سلسلة تمارين محلولة في الدوال اللوغارتمية

نٌرمتلا لَّلأا  I ـ ةٌددعلا ةلادلا نكتل g لاجملا ىلع ةفّرعملا



0;



ًلٌ امك :

 

2 2 2 ln g x   x   x 1 . حنادنا خاسّٛغذ ضزدُا g آذاسٛغذ لٔدج مكش ّىث ، . 2 . بسحا

 

1 g ةراشإ جتنتسا ّمث

 

g x ىلع



0;



. II ـ f لاجملا ىلع ةفّرعم ةٌددع ةلاد



0;



ًلٌ امك :

 

1 ln 2 2 x f x x e x      و

 

Cf سناجتملاو دماعتملا ملعملا ىلإ بوسنملا يوتسملا ًف ًناٌبلا اهلٌثمت



O i j; , 



. 1 . ةعحاـ أ

 

lim x f x و

 

0 lim x f x  . ىنحنملا ّنأ نٌّب ـ ب

 

Cf مٌقتسملا لبقٌ

 

 ةلداعملا اذ 2 2 y  x e دنع هل لائام ابراقم  . ىنحنملا ةٌعضو دّدح ـ ـج

 

Cf مٌقتسملا ىلإ ةبسنلاب

 

 . 2 . ًقٌقح ددع لك لجأ نم هّنأ نٌّب ـ أ x لاجملا نم



0;



:

 

 

₂ ' g x f x x  ةلادلا رٌّغت هاجتا جتنتسا ـ ب f اهتارٌّغت لودج لكش ّمث ، . 3 . حنداعًنا ٌّأ دثثأ ـ أ

 

0 f x  ادٛحٔ لاح مثمذ 0 x لاجًنا ٙف



0, 4;0,5



. ئشَأ ـ ب

 

 ٔ

 

Cf . لحلا  I ـ ةٌددعلا ةلادلا نكتل g لاجملا ىلع ةفّرعملا



0;



ًلٌ امك :

 

2 2 2 ln g x   x   x 1 . حنادنا خاسٍّغت حسازد g اٍتاسٍغت لَدخ مكش ّمث ، .

 

0 lim x g x     ّنلأ 2 0 lim 2 2 2 x x      و 0 lim ln x x    

 

2 ln lim lim 2 x x x g x x x x x      _   _    ةلادلا g ىلع قاقتشلإا لبقت



0;



انٌدلو :

 

1 ' 4 g x x x    ًقٌقح ددع لك لجأ نم x لاجملا نم



0;



، 4x 0   و 1 0 x   ذئدنع

 

' 0 g x  ةلادلا ًلاتلابو g لاجملا ىلع امامت ةصقانتم



0;



. ةلادلا تارٌغت لودج g . x 0 1 

 

' g x  

 

g x  0  2 . باسح

 

1 g ةراشإ جتنتسا ّمث

 

g x ىلع



0;



.

   

2 1 2 1 2 ln1 0 g    

لجأ نم

 

0;1 x  ،

 

0 g x  لجأ نم



1;



x   ،

 

0 g x  II ـ f لاجملا ىلع ةفّرعم ةٌددع ةلاد



0;



ًلٌ امك :

 

1 ln 2 2 x f x x e x      و

 

Cf سناجتملاو دماعتملا ملعملا ىلإ بوسنملا يوتسملا ًف ًناٌبلا اهلٌثمت



O i j; , 



. 1 . باسحـ أ

 

lim x f x و

 

0 lim x f x  .

 

1 ln lim lim 2 2 x x x f x x e x x          انٌدل 0 1 ln lim x x x       ذئدنع

 

0 0 1 ln lim lim 2 2 x x x f x x e x            ىنحنملا ّنأ نٌٌبت ـ ب

 

Cf مٌقتسملا لبقٌ

 

 ةلداعملا اذ 2 2 y  x e دنع هل لائام ابراقم  . انٌدل

  



1 ln lim 2 2 lim 0 x x x f x x e x x          هنمو ىنحنملا

 

Cf مٌقتسملا لبقٌ

 

 ةلداعملا اذ 2 2 y  x e دنع هل لائام ابراقم  . ىنحنملا ةٌعضو دٌدحت ـ ـج

 

Cf مٌقتسملا ىلإ ةبسنلاب

 

 . قرفلا ةراشإ سردن

 

f x y .

 

1 ln x f x y x     انٌدل 0 x  ةراشإ هنمو

 

f x y ةراشإ سفن ًه 1 ln x   .

 

0 f x  y ئفاكٌ 1 lnx 0    ئفاكٌو lnx 1 يأ x e .

