Introdução: Revisão sobre Sistemas de Coordenadas em Fotogrametria

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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA "JÚLIO DE MESQUITA FILHO” Faculdade de Ciências e Tecnologia

Introdução: Revisão sobre Sistemas de Coordenadas em

Fotogrametria e Equações de Colinearidade

Notas de aula: Fotogrametria III

Este material constitui material complementar ao desenvolvido na disciplina Fotogrametria III, ministrada no Curso de Graduação em Engenharia Cartográfica da UNESP/FCT – Faculdade de Ciências e Tecnologia, Campus de Presidente Prudente – SP. Autor: Prof. Mauricio Galo

Departamento de Cartografia

Presidente Prudente 2017

Introdução: Revisão sobre Sistemas

de Coordenadas em Fotogrametria

1 Introdução

Quando se trabalha com a determinação de coordenadas, posicionamento e representação de dados espaciais, a definição de sistemas de coordenadas é essencial. Em ciências como a Cartografia, Geodésia, Astronomia, Fotogrametria, etc, diversos sistemas de coordenadas são utilizados e o relacionamento entre eles é freqüentemente necessário.

Segundo Lugnani (1987), ao definir um sistema de referência deve-se, na maioria das vezes, fazer algumas simplificações, sendo estas simplificações funções de fatores como:

• Adequação ao nível didático;

• Qualidade exigida dos valores processados; • Complexidade da definição do sistema;

• Complexidade do(s) modelo(s) matemático(s) envolvido(s).

Deste modo, muitas vezes em Fotogrametria são realizadas algumas simplificações na definição de sistemas de coordenadas. Na sequência são apresentados alguns dos sistemas de coordenadas mais utilizados em Fotogrametria, sendo eles divididos em três categorias: sistemas de máquina ou instrumentais, sistemas do espaço imagem e sistemas do espaço objeto.

1.1 Sistemas de máquina ou instrumentais

São sistemas de coordenadas associados aos instrumentos Fotogramétricos, sejam eles: trianguladores, monocomparadores, estereocomparadores, etc. Estes sistemas podem ser planos (ℜ2) ou tridimensionais (ℜ3_{), conforme o instrumento considerado.}

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Notas de Aula de Fotogrametria / 2017 / Dep. de. Cartografia / Prof. Mauricio Galo 2

Sistema de Coordenadas do Comparador (ou Instrumental)

Os comparadores, sejam eles mono ou estéreo, são instrumentos utilizados para a medição de coordenadas planas ou bidimensionais (ℜ2_{). O sistema de eixos pode ser considerado ortogonal e sua}

origem normalmente é arbitrária, ou seja, cada instrumento tem a sua origem. Além disso, cada instrumento tem suas particularidades. Por exemplo, o STECOMETER (Zeiss) pode funcionar tanto como monocomparador quanto como estereocomparador. Quando atua no modo estéreo ele não fornece diretamente as coordenadas (x,y)e de um ponto na foto da esquerda e as coordenadas (x,y)d na

foto da direita. Ele fornece algumas coordenadas bem como as paralaxes em x e y, devendo as coordenadas restantes serem calculadas indiretamente, a partir destes valores.

Designando os eixos do sistema cartesiano associados aos instrumentos por xM e yM, eles são

normalmente orientados de tal modo que de xM para yM se tem uma rotação de 90o, no sentido

anti-horário. A Figura 1.1 ilustra o sistema de coordenadas de máquina ou instrumental, sendo a origem localizada num ponto arbitrário.

xM 1 2 3 4 yM O

Figura 1.1 - Sistema de coordenadas do comparador. 1.2 Sistemas do espaço imagem

O espaço imagem é o espaço compreendido entre o ponto nodal posterior do sistema de lentes e o plano do negativo, bem como o espaço correspondente para o caso do diapositivo.

Sistema de Coordenadas Fiducial

É um sistema de coordenadas bidimensional (ℜ2_{) no qual a origem do sistema se localiza no}

centro fiducial (CF) e onde o eixo xF tem a direção da linha que une as marcas fiduciais mais próximas

da linha de vôo, sendo as coordenadas xF positivas neste sentido. O eixo yF é posicionado de tal modo

que de xF para yF se tem uma rotação anti-horária de 90º, como ilustra a Figura 1.2.

xM 1 2 3 4 yM xF yF CF

Figura 1.2 - Sistema de coordenadas do comparador (x,y)M e fiducial (x,y)F, para o caso em que as

marcas fiduciais são localizadas nas laterais do quadro fotográfico.

