem muito, ou seja, a distribuição varia lentamente.

A forma da distribuição Gaussiana é mostrada na figura abaixo, que ilustra esta distribuição para vários σ. O significado de σ como uma medida da largura da distribuição é claramente vista. O desvio padrão corresponde a meia largura cerca de 60 % do máximo. Em algumas aplicações, contudo, a largura total a meia altura (FWHM) é frequentemente utilizada. σ σ 2ln2 2.35 2 = = FWHM σ = 2 σ = 1

x

σ = 0,5 FWHM σ

Fig. X – Distribuições Gaussianas para vários σ. 3 -Aplicação dos modelos estatísticos

Uma aplicação rotineira dos modelos estatísticos é o caso no qual temos somente uma única medida de uma grandeza em particular e desejamos associar um dado grau de incerteza com aquela medida. O que gostaríamos objetivamente é ter uma estimativa da variância esperada se repetíssemos a medida várias vezes. A raiz quadrada da variância amostral deveria ser uma medida típica do desvio de qualquer medição de um valor médio real e assim servir com um único índice do grau de precisão que podemos associar com uma medida típica daquele conjunto. Porque temos somente uma única medida, contudo, a variância não pode ser calculada diretamentemas deve ser estimada por analogia com um modelo estatístico apropriado.

Se supusermos que o resultado da medida é parte de uma população cuja distribuição teórica descrita por uma distribuição Gaussiana ou de Poisson, então devemos ajustar a distribuição ao dado disponível. Para ambos os modelos devemos começar com um valor para a média <x> da distribuição. O valor de nossa única medida

x é a única informação que dispomos. Não temos outra escolha a não ser supor que a média da distribuição é igual ao único dado disponível, ou seja, <x>= x. Tendo agora obtido o suposto valor para <x>, a função probabilidade é totalmente definida para todos os valores de x. Podemos imediatamente encontrar um valor para a variância da distribuição. Podemos usar a associação que, se o dado foi retirado da mesma distribuição, uma estimativa da variância s2 deste conjunto de dados deve ser dada por σ2. Concluímos que s = σ = x1/2, é a melhor estimativa para o desvio da média verdadeira. No caso da distribuição Gaussiana, o intervalo x ± x1/2 conterá a média verdadeira com 68 % de probabilidade.

Como ilustração, suponha que você meça o número de partículas de incidem em um detector em um dado intervalo de tempo. Se 100 foi o número encontrado, então σ =1001/2 = 10 é a incerteza desta medição. Há várias formas de expressar a incerteza de uma medida. A escolha convencional é escrever o valor mais ou menos um valor que representa um desvio padrão σ, ou seja, 100 ± 10. Este intervalo supostamente contém o valor médio verdadeiro com uma probabilidade de 68%. Se desejarmos aumentar a probabilidade de que a média verdadeira esteja incluída, devemos expandir o intervalo de incerteza. Por exemplo, para alcançar 99 % de certeza de que a média esteja naquele intervalo, o intervalo deve ser expandido para 2,58σ, ou 100,0 ± 25,8, no caso de nosso exemplo. A menos que seja indicado o contrário, as incertezas são expressas com um desvio padrão.

O desvio padrão fracional, definido como σ/x, de uma única medida é dado por

x1/2/x ou x-1/2.

Exceções

Todas as conclusões da seção anterior não se aplicam a medidas de um certo número de sucessos ( número de caras ou coroas num lançamento de uma moeda, etc..) Numa medida de decaimento nuclear, devemos aplicar diretamente σ=x1/2 somente de x representa um número de eventos em um dado tempo de observação.

Não podemos aplicar o desvio padrão σ =x1/2 para qualquer quantidade que não seja um número de contagens medido diretamente. Por exemplo, a associação não se aplica a:

a- taxas de contagens;

b- somas ou diferenças de contagens; c- médias de contagens independentes; d- qualquer quantidade derivada;

Em todos estes casos a quantidade é calculada como uma função do número de contagens acumuladas em cada experimento. A incerteza associadas com esta quantidade deve então ser calculada de acordo com os métodos de propagação de erro.

