Parte 3 DEFORMAÇÃO. x N) de Ensaio de de Falhas

(1)

EESC

EESC--USPUSP

Parte

3

3 DEFORMA

DEFORMA

Ç

ÃO

-

VIDA (

εεεε

x N)

Waldek

Wladimir

Bose

Filho

, PhD

NEMAF

–

N

ú

cleo

de

Ensaio

de

Materiais

(2)

EESC

EESC--USPUSP

Deforma

ç

ão

-

Vida Vs.

Tensão

Vida

10

0

₁₀

3

₁₀

6

_N

Tensão

Metodologia

Def. - Vida _Metodologia

Tensão - Vida Fadiga de

baixo ciclo(FBC)

Fadiga de alto ciclo FAC

(3)

EESC

EESC--USPUSP

Nominal Vs

Tensão

Local

σσσσ

εεεε

σσσσ

_n

σσσσ

_L Carregamento

σσσσ

εεεε

Descarregamento Descarr. (Local) Descarr. (Nominal)

• Ainda que a tensão nominal esteja dentro do intervalo elástico, a tensão

local nos entalhes pode ser mais alta que a tensão de escoamento. A região do entalhe experimenta deformação permanente no

descarregamento. • Tensão Nominal σσσσ_n Tensão Local σσσσ_L

(4)

EESC

EESC--USPUSP

Comportamento

do Material

d

₀

_l

0

A

₀

Antes do Carreg.

A

l

d

Após Carreg.

Tensão

Tensão de Eng. S = P/A

₀

Tensão Verd.

σσσσ

= P/A

(5)

EESC

EESC--USPUSP

Comportamento

do Material

d

₀

_l

0

A

₀

Antes do Carreg.

A

l

d

Após Carreg.

Deformação 0

e

Eng.

de

Def.

l

-l

0 0

=

∆

=













=

_∫

0

ln

d

Verdadeira

Def.

0

l

l l

ε

(6)

EESC

EESC--USPUSP

Def. de Eng. & Def.

Verdadeira

Comparação entre Tensão – Def. Verd. e de Eng.

T e n s ã o d e E n g . , S T e n s ã o V e rd . , σσσσ

S

_y Def. de Eng. , e Def. Verd. , εεεε E=∆∆∆∆S/∆∆∆∆e x x Falha Emp. acontece em S_u Eng. S-e Verd. σσσσ-εεεε σσσσf ε =ln 1

( )

+e σ =S A0 A =S 1

( )

+e _εεεε f

(7)

EESC

EESC--USPUSP

Rela

ç

ão

Monotônica

entre

Tensão

-

Def.

Descarregamento. elástico

E

• P

σσσσ

εεεε

_p

εεεε

e

εεεε

_t

Def. total

εεεε

_t

Def. Elast.

εεεε

_e

Def. Plast.

εεεε

_p

εεεε

_t

=

εεεε

_e

+

εεεε

_p

εεεε

_e

=

σσσσ

/E

(8)

EESC

EESC--USPUSP

Deforma

ç

ão

Pl

á

stica

1.0 H

n

L o g T e n s ã o V e rd , (l o g σσσσ )

Log Def. Plast, (logεεεε_p)

H – Coeficiente de resistência

n - Expoente de encruamento

( )

p n n p

n

H

or

H

ε

σ

ε

σ

log

1 p

+

=

(9)

EESC

EESC--USPUSP

Deform.

El

á

stica

,

Pl

á

stica

& Total

( )

p e t p e

ε

σ

ε

σ

ε

+

=

Total

H

Plástica

E

Elástica

n 1

n

1 H

E













+

=

σ

ε

_t

Relação tensão – Def.

(10)

EESC

EESC--USPUSP

Def.

Def. ElEláásticastica, , PlPláásticastica & Total& Total

Exemplo: H=478 MPa, E= 68.250 MPa, n=0,5

( )

1 t

10 para

?

Qual

ii

σ

=

ε

=

− n 1

H

E













+

=

σ

ε

_t

(i) Dado σσσσ = 273 MPa qual εεεε_t?

3305

.

0 =

0,3265

+

004 ,

0

478

273

250 .

68

273

10,5

=













+

=

t

ε

Elástica Plástica Total

0

47 ,

1

35 ,

3 ₁₀

6 2

+

−

=

x

σ

0,5 1 1

478

68.250

10 











+

=

−

σ

MPa

154,3

-ou

5 ,

149 =

σ

(11)

EESC

EESC--USPUSP

Exemplo

sobre

a

rela

ç

ão

monotônica

tensão

-

def.

45750

22950

12850

8950

7350

Total

ε

_t_t

(

µ

)

510

490

470

450

430

430 σ

σ

(MPa)

Dados de ensaio para a liga de Al 7075-T651

Dado E = 71 GPa,

A) Determine H e n na relação de Ramberg-Osgood

para a liga de Al 7075-T651.

B) Coloque em gráfico os dados experimentais e

a previsão de Ramberg-Osgood de

σ

e

ε

.