É relevante observar que na definição apresentada acima são levadas em conta apenas as duas marcas fiduciais opostas, que mais se aproximam da linha vôo, sendo as demais ignoradas. Deste modo não se pode afirmar que o eixo yF passa exatamente pelas marcas fiduciais 2 e 4. A Figura 1.3

mostra umas destas marcas, de modo ampliado, ilustrando esta possível situação.

Figura 1.3 - Detalhe da Figura 1.2 no qual é mostrada a marca fiducial de número 2. No caso de fotos obtidas com câmaras onde as marcas fiduciais são localizadas nos cantos, e não nas laterais, a definição anterior é mantida, sendo aplicada uma rotação adicional de 45o aos eixos, como mostra a Figura 1.4. Esta rotação pode ser tanto no sentido horário quanto anti-horário, dependendo da diagonal escolhida. No caso mostrado na Figura 1.4 a rotação se dá no sentido horário, em relação à diagonal.

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xM 45o yM xF yF CF

Figura 1.4 - Sistema fiducial para o caso de câmaras que possuem as marcas fiduciais nos cantos do quadro fotográfico.

Sistema Fotográfico de Coordenadas do Diapositivo

É um sistema de coordenadas tridimensional no qual a origem coincide com o ponto nodal anterior, designado de modo simplificado como Centro Perspectivo (CP), e os eixos x e y são paralelos aos eixos xF e yF do sistema fiducial. O eixo z é definido de tal modo que o sistema seja dextrogiro,

possuindo a direção do eixo óptico do sistema de lentes. Este sistema é geralmente adotado nos sistemas analíticos e é comum ser chamado de sistema de coordenadas Fotogramétrico. A Figura 1.5 ilustra este sistema.

x y z CP=0 pp f • xF yF Diapositivo

Figura 1.5 - Sistema fotográfico de coordenadas do diapositivo, ou sistema Fotogramétrico. Conhecidas as coordenadas de um ponto qualquer sobre o quadro fotográfico, no sistema fiducial (x,y)F, pode-se determinar as coordenadas deste ponto no sistema Fotogramétrico da seguinte

maneira: f z y y y x x x 0 F 0 F − = − = − = (1.1) onde:

- f é a distância focal ou constante da câmara.

O sistema correspondente ao anterior, para o caso do negativo fotográfico, tem origem no ponto nodal posterior e os eixos x e y sofrem uma reflexão, como ilustra a Figura 1.6. No caso do negativo a coordenada z de cada um dos pontos situados no plano do negativo assumirá o valor f, ao invés de -f. x y z CP=0 pp • Negativo

Figura 1.6 - Sistema fotográfico de coordenadas do negativo.

Como leituras adicionais sobre o assunto, as seguintes referências são sugeridas: Lugnani (1987) e Andrade (2003).

Sistema de Imagem

Por sistema de imagem considera-se o sistema associado a uma imagem digital. Imagem digital pode ser definida como um conjunto de elementos de imagem (pixels) espacialmente ordenados, em um arranjo matricial, no qual a posição de cada elemento é dada por um par ordenado (coluna,linha) ou (x,y), sendo que a cada elemento de imagem é associado um tom de cinza, expresso genericamente por g(x,y) ou g(c,l). Normalmente o centro do pixel situado no canto superior esquerdo coincide com a origem deste referencial, como ilustra a Figura 1.7.

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Notas de Aula de Fotogrametria / 2017 / Dep. de. Cartografia / Prof. Mauricio Galo 6 Colunas (c) Linhas (l) g(c,l) Elemento (0,0)

Figura 1.7 - Sistema de imagem.

Na figura anterior considerou-se uma imagem genérica, que pode ser adquirida diretamente por uma câmara digital ou pode ser o resultado da digitalização de uma fotografia em papel (ou película fotográfica), seja em negativo ou diapositivo, a partir de um dispositivo como um scanner, por exemplo. Na figura seguinte é mostrada (de forma esquemática) uma imagem digital, obtida pela digitalização de um par de fotografias, métricas, onde podem ser observadas quatro marcas fiduciais, nos cantos das foto, bem como os limites da foto.

