Acilina Azenha, Maria Amélia Jerónimo-Elementos de Calculo Diferencial e Integral Em R e Rn-McGraw-Hill (1995)

(1)

(2)

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(5)

lculo iferenci 1

e

l

n

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1 m

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Maria Amélia Jerón

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McGRAW

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HllL

LISBOA• SÃO PAULO• BOGOTÁ., BUENOS AIRES s GUATEMALA

MADRID .. MÉXICO ª NOVA IORQIJE @ PANAMÁ 9 SAN JUAN .. SANTIAGO

AUCKLAND @ HAMBURGO e KUALA LUMPUR @ LONDRES MILÃO • MONTREAL" NOVA DEU G PARIS " SINGAPURA .. SYDNEY

(6)

McGraw-Hill

A Division ofThe McGraw-Hill Co111pa11ies'i2,

ELEMENTOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL em IR e IRN

Todos os direitos para a Língua Portuguesa reservados pela Editora McGraw-Hill de Portugal, L.dª

Estrada de Alfragide, Edifícios Mirante, Bloco A-1 2720 ALFRAGIDE - Portugal

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Depósito legal: 115216/97 ISBN: 972-8298-03-X 1E2PO 1062M03T5 1E3P02082M05T5

Capa: Pedro Matos

Composição e Paginação: Neograf - Artes Gráficas, L.da Impressão: Tipografia Lousanense, L.dª

(7)

Re

ferê

m::ia

Acilina do Nascimento C. Rodrigues Azenha, Professora Adjunta do Quadro do Instituto

Superior de Engenharia de Lisboa (ISEL), do Instituto Politécnico de Lisboa, lecciona no ISEL

desde Maio de 1986 e lecciona no Depaitamento de Matemática do Instituto Superior Técnico (IST)

desde Janeiro de 1974. É licenciada em Matemática pela Faculdade de Ciências de Lisboa e obteve

o grau de Mestre em Matemática Aplicada no Instituto Superior Técnico, em Janeiro de 1988.

Maria Amélia G. Brandão Jerónimo, Professora Coordenadora do Quadro do Instituto Superior de Engenharia de Lisboa (!SEL), do Instituto Politécnico de Lisboa, representante da área de

Mate-mática no Conselho Científico do ISEL, onde lecciona desde 1974, Professora do Ex-Instituto Ind

us-trial de Lisboa, de 1966 a 1974. Licenciada em Matemática pela Faculdade de Ciênciar,; de Lisboa.

Embora, ambas as autoras tenham participado na elaboração de todo o livro, em particular

nos Capítulos

m

e VIII, a concepção e estrutura básicas dos Capítulos I, IV e VII devem-se a Acilina

(8)

(9)

Este livro destina-se aos que estudam as matérias tradicionais nas disciplinas de Matemática nos dois primeiros anos do Ensino Superior, principalmente Politécnico. Poderá, no entanto, ser útil a alunos de cursos universitários como, por exemplo, Engenharia, Gestão, Economia, ou Matemática, como complemento de textos mais avançados, pois contém mais de 500 exemplos resolvidos e exercícios propostos com resposta.

Para os que consideram que os alunos de Engenharia do ensino politécnico poderiam dis

-pensar a Matemática como disciplina autónoma, faz-se notar que treinar os alunos no uso de receitas, fórmulas e tabelas cuja fundamentação desconhecem, não os ajuda a enfrentar na sua vida profissio-nal os constantes avanços da ciência e da técnica, nem a adaptar-se a mudanças de funções profis-sionais. Não nos podemos limitar a ensinar e automatizar os tópicos que as disciplinas da espe-cialidade exigem. É necessária uma formação matemática coerente em que os alunos percebam como funcionam os métodos e quais as suas limitações, de forma a poderem adaptá-los a novas situações.

Além disso, é de salientar que os conceitos matemáticos exigem uma compreensão progres-siva e amadurecimento de ideias, pelo que é impensável uma preparação intensiva de última hora. Assistir às aulas ou ler resoluções de exercícios é manifestamente insuficiente, pois é ao resolver sozinho os exercícios que o aluno se apercebe das dificuldades da matéria, sentindo então a neces

-sidade de consultar os livros ou procurar a ajuda do professor.

Os conhecimentos mínimos necessários à compreensão das matérias versadas neste livro são os que normalmente se exigem nas provas especificas de matemática de acesso ao ensino superior. É claro que os alunos que necessitem podem consultar outras obras onde estas matérias são tratadas de forma mais ligeira. Os alunos interessados poderão aprofundar e aperfeiçoar os conceitos teó1icos. estudados. Tanto a uns como a outros, recomenda-se a consulta das obras indicadas na bibliografia. Este texto baseia-se nas aulas teórico-práticas que as autoras têm leccionado no Instituto Superior de Engenharia de Lisboa em várias disciplinas da área da Análise Matemática. Os capítulos enquadram-se nmna sequência possível de leccionar a matéria, mas os professores podem optar por outras sequências, conforme a estrutura do curso.

(10)

esíudo os alunos iniciaram no ensino secundário. No "'ª1Jmmv

em

mn,

se bem que, devido ao mvd dos alunos

métodos de

lineares de ordem n de coeficientes constantes; ao

fenómenos concretos que são modelados por diferenciais mostram a sua '"'"'""'''u"""º'""

à vida real. no

vm

estudam-se as séries numéricas de da forma que

é habitual nos cursos de ~u'"vurn~u·~·

'-'"'u'"""'L· Sistemas Lineares de bd~"ª'""''" I:'ite:rer1cfaüs,

Tranformada de e de Fourier e

desenvolver estes assuntos numa

VIJJIHRI""·

agra-que m;;u;;"'•"' .;;;u1. a fim de serem

(11)

PREFÁCIO ... Vil

CAPÍTULO 1

Compleme11tos de Cálculo Diferenciai em IR ... ].

I.1. Breve Revisão e Estudo de Algumas Funções ... 1

L 1.1. Funções polino1niais ... ., ... 1

I.1.2. Funções exponenciais e logarítmicas ... J· I.1.3. Funções trigonométricas ... 5

I.1.4. Funções hiperbólicas ... 9

I. i.5. Prolongamento por continuidade. Classificação de descontinuidades ... 13

I.2. Complementos Sobre Derivação ... ,. ... 16

I.2.1. Derivadas de funções definidas parametricamente ... 16

I.2.2. Derivada de funções definidas implicitamente ... 18

I.2.3. Derivada logarítmica ... 20

I.2.4. Derivadas de ordem superior à primeira ... 20

I.2.5. Derivadas de ordem superior à primeira para funções compostas, inversas, definidas parametricamente e implícitas ... 22

I.3. Fórmula de Taylor e Aplicações ... 25

I.3.1. Fórmula de Mac-Laurin e de Taylor ... 25

I.3.2. Aplicação da fórmula de Taylor à determinação de extremos e pontos de inflexão ... 30

I.3.3. Estudo de funções ... 35

CAPÍTULOH Breves Revif.lões de Geometria Analítica ... 49

II. l. Introdução ... 49

II.2. Breves Revisões de Geometria Analítica ... 50

II.2.1. Em IR.2 ... 50

II.2.2. Em IR3 ... 55.