(12)

EESC

EESC--USPUSP

Solução

( )

p n p n 1 n 1 p

log

n

H

log

H

ou

H

E

H

,

E

,

ε

σ

ε

σ

ε

σ

ε

σ

ε

+

=

+

=

+

=

t e p e t

0.001294

0.002612

0.006230

0.016049

0.038567

0.006056

0.006338

0.006620

0.006901

0.007183

7.35

7.35 ×

×

10

--33

8.95

8.95 ×

×

10

--33

12.85

12.85 ×

×

10

--33

22.95

22.95 ×

×

10

--33

45.75

45.75 ×

×

10

--33

430

450

470

490

510

510 ε

ε

_p_p

=

ε

_t_t

-

ε

_e_e

ε

_e_e

=

σ

/E

ε

_t_t

σ

(13)

EESC

EESC--USPUSP

E

• P

σσσσ

εεεε

_p

εεεε

e

εεεε

_t

490 0.006901

0.016049

0.022950

(14)

EESC

EESC--USPUSP

• Coloque em gráfico

σσσσ

Versus

εεεε

_p

na escala log

H=600.9 MPa

n=0.04937

0.04937

1

9 .

600 71000

maneira

De













+

=

σ

ε

1.0 log

εεεε

_p

H

n

*

lo

g

σσσσ

(15)

EESC

EESC--USPUSP ComparaComparaççãoão dos dados dos dados experimentaisexperimentais com a com a previsãoprevisão de de

Ramberg

Ramberg--OsgoodOsgood

σσσσ

εεεε

_t Pontos experimentais Equação Ramber-Osgood

ε

=

ε

t

=

σ

71000

+

σ

600.9 











1 0.04937

(16)

EESC

EESC--USPUSP

Comportamento

(17)

EESC

EESC--USPUSP

Comportamento

C

í

clico

dos

Materiais

Laço de histerese:

Resposta do Material a carregamentos cíclicos inelásticos

εεεεa =∆ε∆ε∆ε∆ε/2 = amplitude de def. σσσσa = ∆σ∆σ∆σ∆σ/2 amplitude de tensão ∆ε ∆ε ∆ε ∆ε_e - parte elástica ∆ε ∆ε ∆ε ∆ε_p – parte plástica

∆

ε

2 = ∆

ε

e

2 +

∆

ε

p

2 ;

∆

ε

e

= ∆

σ

E

∆ε

_p

∆ε

e

∆ε

∆σ

E

σ

ε

(18)

EESC

EESC--USPUSP

Comportamento

Transiente

–

Encruamento

+

-εεεε

_Tempo

1

2

3

4

5

(a) Amplitude de deform. Const.

σσσσ

εεεε

1

3

5

2

4 Tempo

1

2

3

4

5 +

-σσσσ

(b) Resposta da tensão

(aumentando o nível de tensão)

(19)

EESC

EESC--USPUSP

Comportamento

Transiente

–

Amolecimento

+

-εεεε

_Tempo

1

2

3

4

5 Tempo

σσσσ

1

2

3

4

5 σσσσ

εεεε

1

2

3

4

5

(a) Ampl. De def. cíclica

(b) Resposta Tensão

(diminuindo o nível de tensão)

(20)

EESC

EESC--USPUSP

Encruamento Vs.

Amolecimento

(

)

(

)

amolece

te

ciclicamen

material

0,1

n

ou

12 ,

1 /

Se

endurece

te

ciclicamen

material

0,2

n

ou

4 ,

1 /

Se

u







<







>

y y u

σ

Postulado de Manson: Baseado em observações experimentais. usando as propriedades estáticas do material (limite de resist. e de escoamento e expoente de encruamento, n), pode ser previsto se o material irá encruar ou amolecer.

n 1

H

E













+

=

σ

ε

_t

onde, n é dado por

(21)

EESC

EESC--USPUSP

Encruamento/amolecimento

σσσσ

Curva Tensão- Def. Ciclico (C) e monotonico (M)

εεεε

(a) C M 2024-T4 Aluminio

εεεε

(b) C M 7075-T6 Aluminio

σσσσ

(22)

EESC

EESC--USPUSP

Condi

ç

ão

C

í

clicamente

Est

á

vel

• Transiente (encruamento/amolecimento) ocorre durante os

primeiros ciclos da vida em fadiga.

• Eventualmente o material atinge a condição ciclicamente

estável.

Transiente

estável

Transiente

t

σ

_σ

(23)

EESC

EESC--USPUSP

Efeito

da

Condi

ç

ão

de

Tratamento

T

é

rmico

no

La

(24)

EESC

EESC--USPUSP

La

ç

o

de

Histerese

do

Cobre

Laço de Histerese estabiliz. em ∆ε∆ε∆ε∆ε =0.0084

Material exibe endureci-mento na condição de recozido.

(25)

EESC

EESC--USPUSP

Laço de histerese

estabilizado em ∆ε∆ε∆ε∆ε =0.0078

Material exibe amolecimento Cíclico na condição

parcialmente recozido

La

(26)

EESC

EESC--USPUSP

La

ç

o

de

Histerese

do

Cobre

Laço de histerese estab. em ∆ε∆ε∆ε∆ε =0.0099

Material exibe amolecimento cíclico na cond. de traba-lhado a frio.

(27)

EESC

EESC--USPUSP

∆ε

- Aplicar uma amplitude de def. de ∆ε/2. - O transiente de tensão é seguido de um

laço de histerese estabilizado - Estabeleça o laço de histerese

estabilizado para este nível de def. - Repetir o procedimento com

uma diferente amplitude de def.

- Unir as pontas dos laços de histerese estabilizados.

- A CURVA TENSÃO DEF. do Material.