Coluna

xF

yF

CF

Linha

Figura 1.8 – Foto aérea com quatro marcas fiduciais após a digitalização.

Uma vez que as medidas feitas sobre as imagens estão referidas ao sistema (c,l), ou (coluna,linha), para fazer a transformação para o sistema de coordenadas fiducial (xF,yF), como

mostrado na Figura 1.8, deve-se aplicar uma transformação plana, como por exemplo uma transformação afim. Para a determinação dos parâmetros desta transformação, ou de outra transformação escolhida, é necessário conhecer as coordenadas das marcas fiduciais, no sistema fiducial, que pode ser obtida a partir do certificado de calibração da câmara, bem como as coordenadas das marcas fiduciais, medidas na imagem. Deste modo, os parâmetros desta transformação podem ser estimados a partir do ajustamento usando o critério dos mínimos quadrados (MMQ).

Considerando que a imagem foi adquirida diretamente a partir de uma câmara digital, onde os sensores são do tipo CCD (Charge Couple Device), ou CMOS (Complementary Metal Oxide

Semiconductor), o sistema equivalente ao fiducial pode ser considerado como sendo o sistema com origem no centro da matriz de sensores, cuja posição será dada por (cx,cy) como mostrado na Figura

1.9. x=j=coluna y=i=linha xF yF (cx,cy) Centro da imagem 0 W-1 0

H-1 W: número de colunas _(largura) H: número de linhas (altura)

Figura 1.9 - Sistemas de imagem e sistema dextrogiro com origem no centro da imagem. Assumindo que a imagem adquirida possua W colunas e H linhas, a posição (cx,cy) poderá ser

calculada por: 2 1 H c 2 1 W c y x − = − = . (1.2)

Uma vez medido um pixel na posição (coluna,linha)=(c,l), para transformá-lo para o sistema (xF,yF) deve fazer translações em c e l e uma reflexão no eixo y. Deste modo, as coordenadas (xF,yF),

na unidade pixel, de um ponto situado na posição (c,l) poderão ser obtidas por:

      − − − =       ) c l ( c c y x y x F F . (1.3)

As coordenadas obtidas pela Equação 1.3 estão na unidade pixel. Para transformá-las para grandezas no sistema métrico é necessário conhecer as dimensões dos pixels em x e y. Se as dimensões em x e y forem representadas respectivamente por Sx e Sy, as coordenadas (xF,yF) podem

ser calculadas por:

          − − − −       − =                         − − −             − − =       2 1 H l 2 1 W c S 0 0 S 2 1 H l S 2 1 W c S y x y x y x F F . (1.4)

A partir da Equação 1.4 pode-se obter a equação inversa, que permite o cálculo das coordenadas (c,l) a partir de (xF,yF), W, H, Sx e Sy, ou seja:

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          − − +             − =       2 1 H2 1 W y x S / 1 0 0 S / 1 l c F F y x . (1.5)

1.3 Sistemas do espaço objeto

Por espaço objeto pode-se considerar a região que envolve o ponto nodal anterior e todos os pontos do espaço fotografado. Vários são os sistemas do espaço objeto que podem ser utilizados e dentre eles pode-se destacar o Sistema Geodésico Cartesiano, o Sistema UTM e o Sistema Cartesiano Local.

Coordenadas Geodésicas e o Sistema Geodésico Cartesiano

O sistema geodésico cartesiano é um sistema que tem origem no centro do elipsóide adotado como modelo geométrico para a superfície terrestre e sobre o qual são normalmente realizados os cálculos em Geodésia. O eixo X se localiza sobre o plano do equador e dirigido para o meridiano de Greenwich e o eixo Z é dirigido para a origem convencional internacional (CIO - Conventional International Origin). O eixo Y do sistema é disposto de tal modo que torna o sistema dextrogiro, como ilustra a Figura 1.10.

λ ϕ a b Equador P(X,Y,Z) Z X Y Z Meridiano de Greenwich h

Figura 1.10 - Sistema geodésico cartesiano e as coordenadas geodésicas.