II.2.2.1. Recta e plano ... 55

H.2.2.2. Superfícies de revolução ... 56 U.2.2.3. Quádricas ... ~ ... 58 ···

(12)

II.2.3. Sistemas de coordenadas ... 64

II.2.3.l. Coordenadas cartesianas ... 64

II.2.3.2. Coordenadas ... 64

II.2.3.3. Coordenadas cilíndricas 66 II.2.3A Coordenadas esféricas ... 67

III Cállculo Difen,~nd.:id em IR n ... 71

HI.l ~~'·"•"m Escalares e Vectoriais ... 71

""'·"'<'"""' ... 71

... 75

HI.2 ~~ .. ~,,~ Escalares ... 83

1. Breves ... 83

HI.2.2. Limites e continuidade ... 86

IH.2.3. Derivadas direccionais ... 98

HI.2.4. Derivadas Plano ... 104

III.2.5. Teorema do valor médio ... 109

III.2.6. Derivadas de ordem à Teorema de Schwarz ... 109

III.2. 7. DiforenciabiHdade. . ... 116

HI.2.8. Derivada da HI.2.9. Gradiente. .. ... 137

IH.3. . ... 148

III.3 .1. Limites e continuidade. Matriz Dfferenciabilidade. Diferencial.... 148

UI.3.2. Derivada da ... 154

supen<)rà Matriz hessiana ... 159

HI.3 .4. diferenciais ... 162 HI.3.4.1. . ... , ... 162 IH.3.4.2. Rotacional ... 165 III.3.4.3. . ... : ... 168 ,.,.,., . .,v,.w ... 170 inversa ... 174.

IH.4. Fórmula de e extremos de campos escalares ... 178

IJt4. J. Fórmul.a de ... 178

Extremos livres ... 183

(13)

X!

IV

P:rimitivas e Cálculo em IR ... 205 IV. l. Primitivas ... 205 ºº'''ºººº'''º'''''º''º''º''ºº''ººº''º'''º'''ºº'ºº'º'º''ºº''º'''''''''º''º'''º''º'''ºº'º''''º''ºº'ºº'º'ºº'''205 imediatas ... 207 '''º"º"'º"º'º'º'º"º'ººº'º""''ºº'ººººº""""ºº"'"º"ººº"ºº"º""º"'ººº""º208 ... 211 ""''"'"'''"envolvendo e x ... 222 ~ÂA,~A~'~A~"C~~ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 226 em IR ... 237

IV.2.1. Somas de Darboux. de ... 237

IV.2.2. .. ... 242 IV.2.3. .. ... 246 IV.2.4. de Barrow ... 250 IV.2.5. e por ... 256 IV.2.6. . ... 261 IV.2.7. IV.2. 7 .1. Cákulo de áreas de ... 265

IV.2.7.2. Cákulo de de linhas ... 269

IV.2.7.3. Cálculo de volumes de sólidos de ... 271

IV.2.7.4. Outras aplicações dos ... 275

EXERCÍCIOS ... 277

CAPÍTULO V ... 285

V.l. _{··· 285}

JU\OUAUv<>V e ·~~~·~~~ ... 285

V.1.2. Cálculo de Teorema de Fubini ... 291

V.1.3. Teorema do Valor Médio ... 303

V.1.4. . ... 305

... 307

V.2. ... ,. ... 314

ai:HJtcac:oes ... 314

... 315

(14)

VI

329

VI. l º 1 º Generalidades sobre linhas

329

332

333

339

~ ... ,,~,,,··-·de linha de campos vectoriaisº A de trabalho 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 • 0 0 0 341

conservativosº do caminho 34 7 Teorema de Green no 350 356 356 de campos escalares 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 363 Vl2.3 º APJ!lca(:oes ~Uf'ºS;LV'"'" 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 368

VI.2.4. de campos vectoriais. Cákulo do fluxo

un1eri2:e111cia ou de Gauss VI.2º6. Teorema de Stokes

373

377 381

VII

e

Ld"''-'""'""'" diferenciais ordinárias e de derivadas 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 393

de diferenciais de famHias linhas 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 4 0 1

ºº'ºº'º'ººº'º'ºººº''º'º'ººº'ºº'ºº'ººººº'ººººº'ºººººº'ººººººº'º'ºººººººº'º'''ºº'º'ºººººººº'ºººº'ºººººººº'ºººº'ººººººººº'º403

'-'vl'"ª"'v"'" diferenciais de variáveis

"-'"I'"ª"'""" diferenciais nmnoi~eneas

406

419 VII.2º3º

""VI'""'"'"""

diferenciais da forma y' "" ax +

by

+e 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

427

dx+ey+

f

""vi'"ª"'""" diferenciais exactasº Factor M~.~~~~~•·õ hQ1!lacoes diferenciais lineares

L'-! l!.11o::•1,;v"'" de Bemoum 433 448 454

457

463

(15)

·

-VH.3.1.

VII.3.2. ~f.PH"'"""'"" "'rn"'"'"'"'c diferenciais de l.ª ordem.

1 "º'"''r·trw·rnQ ort1:igcmai1s. Envolventes.

VII.3.3. Teorema de existência unicidade para diferenciais de l

VH.4. Diferenciais Redutíveis à .ªOrdem

VII.4.1. Existência e unicidade de para eqliac·oes

Vlt4.2. de diferenciais redutíveis à VII.4.2.1. VII.4.2.2. VII.4.2.3. YJ'"!UIUVV"'" VH.4.2.4. Ll..llLll<ll,,oVÇ;, 481

487

491

493 493 495

497

499 504

Diferenciais Lineares de Ordem 11 ... 505

VIL5.1. Teorema de existência e unicidade ... 505

VH.5.2. do 507 º'VH.5.3. uvu•yuu método dos coeficientes indeterminados ... 523

VH.5.3.3. da método da das constantes ... 529

~;~~A~0~A~A~U 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 • • 0 0 0 0 0 0 0 0 • 0 0 0 • • 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 • 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 538 VIII VIII. l. Séries Num.éricas ... 545

VHI. l. l. Séries e de ... 545

VIII.1.2. Séries de termos não ... 558

VHI.1.3. Séries alternadas. absoluta ... 567

VIU.1.4. Cálculo upyv~.IH><<YV AJÂ~'°'n'-•A'VH.PU ooo•••••••••••••••••••••oooo•••••••••••••••••••••••••••••••••••••oo••••••••••••oo•••••••••••••••••••o•••••••••••••oo••••••

577

VIII.2. Séries de ... 581 vm.2.1. Séries de IUfíCOl~S VIU.2.2. Séries de 1->vc•"rn""'"'· VIII.2.3. Séries de BIBLIOGRAFIA ~~·º~·~·e uniforme ... ,. ... 581 588 593 601° 609

(16)

(17)

"

G@e@®~®0@a®0ee@oe~eêo~@®©®®@0©e@GQ~6®G000Qes@&®®~@eo~e~@oeGae@000@©~@00@ CApll~ULO

1 ál

cu

lo

le

if

nt

os

e

ren

ci

al e

m

IR

A maioria dos assuntos deste parágrafo já

é

do conhecimento de quase todos os alunos. Assim, optou-se por expor sucintamente o essencial evitando-se a maioria das demonstra

-ções. Algumas propriedades (crescimento, limites, etc.) e valores duma função são evidentes

a

partir do seu gráfico, pelo que o conhecimento deste

é

importante para entender o comp or-tamento da função.

