PIBIC
UFBA
Universidade Federal da Bahia
Pró-Reitoria de Pesquisa e Pós-Graduação
Programa Institucional de Bolsas de Iniciação Científica
Projeto de Pesquisa do Orientador
Título do Projeto Expoentes de Lyapunov não nulos para acoplamentos de dinâmicas unidimensionais e cociclos a tempo contínuo
Nome do Orientador Paulo César Rodrigues Pinto Varandas
Grupo de Pesquisa (opcional)
Sistemas Dinâmicos / UFBA
Palavras Chave (até 3)
Família quadrática, equações diferenciais lineares, expoentes de Lyapunov
1. Objetivos e Justificativa
Objetivos e justificativa do projeto em termos de relevância para a pesquisa cientifica e do estado da arte.
Este projeto visa estudar a existência de expoentes de Lyapunov não nulos para duas classes distintas de sistemas dinâmicos: acoplamentos de famílias quadráticas e cociclos a tempo contínuo.
O problema da caoticidade de sistemas dinâmicos expresso através da sensibilidade às condições iniciais ou da existência de expoentes de Lyapunov positivos é um dos problemas primordiais no estudo de Sistemas Dinâmicos. Estas noções são fulcrais e sua apresentam diferentes contornos quando lidamos com dinâmicas discretas ou em tempo contínuo. Dada uma função f:MM e uma medida f-invariante ergódica, o maior expoente de Lyapunov (dado pelo teorema de Oseledets) é definido por
) ( log 1 lim ) , ( Df x n x f n
e é constante em quase todo o ponto. Apesar desta noção se estender de forma natural no caso de um fluxo t:M M , t , a própria natureza contínua e o tipo de perturbações a ser efetuadas R neste caso torna bem mais sutil a prova da existência de expoentes de Lyapunov positivos para fluxos. Mais geralmente, dada uma transformação A:M SL(d,R), dito cociclo, o maior expoente de Lyapunov associado ao cociclo A é
) ( log 1 lim ) , ( A( ) x n x A n ,
onde A(n)(x) A(fn(x))...A(x), e coincide com a noção anterior no caso em que ADf . Se o estudo de expoentes de Lyapunov para cociclos a tempo discreto é razoavelmente entendido, o mesmo não se passa quando consideramos o comportamento de sistemas de equações diferenciais lineares At :M SL(d,R),t . Em conjunto com Mário Bessa (CMUP-Universidade do Porto) R pretendemos mostrar que, quando um dado fluxo t :M M apresenta uma forma fraca de hiperbolicidade, a maioria dos sistemas diferenciais lineares (A )t t Hölder contínuos apresentam algum expoente de Lyapunov positivo. A situação é contrastante quando consideramos cociclos contínuos. Na direção oposta, apesar da maioria dos cociclos contínuos apresentarem todos expoentes de Lyapunov zero pretendemos estudar a existência de um conjunto denso que apresente espectro de Lyapunov simples. Como consequência mostraremos que muitos modelos provenientes da engenharia, física e biologia (por exemplo, modelos para evolução populacional) apresentam caráter caótico.
Por outro lado pretendemos buscar modelos simples e persistentes (medida positiva no conjunto de parâmetros) nos quais a composição de famílias quadráticas fa()(x)1a()x2 quando o parâmetro a() é dado por uma função também ela quadrática a()1b2 e não-uniformemente expansora. Pretendemos portanto entender a existência de expoentes de Lyapunov positivos e a construção de medida SRB na ausência de decomposição dominada (forma fraca de hiperbolicidade). Mais ainda, num contexto não-uniformemente hiperbólico o estudo da dimensão de Hausdorff de repulsores será de grande valia para melhor entedimento da dinâmica. Uma modelagem computacional em conjunto com alunos de iniciação científica será de grande valia para um entendimento profundo desta classe de sistemas dinâmicos.