Determina

ç

ão da Curva Tensão

-

Deforma

ç

ão

C

(28)

EESC

EESC--USPUSP

RELA

Ç

ÃO TENSÃO

-

DEFORMA

Ç

ÃO C

Í

CLICA

( )

1n

H'

Plast,

Def.

E

,

Elast.

Def.

Total

Def.

′

=

+

=

σ

ε

σ

ε

p e p e t

( )

n p

'

ε

σ

=

H

H' – Coef. de Resist. cíclica

n' - Expoente de encruamento cíclico.

n 1

H'

E

que

maneira

De



′











+

=

σ

ε

t

(29)

EESC

EESC--USPUSP

RELA

RELAÇÇÃO TENSÃOÃO TENSÃO--DEFORMADEFORMAÇÇÃO CÃO CÍÍCLICACLICA

1.0 H' n' L o g T e n s ã o c íc li c a , (l o g σσσσ )

Log Def. Ciclica, (logεεεε_p)

( )

p n p

ou

ε

σ

ε

σ

log

n

H'

log

H'

n 1 p

′

+

=

′

(30)

EESC

EESC--USPUSP

CURVA DE HISTERESE ESTABILIZADA

Hipótese de Massing:

- Para materiais exibindo comportamento simétrico

em tração e compressão.

-Curva de histerese pode ser

ESTIMADA

a partir

da curva Tensão - Def. cíclica estabilizada.

- Dobrar os valores de tensão e def. da curva

estabilizada da curva tensão- def. cíclica.

(31)

EESC

EESC--USPUSP

CURVA DE HISTERESE ESTABILIZADA

Segundo a hipótese de Massing: Dada uma curva tensão – def. cíclica, obter o ponto B sobre a curva

dobrando o valor correspondente ao ponto A na curva T X Def. cíclica

σσσσ

εεεε Curva tensão - def. cíclica estabilizada 0.002 270 A (a) ∆σ ∆σ∆σ ∆σ ∆ε ∆ε ∆ε ∆ε 540 0.004 0 Curva de histerese estabilizada B (b) σσσσ εεεε ∆ε ∆ε ∆ε ∆ε=0.004 ∆σ ∆σ ∆σ ∆σ = 540 0 Laço de histerese estabilizada B (c)

(32)

EESC

EESC--USPUSP

EQUA

Ç

ÕES PARA O LA

Ç

O DE HISTERESE

Seguindo a hipótese de Massing:

n 1

H'

E

Relembre



′











+

=

ε

σ

ε

t

∆σ = 2σ

∆ε = 2 ε

σ = ∆σ/2

_{ε = ∆ε/2}

n 1 n 1

2H'

2 E

2H'

2E

2 que

maneira

De

′ ′













∆

+

∆

=

∆













∆

+

∆

=

∆

σ

ε

σ

ε

Eq. da

histerese

(33)

EESC

EESC--USPUSP

Curvas

Deforma

ç

ão

-

Vida

Usando a amplitude de tensão verdadeira (

∆σ

/2), os

dados Tensão-vida (S-N) podem ser plotados

linearmente na escala log-log,

∆

σ

2 =

σ

f

′

2N

_f

( )

b

(2.37)

ciclo)

2

1 reverso

um

(

falhar

para

reversos

2N

_f

=

f f

resist.

verdadeir

a

fadiga,

σ

′

≈









=

′

fadiga

a

resist.

de

expoente

b

fadiga

a

resist.

de

coef.

f

σ

_{Propriedade de} fadiga do material

(34)

EESC

EESC--USPUSP

Curvas

Tensão

-

Deforma

ç

ão

Manson & Coffin encontraram que os dados def.-vida (εεεε_p-N) Podem ser também linearizados na coord. log-log.

∆

ε

p

2 =

ε

f

′

2N

f













c

(2.38)

plástica

def.

de

amplitude

2

p

=

∆

ε









=

′

fadiga

em

e

dutillidad

de

expoente

c

fadiga.

em

dutilidade

de

coef.

f

ε

Propriedade de Fadiga do material

ε

f

′

≈

ε

f

ciclo)

2

1 reverso

um

(

falhar

para

reversos

2N

_f

=

(35)

EESC

EESC--USPUSP

Curva

Tensão

-

Deforma

ç

ão

Como podemos relacionar a vida a Ampl. De Def. Total ∆ε∆ε∆ε∆ε/2?

(2.39)

2E

2

2 Relembre,

e p e

σ

ε

∆

=

∆

+

∆

=

∆

Relação

Tensão-vida

( )

2N

( )

2N

(2.41)

E

2 (2.40)

2N

E

2

2.39 &

2.37 De

c f f b f f b f f e

′

+

′

=

∆

′

=

∆

ε

σ

ε

σ

ε

elástica

plástica

(36)

EESC

EESC--USPUSP

Note Eqns 2.37 e 2.38 são lineares no plano log-log

(

)

b f f e

₂

_N

E

2 '

σ

=

ε

∆

2N

_f

10

0

E

f

'

σ

b

2

e

ε

∆

f

(

f

)

c p

N

2

2 =

ε

'

ε

∆

2N

_f

10

0

'

f

ε

c

2

p

ε

∆

(37)

EESC

EESC--USPUSP

Rela

ç

ão

Tensão

–

Vida Total

2

e

ε

∆

2

p

ε

∆

₂

ε

∆ε

_e

/2

∆ε

_p

/2

∆ε

/2

2N

_f

(

)

b f f e

₂

_N

E

2 '

