Licenciatura em Matemática - Cálculo I

Eduardo Braga Vice–Governador

Omar Aziz Reitora

Marilene Corrêa da Silva Freitas Vice–Reitor

Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró–Reitor de Planejamento Osail de Souza Medeiros Pró–Reitor de Administração Fares Franc Abinader Rodrigues Pró–Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários

Rogélio Casado Marinho Pró–Reitor de Ensino de Graduação

Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró–Reitor de Pós–Graduação e Pesquisa

José Luiz de Souza Pio

Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado) Carlos Alberto Farias Jennings

Coordenador Pedagógico Luciano Balbino dos Santos

NUPROM

Núcleo de Produção de Material Coordenador Geral João Batista Gomes

Editoração Eletrônica Helcio Ferreira Junior Revisão Técnico–gramatical

João Batista Gomes

Lourenço, Arnaldo Barbosa.

L892c Cálculo I / Arnaldo Barbosa Lourenço, Clício Freire da Silva, Genilce Ferreira Oliveira. - Manaus/AM: UEA, 2007. - (Licenciatura em Matemática. 2. Período)

125 p.: il. ; 29 cm. Inclui bibliografia.

1. Cálculo - Estudo e ensino. I. Silva, Clício Freire da. II. Oliveira, Genilce Ferreira. III. Série. IV. Título.

UNIDADE I – Função . . . . 09

TEMA 01 – Função ou Aplicação . . . 11

UNIDADE II – Limites . . . . 23

TEMA 02 – Limites – Definição e Limites Laterais . . . 25

TEMA 03 – Continuidade de uma Função . . . 28

TEMA 04 – Propriedades dos Limites . . . 30

TEMA 05 – Limites Infinitesimais . . . 33

TEMA 06 – Limites Trigonométricos . . . 36

TEMA 07 – Limites Exponenciais . . . 37

UNIDADE III – Derivada . . . . 41

TEMA 08 – Derivada de uma Função, definição . . . 43

TEMA 09 – A Reta Tangente ao Gráfico de uma Função . . . 46

TEMA 10 – Regras de Derivação . . . 51

TEMA 11 – A Regra da Cadeia . . . 56

TEMA 12 – Estudo do Sinal de uma Função . . . 60

TEMA 13 – Taxa de Variação e regra de L’Hospital . . . 67

UNIDADE IV – Integrais . . . . 71

TEMA 14 – Integrais Primitivas e Indefinidas . . . 73

TEMA 15 – Cálculo de Área . . . 79

TEMA 16 – Área entre Curva . . . 86

TEMA 17 – Mudança de Variável na Integral . . . 88

TEMA 18 – Integração por partes . . . 94

TEMA 19 – Integrais Trigonométricas . . . 98

TEMA 20 – Integrais de Funções Racionais . . . 102

Respostas de Exercícios . . . 111

Arnaldo Barbosa Lourenço

Licenciado em Matemática - UFPA Licenciado em Ciências Contábeis - UFAM Pós-graduado em Ensino da Matemática - UFAM

Clício Freire da Silva

Licenciado em Matemática – UFAM Bacharel em Matemática – UFAM

Pós–graduado em Instrumentação para o Ensino da Matemática – UFF

Genilce Ferreira Oliveira

Licenciada em Matemática – UFAM Especialista em Matemática – UFAM

TEMA 01

FUNÇÃO OU APLICAÇÃO

1.1. Definição, elementos

Entendemos por uma função f uma terna (A, B, a

→

b) onde A e b são dois conjuntos e a

→

b, uma regra que nos permite associar a cada ele-mento a de A um único b de B. O conjunto A é o domínio de f, e indica-se por Df, assim A = Df.

O conjunto B é o contradomínio de f. O único b de B associado ao elemento a de A é indicado por f(a) (leia: f de a); diremos que f(a) é o valor que f assume em a ou que f(a) é o valor que f associa a a. Quando x percorre o domínio de f, f(x) descreve um conjunto denominado ima-gem de f e que se indica por Imf:

Imf = {f(x)|x

∈

Df}

Uma função de f de domínio A e contradomínio B é usualmente indicada por f : A B (leia: f de A em B).

Uma função de uma variável real a valores reais é uma função f : A B, onde A e B são sub-conjuntos de IR. Até menção em contrário, só trataremos com funções de uma variável real a valores reais.

Seja f : A B uma função. O conjunto Gf= {(x,f(x))|x

∈

A}

denomina-se gráfico de f; assim, o gráfico de f é um subconjunto de todos os pares ordena-dos (x, y) de números reais. Munindo-se o pla-no de um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas, o gráfico de f pode, então, ser pen-sado como o lugar geométrico descrito pelo ponto (x, f(x)) quando x percorre o domínio de f.

Observação – Por simplificação, deixaremos, muitas vezes, de explicitar o domínio e o con-tradomínio de uma função; quando tal ocorrer, ficará implícito que o contradomínio é IR e o domínio o “maior” subconjunto de IR para o qual faz sentido a regra em questão.

Exemplo:

Dados os conjuntos M = {0, 1 ,2} e

B={0, 1, 4, 5}, verificar se a relação binária R ={(x,y) Ax B/ y = x2} é uma função.

Solução: M = {0, 1 ,2} N={0, 1, 4, 5} R ={(x,y) Mx N/ y = x2} x = 0 y = 02_{= 0} x = 1 y = 12= 1 x = 2 y = 22= 4

No diagrama de flechas, temos que:

Observe que f(0) = 0, f(1) = 1 e f(2) = 4, então podemos afirmar que f é uma função ou aplica-ção, já que de cada elemento de M temos uma única correspondência com elementos de N. Veja também que D(f) = {0,1,2},

CD(f)= {0,1,4,5} e Im(f) = {0,1,4}. Gráficos de funções

Dizemos que uma relação binária R: A B é fun-ção ou aplicafun-ção no gráfico, quando toda reta vertical tocar em um único ponto no gráfico, para todo x

∈

A.

Exemplos:

1. Verificar se o gráfico abaixo representa uma fun-ção.

Solução:

Dado o gráfico, temos que:

Observe que existem retas verticais que tocam em mais de um ponto no gráfico, daí podemos concluir que f não é função ou aplicação. 2. Verificar se o gráfico abaixo é uma função ou

aplicação.

Solução:

Dado o gráfico abaixo, temos:

Observe que todas as retas verticais que tra-çarmos, tocarão em um e único ponto no grá-fico. Logo g é uma função ou aplicação. 3. Dada a função f:IR IR com a regra x x3, temos

que: • Df= IR

• Im(f) = {x3_{/ x}

_∈

_{IR} = IR}

• O valor que f assume em x é f(x) = x3_{. Esta}

função associa a cada real x o número real f(x) = x3_.

• f(–1) = (–1)3= –1, f(0) = 03= 0, f(1) = 13= 1

• O gráfico de f é tal que Gf= {(x,y) / y = x3,

x

∈

IR}

Domínio de funções

O domínio de uma função representa o conjun-to de valores para os quais ela existe. Dentre os principais casos, temos:

a) O domínio de uma função polinomial é sem-pre real.

b) Para o domínio de uma função que possui variável no denominador, basta ser este dife-rente de zero.

c) Radical com índice par no numerador pos-sui radicando maior ou igual a zero. d) Radical com índice par no denominador

possui radicando maior que zero. Exemplos:

1. Qual é o domínio mais amplo para a função ?

Solução:

, então 1 – x 0 x 1. Logo o domínio é dado por D(f) = IR – {1}.

2. Qual é o domínio da função ?

Solução:

→

2x – 6

≥

0

→

x

≥

3. Logo o seu domínio será D(f) = {x

∈

IR/ x

≥

3}.

3. Seja f: IR IR com a regra x

→

x3_{. Tem–se:}

a) Df= IR

b) Im f = {x3_|x

∈

_{IR}= IR, pois, para todo y em}

c) O valor que f assume em x é f(x) = x3. Esta

função associa a cada real x o número real f(x) = x3.

d) f(–1)=(–1)3_{= –1; f(0) = 0}3_{= 0; f(1) = 1}3_{= 1.}

e) Gráfico de f:

Gf = {(x,y)|y = x3_{, x}

_∈

_IR}

Suponhamos x > 0; observe que, à medida que x cresce, y também cresce, pois y = x3,

sendo o crescimento de y mais acentuado que o de x (veja: 23 = 8; 33 = 27, etc.);

quando x se aproxima de zero, y aproxima-se de zero mais rapidamente que x((1/2)3 = 1/8; (1/33 = 1/27 etc.). esta

análise dá-nos uma idéia da parte do gráfi-co gráfi-correspondente a x > 0. Para x < 0, é só observar que f(–x) = –f(x).

4. Seja f a função dada por . Tem–se: a) Df= {x

∈

IR| x

≥

0}

b) Im f = {x

∈

IR/ y

≥

0}

c) f(4) = =2 (o valor que f assume em 4 é 2). d)

e)

f) Gráfico de f:

A função f é dada pela regra .

Quando x cresce, y também cresce sendo o crescimento de Y mais lento que o de x

; quando x se aproxima de zero, y também aproxima-se de zero, só que mais lentamente

que .