Entre as funções mais simples encontram-se as funções polinomfai.s, isto

é

,

da forma P(x)

=

a xn

+

a xn-

1

+

_a

_xn-2

+

·

· +

_a

_x

+

_a

n n-1 n--2 1 0'

onde n E IN é o grau do polinómio e ªn'

an-

1'

a

n--

2, ••• ,

a

1,

a

0 E IR são os coeficientes. Vejamos alguns casos particulaf~:;:

w As ftmções constantes p(x)

=

C;

«1 As rectas p(x)

=

mx

+ b,

não paralelas ao eixo das ordenadas, que intersectam o eixo das ordenadas em b e têm declive m;

~

As funçõe

s quadráticas p(x)

=

ax

2

+

_bx

_+e,

_(a

_-:t:-_O),_{cujo gráfico}

é

_{uma parábola com} a concavidade para cima se

a

>

O, ou para baixo se

a

< O

e que intersecta o eixo dos

xx

nos zeros da função.

(18)

o

par, temos uma que y y X X y=xn(n> 1, y X y

=

-n (n > 1, par) y

=

-n (n > 1, ímpar)

(19)

Complementos

de Cólrn

l

o

Diferencial

.

em$

;

>~;:< ·:~:, ... ·

Recorde-se

ainda

que,

sendo/: <;f/J

-7

IR s

e

di

z

, po

r

definição,

q

u

eg

:/(

20)-7 IR

é i

nv

ersa

de f(g

= 1

-

1₎_se_y

=

_g(_x₎_<:=:}

_x

=

_f(y)

_.

_Daqui_re_su_lta_{que o}_gráfic_{o d}_{a inve}_rsa_dum_a_função

f

se pode

obter

do

gráfico

de/

t

rocando

o

pape

l

do

x

pelo

do

y, ou seja,

tomando para gráfico

de

1-

1

_o

_simétrico

_do

_{gráfico de}

f

_em

_rela_ção_{à bissectriz dos}_{g_uadrante}_s_ímpares._Assim ternos para n E lN, os seguintes gráficos:

y y

o X X

y

=

Vx

(n > 1, par) y

=

Vx

(n > l, ímpar)

1.1.2. Funç

ões

exponend

ais

e Rogaritmlc

as.

A função

y =a!

só

se pode definir se a> O.

O

seu domínio

é

IR e

o

contradomínio éIR+.

O

gráfico depende de a: y y

o

X X y=ax(a> l) y=ax(O<a< l) Tem-se: 1

a

>

1

:::::>

lim

ax

=

+oo

e

. x~+co

lim

ax

=o

1 X~-<XI .

Estas funções

são

i

nvertíveis,

designando-se

a sua

inversa por logaritmo na

base

a

.

(20)

o

a:

y y

y= X (a> 1) y= X (O< a<

n

Tem-se:

>l~ X

=

+oo

e

Hm Ioga

X

=

-00

x->O+

O<a<l~

Em particular,

a

é o""'""''·""'"'""'-""'' e

=

2,718 ... ,

é

a constante de

o logaritmo na base e diz-se ne1Jer1aIJ10

Propriedades

tem-se

uma da

(21)

Sejam

Então

Logo,

para

"l/

x

> O

e

a

, b

>

O

,

1.1.3.

Fun~ões

trigonométricas.

As funções seno e

coseno estão definidas e

s

ão

contínuas

e

m

IR. Tomam valores no

intervalo

[-1,

l],

são limitadas

e

são periódicas

de

período

2n.

Os se

us

gráficos

são:

n/2 X ----~--- -1 y -11:

o

X -1 _________________________ .:-:-___ ..._. __

(22)

rm1çc1es seno e coseno

recta:

e outras:

senx

cosx

1 cosecx""

~-~·

-senx

1+

X

sen

±

=senx·

·cosx

""'2senx · cosx

senx±

cosx+

sen · cos y ""' X

sen-""

+

cosx

X ;

-senx

1

secx=--cosx

1+

X=

cos

=

COSX·

senx·seny =

cosx · cosy =

cosx-cosy"" -2

X

cos-=

2 X X X

(23)

X

=

2

+

(24)

y y

rr;/2---X

--- -n/2

-1 X

y =are senx y =are cos x

essa inversa a

y

Esta

are

lR--7

~[

é

tema

₌

X

+=ea

=

X

(25)

Complemento§

e Integral em lR

u'

. cos u =-u' · cosec u · sen

=-u' · sen u =u'·secu·tgu tg = - -

u'

1+

=-u' · cosec2 u cosec

~-O seu

e

Chama-se

coseno

"'""'"'~'" [1,

+oo[

e é uma

Tem-se

x=

x,

x= shx,

x

=

x

e

eh" x

=

chx.

X

>

o

==>

ex

>

e-x ==>

X

>

O;

=

O;

X

<

o

::::>

ex

<

e-x

::::> X

<

o

E

lR ==> chx >O;

elas só terão extremos em

terão

X

=

1. Então, como estas AUJJ.•V'-'"'"'

onde a pnme~ira

",,.'."""''"'

o

+

o

+

o

+

1

+

(26)

y y

X

A

razão

se

x=

a,

y

=

a,

então

a-

-y2

=

1,

=

l, com

x

=

cos

a,

y

=

sen

a,

y

-1

(27)

Complementos

em

IR

X X

y

=

arg shx y"' arg eh x

x=

y

<:::>

y

=

arg X <:::> X "" -2 e2_{Y -} _{eY -}

1 =

o

==>

_{eY =X:!:} e7

>O,

E então é

o

+.

e

Y

=

x

+

,J

x

2

+

1 _:::::>

_y

=

+

_:::::>

_arg

1 arg eh x

=

ln (

x

+

..Jx2=1) ·

I

(28)

As as suas

seu>

O

(arg

(arg Tal como

as

1-±

=

tem-se:

- u..Jl +u

2 '

seu<

O

= - - , s e u>l ou u<-1

1-= ,.---, ,

se arg

U\/1-u2 X

±

u>O

e O<u<l <0 e O<u<l X =2· x+ X

(29)

Complemento§

+ = shx + chx. Mostre que e2x -1 = - - · e2x

+

l '

se a definida por y = é par ou

para

a

2õg.

Neste caso, a função g

EXEMPLO 1.2: IR _, IR, definida por

=(~)X

x-2

e seja

g:

IR _, definida por

=ex

1n<x2-1i-x 1n(x-2i. Mostre que g é uma restrição

'llx E '2llg. Tem-se: q]Jg ={x:x2_-1>0Ax-2> _={x: _{<-lvx>l)Ax>2}=]2,+oo[.} x2 - 1 > 0 /\ X - 2 > U u { x: x2 _-1< _{O /\}_{x -} ₂< _O}_{=] -} _{1, l[ u ]2,}

+

_oo[. Para

vx

e '2llg tem-se:

=

exln(x2_-J)-xln(x-2)₌ l n - -[ (x2-Jy] = e (x-2)'

=

(30)

EXEMPLO 1.3:

dades.

