MEDIDA DA EFICIÊNCIA DE UNIDADES TOMADORAS DE DECISÃO:
UMA ABORDAGEM NEURAL
A B S T R A C T
This paper investigates the creation of efficiency measurements structures of decision-making units (DMUs) called Neuro-DEA, by using high-speed optimization modules called Neuro-LP, inspired in the "philosophy" of an unconventional artificial neural network (ANN) and numerical methods.
In addition, the linear programming problem LPP is transformed into an optimization problem without constraints by using a pseudo-cost function, where's added a term of penalty, causing high cost all time that one of the constraints goes violated. The problem is converted into a differential equations system. An unconventional ANN implements a numerical solution based gradient method.
1. Introdução
Análise de Envoltória de Dados (DEA) é uma técnica matemática com o objetivo de analisar o desempenho de Unidades Tomadoras de Decisão (DMUs). Permite avaliar a eficiência operacional relativa de organizações (DMUs), contemplando cada DMU relativamente a todas as outras que compõem o grupo de DMUs investigadas [1].
A técnica DEA compara as eficiências das DMUs pela aptidão em transformar insumos (inputs) em produtos (outputs), medindo a relação da saída atingida função da provisão fornecida pela entrada.
No final da análise, a técnica DEA é capaz de dizer quais unidades são (relativamente) eficientes e quais as unidades (relativamente)
ineficientes [2].
A técnica DEA envolve o uso de Programação Linear (LP) para resolver um conjunto de PPLs Luiz Biondi Neto
Universidade Veiga de Almeida, UVA, [email protected]. Marcos Estellita Lins Programa de Engenharia de Produção – COPPE – UFRJ,
Luis Chiganer Universidade Veiga de
Almeida, UVA, [email protected] Fernando Hideo Fukuda
Universidade Veiga de Almeida, UVA, [email protected] Vincenzo de Roberto Jr. Universidade Veiga de Almeida, UVA, [email protected]
Elias Restum Antonio Universidade Veiga de
Almeida, UVA, [email protected]
Fabiano Saldanha Oliveira Universidade Veiga de
Almeida, UVA, [email protected]
inter-relacionados, tantas quantas forem o número de DMUs, objetivando finalmente, determinar a eficiência relativa de cada DMU [12]. No modelo neural proposto (Neuro-DEA) serão usados módulos otimizadores denominados Neuro-LP, inspirados na filosofia de redes neurais artificiais [5].
Os modelos DEA podem ser orientados para inputs ou para outpus e essa orientação deve ser escolhida, previamente, pelo analista como ponto de partida na análise DEA[19]. A orientação para inputs indica que desejamos reduzir (minimizar) os inputs , mantendo os outputs inalterados. Por outro lado a orientação para outputs significa que desejamos aumentar (maximizar) os outputs sem alterar os inputs [22].Os modelos mais importantes são os seguintes:
• CCR – Modelo apresentado por CHARNES,
COOPER e RHODE [7] que constrói uma superfície não paramétrica, linear por partes, sobre os dados e determina a eficiência técnica das DMUs investigadas sobre esta superfície. Foi concebido como um modelo orientado à input e trabalha com retorno constante de escala (CRS), isto é, qualquer variação nos inputs produz variação proporcional nos outputs. O modelo proposto para DMU 0 é o seguinte:
i j, 0 e ,..., 1 , 1 : a sujeito h Max 1 1 1 0 1 0 0 ∀ ≥ = ≤ =
∑
∑
∑
∑
= = = = i j r i ik i s j jk j r i i i s j j j v u n k X v Y u X v Y u i input ao referente peso j output ao referente peso k DMU para i input de quantidade k DMU para j output de quantidade DMU de total quantidade -n outputs de total quantidade -s inputs de total quantidade -r 0 DMU da eficiência -h : onde 0 − − − − i j ik jk v u X YO problema resume-se em determinar os valores dos pesos uj e vi de forma a maximizar a
combinação linear dos outputs (soma ponderada) dividido pela combinação linear (soma ponderada) dos inputs [13,14]. O processo deve ser repetido para cada uma das n DMUs e através desses pesos determina-se o valor relativo das eficiências de cada DMU.