5. Considere a função g dada por . Tem–se: a) Dg = {x

∈

IR| x

≠

0}

b) Esta função associa a cada x

≠

0 o real g(x) = 1/x

c)

d) Gráfico de g:

Vamos olhar primeiro para x > 0; à medida que x vai aumentando, y = 1/x vai aproxi-mando-se de Zero

; à medida que x vai aproximando-se de zero, y = 1/x vai-se tornando cada vez maior

Você já deve ter uma idéia do que acontece para x < 0.

Observação – Quando uma função vem dada por uma regra do tipo x |

→

y, y = f(x),

é comum referir-se à variável y como variá-vel dependente, e à variávariá-vel x como variávariá-vel independente.

6. Dada a função f(x) = – x2+ 2x, simplifique:

Solução:

a)

assim .

Observe: f(1) = –12+2 = 1.

b) primeiro, vamos calcular f(x + h). Temos f(x + h) = – (x + h)2_{+ 2(x + h) =}

–x2_{– 2xh – h}2_{+ + 2x + 2h.}

Então,

ou seja, = – 2x – h + 2, h

≠

0. 7. Função constante – Uma função f: A

→

IR dada por f(x) = k, k constante, denomina-se função constante.

a) f(x) = 2 é uma função constante; tem-se: (i) Df = IR; Im f = {2}

(ii) Gráfico de f

Gf{(x,f(x))|x

∈

IR} = {(x,2) | x

∈

IR}.

O gráfico de f é uma reta paralela ao eixo x passando pelo ponto (0, 2).

8. g:] –

∞

;0]

→

IR dada por g(x) = –1 é uma função constante e seu gráfico é

9. Seja Tem–se:

a) Df = IR; Im f = {–1,1} b) Gráfico de f

Observe que (0, 1) pertence ao gráfico de f, mas (0, –1) não.

1.2 Função composta

Dadas as funções f: A B e g: B C, dizemos que existe uma função h: A C, tal que:

h(x) = (gof)(x) = g(f(x)), x A.

Representando essa situação por diagrama de flechas, temos: Exemplos a) Dadas as funções f(x) = 2x – 1 e g(x) = 3 – 4x, calcular o valor de (fog)(x) – (gof)(x). Solução f(x) = 2x – 1

g(x) = 3 – 4x (fog)(x) = 2.( 3 – 4x) – 1 = 6 – 8x – 1 = 5 – 8x (gof)(x) = 3 – 4(2x – 1) = 3 – 8x + 4 = 7 – 8x (fog)(x) – (gof)(x) = 5 – 8x – (7 – 8x) = 5 – 8x – 7 + 8x = –2 a) Se (fog)(x) = 2x + 1 e f(x) = –2x + 3, então determine o valor de g(0). Solução: (fog)(x) = 2x + 1 f(x) = –2x + 3 g(0) = ? (fog)(x) = 2x + 1 –2(g(x)) + 3 = 2x + 1 g(x) = –x + 1. Logo g(0) = 1

1. Qual é o domínio mais amplo da função ?

Solução:

(1) 1 – x

≥

0

⇒

x

≤

1 (2) 2x + 1

≠

0

⇒

x

≠

–1/2 Fazendo-se (1) (2), temos que:

–

D(f) = {x

∈

IR/ x

≤

1 e x

≠

–1/2} 2. Determine o valor de k para que

fog(x) = gof(x), dadas f(x) = 2kx +1 e g(x) = 2– 3x. Solução: f(x) = 2kx +1 g(x) = 2– 3x fog(x) = gof(x) 2k.( 2– 3x) + 1 = 2– 3.( 2kx +1) 4k – 6kx + 1 = 2 – 6kx – 3 4k = –1 k = –1/4

3. Calcular o valor de f(–1), sabendo– se que f(2x –1) = 3 – x. Solução f(2x –1) = 3 – x 2x – 1 = –1 x = 0 f(–1) = 3 – 0 f(–1) = 3

4. Determine o domínio da função .

Solução:

x + 1 = t x = t – 1

3 – x > 0 x < 3 D(f) = ]–;3[

1.4 Função polinomial do 1.o_grau

Definição

Chama-se função polinomial do 1.o _{grau, ou}

função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma

f(x) = ax + b, em que a e b são números reais dados e a

≠

0.

Na função f(x) = ax + b, o número a é do de coeficiente de x, e o número b é chama-do termo constante.

Gráfico

O gráfico de uma função polinomial do 1.o grau, y = ax + b, com a

≠

0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.

Para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2.

Daí, ax1+ b < ax2+ b,

de onde vem f(x1) < f(x2).

• Se a < 0, então f será decrescente;

Para a < 0: se x1< x2, então ax1> ax2. Daí,

ax1+ b > ax2+ b, de onde vem f(x1) > f(x2).

Observação – Uma função f : IR

→

IR dada por f(x) = ax, a constante, denomina-se função linear; seu gráfico é a reta que passa pelos pontos (0, 0) e (1, a):

Se a = 0, o gráfico de f coincide com o eixo Ox. Exemplos: 1. Esboce os gráficos. a) f(x) = 2x. b) g(x) = –2x c) h(x) = 2 I x I Solução:

a) O gráfico de f é a reta que passa pelos pon-tos (0, 0) e (1, 2).

b) O gráfico de g é a reta que passa pelos pontos (0, 0) e (1, –2).

c) Primeiro, eliminemos o módulo y = –2x

2. Esboce o gráfico de f(x) = I x – 1I + 2. Solução:

Primeiro, eliminemos o módulo ou

Agora , vamos desenhar, pontilhando, as retas y = x + 1 e y = –x + 3 e, em seguida, marcar, com traço firme, a parte que interessa de cada uma:

para x

≥

1, f(x) = x + 1 para x

<

1, f(x) = –x + 3

Sempre que uma função for dada por várias sentenças, você poderá proceder dessa forma. Um outro modo de se obter o gráfico de f é o seguinte: primeiro desenhe pontilhado o gráfi-co de y = I x I; o gráfigráfi-co de y = I x – 1 I obtém-se do anterior transladando-o para a direita de uma unidade; o gráfico de f obtém-se deste último transladando-o para cima de duas uni-dades.

1.5 Função quadrática (função polinomial do 2.o

grau) Definição

Chama-se função quadrática, ou função poli-nomial do 2.o_{grau, qualquer função f de IR em}

IR dada por uma lei da forma

f(x) = ax2 _{+ bx + c, em que a, b e c são}

números reais e a

≠

0.

Gráfico

O gráfico de uma função polinomial do 2.o grau, y = ax2_{+ bx + c, com a}

≠

_{0, é uma curva}

chamada parábola.

• a > 0, então f terá concavidade voltada para cima;

• a < 0, então f terá concavidade voltada para baixo.

Observação – A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obti-do para o radicanobti-do

Δ

, chamado discrimi-nante, a saber:

• quando

Δ

é positivo, há duas raízes reais e distintas;

• quando

Δ

é zero, há só uma raiz real; • quando

Δ

é negativo, não há raiz real. Coordenadas do vértice da parábola

Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V. Em qualquer caso, as coordenadas de V

são . Veja os gráficos:

Exemplo:

parábola y = –x2+ 2x – 5. a) (1,–4) b) (0,–4) c) (–1,–4) d) (2,–2) e) (1,–3) Solução: 1. y = –x2 _{+ 2x – 5, então a = –1, b = 2 e} c = –5 2. = b2– 4ac = 22– 4.(–1).(–5) = –16 3. 4.

5. Logo o vértice é dado pelo ponto (1,–4) Imagem

O conjunto-imagem Im da função y = ax2+ bx

+ c, a

≠

0 é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades:

a < 0

Exemplo:

(USP) Construir o gráfico da função f(x) = –x2_{+ 2x –1, no plano cartesiano.}

Solução:

(1) f(x) = –x2 _{+ 2x –1, então a = –1, b = 2 e}

c = –1

(2) = b2– 4ac, então = 22– 4.(–1).(–1) = 0,

logo as raízes de f são

(3) (4)

(5) O vértice da parábola é dado pelo ponto (1,0)

(6) f toca o eixo das ordenadas no ponto (0,–1) (7) Então o gráfico pode ser dado por:

Observação:

1. Função polinomial – Uma função f: IR

→

IR dada por

f(x) = a0xn+ a1xn–1+ ... + an – 1x + an

em que a0, a1, a2, ..., an são números fixos,

denomina-se função polinomial de grau n (n IN).

a) f(x) = x2 – 4 é uma função polinomial de

O gráfico de uma função polinomial de grau 2 é uma parábola com eixo de simetria pa-ralela ao eixo Oy.

b) g(x) = (x – 1)3_{é uma função polinomial de}

grau 3; seu gráfico obtém-se do gráfico de y = x3_{, transladando-o uma unidade para a}

direita.