Parax <O ex :;t:~2 a

nos .,.,,.,,,_,,,c-h'""~

nencial são contínuas nos

ex= L

Como

descontínua de 2.ª

definida por

lnlx +

2J

+are

1 sex <O.

X

se

O<

x

< 1

2 sex >

1

as

descontinui-nu'"''"~" tlm1J:en1te e

expo-x =

0

Hm

=

~oo,

(31)

Complementos

de

Cálculo Diferencia!

em

IR 15

mas o ponto x

=

O não pertence ao domínio de f, logo a função é prolongável por continuidade ao

pontox =O.

Finalmente, dado que

limf(x)

=

1-rr e lim/(x) = 1 +Ti,

então~limf(x),

x--;i- 2 x--;1+ 4 x--+I

pelo que

f

não é prolongável por continuidade ao ponto x = l. Neste ponto há uma descontinuidade

de 1.ª espécie. •

EXERCÍCIOS 1.4:

1) Estude do ponto de vista da continuidade a função

f

IR ~ IR, definida por:

Resposta Recordando que limx"

=

+oo 1

o

$

oo (sem sinal)

Então, pode escrever-se

1 -1

xr

f(x)

=

(x2 _- ₁₎_·_lim--. 1

+

l

x

l

"

sex > 1 sex

=

1 ~ ,~

1 ~

· =

n

se -l<x<l sex = -1

sex

< -1 { 1 -x2 _se

l

x

l

_>_l f(x) = O se x

=

±1 x2 - 1 se - 1 < x

<

1 que é contínua em IR.

2) Sendo <p definida em IR, contínua no ponto 1, dada por:

sex ~ l se - l<x<l sex ::;;- 1 se

l

x

l

> 1 sex

=

±1 se -1<x<1

(32)

Determine k. Estude a

HnJayc'" o contradomínio da

ou ínfimo todo o seu aormmto

do

Jr:

k = - · _2,fé descontínua de l.ª

C.D.=

efJ definida em dada por

em x = -1 e é contínua em lR \ } . M . li: ax.=-; 2 M . li: 1n.=--. 2 sex~O sex <O. X EJR.

Determine k por forma que efJ contínua em lR e, fixando k no valor determinado o

qual a fica estritamente monótona em calcule o supremo e o ínfimo de em lR.

k = l; o supremo de é l

+

n e o :ínfimo de

2 éO.

+

Seja

y

=

f(x)

uma função definida parametricamente por:

te

que este é

dy

- =

(33)

Complementos

=

ou

EXEMPLO I.5: definida

y= (tE

Pede-se a derivada da x =O. Há que determinar o correspo11dente valor de t. Ora

é dada

(x-a)

(34)

18 em tomo

a

se

IR IR" y= X ~

y=

y

y.

t,

corres-a

X

(35)

EXEMPLO 1º7: uma

x1"Y - are

Calcule no de ordenada l e escreva uma

dx

Derivando toda a e considerando y como

x1"Y • lnx · y'

+

y x ln 1 - are sen - l) = tg +y-4 dex, vem:

tal que o par 1)

ç:, are sen - 1) = O ç:, x2 - l = O ç:, x = ± 1.

Mas X= -1 não serve, porque a v"''~u.vu,-.~,x lny não está definida

é ~N,...~'''~ = obtém-se: -2

+

y' = y' · sec2 _ç:,_-2

+

_y'₌ 4 <:::::> y' =

no x = L A recta tan,geinte neste

y- (x-1) <:=;> y-1 = 1) <:=;> y = -2x

+

3.

de <pnesse

(36)

Integral em IR e IR

11 y + l)+x -cosxln2-2xln3 ::::> y' l 2x ,

~

e' [ x ::::> - ""~--+ l+senx· ln2-2ln3 ::::> y = - - + 1 +senx ·ln2-2 y 2

+

1 2cosx x2

+

l sentar por: mesmo se

, ou

a,

ema, que se que as

(37)

