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A
*
*
ÍNDICE ÍNDICE I.
I. Razões e proporçõesRazões e proporções 1.
1. Razões Razões ... ... 33 2.
2. Proporções Proporções ... ... 33 2.1. Propriedade
2.1. Propriedade fundamentfundamental ...al ... ... 33 2.2. Tercei
2.2. Terceira e quarta proporra e quarta proporcionaicionais ...s ... ... 33 2.3. Cálcul
2.3. Cálculo de um termo de um termo desconhecido desconhecido...o... ... 33 2.4. Propriedades
2.4. Propriedades das propodas proporções ...rções ... ... 33 2.5. Proporções múl
2.5. Proporções múltipltiplas ...as ... ... 44 II.
II. Números proporciNúmeros proporcionais e regra de onais e regra de trêstrês 1.
1. Grandezas Grandezas proporcionaiproporcionais ...s ... . 55 2.
2. DivisDivisão proporcioão proporcional ...nal ... ... 66 3. 3. Regra de Regra de três ...três ... ... 66 3.1. Sim 3.1. Simples ples ... ... 66 3.2. Com 3.2. Composta ...posta ... ... 66 III.
III. Porcentagem Porcentagem ... ... 88 IV.
IV. Juros siJuros simples ...mples ... ... 99 V
V.. Desconto simples ...Desconto simples ... ... 1010 5.1. Desconto com
5.1. Desconto comercial .... ercial .... ... ... 1111 5.2. Taxa de j
5.2. Taxa de juro efetiva . ...uro efetiva . ... ... 1212 5.3.
5.3. EquivalEquivalência ência de capide capitais tais ... ... 1212 5.4. Des
5.4. Desconto racional conto racional ... ... 1313 V
VI.I. Juro composto ...Juro composto ... ... 1414 6.1. Taxas
6.1. Taxas equivalequivalentes ...entes ... . 1515 6.2. Taxas
6.2. Taxas nominainominais ...s ... ... 1515 6.3.
6.3. Taxa Taxa efetiva efetiva ... ... 1616 6.4. T
6.4. Taxa real e taxa axa real e taxa aparente ...aparente ... ... 1616 VII.
VII. Desconto composto ...Desconto composto ... ... 1717 7.1. Equiv
7.1. Equivalência de capialência de capitais ditais diferidos ...feridos ... .. 1717 VIII.
VIII. CapitalizCapitalização ação e amortização commpose amortização commposta ...ta ... ... 1818 1. Rendas
1. Rendas ... ... 1818 2. Capital
2. Capitalização composização composta - crediário ....ta - crediário ... ... 1919 2.1. Renda i
2.1. Renda imedimediata ...ata ... ... 1919 2.2. Renda
2.2. Renda antecipada antecipada ... ... 2020 3. Amo
3. Amortização composrtização composta - crediário ...ta - crediário ... ... 2121 3.1. Renda i
3.1. Renda imedimediata ...ata ... ... 2121 3.2. Renda
3.2. Renda antecipada antecipada ... ... 2222 3.3.
I – RAZÕES E P
I – RAZÕES E PROPORÇÕE
ROPORÇÕESS
1.
1. Razão
Razão
Quando duas razões têm antecedente e Quando duas razões têm antecedente e conseqüentes trocados, são denominadas conseqüentes trocados, são denominadas
razões inversas razões inversas.. Ex.: Ex.: 44 33 ee 33 44 ..
2.
2. Proporções
Proporções
Em uma proporção, Em uma proporção, dd cc bb aa = = , lemos:, lemos: aaestá para b assim como c está para d
está para b assim como c está para d, onde, onde aa ee dd são chamados extremos esão chamados extremos e bb ee cc sãosão chamados meios. chamados meios. Propriedade fundamental Propriedade fundamental Exemplo: Exemplo: 12 12 66 44 22 = = ⇒⇒ 22 ··12 = 412 = 4 ··66 Terceira e
Terceira e quarta proporcquarta proporcionaisionais
Exemplo: Exemplo: Na proporção Na proporção 99 33 33 11 = = , 9 é a terceira, 9 é a terceira proporcional de 1 e 3. proporcional de 1 e 3. Exemplo: Na proporção Exemplo: Na proporção 66 22 33 11 = = , 6 é a quarta, 6 é a quarta proporcional de 1, 3 e
proporcional de 1, 3 e 2, nessa ordem.2, nessa ordem. Cálculo de um termo desconhecido Cálculo de um termo desconhecido
Usando a propriedade fundamental das Usando a propriedade fundamental das proporções, podemos calcular um termo proporções, podemos calcular um termo desconhecido de uma
desconhecido de uma proporção. Vejamproporção. Vejamos:os: Exemplos:
Exemplos: 1)
1) Calcular o valor deCalcular o valor de aa sabendo que 2, 3,sabendo que 2, 3, aa ee 6 formam, nessa ordem uma proporção. 6 formam, nessa ordem uma proporção.
66 aa 33 22 = = ⇒⇒ 33 ··a = 2a = 2 ··66 ⇒⇒ 2)
2) Calcular o valor deCalcular o valor de xx em:em: 33 22 22 xx 33 xx = = − − + + ⇒ ⇒ 3 (x + 3) = 2 (x – 2)3 (x + 3) = 2 (x – 2) 3x + 9 = 2x – 4 3x + 9 = 2x – 4
Propriedades das proporções Propriedades das proporções
1ª) A soma ou a diferença dos dois primeiros 1ª) A soma ou a diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro termo, assim termos está para o primeiro termo, assim como a soma (ou a diferença) dos dois como a soma (ou a diferença) dos dois último
últimos termos está para s termos está para o terceiro tero terceiro termo.mo.
2ª) A soma ou a diferença dos dois primeiros 2ª) A soma ou a diferença dos dois primeiros termos está para o segundo termo, assim termos está para o segundo termo, assim como a soma (ou a diferença) dos dois como a soma (ou a diferença) dos dois último
últimos termos está para s termos está para o quarto teo quarto termo.rmo.
Razão
Razão de dois númerosde dois números aa ee bb, com b, com b ≠≠ 0, é0, é
o quociente de a por b. Indica-se o quociente de a por b. Indica-se
bb aa
ou ou a : b, e lê-se
a : b, e lê-se a para ba para b.. O número
O número aa é chamadoé chamado antecedenteantecedente e e oo número
número bb é chamadoé chamado conseqüenteconseqüente..
A igualdade entre duas razões é chamada A igualdade entre duas razões é chamada
proporção. proporção.
Em toda proporção, o produto dos meios é Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
igual ao produto dos extremos.
24 24
24 24
Chama-se terceira proporcional de
Chama-se terceira proporcional de aa ee bb aa um número
um número cc tal quetal que
cc bb bb aa = = .. Chama-se quarta
Chama-se quarta proporcional deproporcional de aa,, bb ee cc aa um número
um número dd tal quetal que
dd cc bb aa = = .. a = 4 a = 4 x = – 13 x = – 13 cc dd cc aa bb aa dd cc bb aa ++ = = + + ⇒ ⇒ = = dd dd cc bb bb aa dd cc bb aa ++ = = + + ⇒ ⇒ = =
3ª) Numa proporção, a soma (ou a diferença) 3ª) Numa proporção, a soma (ou a diferença) dos antecedentes está para a soma (ou a dos antecedentes está para a soma (ou a diferença) dos conseqüentes, assim como diferença) dos conseqüentes, assim como cada antecedente está para seu cada antecedente está para seu conseqüente.
conseqüente.
Exemplo: Exemplo: 1)
1) DeterminarDeterminar xx ee yy na proporçãona proporção
55 22 yy xx = = ,, sabendo que x + y = 28. sabendo que x + y = 28. 22 55 22 xx yy xx ++ = = + + → → 1ª propriedade1ª propriedade 56 56 xx 77 22 77 xx 28 28 = = ⇒ ⇒ =
= →→ propriedade funpropriedade fundamentaldamental
x + y = 28 x + y = 28 ⇒⇒
2)
2) A gasolina brasileira é misturada comA gasolina brasileira é misturada com álcool hidratado na razão de 2:5. Quantos álcool hidratado na razão de 2:5. Quantos litros de cada combustível existem em litros de cada combustível existem em 250 litros de gasolina comercial?
250 litros de gasolina comercial?
22 77 aa 250 250 22 55 22 aa gg aa 55 22 gg aa = = ⇒ ⇒ + + = = + + ⇒ ⇒ = = 7a = 500 7a = 500 ⇒⇒ g = 250 – 71,43 g = 250 – 71,43 ⇒⇒ Proporções múltiplas Proporções múltiplas Supondo Supondo f f ee dd cc bb aa = = =
= , podemos aplicar as, podemos aplicar as
propriedades já vistas nas igualdades tomadas propriedades já vistas nas igualdades tomadas duas a duas:
duas a duas:
A partir da proporção dada, podemos A partir da proporção dada, podemos ainda fazer outras transformações, alterando ainda fazer outras transformações, alterando os sinais do numerador ou do denominador, os sinais do numerador ou do denominador, desde que a mudança no sinal de um desde que a mudança no sinal de um antecedente acompanhe a mudança do antecedente acompanhe a mudança do conseqüente c
conseqüente correspondentorrespondente.e.