2. Função racional – Uma função f é uma função

dada por onde p e q são duas

funções polinomiais; o domínio de f é o con-junto {x

∈

IR|q(x)

≠

0}.

a) é uma função racional definida

para todo x 0. Como , segue

que o gráfico de f é obtido do gráfico de y = 1/x, transladando-o uma unidade para cima (veja Ex. 3).

b) é uma função racional com

domínio {x

∈

IR|x

≠

0}. Observe que . À medida que I x I vai crescen-do , 1/x vai aproximancrescen-do-se de zero, e o grá-fico de g vai, então “encostando” na reta y = x (por cima se x > 0; por baixo se x < 0). À medida que x aproxima-se de zero, o grá-fico de g vai encostando na curva .

c) é uma função racional com

Domínio {x

∈

IR|x

≠

–2}. O gráfico de h é obtido do gráfico de y = , transladando-o duas unidades para a esquerda.

1. Calcule:

a) f(–1) e sendo f(x) = –x2_{+ 2x}

b) g (0), g (2) e g( ) sendo

c) sendo f(x) = x2e ab

≠

0

d) sendo f(x) = 3x + 1 e ab

≠

0

2. Simplifique sendo dados:

a) f(x) = x2_{e p = 1} b) f(x) = 2x + 1 e p = 2 c) f(x) = 1/x e p = 2 d) f(x) = e p = –3 e) f(x) = 5 e p = 2 3. Simplifique (h

≠

0) sendo f(x) igual a: a) 2x + 1 b) x2 c) –2x2_{+ 3} d) 5 e)

4. Dê o domínio e esboce o gráfico. a) f(x) = 3x

b) c) h(x) = d) g(x) =

e) f(x) =

5. Determine o domínio das funções:

a) b)

c) d)

e)

1.6 Função exponencial

Chamamos de funções exponenciais aquelas nas quais temos a variável aparecendo em ex-poente.

A função f:IR IR+definida por f(x) = ax, com a

IR+_{e a 1, é chamada função exponencial de}

base a. O domínio dessa função é o conjunto IR (reais), e o contradomínio é IR+ (reais

posi-tivos, maiores que zero).

Gráfico cartesiano da função exponencial Temos 2 casos a considerar:

quando a>1; quando 0<a<1.

Acompanhe os exemplos seguintes: 1. y = 2x_{(nesse caso, a=2, logo a>1)}

Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabe-la e o gráfico abaixo:

2. y = (1/2)x_{(nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1)}

Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a ta-bela e o gráfico seguintes:

Nos dois exemplos, podemos observar que: a) O gráfico nunca intercepta o eixo horizontal;

a função não tem raízes.

b) O gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1). c) Os valores de y são sempre positivos (po-tência de base positiva é positiva), portanto o conjunto imagem é Im=IR+_.

Além disso, podemos estabelecer o seguinte: Se 0 < a < 1, então f será decrescente.

Se a > 1, então f será decrescente.

1.7 Função logaritmica

Considere a função y = ax, denominada função

exponencial, em que a base a é um número po-sitivo e diferente de 1, definida para todo x real. Observe que, nessas condições, ax _{é um}

nú-mero positivo, para todo x

∈

IR, onde IR é o conjunto dos números reais.

Denotando o conjunto dos números reais po-sitivos por R+*, poderemos escrever a função

exponencial como segue: f: R

→

R₊*; y = ax, 0 < a

≠

1

Essa é bijetora, pois:

a) É injetora, ou seja: elementos distintos pos-suem imagens distintas.

b) É sobrejetora, pois o conjunto imagem co-incide com o seu contradomínio.

Assim sendo, a função exponencial é BIJETO-RA e, portanto, é uma função inversível, ou seja, admite uma função inversa.

Vamos determinar a da função y = ax , onde 0 < a

≠

1.

Permutando x por y, vem: x = ay

_→

_{y = log}

ax

Portanto a função logarítmica é então: f: R*₊

→

_{R ; y = logax , 0 < a}

≠

_1.

Mostramos, a seguir, os gráficos das funções exponencial (y = ax) e logarítmica

(y = logax), para os casos a > 1 e 0 < a

≠

1.

Observe que, sendo as funções inversas, os seus gráficos são curvas simétricas em relação à bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes, ou seja, simétricas em relação à reta y = x.

Da simples observação dos gráficos acima, podemos concluir que:

• Para a > 1, as funções exponencial e loga-rítmica são CRESCENTES.

• Para 0 < a

≠

1, elas são DECRESCENTES. • O domínio da função y = logax é o

conjun-to R+*.

• O conjunto imagem da função y = logax é o

conjunto R dos números reais.

• O domínio da função y = axé o conjunto R

dos números reais.

• O conjunto-imagem da função y = ax é o

conjunto R*₊.

Observe que o domínio da função exponencial é igual ao conjunto-imagem da função logarít-mica e que o domínio da função logarítlogarít-mica é igual ao conjunto-imagem da função exponen-cial. Isso ocorre porque as funções são inver-sas entre si.

TEMA 02

LIMITES: DEFINIÇÃO E LIMITES LATERAIS

2.1 O papel dos limites de funções reais

O conceito de Limite de uma função realiza um papel muito importante em toda teoria ma-temática envolvida com o Cálculo Diferencial e Integral. Há uma cadeia ordenada muito bem estabelecida no Cálculo:

Conjuntos, Funções, Limites, Continuidade, Derivadas e Integrais

Para entender os conceitos mais importantes da lista acima, que são os últimos, a Teoria de Limites é fundamental.

O motivo para isso é que nem tudo o que que-remos realizar ocorre no meio físico, e quase sempre é necessário introduzir um modelo que procura algo que está fora das coisas comuns, e essa procura ocorre com os limites nos estu-dos de seqüências, séries, cálculos de raízes de funções...

Por exemplo, obter uma raiz de uma função polinomial de grau maior do que 4 somente é possível por meio de métodos numéricos que utilizam fortemente as idéias de limite e con-tinuidade. Na verdade, esse cálculo depende do Teorema do Valor Intermediário (apresenta-do no fim), que é uma conseqüência (apresenta-do estu-do de continuidade de funções.

2.2 Idéia intuitiva de limite

Estudaremos o comportamento de uma função f nas proximidades de um ponto. Para fixar idéias, consideremos a função f:R – {1}

→

R definida por:

lim

Para x diferente de 1, f pode ser simplificada e reescrita na forma mais simples: f(x) = x + 1. Ao analisar o comportamento dessa função nas vizinhanças do ponto x = 1, ponto este que não pertence ao domínio de f, constatamos que a função se aproxima rapidamente do valor L = 2, quando os valores de x se aproximam de x = 1, tanto por valores de x < 1 (à esquerda de 1)

quanto por valores x > 1 (à direita de 1). Do ponto de vista numérico, as tabelas abaixo mostram o comportamento da função f, para valores x à esquerda e à direita de x = 1. Pela esquerda de x = 1

Pela direita de x = 1

Nesse caso, dizemos L = 2 é o limite da função f quando x se aproxima de 1, o que denotare-mos por:

lim

x→1 f(x) = 2

Esse resultado pode ser visto por meio da análise gráfica de f, cujo esboço vemos na figura abaixo:

2.3 Limite de uma função real

Seja f uma função real definida sobre o interva-lo (a,b) exceto talvez no ponto x = c que per-tence a intervalo (a,b), Le e Ld números reais. Diz-se que o limite lateral à direita de f no ponto c é igual a Ld, se os valores da função se aproximam de Ld, quando x se aproxima de c por valores (à direita de c) maiores do que c. Em símbolos:

lim

x→ +∞f(x) = Ld

O limite lateral à esquerda de f no ponto c é igual a Le, se os valores da função se aproxi-mam de Le, quando x se aproxima de c por va-lores (à esquerda de c) menores que c. Em símbolos:

lim

x→ +∞f(x) = Le

Quando o limite lateral à esquerda Le coincide com o limite lateral à direita Ld, diz–se que existe o limite da função no ponto c e o seu valor é Ld = Le = L. Com notações simbólicas, escrevemos:

lim

x→ cf(x) = L

O que significa que, para qualquer e > 0 e arbi-trário, existe um d > 0, que depende de e, tal que

|f(x)–L| < e para todo x satisfizando 0 < |x–a| < d.

No caso em que um dos limites laterais não existe ou no caso de ambos existirem, porém com valores diferentes, diremos que a função não tem limite no ponto em questão.

O próximo resultado afirma que uma função não pode aproximar-se de dois limites dife-rentes ao mesmo tempo, e ele é denominado o teorema da unicidade, porque garante que se o limite de uma função existe, então ele deverá ser único.

Unicidade do limite – Se Lim f(x) = A e Lim f(x) = B quando x tende ao ponto c, então A = B. Demonstração – Se e > 0 é arbitrário, então existe d' > 0 tal que |f(x)–A| < e/2 sempre que 0< |x – a| < d'. Como também temos por hipótese que existe d">0 tal que|f(x)–B| < e/2 sempre que 0<|x–a|<d".

Tomando d=min{d',d"}>0, temos que:

|f(x)–A| < e/2 e |f(x)–B| <e/2 sempre que 0<|x–a|<d.