As coordenadas de um ponto genérico P da superfície física podem ser univocamente expressas através das coordenadas Geodésicas, ou Elipsoidais (ϕ,λ,h), e também através das coordenadas geodésicas cartesianas. As coordenadas geodésicas podem ser definidas da seguinte maneira:

Latitude Geodésica (ϕ) • É o ângulo que a normal ao elipsóide, passante por P, forma com a sua projeção equatorial. O sentido de contagem das

latitudes é tal que para o hemisfério norte as latitudes são positivas e para, o hemisfério sul, negativas.

Longitude Geodésica (λ) • Ângulo compreendido entre o meridiano de Greenwich e o meridiano que passa pelo ponto P. As longitudes, a leste de Greenwich, são convencionadas positivas.

Altitude Geométrica (h)1 _{• É a distância do ponto P ao elipsóide, contado sobre a normal.}

As coordenadas cartesianas (X,Y,Z) do ponto P podem ser obtidas a partir das coordenadas geodésicas (ϕ,λ,h), através de:

(

)

(

)

(

)

[

]

         ϕ + − λ ϕ + λ ϕ + =           sen h e 1 N sen cos h N cos cos h N Z Y X 2 (1.6) onde:

- N é o raio de curvatura da seção normal (ou grande normal), função de a, e, e ϕ; - a é o semi-eixo maior do elipsóide de referência;

- e é a excentricidade do elipsóide de referência.

Definidos os parâmetros (a,e) do elipsóide e dada uma latitude (ϕ), a grande normal pode ser obtida por: ϕ − = 2 2_sen e 1 a N . (1.7)

O sistema geodésico cartesiano é comumente empregado em Geodésia, mas oferece algumas dificuldades quando utilizado em Fotogrametria. Uma das dificuldades está na determinação das coordenadas aproximadas dos pontos numa aerotriangulação. Um outro fator é a própria grandeza das coordenadas, que faz com que o esforço computacional seja maior, além de dificultar a análise dos resultados.

Sistema UTM - Universal Transverso de Mercator

É um sistema do espaço objeto, associado a uma projeção cartográfica, que é obtido pela projeção dos pontos do elipsóide de revolução sobre um cilindro secante, que por sua vez é

1

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desenvolvido no plano. Este sistema faz parte de uma categoria de sistemas de projeções, as projeções conformes, no qual a propriedade fundamental é a preservação da forma de pequenas áreas. Nesta projeção as coordenadas de um ponto são representadas por (E,N), que podem ser calculadas a partir das coordenadas no sistema transverso de Mercator (TM) por:

      +             =       000 . 500 000 . 000 . 10 y x 9996 , 0 0 0 9996 , 0 E N TM TM , (Hemisfério Sul) (1.8) ou       +             =       000 . 500 0 y x 9996 , 0 0 0 9996 , 0 E N TM TM . (Hemisfério Norte) (1.9)

Por sua vez as coordenadas no sistema transverso de Mercator (xTM,yTM) podem ser obtidas a

partir das coordenadas Geodésicas (ϕ,λ), como pode ser visto, por exemplo, na formulação apresentada por Blachut et al. (1979). Pode-se notar que as coordenadas no sistema UTM se referem a um sistema cartesiano e através delas pode-se obter a posição da projeção de um ponto sobre o elipsóide de revolução. Assim, é necessária uma terceira componente a fim de que se tenha a determinação unívoca de um ponto sobre a superfície física. Esta terceira componente pode ser a altitude, seja ela geométrica (h), ou ortométrica (H). Desta maneira, ao se utilizar o terno (E,N,h), ou seja, a combinação UTM-h, ou UTM-H para o terno de coordenadas (E,N,H), um ponto da superfície física poderá ser univocamente determinado.

A combinação UTM-h (ou UTM-H) pode ser caracterizada como um sistema híbrido, uma vez que é composto por superfícies de referência de diferentes características. As coordenadas (E,N) são coordenadas cartesianas e as altitudes são obtidas a partir das distâncias dos pontos da superfície física a uma superfície não plana, i. e., o geóide no caso de H e o elipsóide no caso de h. A utilização de coordenadas planas (E,N), juntamente com h ou H, em alguns procedimentos, como por exemplo a fototriangulação, provoca efeitos sistemáticos, principalmente no caso de extensos blocos de fotografias.