Se u e v são os vetores soluções ótimas, αu e αv também o serão e conseqüentemente o problema apresentará infinitas soluções. Para contornar esse problema CHARNES E COOPER [6] introduziram uma transformação linear, que permite transformar problemas fracionários lineares em PPLs, criando o modelo denominado de Multiplicadores: i j, 0 e ,..., 1 , 0 1 : a sujeito h Max 1 1 1 1 0 0 ∀ ≥ = ≤ − = =
∑
∑
∑
∑
= = = = i j r i ik i s j jk j r i ik i s j j j v u n k X v Y u X v Y uÉ possível derivar o dual do modelo dos multiplicadores (primal).
Assim, o dual apresentará uma menor quantidade de restrições (s+r < n+1), pois o modelo DEA exige que o número de DMUs seja
expostas o modelo dual, denominado Envelope, por ser mais fácil de resolver, tem preferência sobre o dos Multiplicadores. No modelo do Envelope o objetivo é determinar os valores de
λk de tal forma a minimizar θ, e a sua
formulação é a seguinte: k 0 ,..., 1 , 0 - 1,...s j 0 : a sujeito Min 1 0 1 0 ∀ ≥ = ≥ = ≥ + −
∑
∑
= = k n k k ik j k n k jk j r i X X Y Y λ λ λPara formulação orientada para output basta inverter o quociente fazendo-se agora a relação entre a soma ponderada dos inputs divididos pela soma ponderada dos outputs e procurando minimizar os inputs.
Nesse caso o modelo do Envelope derivado do primal (multiplicadores) pode ser obtido de maneira semelhante a que foi feita no caso da orientação para inputs.
• BCC – Modelo desenvolvido por BANKER
CHARNES E COOPER [3], permite retorno variável de escala (VRS) evitando problemas existentes em situações de competição imperfeita, restrições nas finanças etc.
Nesse caso a fronteira VRS considera rendimentos crescentes ou decrescentes na fronteira eficiente.
Para este mister, foi introduzido no modelo CRS uma restrição denominada de restrição de convexidade, isto é, fazendo-se o somatório dos λ igual a 1.
Visando comparar a fronteira CRS com a VRS a Figura 1.1, que representa 5 DMUs de uma entrada e uma saída, mostra para os dois casos a relação entre essas fronteiras.
X DMU1 CRS VRS DMU2 DMU3 DMU4 DMU5 Y Figura 1.1 - Fronteira CRS e VRS
O modelo do Envelope orientado para input é representado da seguinte forma:
k 0 1 ,..., 1 , 0 - 1,...s j 0 : a sujeito Min 1 1 0 1 0 ∀ ≥ = = ≥ = ≥ + −
∑
∑
∑
= = = k n k k n k k ik j k n k jk j r i X X Y Y λ λ λ λNa figura 1.1 é possível verificar que as DMUs 4 e 5 são ineficientes. No modelo BCC que adota retorno variável de escala, cada DMU é comparada com as DMUs eficientes que operam na mesma escala. Assim, usando-se a orientação para inputs, verificamos que a projeção ótima da DMU 4 incide num ponto que reflete a combinação linear convexa das DMUs 1 e 2. Caso a orientação fosse para outputs, o ponto indicaria a combinação linear convexa das DMUs 2 e 3. Entretanto para ambos os casos de orientação os valores da combinação linear é dado pelos λs. O modelo derivado primal (multiplicadores) é dado por:
irrestrito e i j, 0 e ,..., 1 , 0 1 : a sujeito h Max 0 0 1 1 1 0 1 0 0 τ τ τ ∀ ≥ = ≤ + − = + =
∑
∑
∑
∑