Pela desigualdade triangular, temos:

|A–B| = |A–f(x)+f(x)–B| < |A–f(x)| + |f(x)–B|. Como e>0 é arbitrário, temos:

|A–B| < e

então |A–B| = 0, o que garante que A=B. Exemplos:

1. Seja a função f(x) = 2x + 1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (val-ores men(val-ores que 1) e calcular o valor corres-pondente de y:

Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende para 1(x

→

1), y tende para 3 (y

→

3), ou seja: lim

x→1 (2x + 1) = 3

Observamos que quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função é 3. Esse é o estudo do comportamento de f(x) quando x tende para 1 (x

→

1). Nem é preciso que x as-suma o valor 1. Se f(x) tende para 3 (f(x)

→

3), dizemos que o limite de f(x) quando x

→

1 é 3, embora possam ocorrer casos em que para x = 1 o valor de f(x) não seja 3. De forma geral, escrevemos:

lim

x→a f(x) = b se, quando x se aproxima de

a(x

→

a), f(x) se aproxima de b (f(x)

→

b).

2. Seja, agora, a função lim

Como x2_{+ x – 2 = (x – 1)(x + 2), temos:}

Podemos notar que quando x se aproxima de 1 (x

→

1), f(x) se aproxima de 3, embora para x = 1 tenhamos f(x) = 2. o que ocorre é que procuramos o comportamento de y quando x

→

1. E, no caso, y

→

3. Logo, o limite de f(x) é 3.

Escrevemos:

Se g: IR

→

IR e g(x) = x + 2, lim_x→1 g(x) = lim_x→1 (x + 2) = 1 + 2 = 3, embora g(x)

≠

1 f(x) em x = 1. No entanto, ambas têm o mesmo limite.

3. Consideremos agora o caso onde f(x) não está definida em x = c.

à

Apesar de f(x) não estar definida em x = 1, o limite de f(x), quando x se aproxima de 1, existe e é igual a 2:

à Ora, x pode ser tomado tão próximo de 1 quan-to quisermos, sem no entanquan-to ser 1, pelo que o limite de f(x) é 2.

2.4 Generalização do conceito de limite Definição

Dados uma função f: B IR e um ponto de acu-mulação a de B, diz-se que um número

∈

IR é limite de f em a, e escreve-se:

lim

x→a f(x) = ou f(x)

→

, com x

→

a

quando vale a seguinte condição:

Para todo

ε

> 0, existe

δ

=

δ

(

ε

) > 0 tal que: x

∈

B, 0 < |x – a| <

δ ⇒

|f(x) – | <

ε

. Exemplos:

1. Consideremos a função

à

Note que f não está definida no ponto x = 1. No entanto, para x

≠

1 temos f(x)=2(x+1) e, por-tanto, é natural suspeitar que lim_x→1 f(x) = 4. Mostremos por meio da definição que este é o caso. De fato, se x

≠

1 podemos escrever |f(x)–4| = |2(x + 1) – 4| = 2|x – 1|.

Assim, dado

ε

> 0, se escolhermos

δ

=

ε

/2

obtemos 0 < |x – 1| <

δ ⇒

2|x – 1|<

ε,

ou seja, |f(x) – 4| <

ε

. Veja a figura abaixo: lim

x→1 2(x

2_{– 1)/(x – 1) = 4 [}

_δ

₌

_ε

_/2]

à

2. lim_x→2 (3x + 4) = 10. De fato, dado

ε

> 0, para encon-trar um

δ

> 0 que nos convenha, notemos que neste caso a = 2 e |f(x) – | = |(3x + 4) – 10| . Assim, se tomarmos

δ

=

ε

/3, temos:

0 > |x – 2| <

δ ⇒

|(3x + 4) – 10| = 3|x – 2| < 3

δ

=

ε.

3. lim_x→2 (x2_{+ 1) = 5. De fato, dado}

_ε

_{> 0, vamos}

procurar

δ

> 0 sob a restrição

δ ≤

1. Assim, |x – 2| <

δ

implica 1< x < 3 e, portanto, |x+2| < 5. Logo, se 0 <

δ ≤ ε

/5, temos 0 < |x – 2| <

δ

, então

|(x2_{+ 1) – 5| = |x + 2||x – 2| < 5|x – 2|< 5}

_{δ ≤ ε.}

Portanto basta tomar 0 <

δ ≤

min{1,

ε

/5}. 4. lim_x→a cos x = cos a. De fato, observemos que

sem-pre |cos x1– cos x2|

≤

||x1– x2|; confira com a

figura abaixo. Assim, dado

ε

> 0, podemos tomar

δ

=

ε

uma vez que, nesse caso:

0 <|x – a|<

δ

,então:

|cos x – cos a|

≤

||x – a| <

δ

=

ε

|cos x1– cos x2|

≤

||x1– x2|

1. Na função f definida por temos:

lim

x→1+f(x)= limx→1+(3 – x) = 2 e limx→1−f(x) = limx→1−(x

2_{– 4) = –3}

Como os limites laterais são diferentes, dize-mos que lim_x→1 f(x) não existe.

2. Dada a função f definida por para to-do x

∈

IR*_{, calcule lim}

x→0+f(x) e limx→0−f(x). Existe limx→0 f(x)?

Solução:

, temos:

e

Considerando que lim_x→0+f(x)

≠

lim_x→0−f(x), concluí-mos que não existe lim_x→0 f(x).

3. Calcule lim_x→1+f(x) e lim_x→1−f(x), sendo .

Solução: lim

x→1+f(x) = limx→1+2x = 2 e limx→1−f(x) = limx→1−x 2_{= 1.}

1. Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.

a) 1

b) n

c) 1

d) n

2. Dada a função , verifique que

lim

x→1+f(x) = limx→1−f(x).

TEMA 03

CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO

3.1 Introdução

Dizemos que uma função f(x) é contínua num ponto a do seu domínio se as seguintes condições são satisfeitas:

∃

f(a)

∃

lim_x→a f(x) lim

x→a f(x) = f(a)

3.2 Propriedade das funções contínuas

Se f(x) e g(x)são contínuas em x = a, então: f(x)

±

g(x) é contínua em a;

f(x) . g(x) é contínua em a; f(x)

g(x) é contínua em a (g(a)

≠

0).

3.3 Generalização sobre continuidade de uma função

Dizer que uma função f é contínua em um ponto a significa que f(a) existe e que f leva pontos “próximos” de a em pontos “próximos” de f(a). Isso pode ser resumido precisamente na seguinte definição:

Definição:

Uma função f : B

→

é contínua em um ponto a

∈

B se, dado ε, existe

δ

> 0 de modo que x

∈

B, |x – a| <

δ ⇒

|f(x) – f(a)| < ε.

Note que, se o domínio de f for um intervalo, B=(b,c), b<c, a definição está exigindo as três seguintes condições: 1) a

∈

B; 2) existe lim_x→a f(x) e 3) lim_x→a f(x) = f(a).

3.4 O teorema de Weierstrass

Toda função contínua num intervalo fechado [a,b] assume um máximo e um mínimo em [a,b].

Entretanto é importante observar que ele ga-rante que uma função, sendo contínua num in-tervalo fechado, certamente admitirá ponto de extremo, tanto máximo como mínimo,

poden-do ser interior ao intervalo ou em qualquer das extremidades.

à Observação:

No gráfico, observamos que a função admite um ponto de máximo local e um ponto de mí-nimo local, ambos interiores ao intervalo. Entretanto o ponto de máximo global da fun-ção ocorre na extremidade b, e o ponto de mínimo global ocorre na extremidade a do in-tervalo.

Também é conveniente observar que o Teo-rema só vale se a função é contínua num valo fechado. Se a continuidade for num inter-valo aberto, não é possível garantir a existência de máximo e mínimo globais.

Exemplos:

1 Consideremos

à medida que x se aproxima de 2. Neste caso, f(x) está definido em 2 e é igual ao seu limite: 0.4, vejamos:

À medida que x aproxima–se de 2, f(x) aproxi-ma–se de 0.4 e consequentemente temos a igualdade lim_{x→ 2}f(x) = 0.4. Sempre que se veri-fique a igualdade f(c) = lim_{x→ c}f(x), diz–se que f é contínua em x = c. A igualdade não é válida para todas as funções.

2. Vejamos a função:

à

O limite de g(x) à medida que x se aproxima de

2 é 0.4 (tal como em f(x)), mas lim_{x→ 2}g(x)

≠

g(2) e consequentemente g não é contínua em x = 2. 3. a função f(x) = 2x + 1 definida em IR é

con-tínua em 1, pois

Notemos que f é contínua em IR, pois para todo a

∈

IR, temos:

4. A função definida em IR é

descontínua em 1, pois

Observemos que f é contínua em IR – {1} pois, para todo a IR – {1}, temos:

5. Dada a função , verificar se

existe algum ponto de descontinuidade . Como lim_{x→ 3}f(x) = lim_{x→ 3}(x + 1) = 4; lim_{x→ 3+}f(x) = = lim_{x→ 3}4 = 4 e f(3) = 4 temos que lim_{x→ 3}f(x) = f(3) o que implica que a função é contínua no ponto x = 3.

Para k

≤

3, lim_{x→ k} f(x) = lim_{x→ k} (x + 1) = lim

x→ kx + limx→ k1 = k + 1 e f(k) = k + 1

Para k > 3, lim_{x→ k}f(x) = lim_{x→ k}4 = 4 e f(k) = 4 Então, f é contínua em IR e não há ponto de descontinuidade.

Em geral, restringimos a análise aos valores de x que não verificam as condições de existência

de f ou que “quebram” o domínio de f (neste exemplo, x = 3).