σ

=

ε

∆

(

)

c f f p

N

2

2 =

ε

'

ε

∆

(

)

(

)

c f f b f f ₂_N ₂_N E 2 ' ' ε + σ = ε ∆

(38)

EESC

EESC--USPUSP

Vida de

Transi

ç

ão

Plástica ∆ε ∆ε ∆ε ∆ε_e/2 ∆ε ∆ε ∆ε ∆ε_p/2 ∆ε ∆ε∆ε ∆ε/2 2N_f Dominante Elástica Dominante plástica

Total

Elástica 2N

×

_t

2

2 :

2N

Em

_f

=

_t

∆

ε

e

=

∆

ε

p

σ

f

'

E

( )

2N

t b

=

ε

_f

' 2N

( )

_t c

⇒ 2N

t

=

ε

f

' E

σ

f

'













1 b−c

(39)

EESC

EESC--USPUSP

Vida de

Transi

ç

ão

Def. Total Def. Elástica Def. Plástica 600 100 106 100 2 N t Aços BHN Duro→→→→ 2N_t é pequena – mais de 2N_f é elástica Mole →→→→ 2N_t é grande – mais de 2N_f é plástica

2N_t ∆ε ∆ε ∆ε ∆ε_e/2 ∆ε ∆ε∆ε ∆ε_p/2 ∆ε ∆ε ∆ε ∆ε/2

(40)

EESC

EESC--USPUSP

Resistência

e Dutilidade

Normalizado (material dútil)

Temperado (material duro) Dútil tem melhor vida em alto ∆ε∆ε∆ε∆ε

Duro tem melhor vida em baixo ∆ε∆ε∆ε∆ε

2N_f, log ∆ε∆ε∆ε∆ε /2 , l o g 100 ₁₀8 100 10-4

(41)

EESC

EESC--USPUSP

Propriedades

de

Fadiga

1.

1. NemNem todostodos osos materiaismateriais podempodem ser ser representadosrepresentados porpor

equa

equaççõesões de de quatroquatro parâmetrosparâmetros (i. e., (i. e., ligasligas de Al & Ti)de Al & Ti)

2.

2. ParâmetrosParâmetros obtidosobtidos pelopelo ajusteajuste dada curvacurva –– portantoportanto, a , a

acuracidade

acuracidade dependedepende dos dos nnúúmerosmeros de de pontospontos usadosusados ouou dispon

disponííveisveis..

3.

3. ParâmetrosParâmetros aplicaplicááveisveis àà um dado um dado intervadointervado de dados de dados ––

fora

fora do do intervalointervalo podepode dardar um um grandegrande erroerro

4.

4. ConveniênciaConveniência estritamenteestritamente matemmatemááticatica –– semsem base base ffíísicasica..

b, c,

σσσσ

_f

´

,

εεεε

_f

´

: Constantes empíricas

Relação: H

´

=

σσσσ

_f

´

/(

εεεε

_f

´

)

n’

(42)

EESC

EESC--USPUSP

Propriedades

de

Fadiga

Na ausência de “dados cíclicos”, os parâmetros de fadiga podem ser obtidos por estimativas grosseira a partir das “propriedades monotônicas”

σσσσf´ ≈≈≈≈ σσσσf σσσσf ≈≈≈≈ Su + 50 ksi para aços com BHN < 500

b varia com – 0,05 a – 0,12 com uma média de – 0,085 ( a mesma que nós temos no modelo tensão-vida)

εεεε

_f

´

≈≈≈≈ εεεε

_f

RA

-1

1 ln

onde

ε

_f

=

c varia entre – 0.5 to – 0.7

Para metais mutio dútil c ≈≈≈≈ - 0.6 Para metais muito resist. c ≈≈≈≈ - 0.5

(43)

EESC

EESC--USPUSP

Exemplos

A partir dos dados monotônicos e ciclicos de

tensão-Def.

Determine as constantes cíclicas de tensão-def

& def. – vida)

Dados monotônicos: S

_y

=158 ksi

E = 28.4

××××

10

3

_ksi

S

_u

=168 ksi

σσσσ

_f

= 228 ksi

%RA = 52

εεεε

_f

= 0.734

(44)

EESC

EESC--USPUSP

50 50 68 68 122 122 256 256 350 350 488 488 1,364 1,364 1,386 1,386 3,540 3,540 3,590 3,590 9,100 9,100 35,200 35,200 140,000 140,000 162.5 162.5 162 162 155 155 143.5 143.5 143.5 143.5 136.5 136.5 130.5 130.5 126.5 126.5 121 121 119 119 114 114 106 106 84.5 84.5 0.0393 0.0393 0.0393 0.0393 0.02925 0.02925 0.01975 0.01975 0.0196 0.0196 0.01375 0.01375 0.00980 0.00980 0.00980 0.00980 0.00655 0.00655 0.00630 0.00630 0.00460 0.00460 0.00360 0.00360 0.00295 0.00295 Reversos

Reversos parapara Falhar

Falhar, 2N, 2N_f_f Ampl

Ampl. De . De tensãotensão

∆σ ∆σ∆σ ∆σ ∆σ ∆σ∆σ ∆σ/2 (/2 (ksiksi)) Ampl Ampl. de . de Def. Total, Def. Total, ∆ε ∆ε ∆ε ∆ε ∆ε ∆ε ∆ε ∆ε/2/2 Ampl