Complememtos

~~~~~~~~~~~~-~~~~~~~~·

'ou

ser seguinte = p=O EXEMPLO I.9: Tem-se

=

p=O = (2x- =-2; = 2; -2x)(pl =O, >2.

as únicas 1Ji:!li.;c1•w do somatório que não se anulam são as corres1po11toe1nes a p

=

1 e p = 2.

como

= = l E

=

1000! (-2)

+

1000!

999! 2

(38)

+

EXEMPLOUO: diferencial: 2 vezes diferenciável em Fazendo a em termos de "'4 e2x • 16 e-2x <:::> 16 dx dx dy d vem outros

+

-3

=ex,

e mostre que a <:::> 16 diferencial se reduz a

(39)

Complementos

EXEMPLO l.U: invertível num. nn•,rn·~•n _e_{IR. Mostre que sob certas}

é dada por:

e esta fórmula para calcular a 2.ª derivada da x= arg

Como é sabido X= arg Então que EXEMPLO I.12: Calcule dx2 no d l d dx dx dy. dx dx =:> y = sh x =:> = eh x ::::::> dx shx - - - = uma definida

=

sect = = shx. ch2 _x_-sh2 _x

=

(40)

dt 1

· =

-dx

que

= sec t · tg t

=>

= sec t · t

+

sec3 _{t e} ₌_sec2 _t_:=? ₌_{2 sec}2 _{t ·}_tg_t_~

d2_y _{sect·tgt·2sec}2_t·tgt-sec2_t·(sect·tg2_t+sec3_t) _tg2_t-sec2_t _-1

~~=

=

=-~ l

+

t

=

sec2 _No t=~

rc

4' = f(;;) uma = 3. Derivando em ordem a x: 2x+2

=

1,

Em 3), temos = O. Derivando novamente:

Substituindo O ey = 3, vem l+ =0 => 1.14: definida X = t + t3 _e - _2, - 2.

•

t+l

z= uma duas vezes diferenciável em tal que

a 2.ª derivada da c01nposta, g no x = O é 2.

+

t tg3 _t

""O.

por

(41)

e

por um

em

e[

um

n,

+

+···+

que:

=

+

+ ...

+

=

O

=:>

3 c

1 E e[, tal que

=

0 =:> 3 C₂E _C1[,

=O =:>3 que

(42)

lntegrnl em IR e

·

-+

+

, t E

+

que:

ema e

q]j,

+

, com

te

,,ucuu~'-""

resto de ordem

n.

Este resto

"'"U'~"''-'~

por resto

de

para o

de

+

com

=0.

x->a

(43)

Complementos

.·~~~~~~~~-=o

éum

para X

xn

• ex =l+x+-+-+

0 0

·+-+

2!

3!

n!

+1)=x--+--···+

2

3

~

senx

=

x--+--···+

3!

5!

111

cosx=l--+--···+

2!

4!

~ (l+ E ema e a, tem-se

<lx-emlR

X grau

em a e se lx - ai

~

1,

+

(44)

lntegrnl em

IR IRn

EXEMPLO 1.15:

= cosh X em fórmula de Mac~L:mrin com resto de ordem no

Mostre que para O < x ~ 1, se tem:

x4 _<4! _x-l- _< _°COshxº

2

<

Utilizando a alínea desenvolva cosh ecos e mostre que para

~3, se tem:

cosh -cos com

= coshx = cosh O = 1, n E Il'L

= senh x =

p

2rr-1_l(x) ₌_senh_{O= Oº}

a fórmula de Mai> Laurin só contém termos de ordem parº

b) Tomando n = 4 e t entre O e x , fica

x2 _cosht

coshx -1- -

=

--x4,

2! 4!

com O < t < x ~ L Para x > O, cosh x é crescenteº

x4

O < t < x ~ cosh O < cosh t < cosh x =>

-4! x• x2 x4 => - < cos x - l - - < - cosh x =:::> x4< _4! 4! 2! 4! cosh t x4 - - x4 < -_coshx=> 4 4! xz -1 - < X 4 COSh Xº 2!

/

(45)

(ompleme11tos

xz

e) Dado que se provou anteriormente que para valores de x """"'"""""Q de zero se tem cosh x "" l

+

-2!,

e

b)

com

<

/x/

3

, tomando

x

= temos cosh ""' com

<

Para desenvolver cosh

-Laurin de cosh x.

basta substituir x por

cosh

=

l + - - + - - - .. · + - -

x2 x4 cosht

2 · 32 ₃_{4 •}₄_! _n_!

com t entre O e Do desenvolvimento conhecido de cos x, obtém-se:

cos =!---+~--···. xz x4 2. 32 34 • 4! Tomando n = 5, então cosh cosh

""l+--+--

x2

x4

com 2. 32 34 • 4!, xz x2 -cos " " 2 · - - = - com 2. 32 9 , =are tg x2

Escreva a fórmula de Mac-Laurin resto de 3.

ª

ordem.

Usando a aHnea are 24t7 - 40t 3 _x3

=

x2

+

3 · - , com t e (1

+

t4 ) 3! x3

- - - -

~---=o

.•

< < na fórmufa de

(46)

Mac-e lntMac-egrnl Mac-em IR

IR~

\

y y

o

extre-extremo num

a,

~ --"---"~~--

extremo

(47)

tem extremo em n extremo

ema

y 3 y=x X , com t E

ou

a[.

<O::=>

>O, V

x

e

<

Ü, X E

>

O :::;>

f

crescente em a

<0:::;>/

ema

é ""'14!1 ""1>" é m º'"""""

31

extremo em a

(48)

EXEMPLOI.17:

= l5x2 _{-15x4 =O=:>}

= 30x-60x3

;t O, n = 2

;to, = 2 que há

os extremos da definida por:

= 5x3_-3x5

₊

_10.

=o=:> X= O, ±1.

= = 30.

=12 é um máximo.

= 8 é um mínimo.

= O, há que continuar a derivar para tirar conclusões sobre o x=O.

= 30-180x2 ₌_{30 ;tO,}_n₌₃

que uma

conca-no

y

-a), ) E Do mesmo

para

E X

\

(49)

=O, para k

=

2, ... , n~ L

*O. Então

com resto

n:

, com

t

E ]a,

ou

a[

ou para

n

=>

EXEMPLO I.18: de inflexão da do

_,._., ... - I.17.

Para o estudo dos de inflexão interessa achar os onde a 2.ª derivada se anula.

= 30x - 60x3 ₌_O_~_30x_(1- _=O:::::>x=O,

± - .

2

= 30-180x2 1= 0 (n = 3, :::::;>X = 0 é de inflexão.

(50)

e l11tegrnl em

IR

e

IRn ·~~~~~~~--~~~ ~~~~-~~~~~~~~-~~~-EXEMPLOI.19: tal que: IR --1' IR uma contínua em >O, >O; = l; =-1;

a extremos locais e absolutos e

5 vezes diferenciável em IR\

As l mostram aíi um de inflexão.

2 mostram aí um máximo focaL de inflexão em -1 e um mínimo focal em -2.

só ter extremos em deste se a 1.

ª

derivada se anular neles. Poderia por isso haver extremo nos teorema de RoUe \ teria de existir um x E 3[ no =O, o que não se verifica.

um máximo em 2, a tem a concavidade para baixo para x E 2

+

Como

>O, 'ílx >O,

mudasse o sentido da concavidade de x = 2, então teria de intersectar o eixo dos xx de mudar a concavidade ser x = 3, que será um de inflexão. y

Em resumo: a tem um máximo absoluto em x = 2, um 1nínimo absoluto em x = -2 e de inflexão em x"' O, ±3.

+

(51)

~

Lª e 2.ª

limite

ser+= ou-= e que a rectax

=a

-·---X~

a-.)

m= lim

f(x) X-'>+= X

Complementos

o

com-x-+a X~

a+,

OU

b=

tal que

(52)

e Integral em

e IR[I

~~~~~~~~~~~~~~~

EXEMPLO ll.20: Esboce o =ln no intervalo

o estudo da em IR. cos2x>

={x:-~+2kn<2x<

n: +2kn

2

11: --+kn<x 4 7r -+kn 4 E

A de

n:,

este é o menor real tal que

= cos 2x~ ln Então basta estudar a

não está definida em

Como

f(-x) =ln [cos

par. para conhecer o gráfico

Não faz sentido procurar as~amptcitras

ilimitado. [2(x

+

n)]} = ln =ln (cos 2x) = f(x), estudá-la em [O, : [. o dominio de fazer

u ...

contém u:m intervalo com o eixo dos yy: x = O ?9>P>ri-P''""' ao

com o eixo dos xx: y = O ::::::> ln

-7'4 [.

trabalhar apenas no intervalo

(53)

Complementos

em IR

~2sen2x

= =-2 tg 2x =O:::::::> tg 2x =O:::::::> x =O; cos2x

XE

que nunca se anula e é sempre inflexão. X

<O

o

-11:14 4 cos2 _2x'

a concavidade é sempre para baixo. Não há

rd4 \\\\\\ \\\\\\ \\\\\\ y 11:/4 311:/4 5nl4 X

A tem máximo absoluto em x = 2kn: (k E .l) e o contradomínio é }---00,

EXEMPLO 1.21: um estudo tão

se x s; O sex>O

com da

(54)

e lntegrnl em

x=a.A não é par, nem

se x::;; -2 se -2 < x:::;; O sex >O X+ e-2-x' m = li.m = 1

+

lim -~ = l; x-t+oo X x~+oo X x-->+oo y = x é as~>i.rrtptiota em +oo. Logoy= O é x<-2 y =

mx

+

b em-oo: X.-.)-00 X X~-00 b = Hm ex+Z = O. >

0;-2<x< O

<O; parax> regra de se x <-2 se-2<x<O sex> O

toma sempre valores maiores que 2x.

x>O

X < -2 , OU -2

<X

< 0 > se x < -2 se-2<x<O sex >O )=O:::=>x=~. 2 >O.

(55)

(ompleme11tos

X f'(x) + f"(x) +

u

tem um máximo = e-2• Tem

-2

-+ 1 '::,iU

mas não aoi;m111to

de inflexão em

o

_Ji

12

+ + +

-

o

₊

e-2 ,li() _,li

7lU

X

= l. Tem um mínimo mas não

x=O e x = - .

de não se ter calculado as derivadas nos

ae11m,çao de conduir-se do gráfico

O domínio de diferenciabfüdade é]-«>, -2[U]

EXERCÍCIO 1.22: sex<O sex;:::: O + l. sex;;::: O sex<O 2

x = -2 ex = O (o que teria dle ser feito

não existem derivadas nesses

+oo[. O condomínio é +=[.