Exemplo 1: Considere um espectro (de um fonte radioativa, por exemplo) onde o número real de contagens deve ser corrigido subtraindo-se o fundo (vide fig.1)

Área líquida = área total – fundo

Como tanto a área total como o fundo são medidos diretamente como contagens, o desvio padrão esperado de cada um deve ser a sua raiz quadrada. A área líquida é uma quantidade derivada e portanto sua incerteza deve ser obtida propagando-se os as incertezas das quantidades medidas diretamente, ou seja:

fundo total liquida 2 2 _σ σ σ = +

Se a área total for 1500 contagens e o fundo 400 contagens, 6 . 43 400 1500+ = = liquida σ

Como as incertezas são representadas com no máximo dois algarismos significativos, a área liquida é dada por

Fig. 2 – A área de um pico devem ser subtraída do fundo (background).

Exemplo 2 – Valor médio de várias contagens independentes. Suponha que tenhamos

medido N vezes a contagem de uma mesma fonte em tempos iguais. Os resultados são

representados por x1, x2, ...,xN e a soma S,

S = x1 + x2 +....+ xN

Aplicando as regras de propagação de erro, temos 2 2 2 2 1 2 ... xN x x S σ σ σ σ = + + +

Mas porque σxi = xi1/2 para cada contagem independente S x x _N S = 1+...+ = 2 σ S S = σ

Este resultado mostra que o desvio padrão para a soma de todas as contagens é o mesmo que se a medida fosse realizada de uma única vez, estendendo-se o tempo de medida. O valor médio é dado por

N S x =

E a incerteza associada é dada por

N x x = σ total = 1500 Fundo = 400

Concluímos que o valor médio baseado em N medidas independentes terá uma incerteza

que será menor por um fator N1/2 comparada com uma única medida. Uma outra conclusão é que se quisermos melhorar a precisão estatística por um fator 2, devemos acumular um tempo quatro vezes maior.

Em geral podemos supor que um campo de radiação "constante" é estritamente randômico em relação a quantas partículas são detectadas em um dado ponto por unidade de área e intervalo de tempo. Pode-se mostrar que o numero de partículas observadas medições repetidas (supondo condições iguais) são descritas por uma distribuição de Poisson. Para um número grande de eventos, esta distribuição aproxima-se da distribuição normal (Gaussiana) e as flutuações são devido a natureza estocástica do campo de radiação.

Intervalos entre eventos sucessivos

De modo a derivar uma função distribuição que descreve os intervalos de tempos entre eventos randômicos adjacentes, primeiramente suponha que um evento ocorrera em

t=0. Qual a probabilidade diferencial que o próximo evento aconteça dentro de um tempo

diferencial dt após um intervalo de tempo t? Dois processos independentes devem

acontecer: Nenhum evento podem ocorrer dentro do intervalo 0 a t, mas um evento deve ocorrer no próximo incremento de tempo diferencial dt. A probabilidade final será então

dada pelo produto das probabilidades que caracterizam os dois processos, ou seja, a

probabilidade do próximo evento ocorrer em dt após o atraso de t = probabilidade de nenhum evento ocorrer durante o intervalo tempo 0 a t × probabilidade de um evento ocorrer durante dt rdt P dt t PS( ) = N(0)×

O primeiro fator a direita segue diretamente da discussão anterior sobre a distribuição de Poisson. Procuramos por uma probabilidade de que nenhum evento ocorra durante um intervalo de tempo t no qual o numero médio de eventos deveria ser rt. Usando a Eq. 20,

rt rt e e rt P − − = = ! 0 ) ( ) 0 ( 0 Então dt re dt t P rt S − = ) (

PS(t) é uma função distribuição para intervalos entre eventos aleatórios adjacentes. Este

tipo de distribuição aparece por exemplo, como fundo (background) em experimentos de coincidência, como veremos nos próximos capítulos.

Escolha do tempo de contagem

Do que vimos até agora, podemos aplicar para um julgamento criterioso que pode nos poupar bastante tempo em um experimento.

Quando uma única medida é realizada os resultados da tabela 1 podem ser utilizados diretamente. σ incerteza % contagens 0,1 106 0,3 1,1 × 105 1 104 3 1,1 × 103 10 100

Tabela 1 – total de contagens para uma da incerteza.