6. Verifique se a função é contínua

em x = 3. Cálculo de f(3): Cálculo de lim_{x® 3}f(x) =

Como lim_{x® 3} f(x) = f(3), f(x) é contínua em x = 3

Verifique se a função f é contínua no ponto especificado. 1. 2. 3. 4. 5. TEMA 04

PROPRIEDADES DOS LIMITES

4.1 Introdução

Muitas funções do Cálculo podem ser obtidas como somas, diferenças, produtos, quocientes e potências de funções simples. Introduzire-mos propriedades que podem ser usadas para simplificar as funções mais elaboradas. Em todas as situações abaixo, consideraremos x

→

a.

• Se f(x) = C onde C é constante, então Lim f(x) = Lim C = C.

• Se k e b são constantes e f(x) = kx+b, então Lim f(x) = Lim (kx+b) = ka+b. • Se f e g são duas funções, k uma constante,

A e B números reais e além disso Lim f(x)=A e Lim g(x)=B, então:

(1) Lim(f ± g)(x)=[Lim f(x)]±[Lim g(x)] = A ± B (2) Lim(f·g)(x) = [Lim f(x)]·[Lim g(x)] = A·B (3) Lim(k·f)(x) = k·Lim f(x) = k·A

(4) Lim(f)n_{(x) = (Lim f(x))}n_{= A}n

(5) Lim(f÷g)(x) = [Lim f(x)]÷[Lim g(x)] = A÷B, se B é não nulo.

(6) Lim exp[f(x)]= exp[Lim f(x)] = exp(A) • Se acontecer uma das situações abaixo:

Lim f(x) = 0.

Lim f(x)>0 e n é um número natural. Lim f(x)<0 e n é um número natural ímpar. Então: Exemplos: 1. 2. 3. 4.

5.

6. 7. 8.

Observações sobre as propriedades: As propriedades que valem para duas funções, valem também para um número finito de fun-ções.

As propriedades 3–1, 3–2 e 3–5 estabelecem que, se existem os limites das parcelas, então existirá o limite da operação, mas a recíproca deste fato não é verdadeira, pois o limite de uma operação pode existir sem que existam os limites das parcelas.

4.2 Teoremas importantes

Teorema do anulamento – Se f é uma função limitada e g é uma função tal que Lim g(x) = 0, quando x

→

a, então: Lim f(x)·g(x) = 0.

Esse resultado é útil para podermos obter cál-culos com limites.

Teorema do Confronto (regra do sanduiche) – Se valem as desigualdades f(x)< g(x) < h(x) para todo x em um intervalo aberto contendo a, exceto talvez em x = a e se Lim f(x) = L = Lim h(x), então Lim g(x) = L.

Generalização:

Sejam f, g, h : B

→

tais que f(x)

≤

g(x)

≤

h(x) x

∈

B, e lim_x→a f(x) = lim_x→a h(x) = . Então lim_x→a g(x) = . O gráfico de g fica "preso'' entre os de f e h, como mostra a figura abaixo.

Demonstração:

Seja

ε

> 0 um número qualquer. Como lim

x→a f(x)= limx→a h(x)= , existem

δ

1,

δ

2>0 de modo que

x

∈

A, 0<|x – a|<

δ

1

⇒

–

ε

< f(x) < +

ε

,

x

∈

A, 0<|x – a|<

δ

2

⇒

–

ε

< f(x) < +

ε

,

Logo, se

δ

: = min{

δ

1,

δ

2} > 0 e se x

∈

A, a

condição 0 < |x – a| <

δ

implica

ε

< f(x)

≤

g(x)

≤

h(x) < +

ε

,

Donde |g(x) – | <

ε

, ou seja, lim_x→a g(x) = . Exemplo – Se para x próximo de 0, vale a relação de desigualdades cos(x) < sen(x)/x < 1 então, quando x

→

0:

1 = Lim cos(x) < Lim sen(x)/x < Lim 1 = 1 Observações – Todas as propriedades vistas para o cálculo de limites são válidas também para limites laterais e para limites no infinito. Quando, no cálculo do limite de uma função, aparecer uma das sete formas, que são deno-minadas expressões indeterdeno-minadas,

nada se poderá concluir de imediato sem um estudo mais aprofundado de cada caso. Exemplo:

Seja f uma função e suponha que para todo x tenhamos |f(x)|

≤

x2_.

a) Calcule, caso exista, lim_{x→ 0}f(x); b) f é contínua em x = 0? Por quê? Solução:

a) |f(x)|

≤

x2

_⇔

_–x2

_≤

_f(x)

_≤

_x2

Como lim_{x→ 0}f(–x2_{) = 0 = lim} x→ 0x

2_{, segue, do}

teo-rema do confronto, que lim_{x→ 0}f(x) = 0. b) Segue de (a) que f será contínua em 0 se

f(0)=0. Pela hipótese, |f(x)|

≤

x2 _{para todo}

x, logo, |f(0)|

≤

0e, portanto, f(0)=0. Assim, lim

x→ 0f(x) = 0 = f(0), ou seja, f é contínua em 0.

1. Calcular .

Como as funções f(x) = x2_{– 9 e g(x) = x – 3 se}

nada poderemos concluir. Assim, devemos sim-plificar a fração, eliminando a indeterminação. Logo,

2. Calcular .

Nesse caso, devemos multiplicar e dividir a fração pelo conjugado do numerador.

3. Calcular .

4. Calcular .

1. Calcule lim_{x→ 1}(log 10x).

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 2. Determine o Valor de . a) 1/5 b) 2/6 c) 3/4 d) 4/3 e) 3/5 3. Calcule . a) 10 b) 12 c) 15 d) 17 e) 19 4. Calcule a) 2/5 b) 3/5 c) 3/2 d) 2/3 e) 2/4 5. Ache o valor de . a) 1 b) –1 c) –2 d) 3 e) –4 6. O é igual a: a) –4 b) 1 c) 4 d) 2 e) 3 7. Calcular . a) x b) 2x c) 4x d) 3x e) 5x

8. O é igual a: a) 1/9 b) 1/27 c) 1/243 d) 1/81 e) 1/54 9. O valor de é: a) 2 b) 0 c) 8 d) 4 e) 10. O limite a) não existe;

b) não é nenhum número real; c) vale 2; d) vale 0; e) vale 4. 11. O vale: a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 6 12. O valor de é: a) –1 b) –2 c) d) 0 e) 1 TEMA 05 LIMITES INFINITESIMAIS 5.1 Limites infinitos

Seja f a função definida por f(x)=1/x. Iremos analisar o comportamento numérico dessa fun-ção por meio das tabelas abaixo.

Quando x

→

0, por valores maiores que zero (x

→

0+) os valores da função crescem sem

limite.

Quando x

→

0, por valores menores que zero (x

→

0), os valores da função decrescem sem limite.

Observamos que próximo de x = 0, o compor-tamento da função é estranho.

Baseado nesse exemplo, podemos afirmar que quando x tende a 0, esta função não tem os va-lores aproximando-se de um limite bem defi-nido.

Ao analisar o comportamento numérico de f(x)=1/x², nas proximidades de x=0, observa-mos que:

Observamos pelas tabelas, que se x

→

0, por valores maiores ou menores do que 0, os va-lores da função crescem sem limite. Assim, po-demos afirmar, por este exemplo, que, quando x

→

0 esta função tem os valores aproximan-do-se de um limiar (inf = infinito =

∞

). Nesse caso, dizemos que não existe o limite de f(x)=1/x² no ponto x=0, mas denotamos tal fato por:

Por causa dessa notação, costuma-se dizer que algumas funções têm limites infinitos, e por causa desse limite, dizemos também que o gráfico desta função tem uma assíntota verti-cal, que é uma reta cuja equação é dada por x = 0, neste caso.

Definição:

Seja f uma função definida para todo x em I, exceto possivelmente no ponto x = a em I um intervalo aberto contendo a. Diz-se que f tem limite infinito, quando x se aproxima de a, o que é denotado por: limx

→

a f(x)=+

∞

Se, para todo número real L>0, existir um d>0 tal que se 0<|x–a|<d, então f(x) > L.

De modo similar, g(x)=–1/x² apresenta um grá-fico com todos os valores da imagem no interva-lo (–

∞

,0). O comportamento de g próximo de x = 0 é similar ao de f(x) = 1/x², porém os valores são negativos. Nesse caso, dizemos que não existe limite no ponto x = 0, no entanto represen-tamos tal resultado por: Limx→0–1/x²= +

∞

Definição:

Se o limite de f(x) tende a infinito, quando x

→

a pela esquerda e também pela direita, dizemos que o limite de f(x), quando x

→

a é infinito, e escrevemos: limx

→

af(x) = +

∞

Analogamente, a expressão matemática: limx

→

af(x) = –

∞

significa que f(x) tende a –

∞

, se x

→

a pela esquerda e também pela direita.

5.2 Extensão sobre limites no infinito

Analisaremos agora o comportamento de h(x)=1/x, quando x cresce arbitrariamente (x

→

∞

) ou quando x decresce arbitrariamente (x

→

–

∞

).