+

extremos, monoto-o seu cmonoto-ontradmonoto-omínimonoto-o.

(56)

b)

e lntegrnl em

e

lR" Máximo=M Mínimo= m = f(l) =

e-2;

Ponto de inflexão= I = - - · _{2 ,} C.D. =IR. m ""mmn·t"t'"' X= O, e y

=o

e em MlÍnimo ==f(-1) =--e-1; Ponto de inflexão= -1 C.D.= y m X y X

(57)

e) -2 -1 M

-+--1

-'13

As:símLOtc~tas x = O e x = 2; Mínimo = f(l

+

Máximo Pontos de inflexão: x = -2, 1, 4 C.D.= IR. --oo),y

=o

=-e-2; Máximo = 1;

Ponto de inflexão = (3, -2e-3);

C.D. = ]-oo, l]

u

]2,

Complementos

em IR y y X ex=-1;

(58)

e)

As:simllotc,tas y

=

-x

Não tem extremos; Não tem

C.D.= IR. 1.23: = f(x) uma definida =a t

+

sen t) e 1.24: 6t y etr1camente por =a t-t cos 6t2 e l

+

t3 ₁

+

_t3

U5: = uma definida por

x•eny

+

cos (x _=ln _com

Cakule X com a, t> O. =O. pmran1eu1ca11m~me por =O.

(59)

b) sendo z uma

""arcsen t e

e) g. Cakule e escreva uma

1.26: y

+

=In(e+y-Escreva uma da recta normaJ ao

1.27: z=x2_+6xey

uma invertível em tal

em ordem ay, no 1.28: Deduza a y= 1.29: emx= O. 1.30: =y

+

e utilize-a para cakular a 2.ª derivada de

1.31:

Calcule Mostre que

y vezes diferenciável em JIR.

em termos das derivadas extremos em O e em 1, então

de ordenada y = 1.

= l = 2. Calcule a derivada dez

X , de = sec2 _y.

segtemum de inflexão

(60)

e l11tegrnl em

e

mn

·~~~~~~~~~~~~~~~~~ I.32: Usando a fómmla de de I.33: vezes -··-·-.. -·.-tem um extremo em x = O. I.34: no a=

:rc,

estritamente decrescente em IR Calcule

Escreva a fórmula de Mac-Laurin = 3'0_~•,_{com resto de 3.ª ordem.}

1.35: e escreva 1.36: sendoy 1.37: uma Hm 2 · 3seu - 2 - 2x - x2

=

_2(ln_{3 -1) .} • ~o 3

+

1) e = (t + l )ºº' 1•

das n~ctas tangente e normal ao

(xy

+

1) definida por

=

definida implicitamente por:

+

earc

SO!lX -y = O.

sex<2

sex>2

(61)

I.38:

=are sen t e =

I.39:

D= =O.

Determine o no =x.

I.40: Partindo da fórmula de volva a

no a=2 = ln(x- com resto de 4.ª

ln(x ~

n

=

_x-2

I.41: Sejay

=

f(x) definida parametricamente por

= 2cos t sen t e = 3 cos2 _t.

Escreva a fórmula de Mac-Laurin def(x), com resto de 3.ª ordem, para t =O.

b) Indique um valor aproximado def(0,01), com !enol < (0,01)2 •

e) Usando a), seftem mínimo ou de inflexão em (x, y) =

I.42: Sejay

=

f(x) uma função definida por:

tg(x

+

2) 4a +2xa sex <-2 sex >-2 e IR\ em

desen-Determine o domínio de

f

e estude a

descontinuidades. Determine o valor de

a

de modo

co11tirmi!1ad.e. classificando as ""''"n;•P.1<: I.43: g(x) vezes diferenciável em de inflexão em x = O. por continuidade ao +are sen

(62)

l11tegml

em

IR e

IR_n 1.23: = tg

t;

=(a cos3 I,24: =

=

l-2t3 1.25: =O. = e) :t26: x=O. 1.27: 3. 1.28: l = - - = - - - = - -1 l 1 dx l+ y l+x2 1.29: =-1; =L 1.30: earcgx t ,

V%x

- -

-

5 {[

- - +

2x

1 x2₊₁ _{l +x}4 ₃ 1.31: coshx senhx.

senhx x) senh2 _x _coshx.

1.32:

2n3 ₂

1.33:

1.34: 3senx = l +X ln 3

+ -

x2 ln2 3

+ ~

x3 3son1

2 3! 3 cos

3 _t-_{3 ln}2 _{3 cos t sen t-ln 3 sen}

O< t<x. 1.35:

1.36:

(63)

I.39: 1.40: I.41: 1.412: (ompleml!mfos <x. b) z)-3/4 e) um máximo em x = =3. E u -1 por continuidade ao

x

= -2, se

a

= -1 ln

emx=-2+n/2+ com x <-2, as descontinuidades são de 2.ª

-ln2tg (x+ 2) = se x <-2· g(-2) =-ln 2· 2 ' ' , x+ g(x) = -ln(-x), se -2 < x ~ -1; =ln 2x

+

1 , se-1

<

x <-1 /2; g é diferenciável em Ç!)Jr X

(64)

(65)

(66)

1iti•1ri:mrilfl

e Integral em IR e IR"

~~~~~--~~~-~~~~-- -~~~~~~~~~~~

·~~~~-No W.ºano o

esse Neste momento

que

e

E

IR e

não são .:i>H.U.UM.<H . .,,<UH'-'JUL"

as coinpommt(::s

+

Ey

+

F =O,

com A, B,

D, E, F

E

IR e A*

o

V

B

*

o.

o

r<>.r•1n1rnf"n

2. º

grau em x e y nem sempre rerífm;enta As ""''

''ª""u""

+Byz+

+

Dx

+

Ey +

F

=

O,

seA=B se A · B

>

O A ;t: B seA·B <O se A= O

v

B =O.

+e=

o,

em

que A e B são

n;;cta na

uma

(67)

coor-de

X

centro

e

rna

Para as

a

em

EXEMPLO U,l: o que verificam as

xz

+

-5 =O. xz

+

=O. e) xz

+

+2 =O.

x2

+

-2x+y-3 =O. e) 2x2

+

_+4x- _{-8 =O.}

x2

_-4=0.

x2

+4=0. 2x2 ₊ _-8_=O. _i) _2x2

+ +

"'o.

(68)

Integral em IR

em~ j) 2x2

+

_=O. 5x2 -

+

lOx-2 =O. x2

+

-2x

+

-5 =O. l) 4x2 o) r) x2

é uma circunferência com centro

éo e)

+

8x -5 =O. + 4 =O. x2

+

=

₅ O) e raio x2

+

_=O x2

+

_=-2 4x2 _+8x- _+4=0. 3x-

+

4 =O. -2x+l)+ +y+l/4)=3+1+1/4<=?(x- +(y+ = 17/4 e)

é a circunferência de centro e raio--.

2 + 2x

+

l) + (y2 - + = 4

+

4

+

l <=? (x

+

é a circunferência de centro éa 2) raio 3. x2 yz -~-=l

4

y

+

X

(69)

i)

})

l) é a com semieixos a = 2 e b = -a éum vazio. éo +2x+l)-Ç::>

+

-(y+

x2

- - = l 4 4 x2 y2 - + - = l

4

8

y

o

a 2x2

+

_=-8 2x2_+y2₌₀

+

1) = 5

+

4

+

=8~ 2

éa de centro -1), semieixos a= b=

é semelhante ao da X ~ "d 8 e y=-1 ±

+

(70)

y

~~~~~~~\~-'c-~--+--1!--~~~~-~-~~~

X

-(y+

Não tem termo _Y""

Intersecta os eixos em

e

o vértice é X x= +y+2 éa o

(71)

é uma n~cta; y

=

+

2. -2x+l)+ éa de centro r)

xz-com

é um vector

ao

Para uma recta que

e semieixos a = e b = 2.

+ =O <=:>x2_-(y·~ _=O<=>_[x-(y- _{· [x}

₊

_(y- _=O<=:>

<=::;> (x - y

+ ·

(x

+

y - = O

formada reunião de duas rectas: y = + 2, y = -x

+

2. •

+

+D=O,

x-xo =Y-Yo

=z-u1

um

uma recta.

a

(72)

e Integral em IR e IR"

EXEMPLO H.2: Escreva uma da recta que passa por P e contém o vector u:

e) e) u=Q-P Q = 2, O) x+l y-1 z-2 +5=0 .l - - = - - = - - = r ç : ; . r = 2 3 -1 + 3z - 7

=

O .l {3x- +5 =O <:::> r

=

x+2z-3 =O x-l y-2 z-3 --=--=--=r~r= 1

o

2 x-l

o

x2

+

₌_9. _b)_z=4-x_2• -z+l=O =l =0 • .l xOz

(73)

Breve

s Revisões de Geometria Analítka 5

7

Resohl!ção

a) Em IR2 _seria_{uma circu}_nferên_{cia com centro}_{em (O,}_{O) e r}₌₃_._Em_:iR3 _é_{uma superfície}_cilíndri_c_a

circular, cujo eixo é o eixo dos zz.

y

b) Em IR2 _se_{ria um}_a_pa_r_{ábola com vértice}_no_p_onto_(x,_{z) =(O,}₄_{). Em}_IR3 _{é uma su}_perfície

cilín-drica com directriz parabólica; a geratriz move-se paralelamente ao eixo dos yy.

z

Se a geratriz se move mantendo um ponto fixo (vértice), obtemos uma superficie cónica. Se a

directriz for uma circunferência e a recta que une o vértice com o centro da circunferência (eixo)

for perpendicular ao plano da directriz, teremos uma superfície cónica ortogonal de revolução.

Veremos a caracterização analítica mais à frente. Já vimos a importância destas superfícies

(74)

As

+

por

+

em IR IRl!l

uma

2.º emx,y, z;

+

+Exz+ +Gx+

+

Iz +

J =O, C

não srnmH:arn;arr1ente

nem sempre rer1re1;enta

+

qu~táncas

com

C:;t:OeG=I-I=I=O

+

Iz

+

J

=o,

xxem

o

yyem

o

zz.

CUU.HU,,,HoA•

se escreve

(75)

Ili-+

- - = l

y

y2

(76)

lntegrnl em lR e

Ill"

®' -~+ -~= z y

=OvB=O

que

no

1. º

grau. Por tomar a

z=

+

+e y X

(77)

61 tomar a

éum

ou

o

yy.

z y e uma

±

(x - h)2

±

_(y-

_k)2

+

_(z_-1)2 _{= 1}

c2

e centro em

1). No e:xi;rnpJ,

1

v

que se segue veremos como

'"'"'"•'H"'"" s1l!pç;rt1.c1~~s

que nos interessam

EXEMPLO 11.4: 5x2

+

₌_4z. x2

+

y2

+

z2 = 4. x2

+

_-z2 _=O. j) 2x

+

y + 3z = 6. xz

+

z2 - 2x

+

4z

+

6 = O.

z=

com a concavidade virada para

e) x2 se seguern. definidas por: =4z. -z2 ₌_4. x2 ₊

=

_4. l) z = 4 -

~

x2

+

_y_{2 •} -x2 _=4.

+

e) 5x2 ₊_5y2 ₌_--4z. -x2

+

₊_z2

=

_4. i) x2 _=4. x2

+

_2z2_-2x-y-3_=O. eixo zz e vértice O,

(78)

•t<m•'"'"'

e lritegrnl em IR e IR"

~~~-~~~~~~· ~~~--~~~~~

b) Parabolóide

orientado o eixo dos xx.

e) Parabolóide de em tomo do eixo dos zz, com vértice O, O) e virado para baixo:

z=

e)

i) ciHndrica de

j) Plano nos eixos são:

f) Z""4-Folha inferior da e raio r = 2. zz -~=I·

4

4 ,

<0.

em tomo do eixo dos xx (a= b

=e=

cm torno do eixo dos xx (a= b =e=

x2

+

_-z2_=0;

o,

em tomo do eixo dos zz e com raio a2.

de directriz e

O, O) 6, O)

O,

indicados na

z-4::;; O Ç;::>

em tomo do eixo dos zz e vértice

z::;;4.

(79)

z y X Plano 2x + y + 3z

=

6 -2x+l)+ emquea=b=

eixo dos zz que passa Yz,

- 2x +

O -

y2

+

_4z

+

_{= -} ₆

+

₁

+

₄q (x

-em que a = b = e = l. É um

ao eixo dos yy e que passa

dHndrica com directriz

X (x -1)2 ~--+ 1 z

e

_(z+2)2_l l - ' y z 4 y z=4-+ (z+ =-1 q

(80)

y >··· (x, y) ez

---=+---~----º

81 X

porra

r=llrll=

{

x-

0 y

=

psen8

entre si com vectores

z y p"" y, z) <::;>

P. é,

e r

=

~ x

2

₊

_y2

₊

_z

2

pE

(} E 211:[.

(81)

é

""'""'"r"

para rectas que passam que passam

EXEMPLO 11.5:

y= y=2x.

x2 ₊ -2x =O. e) (x- +(y- =2.

y= <::=:> p sen 6 = cos e<::=:> p e-sen 8) =o<::=:>

<::=:> p

=o

COS ()

=

sen 8 <::=:> p == Ü V (J

=

<:=:>p=O

e=

ve=

n.

y = 2x Ç:::} p sen fJ = cos 8 Ç::; tg fJ = 2 com p :;": 0 Q (J = are tg 2 V p

=

0.

e)

COS ()

=

Ü Ç::i> p

=

0 V p

=

2COS fJ.

Ora x2

+ -

_2x₌_O_<=?_{(x -}

+

_y2 ₌_{1 é a circunferência de centro} _{e raio r}₌_{1. Vemos}

que p "" 2cos () com fJ E

e) (x-

+

(y- = 2

é a circunferência com centro C 1) e raio r =

(x -

+

(y- = 2 <=? x2

+ -

_{2x -} ₌O Ç::;> e+ sen ())=o~

(82)

cos

=psen

=z

z

pE

, 8

E ZE

EXEMPLO II.6: A~~"'.,"""'c•v as cn~,_,,.i-,"""'" que se seguem e mude~as para coordenadas cfündricas:

xz+ -zZ=O. x2

+

_+z2_=16. _e) (x- _+(y+ _""2.

3x2

+

_3z2 ₌_3. _{e) - 4x}_{2 -} _+z2₌_16. -z=O.

z2 =x2

+

cónica de em torno do eixo dos zz.

z2 =x2

+

qz2 =

lzl

_=p absoluto da cota é

(83)

b) É uma esférica de centro

e)

+z2_=16.

cilíndrica de com ""'~'"h·n "''""'·~•M ao eixo dos zz e eixo que passa

por Em coordenadas ciHndricas fica

x2₊ _-2x+ _=Qq

e--

_sen_{6) "'}

o

_.ç::::.

Ç:}

p

= 0 V

p

= 2 COS

e-

2 Sen 8, 8 E

z2

+-=l

3 1

é um de uma de em tomo do eixo dos yy. A para

coordenadas cilíndricas só fica fácil se orientar o cilindro o eixo dos yy,

denadas ()) no xOz:

=

pcose

=y Teremos: + =3.ç::::. -y2=3Ç=? =

+

3. x2 y2 z2 - - - - + - = l 4 4 16

é um "'W•O~lfo~ _{de duas} _de _{em tomo do eixo dos}_zz._A _{dada é}

valente a:

+

+z2₌_16<=:>-4p2+z2₌_16.ç::::.z2=

+

_16.

j) Éum em tomo do eixo dos zz, com a concavidade virada para

(84)

lntegrnl em

IR

e

mn

à entre

fJ,

e em que se vê que z = r cos <p e p = r sen

a

X

z

y

Po

em II.2.3.3 nos con~

na

EXEMPLO II. 7: ª"""·'"~!""as sui:1efl]C11es que se seguem e mude~as para coordenadas esféricas:

x2

+

_+z2_=16. _b)_x2_+y2_-z2_=0.

e) x2

+

₌_l. _{(x -}

_{+ +}

_{(z -} ₌_2.

''"'"'""""'"' esférica de centro O, O) e raio r = 4. Em coordenadas esféricas eviden~ temente,

cónica de em torno do eixo dos zz. Em coordenadas esféricas fica r2 _sen2 _<p-r2 _cos2 _<p_=O_Ç:?

_q;=

_l,(r:;t:O)q_<p=-vqy=~,n 3n

4

que

e) É uma cilíndrica de em tomo do eixo dos zz. Em coordenadas esféricas fica

(85)

No novo referencial a =x-1 =y "'z-1 da esfera dada é:

x

2 _{+ Y2}+

z

2 "' 2. as coordenadas esféricas convenientes são

=

sen

ífJCOS

fJ

=

r sen

qJ

sen fJ

q

=

r cos

qJ

=

1 +

r sen

qJ

cos

e

=

r sen

qJ

sen

e

=

1 +

r cos

qJ

Nestas coordenadas a da esférica é:

r= U.8:

1.

os seguintes domínios x+y;::;OAy~2AxS:

0J

= x2-y2 < l x2

+

e)

0J=

x2

+

;::;OAx2+y2 - ::;;

0J

= x+y<2Ay2

2.

os domínios em CZJ) = y, + 2z2 _:2'. _CZJJ={(x,y, _xy<

e) 05={(x,y, -3x2_-3y2_+z2_S:3}. _05"'{(x,y, X+ z2 ₊₁_:2'.

e) 05= {(x,y, x2₊

:;;4/\-3'5.z:;;~x

2

+y

2 }.

05 = { ( x, y, x2

+ +

_z2 < ₉A 1/3 + ::;; z2 ::;; x2 +

3. Caracterize 1. em coordenadas

4. Caracterize 2. e) em coordenadas ciHndricas.

5. Caracterize em coordenadas esféricas.

1. Domínio limitado de vértices (-2,

(86)

3.

4.

5.

Domínio situado entre os ramos da - y 2 : 1 _{e fora da}

circun-ferência de centro e raio L

e) Domínio limitado e raio 2.

circunferências uma de centro l) e raio 1 e outra de centro 2)

Domínio limitado

a) Domínio exterior ao

Domínio situado entre os ramos da

IJM•~•~.m ao eixo dos zz.

e) Domínio situado entre os ramos do

dos zz.

Domínio exterior da dosyy.

E [0, 3 sec 6] /\ 8 E [-"/4, are tg

""2-x

de uma folha com eixo no eixo dos xx.

cfündrica de directriz

e

de duas folhas com eixo no eixo

e

um ramo duma cónica e um

cónicas.

V E 2 cosec &] (J E tg

(87)

,.

C

API

TU

11

~

lcul

if

cia

l

m.1.1.

Exemplos.

Defini~ões.

Até agora foram estudadas funções reais de variável natural, as sucessões, e as funções reais de variável real. Em várias áreas da Ciência, em particular em Engenharia,

estudam--se

problemas onde figuram funções escalares

de

várias variáveis/(x, y)

ouf(x,

y,

z)

que·

representam

uma

função num

espaç

o

real de

duas ou três

dimensões

de algumas

quantidades físicas tais como áreas, volumes, temperatura, potencial eléctrico, etc. Tais funções chamam--se

campos escalares. Em

Engenharia são também necessárias funções cujos valores são vectores

e

não escalares,

como

é

o

caso

da

ve]ocidade

dum

ponto

num

fluido em movimento, as forças gravíticas ou magnéticas. Estas funções designam-se por

campos vectorfais.

Sintetizando: vamos passar do estudo das funções reais de variável real,

f

IR -o> IR, para o estudo das funções mais geraisfi

mn

---7 JRm, com nem números naturais. Tem-se

(88)

e l11tegrnl em lR e lR

11 e para

comi= 1, 2, ... , m,

=

1)

ou

lR"~

lR.

ou

EXEMPLOS de campos escalares:

1) A que a distância de um z) do espaço IR3, a um fixo b, e)

é dada por

f(x, y, z) = ,.j(x -a)2

+

_(y-_b)2

+

(z ~ _c)2

com

y,z) -> y,z)

O volume dum ciHndro de

num dado focal Terra:

y,

EXEMPLOS de campos vecto:riais:

Na Cm1em:at1ca,

(89)

Cálculo Diferen

cia

l em

ran

73

quando se desloca em relação a um referencial). A cada ponto destas trajectórias corresponde um

vector posição, que depende portanto do tempo. Teremos um

r(t) = x(t)e1 + y(t)e2 + z(t)e3

dita equação do movimento:

t ~ r(t)

A partir df r(t) podemos obter a velocidade v(t) = r'(t) e depois a aceleração a(t) = v'(t). São dois exemplos de funções cujo domínio está contido em IR3 _e_com_v_{alores em}IR3.

5) Suponhamos um corpo C, que roda em tomo dum eixo. Em cada instante, o conjunto dos

vec-tores que representam a velocidade em cada ponto (x, y, z) de C formam o chamado campo de

velocidades, v(x,y, z), da rotação.

6) O campo de forças gravitacional: sejaA uma partícula de massa M fixa num ponto P0 =

(x

0,y0,

zJ

e seja B uma partícula de massa m livre de ocupar qualquer posição P = (x, y, z) no espaço.

De acordo com a lei de gravitação de Newton, existe uma força p de atracção entre A e B dirigida

de P para P 0 cuja grandeza é proporcional ao inverso do quadrado da distância, r, entre P para P 0•