Uma medida mais comum consiste em determinar o número de contagens líquida de uma fonte, a partir de uma taxa de contagens total (incluindo fundo). A divisão do tempo de contagem ótima entre o determinação do numero de contagens total e a determinação do fundo de modo a minimizar as incertezas pode ser obtida. Duas situações surgem e devem ser consideradas.

Se é preciso realizar uma série de contagens de amostras diferentes (diferentes fontes) e se durante o período de medidas não há razão para suspeitar que a taxa de contagens do fundo variou, é vantajoso fazer uma medida acurada do fundo de modo de a sua incerteza seja desprezível (uma ordem de grandeza menor do que a incerteza da medida da taxa total). Deve-se fazer várias medidas de modo a checar a constancia do fundo . Por exemplo, uma determinação pode ser feita no inicio e outra no final de cada serie de medidas.

A outra situação é quando temos um tempo fixo para realizar tanto a contagem total quanto a contagem do fundo. Se tf e tT são os tempos de medidas para o fundo e a taxa total e TT e Tf as taxas de contagens total e de fundo, respectivamente, então o desvio padrão da contagem líquida é dada por (vide problema 6)

0 1 re-1 r-1 PS (t )r -1

        + = f f T T l t T t T σ (32)

minizando a equação 32 encontra-se

2 / 1       = T f T f T T t t (33)

para o uso otimizado do tempo de contagem. Para determinar esta razão obtem-se valores aproximados no inicio das medidas.

4 - Algarismos significativos

Devido ao grande número de pessoas (alunos o professores) que apresentam dúvidas sobre algarismos significativos, reveremos a seguir algumas regras úteis. Os resultados de medidas ou cálculos, os valores descritos devem ter um número limitado de algarismos significativos. "Os algarismos significativos de uma medida são os algarismos considerados corretos, a contar do primeiro diferente de zero, e o último algarismo, que é o duvidoso " [6]. Algumas regras devem ser seguidas: os zeros à direita, em números decimais, apenas devem ser escritos quando são significativos, Ex : 1,20 possui três algarismos significativos. Os zeros apenas são significativos se situados à direita de um algarismo significativo, Ex : 0,012 tem dois algarismos significativos. Os zeros à esquerda dos algarismos 1 e 2 apenas expressam que o resultado da medição é inferior a unidade.

Exercícios

Quantos algarismos significativos tem os números abaixo? a) 145,9000 b) 73,009 c) 1,2 d) 0,543 e) 0,03450 Resp. a) 7 b) 5 c) 2 d) 3 e) 4

Arredondamento

Segundo a ABNT-NBR 5891:1977 – Regras de arredondamento na numeração decimal,

ao arredondarmos um número, devemos seguir as seguintes regras : O último algarismo de um número deve sempre ser acrescido de uma unidade caso o algarismo descartado seja superior a cinco (Ex: 235,8 → 236; 421,0012 → 421,001). No caso do algarismo descartado ser igual a cinco, se após o cinco descartado existirem quaisquer outros algarismos diferentes de zero, o último algarismo retido será acrescido de uma unidade (Ex: 2,0502 → 2,1). No caso do algarismo descartado ser igual a cinco, se após o cinco descartado só existirem zeros ou não existir outro algarismo, o último algarismo retido será acrescido de uma unidade somente se for impar (Ex: 2,3500 → 2,4; 2,25 →2,2 ). Operações com algarismos significativos

Adição e subtração → somamos ou subtraímos normalmente as parcelas e o resultado da

operação deve ter o mesmo número de casas decimais da parcela que possuir o menor número de casas decimais. Ex: 73,5 + 4,56 + 0,003 = 78,063 → 78,1.

Multiplicação e divisão → Multiplicamos ou dividimos normalmente as parcelas e o

resultado da operação deve ter o mesmo número de algarismos significativos da parcela que possuir o menor número de algarismos significativos. Ex: 25 ÷ 2,25 = 11,111.. → 11.

Raiz quadrada → a raiz quadrada de um número de n significativos pode ter no máximo n e, no mínimo, n-1 significativos. Ex: (3,45)1/2 =1,857417 → 1,86 ou 1,9.