Ampl. Def. . Def. PlPláásticastica, ,

∆ε ∆ε∆ε ∆ε ∆ε ∆ε ∆ε ∆ε_p_p/2*/2* 0.0336 0.0336 0.0336 0.0336 0.0238 0.0238 0.0147 0.0147 0.0145 0.0145 0.00894 0.00894 0.00521 0.00521 0.00534 0.00534 0.00229 0.00229 0.00211 0.00211 0.00059 0.00059 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000

∗

∆

ε

p

2 =

∆

ε

2 −

∆

ε

e

2 =

∆

ε

2 −

∆

σ

2E

(45)

EESC

EESC--USPUSP

Exemplo

(Cont.)

∆

σ

2 =

σ

f

' 2N

( )

f b

∆

ε

p

2 =

ε

f

' 2N

( )

f c

σ

f

'

=

222 ksi b

=

- 0.076

ε

f

'

=

0.811 c

=

- 0.732

c log 2N_f lo g ∆ε∆ε∆ε∆ε p /2 b log 2N_f lo g ∆σ∆σ∆σ∆σ /2

(46)

EESC

EESC--USPUSP

Exemplo

Exemplo (Cont.)(Cont.)

Para determinar H

´

e n

´

(Dois métodos)

n' p p 2 H' 2 2 plástica, def. ampl. a e 2 entre, potência de curva uma ajuste (A)       ∆ = ∆ ∆ ∆

ε

σ

ε

σ

H´ = 216 ksi

n´=0,094

( )

(

0,811

)

227 ksi

222 H'

0,104

0,732

-0,076

-b/c

n'

'

H'

Relembre

(B)

0,104 n' f f

=

ε

σ

(47)

EESC

EESC--USPUSP

Exemplo

Exemplo (Cont.)(Cont.)

0,0001

0,001

0,01

0,1

1

100 10000

1000000

Def. Elástica Def. Plástica Def. Total Potência (Def. Plástica) Potência (Def. Elástica)

Reversos para falhar, 2N_f

A m p l. d e D e f. ,∆ε∆ε∆ε∆ε /2

(48)

EESC

EESC--USPUSP

Efeito da Tensão M

é

dia na Metodologia

Deforma

ç

ão

-

Vida

♦Os efeitos da tensão média são significante para vida em alto ciclo, HCF.

♦Para altas amplitudes de deformação, FBC, a relaxação de tensão ocorre e eventualmente a tensão média tende a zero.

FBC FAC Log 2N_f L o g ∆ε /2

Tensão Média Compressiva

Completamente Reverso (tensão média zero) Tensão média trativa

(49)

EESC

EESC--USPUSP

1

2

3

4

5

6

7

8 εεεε

Tempo

1

2

3

4

5

6

7

8 εεεε

σσσσ

∆ε

εεεε

_m

σσσσ

m1

σσσσ

_m4

♦Relaxação da tensão média não é devido ao amolecimento por deformação;

♦O relaxamento da tensão média pode ocorre em materiais ciclicamente estáveis e devido a existência de deformação plástica localizada.

(50)

EESC

EESC--USPUSP

Modelo de

Modelo de MorrowMorrow Para Efeito da Tensão MPara Efeito da Tensão Méédiadia

σ

′

= ⇒ = ₋ + f m a ar f m ar a 1 1

( )

b f m f b f b f m f

N

fazendo

N

/ 1 * / 1 a 1 2 ... 1         − =                 − =

′

_σ

σ

_σ

σ

( )( )

b f f

2 N

ar

σ

=

′

(

)( )

b f m f

2 N

a

σ

=

′

−

♦ Similarmente, a curva ε x N_f pode ser generalizada utilizando a equação de Morrow. Primeiramente rearranjamos esta equação.

( )

b

f

N

*

a

σ

2

(51)

EESC

EESC--USPUSP

( )

2N

( )

2N

E

2

c * f b * f a

ε

σ

ε

=

′

+

′

=

∆

Esta mesma modificação pode ser aplicada para a curva ε x N.

Onde a vida N_f, para uma dada combinação de ε_a e σ_m é obtida a partir de N*: c f b f

N

) 1- (2 ) 2 ( -1 E 2 c/b f m f f m f a         ′ +         ′ = = ∆

′

_σ

σ

ε

σ

ε

b f m f

N

/ 1 * 1 −         − =

′

σ

Substituindo N*, obtem-se uma única equação para a família de curvas ε x N.

(52)

EESC

EESC--USPUSP

A figura a seguir apresenta dados de ε_a x N_f para diferentes valores de

(53)

EESC

EESC--USPUSP

- Podemos notar que a equação εεεε x N* é a mesma que a anteriormente apresentada para σσσσ_m = 0.

-Assim, N* seria a vida calculada como se não existisse

tensão média e a equação abaixo fornece a vida N_f que foi ajustada para incluir o efeito da tensão média.

b f m f N N / 1 * 1 −         − = ′

σ

(54)

EESC

EESC--USPUSP

Modelo

Modelo de Morrow de Morrow ModificadoModificado

( )

c f f b f f f

₁

_2N

E

2 σ

ε

σ

ε

σ

₊

_′













′

−

′

=

∆

_m

σ

0

E

′

σ

f

E

ε

_f

´

Log 2N

_f

L

o

g

∆ε

/2

Tensão Média Zero

Tensão Média Trativa

- A seguinte modificação é normalmente usada. Neste caso, observa-se que o efeito da σσσσ_m no termo plástico foi removido.