= = = = i j r i ik i s j jk j r i ik i s j j j v u n k X v Y u X v Y uPor outro lado as Redes Neurais Artificiais (RNAs), também conhecidas como sistemas conexionistas, são estruturas inspiradas no funcionamento do cérebro humano [20]. As RNAs são estruturas maciçamente paralelas, baseadas em elementos processadores (EPs) simples, inspiradas no neurônio biológico e densamente interconectadas. As principais características das RNAs são: procura paralela e endereçamento pelo conteúdo, imitando o cérebro que não possui endereço de memória nem procura uma informação seqüencialmente; aprendizado, dotando a rede da capacidade de aprender certo conhecimento por sucessivas apresentações de padrões (experiência), sem necessidade de explicitar os algoritmos para executar uma tarefa; associação, permitindo que a rede possa associar padrões diferentes; generalização, habilitando a rede a lidar com ruído e distorções e responder corretamente a uma entrada nunca vista, por similaridade com outros padrões já apresentados; abstração, dotando a rede da capacidade de abstrair a essência de um conjunto de entradas; e finalmente a robustez permitindo, devido ao paralelismo, que mesmo com a perda de EPs, não haja mau funcionamento da rede [23]. Através de algoritmos específicos as RNAs "aprendem" certo conhecimento (fase de
treinamento) pela apresentação sucessiva de
exemplos (padrões), armazenando-os nas inúmeras conexões existentes entre os EPs denominadas de pesos. Nessa fase os pesos são ajustados por métodos iterativos através de um
custo de função a representa e o aprendizad de matriz a representa pesos de matriz a representa : onde j ji ji j ji E w w E dt dw µ µ ∂ ∂ − =
O conhecimento fica distribuído por toda rede, disponível e pronto para ser usado (fase de
execução) nas mais diferentes áreas de
aplicação, como na programação linear neural [17, 21, 23].
No caso dos módulos otimizadores Neuro-LP propostos e integrantes do modelo Neuro-DEA, é usada uma estrutura semelhante as RNAs, onde os pesos sinápticos (normalmente obtidos no treinamento) são fixos e compostos, basicamente, dos coeficientes dos conjuntos das restrições do problema [5].
O problema de programação linear (PPL) é então transformado em um problema de otimização sem restrição, adicionando-se um termo de penalidade, que causa alto custo toda vez que uma restrição for violada e convertido em um sistema de equações diferenciais. Uma RNA, não convencional, usada na fase de execução, implementa uma solução numérica baseada no método do gradiente.
A grande diferença no modelo apresentado é que o processo iterativo ajusta as variáveis de decisão do PPL e não os pesos. Estes são fixos e representam as restrições do problema e não são treinados como normalmente ocorre nas RNAs.
2. Fundamentação Matemática
Seja um problema de otimização sem restrição onde se deseja encontrar o valor de x ∈ ℜn que minimize uma função escalar E(x), denominada de função Pseudocusto, de Energia ou Objetivo. Segundo CICHOCKI [10] o ponto x* será o mínimo global de E(x) se E(x*) <= E(x) para
todo x ∈ ℜn e um mínimo local se a relação E(x*) <= E(x) for mantida para um certo intervalo ε > 0.
Se a primeira e a segunda derivadas de E(x) existirem, o ponto x* será um mínimo local se o gradiente ∇ E(x*) = 0 e a matriz de Hessian
∇ 2
E(x*) > 0. Assim, as condições necessárias e suficientes para a existência de um mínimo local são as seguintes:
Seja ∇ 2 E(x) não singular para o ponto x*, então E(x*) será <= E(x) para todo 0 < || x - x* || < ε e ε > 0 se o gradiente ∇ E(x*) = 0 e a matriz Hessian for simétrica e positiva, isto é ∇2 E(x*) > 0.