Pelas tabelas, observamos que: Limx→+

∞

h(x) = 0

Limx→–

∞

h(x) = 0

Quando construímos o gráfico de h, observa-mos que existe uma reta (assíntota) horizontal que é a reta y=0, que nunca toca a função, mas aproxima-se dela em +

∞

e em –

∞

.

Temos, então, uma definição geral, engloban-do tal situação:

Definição:

Seja f uma função definida para todos os valores do intervalo (a,

∞

). Escrevemos:

lim

x→∞ f(x) = L

quando, para todo e>0, existe um número real M > 0 tal que |f(x)–L|<e sempre que x > M.

y x x y x y

Formalizaremos agora o conceito de assíntota horizontal.

Definição:

Dizemos que a reta y = L é uma assíntota ho-rizontal do gráfico de f se

lim

x→∞ f(x) = L ou limx→–∞f(x) = L

5.3 Limite de uma função polinomial para x

→±

∞

Seja a função polinomial

f(x) = anxn + an–1xn–1 +... + a2x2 + a1x + a0.

Então:

Demonstração:

Mas:

Logo:

De forma análoga, para g(x) = bmxm+...b1x + b0,

temos: Exemplos: 1. 2. 3. 1. Calcule a) 1/5 b) 2/6 c) 1/2 d) 3/4 e) 1/4 2. Calcule a) 0 b) 1 c) 3 d) 2 e) 4 3. Calcule . a) 0 b) 1 c) 6 d) 2 e) –2 4. Calcule . a) 1 b) 4 c) 3 d) 2 e) 0 5. Calcule os limites: a) b) c) d) e)

TEMA 06

LIMITES TRIGONOMÉTRICOS

6.1 Introdução

Demonstração:

Para x

→

0, temos sen x < x < tg x. Dividindo a dupla desigualdade por sen x > 0, vem:

Invertendo, temos:

Mas: lim

x→0 1 = limx→0 cos x = 1

g(x) < f(x) < h(x) são funções contínuas e se lim

x→a g(x) = limx→a h(x) = b então, limx→a f(x) = b. Logo,

6.2 Exemplos: a) b) c) d) 1. Determinar . 2. Determinar Transformando, temos: 3. Calcular Transformando, temos:

1. Calcular os seguintes limites: a)

2. Determine: a)

b) c)

3. Calcular os seguintes limites: a) b) c) d) e) f) TEMA 07 LIMITES EXPONENCIAIS 7.1 Introdução

Nesse caso, e representa a base dos logarit-mos naturais ou neperianos. Trata-se do nú-mero irracional cujo valor aproximado é 2,7182818.

Veja a tabela com valores de x e de .

Notamos que à medida que .

De forma análoga, efetuando a substituição , temos:

Ainda de forma mais geral, temos :

As duas formas acima dão a solução imediata a exercícios desse tipo e evitam substituições algébricas.

Se ax_{– 1 = u, então a}x_{+ 1 = u.}

Logo:

Como x

→

0 , então u

→

0. Portanto:

Generalizando a propriedade acima, temos .

1. Determinar

2. Determinar o .

Fazendo temos x = 3 u e x

→

+

∞

impli-ca u

→

+

∞

assim: Logo: 3. Calcular . Transformando, temos: Fazendo –x = t, temos: x

→

–

∞

t

→

+

∞

Substituindo-se, vem: 1. Calcule a) e b) e7 c) 1/e3 _{d) e}x e) e4 2. Calcule o a) e b) –e c) e2 _d) e) e4 3. Calcule os limites: a) b) c)

Augustin-Louis Cauchy

(Paris, 21 de agosto de 1789 – Paris, 23 de maio de 1857) foi um matemático francês. O primeiro avanço na matemática moderna por ele produzido foi a introdução do rigor na análise matemática. O segundo foi no lado oposto – combinatorial. Partindo do ponto cen-tral do método de Lagrange, na teoria das equa-ções, Cauchy tornou-a abstrata e começou a sistemática criação da teoria dos grupos. Não se interessando pela eventual aplicação do que criava, ele desenvolveu para si mesmo um sistema abstrato. Antes dele, poucos bus-caram descobertas proveitosas na simples manipulação da álgebra.

Foi um dos fundadores da teoria de grupos fini-tos. Em análise infinitesimal, criou a noção moderna de continuidade para as funções de variável real ou complexa. Mostrou a importância da convergência das séries inteiras, com as quais seu nome está ligado. Fez definições pre-cisas das noções de limite e integral definida, transformando-as em notável instrumento para o estudo das funções complexas. Sua abor-dagem da teoria das equações diferenciais foi inteiramente nova, demonstrando a existência de unicidade das soluções, quando definidas as condições de contorno. Exerceu grande influência sobre a física de então, ao ser o primeiro a formular as bases matemáticas das propriedades do éter, o fluido hipotético que serviria como meio de propagação da luz. A vida de Augustin Cauchy assemelha-se a uma tragicomédia. Seu pai, Louis-François, esteve muito próximo da guilhotina, apesar de ser advogado, culto, estudioso da Bíblia, católico fanático e tenente de polícia. Augustin era o mais velho dos seis filhos (dois homens e quatro mulheres). Seguia obsti-nadamente os preceitos da Igreja Católica. Seu eterno louvor à beleza e à santidade cansava os que o ouviam.

TEMA 08

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO, DEFINIÇÃO

8.1 CÁLCULO DIFERENCIAL: UMA DUPLA AGITA O MEIO CIENTÍFICO

As primeiras idéias sobre o cálculo foram re-gistradas na Grécia, no século V a.C., e es-tavam ligadas ao cálculo de áreas, volumes e comprimentos de arcos.

Supõe-se que foi o matemático grego Eudoxo de Cnido quem teria dado os primeiros passos nesse campo, criando o método de exaustão, que mais tarde foi aplicado brilhantemente pelo matemático grego Arquimedes de Sira-cusa (287–212 a.C.) para calcular a área de um segmento parabólico. Para o cálculo avançar, porém, era necessário descobrir fórmulas ge-rais, que permitissem, por exemplo, calcular a área de qualquer figura geométrica.

Contudo isso só veio a acontecer no século XVII, quando vários matemáticos, entre eles o francês Pierre de Fermat (1601–1665) e os ingleses Jhon Wallis (1616–1703) e Isaac Barrow (1630–1677), deram importantes pas-sos nesse sentido, além de abrirem caminho para dois outros grandes matemáticos daque-la época: Isaac Newton e Gottfried W. Leibniz.

Isaac Newton Gottfried Wilhelm Leibniz Essa dupla, trabalhando separadamente e no mesmo período, estabeleceu as bases do cálculo.

Newton fundamentava suas idéias na mecâni-ca e Leibniz, na geometria.

A partir do século XVIII, o cálculo sofreria pro-fundas transformações, principalmente por

causa dos trabalhos dos matemáticos france-ses Augustin Louis Cauchy (1789–1857) e Joseph Louis Lagrange (1736–1813).

O cálculo diferencial e integral, como é co-nhecido hoje, é um instrumento matemático de extrema importância. Suas aplicações, além da matemática e da física, estendem-se também à química, à biologia, à engenharia, etc.

8.2 INTRODUÇÃO DO ESTUDO DAS DERIVADAS

O problema fundamental do cálculo diferencial é estabelecer uma medida para a variação da função com precisão matemática. Foi investi-gando problemas dessa natureza, lidando com grandezas que variam com continuidade, que Newton foi conduzido à descoberta dos princí-pios fundamentais do cálculo.

Da física, sabemos que quando uma partícula se movimenta segundo a equação horária S = f(t), em que s é a abscissa (posição) do ponto em que se encontra a partícula no instante t (s é uma função de t), a velocidade média do mo-vimento entre dois instantes (t0,t), que vamos

indicar por Vm(t0;t) é dada por:

A velocidade (instantânea) no instante t0, V(t0) é

definida pelo limite de Vm(t0; t) quando t tende

a t0:

Exemplo:

• Uma particula movimenta-se segundo a equação horária S = 2t2_{+ 5t + 10, s em}

me-tros e t em segundos. Obter a velocidade: a) no instante t = 1;

Solução:

a)

A velocidade média no instante t = 1 é:

V(1) = 9m/s b)

V(t0) = 4t0+ 5

equação da velocidade para t = 1

⇒

V(1) = 4 × 1 + 5 = 9m/s 8.3 RAZÃO INCREMENTAL

Seja f (x) uma função definida em um intervalo I de seu domínio, e sejam x0e x = x0 +

Δ

x dois

valores pertencentes a esse intervalo

Δ

x : acréscimo da variável x :

Δ

x = x – x0

Δ

x : acréscimo da variável y :

Δ

y = f(x) – f(x0)

ou

Δ

y = f(x0+

Δ

x) – f(x0)

Denomina-se razão inceremental o quociente

Então, temos: ou Exemplo:

Calcular a razão incremental da função f(x) = 3x – 1, relativa ao ponto x0= 2

Solução:

f(x) = 3x – 1 e f(x0) = f(2) = 3 . 2 – 1

⇒

f(x0) = 5

Então, temos:

⇒

⇒

8.4 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO EM UM PONTO

Seja y = f (x) a função que está representada no gráfico, e sejam x0e x0 +

Δ

x dois valores de

seu domínio.