Como discutido anteriormente, o uso de sistemas híbridos não é totalmente adequados para a utilização em alguns procedimentos Fotogramétricos e uma alternativa é a adoção de um sistema cartesiano local, que será descrito na seqüência.

Sistema Cartesiano Local2

O sistema cartesiano local pode ser definido a partir dos seguintes elementos:

2_{A designação sistema geodésico cartesiano local é também utilizada por alguns autores, como por exemplo em}

Andrade (1998, pág. 75).

- origem - sobre a superfície do elipsóide (ou sobre um ponto de altitude geométrica h0);

- eixo Z - direção da normal passante pelo ponto origem; - eixo Y - direção do norte geodésico;

- eixo X - orientado de tal modo que o sistema seja dextrogiro.

Na realidade, a origem do sistema local não precisa ser definida rigorosamente sobre a superfície do elipsóide, podendo ser definida sobre o geóide, ou mesmo sobre a superfície física, ficando esta escolha a critério do Fotogrametrista. A Figura 1.11 ilustra o sistema cartesiano local, onde a origem é considerada sobre um ponto genérico de altitude geométrica h0.

PN PS λ0 ϕ0 a b Equador X Y Z h0 • XL YL ZL • • OL O

Figura 1.11 - Sistema cartesiano local.

As coordenadas no sistema local podem ser determinadas a partir das coordenadas cartesianas geodésicas por meio de rotações e translações. Designando as coordenadas geodésicas da origem do sistema local como sendo (ϕ0,λ0,h0) pode-se, pelas Equações 1.6, calcular as coordenadas cartesianas

do ponto origem (X0,Y0,Z0). Considerando um ponto genérico P, pode-se representar os vetores que

ligam este ponto, tanto à origem do sistema local (OL), quanto à origem do sistema geodésico (O),

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PN PS λ0 ϕ0 a b Equador X Y Z h0 • XL YL ZL • • OL O P(XL,YL,ZL)

Figura 1.12 - Sistema Cartesiano Local e os vetores que determinam os segmentos OO , L OLP e

OP.

A partir da Figura 1.12 pode-se observar que a seguinte equação vetorial é válida:

L

LP OP OO

O = − . No entanto, cada um dos termos pode ser expresso em função de suas componentes, ou seja:           = L L L L Z Y X P O (1.10) e           − − − = − 0 0 0 L Z Z Y Y X X OO OP . (1.11)

Na expressão 1.10 cada uma das componentes está referida ao sistema cartesiano local OL(XL,YL,ZL), enquanto que na Equação 1.11 as componentes são relativas ao sistema geodésico

cartesiano, que não são paralelos entre sí. Portanto, as Equações 1.10 e 1.11 não podem ser igualadas, a menos que as rotações que deixam paralelos os dois sistemas sejam consideradas. Para que o sistema geodésico cartesiano fique paralelo ao sistema local, as seguintes rotações podem ser aplicadas:

- rotação em torno de Z, sentido anti-horário, de um ângulo igual a π/2+λ0 e

- rotação em torno de X, sentido anti-horário, de um ângulo igual a π/2-ϕ0.

Deste modo, a expressão que permite relacionar as coordenadas geodésicas cartesianas, com as coordenadas no sistema cartesiano local, podem ser escritas por:

          − − − λ + π ϕ − π =           ϕ λ 0 0 0 ) , ( R 0 3 0 1 L L L Z Z Y Y X X ) 2 ( R ) 2 ( R Z Y X ₆₄₄₄₄₇0₄0 ₄₄₄₈ . (1.12)

Lembrando que as rotações em torno dos eixos X, Y e Z são dadas respectivamente pelas matrizes de rotação           κ κ − κ κ = κ           ϕ ϕ ϕ − ϕ = ϕ           ω ω − ω ω = ω 1 0 0 0 cos sen 0 sen cos ) ( R e cos 0 sen 0 1 0 sen 0 cos ) ( R , cos sen 0 sen cos 0 0 0 1 ) ( R1 2 3 , (1.13)

o produto das matrizes R1(π/2-ϕ0) R3(π/2+λ0) resultará em:

          ϕ λ ϕ λ ϕ ϕ λ ϕ − λ ϕ − λ λ − = λ + π ϕ − π = λ ϕ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 1 0 0 sen sen cos cos cos cos sen sen cos sen 0 cos sen ) 2 ( R ) 2 ( R ) , ( R . (1.14)

Portanto, definidas as coordenadas geodésicas do ponto origem (ϕ0,λ0,h0), deve-se obter as

coordenadas cartesianas (X0,Y0,Z0) pela Equação 1.6, montar a matriz R(ϕ0,λ0) pela Equação 1.14 e

para cada ponto do espaço objeto, calcular as coordenadas no sistema cartesiano local usando a Equação 1.12.

A transformação inversa, ou seja, do sistema cartesiano local para o sistema geodésico, pode ser feita a partir da equação inversa à 1.12:

          +           λ ϕ =           − 0 0 0 L L L 0 0 1 Z Y X Z Y X ) , ( R Z Y X . (1.15)

Uma vez obtidas as coordenadas geodésicas cartesianas (X,Y,Z) pode-se necessitar das coordenadas geodésicas (ϕ,λ,h). Para tanto deve ser efetuada a transformação inversa à representada pela Equação 1.6. Neste caso, não existe a transformação inversa à dada pela Equação 1.6 de modo direto e rigoroso. Para tanto, deve-se aplicar um procedimento iterativo, ou aplicar uma solução não rigorosa, como pode ser visto em Soler et al. (1988).

Para o cálculo da longitude pode-se utilizar a equação

X Y arctg =

λ , (1.16)

que é obtida pela razão entre a componente Y e X da Equação 1.6. Para o cálculo de ϕe h podem ser usadas as seguintes equações:

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Notas de Aula de Fotogrametria / 2017 / Dep. de. Cartografia / Prof. Mauricio Galo 14         + ϕ + = ϕ ϕ + ₂ ₂ i 2 1 i Y X sen e N Z arctg i _(1.17) e ϕ − ϕ + = N cos Y X h 2 2 . (1.18)

A Equação 1.16 permite o cálculo de λ diretamente, devendo-se analisar apenas o quadrante através dos sinais de Y e X. No entanto, na Equação 1.17 a latitude ϕi+1 é função da latitude ϕi. Neste

caso deve-se adotar um valor inicial para a latitude e com este valor calcular ϕi+1, e assim

sucessivamente. Quando o valor de ϕ_i₊₁−ϕ_i for menor que uma tolerância pré-estabelecida, o procedimento iterativo é finalizado e passa-se para o cálculo da altitude pela Equação 1.18.

Como leituras adicionais referentes aos assuntos tratados neste tópico, a seguintes referências são sugeridas: Blachut et al. (1979), Lugnani(1987), Soler et al. (1988), Andrade (2003) e Monico (2000).

1.4 Equações de colinearidade

Nas seções anteriores foram apresentados alguns sistemas de coordenadas e também algumas transformações de coordenadas. Uma relação extremamente utilizada em Fotogrametria é aquela que envolve as coordenadas no espaço objeto e espaço imagem, conhecida como equações de colinearidade.

As equações de colinearidade podem ser consideradas como sendo as equações fundamentais da Fotogrametria. Elas podem ser deduzidas baseando-se na condição de que os seguintes pontos: imagem, centro perspectivo e o ponto objeto correspondente, pertençam a uma mesma reta suporte, daí o nome equação de colinearidade.

Considerando como sistema de coordenadas do espaço objeto um sistema cartesiano local, representado por (X,Y,Z) e um diapositivo, tem-se a Figura 1.13.

CP(Xcp,Ycp,Zcp) x y z O Y Z X P(X,Y,Z) Y X Ycp Xcp Zcp Z p

Figura 1.13 – Colinearidade entre o centro perspectivo (CP), ponto imagem (p) e ponto no espaço objeto (P).