Exemplo: Exemplo:
Encontrar a, b e c sabendo que Encontrar a, b e c sabendo que
32 32 cc 20 20 bb 66 aa = = = = e que a + b + c = 29. e que a + b + c = 29. 66 aa 58 58 29 29 32 32 20 20 66 cc bb aa = = = = + + + + + + + + ⇒ ⇒ 58 a = 17458 a = 174 60 60 bb 66 20 20 bb 66 33 20 20 bb 66 aa = = ⇒ ⇒ = = ⇒ ⇒ = = ⇒⇒ a + b + c = 29 a + b + c = 29 ⇒⇒ c = 29 – 3 – 10c = 29 – 3 – 10 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1)
1) Usando a propriedade fundamental dasUsando a propriedade fundamental das proporções, decida se os números dados proporções, decida se os números dados em cada ordem formam ou não uma em cada ordem formam ou não uma proporção: proporção: b) b) 2, 3, 4 e 62, 3, 4 e 6 c) c) 10, 2, 18 e 310, 2, 18 e 3 d) d) 0,4; 0,6; 1,2 e 1,80,4; 0,6; 1,2 e 1,8 e) e) 22 11 ee 22 16 16 11 44 11 ,, ,, 2)
2) Encontre o valor de x:Encontre o valor de x: a) a) 45 45 18 18 55 xx = = b) b) 33 55 11 xx 40 40 = = + + c) c) 33xx 44 xx 22 − − = = − − x = 8 x = 8 y = 20 y = 20 a = 71,43 a = 71,43 llllllll = 178,57 = 178,57llllllll f f ee dd cc bb aa f f dd bb ee cc aa = = = = = = + + + + + + + + f f ee dd cc bb aa f f dd bb ee cc aa = = = = = = + + − − + + − − a = 3 a = 3 b = 10 b = 10 c = 16 c = 16 dd cc bb aa dd bb cc aa dd cc bb aa = = = = ± ± ± ± ⇒ ⇒ = =
d) d) 55 33 11 xx 33 xx = = + + + + e) e) 33 55 22 xx xx 33 22 −− = = − − 3)
3) Calcule, em cada item a quartaCalcule, em cada item a quarta proporcional entre: proporcional entre: a) a) 8, 2 e 288, 2 e 28 b) b) 6, 18 e 156, 18 e 15 c) c) 3, 4 e 63, 4 e 6 d) d) 22 11 ee 66 55 33 11 ,, e) e) 66,, 33ee 88 4)
4) Calcule, em cada item a terceiraCalcule, em cada item a terceira proporcional entre: proporcional entre: a) a) 4 e 64 e 6 b) b) 3 e 83 e 8 c) c) 2 e 52 e 5 d) d) 33 11 ee 22 11 e) e) 55ee 77 5)
5) Numa escola, a razão entre o número deNuma escola, a razão entre o número de professores e o número de alunos é
professores e o número de alunos é 18 18 11
.. a)
a) JustiJustifique o fique o sigsignificado dessa nificado dessa proporção.proporção. b)
b) Se a escola tem 25 professores, quantosSe a escola tem 25 professores, quantos são os alunos?
são os alunos? 6)
6) Uma planta de uma casa é desenhada naUma planta de uma casa é desenhada na escala 1:50. Qual a área de uma sala que, escala 1:50. Qual a área de uma sala que, na planta, tem 4,5 x 5,2 cm?
na planta, tem 4,5 x 5,2 cm? 7)
7) Calcule os valores desconhecidos:Calcule os valores desconhecidos:
a) a) = = = = + + 33 22 yy xx 75 75 yy xx b) b) = = − − = = 44 xx yy 55 33 yy xx c) c) = = + + − − = = = = 80 80 cc bb aa 33 cc 77 bb 20 20 aa 8)
8) Um comerciante deseja lucrar R$ 2,00 emUm comerciante deseja lucrar R$ 2,00 em cada R$ 1,00que paga ao adquirir suas cada R$ 1,00que paga ao adquirir suas mercadorias. Qual deve ser o preço de mercadorias. Qual deve ser o preço de venda de um produto que lhe custou R$ venda de um produto que lhe custou R$ 42,00?
42,00? 9)
9) Determine três números cuja soma é 105,Determine três números cuja soma é 105, sabendo que o primeiro está para 2 assim sabendo que o primeiro está para 2 assim como o segundo está para cinco e o dobro como o segundo está para cinco e o dobro do terceiro está para 16.
do terceiro está para 16.
II – NÚMEROS PROPORCIONAIS
II – NÚMEROS PROPORCIONAIS
--
REGRA DE TRÊS
REGRA DE TRÊS
1.
1. Grandezas proporcionais
Grandezas proporcionais
Quando duas grandezas variam sempre Quando duas grandezas variam sempre segundo uma mesma razão, são denominadas segundo uma mesma razão, são denominadas
grandezas diretamente proporcionais,
grandezas diretamente proporcionais, e e sese
variam sempre na razão inversa uma da outra, variam sempre na razão inversa uma da outra, são denominadas
são denominadas grandezas inversamente grandezas inversamente proporcionais
proporcionais..
•
• Diretamente proporcionais: velocidade eDiretamente proporcionais: velocidade e
distância, litros de gasolina e preço; horas distância, litros de gasolina e preço; horas de trabalho e
de trabalho e produção.produção. kk dd cc bb aa = = = = =
= ...... ; onde k é o fator de; onde k é o fator de
proporcionalidade. proporcionalidade.
•
• Inversamente proporcionais: velocidade eInversamente proporcionais: velocidade e
tempo de viagem, número de ganhadores tempo de viagem, número de ganhadores da loteria e valor do prêmio; número de da loteria e valor do prêmio; número de trabalhadores e tempo de execução do trabalhadores e tempo de execução do trabalho.
trabalho.
aa ·· b b = = cc ·· d = ... = k; onde k é o fator ded = ... = k; onde k é o fator de
proporcionalidade. proporcionalidade. Exemplos:
Exemplos: 1)
1) Um viajante percorre a distância de 80 kmUm viajante percorre a distância de 80 km em 1h30min. Mantendo a mesma em 1h30min. Mantendo a mesma velocidade média, quanto percorreria em velocidade média, quanto percorreria em 2h15min?
180 180 xx 55 11 55 11 80 80 25 25 22 xx = = = =⇒⇒ = = ,, ,, ,, ⇒⇒ 2)
2) Três ganhadores da loteria receberam,Três ganhadores da loteria receberam, cada um, R$ 25.000,00. Quanto receberia cada um, R$ 25.000,00. Quanto receberia cada um se houvesse 5 ganhadores?
cada um se houvesse 5 ganhadores? 33 ··25.000 = 525.000 = 5 ··xx ⇒⇒
2.
2. Divisão proporcional
Divisão proporcional
Dividir um número em partes Dividir um número em partes proporcionais aos números de uma dada proporcionais aos números de uma dada sucessão significa encontrar parcelas desse sucessão significa encontrar parcelas desse número que formem uma sucessão número que formem uma sucessão proporcional àquela e que, somadas, proporcional àquela e que, somadas, reproduzem esse número.
reproduzem esse número. Exemplos:
Exemplos: 1)
1) Repartir o número 18 em partesRepartir o número 18 em partes diretamente proporcionai diretamente proporcionais a 5 s a 5 e 4.e 4. 22 99 18 18 44 55 yy xx 44 yy 55 xx = = = = + + + + ⇒ ⇒ = = 22 55 xx = = ⇒⇒ y = 18 – 10 y = 18 – 10 ⇒⇒ 2)
2) Repartir o número 350 em partesRepartir o número 350 em partes inversamente proporcionais a 2 e 5. inversamente proporcionais a 2 e 5. xx ··2 = y2 = y ··55 ⇒⇒ 22 yy 55 xx == x + y = 350 x + y = 350 350 350 22 yy 22 yy 55 350 350 yy 22 yy 55 = = + + ⇒ ⇒ = = + + 7y = 700 7y = 700 ⇒⇒ x = 350 – 100 x = 350 – 100 ⇒⇒
3.
3. Regra de três
Regra de três
3.1. Simples 3.1. SimplesÉ uma regra prática que nos permite É uma regra prática que nos permite comparar duas grandezas proporcionais, comparar duas grandezas proporcionais, AA ee B
B, relacionando dois valores da grandeza, relacionando dois valores da grandeza AA ee dois da grandeza
dois da grandeza BB. Essas grandezas formam. Essas grandezas formam uma proporção em que se conhecem três dos uma proporção em que se conhecem três dos termos e o quarto é
termos e o quarto é o procurado.o procurado.