Exercícios Calcule :

a) (25,5)1/2 + 5,0 = b) 61,890 × 2,5 =

c) 23,54 + 539,2 + 0,268 + 0,004 =

d) A base de um triângulo retângulo mede 12,5 cm e sua altura 1,3 m. Calcule a área do mesmo.

e) Achar o raio do circulo que tem 2,0 m2 de área

Resp. a) 9,8 b) 1,5 × 10 c) 563,0 d) 0,082 m2 _{e)0,798 m ou 79,8 cm}

Algumas definições

As definições de vários termos metrológicos são extraídos das referencias [3 e 4]

1

Incerteza (de medição) – parâmetro, associado ao resultado de uma medição, que

caracteriza a dispersão dos valores que podem ser razoavelmente atribuídos ao mensurando.

2

Incerteza padrão – incerteza do resultado de uma medição expressa como um desvio

padrão.

3

Avaliação da Incerteza Tipo A – método de avaliação da incerteza pela análise estatística

de séries de observações

4

Avaliação da Incerteza Tipo B- método de avaliação da incerteza por outros meios que

não a análise estatística de séries de observações

5

Valor verdadeiro de uma grandeza – valor consistente com a definição de uma dada

grandeza específica. É um valor que seria obtido por uma medição perfeita. Os valores verdadeiros são por natureza, indeterminados. O artigo indefinido “um” é usado preferivelmente ao artigo definido “o”, em conjunto com “valor verdadeiro”, porque pode haver muitos valores consistentes com a definição de uma dada grandeza específica.

6

Valor verdadeiro convencional de uma grandeza- valor atribuído a uma grandeza

específica e aceito, às vezes por convenção, como tendo uma incerteza apropriada para uma dada finalidade. Ex: o CODATA (1986) recomendou o valor para a constante de Avogrado como sendo A = 6,0221367 × 1023

mol-1.

7

Medição – Conjunto de operações que tem por objetivo determinar o valor de uma

grandeza

Referências:

1- G. F. Knoll, Radiation Detection and Measurement

2- W. R. Leo, Techniques for Nuclear and Particle Physics Experiments

3- Guia para a Expressão da Incerteza de Medição, Terceira edição Brasileira Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement agosto 2003, ABNT,

INMETRO

4- Vocabulário Internacional de Termos Fundamentais e Gerais de Metrologia (VIM)

5- Homero Lenz César, Algarismo Significativo Erro Arredondamento,Segunda edição. Edições UFC, Fortaleza 1995

6- Alexandre Mendes e Pedro Paulo Rosário, Metrologia & Incerteza de Medição

EPSE, 2005

7- W. J. Price, Nuclear Radiation Detection, McGraw-Hill Book Company, Second edition, 1958.

8- A. C. F. Santos and A. Fröhlich, Phys. Ed. (2004). 9- A. C. F. Santos and A. Fröhlich, Anais do SNEF (2005).

10- P. R. Bevington, D. K. Robinson, Data Reduction and Error Analysis for the Physical Sciencies, 2 ed.

Problemas

1 – Um átomo contendo 8 elétrons independentes (não há correlação eletrônica) é multiplamente ionizado em uma colisão com um íon. A probabilidade de que cada elétron individual seja ionizado é p=0,2.

a) Calcule a probabilidades P(x) de ionizar 1, 2,..,8 elétrons. (dica: utilize a

distribuição binomial) b) Mostre que

∑

= = n x x P 0 1 ) ( .

c) Calcule o número médio de elétrons ionizados.

d) Calcule o desvio padrão do número de elétrons ionizados.

2 – Contagens provenientes de uma fonte são acumuladas em um contador por 1 minuto dando 561 contagens. A fonte é removida e acumula-se também por 1 minuto contagens

de fundo dando 410 contagens. Qual o numero real de eventos devido a fonte somente e qual o desvio padrão associado ?

3– Um acumulo de 10 minutos de contagens de uma fonte + fundo resulta em 846 contagens. O fundo sozinho resulta em 73 contagens em um mesmo tempo de aquisição. Qual o numero de contagens liquida e o desvio padrão associado?