(55)

EESC

(56)

EESC

EESC--USPUSP

Modelo de Smith, Watson &

Topper

Para o Efeito da Tensão M

é

dia

m m a

σ

=

σ

+

=

∆

+

2

max

Onde

- Este modelo assume que a vida para qualquer situação de tensão média depende do produto:

)

(

.

"

max

ε

_a

=

h

N

_f

σ

- E h”(N_f) indica uma função da vida em fadiga N_f.

- Assim, a vida é esperada ser a mesma para carregamentos completamente reversos (σ_m=0) que tenham o mesmo produto

σ_max.ε_a.

- Novamente, façamos σ_ar e ε_ar os valores de amplitudes de

tensão e de deformação para σ_m = 0 e que resultem em valores de N_f similar ao de σ_max . ε_a.

- Note que para σ_m=0, tem-se que σ_max = σ_ar, e a função h”(Nf)

(57)

EESC

EESC--USPUSP

( ) ( )

2

( )

2

2 max c b f f f b f f a

N

E

+

′

+

′

=

σ

ε

σ

ε

( )

b f f ar

σ

2 N

σ

=

′

Um procedimento gráfico conveniente é fazer σ_max.ε_a x N_f a partir do rearranjo da equação anterior.

( )

c f f b f f N N E 2 ' 2 ' 2 ar

ε

σ

ε

= + = ∆

( )

2 .

.

( )

2 .

max













′

+

′

=

c f f f f b f f a

N

E

N

σ

ε

σ

ε

(58)

EESC

(59)

EESC

EESC--USPUSP

Considerando

a

equa

ç

ão

de Walker

para

o

efeito

da

tensão

m

é

dia

no

caso

de S

-

N, o

valor de N*

para

o

uso

com a

equa

ç

ão

:

( )

2N

( )

2N

E

2

c * f b * f a

ε

σ

ε

=

′

+

′

=

∆

( ) b a f

N

/ 1 max * γ

σ

−













=

( ) b f

R

N

/ 1 *

2

1

−γ













−

=

(60)

EESC

EESC--USPUSP

Exemplo

Um

Um disposivodisposivo éé produzidoproduzido de de aaççoo RQCRQC--100 e 100 e submetidosubmetido a a carregamentos

carregamentos ccííclicosclicos com amplitude de com amplitude de deformadeformaççãoão de de εε_a_a = 0,004 = 0,004 e

e umauma tensãotensão mméédiadia de 100 de 100 MPaMPa. . QuantosQuantos ciclosciclos podempodem ser ser aplicados

aplicados antes antes queque a a falhafalha porpor fadigafadiga aconteaconteççaa?? Utilize as

Utilize as metodologiasmetodologias de Morrow, Morrow de Morrow, Morrow modificadamodificada e SWT e e SWT e comente

(61)

EESC

EESC--USPUSP

EXEMPLO

Um metal tem as seguintes propriedades monotônicas e cÍclicas trativas :

E=193 GPa S_y(0,2%)=325 MPa

S_u=650 MPa σ_f=1400 MPa

ε_f=1,731 %RA=80% n=0,193 K’=1660 MPa n’=0.287

A) Calcule a deformação atingida durante a metade do primeiro ciclo para uma amplitude de tensão de 200 MPa. B) Determine a deformação total e a amplitude plástica de deformação para uma amplitude de tensão de 200 MPa. C) Repita os cálculos acima, mas agora determina a

(62)

EESC

EESC--USPUSP

Solu

ç

ão

C?

_M?

Devemos usar as propriedades

Monotônicas (M) ou as propriedades

cíclicas (C) para a metade do primeiro

ciclo?

Se sabemos com certeza de que o material

Não sofreu carregamento prévio

→

Uso Monotônica

Se não temos certeza

→

Uso das cíclicas.

σ

ε

Parte A)

(63)

EESC

EESC--USPUSP

Usando a Tensão-Def Monotônica

( )

1n

H

E

σ

ε

M

=

+

(

)

MPa

f f

1295

731 ,

1 1400

H

≈

_n

=

₀_,₁₉₃

=

ε

σ

001109

,

0 1259

200 193000

200

10,193

=













+

=

M

ε

Usando a Tensão-Def cíclica

( )

n

1

H'

E

′

+

=

σ

ε

C 001664 , 0 1660 200 193000 200 10,287 =       + = C

ε

(64)

EESC

EESC--USPUSP

Parte B) b) Dado

∆σ

/2 = 200 MPa

∆ε

/2 = ?

Usando a equ. da histerese.

n 1

H'

2 E

2

′













∆

+

∆

=

∆

ε

σ

00125

,

0 00207

,

0 +

=

∆

ε

001663

,

0

2 ,

000625

,

0

2 ,

001035

,

0

2 ,

=

∆

=

∆

=

∆

ε

total

plástica

elástica

p e

(65)

EESC

EESC--USPUSP

Part C) Dado a Def.

⇒

calcular a tensão resposta

C?

M?