Denomina-se derivada da função f (x) no ponto x0o limite finito (se existir) da razão

Exemplo:

1. Determinar a derivada da função f(x) = 4x2_{– 2}

no ponto x0= 2

Solução:

Como , temos:

2. Dada a função f(x) = 3x2_{, definida em IR,}

calcu-lar a função derivada f’(x). Solução:

1. Calcule a razão incremental da função f (x),

re-lativa ao ponto x0, nos seguintes casos:

a) f(x) = 3x2_{+ 1, no ponto x} 0= 2 b) f(x) = x2_{+ 3x, no ponto x} 0= 1 c) f(x) = x3_{, no ponto x} 0= –1

2. Calcule a derivada da função f(x) no ponto x0

em cada caso: a) f(x) = x2_{+ 1, no ponto x} 0= 3 b) f(x) = x2_{+ 2x, no ponto x} 0= 4 c) f(x) = x2_{– 3x + 4, no ponto x} 0= 1 d) f(x) = 2x – 1, no ponto x0= 2

3. Dada a função f (x), definida em IR, determine f´(x) nos seguites casos:

a) f(x) = x2_{– 2x}

b) f(x) = x c) f(x) = d) f(x) = 3x + 4 e) f(x) = x3_{+ 2x}2

4. Determine o valor de x que anula a derivada da função f(x) = x2_{– 4x}

5. Um ponto percorre uma curva obedecendo à equação horária s = t2_{+ t – 2. Calcule a sua}

velocidade no instante t0= 2seg.

1. A derivada da função f(x) = x2_{– 3x no ponto}

x = 0 é igual a: a) 0 b) – 3 c) – 1 d) 1 e) n.d.a.

2. Sendo f(x) = 2x2_{, então f’(3) é igual a:}

a) 4 b) 12 c) 18

d) 36 e) n.d.a. 3. Se f(x) = 6x3_{, então f’(x) é igual a:} a) 9x2 b) x2 c) 18x2 d) 3x2 e) n.d.a.

4. A função derivada de y = x3_{é definida por:}

a) y’ = 3x b) y’ = 3x2

c) y’ = x2

d) y’ = 3x3

e)

5. A função derivada da função é: a)

b) c) d) e) n.d.a.

6. A função derivada da função f(x) = 3x2 _{– 2x}

anula-se para: a) x = 0 b) x = 3 c) d) e) n.d.a. TEMA 09

A RETA TANGENTE AO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO

9.1. Introdução

Imaginemos que o gráfico cartesiano de uma função y = f (x) admita uma reta tangente t num ponto P de abscissa x0. Vamos

represen-tar por αt(x0) o ângulo de inclinação da reta

tan-gente em relação ao eixo x.

Da geometria analítica, sabemos que o coefi-ciente angular da reta t, que vamos indicar por mt(x0), é dado por: mt(x0) = tgαt(x0).

Se Q é um ponto qualquer do gráfico de f, de abscissa x

≠

x0, a reta S = é uma secante

ao gráfico. O coeficiente angular da secante, que indicaremos por

Fazendo x tender a x0, isto é, imaginando P fixo

aproxi-mando-se de P, observamos que a inclinação da reta secante tende à inclinação da reta tan-gente:

α

s

→ α

t(x0)

Nesse caso, temos tambem: tg

α

s

→

tg

α

t(x0)

ms

→

mt(x0)

Então, temos:

Quando existe o limite finito Exemplo:

Calcular o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função y = x² no ponto de abscis-sa x = 1

Solução

9.2 DEFINIÇÃO

Para estudar esse problema, consideremos o gráfico da função y = f (x) indicado na figura:

Em que:

Δ

x= incremento da variável x

Δ

yincremento da função razão incremental Na figura, temos:

s é uma reta secante à curva;

t é uma tangente à curva no ponto A(x0, y0);

(considerando o triângulo ABC) Note que, quando

Δ

x

→

0, o ponto B tenderá ao ponto A, e a reta secante s tenderá à reta tangente t; como conseqüência, o ângulo β tenderá a α, e teremos:

Enquanto

Δ

x tende a zero, a reta secante tende a uma posição limite, que é a reta tangente à curva no ponto A de abscissa x0.

Portanto o coeficiente angular da tangente é o valor do limite dos coeficientes angulares das secantes quando

Δ

x tende a zero.

O valor desse limite denomina-se derivada da função f(x) no ponto de abscissa x0, e

Definição:

Seja a função f (x) definida no intervalo [a, b], e seja um ponto de abscissa x0desse inetrvalo.

Denomina-se derivada da função f (x) no ponto de abscissa x0, o limite, se existir e for

finito, da razão quando

Δ

x

tende a zero.

Ou ou

Exemplos:

• Determinar a derivada da função f(x) = 3x2

no ponto de abscissa x0= 2. Solução: 1.ª MANEIRA Se x0= 2

⇒

f(x0) = f(2) = 3 ×22 = 12 Logo: 2.ª MANEIRA f(x0 +

Δ

x) = f(2 +

Δ

x) = 3 (2 +

Δ

x)2 = 12 + 12

Δ

x + 3(

Δ

x)2 f(x0 ) = f(2) = 3 . 22= 12 Logo: f’(2 ) = 12

• Dada a função , calcular a deriva-da de f’(x) no ponto x = 0.

Solução:

Daí:

Observação: Não possui derivada em x = 0 • Determinar, pela definição, a função

deriva-da de f(x) = x2_.

Solução:

• Qual a reta tangente ao gráfico da função na origem?

SOLUÇÃO

A reta que procuramos passa no ponto (0;0)

Quando o limite é +

∞

, a reta tangente é perpendicualr ao eixo x. Concluímos que a reta tangente a na origem é o eixo y. • Dada a função f(x) = x2 _{– 2x, determinar}

f’(6): SOLUÇÃO f(x) = x2_{– 2x}

f(x0) = f(6) = 62– 2 . 6 = 24

Logo:

• Dada a função f (x) = sen x, determinar, pela definição, a função derivada de f (x). SOLUÇÃO

Como, pela triigonometria, sen a – sen b = , temos:

Pelo limite trigonométrico fundamental, estudado anteriormente, temos:

Substituindo na igualdade anterior, temos:

• Seja a função f: IR

→

IR tal que f(x) = 3x2_{– 1.}

Determinar:

a) a derivada de f no ponto de abscissa 2, isto é, f´(2);

b) a equação da reta t tangente ao gráfico de f no ponto P (2, 11). SOLUÇÃO a) como e , temos:

b) Temos, da reta t, o ponto P(2,11) e o coefi-ciente angular m = f’(2) = 12. Pela equação fundamental: obtemos a equacação da reta t : y – 11 = 12(x – 2)

∴

y = 12x – 13. Graficamente, temos:

• A função f : IR –{3}

→

tal que é derivável no intervalo ]1, 5[?

SOLUÇÃO

Para que uma função f seja derivável em um ponto de abscissa a, a definição exige que exista f (a). Como 3

∉

D(f), temos que f não é derivável no ponto de abscissa 3 e, por-tanto, não é derivável no intervalo ]1, 5[. • Mostrar que a função f : IR –{3}

→

IR tal que

é derivável em todo seu domínio. SOLUÇÃO

Temos que: ,

para x

≠

3.

Existe f’(a) se, e somente se, existe e é fini-to o limite:

Para qualquer a, a

∈

IR e a

≠

3, temos:

Como esse limite existe e é finito para todo elemento real a, a

≠

3, temos que f é derivável em seu domínio.

1. Considerando a reta t, tangente à curva defini-da por f (x) = x², no ponto de abscissa 2, deter-minar:

a) o coeficiente angular da reta t b) a equação da reta t. 2. Considerando a reta t, tangente à curva

defini-da por , no ponto de abscissa 1,

determinar:

a) o coeficiente angular da reta t b) a equação da reta t

3. Qual é a equação da reta tangente à curva

y = x2_{– 3x no seu ponto de abscissa 4?}

4. A equação da reta tangente à curva de equação y = 2x2_{– 1, no ponto de abscissa 1, é:} a) y = 4x – 3 b) y = 4x – 1 c) y = 2x + 3 d) y = –2x + 1 e) y = 3x + 2

5. Aplicando a definição, calcule:

a) a derivada da função f(x) = x2_{+ x no ponto}

de abscissa x = 3.

b) a derivada da função f(x) = x2_{– 5x + 6 no}

ponto x = 1.