Podemos ter dois tipos de regra de três: Podemos ter dois tipos de regra de três: direta e
direta e inversa. Observe os exemplos:inversa. Observe os exemplos: a)
a) DiretaDireta
Cinco metros de certo tecido custam Cinco metros de certo tecido custam R$ 65,00. Quanto custarão oito metros do R$ 65,00. Quanto custarão oito metros do mesmo tecido?
mesmo tecido? Quantidade
Quantidade de de tecido tecido preçopreço
5 65,0 5 65,0 8 8 XX X X 65 65 88 55 = = ⇒⇒ 5 X = 5205 X = 520 b) b) InversaInversa
Duas torneiras enchem uma caixa d’água em 6 Duas torneiras enchem uma caixa d’água em 6 horas. Quantas torneiras do mesmo tipo são horas. Quantas torneiras do mesmo tipo são necessárias para encher a mesma caixa d’água necessárias para encher a mesma caixa d’água em 4 horas? em 4 horas? torneiras Tempo torneiras Tempo 2 2 66 X X 44 66 44 X X 22 = = ⇒⇒ 4 X = 124 X = 12 3.2. Composta 3.2. Composta
Uma grandeza que varia em Uma grandeza que varia em dependência com duas ou mais grandezas é dependência com duas ou mais grandezas é chamada
chamada grandeza compostagrandeza composta..
Na regra de três composta, utilizamos Na regra de três composta, utilizamos o
o segseguinte uinte procedimento:procedimento:
•
• Montamos uma tabela colocando em cadaMontamos uma tabela colocando em cada
coluna, ordenadamente, os valores de cada coluna, ordenadamente, os valores de cada grandeza. grandeza. x = 120 km x = 120 km x = R$ 15.000,00 x = R$ 15.000,00 x = 10 x = 10 y = 8 y = 8 y = 100 y = 100 x = 250 x = 250 X = R$ 104,00 X = R$ 104,00 X = 3 torneiras X = 3 torneiras
•
• Verificamos se a grandeza que contém aVerificamos se a grandeza que contém a
incógnita comporta-se com incógnita comporta-se com proporcionalidade direta ou inversa em proporcionalidade direta ou inversa em relação a cada uma das outras grandezas. relação a cada uma das outras grandezas.
•
• Caso haja dependência Caso haja dependência inversa, invertemosinversa, invertemos
os elementos da respectiva coluna. os elementos da respectiva coluna.
•
• Montamos a equação, relacionando aMontamos a equação, relacionando a
grandeza que contém a incógnita com as grandeza que contém a incógnita com as demais grandezas utilizando a propriedade demais grandezas utilizando a propriedade
Exemplo: Exemplo:
Vinte operários levam 10 dias para levantar Vinte operários levam 10 dias para levantar um muro de 2 m de altura e 25 m de um muro de 2 m de altura e 25 m de comprimento. Quantos dias levarão 15 comprimento. Quantos dias levarão 15 operários para construir um muro de mesma operários para construir um muro de mesma largura mas com comprimento 40 m e 3m de largura mas com comprimento 40 m e 3m de altura?
altura? operários
operários diasdias comprimento alturacomprimento altura 20 20 1010 25 25 22 15 15 XX 40 40 33 2400 2400 750 750 X X 10 10 33 40 40 20 20 22 25 25 15 15 X X 10 10 = = ⇒ ⇒ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ = = 750 X = 24000 750 X = 24000 ⇒⇒ EX
EXERCÍCIOS DE FIERCÍCIOS DE FIXAÇÃOXAÇÃO 1.
1. Repartir o número 520 em partesRepartir o número 520 em partes diretamente proporcionai
diretamente proporcionais a 4 s a 4 e 1/3.e 1/3. 2.
2. Repartir o número 459 em partesRepartir o número 459 em partes inversamente proporcionais a 3, 4, 10 e 6. inversamente proporcionais a 3, 4, 10 e 6. 3.
3. Três pessTrês pessoas, A, B e oas, A, B e C, compraram juntasC, compraram juntas um bilhete de rifa que premia o sorteado um bilhete de rifa que premia o sorteado com 10 000 dólares. Na compra do com 10 000 dólares. Na compra do bilhete, a pessoa A colaborou com 10 bilhete, a pessoa A colaborou com 10 dólares, a pessoa B com 15 dólares e a dólares, a pessoa B com 15 dólares e a pessoa C com 25 dólares. Caso o bilhete pessoa C com 25 dólares. Caso o bilhete que compraram seja o sorteado, quanto que compraram seja o sorteado, quanto
receberá cada pessoa, se o combinado foi receberá cada pessoa, se o combinado foi que cada uma receberia uma quantia que cada uma receberia uma quantia proporcional ao dinheiro gasto?
proporcional ao dinheiro gasto? 4.
4. João e Carlos associaram-se aplicandoJoão e Carlos associaram-se aplicando capitais idênticos. No final de certo capitais idênticos. No final de certo período, a sociedade apresentou prejuízo período, a sociedade apresentou prejuízo de R$ 5 000,00. Qual o prejuízo de cada de R$ 5 000,00. Qual o prejuízo de cada um, se João aplicou seu capital por 3 um, se João aplicou seu capital por 3 meses e Carlos por 7 e combinaram que a meses e Carlos por 7 e combinaram que a divisão seria diretamente proporcional ao divisão seria diretamente proporcional ao tempo de cada um?
tempo de cada um? 5.
5. Certa sociedade constituída por 3 sóciosCerta sociedade constituída por 3 sócios (A, B e C) obteve, em determinado (A, B e C) obteve, em determinado período de tempo, um lucro de R$ 27 período de tempo, um lucro de R$ 27 000,00. Qual a parte desse lucro que 000,00. Qual a parte desse lucro que coube a cada sócio, se A entrou com 1/3 coube a cada sócio, se A entrou com 1/3 do capital, B com 2/5 e C com o restante? do capital, B com 2/5 e C com o restante? 6.
6. Dois sóciDois sócios devem reos devem repartir entre si o partir entre si o lucrolucro de R$ 64 350,00. Sabendo que o primeiro de R$ 64 350,00. Sabendo que o primeiro socio empregou um capital de R$ 26 socio empregou um capital de R$ 26 900,00 e que o lucro do segundo foi de R$ 900,00 e que o lucro do segundo foi de R$ 24 000,00, calcule o lucro do primeiro e o 24 000,00, calcule o lucro do primeiro e o capital do segundo.
capital do segundo. 7.
7. Um lojista A fundou sua loja com umUm lojista A fundou sua loja com um capitai de R$ 5 000,00. Cinco meses mais capitai de R$ 5 000,00. Cinco meses mais tarde, admitiu um sócio B, que entrou tarde, admitiu um sócio B, que entrou com R$ 10 000,00. Ao final de 20 meses, com R$ 10 000,00. Ao final de 20 meses, a empresa apresentou lucro de R$ a empresa apresentou lucro de R$ 15.000,00. Qual a parte do lucro que 15.000,00. Qual a parte do lucro que coube a
coube a cada sócio?cada sócio? 8.
8. Um reservatório de 2 520Um reservatório de 2 520 ll de cde capaciapacidadedade
foi completamente enchido por 3 foi completamente enchido por 3 torneiras, que despejam por minuto 12 torneiras, que despejam por minuto 12 ll ,,
88 ll e e 1616 ll de água, respectivamente.de água, respectivamente.
Determine o volume de água que o Determine o volume de água que o reservatório recebeu de
reservatório recebeu de cada torneira?cada torneira? 9.
9. Uma torre de 25,05 metros dá umaUma torre de 25,05 metros dá uma sombra de 33,40 metros. Qual será, na sombra de 33,40 metros. Qual será, na mesm
mesma hora, a hora, a sombra de a sombra de uma pessoa cujauma pessoa cuja altura é 1 ,80 metro?
altura é 1 ,80 metro? 10.
10. Um trabalho é feito por 21 teares em certoUm trabalho é feito por 21 teares em certo tempo, trabalhando 5 horas por dia. tempo, trabalhando 5 horas por dia. Quantas horas por dia deverão trabalhar Quantas horas por dia deverão trabalhar 15 teares para realizar o mesmo trabalho 15 teares para realizar o mesmo trabalho no mesmo tempo?
no mesmo tempo?
Se uma grandeza C é diretamente Se uma grandeza C é diretamente
proporcional, separadamente, às
proporcional, separadamente, às
grandezas A (quando B permanece grandezas A (quando B permanece constante) e B (quando C permanece constante) e B (quando C permanece constante), então A é diretamente constante), então A é diretamente proporcional ao produto B
proporcional ao produto B ·· C.C.
X = 32 dias X = 32 dias
11.
11. Um terreno retangular tem 36 m deUm terreno retangular tem 36 m de comprimento e 45 m de largura. Se comprimento e 45 m de largura. Se dimi
diminuirmos o nuirmos o compricomprimento desse terrmento desse terrenoeno em 6 m, quantos metros devemos em 6 m, quantos metros devemos aumentar na sua largura para que a área aumentar na sua largura para que a área permaneça a
permaneça a mesmmesma?a? 12.
12. Dez arados, em 9 dias de 8 horas,Dez arados, em 9 dias de 8 horas, preparam um terreno de 40 ares. Em preparam um terreno de 40 ares. Em quantos dias de 9 horas, 12 arados quantos dias de 9 horas, 12 arados idênticos aos primeiros preparam um idênticos aos primeiros preparam um terreno de
terreno de 48 ares?48 ares? 13.
13. Uma família de 6 pessoas consome em 2Uma família de 6 pessoas consome em 2 dias 3 kg de pão. Quantos quilos serão dias 3 kg de pão. Quantos quilos serão necessários para alimentá-la durante 5 necessários para alimentá-la durante 5 dias estando ausentes 2 pessoas?
dias estando ausentes 2 pessoas?
III – PORCENTAGEM
III – PORCENTAGEM
As expressões com o termo
As expressões com o termo por cento por cento,,
são simplesmente uma maneira de se são simplesmente uma maneira de se representar as razões centesimais, nas quais o representar as razões centesimais, nas quais o símbolo % substitui o denominador 100. símbolo % substitui o denominador 100. Nesse caso, as razões centesimais recebem Nesse caso, as razões centesimais recebem uma denominação especial:
uma denominação especial: taxa taxa dede porcentagem porcentagem.. 100 100 14 14
=14% (Lê-se 14 por cento) =14% (Lê-se 14 por cento)
Quando o denominador de uma fração Quando o denominador de uma fração não é 100, pode-se encontrar a taxa de não é 100, pode-se encontrar a taxa de porcentagem que representa essa fração como porcentagem que representa essa fração como no exemplo a seguir. no exemplo a seguir. % % ,, 4040 100 100 40 40 40 40 00 55 22 = = = = = = % % ,, 7575 100 100 75 75 75 75 00 44 33 = = = = = = pp ⇒⇒ porcentagemporcentagem Onde: i
Onde: i⇒⇒ taxa taxa unitáriunitáriaa
P =
P = principrincipalpal Exemplos:
Exemplos: 1)
1) Um vendedor tem 3% de comissão nosUm vendedor tem 3% de comissão nos negócios que faz. Qual sua comissão negócios que faz. Qual sua comissão numa venda de R$ numa venda de R$ 3.600,00?3.600,00? P = 3.600,00 P = 3.600,00 i = 3% = 0,03 i = 3% = 0,03 p = i p = i ··PP ⇒⇒ p = 0,03p = 0,03 ··3.6003.600 2)
2) Um produto foi adquirido por R$ 50,00 eUm produto foi adquirido por R$ 50,00 e vendido por R$ 82,00. Qual a vendido por R$ 82,00. Qual a porcentagem de lucro? porcentagem de lucro? l l= 82,00 – 50,00 = 32,00 = p= 82,00 – 50,00 = 32,00 = p p = i p = i ··PP ⇒⇒ 32 = i32 = i ··5050 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1)
1) Exprima, sob a forma de taxa porcentual,Exprima, sob a forma de taxa porcentual, cada uma
cada uma das seguidas seguintes razões:ntes razões: a) a) 55 22 b) b) 72 72 35 35 c) c) 33 22 11 d) d) 0,26 0,26 e) e) 0,05 0,05 e) 0,012e) 0,012 2)
2) Excreva as taxas percentuais abaixo comoExcreva as taxas percentuais abaixo como unitárias: unitárias: a) a) 85% 85% b) b) 3,75% 3,75% c) c) 0,2%0,2% d) d) %% 55 33 e) e) 33 22 11 % % ff)) 33 44 22 %% 3) 3) Calcule:Calcule: a) a) 25% de 40025% de 400 b) b) 12,5% de R$ 120,0012,5% de R$ 120,00 c) c) 0,38% de R$ 863,870,38% de R$ 863,87 d) d) 132% de R$ 56,00132% de R$ 56,00 4)
4) Calcule a quantia na qual:Calcule a quantia na qual: a) a) R$ 32,00 representam 5,6%R$ 32,00 representam 5,6% b) b) R$ 32,56 representam 0,5%R$ 32,56 representam 0,5% c) c) R$ 29,04 representam 1,57%R$ 29,04 representam 1,57% 5)
5) Vendi uma mercadoria recebendo 25 % deVendi uma mercadoria recebendo 25 % de entrada e o restante em três prestações de entrada e o restante em três prestações de
Porcentagem é o resultado que obtemos Porcentagem é o resultado que obtemos quando aplicamos a taxa de porcentagem quando aplicamos a taxa de porcentagem a um determinado valor, isto é, a a um determinado valor, isto é, a porcentagem é o produto da taxa porcentagem é o produto da taxa
unitária por esse valor. unitária por esse valor.
p = i
p = i
··P
P
p = R$ 108,00 p = R$ 108,00 i = 64 % i = 64 %R$ 1.600,00 e uma de R$ 1.800,00. Qual o R$ 1.600,00 e uma de R$ 1.800,00. Qual o preço da mercadoria?
preço da mercadoria? 6)
6) Um vendedor recebe 3% de comissãoUm vendedor recebe 3% de comissão sobre as vendas que efetua. Qual a quantia sobre as vendas que efetua. Qual a quantia a receber pelas vendas de R$ 800,00; R$ a receber pelas vendas de R$ 800,00; R$ 238,50 e R$ 973,65?
238,50 e R$ 973,65? 7)
7) Uma loja oferece 15% de desconto para asUma loja oferece 15% de desconto para as mercadorias compradas à vista. Se o preço mercadorias compradas à vista. Se o preço de uma delas é R$ 145,00, qual deve ser o de uma delas é R$ 145,00, qual deve ser o seu preço para
seu preço para venda nessa condivenda nessa condição?ção? 8)
8) Um relojoeiro adquire um lote de 120Um relojoeiro adquire um lote de 120 relógios à R$ 85,00. Vende 2/3 a R$ relógios à R$ 85,00. Vende 2/3 a R$ 120,00 e o restante a R$ 142,00. De 120,00 e o restante a R$ 142,00. De quanto por cento foi o lucro?
quanto por cento foi o lucro? 9)
9) Uma pessoa deseja adquirir uma televisãoUma pessoa deseja adquirir uma televisão catalog
catalogada por R$ 464,00. ada por R$ 464,00. SSe e o pagamentoo pagamento for à vista, aloja oferecerá um desconto de for à vista, aloja oferecerá um desconto de 5%. Como a pessoa não pode fa
5%. Como a pessoa não pode faze-lze-lo, pagao, paga 2/5 à vista e o restante em 3 prestações, 2/5 à vista e o restante em 3 prestações, sofrendo um aumento de 38% sobre a sofrendo um aumento de 38% sobre a parte re
parte relativlativa às a às prestações.prestações. a)
a) Qual o preço à vista da televisão?Qual o preço à vista da televisão? b)
b) Qual o valor de cada Qual o valor de cada prestação?prestação? 10)
10)Um comerciante comprou 120 bonés à R$Um comerciante comprou 120 bonés à R$ 8,80 cada. Vendeu a metade a R$ 10,50 e 8,80 cada. Vendeu a metade a R$ 10,50 e o restante a R$ 12,30. De quanto por cento o restante a R$ 12,30. De quanto por cento foi o lucro?
foi o lucro? 11)
11)Três sócios empregaram, respectivamente,Três sócios empregaram, respectivamente, os capitais de R$ 1.800,00, R$ 2.250,00 e os capitais de R$ 1.800,00, R$ 2.250,00 e R$ 2.700,00. Após um certo tempo, R$ 2.700,00. Após um certo tempo, obtiveram um lucro líquido de R$ obtiveram um lucro líquido de R$ 5.400,00.
5.400,00. Qual Qual será a parte de será a parte de cada um?cada um? 12)
12)Três sócios empregaram, respectivamente,Três sócios empregaram, respectivamente, os capitais de R$ 2.800,00, R$ 2.500,00 e os capitais de R$ 2.800,00, R$ 2.500,00 e R$ 2.700,00 na abertura de uma empresa. R$ 2.700,00 na abertura de uma empresa. Após algum tempo, o terceiro sócio Após algum tempo, o terceiro sócio resolveu sair da sociedade. O balanço resolveu sair da sociedade. O balanço acusou um patrimônio (ativo e passivo) de acusou um patrimônio (ativo e passivo) de R$ 12.750,00. Quanto cada um dos dois R$ 12.750,00. Quanto cada um dos dois remanescentes devem pagar ao sócio remanescentes devem pagar ao sócio desis
desistente patente para ficarem com ra ficarem com partes iguaipartes iguais?s?
IV – JUROS SIMPLES
IV – JUROS SIMPLES
Juros representam a remuneração do Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade Capital empregado em alguma atividade produtiva. O Capital é o valor ap
produtiva. O Capital é o valor aplilicado atracado atravésvés de alguma operação financeira. Também de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado.
Valor Presente ou Valor Aplicado. O
O jurojuro é a remuneração peloé a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do
abstinência na proporção do tempotempo ee riscorisco,, que a operação envolver. O tempo, o risco e a que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como
remuneração, mais conhecida como taxa detaxa de juros.
juros.
Raramente encontramos uso para o Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.
de desconto simples de duplicatas.
A taxa de juros indica qual A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere:
período de tempo a que se refere:
•
• 8 % a.a. 8 % a.a. - (a.a. signi- (a.a. significa ao fica ao ano).ano). •
• 10 % a.t. 10 % a.t. - (a.t. - (a.t. sigsignifica ao trimestre)nifica ao trimestre)
Outra forma de
Outra forma de apresentação da taxa de jurosapresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100, excluído o %:
dividida por 100, excluído o %:
•
• 0,15 a.m. - (a.m. signi0,15 a.m. - (a.m. significa afica ao mês).o mês). •
• 0,10 a.q. - (a.q. sig0,10 a.q. - (a.q. significa ao nifica ao quadrimquadrimestre).estre).
O regime de juros será simples quando O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros.
período não incidirão novos juros. ValorValor Principal ou simplesmente principal é o valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em somarmos os juros. Transformando em fórmul
fórmula a temos:temos:
JJ⇒⇒ juro (R$)juro (R$)
C
C ⇒⇒ capital (R$)capital (R$)
ii⇒⇒ taxa taxa unitáriunitáriaa
tt ⇒⇒ tempotempo
J = C
Exemplo: Exemplo:
Temos uma dívida de R$ 1.000,00 que deve Temos uma dívida de R$ 1.000,00 que deve ser paga com juros de 10% a.m. pelo regime ser paga com juros de 10% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 3 de juros simples e devemos pagá-la em 3 meses. Os juros que pagarei e o total a ser meses. Os juros que pagarei e o total a ser pago serão:
pago serão: Período
Período Capital Capital Juro Juro TotalTotal
0 1.000,00 0 1.000,00 1º 1º mês mês 1.000,00 1.000,00 100,00 100,00 1.100,001.100,00 2º 2º mês mês 1.100,00 1.100,00 100,00 100,00 1.200,001.200,00 3º 3º mês mês 1.200,00 1.200,00 100,00 100,00 1.300,001.300,00 300,00 1.300,00 300,00 1.300,00 O valor total a ser pago (R$ 1.300,00) O valor total a ser pago (R$ 1.300,00) será denominado
será denominado montante montante..
Utilizando as fórmulas acima temos: Utilizando as fórmulas acima temos: J =
J = CC ·· ii··tt ⇒⇒ J = 1000J = 1000 ··0,10,1·· 33
M = C + J
M = C + J ⇒⇒ M = 1.000,00 + 300,00M = 1.000,00 + 300,00
EX
EXERCÍCIOS DE FIERCÍCIOS DE FIXAÇÃOXAÇÃO 1)
1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 aCalcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.
13 % a.t. por 4 meses e 15 dias. 2)
2) Calcular os juros simples produzidos porCalcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, apl
R$40.000,00, aplicados à taxa de icados à taxa de 36% a.a.,36% a.a., durante 125
durante 125 dias.dias. 3)
3) Qual o capital que aplicado a juros simplesQual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias?
em 75 dias? 4)
4) Se a taxa de uma aplicação é de 150% aoSe a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?
capitalização simples? 5)
5) Uma aplicação de R$ 40.000,00 em letrasUma aplicação de R$ 40.000,00 em letras de câmbio, pelo prazo de 180 dias, obteve de câmbio, pelo prazo de 180 dias, obteve o rendimento de R$ 6.000,00. Qual a taxa o rendimento de R$ 6.000,00. Qual a taxa anual correspondente a essa a
anual correspondente a essa apliplicação?cação?
6)
6) Qual é o tempo em que um capital de R$Qual é o tempo em que um capital de R$ 964.800,00 a 25% ao ano, rende R$ 793.950,00 de 964.800,00 a 25% ao ano, rende R$ 793.950,00 de juro?
juro?
7)
7) Sabendo que o juro de R$ 1.200,00 foiSabendo que o juro de R$ 1.200,00 foi obtido com a aplicação de R$ 1.500,00 à obtido com a aplicação de R$ 1.500,00 à taxa de
taxa de 8% ao trimestre, calcul8% ao trimestre, calcule o e o prazo.prazo. 8)
8) Em quanto tempo um capital triplica deEm quanto tempo um capital triplica de valor à taxa de
valor à taxa de 20% ao ano?20% ao ano? 9)
9) Sabendo que um capital foi duplicado emSabendo que um capital foi duplicado em 8 anos a juro simples, a que taxa foi 8 anos a juro simples, a que taxa foi empregado esse capital?
empregado esse capital? 10)
10) Determine o montante de uma aplicaçãoDetermine o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00, à taxa de 2% ao mês, de R$ 5.000,00, à taxa de 2% ao mês, durante 2 anos.
durante 2 anos. 11)
11) A que taxa A que taxa anual deve ser aplianual deve ser aplicado ocado o capital de R; 485.000 para
capital de R; 485.000 para que acumulque acumulee em 1 ano e 2 meses um montante de R$ em 1 ano e 2 meses um montante de R$ 6.547,50?
6.547,50? 12)
12) Determine a aplicação inicial que, à taxaDetermine a aplicação inicial que, à taxa de 27% ao ano, acumulou em 3 anos, 2 de 27% ao ano, acumulou em 3 anos, 2 meses e 20 dias um montante de R$ meses e 20 dias um montante de R$ 5.864,32.
5.864,32. 13)
13) Duas pessoas têm juntas R$ 2.616,40 eDuas pessoas têm juntas R$ 2.616,40 e empregam o que têm à taxa de 40% ao empregam o que têm à taxa de 40% ao ano. Após 2 anos, a primeira recebe R$ ano. Após 2 anos, a primeira recebe R$ 697,38 de juro a mais que a segunda. Qual 697,38 de juro a mais que a segunda. Qual o capital de cada uma?
o capital de cada uma?
V – DESCONTO SIMPLES
V – DESCONTO SIMPLES
Se uma pessoa deve uma quantia em Se uma pessoa deve uma quantia em dinheiro numa data futura, é normal que dinheiro numa data futura, é normal que entregue ao credor um título de crédito, que é entregue ao credor um título de crédito, que é o comprovante dessa dívida.
o comprovante dessa dívida.
Todo título de crédito tem uma data de Todo título de crédito tem uma data de vencimento, porém, o devedor pode resgata-lo vencimento, porém, o devedor pode resgata-lo antecipadamente, obtendo com isso um antecipadamente, obtendo com isso um abatimento denominado
abatimento denominado desconto desconto. Essa. Essa
operação é uma das mais comuns aplicações operação é uma das mais comuns aplicações da regra de juro.
da regra de juro.
Os títulos de crédito mais utilizados Os títulos de crédito mais utilizados em operações financeiras são a nota em operações financeiras são a nota promiss
promissória, a ória, a dupliduplicata cata e a e a letra de câmbio.letra de câmbio.
M = C + J
M = C + J
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒M = C
M = C
··(1 + i
(1 + i
··t)
t)
J = R$ 300,00 J = R$ 300,00 M = R$ 1.300,00 M = R$ 1.300,00
AA nota promissórianota promissória é um comprovante daé um comprovante da
aplicação de um capital com vencimento aplicação de um capital com vencimento predeterminado. É um título muito usado predeterminado. É um título muito usado entre pessoas físicas ou entre pessoas entre pessoas físicas ou entre pessoas físicas e uma instituição financeira.
físicas e uma instituição financeira.
AA duplicataduplicata é um título emitido por umaé um título emitido por uma
pessoa jurídica contra seu cliente (pessoa pessoa jurídica contra seu cliente (pessoa física ou jurídica), para o qual ela vendeu física ou jurídica), para o qual ela vendeu mercadorias a prazo ou prestou serviços a mercadorias a prazo ou prestou serviços a serem pagos no futuro, segundo um serem pagos no futuro, segundo um contrato.
contrato.
AA letra de câmbioletra de câmbio, assim como a nota, assim como a nota
promissória, é um comprovante de uma promissória, é um comprovante de uma aplicação de capital com vencimento aplicação de capital com vencimento predeterminado; porém, é um título ao predeterminado; porém, é um título ao portador, emitido exclusivamente por uma portador, emitido exclusivamente por uma instituição financeira.
instituição financeira.
Com relação aos títulos de crédito, pode Com relação aos títulos de crédito, pode ocorrer:
ocorrer:
que o devedor efetue o pagamento antesque o devedor efetue o pagamento antes
do dia predeterminado. Neste caso, ele se do dia predeterminado. Neste caso, ele se beneficia com um abatimento beneficia com um abatimento correspondente ao juro que seria gerado correspondente ao juro que seria gerado por esse dinheiro durante o intervalo de por esse dinheiro durante o intervalo de tempo que falta para
tempo que falta para o vencimo vencimento;ento;
que o credor necessite do seu dinheiroque o credor necessite do seu dinheiro
antes da data predeterminada. Neste caso, antes da data predeterminada. Neste caso, ele pode vender o título de crédito a um ele pode vender o título de crédito a um terceiro e é justo que este último obtenha terceiro e é justo que este último obtenha um lucro, correspondente ao juro do um lucro, correspondente ao juro do capital que adianta, no intervalo de tempo capital que adianta, no intervalo de tempo que falta para o devedor liquidar o que falta para o devedor liquidar o pagamento; assim, ele paga uma quantia pagamento; assim, ele paga uma quantia menor que a f
menor que a fixada no título de crédito.ixada no título de crédito. Em ambos os casos há um benefício, Em ambos os casos há um benefício, definido pela diferença entre as duas definido pela diferença entre as duas quantidades. Esse benefício, obtido de comum quantidades. Esse benefício, obtido de comum acordo, recebe o nome de
acordo, recebe o nome de desconto. desconto.
Além disso: Além disso:
dia de vencimentodia de vencimento é o dia fixado no títuloé o dia fixado no título
para o pagamento ou recebimento da para o pagamento ou recebimento da aplicação;
aplicação;
valor nominal (N)valor nominal (N) é o valor indicado noé o valor indicado no
título (importância á ser paga no dia do título (importância á ser paga no dia do vencimento);
vencimento);
valor atual (A)valor atual (A) é o líquido pago (oué o líquido pago (ou
recebido) antes
recebido) antes do vencimento;do vencimento;
tempo ou prazo (t)tempo ou prazo (t) é o número de diasé o número de dias
compreendido entre o dia em que se compreendido entre o dia em que se
negocia o título e o de seu vencimento, negocia o título e o de seu vencimento, incluindo o primeiro e não o último, ou, incluindo o primeiro e não o último, ou, então. incluindo, o último e não o então. incluindo, o último e não o primeiro.
primeiro. Assim:
Assim:
O desconto pode ser feito O desconto pode ser feito considerando-se como capital o valor nominal considerando-se como capital o valor nominal ou o valor atual. No primeiro caso, é ou o valor atual. No primeiro caso, é denominado
denominado desconto comercial desconto comercial (ou por fora).(ou por fora).
No segundo,
No segundo, desconto racional desconto racional (ou por(ou por
dentro). dentro).
5.1. Desconto comercial 5.1. Desconto comercial
Valor do desconto comercial: Valor do desconto comercial:
onde: onde:
dd ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ valor do desconto comercial (R$)valor do desconto comercial (R$)
N
N ⇒⇒ valor nominal do título (R$)valor nominal do título (R$)
ii ⇒⇒ taxa taxa de desconto (unitária)de desconto (unitária)
tt ⇒⇒ tempo de tempo de antecipaçantecipaçãoão
Como o valor atual (A) é a diferença Como o valor atual (A) é a diferença entre o valor nominal e o desconto, temos: entre o valor nominal e o desconto, temos:
Nota:
Nota: O desconto comercial só deve serO desconto comercial só deve ser empregado para períodos curtos, pois empregado para períodos curtos, pois para prazos longos o valor do desconto para prazos longos o valor do desconto pode até ultrapassar o valor nominal do pode até ultrapassar o valor nominal do título.
título. Exemplos: Exemplos:
Desconto é a quantia a ser abatida, isto é, Desconto é a quantia a ser abatida, isto é, a diferença entre o valor nominal e o a diferença entre o valor nominal e o
valor atual. valor atual.
Chamamos de desconto comercial,
Chamamos de desconto comercial,
bancário ou por fora o equivalente ao bancário ou por fora o equivalente ao juro simples produzido pelo valor juro simples produzido pelo valor nominal do título no período de tempo nominal do título no período de tempo corresponden
correspondente e te e à taxa fixada.à taxa fixada.
dd
CC= N
= N
··ii
··tt
A
1)
1) Uma promissória no valor de R$ 1.450,00Uma promissória no valor de R$ 1.450,00 vai ser resgatada 45 dias antes do seu vai ser resgatada 45 dias antes do seu vencimento. Sendo a taxa de juros vencimento. Sendo a taxa de juros empregada igual a 3% am, calcule:
empregada igual a 3% am, calcule: a)
a) o valor do desconto comercial;o valor do desconto comercial; b)
b) o valor atual do título.o valor atual do título. N = 1.450,00 N = 1.450,00 T = 45 d = 1,5 m T = 45 d = 1,5 m i = 3% am = 0,03 am i = 3% am = 0,03 am d = N d = N·· ii··tt d = 1450 d = 1450 ··0,030,03·· 1,51,5⇒⇒ A = N – d = A = N – d = 1450,00 – 65,251450,00 – 65,25 2)
2) Uma duplicata de R$ 3.400,00 foiUma duplicata de R$ 3.400,00 foi descontada 2 meses antes de seu descontada 2 meses antes de seu vencimento por R$ 2.890,00. Sabendo que vencimento por R$ 2.890,00. Sabendo que a taxa envolvida na transação foi de 36 % a taxa envolvida na transação foi de 36 % aa, qual foi o tempo de
aa, qual foi o tempo de antecipação?antecipação? N = 3.400,00 N = 3.400,00 t = 2 m t = 2 m A = 2.890,00 A = 2.890,00 i = i = 12 12 36 36 = 3 % am = 0,03 am = 3 % am = 0,03 am A = N (1 – i A = N (1 – i··t)t) 2890 = 3400 (1 – 0,03 2890 = 3400 (1 – 0,03 ··t)t) 0,85 = 1 – 0,03 0,85 = 1 – 0,03 ·· tt 0,03 0,03·· t = 0,15t = 0,15 ⇒⇒
5.2. Taxa de juro efetiva 5.2. Taxa de juro efetiva
A taxa de juro que no
A taxa de juro que no períodoperíodo tt torna otorna o capital
capital AA igual ao montanteigual ao montante NN é a taxa queé a taxa que realmente está sendo cobrada na operação de realmente está sendo cobrada na operação de desconto. Essa taxa é denominada
desconto. Essa taxa é denominada taxa de taxa de juro efetiva
juro efetiva, que iremos representar por, que iremos representar por ii E E..
C = (1 + i C = (1 + i··t), mas, C = A e M = Nt), mas, C = A e M = N A (1 + i A (1 + i·· t) = Nt) = N⇒⇒ 1 + i1 + i··t =t = A A N N ii··t =t = A A N N – – 1 1 , , daí:daí: Exemplo: Exemplo:
Uma promissória no valor de R$ 1.450,00 vai Uma promissória no valor de R$ 1.450,00 vai ser resgatada 45 dias antes do seu vencimento ser resgatada 45 dias antes do seu vencimento a uma taxa de 3% am. Sabendo que o a uma taxa de 3% am. Sabendo que o desconto dado foi de R$ 65,25, calcule a taxa desconto dado foi de R$ 65,25, calcule a taxa de juro efetiva. de juro efetiva. N = 1.450,00 N = 1.450,00 d = 65,25 d = 65,25 t = 1,5 m t = 1,5 m i = 3% am = 0,03 am i = 3% am = 0,03 am A = 1.384,75 A = 1.384,75 i = i = 55 11 75 75 1384 1384 25 25 65 65 tt A A dd ,, ,, ,, ⋅⋅ = = ⋅⋅ i = 0,0314 i = 0,0314 ⇒⇒ 5.3. Equivalência de capitais 5.3. Equivalência de capitais
Às vezes temos necessidade de Às vezes temos necessidade de substituir um título (ou mais) por outro (ou, substituir um título (ou mais) por outro (ou, outros) com vencimento diferente ou. ainda, outros) com vencimento diferente ou. ainda, de saber se duas formas de pagamento são de saber se duas formas de pagamento são equivalentes.
equivalentes.
Esses problemas estão afetos, de modo Esses problemas estão afetos, de modo geral, à equivalência de capitais diferidos – geral, à equivalência de capitais diferidos – capitais cujos vencimentos têm datas capitais cujos vencimentos têm datas diferentes.
diferentes.
Dizemos que dois ou mais capitais Dizemos que dois ou mais capitais diferidos são equivalentes, em certa época, diferidos são equivalentes, em certa época, quando seus valores atuais, nessa época, são quando seus valores atuais, nessa época, são iguais.
iguais.
A solução deste tipo de problema A solução deste tipo de problema consiste em estabelecer uma data - data de consiste em estabelecer uma data - data de comparação - e
comparação - e comparar os valores atuais docomparar os valores atuais doss títul
títulos em questão, os em questão, nessa data. nessa data. Se resultar umaSe resultar uma igualdade, podemos concluir que esses igualdade, podemos concluir que esses capitais diferidos são equivalentes.
capitais diferidos são equivalentes.
No regime de juro simples, essa data No regime de juro simples, essa data de comparação deve ser a
de comparação deve ser a data zero data zero, isto é, a, isto é, a
data em que a dívida foi contraída; isto data em que a dívida foi contraída; isto porque, neste r
porque, neste regiegime, não podemos fracionar ome, não podemos fracionar o prazo de aplicação, já que o juro é admitido prazo de aplicação, já que o juro é admitido como sendo formado no fim do período de como sendo formado no fim do período de aplicação.
aplicação.
Assim, ao substituirmos títulos, Assim, ao substituirmos títulos, sea para adiar ou para antecipar, devemos sea para adiar ou para antecipar, devemos recuar à data zero e depois disso recalcular recuar à data zero e depois disso recalcular d = R$ 65,25 d = R$ 65,25 A = R$ 1.384,75 A = R$ 1.384,75 t = 5 meses t = 5 meses
ii
EE==
tt
A
A
dd
⋅⋅ iiEE= 3,14 %= 3,14 %para a data prevista para o pagamento do novo para a data prevista para o pagamento do novo título.
título.
Exemplo: Exemplo:
Quero substituir um título de R$ 5.000,00, Quero substituir um título de R$ 5.000,00, vencível em 2 meses por outros dois de vencível em 2 meses por outros dois de valores iguais com vencimentos para daqui a valores iguais com vencimentos para daqui a 45 dias e 90 dias. Sendo a taxa de 2,4 % am, 45 dias e 90 dias. Sendo a taxa de 2,4 % am, qual o valor nominal de cada um dos novos qual o valor nominal de cada um dos novos títulos? títulos? N = 5.000,00 N = 5.000,00 t = 2 m t = 2 m i = 2,4 % am = 0,024 a i = 2,4 % am = 0,024 amm t’ = 45 d = 1,5 m t’ = 45 d = 1,5 m t” = 90 d = 3 m t” = 90 d = 3 m N’= N” N’= N” Σ ΣA =A =ΣΣ A’A’ N (1 – i N (1 – i·· t) = N’ (1 – it) = N’ (1 – i ··t’) + N” (1 – it’) + N” (1 – i·· t”)t”) 5000 (1 – 0,024 5000 (1 – 0,024 ·· 2) = N’ (1 – 0,0242) = N’ (1 – 0,024 ·· 1,5) +1,5) + N’(1 – 0,024 N’(1 – 0,024 ··3)3) 47600 = 0,964 N’ + 0,977 N’ 47600 = 0,964 N’ + 0,977 N’ N’ = N’ = 941 941 11 47600 47600 ,, ⇒⇒ 5.4. Desconto racional 5.4. Desconto racional Nota:
Nota: Na prática, somente o descontoNa prática, somente o desconto comercial é utilizado; porém, é comercial é utilizado; porém, é necessário fazermos um rápido estudo necessário fazermos um rápido estudo do desconto racional porque, como do desconto racional porque, como veremos adiante, o desconto composto veremos adiante, o desconto composto está ligado a esse conceito.
está ligado a esse conceito. Valor do desconto racional: Valor do desconto racional:
onde: onde:
dd ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ valor do desconto comercial (R$)valor do desconto comercial (R$)
N
N ⇒⇒ valor nominal do título (R$)valor nominal do título (R$)
ii ⇒⇒ taxa taxa de desconto (unitária)de desconto (unitária)
tt ⇒⇒ tempo de tempo de antecipaçantecipaçãoão
Como o valor atual (A) é a diferença Como o valor atual (A) é a diferença entre o valor nominal e o desconto, temos: entre o valor nominal e o desconto, temos:
A ARR= N – d= N – dRR ⇒⇒
11
ii
tt
tt
ii
N
N
dd
RR ⋅⋅ + + ⋅⋅ ⋅⋅ = =Substituindo as duas expressões acima, temos: Substituindo as duas expressões acima, temos:
tt
ii
11
N
N
A
A
RR ⋅⋅ + + = = Exemplo: Exemplo:Uma promissória no valor de R$ 1.450,00 vai Uma promissória no valor de R$ 1.450,00 vai ser resgatada 45 dias a
ser resgatada 45 dias antes do seu vencimento.ntes do seu vencimento. Sendo a taxa de juros empregada igual a 3% Sendo a taxa de juros empregada igual a 3% am, calcule:
am, calcule: a)
a) o valor do o valor do desconto racional;desconto racional; b)
b) o valor atual do título.o valor atual do título. N = 1.450,00 N = 1.450,00 T = 45 d = 1,5 m T = 45 d = 1,5 m i = 3% am = 0,03 am i = 3% am = 0,03 am d = d = 55 11 03 03 00 11 55 11 03 03 00 1450 1450 tt ii 11 tt ii N N ,, ,, ,, ,, ⋅⋅ + + ⋅⋅ ⋅⋅ = = ⋅⋅ + + ⋅⋅ ⋅⋅ d = d = 045 045 11 25 25 65 65 ,, ,, ⇒⇒ A = N – d A = N – d = 1450,00 – 62,44= 1450,00 – 62,44 Nota:
Nota: Sempre que o tipo de desconto não forSempre que o tipo de desconto não for explicitado, adotaremos o desconto explicitado, adotaremos o desconto comercial.
comercial.
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1)
1) 0 valor atual de um título de R$ 0 valor atual de um título de R$ 4.800,00 é4.800,00 é R$ 4.380,00. Sabendo que a taxa bancária R$ 4.380,00. Sabendo que a taxa bancária de desconto é de 3,5% ao mês, qual o de desconto é de 3,5% ao mês, qual o tempo de a
tempo de antecintecipação?pação?
meses meses 0 1 2 3 0 1 2 3 N’ = N” = R$24.523,44 N’ = N” = R$24.523,44 Cham
Chamamos de desconto amos de desconto racional ou porracional ou por dentro o equivalente ao
dentro o equivalente ao juro produzidojuro produzido pelo valor at
pelo valor atual do título numa taxa fixadaual do título numa taxa fixada e durante o t
e durante o tempo correspondenempo correspondente.te.
dd
RR= A
= A
··ii
··tt
A = R$ 1.387,56 A = R$ 1.387,56
d = R$ 62,44 d = R$ 62,44
2)
2) Uma empresa possui um titulo cujo valorUma empresa possui um titulo cujo valor nominal é de R$ 70.000,00, com nominal é de R$ 70.000,00, com vencimento daqui a 150 dias. Quantos dias vencimento daqui a 150 dias. Quantos dias antes do vencimento deve descontá-lo à antes do vencimento deve descontá-lo à taxa comercial de 36 % aa, para que possa taxa comercial de 36 % aa, para que possa adquirir mercadorias no valor de R$ adquirir mercadorias no valor de R$ 67.900,00?
67.900,00? 3)
3) Um comerciante vai a um banco eUm comerciante vai a um banco e desconta uma nota promissória para 90 desconta uma nota promissória para 90 dias, à taxa de 3 % ao mês, mais 1,5% de dias, à taxa de 3 % ao mês, mais 1,5% de comissão. Sabendo que o líquido creditado comissão. Sabendo que o líquido creditado para o comerciante foi de R$ 17.900,00, para o comerciante foi de R$ 17.900,00, qual o valor da promissória?
qual o valor da promissória? 4)
4) Um título de R$ 2.700,00 foi descontadoUm título de R$ 2.700,00 foi descontado faltando 60 dias para o vencimento do faltando 60 dias para o vencimento do mesmo. Sabendo que o desconto foi de R$ mesmo. Sabendo que o desconto foi de R$ 180,00, calcule a taxa de desconto e a taxa 180,00, calcule a taxa de desconto e a taxa de juro efetiva.
de juro efetiva. 5)
5) Sou portador de duas notas promissórias,Sou portador de duas notas promissórias, uma de R$ 80.000,00 vencível em 150 uma de R$ 80.000,00 vencível em 150 dias, e outra de R$ 40.000,00 vencível em dias, e outra de R$ 40.000,00 vencível em 120 dias. Pretendendo descontá-las dentro 120 dias. Pretendendo descontá-las dentro de 90 dias, qual o valor a ser recebido, à de 90 dias, qual o valor a ser recebido, à taxa de
taxa de desdesconto de 3,5% ao conto de 3,5% ao mês?mês? 6)
6) Um título no valor nominal de R$Um título no valor nominal de R$ 70.000,00 pagável em 50 dias vai ser 70.000,00 pagável em 50 dias vai ser substi
substituído por outro tuído por outro com vencimento parcom vencimento paraa 120 dias. Sabendo que o credor pode 120 dias. Sabendo que o credor pode resgatar o título à taxa de 36% ao ano, resgatar o título à taxa de 36% ao ano, determine o valor nominal do novo título. determine o valor nominal do novo título. 7)
7) Um comerciante descontou dois títulos emUm comerciante descontou dois títulos em um banco: um de R$ 1.200,00 para 120 um banco: um de R$ 1.200,00 para 120 dias, e outro de R$ 1.000,00 para 150 dias. dias, e outro de R$ 1.000,00 para 150 dias. Desejando substitui-los por um título Desejando substitui-los por um título único com vencimento para 90 dias, único com vencimento para 90 dias, calcule o valor nominal deste último, calcule o valor nominal deste último, supondo que a taxa de desconto de 42% ao supondo que a taxa de desconto de 42% ao ano permaneça
ano permaneça inalinalterada.terada. 8)
8) Um microempresário tem três títulos, deUm microempresário tem três títulos, de R$ 2.000,00, R$ 1.200,00 e R$ 2.800,00, R$ 2.000,00, R$ 1.200,00 e R$ 2.800,00, descontados
descontados em um em um banco banco e e comcom vencimentos para 90, 150 e 180 dias, vencimentos para 90, 150 e 180 dias, respectivamente. Desejando substitui-los respectivamente. Desejando substitui-los por dois outros de valores nominais iguais por dois outros de valores nominais iguais para 60 e
para 60 e 120 dias, cal120 dias, calcule o valor nocule o valor nomiminalnal comum, supondo que a taxa de desconto comum, supondo que a taxa de desconto
seja de 3,2% ao mês para as transações seja de 3,2% ao mês para as transações desse tipo.