Dos métodos inspirados no “Steepest descent” e no “Método de Newton”, o mais difundido é o Método do Gradiente Dinâmico [4]. Baseia-se na transformação do problema de otimização sem restrição em um sistema de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem representada a seguir:
Assim para se encontrar o valor de x* que leva E(x) a um mínimo é preciso resolver ou simular a solução de um sistema de equações diferenciais submetidas a condições iniciais. É possível concluir que x* possa ser determinado através da “curva da trajetória de solução”, figura 3.1, do sistema proposto:
Segundo TAHA [15], dada uma função de custo E(x) a qual se deseja minimizar, onde xj(0) = xj(0) representa o ponto onde o procedimento se inicia e; seja ∇ E(x*) o gradiente de E(x) para o k-ésimo ponto da trajetória então; a idéia é determinar um caminho particular p ao longo do qual dE(x)/dp é
minimizada a cada ponto da trajetória. A solução numérica pode ser obtida atendendo o seguinte:
•
Se sucessivos pontos xk e x k+1 forem determinados obedecendo a seguinte trajetória de solução: x k+1 = xk - ηk∇ E(x)k, onde 0 <= ηk <= ηmax é denominado de taxa de aprendizado ou passo de integração .•
O valor de ηk é determinado de modo que x k+1 resulte sempre num melhoramento da função objetivo, isto é, E(x)k+1 < E(x)k.•
O procedimento termina quando dois pontos sucessivos x k+1 e x k são aproximadamente iguais, isto é, ηk ∇ E(x)k ≅ 0.Como ηk é ≠ 0, então ∇ E(x)k = 0.3. Modelagem Neuro-LP
Um PPL é classificado como um problema de otimização com restrição [25]. Para resolve-lo usando-se a filosofia das RNAs é preciso construir uma “nova função” denominada de função pseudocusto ou de energia E(x), para qual o mínimo global seja a solução ótima do PPL. Para se construir a nova função E(x) incorpora-se uma função ou termo de penalidade Pi[Ri(x)] à função objetivo original [8, 9, 18, 26].
O termo de penalidade deve causar alto custo (penalizar) à nova função toda vez que uma restrição for violada (Ri(x) < 0) e custo zero se a
restrição for satisfeita (Ri(x) >= 0).
Dessa forma o PPL é transformado em um problema de otimização sem restrição, onde se deseja encontrar x* ∈ℜn que minimize a nova função E(x). O termo de penalidade deve penalizar (p grande) para os casos de soluções inviáveis e inibir para soluções viáveis do PPL [11, 16 24]. Sua modelagem sem restrição é a seguinte: (penaliza) 0 )] ( R [ 0 ) ( R Se (inibe) 0 )] ( R [ 0 ) ( R Se penalidade de termo o representa 0, onde )] ( R [ ) , ( Min i i i i 1 i 1 > < = ≥ >> + =
∑
∑
= = x P x x P x p x P p x C p x E i i m i i n j j j o. aprendizad de matriz a e iniciais condições as são ) 0 ( onde , ) ( ) 0 ( 1 ji j j n i j ji j x x x x E dt dx µ µ = ∂ ∂ − =∑
= ∞ →=
tt
x
x
*lim
(
)
O problema de otimização sem restrição com termo de penalidade pode ser resolvido de maneira semelhante ao treinamento das RNAs, ou seja, pela aplicação do método do gradiente decrescente. Assim, deve ser escrito como um sistema de equações diferenciais ordinárias e resolvido na forma numérica. Nesse caso, a equação da trajetória de solução xj(k+1) = xj(k)
+ ∆ (xj) (onde j=1 ... n , representa o número de
variáveis) indica na convergência o valor das variáveis de decisão do problema e ∆(xj) o
produto do gradiente da função de custo em relação à xj por um fator constante ligado a
velocidade de convergência e a estabilidade do método.
Para garantir a exatidão do método o parâmetro de penalidade p deve ser muito grande. A prática mostra que valores de p muito elevado não são convenientes sob o ponto de vista computacional. Segundo [10] a função de pseudocusto pode ser considerada da seguinte forma:
Nesse caso não são necessários grandes valores de p para que o processo convirja corretamente. Assim, com valores adequados de p o mínimo da função pseudocusto E(x, p) equivale à solução
4. Implementação do Modelo Neuro-LP
A modelagem proposta em 3 sugere a arquitetura implementada, para até três variáveis, representada a seguir na figura 4.1. Nela pode ser observada a semelhança com a estrutura de uma RNA onde os coeficientes amn representam
os pesos sinápticos, em nosso caso conhecidos e representando os coeficientes das restrições proposta no PPL original.