 

0 f x  y ئفاكٌ 1 lnx 0    ئفاكٌو lnx 1 يأ x e .  0 x + 0 

 

f x y

 

Cf قوف تحت

 



 

Cf عطقٌ

 

 ةطقنلا ًف

 

;0 B e ةٌبسنلا ةٌعضولا 2 . ًقٌقح ددع لك لجأ نم هّنأ نٌٌبت ـ أ x لاجملا نم



0;



:

 

 

₂ ' g x f x x 

 



2



2 2

 

2 1 . 1 ln 2 ln 2 ' 2 x x _{g x} x x x f x x x x    _{ }     ةلادلا رٌّغت هاجتا جاتنتسا ـ ب f . ةراشإ

 

' f x ةراشإ سفن ًه

 

g x . لجأ نم



;1



x   ،

 

' 0 f x  لجأ نمو ؛



1;



x   ،

 

' 0 f x  . ةلادلا نذإ f ىلع امامت ةدٌازتم



;1



ىلع امامت ةصقانتمو



1;



. e

 



 

Cf

ةلادلا تارٌّغت لودج f . 3 . حنداعمنا ّنأ خاثثإ ـ أ

 

0 f x  ادٍحَ لاح مثقت 0 x لادمنا ًف



0, 4;0,5



. حنادنا f لاجًنا ٗهع اياًذ جدٚاصرئ جسًرعي

 

0;1 لاجًنا ٗهع حصاخٔ



0, 4;0,5



اُٚدنٔ

 

0, 4 0,15 f   ٔ

 

0,5 1, 04 f  دٛحٔ ٙمٛمح ددع دجٕٚ ٌذإ 0 x لاجًنا ٍي



0, 4;0,5



ثٛحت

 

1 0 f x  ىٛمنا حُْسثي ةعح ارْٔ حطظٕرًنا . مسز ـ ب

 

 َ

 

Cf . لا نٌرمت ًواثنا  I ـ ةٌددعلا ةلادلا نكتل g لاجملا ىلع ةفّرعملا



0;



ًلٌ امك :

 

2

 

2 2ln g x x   x .1 ةلادلا تارٌّغت سردا g بسحاو

 

1 g . .2 لك لجأ نم هّنا جتنتسا x نم



0;



،

 

0 g x  . II ـ f لاجملا ىلع ةفّرعم ةٌددع ةلاد



0;



ًلٌ امك :

 

2 ln x f x x x   و

 

Cf سناجتملاو دماعتملا ملعملا ىلإ بوسنملا يوتسملا ًف ًناٌبلا اهلٌثمت



O i j; , 



. .1 ـ أ ةعحا

 

lim x f x و

 

0 lim x f x   . ـ ب ىنحنملا ّنأ نٌّب

 

Cf مٌقتسملا لبقٌ

 

D ةلداعملا اذ yx دنع هل لائام ابراقم  . ـ ـج ىنحنملا ةٌعضو دّدح

 

Cf مٌقتسملا ىلإ ةبسنلاب

 

D . .2 ـ أ ًقٌقح ددع لك لجأ نم هّنأ نٌّب x لاجملا نم



0;



:

 

 

2 ' g x f x x  ـ ب ةلادلا رٌّغت هاجتا جتنتسا f اهتارٌّغت لودج لكش ّمث ، . .3 ـ أ دٌحو سامم دجوٌ هّنأ نٌّب

 

 ىنحنملل

 

Cf مٌقتسملل زاوم ،

 

D . x 0 1 

 

' f x + 0 

 

f x 2e3   2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 -6 0 1 1 x y

ـ ب ةلداعم بتكا

 

 . ـ ـج ىنحنملا ّنأ نٌّب

 

Cf اهتلصاف ةطقن ًف لصاوفلا روحم لماح عطقٌ  ثٌح 1 1 2  ـ د نٌمٌقتسملا ئشنأ

 

 و

 

D ىنحنملاو

 

Cf . ـ ـه ًقٌقحلا ددعلا مٌّق بسح ،اٌناٌب شقان m ةلداعملا لولح ددع ، :

 

2ln 0 mx x  . لحلا  I ـ ةٌددعلا ةلادلا نكتل g لاجملا ىلع ةفّرعملا



0;



ًلٌ امك :

 

2

 

2 2ln g x x   x .1 ةلادلا تارٌّغت سردا g بسحاو

 

1 g . انٌدل 0 lim 2 ln x x     و 2 0 lim 2 2 x x     ذئدنع

 

2 0 0 lim lim 2 2ln x x g x x x         

 

2 ln lim lim 2 x x x g x x x x x      _   _   

 

2 2



2 1



' 2 x g x x x x     انٌدل 0 x  ةراشإ هنمو

 

' g x ةراشإ سفن نم ًه 2 1 x   1 0 x + 0  2 1 x 

 

1 1 2 2ln1 3 g     ةلادلا تارٌغت لودج g . .2 لك لجأ نم هّنا جاتنتسا x نم



0;



،

 