2. Metodologia
Descrição da maneira como serão desenvolvidas as atividades para se chegar aos objetivos propostos. Indicar os materiais e métodos que serão usados.
Os métodos teóricos utilizados serão principalmente da Teoria Ergódica, Teoria da Dimensão, Teoria de Cociclos, e métodos de exclusão de parâmetros (introduzido por M. Benedicks e L. Carleson para família quadrática e atratores de Hénon). O modelamento numérico-computacional do problema serão efetuados utilizando os programas Maple e Mathematica, que apresenta várias facilidades e mecanismos para este tipo de trabalho.
3. Viabilidade e Financiamento
Argumentação clara e sucinta, demonstrando a viabilidade do projeto e seus financiamentos (se existentes) com fonte e período de execução.
Viabilidade. Após o desenvolvimento do formalismo termodinâmico para sistemas dinâmicos uniformemente hiperbólicos na década de setenta do século passado principalmente por D. Ruelle e posteriormente por R. Bowen e Y. Sinai, o estudo de dinâmicas além do contexto uniformemente hiperbólico permaneceu muito intocado. De fato, estes sistemas contemplam fenômenos importantes que aparecem na termodinâmica física como a transição de fase. Duas das dificuldades enfrentadas prendem-se com a falta de modelos simples de dinâmicas não-uniformemente hiperbólicas e a dificuldade em mostrar essa hiperbolicidade não uniforme porque se espera que seja persistente mas não robusta. Os trabalhos pioneiros [BC1,BC2] garantiram exemplos de hiperbolicidade não-uniforme na família quadrática e família de Hénon. Baseado nestes trabalhos, em [V1] o autor contruiu atratores robustos multidimensionais com hiperbolicidade não uniforme. O caráter robusto é devido à presença de decomposição dominada, algo que não acontece nos produtos cruzados de famílias quadráticas. Nesta nova classe de exemplos não se pode esperar robustez mas persistência de expoentes positivos (conjunto de medida positiva de parâmetros). Na ausência de dominação, a extensão de [V1] a esta nova classe de sistemas não é possível sem uma forte reestruturação e as simulações numéricas são essenciais para compreender os novos fenómenos. Parece viável que o método de exclusão de parâmetros desenvolvido por Benedicks e Carleson seja adaptado para lidar com este problema.
No caso de sistemas dinâmicos a tempo contínuo, aparecem dificuldades extra devidas a questões topológicas no espaço dos fluxos. Recentemente tem havido um interesse crescente em entender a termodinâmica de fluxos não-uniformemente hiperbólicos bem como a construção de exemplos relevantes. Em particular, é essencial saber com que generalidade há alguma hiperbolicidade. Segue de [BV1] que a maioria (conjunto residual) de cociclos contínuos a tempo discreto tem todos os expoentes zero. Porém, motivados por um critério devido a Furstenberg para produtos aleatórios de matrizes e por [AC] acreditamos possível mostrar a densidade de cociclos com algum expoente não nulo. Quando o espaço de cociclos é mais regular, por ex Hölder, então segue de [BGV,BV,V2] que a maioria (aberto e denso) de cociclos tem algum expoente não nulo. Motivados pelo formalismo termodinâmico para semifluxos de suspensão e em colaboração com Mário Bessa (CMUP-Universidade do Porto) pretendemos estender os resultados anteriores ao caso de semi-fluxos de suspensão, onde as dificuldades que surgem novamente a nível perturbativo
parecem ser contornáveis usando novas técnicas. Este é um primeiro passo no entendimento cociclos Hölder a tempo contínuo.
Financiamento. Para o desenvolvimento do projeto contamos com os equipamentos obtidos pelo projeto Desenvolvimento Integrado de Sistemas Dinâmicos e Geometria Diferencial na Bahia (PADCT 620037/2004-0), que é uma parceria com o IMPA (Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada) e é financiado pelo CNPq. Contamos, com o projeto PROCAD/CAPES intitulado Fortalecimento da Matemática no eixo Alagoas Bahia e o projeto Pesquisa Integrada em Sistemas Dinâmicos no Nordeste (MCT/CNPq 02/2006 - Universal).
4. Resultados e impactos esperados
Relação dos resultados ou produtos que se espera obter após o término da pesquisa.
Resultados esperados:Publicação dos resultados em revistas especializadas.
Impactos esperados: A junção desta pesquisa promete fornecer um entendimento mais completo acerca da caoticidade e termodinâmica de sistemas dinâmicos a tempo contínuo e também de acoplamentos de famílias quadráticas por transformações com fraca hiperbolicidade. Tal teoria compreende uma classe bem ampla e flexível de sistemas dinâmicos, o que possibilita várias novas aplicações em outras áreas como biologia, medicina, engenharia, etc.
5. Cronograma de execução
Relação itemizada das atividades previstas, em ordem seqüencial e temporal, de acordo com os objetivos traçados no projeto e dentro do período proposto.
-Segundo semestre de 2009
1. Redução do estudo de cociclos sobre fluxos não-uniformemente hiperbólicos ao estudo de aplicações discretas usando seções de Poincaré.
2. Construção de técnica perturbativa sobre geradores infinitesimais garantindo um critério para a não existência de todos os expoentes nulos.
3. Preparação de um artigo para publicação com os resultados obtidos nesta primeira parte do projeto.
-
Primeiro semestre de 20101. Modelar exemplos simples em que o acoplamento puramente dinâmico e puramente termodinâmico se relacionem. Primeiro tentaremos em aplicações do intervalo para que o espaço de fase da dinâmica produto seja um quadrado no plano, desta maneira fica mais fácil de fazer experimentos computacionais.
2. Simulações computacionais para calibragem dos modelos de dinâmicas acopladas de famílias quadráticas no plano.
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Segundo semestre de 20101. Preparação de um artigo para publicação com os resultados finais do projeto.
6. Referências bibliográficas (máximo de 10 referências)
Relação itemizada das referências que subsidiam a proposta de pesquisa, colocando as mais importantes.1. [AC] L. Arnold and N. D. Cong, Linear cocycles with simple Lyapunov spectrum are dense in L, Ergod. Th. & Dynam. Sys., 19, (1999), 1389-1404.
2. [BC1] M. Benedicks and L. Carleson, On iterations of 1 ax 2, Annals of Math., 122, (1985), 1-25.
3. [BC2] M. Benedicks and L. Carleson, The dynamics of the Hénon map, Annals of Math., 133, (1991), 73-169.
4. [BY] M. Benedicks and L.-S. Young, SBR measures for certain Hénon maps, Invent. Math., 112, (1993), 541-576.
5. [BV1] J. Bochi and M. Viana, Uniform (projective) hyperbolicity or no hyperbolicity: a dichotomy for generic conservative maps, Ann. Inst. H. Poincaré - Anal. Non Linéaire, 19, (2002), 113-123.
6. [BV2] C. Bonatti and M. Viana, Lyapunov exponents with multiplicity 1 for deterministic products of matrices, Ergod. Th. & Dynam. Sys, 24, (2004), 1295-1330.
7. [BGV] C. Bonatti, X. Gómez-Mont and M. Viana, Génericité d'exposants de Lyapunov non-nuls pour des produits déterministes de matrices, Ann. Inst. H. Poincaré - Anal. Non Linéaire, 20, (2003), 579-624.
8. [V1] M. Viana, Multidimensional nonhyperbolic attractors, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math., 85, (1997), 63-96.
9. [V2] M. Viana, Almost all cocycles over any hyperbolic system have non-vanishing Lyapunov exponents, Annals of Math. (to appear).
10. [Y] L.-S. Young, Statistical properties of dynamical systems with some hyperbolicity, Ann. Math. 147 (1998), 585-650.