5. A Arquitetura Neuro-DEA
Considerando-se a existência de dados para
P DMUs, com R inputs e S outputs e que a
i-ésima DMU seja representada por um vetor coluna xi (inputs) e um yi (outputs).
Será obtida para cada DMU a relação de todas as saídas sobre todas as entradas, tal como :
u yi / v xi , onde u e v são os vetores de peso de
saída e entrada respectivamente.
Os valores ótimos desses pesos são obtidos 0 onde , )} ( R , 0 min{ ) , ( 1 i 1 > − =
∑
∑
= = p x p x C p x E m i n j j j 1,2,.... n, 1,2,..., j m, 1,2,..., i , 0 , 0 D Se 0 D Se ) ( : por dada é fig.3.1, solução, de a trajetóri de curva A negativo degrau um é D e 0 e 0 (penaliza) D 0 ) ( Se (inibe) 0 D 0 ) ( Se n) ,..., 1,2 (j ) ( ) ( e ) , ( ) ( Como i 1 i 1 1 ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( i i i 1 = = = > > − = < = ≥ + − = ∆ + = > > − = < = ≥ = + − = ∆ ≅ ∇ − = ∆∑
∑
∑
∑
= = = + + = k p p b x a b x a a D C x x x x x p p x R x R a D C x x a x R p x E x j i j n j ij i j n j ij m i ij k i j j k j k j j k j k j j i i m i ij i j j j j ij i j x j j j µ µ µ µ µFigura 3.1 - Curva de Trajetória de Solução, para 3 variáveis.
X3
X2
Figura 4.1 – Implementação do modelo Neuro-LP
Figura 5.1 - Diagrama em Blocos
Tabela 5.1 – Dados referentes às DMUs
A arquitetura do modelo Neuro-DEA é baseada no modelo Neuro-LP apresentado neste trabalho. Para P DMUs , teremos P módulos Neuro-LP, um para cada DMU. Cada um dos PPLs do modelo Neuro-DEA representará um PPL do modelo DEA – (modelo do envelope) e será capaz de determinar a eficiência relativa de uma DMU das P DMUs que compõem o sistema. A figura 5.1 mostra o diagrama em blocos do módulo Neuro-DEA proposto.
Na tabela 5.1 são mostrados os dados de um exemplo envolvendo 5 DMUs com duas entradas e uma saída [22].
Output Y Input X1 Input X2 DMU 1 1 2 5 DMU 2 2 2 4 DMU 3 3 6 6 DMU 4 1 3 2 DMU 5 2 6 2
Na figura 5.2, a seguir encontra-se a especificação final dos PPLs do exemplo mostrado na figura 5.2 e que compõem o sistema Neuro-DEA proposto nesse trabalho.
6. Conclusões
O caso apresentado foi selecionado de mais de uma centena de testes realizados revelando que a proposta apresentada é consistente. Os valores encontrados em nosso protótipo foram validados
N Neeuurroo--LLPP D DMMUU11 N Neeuurroo--LLPP D DMMUUPP N Neeuurroo--LLPP D DMMUU22 Eficiência da DMU 1 Eficiência da DMU 2 Eficiência da DMU 3 Eficiência da DMU N Neeuurroo--LLPP D DMMUU33 x 3 x 2 x 1 , x2 , x 3 x 1 0 b 3 7 b 2 5 b 1 0 0 0 0 S u m 3 S u m 2 S u m 1 R e s t 3 R e s t 2 R e s t 1 D3 D2 D1 M u x M u x s 1 I n t e g r a t o r 3 s 1 I n t e g r a t o r 2 s 1 I n t e g r a t o r 1 0 C 3 2 C 2 3 C 1 - 5 e 9 - m i 3 - 5 e 9 - m i 2 - 5 e 9 - m i 1 0 1 0 1 0 1 1 0 - 0 0 1 2 2 1 + −
∑
= m i ij k i j j C D a 1 ) ( µ i j n j ij x b a −∑
=1 dt dt x d xj ∫ j = ( )∑
= + m i ij k i j D a C 1 ) (Figura 5.2 – Especificação do Sistema
, comparando-se os resultados com os obtidos por softwares consagrados como o LINDO, para resolver separadamente os PPLs referentes às DMUs e o FRONTIER para resolver diretamente o DEA. No caso investigado o erro observado, tabela 6.1, não ultrapassou 1.0 %, podendo inclusive diminuir com pequenos melhoramentos na exatidão do método e na tolerância numérica.
