1. Seja f a função representada graficamente. As retas de equação 𝑥 = −$%; 𝑦 = −1 𝑒 𝑦 = 1 são assintotas do gráfico de f. Sabe-se que lim 𝑓(𝑢1) = 1 então a sucessão pode ser?
(A) 𝑢1 = −$%+$1 (B) 𝑢1 = −$%−1$ (C) 𝑢1 = −𝑛 +$1 (D) 𝑢1 = 3𝑛 −1$
2. Na figura está representada, num referencial o.n. 𝑥𝑂𝑦, parte do gráfico de uma função polinomial 𝑓. Considere que:
- a função 𝑓 tem um único máximo relativo para 𝑥 = −1; - a função 𝑓 tem um único mínimo relativo para 𝑥 = 1;
- o ponto de abcissa 0 é o único ponto de inflexão do gráfico de 𝑓. Sejam 𝑓′ e 𝑓′′ a primeira e a segunda derivadas da função 𝑓, respetivamente. Qual é o conjunto-solução da condição 𝑓9(𝑥) × 𝑓99(𝑥) ≤ 0?
(A) [−1, 0] ∪ [1, +∞[ (B) ]−∞, 0] ∪ [1, +∞[ (C) ]−∞, −1] ∪ [0, 1] (D) ]−∞, −1] ∪ [0, +∞[
3. Na figura encontra-se parte do gráfico de uma função h, de domínio ℝ. Sejam e a primeira e a segunda derivadas de
h, respetivamente. Admita que estas duas funções também têm
domínio ℝ.
Qual das expressões seguintes designa um número negativo?
(A) (B) (C) (D)
h¢ h¢¢
( )
0( )
0
4. Seja uma função de domínio R, contínua no intervalo . Tem-se que e . Em qual das opções seguintes está definida uma função , de domínio R, para a qual o Teorema de Bolzano-Cauchy garante a existência de pelo menos um zero no intervalo
(A) (B) (C) (D)
5. Considere a família de funções: ℎ(𝑥) = 𝑥C− 𝑘𝑥%− 6𝑥 + 14; 𝑘 ∈ 𝑅 . Sabe-se que uma função desta família tem um extremo relativo em . Nesse caso, qual deverá ser o valor de ?
E esse extremo é um máximo ou um mínimo? Justifique.
6. Considere a função , de domínio 𝑘 ∈ 𝑅\{0}, definida por:
6.1. Mostre que o gráfico da função tem um único ponto de inflexão e determine a sua abcissa.
6.2.. Resolva, em R, a condição . Apresente o conjunto-solução na forma de intervalo de números reais ou na forma de união de intervalos disjuntos de números reais.
7. Considere a função , de domínio R, definida por
Justifique que a equação tem, pelo menos, uma solução em .
8. Seja a função de domínio R e contínua em R, definida por:
8.1. Determine o valor de .
8.2. Caracterize a função , primeira derivada de .
f
[
-1, 3]
f( )
- = -1 2( )
3 5 f = - g]
-1, 3[
( )
3( )
g x = x f x- g x( )
= +x f x( )
g x( )
= - -x f x( )
g x( )
=x2- f x( )
2 x= - k g( )
2x 5 2 g x x -æ ö = çè ÷ø g( )
( )
g x¢ >g x¢¢ j( )
4 2 1 2 x x j x x + + = +( )
3 j x = +x x] [
0 ,1 g( )
2 2 se 2 , com 2 1 se 2 x x a x g x x a x x ì + + < ï =í - Î ï + ³ î !a
g¢ g
8.3. Determine uma equação da reta tangente ao gráfico de no ponto de abcissa .
9. Seja a função definida por . Em qual dos intervalos seguintes é possível garantir, pelo Teorema de Bolzano-Cauchy, a existência de, pelo menos, uma solução da
equação ?
(A) (B) (C) (D)
10. De duas funções e , ambas de domínio R, sabe-se que:
• • • • •
Seja a função definida, em R, por . Qual é o valor de ?
(A) 3 (B) 9 (C) 12 (D) 15
11. Seja uma função de domínio R, definida por um polinómio de grau 6.
Dos quatro valores apresentados a seguir, apenas um deles pode ser o número de pontos de inflexão do gráfico de . Qual é esse valor?
(A) 2 (B) 5 (C) 6 (D) 12
12. Considere a função , de domínio R, definida por .
13.1. Estude a função quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos.
13.2. Indique o valor lógico da seguinte proposição: O gráfico da função tem
concavidade voltada para cima no intervalo ou tem dois pontos de inflexão.
13.3. Resolva, em R, a equação . g
π
x
=
f f x( )
= - +x x x+ 2( )
3 f x =] [
0 ,1] [
1, 2] [
2 ,3] [
3 , 4 f g( )
2 3 f = g( )
2 = -f( )
2 f ¢¢( )
2 =1 g¢¢( )
2 =4 f¢( ) ( )
2 ´g¢ 2 =3 h h x( )
= f x( ) ( )
´g x( )
2 h¢¢ j j f f x( )
=2x4- +x2 3 f : p f 3 3 , 6 6 ù é -ú ê û ë( )
( )
f x¢ = -x f x¢¢
Apresente as soluções com denominador racional.
14. Considere a função , de domínio R, definida por:
14.1. Estude a função quanto ao sentido da concavidade do seu gráfico e à existência de pontos de inflexão em .
14.2. Justifique que existe pelo menos um zero de em .
15. Seja f uma função contínua em R, definida por:
𝑓(𝑥) = L
𝑥%− (2 + 𝑎)𝑥 + 2𝑎
𝑥%− 𝑎% 𝑠𝑒 𝑥 < 𝑎 1
𝑎 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 𝑎
Sabendo que a é uma constante real não nula, indique o seu valor.
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
16. Seja f uma função de domínio R, definida por:
𝑓(𝑥) = ⎩ ⎨ ⎧ 𝑥 − 3 √𝑥%− 4𝑥 + 5 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 2 𝑥%+ 2𝑥 + 1 𝑥 − 2 𝑠𝑒 𝑥 < 2
16.1. Estude a função quanto à existência de assintotas do seu gráfico quando x tende para .
16.2. Determine o valor de f’(1), recorrendo à definição de derivada.
16.3. Determine a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 1 16.4. Estude a monotonia e a existência de extremos relativos da função f, em 2 < 𝑥 ≤ 8.
g
( )
2 3 32 4 se 1 1 se 1 x x x g x x x x ì + £ -ï = í ï + + > -î g]
-¥ -, 1]
g 1, 0 2 ù- é ú ê û ë +¥
17. Seja f uma função contínua e diferenciável num intervalo [𝑎, 𝑏]. Mostre que se f não é injetiva no seu domínio, então existe em ]𝑎, 𝑏[, uma reta tangente ao gráfico de f paralela ao eixo Ox.
18. Considere a função g, de domínio R, definida por 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥C+ 𝑏𝑥. Sabe-se que g admite um mínimo no ponto de coordenadas (2, -16). Nestas condições os valores de a e de b são?
(A) 𝑎 =$% 𝑒 𝑏 = −10 (B) 𝑎 = 2 𝑒 𝑏 = −16 (C) 𝑎 = −2 𝑒 𝑏 = 24 (D) 𝑎 = 1 𝑒 𝑏 = −12
19. Considere a função f, de domínio R, definida por 𝑓(𝑥) = 2𝑥C− 4𝑥. Prove que existe em ]1,2[, pelo menos um ponto do gráfico de f cuja ordenada é igual ao inverso da sua abcissa.
De seguida e recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, determine o valor dessa(s) abcissa(s).
Na resposta deve: - equacionar o problema;
- provar o pedido recorrendo ao Teorema de Bolzano – Cauchy; - reproduzir, num referencial, o(s) gráfico(s) que visualizar; - apresentar a(s) soluções pedida(s), com 2 c.d.
Prova de Avaliação Escrita • 2018
4. Considere a linha n do Triângulo de Pascal tal que a soma dos últimos quatro elementos é 93. 8 Sabe-se ainda que o quarto elemento da linha n + 1 é igual a 84.
Quantos elementos tem a linha n?
(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 10
5. O António e o Vasco registaram os resultados das 30 partidas de ténis que disputaram no último verão. 8 Sabe-se que todos as partidas terminaram com a vitória do António ou do Vasco, sendo que o Vasco venceu 60% das partidas disputadas, e entre as que o António venceu 50% foram decididas em tie-break. Quantas partidas terminaram com a vitória do António e não foram decididas em tie-break?
(A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 12
6. Na Figura 2, está representada, num referencial o.n xOy, parte do gráfico da função f00, segunda deri- 8 vada de f , contínua em todo o seu domínio.
Sabe-se que f00admite um zero em x = 3, e f0(0)⇥ f0(3) < 0. Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira? (A) O gráfico de f admite um ponto de inflexão em ]0,3[. (B) A função f admite um mínimo relativo em ]0,3[. (C) A função f admite um máximo relativo em ]0,3[.
(D) O gráfico de f tem concavidade voltada para cima em ]0,3[.
x y O 1 3 f00 Figura 2
7. Considere a função f , de domínio ]1,+1[, tal que a sua primeira derivada, f0, é dada por f0(x ) = x2 5 (x 1)2. Sabe-se que o gráfico de f passa pelo ponto de coordenadas (3,2).
7.1. Determine o valor de lim 25
x!3
x2 2x + 15 2 f(x ) .
7.2. Estude o gráfico da função f quanto ao sentido das concavidades e existência de pontos de inflexão. 30 7.3. Considere uma função g, diferenciável em ]1, + 1[, tal que (g ⇥ f )0(3) = 0e g0(3)6= 0. 15
Prove que a reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa 3 interseta o eixo das abcissas no ponto de abcissa 5.
8. Seja f uma função cuja primeira derivada, f0, existe, é contínua e estritamente crescente em [a,b]. 10 Prove que se f (a) = f (b), então f (x) f (a), 8x 2 [a,b].
Fim do Caderno 2 si na lm ai sm at .c om • c 20 18 N un o M ig ue lG ue rre iro 1