6. Através da definição, ache a derivada de f (x) = cos x

TEMA 10

REGRAS DE DERIVAÇÃO

10.1 DERIVADAS FUNDAMENTAIS

Regras que nos permitirão calcular a derivada de uma função f(x) mais facilmente. A demons-tração dessas regras poderá ser feita com a aplicação da definição; como esse processo é demasiado longo, faremos algumas, e as ou-tras ficarão como exercícios complementares. a) Derivada da função constante

f(x) = k

⇒

f’(x) = 0; k

∈

IR Demonstração:

Exemplo:

f(x) =

⇒

f’(x) = 0

b) Derivada da função identidade

A derivada da função identidade f (x) = x é 1, ou seja: f(x) = x

⇒

f’(x) = 1

Demonstração:

c) Derivada da função potência

A derivada da função f(x) = xn _(n

_∈

_N*_{) é:} f’(x) = n × xn–1_{, ou seja:} f(x) = xn

_⇒

_{f’(x) = nx}n–1 Exemplos: • f(x) = x3

_⇒

_{f’(x) = 3x}3–1_{= 3x}2 • f(x) = 4x2

_⇒

_{f’(x) = 2 × 4 × x}2–1_{= 8x} •f(x) = x–5

_⇒

_{f’(x) = –5 xx}–5–1_{= –5x}–6₌ •

d) Derivada da função seno

A derivada da função f (x) = senx é a função

f´(x) = cosx, ou seja: f(x) = senx

⇒

f’(x) = cosx Demonstração

Obs.:

e) Derivada da função co-seno

A derivada da função f (x) = cosx é a função f’(x) = –senx

f) Derivada da funçãoe exponencial

A derivada da função exponencial f(x) = ax

(a > 0 e a

≠

1 é a função f’(x) = ax_{. ln a}

Demonstração:

Obs: Exemplo:

f(x) = 5x

_⇒

_{f’(x) = 5}x _{. ln 5}

g) Derivada da função logarítmica neperiana A derivada da função f (x) = lnx é a função

Caso seja dado o logaritmo numa base a, a > 0 e a

≠

1, fazemos a mudança para a base e.

Então:

Exemplos:

• (x > 0)

• (x > 0)

10.2 REGRAS OPERATÓRIAS DE DERIVAÇÃO Sejam u e v funções deriváveis em um interva-lo aberto I. Para todo x, x

∈

I, tem-se que: a) Derivada da soma f(x) = u(x) + v(x)

⇒

f’(x) = u’(x) + v’(x) Demonstração: f’(x) = u’(x) + v’(x) c . q . d b) Derivada da diferença f(x) = u(x) – v(x)

⇒

f’(x) = u’(x) – v’(x) Obs.: A soma ou a diferença para n funções • f(x) = u1(x) + u2(x) +...+ un

⇒

f’(x) = u’1(x) + u’2(x) +...+ u’n(x)

• f(x) = u1(x) – u2(x) –...– un

⇒

f’(x) = u’1(x) – u’2(x) –...– u’n(x)

1. Determinar a derivada de cada uma das seguintes funções: a) f(x) = x4_{+ sen x} Solução: f’(x) = 4x3_{+ cos x} b) g(x) = x5_{– x}3 Solução: g’(x) = 5x4_{– 3x}2 c) h(x) = 3 – x + cos x + ln x Solução:

2. Obtenha as derivadas das seguintes funções: a) f(x) = 10

⇒

f’(x) = 10

b) f(x) = x5

_⇒

_{f’(x) = 5 . x}5–1_{= 5x}4

c) f(x) = x3_{+ x}2

_⇒

_{f’(x) = 3x}2_{+ 2x}

d) f(x) = x5_{+ 1}

_⇒

_{f’(x) = 5x}4_{+ 0 = 5x}4

d) f(x) = x5_{+ 1}

_⇒

_{f’(x) = 5x}4_{+ 0 = 5x}4

e) f(x) = sen x + cos x

⇒

f’(x) = cos x + (–sen x) = cos x – sen x

f) f(x) = 2x

_⇒

_{f’(x) = 2}x_{ln 2}

g) f(x) = ex

_⇒

_{f’(x) = e}x_{. 1 = e}x

h)

3. Encontre a equação da reta tangente à curva: a) y = x5_{no ponto x} 0 = 1 SOLUÇÃO y = x5_{no ponto x} 0 = 1 f(x) = x5

_⇒

_f(x 0) = f(1) = 1 f’(x) = 5x4

_⇒

_{f’(1) = 5 . 1}4_{= 5} No ponto (1,1): y – f(1) = f’(1)(x – 1) y – 1 = 5(x – 1)

⇒

y = 5x – 4 b) y = ln x no ponto x0 = 2 SOLUÇÃO

4. Determine f’(x), sabendo que: a) f(x) = x2_{. cos x}

SOLUÇÃO

a) f(x) = x2_{. cos x}

f’(x) = (x2_{. cos x)’ = (x}2_{)’cos x + x}2 _{(cos x)’ =}

2x . cos x + x2_{(–sen x) = 2x . cos x – x}2 _{. sen x}

logo, f’(x) = 2x . cos x – x2_{. sen x}

b) f(x) = (x2_{+ 3x + 1)(ln x)}

f’(x) = (x2_{+ 3x + 1)’lnx + (x}2_{+ 3x + 1)(ln x)’ =}

(2x + 3) ln x + (x2_{+ 3x + 1) =}

= 2x . ln x + 3 . ln x + 3 +

Logo, f’(x) = 2x . ln x + 3 . ln x + x + 3 + 5. Determine f’(x), sabendo que:

a) b) c) f(x) = tg x d) f(x) = cot gx Respostas: a) b) c) f’(x) = sec2_x d) f’(x) = cos sec2_x

1. Determine f’(x), sabendo que: a) f(x) = x2_{+ x + 1} b) f(x) = lnx – cos x c) f(x) = 3x5 d) f(x) = 3x2 _{+ 2x + 1} e) f(x) = ax2 _{+ bx + c} f) f(x) = lnx + 2cos x

2. Determine o coeficiente angular da reta

tan-gente à curva y = x3 _{+ x}2 _{+ x + 1 no ponto}

x0 = 1.

3. Obter a reta tangente à parábola y = x2_{– 4x + 3}

no ponto de abscissa 4.

4. Determine a derivada de cada uma das seguintes funções:

a) a(x) = x3_{+ x}

b) b(x) = ln x – sen x c) c(x) = cos x ln x

d) d(x) = 6x4_{– 3x}2_{+ 7x – 4}

5. A equação da reta tangente à curva y = x3_{– 5x + 1}

no ponto de abscissa x = 1 é: a) x – y – 4 = 0 b) x – y + 4 = 0 c) x + y – 4 = 0 d) 2x +y – 1 = 0 e) 2x + y + 1 = 0

6. Uma partícula move-se em linha reta. A equação horária do espaço s é s(t) = t3_{+ 4t}2_,

com s em metros e t em segundos.

a) Obter a velocidade instantânea da partícula para t = 1seg.

b) Obter a aceleração instantânea para t = 1seg. 7. Um corpo se desloca sobre uma linha reta, de modo que a equação horária do espaço s é s(t) = 6t3_{– 2t + 3, com s em quilômetros e t em}

horas.

a) Qual é a equação horária da aceleração instantânea desse corpo?

b) Qual é a aceleração instantãnea desse corpo no instante t = 2h?0

8. Considere as funções f e g dadas por f(x) = x2_{– cos x e g(x) = sen x + x. Calcule o}

valor da expressão .

9. Considere f(x) = 2x3 _{– 15x}2 _{+ 36x – 7 e}

g(x) = x3 _{– 6x}2 _{+ 11x – 6 e determine}

c) Derivada do produto

f(x) = u(x).v(x)

⇒

f’(x) = u’(x).v(x)+u(x).v’(x) d) Derivada do quociente

Sejam u e v funções deriváveis em um inter-valo aberto I. Para todo x, x

∈

I e v(x)

≠

0, tem-se que:

Obs.: As demonstrações b, c e d ficam para você fazer como exercícios.

10.3 OUTRAS DERIVADAS

a) f(x) = tg x

⇒

f’(x) = sec2_x

b) f(x) = cot gx

⇒

f’(x) = –cos sec2_x

c) f(x) = sec x

⇒

f’(x) = sec x . tg x

d) f(x) = cossec x

⇒

f’(x) = –cosssec x . cot gx Obs.: Faça as demonstrações como exercícios.

1. Determinar a derivada da função f(x) = x5_{. sen x.}

Solução:

u(x) = x5

_⇒

_{u’(x) = 5x}4

v(x) = sen x

⇒

v’(x) = cos x f’(x) = u’(x) . v(x) + u(x) . v’(x) f’(x) = 5x4_{. sen x + x}5 _{. cos x}

2. Determinar a derivada da função f(x) = (x4_{+8)ln x}

Solução:

3. Determinar a derivada da função . Solução:

u(x) = 3

⇒

u’(x) = 0

v(x) = sen x

⇒

v’(x) = cos x

10.5 DERIVABILIDADE E CONTINUIDADE Uma função real y = f(x) é denominada função derivável no ponto x0 quando existe (finita) a

derivada f’(x0). Quando f é derivável em todos

os pontos do seu domínio, dizemos que ela é uma função derivável.

Propriedade:

Se a função f é derivável no ponto x0, então f é

contínua em x0.

Demonstração:

Provar que f é contínua em x0significa provar

que lim_Δ→x

0f(x) = f(x0)

Admitindo que é derivável em x0, existe:

Então: lim

x→x0f(x) = limx→x0f(x) =[f(x) – f(x0) + f(x0)] lim

x→x0f(x) = 0 + f(x0) = f(x0)] e fica provado que, existindo f’(x0), f é contínua em x0.

A recíproca desta propriedade não é ver-dadeira. Podemos ter uma função contínua em x0, mas não derivável em x0. É o que ocorre

quando o gráfico tem um “bico” em x = x0

Exemplo: