INGENIERIA SISMICA-REVISAR

Análise de

Estruturas

ACÇÃO DOS SISMOS

1 0,0399 f1 = 160KN f2 = 160KN 0,0266/2 = 0,0133 0,0266 m m 2

APONTAMENTOS DAS AULAS

s

s

é

é

r

r

i

i

e

e

E

E

S

S

T

T

R

R

U

U

T

T

U

U

R

R

A

A

S

S

A Intensidade de um sismo é uma medida da destruição

observável numa determinada região afectada

A escala de intensidades mais vulgarizada foi proposta inicialmente por Mercalli e modificada subsequentemente por Richter, designando-se Escala de Intensidades Modificadas de Mercalli, ou simplesmente Escala de Mercalli modificada.

Esta escala é baseada num reconhecimento subjectivo dos efeitos da vibração no comportamento das pessoas e no grau de destruição provocado. Uma versão desta escala é apresentada, ilustrando-se, para cada grau, o tipo de efeitos observáveis:

¾ I - A vibração não é perceptível por pessoas.

¾ II - Vibração perceptível por pessoas situadas em pisos elevados de edifícios.

¾ III - Vibração perceptível dentro dos edifícios (semelhante à produzida pela passagem de camiões leves) podendo não ser identificada como um sismo; Alguns objectos pendurados balançam.

¾ IV - Vibração semelhante à provocada pela passagem de camiões pesados; Sensação de sacudidela como a provocada pela pancada de uma bola contra uma parede; Automóveis estacionados balançam; Portas e janelas rangem. Os vidros vibram;

¾ V - Vibração perceptível fora dos edifícios; Acorda pessoas, agita líquidos dentro dos recipientes podendo provocar extravasamento; Objectos menos estáveis podem ser derrubados ou arrastados; As portas oscilam; Os quadros nas paredes movem-se; Os pêndulos dos relógios param;

¾ VI - Vibração sentida por todas as pessoas podendo mesmo provocar algumas reacções de pânico; Pessoas a andar cambaleiam; Partem-se vidros de janelas; Objectos caem das prateleiras e quadros das paredes. Mobiliário é arrastado ou virado; Árvores e arbustos agitam-se visivelmente; O reboco das paredes e tectos estala;

¾ VII - Dificuldade das pessoas se manterem em pé; Vibração sentida por condutores de automóveis; Mobiliário partido e danos em cantaria fraca; Ruína de chaminés pequenas; Ruína de ornamentos de arquitectura; Queda de cornijas, floreiras, tijolos e telhas; Ondulação em lagos e deslocamento de areias em dunas.

¾ VIII - A condução de automóveis é perturbada pelas vibrações; Danos em alvenaria, com colapso parcial de alvenaria ordinária e danos leves em alvenaria armada; Ruína de chaminés, monumentos, torres e depósitos elevados; Deslocamentos nas fundações dos edifícios e eventualmente assentamentos por compactação do solo. Quebram-se ramos de árvores;

¾ IX - Pânico geral; Alvenaria fraca é destruída e a alvenaria de boa qualidade é seriamente danificada; As fundações são seriamente danificadas; Fendilhação generalizada do solo. ¾ X - A maior parte das construções em alvenaria são destruídas juntamente com as suas

fundações; Estruturas de madeira e algumas pontes são destruídas; Danos sérios em barragens, diques e taludes; Grandes movimentos do solo; Linhas de caminho de ferro levemente encurvadas; Água de rios e lagos projectada para fora das margens.

¾ XI - Linhas de caminho de ferro completamente encurvadas e pipelines destruídos.

¾ XII - Destruição praticamente total; Grandes massas rochosas deslocadas e linha do horizonte distorcida; Objectos projectados pelo ar.

+

Medidas de concepção

+

Mau

Bom

Mau

Bom

Para um edifício ser classificado como regular no plano, satisfará todas as condições listadas nos parágrafos seguintes:

• Com respeito à rigidez lateral e à distribuição de massa, a estrutura do edifício será aproximadamente simétrica em plano com respeito aos dois eixos ortogonais;

• A configuração no plano será compacta, i.e., cada pavimento será delimitado por uma linha poligonal convexa. Se este pavimento tiver reentrâncias/saliência (nos cantos ou no seu contorno), a regularidade no plano ainda pode ser considerada se essas singularidades não afectarem a rigidez desse plano, para cada reentrância/saliência isso significa que a área entre o contorno do piso e uma linha convexa poligonal envolvendo o mesmo não excede 5 % da área de pavimento.

• A rigidez no plano dos pavimentos deverá ser suficientemente grande, em comparação com a rigidez lateral dos elementos estruturais verticais, de modo que a deformação do piso tenha um efeito pequeno na distribuição das forças entre os elementos estruturais verticais;

• Neste respeito, formas de pavimento em L, C, H, I e X devem ser cuidadosamente examinadas, devendo ser notável a preocupação com a rigidez dos ramos laterais, que deve ser comparável à parte central, para satisfazer a condição rígida de diafragma; • A esbelteza = Lmax/Lmin (dimensões em planta) não será mais alta que 4, onde

respectivamente temos a maior e a menor dimensão do edifício em planta;

• Em cada nível, e para cada direcção X e Y, a excentricidade estrutural, e0, e o raio

torsional, r, estarão em condições de acordo com: eox ≤ 0.30 rx

rx ≥ Ls

(considerando, no caso, a direcção de Y de análise) Onde:

¾ eox é a distância entre o centro de rigidez e o centro de massa, medida ao longo da

direcção de X, a qual é normal à direcção de análise considerada (Y);

¾ rx é a raiz quadrada da razão entre a rigidez de torsional e a rigidez lateral na

direcção de Y ("raio torsional");

¾ Ls é o raio de giração da massa do piso no seu plano (raiz quadrada da relação de

do momento polar de inércia da massa do piso chão em plano, com respeito ao centro de massa desse piso.

O critério para regularidade em elevação para um edifício ser classificado como é regular em elevação, deverá satisfazer todas as condições alistadas nos seguintes parágrafos.

• Todos os sistemas resistentes laterais (contraventamentos), tal como núcleos, paredes estruturais, ou pórticos, correrão sem interrupção desde as fundações ao topo do edifício ou, se singularidades em alturas estão presentes, ao topo da zona relevante do edifício para cada uma destas partes;

• Tanto ã rigidez lateral como a massa individual dos pisos permanecerão constante ou a sua redução será realizada gradualmente, sem mudanças bruscas, da base ao topo do edifício;

• Em edifícios porticados a relação da resistência real de cada piso, em relação à requerida pela análise, não deve variar desproporcionalmente entre pisos adjacentes; • Quando singularidades estão presentes, as seguintes condições adicionais aplicam-se:

¾ Para singularidades graduais conservando simetria de axial, a singularidade em qualquer piso não será superior a 20 % da dimensão do piso na direcção da singularidade, conforme figura (a) e (b) abaixo;

¾ Para uma única singularidade abaixo dos 15 % da altura total do sistema principal, a singularidade não será maior que 50 % da dimensão do piso, conforme figura (c) abaixo. Neste caso a estrutura da zona de base, dentro do perímetro vertical projectado dos pisos superiores, deve ser concebido para o resistir, pelo menos, a 75% das forças de corte horizontais que desenvolveriam nessa zona num edifício semelhante mas sem alargamento da base;

¾ Se as singularidades não conservam simetria, em cada face a soma das singularidades de todos os pisos não será maior que 30 % da dimensão no plano do piso térreo acima da fundação, ou acima do topo de uma base rígida, e as singularidades individuais poderão ser superiores a 10 % da dimensão em planta, conforme a figura (d).

Consequências da regularidade estrutural na análise e dimensionamento sísmico

Regularidade Simplificação permitida Coeficiente de _{Comportamento}

Planta Altura Modelo Análise elástica e linear (para análise linear)

Sim Sim Plano Estática (a) Valor de referência

Sim Não Plano Sobreposição Modal Valor reduzido Não Sim Espacial (b) Estática (a) Valor de referência

Não Não Espacial Sobreposição Modal Valor reduzido

(a) Se o período fundamental de vibração T1 ≤ 4Tc e T1 ≤ 2.0, com Tc definido na tabela 3.2 e 3.3 do EC8. (b) Dentro das condições estabelecidas no ponto 4.3.3.1(8) do EC8, um modelo plano pode ser usado segundo as duas direcções principais horizontais (incluído à frente).

Assim:

¾ Em geral a estrutura pode ser considerada como um número de sistemas resistentes verticais e laterais, ligados por diafragmas horizontais.

¾ Quando os pisos do edifício podem ser tomados como diafragmas rígidos em seus planos, as massas e os momentos de inércia de cada um destes podem ser referidos ao seu centro de gravidade.

¾ Para edifícios que se adaptam ao critério de regularidade em planta, ou com as condições apresentadas em 4.3.3.1(8) do EC8, a análise pode ser executada partindo de dois modelos de planos, um para cada direcção principal (ver seguidamente).

Notas de concepção de estruturas de betão e mistas de edifícios

(EC8)

¾ Em edifícios de betão e em edifícios aço-betão compostos e em edifícios de alvenaria resistente a rigidez dos elementos que suportam a acção sísmica devia, em geral, levar em conta a avaliação da fissuração. Sobretudo tendo em consideração o efeito não linear dos sismos. Tal rigidez deve corresponder ao início da cedência dos varões de aço.

¾ A menos que uma análise mais exacta dos elementos fissurados, a rigidez de flexão elástica e a rigidez ao corte de elementos de betão e alvenaria pode ser tomada semelhante a metade da rigidez correspondente aos elementos não fissurados.

¾ As paredes de alvenaria de enchimento que contribuem significativamente à rigidez lateral e resistência do edifício, devem ser levada em conta.

¾ A deformabilidade da fundação será levada em conta no modelo, sempre que pode ter uma influência total adversa na resposta estrutural

¾ As massas serão calculadas com base nas cargas de gravidade aparecendo na combinação de acções.

¾ Para explicar incertezas na situação de massas e na variação espacial do movimento sísmico, o centro calculado de massa em cada piso a ser considerado terá que se deslocar da sua situação nominal, em cada direcção, de uma excentricidade acidental: eai =

localização nominal, aplicando na mesma direcção em todos os pisos, em que Li é a dimensão do piso na direcção perpendicular à acção sísmica.

¾ Os efeitos sísmicos e os efeitos das outras acções podem ser determinados pelo comportamento linear-elástico da estrutura. Assim, o método de referência para determinar os efeitos sísmicos serão a análise modal por espectro de resposta, usando um modelo elástico (em termos materiais) e linear (em termos geométricos) da estrutura e o espectro de projecto.

¾ Dependendo das características estruturais do edifício, um dos seguiintes dois tipos de análise elástico e linear podem ser usados:

1) O "método de análise lateral estático/força" para edifícios encontrando as condições dadas em 4.3.3.2 do EC8 (este tipo de análise pode ser aplicado a edifícios cuja resposta não é afectada significativamente por contribuições de modos de vibração mais altos que o modo fundamental, em cada direcção principal, podendo a frequência ser determinada pelo Método de Rayleigh, por exemplo);

2) A "análise modal por espectro de resposta", que é aplicável a todos tipos de edifícios.

¾ Como uma alternativa a um método linear, um método não-linear também pode ser usado, tal como:

1) Análise estática não-linear (pushover);

Reparar que a admissibilidade dos pisos se comportarem como diafragmam rígidos no seu plano é condição base para todos os modelos descritos, daí a importância das lajes

maciças (de betão armado ou mistas) no projecto em zonas sísmicas.

Notas de concepção de estruturas metálicas de edifícios (EC8)

As recomendações realizadas para edifícios de betão e mistos mantém-se em tudo que for aplicável, sendo os edifícios resistentes a sismos fabricados em aço projectados de acordo com um dos seguintes conceitos:

¾ Conceito A) - Comportamento estrutural de baixa dissipação (de energia sísmica); ¾ Conceito B) - Comportamento estrutural de dissipativo (de energia sísmica).

ZONAMENTO DO TERRITÓRIO [RSA – art. 28º]

Considera-se o país dividido em quatro zonas, em que na ordem decrescente, de índice de sismicidade, são classificadas e designados por: A, B, C, D. A sua quantificação, em termos de incidência sísmica, é feita a partir do coeficiente de sismicidade α, conforme Quando I, do Capítulo VII – Acção dos Sismos, do RSA.

Tabela I – Valores do Coeficiente de Sismicidade, α

Zona Sísmica α A B C D 1,0 0,7 0,5 0,3

A delimitação pormenorizada destas zonas está no ANEXO III do RSA, que se reproduz, bem como mapa que tem por base todos os sismos sentidos em Portugal continental.

Características principais (não são independentes):

• Duração

• Valores de pico da aceleração • Conteúdo espectral

Duração no RSA dos sismos tipo:

• Tipo I – 10 segundos • Tipo II – 30 segundos

Espectros de resposta:

• Cálculo a partir de espectros de potência;

Simulação numérica de sismogramas:

• Compatíveis com espectros de potência; • Compatíveis com espectros de resposta.

Princípio:

• Um processo estocástico, estacionário, ergódico e gaussiano de média nula é completamente caracterizado pela função de auto-correlação ou, o que é o mesmo, pela sua função densidade espectral de potência:

A caracterização da estrutura probabilística pode ser feita através de Distribuições de probabilidade conjunta, Funções características, Momentos estatísticos, ...

¾ Um processo diz-se estacionário se a sua estrutura probabilística não depender da origem de t.

¾ Um processo diz-se ergódico se a sua estrutura probabilística puder ser obtida de uma única

realização.

¾ Um processo diz-se gaussiano se puder ser completamente caracterizado pela função densidade de

probabilidade de Gauss (em forma de sino). Neste caso só existem momentos estatísticos até ordem 2 (média e desvio padrão).

Espectros de Resposta do RSA e do EC8:

Z

QUANTIFICAÇÃO DA ACÇÃO DOS SISMOS [RSA – art. 29º]

Definições importantes:

• Para além do coeficiente de sismicidade, α (Quadro I), relacionado com o local geográfico dentro do território nacional, também, para a definição dos Valores Característicos da acção dos sismos, a natureza do terreno importa. Deste modo, são preconizados três tipos de terrenos. classificados por: Tipo I, II, III. Sendo:

¾ Tipo I: Solo rochoso ou coerente rijo;

¾ Tipo II: Coerente muito duros, duros e de consistência média; incoerentes compactos;

¾ Tipo III: Coerentes moles e muito moles; incoerentes soltos.

• Valores reduzidos da acção dos sismos são nulos (incluindo o valor raro Ö ψ0 = ψ1

= ψ2 = 0);

• Em geral, apenas é necessário considerar direcções de actuação da acção dos sismos no plano horizontal, na medida em que na direcção vertical só quando as estruturas sejam especialmente sensíveis a vibrações nesta direcção. No que se refere ao disposto em 29.4 (R.S.A), como exemplo de casos em que deverá considerar-se a acção sísmica na direcção vertical, podem referir-se as estruturas com modos de vibração caracterizados por frequências próprias inferiores a cerca de 10 Hz, a que correspondam configurações com deslocamentos significativos na direcção vertical (o que, na verdade, não alberga uma quantidade de construções significativa).

Exemplo prático:

Uma ponte.

A pior situação é o esborrachar da ponte, pois irá destruir as cabeças dos pilares ou punçoar o tabuleiro (se a laje for fungiforme – situação rara).

Nós FIXOS

Nós MÓVEIS

N

N

N . = considerável = M

adicional

N . = não considerável = M

desprezável

F

F

Δ

NM NM

Δ

Δ_NM Δ

Δ

NF NF NF

Δ

Ö Na quantificação da acção dos sismos apenas são tidas em conta as acções vibratórias transmitidas pelo terreno à estrutura.

DETERMINAÇÃO DOS EFEITOS DA ACÇÃO DOS SISMOS [RSA – art. 30º]

A determinação dos efeitos da acção dos sismos deve ser efectuada por métodos de análise dinâmica, de acordo com o indicado em 30.2 e 30.3 (RSA), podendo, no entanto, utilizar-se também os processos simplificados de análise estática apresentados em 30.4 e 30.5 (RSA).

Conceito importante:

MOBILIDADE – Sensibilidade das estruturas aos deslocamentos laterais.

Estas duas figuras dão continuidade ao que temos visto, relacionado a rigidez aos deslocamentos horizontais com a sua classificação quanto à mobilidade lateral, designando-se estruturas de nós MÓVEIS, ou de nós FIXOS, conforme os deslocamentos transversais serão consideráveis ou não para o cálculo dos esforços (se são ou não geradas excentricidades significativas entre as bases e topos dos elementos verticais, gerando efeitos de 2.ª ordem – momentos adicionais: M = Mconvencionais + N.e).

Métodos de análise dinâmica (RSA – art. 30.2º e 30.3º):

Primeiramente devemos relembrar que, simplificadamente, a Dinâmica Estrutural estuda acção que o sismo provoca nas construções, ao induzir-lhe acelerações que tem como resposta o aparecimento de forças inérciais nas massas da estrutura, pois que estas são mobilizadas pelo efeito vibratório sísmico.

De forma ilustrativa, diríamos que o sismo movimenta, por agitação, a base das estruturas, tendo as massas destas (designadamente concentradas ao nível dos pisos) tendência para resistirem ao deslocamento que lhe é imposto, dado as suas grandes inércias.

Devem-se ter em conta a quantificação das vibrações sísmicas (artigo 29° do RSA) e considerar as massas correspondentes ao valor médio das cargas permanentes e ao valor quase permanente das cargas variáveis que actuam na estrutura.

Por outro lado, as características de rigidez e amortecimento a adoptar devem corresponder a valores médios das propriedades dos materiais.

Conceito importante:

Eq. Equilíbrio Dinâmico: K.d + A.v + M.a = F

Ö K, Rigidez (K.d = F)

Ö

Conceito ESTÁTICO

Ö A, Amortecimento (A.v = F)

Ö

Conceito CINEMÁTICO

Ö M, Massas (M.a = F)

Ö

Conceito DINÂMICO d – deslocamento; v – velocidade; a - aceleração

O quociente δ entre o menor dos valores máximos das componentes horizontais da reacção global da estrutura sobre a fundação, nas diversas direcções, e o valor das cargas correspondentes às massas consideradas, não deve ser menor que 0,04α.

Se o valor do quociente for inferior ao limite indicado, os resultados obtidos pela analise dinâmica deverão ser multiplicados por 0,04α δ.

No caso de esse quociente δ ser superior a 0,16α e a estrutura apresentar uma certa ductilidade, os resultados daquela análise poderão ser divididos por δ 0,16α.

Quantificação das massas

• Estruturas porticadas e de uma só massa (reservatórios, silos, etc): m₃ =G₃+ψ₂*Q₃ 2 2 2 2 =G +ψ *Q m m₁ =G₁+ψ₂*Q₁

Edifício em Altura Reservatório Elevado

• Um reservatório de água

m m/2

Ambas são desfavoráveis para os SISMOS

Para o VENTO, a situação mais desfavorável é o depósito vazio.

Esta também é a situação mais desfavorável para fins de cálculo de

acções gravíticas da estrutura

Esta é a situação mais desfavorável para fins de cálculo das

paredes

(

±12ou23

)

R R

R =G +%(0 -100)Q

Efeitos das singularidades nas estruturas

A figura seguinte mostra-nos uma situação em que a existência de meia parede não é favorável para a acção dos sismos, pois terá momentos máximos no meio do pilar. Ora, muito provavelmente, os cálculos de projecto foram realizados com a estrutura sem este impedimento à deformação desses elementos verticais, surgindo situações de imprevisibilidade em caso de sismo.

A situação comum, de cálculo corresponde à figura acima, admitindo os pilares soltos. Todavia, a situação acima descrita poderá ficar coberta pelo facto de, em princípio, as armaduras (de flexo-compressão e esforço transverso) obtidas deste modo, não serem inferiores, pelo que sanará o problema.

Δ = * l EI 12 f ₃ = *Δ h EI 3 f ₃ X - Centro de Rigidez - Centro de Massa

Estrutura Regular de 9 Pilares Estrutura Irregular de 8 Pilares

A excentricidade entre CM e CR provoca a torção da estrutura

Tipos de estruturas (e sua forma de deformação a acções horizontais)

PÓRTICOS PAREDES

MISTAS

Nas estruturas em que os elementos não estejam dispostos em malha ortogonal, poderá considerar-se que a acção sísmica actua separadamente segundo as direcções em que a estrutura se desenvolve, devendo-se então proceder a uma análise complementar para ter em conta os efeitos da torção.

NOTA: Numa estrutura perfeitamente regular, a acção sísmica conjunta nas duas direcções pode provocar um efeito idêntico ao da torção em estruturas irregulares, atendendo a desfasamento nos modos de vibração. Contudo, esta situação é difícil de poder coexistir: idêntica magnitude em direcções ortogonais.

Conceito importante:

DUCTILIDADE – Capacidade do material se deformar sem perder a resistência.

Em geral, pode admitir-se o comportamento linear para efeitos de cálculo da acção sísmica e corrigir os resultados, dividindo-os por coeficientes de comportamento (η) que dependem do tipo de estrutura (pórtico, mista pórtico-parede, parede) e das suas características de ductilidade (ductlidade normal ou ductilidade melhorada).

Normalmente para o cálculo das acções sísmicas, considera-se sempre, ou quase sempre, que os materiais ultrapassam o seu Limite Elástico.

η

E= Coef. Comportamento para Esforços = Esforços Reais / Esforços Elásticos ≤ 1

Deformação Elástica de Cálculo

Deformação Real Inelástica

σ

_{Limite Elástico}

σ

σ

_Real

ε

ε

ε

Limite Elástico Real

(Fonte: SMEE - DECivil – IST) Segundo o art.º 30 do RSA:

«Poderá admitir-se que a estrutura apresenta um comportamento elástico linear e corrigir os resultados assim obtidos dividindo-os pelo correspondente coeficiente de comportamento. O coeficiente de comportamento define-se para uma determinada grandeza (esforço, deslocamento, etc.), para uma determinada estrutura e para uma determinada acção sísmica,

f 2

f 2 f 1 f 1

tendo a pretensão de correlacionar o valor máximo da grandeza determinada por modelos lineares (idealizados) e não lineares (reais).»

Nota:É nos nós que a acção sísmica tem o seu efeito mais assinalável, dado o valor dos esforços concentrados nessa zona.

Risco sísmico, grau de importância das estruturas e ductilidade

O risco sísmico, de que depende a definição das acções sísmicas de projecto, está ainda relacionado com o tipo de estrutura e com a sua importância para a comunidade.

O tipo de estrutura é fundamentalmente definido de acordo com as características de ductilidade dos materiais utilizados e com a própria geometria da estrutura. No RSA é considerado um coeficiente de comportamento (η) no cálculo da acção sísmica, o qual depende não só da ductilidade e geometria da estrutura mas também do grau admitido na exploração dessa ductilidade. Este coeficiente destina-se a corrigir os efeitos da acção dos sismos obtidos através de uma análise linear e elástica das estruturas, com vista a transformá-los em valores que se obteriam por uma análise não-linear (material e geométrica).

Estruturas de betão armado

No caso particular das estruturas de betão armado ou pré-esforçado o regulamento nacional aplicável é o REBAP (até 2010, data em que se prevê a entrada em vigor dos Eurocódigos), o qual distingue dois tipos de estruturas de acordo com a sua ductilidade:

⇒ Estruturas de ductilidade normal, as quais se limitam a obedecer às disposições de projecto e disposições construtivas mínimas definidas nos capítulos X e XI daquele regulamento.

⇒ Estruturas de ductilidade melhorada, as quais obedecem a disposições de projecto e construtivas adicionais definidas no capítulo XII do mesmo regulamento.

Para além das disposições construtivas que constam no capítulo X e XI do REBAP, também o capítulo XII (complementar ao Cap. X e XI) encerra conceitos e disposições construtivas importantes no contexto sismo-resistente (estruturas de ductilidade melhorada - art. 142º ao 176º do REBAP).

O REBAP apresenta valores do coeficiente η de acordo com o tipo de estrutura resistente e com a ductilidade nos seus art./os 33.2 e 33.3. Estes valores encontram-se aqui resumidos no quadro abaixo. Neste domínio o EC8 apresenta uma abordagem bastante mais completa, para além de fornecer valores para outros tipos de materiais.

No que respeita à importância das estruturas para a comunidade, estas devem ser classificadas de acordo com os danos permitidos em caso de catástrofe sísmica. Um exemplo de classificação poderia ser a seguinte:

⇒ Estruturas críticas: Hospitais, esquadras de polícia e quartéis de bombeiros, unidades militares, sistemas de comunicações e rádio, fornecimento de água, electricidade e gás, centros de protecção civil, grandes barragens ou centrais térmicas, pontes em itinerários fundamentais.

⇒ Estruturas importantes: Hotéis e edifícios de escritórios, edifícios públicos, igrejas, escolas e grandes complexos industriais e comerciais.

Valores do coeficiente de comportamento em estruturas de betão armado e pré-esforçado

Tipo de Estrutura resistente

Coeficiente η relativo a esforços

Ductilidade normal / Ductilidade melhorada

Estruturas críticas Outras estruturas Edifícios correntes com estrutura de:

• Pórticos resistentes 1.75 / 2.45 2.5 / 3.5 • Pórticos e paredes resistentes 1.4 / 1.75 2.0 / 2.5 • Paredes resistentes 1.05 / 1.4 1.5 / 2.0 Pontes correntes em que a energia é,

fundamentalmente, dissipada por:

• Deformação de flexão dos pilares 1.4 / 2.1 2.0 / 3.0 • Idem por esforço transverso 1.0 / 1.2 1.4 / 1.7

• Encontros 1.0 1.2

Coeficientes η relativos a:

Devem ser tomados iguais a 1.0 • Esforços gerados pela vibração vertical

• Deformações

Este tipo de classificação deve ser tido em conta quando da verificação da segurança estrutural, permitindo, por exemplo, que as estruturas consideradas críticas ou importantes tenham mais reservas de resistência e tenham comportamento dúctil na rotura, de forma a poderem dissipar grandes quantidades de energia durante o sismo.

Estruturas metálicas

Segundo o REAE:

Art.º 6.3 - Os coeficientes de comportamento, a utilizar segundo os critérios definidos no RSA para a determinação dos efeitos da acção dos sismos, devem ser convenientemente justificados, tendo em conta o tipo de estrutura e as características de ductilidade da construção.

No caso de edifícios correntes, tal como são definidos no RSA, podem adoptar-se os seguintes coeficientes de comportamento para esforços:

1) Para vibrações nas direcções horizontais: ¾ Pórticos sem elementos de rigidez... 2,5

¾ Pórticos com elementos de rigidez (paredes ou treliças)... 1,5 ¾ Pórticos de tipo misto... 2,0

3) Para o mesmo tipo de edifícios o coeficiente de comportamento relativo a deformações poderá tomar-se igual a 0,7.

Como se sabe, os coeficientes de comportamento destinam-se a corrigir os efeitos da acção dos sismos obtidos por uma análise linear, de modo a transformá-los nos valores que se obteriam por uma análise não linear. Compreende-se, assim, que estes coeficientes, além de serem função do tipo de estrutura e das suas características de ductilidade, dependam também do efeito em causa e da quantificação dos parâmetros utilizados na análise linear. No presente Regulamento apenas são quantificados os coeficientes de comportamento para edifícios correntes, tendo-se considerado suficiente definir coeficientes relativos aos esforços e às deformações, sem distinguir o tipo de esforços ou de deformações.

O valor do coeficiente sísmico de referência, (β) (índice 0), definido no artigo 31º do RSA, diz respeito a um amortecimento com o valor de 5% do amortecimento crítico, enquanto usualmente se admite para as estruturas metálicas um valor da ordem de 2%. Os valores dos coeficientes de comportamento apresentados têm, naturalmente, este facto em conta.

Lembra-se que por edifícios correntes se entendem aqueles que obedecem às condições para tal especificadas no RSA e que implicam que as estruturas tenham uma distribuição de rigidez aproximadamente uniforme em altura, o que não é compatível com grandes descontinuidades na distribuição das alvenarias de andar para andar ou com o emprego de processos de construção que possam facilitar que essa descontinuidade se crie durante a ocorrência de um sismo.

No caso de edifícios não correntes, os coeficientes de comportamento a adoptar devem ser convenientemente justificados, devendo, porém, considerar-se os valores apresentados no artigo como limites superiores.

Condições ductilidade melhorada segundo o REBAP

REBAP / Artigo 142º (Generalidades)

Visa aumentar a ductilidade das estruturas face às acções sísmicas, sendo necessário assegurar que as roturas sejam condicionadas pelas armaduras e não pelo betão, evitando rupturas frágeis.

Por outro lado, o betão confinado suporta tensões mais elevadas do que aquele que não se encontra sob um estado bi ou triaxial de compressão. A sua confinação pode-se obter utilizando boas cintagens, o que também conduz a uma segurança adicional relativamente ao esforço transverso.

Utilização de boas cintagens. Diminuindo o espaço entre os estribos, teremos um melhoramento da ductilidade da estrutura, tendo melhores armaduras e menores tensões no betão (f_cdI <f_cdII <f_cdIII).

f cd II,I,III f cd II,I,III f cd III,II,I fcd III,II,I fcd I,II,III f cd I,II,III Temos que Δ₁ =Δ₂ e l EI = k , sabendo que: Δx ₃ l EI * 12 = K , teremos: 12 ba12 ) a 2 ( b = l I E 12 l I E 12 = K Δ ₃ 3 3 1 1 1 3 2 2 2 ↔ =8 a a 8 = K Δ ₃ 3

, logo o pilar P2 irá absorver 8 vezes mais que o P1, devido a sua secção e dimensão, ou seja; quanto mais rígido for a estrutura, mais força irá absorver da acção sísmica.

a f P1 f b 2a P2 m 1 Δ Δ2 h

Vigas ALTAS

e CURTAS

A RIGIDEZ atrai a força do SISMO!!!

REBAP / Artigo 143º (Vigas de pórticos)

Refere-se a vigas em estruturas de ductilidade melhorada, em que:

>4⇒ h

l

Esta condição é imposta no sentido de limitar o MÁXIMO

4 h ≥

b _{da relação h}l , pois sabemos que l EI =

k , ou seja, como a e rigidez de uma viga está directamente relacionada com o

cm 20 ≥

b comprimento (l) e altura (através da inércia [I ]), podemos concluir que as vigas curtas (l pequeno) e altas (h grande) são absorventes da acção dos sismos:A RIGIDEZ atrai a força do SISMO!!!

Por outro lado, sendo as vigas ser mais resistentes que os pilares, pode conduzir a que as rótulas plásticas provocadas pela acção sísmica se formem nestes últimos elementos resistentes, o que pode conduzir ao colapso da estruturas.

Exemplos práticos (algumas situações):

Esta figura mostra-nos, mais uma vez, que é nos NÓS que acção sísmica é mais significativa para uma estrutura. Assim sendo, devemos evitar uma possível rotura nos pilares e nas vigas,

f

Viga ALTA

f

Rótula no PILAR

Rótula da VIGA

mas se tiver que acontecer, que seja nas vigas, pois iremos estar visando os efeitos de segurança (dado que mesmo que estas formem rótulas nos seus extremos, ainda permanecem isostácticas, mas mesmo que desse o seu colapso, o seu efeito seria restritamente local).

Então, caso tenhamos uma estrutura porticada com viga alta, a resistência desta será maior que nos pilares e caso ocorra uma acção sísmica, esta poderá causar roturas na cabeça/base dos pilares e, consequentemente, o colapso total do edifício. Outro caso, será uma estrutura com pilares mais robustos que as vigas (e/ou lajes), que poderá conduzir a um possível mecanismo das últimas ou, mesmo, a uma rotura parcial do edifício, devido à plastificação das vigas (mas sem colapso global).

f

1

2d As+ As+ d As

f ?

f ?

As

REBAP / secção 143.2º: indica-nos a percentagem e a localização da ARMADURA LONGITUDINAL, limitando a compressão máxima no betão para que a estrutura não sofra uma rotura frágile tambémlimita a quantidade de armadura (A_s) de flexão.

cd

c f

f ≤

x≤0,3d

Para limitar a compressão.

Deve-se ter a atenção queAs não deve ser inferior a

50% de_{As na extensão} + _{2d e vice-versa (não}

existindo desequilíbrios acentuados entre estas armaduras).

Por outro lado, no caso de se dar um sismo, nunca se sabe de que lado virá, devendo-se reforçar-se os nós de ambos os lados devido a acção mais grave do peso das sobrecargas, como mostra figura abaixo. Verificando estas condições, a viga poderá se deformar sem que o betão fique previamente comprimido.

f

_f

As

As

₋ ≥ 1₂As _{≥ As}− 2 1

As

As

+ ≥ 1₂As As = 2Ø6 >= 2Ø12

f

REBAP / Secção 143.3º:

Muitas vezes, as vigas são pormenorizadas com o mínimo de 2 varões de 6mm em cada face. Contudo, para estruturas de ductilidade melhorada deverão ser construídas no mínimo com 2 varões de 12mm.

A figura anterior mostra-nos uma situação em que se deve ter muita atenção. No centro da viga, os esforços poderão variar muito consoante a direcção e a intensidade do sismo, por isso a necessidade de se ter armaduras ao longo de todo o comprimento da viga (positivas e

negativas). Nas extremidades, a situação será semelhante, daí a necessidade da armadura ter a

extensão mínima 2d e não possuir emendas ou interrupções (Secção 143.4º). REBAP / Secção 143.4º:

2d 2d

A importância de não ter emendas ou interrupções no intervalo de 2d são variadas para a estrutura de ductilidade melhorada, a principal é que se diminui o risco de colocar armaduras em excesso e consequentemente aumenta a segurança de toda a estrutura.

REBAP / Secção 143.5º: f f final sd rd <V V

V =1,5*

(

M _l + M

)

dir rd esq rd SK , sd

2d

15cm 10 cm

2d

cm 5 ≤ ≤ ≤ REBAP / Secção 143.6º: Exemplo prático:

Qual a maior altura (h) que uma viga com 6m comprimento (l) pode ter para uma estrutura de ductilidade melhorada? m 5 , 1 < h ⇔ 4 6 < h ⇔ 4 > h 6 ⇒ 4 > h l m 6 = l

REBAP / Artigo 144º (Pilares)

No REBAP / Secção 144.1º, diz-nos que os pilares deve satisfazer a seguinte condição: N_sd ≤0,6* f_cd *A_c

Em casos normais teríamos 0,85 a multiplicar pelo valor de cálculo da tensão de rotura à compressão do betão e pela área de secção transversal do pilar, mas como estamos a falar de estruturas de ductilidade melhorada, temos 0,6, para que o betão não esteja demasiado comprimido, propiciando roturas frágeis.

Também houve uma redução de metade do valor máximo da esbelteza(λ), em de 140 (artigo 64º) passou a ser 70.

Além disso, aumentou a menor dimensão da secção transversal do pilar, que passou a ser de 30cm (contra 20 cm das estruturas correntes - artigo 120º).

V

sd

M

sd (Considerados)

M

rd (Existentes)

l

Já no REBAP / Secção 144.2º mostra-nos que em caso algum a secção total da armadura longitudinaldeve ser inferior a 0,8% para o betão A235 e 0,6% para o A400 e A500. O artigo 121º (REBAP) nos dizia a mesma coisa, porém com algumas excepções. Mais uma vez, esta condição justifica-se para que o betão não esteja excessivamente à compressão.

REBAP / Secção 144.3º, para não fugir as ideias das secções anteriores, mostra-nos que a

secção total da armadura longitudinal não deve exceder 6%, sendo que no artigo 121º (REBAP) é 8%, mesmo em zonas de emenda de varões por sobreposição.

REBAP / Secção 144.4º:

erior c

Aint _{Esta medida também visa salvaguardar que as}

rótulas (caso haja) se situem nas vigas e não nos pilares. REBAP / Secção 144.5º: ) ( ⇒ pilar h M M V A d rd e rd sw =

h a Pilar b

ø8//10cm

l

v

l

p

Esta situação é possível, porque caso ocorra um sismo, poderá existir tracções nos pilares. Se tivermos compressões, podemos até considerar favorável, pois irá aumentar a resistência e quando não muito o betão aguenta bem; enquanto as tracções só irão prejudicar.

REBAP / Secção 144.6º e 144.7º: b → a → h 6 1 → ≥ C ≤ ≥

Para conferir uma maior rigidez e, sobretudo, confinamento do betão nas zonas extremas do pilar.

Não devem ser realizadas emendas ou interrupções nas zonas extremas do pilar e sim a meia altura, pois os momentos são menores.

REBAP / Artigo 145º (Nós de Pórticos)

REBAP / Secção 145.1º:

Igual às vigas. REBAP / Secção 145.2º:

15cm

Se l_v ≥ e nenhuma viga com altura inferior al_p 3 de altura da viga mais alta, então pode-se ₄ 2

sw

A

⇒ .

REBAP / Artigo 146º (Paredes e Diafragmas):

60 < λ 1₁₀h_p Para evitar parede l 10 1 ou 2*e 2 ≥ l h_t

Cm

3

2

1

X

Processos simplificados de análise estática (RSA – art. 30.4º e 30.5º):

• Centro de massa

(

)

∑

∑

= i x i i x m d * m Cm 1 - q_m2 =15KN_m2 2 - ₂ 10 ₂ m KN m q ₌ 3 - q_m2 =20KN_m2

[

Kgf

]

s m N g f m a m f 2 * → = = =

Cálculo do Centro de massa:

(

)

(

) (

)

[

]

m m m g m m m g Cg Cm m KN m m x d m m KN x x _11,85 25 * 15 * 20 10 * 35 * 10 15 * 15 * 15 5 , 12 * 15 * 25 * 20 5 * 10 * 35 * 10 5 , 17 * 15 * 15 * 15 2 2 3 2 5 , 7 10 ) ( 1 1 = + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = + =

(

)

(

) (

)

[

g m m

]

m m m m g Cg Cm m KN m m y d m m KN y y _21,80 25 * 15 * 20 10 * 35 * 10 15 * 15 * 15 5 , 7 * 15 * 25 * 20 5 , 32 * 10 * 35 * 10 5 , 42 * 15 * 15 * 15 2 2 3 2 5 , 7 35 ) ( 1 1 = + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = + = • Centro de rigidez Rigidez L I E K = * ⇒

f1

h

a

a

2a

Y

a

Cr

2a

6a

a

X

2a

5a

2a

a

Cálculo do Centro de rigidez:

Normalmente temos que E e _i L são constantes. Assim sendo: _i ¾ 2 6a Cry ₌

(

)

(

)

∑

∑

∑

∑

∑

∑

≈ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = = _n x i n x i x i n i x i i n x i i x i i n x i n x i x i x I d I L I E d L I E K d K Cr 1 1 1 1 1 1 * * * * * a a p I2 *2 a a p I * ¾

( )

₍

₎

( )

₊ ⇔ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 12 * * 2 12 2 * 2 * 2 2 5 * 12 * * 2 * 12 2 * 2 * 2 3 3 3 3 a a a a a a a a a a a Cr d d x a a p I2 *2 a a p I * Considerando a = 1m, teremos:

Crx

₍

₎

(

)

_1,2m 1 8 * 2 5 , 4 * 1 1 * 8 * 2 16 = + + = ⇔ ¾ Cry ₃m 2 6 = = Exercício:

Um edifício de 14 pisos tem f = 1,2 Hz. Classifique-o quanto à sua deformabilidade face ao

Artigo 30.6º do R.S.A..

Temos que f = 1,2 Hz, em que

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = ≥ ⇒ 57 , 0 14 8 8 5 , 0 pisos n e Hz f

Então, de acordo com o R.S.A., podemos dizer que o edifício não é demasiado deformável.

COEFICIENTES SÍSMICOS [RSA – art. 31º]: Exercícios:

a) Considere um edifício com estrutura porticada de 12 pisos e diga qual a sua frequência fundamental de acordo com os critérios simplificados do RSA.

Em consonância com a Secção 31.2º, podemos calcular: Hz f n f pisos 1 12 12 12 _{⇔ = =} =

Podemos ainda concluir: Quanto mais alto for o edifício, menor é a sua frequência, maior a sua deformabilidade.

b) Considere um edifício com estrutura pórtico – parede de 12 pisos e diga qual a sua frequência fundamental:

f

b = 15m

Em conformidade com a Secção 31.2º, podemos calcular:

Hz f n f pisos 33 , 1 12 16 16 = = ⇔ =

c) Considere um edifício com estrutura parede de 12 pisos e o esquema da planta abaixo e diga qual a sua frequência fundamental:

De acordo com a Secção 31.2º, podemos calcular:

Hz f h b f 2,5 3 * 12 15 * 6 * 6 = = ⇔ = OBS.:

¾ n_pisos ⇒É o nº de pisos acima do nível do terreno;

¾ h⇒Altura do edifício acima do nível do terreno;

¾ b⇒Dimensão em planta do edifício segundo a direcção do sismo;

Y 6,0 m 6,0 m 0,30 0,30 6,0 m 6,0 m 0,30 2,0 m 2,0 m 4,0 m 1

m

2 4,0 m

MÉTODO SIMPLIFICADO DO RSA (VALOR E DISTRIBUIÇÃO DAS FORÇAS ESTÁTICAS) [RSA – art. 32º] versus ANÂLISE DINÂMICA

⇒ Exemplo Nº1 (ANÁLISE PELO MÉTODO ESTÁTICO EQUIVALENTE)

Considere o seguinte edifício cuja estrutura não é de ductilidade melhorada, ou seja, é de ductilidade normal.

DADOS:

• Carga Permanente (incluindo o Peso Próprio) = _{6KN m}2 _;

• Sobrecarga (Edifício Habitação) =

2

2KN m ; • ψ₂ =0,2;

• Tipo de terreno: II; • Zona de sísmica: Porto; • Estrutura em Betão Armado. RESOLUÇÃO:

¾ Cálculo da carga total: 2

2*SC 6 0,2*2 C 6,4KN m

CP

¾ Cálculo do coeficiente sísmico nas duas direcções (β):

β

=

β

0

*

α

_η

- Zona de sísmica: Porto⇒α =0,3 (R.S.A.- art.29.2º, Quadro I); - Direcções:

• Direcção X:

Temos uma estrutura mista pórtico – parede de ductilidade normal, logo 0

, 2 =

⇒η (REBAP – art.33.2º). Então:

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ = ≥ → = = = → ; 4 , 0 : 0 , 4 , . ; 8 2 16 16 0 β f terrenoII T Hz n f

(R.S.A. – art.31.2º - Quadro II)

06 , 0 0 , 2 3 , 0 * 4 , 0 ⇔ = = →_βx _βx • Direcção Y:

Temos uma estrutura em pórtico de ductilidade normal, logo 5

, 2 =

⇒η (REBAP – art.33.2º). Então:

⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ = ⇔ = → = ≥ → = = = → 048 , 0 5 , 2 3 , 0 * 4 , 0 ; 4 , 0 : 0 , 4 , . ; 6 2 12 12 0 y y f terrenoII T Hz n f β β

β (R.S.A. – art.31.2º - Quadro II)

¾ Verificação dos valores: Obtivemos:

048

,

0

06

,

0

=

=

y x

β

β

C

Y X

G

G

Y

C

OK KO y x x ⇒ ≤ ≤ → ⇒ = ⇒ ⇒ ≤ ≤ → ⇒ 048 , 0 012 , 0 048 , 0 012 , 0 3 , 0 * 16 , 0 048 , 0 3 , 0 * 04 , 0 048 , 0 3 , 0 * 16 , 0 06 , 0 3 , 0 * 04 , 0 β β β

OBS.: Se a estrutura apresentar uma certa ductilidade não necessita ser considerado um valor maior que 0,16*α e neste caso, apesar de ser uma estrutura de ductilidade normal, ela em princípio apresentará essa característica (bastando adoptar as disposições construtivas elementares obrigatórias para uma estrutura de ductilidade melhorada). Então o coeficiente sísmico será igual a 0,048. (R.S.A. – art.31.2º). Contudo, o valor mínimo de 0,04*α terá sempre de ser respeitado.

¾ Cálculo da acção do sismo:

∑

∑

= i i i i i Ki _{h G} G G h f * * * * β - 1ºPiso:

[ ]

[ ]

; 12 , 22 2 , 691 * 0 , 8 2 , 691 * 0 , 4 2 , 691 * 2 * 2 , 691 * 0 , 4 * 048 , 0 2 , 691 4 , 6 * ) 6 * 18 ( * ; 0 , 4 ; 048 , 0 2 1 1 1 2 2 1 1 KN f f KN m KN m C A G m h G G x K K t piso = + = ⇒ = = = = = = β 22,12 . 2 , 691 * 0 , 8 2 , 691 * 0 , 4 2 , 691 * 2 * 2 , 691 * 0 , 4 * 048 , 0 2 1 1 KN f G G y K = ₊ = =

Só por coincidência que y K

f ₁é igual a x K

f2 f0 f1 f3 f4 f5 m m m l l l m m l l l - 2ºPiso:

[ ]

[ ]

; 24 , 44 2 , 691 * 0 , 8 2 , 691 * 0 , 4 2 , 691 * 2 * 2 , 691 * 0 , 8 * 048 , 0 2 , 691 4 , 6 * ) 6 * 18 ( * ; 0 , 8 ; 048 , 0 2 1 2 2 2 2 2 2 KN f f KN m KN m C A G m h G G x K K t piso = + = ⇒ = = = = = = β . 24 , 44 2 , 691 * 0 , 8 2 , 691 * 0 , 4 2 , 691 * 2 * 2 , 691 * 0 , 8 * 048 , 0 2 1 2 KN f G G y K = ₊ = =

Só por coincidência que y K f ₂é igual a x K f ₂!!! 22,12 KN 44,24 KN G1

C

G2 1

m

2

m

Podemos concluir se os pisos tiverem a mesma massa e todas as alturas iguais, teremos:

9,0 m 6,0 m

f

4 1

f

2

f

3 18,0 m 9,0 m 3,0 m 3,0 m 6,0 m

OBS.: É importante observar que o diagrama das forças sísmicas aumenta conforme também cresce a altura do edifício em relação ao solo, sendo perfeitamente triangular se as massas de todos pisos forem idênticas, bem como a altura dos mesmos.

Exemplificando para o 1.º piso:

¾ Distribuição das forças (atendendo ao art.º32.2 do RSA: estruturas simétricas na direcção considerada e elementos resistentes uniformemente distribuídos): a x 6 , 0 1+ = ξ ) (factor regulamentar Kj Ki f f estrutura da total rigidez

da relativadopórticoidentro

rigidez al SísmicaTot i Pórtico ×ξ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ × =

∑

… KN KN f f m m KN KN f f m m estrutura da total rigidez

da relativadopórtico dentro

rigidez x P estrutura da total rigidez

da relativadopórtico dentro

rigidez x P 034 , 0 1 , 1 031 , 0 ] [ 1 , 1 * ) 12 / 3 , 0 3 , 0 2 ( 2 ) 12 / 0 , 2 3 , 0 2 ( 2 12 / 3 , 0 3 , 0 2 12 , 22 1 , 1 18 3 * 6 , 0 1 33 , 14 3 , 1 02 , 11 ] [ 3 , 1 * ) 12 / 3 , 0 3 , 0 2 ( 2 ) 12 / 0 , 2 3 , 0 2 ( 2 12 / 0 , 2 3 , 0 2 12 , 22 3 , 1 18 9 * 6 , 0 1 1 3 3 3 3 2 2 1 3 3 3 4 1 1 = × = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ × × × + × × × × × × = = ⇒ = + = = × = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ × × × + × × × × × × = = ⇒ = + = ξ ξ

De reparar que no caso dos pórticos XX’s toda a força sísmica é absorvida pelos que possuem paredes resistentes, dada a sua desproporcional rigidez face aos que apenas tem pilares.

No caso dos pórticos em YY’s, dado terem a mesma rigidez, basta dividir a força sísmica total pelo seu número.

KN KN f f m m Pórti n y P *1,3 14,38 2 12 , 22 3 , 1 6 3 * 6 , 0 1 cos º 2 1 1 = + = ⇒ = = = ξ

Estes são os valores da distribuição referente aos dois tipos de pórticos!!!

TERMINAMOS DE VER UMA FORMA DE ANÁLISE:

- Processo Simplificado (método estático equivalente do RSA à Acção Sísmica) PARA DETERMINAR A ACÇÃO DO SISMO.

Porém, vejamos agora alguns exemplos práticos de UM MÉTODO DE CÁLCULO

RIGOROSO DA FREQUÊNCIA POR VALORES E VECTORES PRÓPRIOS:

4,0 m 4,0 m

1

m

2

⇒ Exemplo Nº 2 - CÁLCULO DA FREQUÊNCIA POR ANÁLISE VIBRATÓRIA

Aproveitando o edifício do exemplo anterior:

Dados:

[ ]

[ ]

KN m KN m C A G m KN C t piso piso t 2 , 691 4 , 6 * ) 6 * 18 ( * 4 , 6 2 2 1 1 2 = = = → = → →Massa do Piso1: 70,53ton ms 8 , 9 2 , 691 g G M piso1 ₂ 1 piso = = = ⇒ ₋

→Massa do Piso 2 = Massa do Piso 1

→Betão B25.

Equação de Equilíbrio Dinâmico:

M.a +

A.v

+ K.d = F

Visão simplista do fenómeno SÍSMICO:

a m f = * massa aceleração da do estrutura sismo Y 6,0 m 6,0 m 0,30 0,30 6,0 m 6,0 m 0,30 2,0 m 2,0 m

4,0 m

4,0 m

m

2

m

1

• 1º Passo - Matriz de Massa da estrutura:

[1] [2] ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 53 , 70 0 0 53 , 70 M

• 2º Passo - Matriz de Rigidez (SIMÉTRICA):

K12 2 K11 1 _K21 K22 4 m 4 m =1 =1

Nota: Supondo que os elementos horizontais (Lajes) são indeformáveis!

m KN m KN Paredes Pilares B E E l EI K E E pisos l EI K 6 4 , 4 4 12 2 * 3 , 0 * 4 12 3 , 0 * 3 , 0 * 4 * 29 * 12 12 6 7 , 8 4 12 2 * 3 , 0 * 4 12 3 , 0 * 3 , 0 * 4 * 29 * 12 * 2 2 * 12 3 3 3 9 3 12 3 2 * 3 , 3 3 , 0 * 3 , 0 3 25 9 3 11 − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − = − = = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = =

m KN m KN E E piso l EI K E E l EI K 6 4 , 4 4 12 2 * 3 , 0 * 4 12 3 , 0 * 4 * 29 * 12 1 * 12 6 4 , 4 4 12 2 * 3 , 0 * 4 12 3 , 0 * 4 * 29 * 12 12 3 3 4 9 3 22 3 3 4 9 3 21 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = = − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − = − =

A questão não é contabilizar pilares ou pórticos, por si, mas sim o número de pisos deformado para efectuar o deslocamento pretendido. O que arrasta um número de pilares a contabilizar ao nível do pórtico (ou da estrutura se a análise for do seu conjunto).

) 10 ( * 4 , 4 4 , 4 4 , 4 7 , 8 ₆ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = K

Por serem simétricas, são iguais!!!

Em geral, se a estrutura tiver elementos estruturais idênticos (secção e altura) e sendo n o seu número: ~ 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 2 0 0 ... 2 0 ... 2 ... 2 . 12 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − = n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n simétrico n n n n n n n n l EI K

De notar que temos elementos estruturais do tipo parede, pelo que a sua rigidez seria mais correcta com o uso, também aproximado e simplificado, da expressão:

K = 3EI/H3

com H a altura total do edifício. Isto sucede porque a parede resistente funciona como uma grande consola encastrada na fundação e livre no topo, uma vez que, na verdade, os pisos não conseguem absorver a rotação que este elemento, muito mais rígido que os pavimentos, lhe provocam.

• 3º Passo - Cálculo de frequências da vibração da estrutura:

[ ]

[ ]

*

{ }

0 Pr Pr 2 ₌ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − óprio Vector óprio Valor M W K φ

[ ]

[ ]

(

)

0 . 0 . 2 = = − A Det M W K Det 6 6 2 2 6 10 * 53 , 70 0 0 53 , 70 10 4 , 4 4 , 4 4 , 4 7 , 8 53 , 70 0 0 53 , 70 10 * 4 , 4 4 , 4 4 , 4 7 , 8 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = W A W A ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = B B A * 53 , 70 4 , 4 4 , 4 4 , 4 * 53 , 70 7 , 8 em que: ₆ 2 10 W B=

(

−

) (

−

) (

− −

)

= = 2 4 , 4 * 53 , 70 4 , 4 * * 53 , 70 7 , 8 .A B B Det ⎩ ⎨ ⎧ = = ⇒ = + − ⇔ = − + − − = . 162 , 0 ; 023 , 0 0 92 , 18 * 94 , 923 * 48 , 4974 0 36 , 19 * 48 , 4974 * 33 , 310 * 61 , 613 28 , 38 2 1 2 2 B B B B B B B Como: ₆ 2 10 W B= , então teremos: ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = → = = → ⇒ = . 49 , 402 10 * 162 , 0 ; 66 , 151 10 * 023 , 0 10 * 6 2 6 1 6 s rad s rad W W B W

E ainda, em acordo com a física, temos que: W =2*π* f :

. 06 , 64 * 2 49 , 402 * 2 ; 14 , 24 * 2 66 , 151 * 2 2 2 1 1 Hz W f Hz W f = = = = = = π π π π

f

K1 3,0 m

f

K2 3,0 m

P

1

PT

4

PT

3

P

1

P

1

PT

2

P

1 5,0 m

P

1 5,0 m

P

1 5,0 m

PT

1

P

1

P

1

⇒ Exemplo Nº 3 (ANÁLISE PELO MÉTODO ESTÁTICO SIMPLIFICADO [R.S.A] E

PELO MÉTODO DINÂMINO SIMPLIFICADO DE RAYLEIGH) 1) ANÁLISE PELO MÉTODO ESTÁTICO SIMPLIFICADO [R.S.A]:

DADOS: o P1 = 30*30cm;

o Tipo de terreno: II; o Zona de sísmica: Porto; o Estrutura em Betão Armado. o Ductilidade normal. o Combinação Quase Permanente: CP+ψ₂*SC⇒ KN G_t =640,25 . RESOLUÇÃO:

Temos que G_t =640,25KN , então por pórtico1 teremos:

1 _{É indiferente resolver o exercício por pórtico ou pela estrutura no seu conjunto, porque a relação massa/rigidez} se mantêm. Contudo, teremos que estar atentos para não existirem erros de contabilização na distribuição de forças pelos pórticos. Se fizermos o exercício pelo conjunto da estrutura, dado os pisos serem indeformáveis no seu plano, seria apenas uma questão de distribuir as forças encontradas por esses pórticos, tidos em conta os agravamentos regulamentares face à torção global da estrutura.

KN G G G G KN Gt 160 160 4 25 , 640 4 3 2 1 = = = = ⇒ ⇒ ≈ = Assim sendo:

∑

∑

= i i i i i Ki G h G G h f * * * * β η α β β = ₀*

Temos uma estrutura em pórtico de ductilidade normal, logo ⇒η =2,5(REBAP – art.33.2º). Então: ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ = β ⇔ = β → = β ≥ → = = = → 048 , 0 5 , 2 3 , 0 * 4 , 0 ; 4 , 0 : 0 , 4 f , terrenoII . T ; Hz 6 2 12 n 12 f

0 (R.S.A. – art.31.2º - Quadro II)

Como: 0,04*α ≤β ≤0,16*α OK ⇒ ≤ ≤ → ⇒ 048 , 0 012 , 0 3 , 0 * 16 , 0 048 , 0 3 , 0 * 04 , 0 β

Com 048β =0, , iremos calcular a acção da sísmica ao nível dos pórticos (PT1 a PT4)

individualmente (dado que todos têm a mesma estrutura: Pilares de 30 * 30cm): • 1º Piso: . 12 , 5 160 * 0 , 6 160 * 0 , 3 160 160 * 160 * 0 , 3 * 048 , 0 ); . . ( 0 , 3 2 1 1 1 KN f f solo do acima m h h K K ₊ = + = ⇒ = • 2º Piso: . 24 , 10 160 * 0 , 6 160 * 0 , 3 160 160 * 160 * 0 , 6 * 048 , 0 ); . . ( 0 , 6 2 2 KN f solo do acima m h K ₊ = + = = Corte basal =

∑

f_Ki = f_K1 + f_K2 =5,12+10,24=15,36KN

5,12 KN 10,24 KN

PT

1,2,3e4

f

i

= G

i

=

160KN i i 160KN 30 1

m

f

1

=

160KN

m

1

d

1 3,0 m

d

2 30 30 2 1

m

m

30

m

2 3,0 m 2 160KN ₂ EI f

2) ANÁLISE DINÂMICA SIMPLIFICADA PELO MÉTODO DE RAYLEIGH

Dá-nos a frequência elementar da estrutura (1º Modo de vibração), sendo esta a frequência mais baixa (fundamental) e que representa em princípio situação dominante em termos de comportamento dinâmico/vibratório da estrutura.

Continuando ainda com o exemplo nº2, teremos:

São características físicas ∆

da estrutura REAL. =12₃ *Δ l EI f

Admitindo os pisos como indeformáveis, temos que os deslocamentos são (no caso dos pilares do piso terem todos as mesma altura e inércia, ou seja, a mesma rigidez):

(ao nível dos pisos)

(de forma independente como se um piso isolado se tratasse)

Em que:

• di - Deslocamento do piso iem relação ao solo, ou seja, o deslocamento total;

• i - Piso em estudo;

• n - Nº total de pisos;

• Δ - Deslocamento de uma haste com as características do piso _i i.

Efectuando os cálculos teremos:

a) m Pilares I qualquer betão doum consideran 0133 , 0 2 * 12 3 , 0 * 10 20 * 12 0 , 3 * 160 30 * 30 4 . . 6 3 2 1 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ × = Δ = Δ ⇒ Se o pórtico tivesse 4

pilares, seria 4 e não 2.

(

− +1

)

*Δ + −1 = _{i i} i n i d d b)

(

₍

)

₎

⎩ ⎨ ⎧ = + + − = → = + + − = → . 0399 , 0 0266 , 0 0133 , 0 * 1 2 2 ; 0266 , 0 0 0133 , 0 * 1 1 2 2 1 m d m d

NOTA: Reparar que neste caso todos os pisos têm a mesma carga e pilares iguais, se assim não fosse teríamos que efectuar as alterações necessárias (ver solução geral mais à frente).

(

− +1

)

*Δ + −1 = _{i i} i n i d d EI l F_{i i} i 12 * 3 = Δ

1 0,0399

f

1

=

160KN

f

2

=

160KN 0,0266/2 = 0,0133 0,0266

m

m

2 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = 0266 , 0 0399 , 0 1 2 Piso Piso

ϕ (Modo de Vibração Fundamental)

A posição dos pisos no vector é indiferente. Apenas temos que ter presente como os distribuímos nesse vector, para não efectuar trocas de níveis nos cálculos posteriores.

Admitindo, igualmente, os pisos como indeformáveis, mas de forma mais genérica e incluindo a eventual presença de paredes resistentes:

1 -.º 1 .º 1 3 3 .º

∑

∑

∑

3

12

i pilares de n n de paredes m m k k presente do acima pisos de n i j i

d

H

EI

L

EI

F

d

+

+

=

Ou seja, deslocamento de um piso é igual ao produto do total das forças aplicadas nesse piso e de todos os que lhe são superiores pela rigidez do mesmo, a somar ao deslocamento transportado do piso que lhe é inferior.

Reparar que esta fórmula provém da generalização de: K.d = F.

Também, no caso de existirem cabos, a sua contribuição poderia ser contabilizada pelo acréscimo da nova parcela à fórmula anterior, simplificadamente:

1 -) ( .º 1 .º 1 .º 1 3 3 .º

cos

3

12

_∑

∑

∑

∑

i horizontal a com ângulo cabos de n n n n pilares de n k paredes de n m m m k k presente do acima pisos de n i j i

d

C

EA

H

EI

L

EI

F

d

+

×

+

+

=

= = =

α

Como ilustração do que se pretende evidenciar, temos a figura abaixo.

3 3 3 Parede Cabo Pilar 9 H = L = L = L = 30° Se neste exemplo: ⇒ F = 1000 kN ⇒ Paredes: 1.5 × 0.2, E = 29E+6 ⇒ Pilares: 0.3 × 0.3, E = 29E+6 ⇒ Cabos: ø = 16mm, E = 210E+9 Surge: 1 2 3 1 1 3 3 1 1 3 )) 30 sin( / 3 /( ) 30 cos( 1 ) 9 210 4 / 016 . 0 ( 3 12 / 3 . 0 3 . 0 9 29 12 9 12 / 5 . 1 2 . 0 9 29 3 3 1000 − ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ × × × + × × + × × × = Δ

∑

∑

E E E E

[

E E E

]

m E3 6713 3 8700 3 1940 3 0,0576 1000 _{× + +} 1₌ = Δ −

Se negligenciamos a presença dos cabos:

= ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ × × + × × × = Δ −

∑

∑

1 3 1 1 3 3 1 1 3 3 12 / 3 . 0 3 . 0 9 29 12 9 12 / 5 . 1 2 . 0 9 29 3 3 1000 E E E 0,0649m