4 – O seguinte conjunto de leituras foi realizado usando um detetor para períodos de tempo de um minuto. 18500, 18410, 18250, 18760, 18600, 18220, 18540, 18270, 18670, 18540

a) Qual o valor médio para o numero de contagens? b) Qual o desvio padrão ?

c) Qual o valor teórico mínimo para o desvio padrão da media ? d) Qual o desvio padrão para uma simples leitura ?

e) Qual o valor teórico mínimo para o desvio padrão para uma leitura simples? 5 – Matéria viva, ou que já viveu, contém uma pequena atividade de 14C. Acredita-se que esta atividade é proveniente do bombardeamento do nitrogênio atmosférico por nêutrons provenientes dos raios cósmicos, predominante na alta atmosfera. Este carbono radioativo entra em sistemas vivos por processos de troca e alcança uma concentração de equilíbrio. Após a morte, a troca pára, e a quantidade de carbono radioativo diminui devido à meia-vida finita do 14C. Comparando-se a atividade especifica em um material morto com a da atmosfera, pode-se calcular o tempo passado desde a sua morte. Em um experimento em particular deste tipo, a taxa de contagens total foi de 14,0 contagens/minuto, e o fundo (background) foi de 9,5 contagens por minuto. Quanto tempo é necessário para medir a atividade do 14C com uma precisão de 4 %?

6 – Obtenha as equações 29 e 30.

7 – Uma hora é disponível para uma determinação da taxa de contagem incluindo a medida do fundo. Qual a divisão ótima do tempo de aquisição (amostra e fundo) de modo a minimizar a incerteza da contagem líquida neste período de tempo ?

a) caso 1 : as taxas total e de fundo são 1000 e 20 contagens por minuto, respectivamente.

b) caso 2 : as taxas total e de fundo são 60 e 20 contagens por minuto, respectivamente. Calcule as incertezas em casa caso.

8 – A probabilidade de que um elétron esteja a uma distancia r do centro do núcleo do

átomo de hidrogênio é dado por P(r) = Cexp(-r/R) . Encontre o raio médio <r> e o

desvio padrão. Encontre o valor da constante C.

9 – Mostre que a tangente a uma função Gaussiana é extrema (máxima ou mínima) para x = µ ± σ, e portanto cruza a curva nos pontos exp(-0,5). Mostre também que estas tangentes cruzam o eixo y em x = µ± 2σ.

10 – Um problema surge quando acumulamos dados com contadores eletrônicos nos quais podem saturar quando as taxas são muito altas, dando origem ao `tempo morto`. Por exemplo, apos uma partícula ter passado por um detector, o equipamento estará `morto` enquanto o detector se recupera e o restante da eletrônica armazena a informação. Se uma segunda partícula chega ao detector neste intervalo de tempo, ela não sera contada.

a) Suponha que o contador tem um tempo morto de 200 ns e esta exposto a um feixe de 1 × 106

particulas por segundo de tal modo que o numero médio de partículas chegando ao contador no intervalo de 200 ns é µ =0.2. A partir da distribuição de Poisson para este processo, encontre a eficiência do contador; ou seja, a razão entre o numero de partículas contadas e o numero médio de partículas incidentes no intervalo de 200 ns.

b) Repita os cálculos pra taxas de feixe de 2, 4, 6, 8, e 10 × 106 particulas por segundo, e faca um gráfico da eficiência do contador em função da taxa do feixe. 11 – Em um experimento de espalhamento para medir a polarização de uma partícula elementar, um total de N= 1000 particulas foram espalhadas pelo alvo. Destas, Nd = 670 foram espalhadas para a direita e Ne = 330 para a esquerda. Suponha que não ha incerteza no numero total de partículas espalhadas N = Nd + Ne .

a) qual a incerteza em Nd e em Ne?

b) O parâmetro de assimetria é definido com A= (Nd - Ne)/ (Nd + Ne). Calcule a assimetria experimental e sua incerteza.

c) Suponha que a assimetria foi prevista como A = 0,400 e recalcule as incertezas do item a) e b) usando a probabilidade prevista.

12- Em uma dada medida de 10 minutos resultou em uma incerteza estatística de 2,8 %. Quanto tempo mais deveria ser medido para reduzir a incerteza estatística para 1,0 % ? 13 – Um físico de partículas realiza medidas preliminares da distribuição angular dos mesons K espalhados por um alvo de nitrogênio liquido. Ela sabe que deveria ter um numero igual de partículas espalhadas pra frente e pra trás no referencial do centro de massa do sistema de partículas. Ela mediu 1000 interacoes e encontrou que 472 espalharam para frente e 528 para trás .Qual as frações dos mesons espalhados para frente e para trás ? Qual a incerteza ela deveria adotar para estes estes números ?