_{Metade do ciclo inicial}

Usando as prop. monotônica

( )

n

H E 1 σ σ ε = + 193 , 0 1 1 1 1259 193000 01 , 0       + =σ σ M

_MPa

4 ,

489

1

=

⇒

σ

Usando as propr. cíclicas

( )

n

H

E

′

+

=

σ

_'

1

ε

287 , 0 1 1 1 1660 193000 01 , 0       + =

σ

C

_MPa

3 ,

413

1

=

⇒

σ

(66)

EESC

EESC--USPUSP

Tensão – Def. estável

ε

0

1 ₃

4

2 ∆ε

t

2,4

1,3

0

ε

σ

∆ε

Usando Histerese

01 , 0 H' 2 E 2 2 n 1 =       ∆ + ∆ = ∆ε σ σ ′

σ

∆

⇒

_resolve

_para

⇒

∆

σ

=

826 ,

6 MPa

σ

2

=

σ

1

− ∆

σ

3

=

σ

2

+ ∆

σ

4

=

σ

3

− ∆

σ











Pode-se ter diferente repostas dependendo

Se usa-se

σ

₁M

_ou

σ

1C

para a metade do ciclo

inicial.

⇒

MPa

C M

3 ,

413

4 ,

489

1 1

=

σ

∆σ

(67)

EESC

EESC--USPUSP

Problema

-

Solu

ç

ão

Tensão-Def. estável

0

76.1

76.1 Tensão

Tensão

M

é

dia

0

0 413,3

413,3

--

413,3

--

413,3

0

0 489,4

489,4

--

337,2

489,4

--

337,2

0

0 +0,01

+0,01

--

0,01

+0,01

--

0,01

0

1

2

3

4

4 Tensão

Tensão

usando

C

Tensão

usando

M

Def.,

ε

Ref No.

M - Monotônica; C - Cíclica

(68)

EESC

EESC--USPUSP

Problema

-

2.13

2.13 Solu

Solu

ç

ão

500

0.011

T e n s ã o , σσσσ (M P a ) Deformação, εεεε

-500

-0.011

0

Tensão média σσσσ0=76.1 Usando (K,n) σσσσmax=489.4 σσσσmin=-337.2

500

0.011

T e n s ã o , σσσσ (M P a ) Deformação, εεεε

-500

-0.011

0

_Tensão média σσσσ0=0 Usando (K’,n’) σσσσmax=413.3 σσσσmin=-413.3

Tensão-Def. estável

0 1,3

_1,3

2,4

_2,4

(69)

EESC

EESC--USPUSP

Problema

2.17

As seguintes propriedades de tensão-def. e def.-vida são dadas para um aço:

E = 30××××103 _{ksi K’ = 137 ksi n’ = 0.22}

σσσσf’ = 120 ksi b = -0.11 εεεεf’ = 0.95 c = -0.64

(a) Desenhe em coordenadas log-log as curvas def. elástica-vida,

def. plástica.-vida e def. total-vida. Determine a vida de transição (2N_t). (b) Desenhe o laço de histerese correspondendo a valores deamplitude de def. (∆ε∆ε∆ε∆ε/2 ) de 0,05, 0,00125, e 0,0007. Determine a vida em fadiga em

reversos nestes três níveis de tensão.

(c) Determine a amplitude elástica, plástica e total para a vida (2N_f) de 2 ××××106 _reversos.

(d) Determine a amplitude de deformação elástica, plástica e total para a vida (2N_f) de 500 reversos.

(e) Determine a amplitude de tensão correspondendo as vidas em fadiga de 500 e 2 ××××106 reversos.

(f) Um componente feito deste material é necessário para uma vida de não menos que 104 _{reversos. O carregamento no componente causa}

uma amplitude de deformação de 0,008. Determine se o componente atenderá as exigências.

(70)

EESC

EESC--USPUSP

Problema

2.17

2.17 -

-

Solu

ç

ão

• Desenhe em um gráfico log-log as curvas def.-vida elástica, Plástica e total. Determine a vida de transição (2N_t).

( )

2N

( )

2N

(2.41)

E

2 que

Relembre

c f f b f f

ε

σ

ε

′

₊

_′

=

∆

( )

1 2N

em

intersepto

com

Reta

2N

.95

0 =

2N

2

1 2N

em

E

intersepto

com

Reta

2N

30000

120 2N

E

2

f f 0.64 -f c f f f f 11 . 0 -f b f f

=

′

=

∆

=

′

=

′

=

∆

ε

σ

ε

p e

(71)

EESC

EESC--USPUSP

Problema

2.17

2.17 -

-

Solu

ç

ão

2

2 :

2N

_f

=

_t

∆

ε

e

=

∆

ε

p

em

⇒

_2N

t

=

ε

f

′

E

σ

f

′













1 b−c

=

0.95(30000)

120 











1 −0.11+0.64

=

30,366

Elástica

2N

_f

∆ε

_e

/2

∆ε

_p

/2

∆ε

/2

Total

Plástica

2N

×

_t

2N

_t

= 30000

(72)

EESC

EESC--USPUSP

Problema

2.17

2.17 –

–

Solu

ç

ão

b1) Para obter a tensão inicial, use as propriedades

cíclicas do material em

( )

1n

K

E

′

σ

+

σ

=

ε

0.0007

=

σ

30000

+

( )

σ

137

1 0.22

⇒

σ

=

_{18 ksi}

0.00125

=

σ

30000

+

( )

σ

137

1 0.22

⇒

σ

=

_{24.8 ksi}

0.05 =

σ

30000

+

( )

σ

137

1 0.22

⇒

σ

=

_{70.1 ksi}

(73)

EESC

EESC--USPUSP

b2) Histerese

(

)

1n

K

2 E

2

′

σ

∆

+

σ

∆

=

ε

∆

(

)

1022

274 60000

2

.

σ

∆

+

σ

∆

=

ε

∆

36

49.6

140.2

140.2 0.0007

0.0007

0.00125

0.05

0.05 ∆σ

∆σ

/2 (

ksi

)

∆ε

/2

(74)

EESC

EESC--USPUSP

T

e

n

s

ã

o

,

σ

(k

s

i)

0

Def.,

ε

0 -0.05 0.05 -75 75 +24.8 -24.8

Laço de Histerese

para

∆ε

/2=0,00125

2N_f=3.5×105 _rev.

T

e

n

s

ã

o

,

σ

(k

s

i)

0

Def.,

ε

0 -0.05 0.05

-75

75 70.1 -70.1

Laço de Histerese

para

∆ε

/2=0,05

2N_f=3.5×105 _rev.

(75)

EESC

EESC--USPUSP

b3) Vida

( )

c f f b f f

₂

_N

₂

_N

E

2 +

ε′

σ′

=

ε

∆

( )

064 f 11 0 f

0

95

2 N

N

2 30000

120

2

. .

.

− −

+

=

ε

∆

1.12

1.12 ×

×

10

77

351400

107

107 0.0007

0.0007

0.00125

0.05

0.05 2N

2N

_f_f

(

reversos

)

∆ε

/2

(76)

EESC

EESC--USPUSP

c & d)

?

2 ?

2

500

2

10

2 2N

em

6 f

∆

=

∆

=

∆

=









=

×

=

_e _p f

N

ε

( )

c f f b f f

₂

_N

₂

_N

E

2 +

ε′

σ′

=

ε

∆

( )

b f f e

₂

_N

E

2 σ′

=

ε

∆

_{( )}

c f f p

N

2

2 =

ε′

ε

∆

0.000088

0.017798

0.000811

0.002019

0.000899

0.019818

2

2 ×

×

10

66

500

500 ∆ε

∆ε

_p_p

/2

∆ε

_e_e

/2

∆ε

/2

2N

_f_f

(77)

EESC

EESC--USPUSP

e)

?

2

500

2

10

2 2N

6 f

∆

=









=

×

=

_σ

f

N

em

Usando (c&d) e

E

2

e

ε

∆

=

σ

∆

24.33

60.57

60.57 0.000811

0.000811

0.002019

2

2 ×

×

10

66

500

500 ∆σ

∆σ

/2 (ksi)

∆ε

_e_e

/2

2N

_f_f

f) Vida necessária @

∆ε

/2=0,008 é 2N

_f

=10000. Foi isto obtido?

( )

2 N

( )

2 N

0

008 solve

for

2N

2500

E

2

f c f f b f f

+

ε′

=

σ′

=

ε

∆

.

(78)

EESC

EESC--USPUSP

Exerc

í

cio

Alguns dados de deforma

Alguns dados de deformaçção ão –– vida para tensão mvida para tensão méédia diferente de zero são dia diferente de zero são apresentados abaixo para uma liga de Al 2024

apresentados abaixo para uma liga de Al 2024--T4. T4.

a)

a) Coloque em grColoque em grááfico os pontos do parâmetro de SWT, fico os pontos do parâmetro de SWT, σσ_max_max..εε_a_a versus versus NN_f_f em em

um gr

um grááfico de coordenadas fico de coordenadas loglog--loglog. Coloque tamb. Coloque tambéém a curva esperada m a curva esperada para as constantes tabeladas e comente o sucesso do parâmetro de

para as constantes tabeladas e comente o sucesso do parâmetro de SWT SWT para este material.

para este material.

b)

b) Usando a equaUsando a equaçção modificada de ão modificada de MorrowMorrow, coloque a fam, coloque a famíília de curvas lia de curvas

deforma

deformaçção ão –– vida que corresponde a uma tensão mvida que corresponde a uma tensão méédia de 0; 72;142 e dia de 0; 72;142 e 290

290 MPaMPa e então coloque os pontos da tabela abaixo e comento a e então coloque os pontos da tabela abaixo e comento a concordância dos resultados com estas curvas.

concordância dos resultados com estas curvas.

37.800 37.800 244.600 244.600 760.000 760.000 11.000 11.000 30.000 30.000 58.500 58.500 158.000 158.000 437.100 437.100 820.000 820.000 27.700 27.700 200.000 200.000 747.000 747.000 71,7 71,7 71.7 71.7 71,7 71,7 142 142 141 141 144 144 143 143 142 142 144 144 292 292 292 292 287 287 245 245 165 165 122 122 291 291 215 215 181 181 143 143 105 105 85,5 85,5 178 178 106 106 76,5 76,5 0,00345 0,00345 0,00232 0,00232 0,00172 0,00172 0,00410 0,00410 0,00303 0,00303 0,00254 0,00254 0,00198 0,00198 0,00148 0,00148 0,00121 0,00121 0,00250 0,00250 0,00149 0,00149 0,00109 0,00109 N N_f_f, , ciclosciclos σ σ_m_m, , MPaMPa σ σ_a_a, , MPaMPa ε ε_a_a