No momento está sendo feito um estudo usando-se Multiplicadores de Lagrange, cuja função básica é melhorar a performance da função degrau, mostrado na figura 4.1 e identificado no otimizador por Di. Os primeiros testes indicam
uma sensível melhora na exatidão do método. O método de solução do sistema de equações diferenciais ordinárias usados no modelo
Neuro-Tabela 6.1 – Resultados e Erro Percentual na Medida da Eficiência
de RNAs, por usarem o método do gradiente decrescente. A evolução do método de solução do sistema de equações diferenciais, representado pela curva de trajetória de solução, indica na convergência, o valor das variáveis de decisão do problema.
Um fato que merece destaque é a possibilidade de se integrar RNAs com métodos numéricos não lineares para se resolver PPLs ou DEA, especialmente quando se deseja melhorar a convergência.
É importante ressaltar que a velocidade de convergência pode se tornar extremamente elevada, caso os módulos propostos venham a ser integrados em um chip e conectados, sob forma de interface, a qualquer slot livre de um computador.
Finalmente, fazendo-se um paralelo com os métodos tradicionais usados em DEA e destacados no início deste trabalho, fica nítida pela análise dos resultados a elevada velocidade de convergência, indicando que o modelo Neuro-DEA investigado se mostra adequado às aplicações que envolvem repostas em tempo real.
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LINDO FRONTIER Neuro-DEA Erro Percentual DMU 1 0.5 0.5 0.502281 0.456 % DMU 2 1.0 1.0 1.00512 0.512 % DMU 3 0.833 0.83 0.838211 0.988 % DMU 4 0.714 0.71 0.703745 0.985 % DMU 5 1.0 1.0 1.0 0.000 % Min t1 Sujeito a: l1+2l2+3l3+l4+2l5>=1 2t1-2l1-2l2-6l3-3l4-6l5 >=0 5t1-5l1-4l2-6l3-2l4-2l5 >=0 I1,I2,I3,I4,I5 >=0 Min t2 Sujeito a: l1+2l2+3l3+l4+2l5>=2 2t2-2l1-2l2-6l3-3l4-6l5 >=0 4t2-5l1-4l2-6l3-2l4-2l5 >=0 I1,I2,I3,I4,I5 >=0 Min t3 Sujeito a: l1+2l2+3l3+l4+2l5>=3 6t3-2l1-2l2-6l3-3l4-6l5 >=0 6t3-5l1-4l2-6l3-2l4-2l5 >=0 I1,I2,I3,I4,I5 >=0 Min t4 Sujeito a: l1+2l2+3l3+l4+2l5>=1 3t4-2l1-2l2-6l3-3l4-6l5 >=0 2t4-5l1-4l2-6l3-2l4-2l5 >=0 I1,I2,I3,I4,I5 >=0 Min t5 Sujeito a: l1+2l2+3l3+l4+2l5>=2 6t5-2l1-2l2-6l3-3l4-6l5 >=0 2t5-5l1-4l2-6l3-2l4-2l5 >=0 I1,I2,I3,I4,I5 >=0 E EFFIICC 22== Min t2 E EFFIICC 33== Min t3 E EFFIICC 44== Min t4 E EFFIICC 55== Min t5 E EFFIICC 11== Min t1
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