14 – A taxa de contagens de uma amostra radioativa de urina é a ordem de 5 cps. Por quanto tempo devemos acumular contagens para ter um desvio percentual de 2 %?

15 – (GRE). A student makes 10 one-second measurements of the disintegration of a sample of a long-lived

radioactive isotope and obtains the following values.

3, 0, 2, 1, 2, 4, 0, 1, 2, 5

How long should the student count to establish the rate to an uncertainty of 1 percent?

(A) 80 s (B) 160 s

(C) 2,000 s (D) 5,000 s (E) 6,400 s

16-(CEFETEQ-2007, Concurso Público para provimento de cargos de Professor de Ensino de 1º e 2º Graus). A partir de um conjunto de n medidas equiprováveis x1, ...,xn de uma determinada grandeza x, é possível estabelecer algum critério matemático para definir o valor esperado da grandeza x como sendo aquela fornecido pela média aritmética =

∑

x_i N x 1 ? Respostas 1- a) P(1) =0,336 c) <x>= pN=1,6 d) 1,1 2- 151 contagens. σ = 31 contagens. 3- 773 contagens. σ = 30 contagens. 4- a) 18476 b) 58 c) 43 d)184 e)136 5- 6- 7- 8- C = 4/R2 9- 10 – numero médio

∑

∞ = − − = − = = 1 1 ) , 0 ( 1 ) , ( x e P x P x µ µ µ , eficiência = µ/exp(-µ) 11- 12- 13- 15.8 2 1 2 1 1000 ) 1 ( − = × × ≈ = np p σ

fração para frente = (472 ± 15.8)/1000 = 0,47 ± 0,16 fração para trás = (528 ± 15.8)/1000 = 0,53 ± 0,16

Se o experimentalista não sabe a priori as probabilidades de espalhamento, ela teria que estimar a partir das medidas p = 472/1000 e q =528/ 1000

14 – 500 s

16 - o valor médio real x(valor verdadeiro de uma grandeza5 ) que seria obtido se um número infinito de

medidas fossem acumulados ou quando se conhecem todos os valores possíveis da população

(

)

2 1 2 1

∑

= − ≡ N i i x x N σ

Onde N é o tamanho da população. Mas como não podemos conhecer x a partir de um conjunto finito de

medidas, usamos no seu lugar o valor x_e (x ≈x_e) derivado a partir dos dados para calcular os valores

dos desvios. O valor verdadeiro de uma grandeza é independente do conjunto de dados, enquanto que o valor experimental é dependente.

Prática: Análogo macroscópico da seção de choque de colisão

INTRODUÇÃO

Quando um feixe de partículas atravessa um material, vários processos distintos podem acontecer. Algumas partículas atravessam o material sem que ocorra nenhum tipo de interação (veja Fig. 1), enquanto outras são defletidas devido a suas interações ou colisões com os átomos dos material.

O espalhamento elástico da luz na atmosfera produz o azul o céu. Exemplos similares do esplhamento da luz são comuns na nossa experiência diária, o arco-íris por exemplo é formado devido à dispersão preferencial da luz num dado ângulo quando colide com gotas d´água. Nestes casos, os efeitos da colisão são observados nas partículas espalhadas.Como um produto da interação, o alvo também pode sofrer uma transformação. Estas transformações dão lugar par uma gama enorme de aplicações, as quais inclui o uso de radiação para o tratamento de câncer, utilização de radiação ionizante para a preservação de alimentos, ou para o estudo da composição dos materiais.

A interação ou colisão entre duas partículas é usualmente descrita em termos da

seção de choque de colisão, que é por definição “Uma medida da probabilidade que um encontro entre partículas resulte na ocorrência de uma determinada reação atômica ou nuclear” [2] .Esta grandeza, basicamente, é a medida da interação efetiva entre o projétil

e o alvo. Quanto maior a seção de choque, mais provável será a deflexão do projétil. Seção de choque tem dimensões de área (ou comprimento ao quadrado) e representa a área efetiva da região de colisão [3,4]. A seção de choque depende dos tipos de partículas envolvidas e usualmente depende da velocidade ou energia da partícula no feixe incidente. A definição formal da seção de choque microscópica é dada como segue:. Considere um feixe de partículas com intensidade I0, incidindo sobre um alvo de

densidade ρ, ou seja, partículas por unidade de área, como mostrado na Fig. 1. Agora, olhe para o número de partículas absorvidas ou espalhadas pelo alvo, Is. Devido à

aleatoriedade dos parâmetros de impacto, ou seja, a distância entre o projétil e o alvo, o número de partículas espalhadas flutuará para medidas diferentes. No entanto, se tomarmos a média de colisões para várias medidas, este número tenderá para uma quantidade fixa. A seção de choqe , σ, é então definida como

o s I I × = ρ σ (1)

Ou seja, σ é a fração entre as partículas espalhadas e o número de partículas presentes n alvo por unidade de área. A Equação 1 nos diz que, se a densidade de partículas presentes no alvo, ρ, aumenta, também aumentará o número de colisões, Is,, uma vez que a seção de choque é um número fixo, devemos então divir pela densidade do alvo se desejamos que a seção de choque represente a área efetiva da interação entre uma partícula e o alvo.

Em física atômica ou nuclear, a seção de choque para uma determinada interação não necessáriamente depende do tamanho geométrico da partícula. Duas partículas podem ter a mesma área geométrica (conhecida como a seção de choque geométrica) e mesmo assim interagir de modos distintos com o projétil.

Descreveremos agora um método para a medida das seções de choque usando a equação 1. Este método é baseado no crescimento do número de projéteis espalhados em função da densidade do alvo ρ. A equação 1 pode ser escrita como

ρ σ× = o s I I (2)

A equação acima diz que a fração do número de projéteis, Is/Io, depende

linearmente da densidade do alvo. Então, a medida da seção de choque pode ser reduzida ao estudo da dependência da taxa de crescimento do número de projéteis espalhados com a densidade do alvo. Consequentemente, a seção de choque pode ser determinada a partir da parte linear da taxa de crescimento do número de projéteis, ou seja, da inclinação do gráfico de Is/Io vs. ρ. Numa situação real, no entanto, o alvo sempre terá algum tipo de

contaminação, como por exemplo gases residuais. Uma vez que as impurezas são independentes da densidade do gás, e são aproximadamente constante ao longo da medida, elas não influenciam a inclinação da taxa de crescimento, a partir da qual a determina-se a seção de choque. De modo a levar em conta a contribuição das impurezas residuais, adicionamos um termo constante `a equação 2.

EXPERIMENTO

O experimento qual passamos a descrever é um análogo macroscópico da seção de choque de espalhamento. O alvo consiste de uma folha de papel de área S, contendo vários centros espalhadores, as moedas T,. Nosso objetivo é medir a área de cada moeda alvo. Para tanto, um certo número de moedas é uniformemente distribuido sobre a folha de papel. De modo a simular as impurezas residuais, moedas R, de um tamanho diferente foram adicionadas.

Assim, o procedimento para o cálculo da seção de choque, ou área efetiva, de uma moeda numa colisão com um projétil (lápis ou caneta) é:

1. Prenda a folha de papel ao chão usando um fita adesiva. 2. Meça a área da folha de papel.

3. Espalhe as moedas R (contaminanes) unifomemente sobre a folha[5].

4. Deixe o projétil (lápis ou caneta) cair sobre a folha umas 100 vezes e conte o número de colisões Is do projétil com as moedas residuais R. Não considere os

lançamentos que caem fora do papel. A densidade do alvo é ainda igual a zero.

5. coloque algumas moedas alvo (T).

6. Determine o número de partículas alvo por unidade de área ρ, ou seja, o

número de moedas dividido pela área do papel.

7. Deixe o projétil cair de uma altura h sobre a folha de papel por Io vezes,

conforme mostrado na Fig. 2. Note que h deve ser suficientemente alta de modo que estatísticamente o projétil possa interagir com todas as moedas alvo.

8. Faça 100 lançamentos e meça o número de colisões Is do projétil com

qualquer moeda alvo ( T or R.) Não considere os lançamentos que caiam fora do papel. Faça uma tabela com Is em função da densidade ρ .

9. Repita os itens 5 a 8 até que a sua tabela tenha um mínimo de 4 ou 5 linhas. 10. De modo a determinar a interação do projétil com as partículas alvo, utilize as

equações básicas apresentadas acima.. Divida Is por Io. e faça um gráfico de Is / Io em função de ρ.

Este é o chamado método do crescimento para a determinação das seções de choque.

A figura 3 mostra dois casos distintos. No primeiro caso (círculos na figura 3), os dados foram tomados sem adicionar "impurezas" e o projétil utilizado foi um lápis de ponta fina. No segundo caso (quadrados na figura 3), seis moedas de tamanhos diferentes das moedas-alvo foram adicionadas com impurezas. e o projétil utilizado foi um lápis de 0.8 cm de diâmetro. As barras de incertezas representamas incertezas estatísticas para um dado número de colisões,

o s

I I

. Usando o método dos mínimos quadrados, determinamos as inclinações como 3.45 ± 0.13 cm2 (círculos) e 7.01 ± 0.85 cm2 (quadrados).

ANÁLISE:O TAMANHO DO PROJÉTIL E O EFEITO DAS MOEDAS RESIDUAIS

Descreveremos agora como levar em cont o tamanho do projétil na medida do tamanho das moedas. Para este cálculo consideremos as moedas como círculos de raio r1 e área transversal do projétil também como um circulo de raio r2. Como pode ser visto na Fig. 4, a colisão não ocorrerá se a distância entre os centros for maior do que a soma dos raios, r1 + r2. Neste caso, a área efetiva do alvo será π(r1 + r2)2. Neste experimento, os projéteis foram um lápis apontado (diâmetro desprezível comparado com as dimensões do alvo) e um outro lápis de diâmetro igual a 0.8 cm (medido com um paquímetro) e o alvo foi uma moeda de 1.91 cm de diâmetro. No primeiro caso, r2 << r1 e a área efetiva é

com muito boa aproximação igual à área da moed. (2.86 cm2). Por outro lado, no segundo exemplo dado acima, as dimensões do projétil têm que ser levadas em conta.Neste caso, a área efetiva é 5.76 cm2. Comparando estas duas áreas efetivas com as inclinações medidas a partir da Fig. 3, encontramos um erro de 21 %.

Legendas das Figuras:

target INCIDENT FLUX TRANSMITED FLUX IO It SCATTERED FLUX

Fig. 1 – Um feixe de radiação de intensidade Io atravessa um alvo. . Uma fração do feixe incidente é espalhado, enquanto que o restante do feixe é transmitido sem colidir com as partícula do alvo.

h

Fig. 2 – O projétil (cilindro vermelho) cai verticalmente de uma altura h sobre uma folha de papel contendo moedas.

Fig. 3 – O método do crescimento para moedas. Círculos: o projétil é um lápis apontado e nenhuma contaminação de fundo foi adicionada. Quadrados: o projétil usado foi um lápis cuja dimensões er comparavél com as dimensões do alvo. De modo a simular as impurezas presentes, foram adicionadas seis moedas de tamanho distinto das moedas-alvo. r1 r2 r1+r2 r2 PROJECTILE

0.00

0.02

0.04

0.06

0.0

0.2

0.4

0.6

p e rc e n tu a l o f C o ll is io n s i n 1 0 0 t h ro w s ( Is /Io )

Fig. 4 – (Esquerda) o projétil é representado por um cilindro de diâmetro 2r1. (Direita) o projéctil de ráio r1 e o alvo de ráio r2, colidem se seus centros estão dentro de uma distância igual ou inferior a r1+r2

1 –R. A. Serway, Physics For Scientists & Engineers, 3rd edition, Saunders College Publishing, USA, 1982.

2 - http://www.yahooligans.com/reference/dictionary/entries/62/c0766200.html

3- http://www.jupiterscientific.org/sciinfo/crosssection.html

4 - http://www-ed.fnal.gov/painless/htmls/cross.html

5 - Aqui o professor pode não utilizar nenhuma moeda como contaminação de fundo. A análise torna-se mais fácil se utilizarmos somente moedas-alvo T. Neste caso , o termo

fBG é nulo.