Para a dedução das equações de colinearidade pode-se considerar a relação entre os vetores mostrados na Figura 1.14. CP x y z O Y Z X P Y X Ycp Xcp p

Figura 1.14 – Vetores ligando os pontos: O, CP e P. A partir desta figura pode-se escrever a seguinte igualdade vetorial:

P CP CP O

OP= + . (1.19) Por outro lado, pode-se escrever o vetor que liga os pontos CP e P como sendo o produto de um escalar k pelo vetor definido por CP e p, ou seja CP =P kCPp. Deste modo, a Equação 1.19 pode se escrita por:

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p CP k CP O OP= + . (1.20) Dos vetores presentes nesta equação, OP e OCP podem ser expressos em função das coordenadas no sistema do espaço objeto e o vetor CPp pode ser escrito em função das coordenadas no sistema fotogramétrico. Assim, isolando kCPp pode-se escrever:

CP O OP p CP k = − . (1.21) Portanto, para que os componentes sejam incorporados a todos os elementos da Equação 1.21, deve-se aplicar rotações no sistema de coordenadas do espaço objeto, de modo que eles se tornem paralelos. Assumindo as matrizes de rotação dadas pelas Equações 1.13 e a aplicação sucessiva das seguintes rotações:

- ω - em torno de X; - φ - em torno de Y; - κ - em torno de Z;

pode-se escrever a seguinte matriz de rotação:

          φ ω φ ω − φ κ ω + κ φ ω κ ω + κ φ ω − κ φ − κ ω + κ φ ω − κ ω + κ φ ω κ φ = ω φ κ = cos cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos sin sin sin sin cos sin sin cos sin cos sin . cos cos sin sin cos cos ) ( R ) ( R ) ( R M 3 2 1 . (1.22)

Considerando a matriz M e os componentes de cada um dos vetores na Equação 1.21, obtém-se:           − − −           =           − − − =           cp cp cp 33 32 31 23 22 21 13 12 11 cp cp cp Z Z Y Y X X m m m m m m m m m Z Z Y Y X X M z y x k . (1.23)

Desenvolvendo o produto matricial na equação anterior obtêm-se as seguintes equações para (x,y,z):

[

]

[

]

[

m (X X ) m (Y Y ) m (Z Z )

]

k z ) Z Z ( m ) Y Y ( m ) X X ( m k y ) Z Z ( m ) Y Y ( m ) X X ( m k x cp 33 cp 32 cp 31 1 cp 23 cp 22 cp 21 1 cp 13 cp 12 cp 11 1 − + − + − = − + − + − = − + − + − = − − − . (1.24)

Dividindo as duas primeiras equações pela terceira, fazendo as devidas simplificações e lembrando ainda da Equação 1.1, pode-se finalmente escrever as equações de colinearidade:

) Z Z ( m ) Y Y ( m ) X X ( m ) Z Z ( m ) Y Y ( m ) X X ( m f y y ) Z Z ( m ) Y Y ( m ) X X ( m ) Z Z ( m ) Y Y ( m ) X X ( m f x x cp 33 cp 32 cp 31 cp 23 cp 22 cp 21 0 F cp 33 cp 32 cp 31 cp 13 cp 12 cp 11 0 F − + − + − − + − + − − = − + − + − − + − + − − = . (1.25)

No desenvolvimento apresentado não foram consideradas as influências da refração atmosférica, as distorções radial simétrica e descentrada (provocadas pelo sistema de lentes), o trabalho do filme, etc. Deste modo, a Equação 1.25 reflete um caso ideal, no qual apenas a posição do ponto principal é considerada e as demais influências são desprezadas.

1.5 Referências bibliográficas

ANDRADE, J. B. de Fotogrametria. Curitiba: SBEE, 2003. 274p., 2003. (ISBN 85-86180-28-9) BLACHUT, T. J., CHRZANOWSKI, A., SAASTAMOINEN, T. J. Urban surveying and mapping. New York: Springer-Verlag, 1979.

LUGNANI, J. B.; Introdução à Fototriangulação. Curitiba: 134p., 1987.

MONICO, J. F. G.; Posicionamento pelo NAVSTAR-GPS, Descrição, fundamentos e aplicações. São Paulo: Editora Unesp, 2000. 287 p.

SOLER, T.; HOTHEM, L. D. Coordinate systems used in geodesy: basic definitions and concepts. Journal of Surveying Engineering, v. 114, n. 2, pp. 84-97. May, 1988.