desse tipo. 9)
9) Determine o desconto racional de umaDetermine o desconto racional de uma promiss
promissória de R$ ória de R$ 3.200,00, à taxa de 40%3.200,00, à taxa de 40% ao ano, resgatada 75 dias antes do ao ano, resgatada 75 dias antes do vencimento.
vencimento. 10)
10) Uma duplicata foi descontada pelo valorUma duplicata foi descontada pelo valor de R$ 2.343,75 cinqüenta dias antes de de R$ 2.343,75 cinqüenta dias antes de seuseu vencimento, à taxa racional de 45% ao vencimento, à taxa racional de 45% ao ano. Qual o seu valor nominal?
ano. Qual o seu valor nominal? 11)
11) Ao pagar um título de R$ 3.600,00 comAo pagar um título de R$ 3.600,00 com antecipação de 90 dias, recebe um antecipação de 90 dias, recebe um desconto racional de R$ 486,00. Qual é a desconto racional de R$ 486,00. Qual é a taxa de
taxa de descondesconto?to?
VI – JURO COMPOSTO
VI – JURO COMPOSTO
O regime de juros compostos é o mais O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas do mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte.
juros do período seguinte.
Chamamos de capitalização o Chamamos de capitalização o mom
momento em ento em que os juros são que os juros são incorporados aoincorporados ao principal.
principal.
Vejamos um exemplo: um capital de Vejamos um exemplo: um capital de R$ 100,00, aplicado a 2 % am, durante três R$ 100,00, aplicado a 2 % am, durante três meses, tem a seguinte evolução:
meses, tem a seguinte evolução: Mês
Mês Juro Juro MontanteMontante
0 100,00 0 100,00 1 1 2,00 2,00 102,00102,00 2 2 2,04 2,04 104,04104,04 3 3 2,08 2,08 106,12106,12 Assim: Assim: M = C x (1 + M = C x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)i)
Como o juro é a diferença entre o Como o juro é a diferença entre o montante e o capital temos:
montante e o capital temos:
Juro compos
Juro composto é aquele to é aquele que em cadaque em cada período financeiro, a partir do
período financeiro, a partir do segundo, ésegundo, é calculado sobre o montante relativo do calculado sobre o montante relativo do período anterior.
período anterior.
M = C (1 + i)
M = C (1 + i)
ttExemplo: Exemplo: 1)
1) Calcule o montante de um capital deCalcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao
durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês.mês. C = R$6.000,00
C = R$6.000,00 t = 1
t = 1 ano = 12 mesesano = 12 meses i = 3,5 % a.m. = 0,035 i = 3,5 % a.m. = 0,035 M = C M = C·· (1 + i)(1 + i)tt M = 6000 M = 6000··(1+0,035)12 = 6000(1+0,035)12 = 6000··(1,035)(1,035)1212 2)
2) Um capital de R$ 2.000,00, aplicado emUm capital de R$ 2.000,00, aplicado em regim
regime de juro coe de juro composmposto a 5 to a 5 % am, produz% am, produz um montante de R$ 2.205,00. Quanto um montante de R$ 2.205,00. Quanto tempo durou a aplicação?
tempo durou a aplicação? C = 2.000,00 C = 2.000,00 i = 5 % am = 0,05 am i = 5 % am = 0,05 am M = 2.205,00 M = 2.205,00 M = C (1 + i) M = C (1 + i) tt 2205 = 2000 (1 + 2205 = 2000 (1 + 0,05)0,05)tt 1,1025 = 1,05
1,1025 = 1,05tt ⇒⇒ aplicando logaritmo temos,aplicando logaritmo temos,
log 1,1025 = log 1,05 log 1,1025 = log 1,05tt log 1,1025 = t
log 1,1025 = t ··log 1,05log 1,05
t = t = 0212 0212 00 0424 0424 00 ,, ,, ⇒⇒ 6.1. Taxas equivalentes 6.1. Taxas equivalentes Duas taxas i
Duas taxas i11 e e ii22 são equivalentes, sesão equivalentes, se
aplicadas ao mesmo Capital
aplicadas ao mesmo Capital PP durante odurante o mesmo período de tempo, através de mesmo período de tempo, através de diferentes sistemas de capitalização, diferentes sistemas de capitalização, produzem o mesmo montante final.
produzem o mesmo montante final.
Seja o capitalSeja o capital CC aplicado por um ano aaplicado por um ano a
uma taxa anual i uma taxa anual iaa..
O montanteO montante MM ao final do período de 1ao final do período de 1
ano será igu
ano será igual a M = Pal a M = P(1 + i(1 + i aa).).
Consideremos agora, o mesmo capitalConsideremos agora, o mesmo capital CC
aplicado por 12 meses a uma taxa mensal aplicado por 12 meses a uma taxa mensal iimm..
O montanteO montante M’M’ ao final do período de 12ao final do período de 12
meses s
meses será igual a M’ = Perá igual a M’ = P(1 + i(1 + imm))1212..
Pela definição de taxas equivalentes Pela definição de taxas equivalentes vista acima, deveremos ter
vista acima, deveremos ter M = M’.M = M’. Portanto, C (1 + i
Portanto, C (1 + iaa) = C (1 + i) = C (1 + imm))1212
Daí concluímos que
Daí concluímos que 1 + i1 + iaa= (1 + i= (1 + imm))1212
Com esta fórmula podemos calcular a Com esta fórmula podemos calcular a taxa anual equivalente a uma taxa mensal taxa anual equivalente a uma taxa mensal conhecida.
conhecida.
onde k é
onde k é o período relativo.o período relativo. Exemplos:
Exemplos: 1)
1) Qual a taxa anual equivalente a 8% aoQual a taxa anual equivalente a 8% ao semestre?
semestre?
Em um ano temos dois semestres, então k = 2: Em um ano temos dois semestres, então k = 2: 1 + i 1 + iaa= (1 + i= (1 + iss))22 1 + i 1 + iaa= 1,08= 1,0822 iiaa= 0,1664= 0,1664 2)
2) Qual a taxa anual equivalente a 0,5% aoQual a taxa anual equivalente a 0,5% ao mês? mês? 1 + i 1 + iaa= (1 + i= (1 + imm))1212 1 + i 1 + iaa= (1,005)= (1,005)1212 iiaa= 0,0617= 0,0617 6.2. Taxas nominais 6.2. Taxas nominais
Normalmente o juro só é formado no Normalmente o juro só é formado no final de cada período. Entretanto, são final de cada período. Entretanto, são freqüentes, na
freqüentes, na prátiprática, ca, enuncienunciados do ados do tipo:tipo:
Juros de 25 % aa capitalizadosJuros de 25 % aa capitalizados
trimestralmente. trimestralmente.
Juros de 174,5 % aa capitalizadosJuros de 174,5 % aa capitalizados
mensalmente. mensalmente.
Tais enunciados caracterizam o que se Tais enunciados caracterizam o que se convencionou chamar
convencionou chamar taxas nominais taxas nominais..
Para resolvermos problemas que Para resolvermos problemas que trazem em seu enunciado uma taxa nominal, trazem em seu enunciado uma taxa nominal, adotamos, por convenção, que a taxa por adotamos, por convenção, que a taxa por
J = M – C
J = M – C
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒J = C [(1 + i)
J = C [(1 + i)
tt– 1]
– 1]
M = R$9.054,00 M = R$9.054,00 t = 2 meses t = 2 meses1 + i = (1 + i’)
1 + i = (1 + i’)
kk iiaa= 16,64% a.a= 16,64% a.a iiaa= = 6,17% a.a= = 6,17% a.aTaxa nominal é aquela cujo período de Taxa nominal é aquela cujo período de capitalização não coincide com aquele a capitalização não coincide com aquele a
que ela se refere. que ela se refere.