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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA "JÚLIO DE MESQUITA FILHO” Faculdade de Ciências e Tecnologia

Introdução: Revisão sobre Sistemas de Coordenadas em

Fotogrametria

Exercícios sugeridos

Este material constitui material complementar ao

desenvolvido na disciplina Fotogrametria III,

ministrada no Curso de Graduação em Engenharia Cartográfica da UNESP/FCT – Faculdade de Ciências e Tecnologia, Campus de Presidente Prudente – SP. Autor: Prof. Mauricio Galo

Departamento de Cartografia

Presidente Prudente 2017

Exercícios Sugeridos

1) O resultado de uma aerotriangulação é um conjuntos de pontos com coordenadas tridimensionais num sistema cartesiano local (XL,YL,ZL)i, com i∈{1,2,...,n}, sendo n o número de pontos

aerotriangulados. Para que a restituição fotogramétrica possa ser realizada, seja num equipamento analógico, analítico ou em um Sistema Fotogramétrico Digital, o operador necessita das coordenadas destes pontos referidas ao sistema de coordenadas do espaço objeto, no qual o produto será gerado. Considerando que se deseja realizar uma restituição na Projeção UTM* e que a origem do sistema local seja expressa por (ϕ0,λ0,h0) pede-se:

a) descreva de modo detalhado os modelos matemáticos envolvidos na obtenção das coordenadas (E,N,h)i dos n pontos aerotriangulados, a partir das coordenadas no sistema local

(XL,YL,ZL)i.

Observação: As coordenadas (E,N)i são as coordenadas no sistema de projeção UTM*. A

descrição deve ser tal que se consiga, a partir dos modelos apresentados, realizar todos os cálculos.

* Neste exercício considerou-se a Projeção UTM devido ao fato dela ser largamente utilizada no país. No entanto outras projeções poderiam ser consideradas (Cônica Conforme de Lambert, Policônica, etc).

2) Com o objetivo de fazer a determinação da posição das marcas fiduciais para uma câmara métrica usada em fotogrametria foi adquirida uma imagem usando uma placa emulsionada. Nesta placa aparecem 4 marcas fiduciais e o ponto principal (pp). As coordenadas das 4 marcas, bem como do pp, foram medidas num sistema arbitrário, sendo calculados os valores médios baseados em uma série de observações, como mostra a tabela abaixo:

1 2 3 4 xM yM pp

Valores médios das coordenadas, no sistema de máquina Ponto XM (mm) YM (mm) 1 169,3345 -128,3949 2 44,6248 -206,3380 3 -33,3345 -81,6051 4 91,3627 -3,7607 pp 68,0442 -105,0307

Utilizando os dados da tabela acima pergunta-se:

a) Quais são as coordenadas das marcas fiduciais 1, 2, 3 e 4 no sistema fiducial ? b) Quais são as coordenadas do ponto principal (pp), no sistema fiducial ? Obs.: Apresente as coordenadas em mm, com três casas decimais.

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3) Considerando que um sistema sensor do tipo CCD possui elementos de imagens de dimensão 13µm x 13µm, que a distância focal deste sistema seja 1082mm e que o sensor se localiza a uma altura aproximadamente 830km da superfície terrestre, pergunta-se:

a) Qual a área de cobertura por um elemento de imagem, em metros? Resposta: 10 x 10m.

Obs.: Estes dados se referem ao sistema HRV do SPOT.

4) Você tem disponível uma câmara digital com 4500 (h) x 3000 (v) pixels. Sabendo que a matriz dos CCDs desta câmara possui dimensão 36 mm x 24 mm e que a posição do ponto principal em relação ao centro da imagem seja

x0 = -0,045mm

y0 = 0,068mm

pede-se:

a) Quais são as coordenadas de um pixel situado na posição (c,l)=(4305, 299) no sistema “fotogramétrico”? Expresse as coordenadas obtidas na unidade mm, com três casas decimais. b) A partir das coordenadas obtidas no item anterior, trunque as coordenadas expressando-as na unidade mm com uma cada decimal e recalcule as coordenadas (c,l) usando estes valores. c) Compare as coordenadas obtidas no item anterior com as coordenadas (c,l) originais e faça uma análise do resultado obtido.