0 g x  . ّنأ امب 3 ةلادلل ىرغص ةٌدح ةمٌق ًه g لاجملا ىلع



0;



ًقٌقح ددع لك لجأ نم هّنإف x لاجملا نم



0;



،

 

3 g x  ًلاتلابو

 

0 g x  . II ـ f لاجملا ىلع ةفّرعم ةٌددع ةلاد



0;



ًلٌ امك :

 

2 ln x f x x x   و

 

Cf سناجتملاو دماعتملا ملعملا ىلإ بوسنملا يوتسملا ًف ًناٌبلا اهلٌثمت



O i j; , 



. .1 باسح ـ أ

 

lim xf x و

 

0 lim x f x   . انٌدل 2 ln lim 0 x x x   نوكٌف

 

2 ln lim lim x x x f x x x       انٌدلو 0 2 ln lim x x x     نوكٌف

 

0 0 2 ln lim lim x x x f x x x         x 0 1 

 

' g x  0 +

 

g x   3

ىنحنملا ّنأ نٌٌبت ـ ب

 

Cf مٌقتسملا لبقٌ

 

 ةلداعملا اذ yx دنع هل لائام ابراقم  .

 

2 ln lim lim 0 x x x f x x x      ىنحنملا نذإ

 

Cf لئام براقم مٌقتسم هل

 

 هتلداعم y x راوج ًف  . ىنحنملا ةٌعضو دٌدحت ـ ـج

 

Cf مٌقتسملا ىلإ ةبسنلاب

 

 . انٌدل

 

2 ln x f x x x   ةراشإ ؛

 

f x x ةراشإ سفن نم ًه ln x .

 

0 f x  x ئفاكٌ lnx 0 يأ 1 x 

 

0 f x  x ئفاكٌ lnx 0 ئفاكٌو 1 x 

 

0 f x  x ئفاكٌ lnx 0 ئفاكٌو 0 x 1  1 0 x + 0 

 

f x x

 

Cf قوف

 



 

Cf تحت

 



 

Cf عطقٌ

 

 ةطقنلا ًف

 

1;1 A ةٌبسنلا ةٌعضولا .2 ًقٌقح ددع لك لجأ نم هّنأ نٌٌبت ـ أ x لاجملا نم



0;



:

 

 

2 ' g x f x x 

 

2 2 2 2

 

2 1 . ln 2 2 ln 2 2 ln ' 1 2 1 x x _{g x} x x x x f x x x x x  _         _{ }        ةلادلا رٌّغت هاجتا جاتنتسا ـ ب f . ًقٌقح ددع لك لجأ نم x لاجملا نم



0;



:

 

0 g x  و 2 0 x  نذإ

 

' 0 f x  ةلادلا ًلاتلابو f ةدٌازتم ىلع امامت



0;



. ةلادلا تارٌّغت لودج f . x 0 

 

' f x +

 

f x   .3 دٌحو سامم دجوٌ هّنأ نٌٌبت ـ أ

 

T ىنحنملل

 

Cf مٌقتسملل زاوم ،

 

 .

 

T يزاوٌ

 

 ًنعٌ

 

0 ' 1 f x  .

 

0 ' 1 f x  ئفاكٌ

 

0 2 0 1 g x x  ئفاكٌو 2 2 0 2 2ln 0 0 x   x x ئفاكٌو 0 lnx 1 يأ 0 x e ىنحنملا نذإ

 

Cf ادٌحو اسامم لبقٌ

 

T ـل اٌزاوم

 

 اهٌتٌثادحإ ًتلا ةطقنلا ًف 2 ; e e e  _      .

ةلداعم ةباتك ـ ب

 

 .

 



 

' y f e x  e f e هنمو





2 y x e e e     يأ 2 y x e   . ىنحنملا ّنأ نٌٌبت ـ ـج

 

Cf اهتلصاف ةطقن ًف لصاوفلا روحم لماح عطقٌ  ثٌح 1 1 2  ةلادلا انٌدل f لاجملا ىلع ةرمتسم



0;



لاجملا ىلع صوصخلابو



0,5;1



و

 

0,5 2, 27 f   ،

 

1 1 f  يأ

   

0,5 1 0 f f  ًقٌقح ددع دجوٌ ةطسوتملا مٌقلا ةنهربم بسح هنمو  لاجملا نم



0,5;1



ثٌحب

 

0 f   ةلادلا ّنأ امبو f ىلع امامت ةدٌازتم



0;



نإف  يأ دٌحو

 

Cf ًف لصاوفلا روحم لماح عطقٌ اهتلصاف ةطقن  ثٌح 0,5  1 نٌمٌقتسملا مسر ـ د

 

 و

 

T ىنحنملاو

 

Cf . ًقٌقحلا ددعلا مٌّق بسح ،اٌناٌب ةشقانملا ـ ـه m ، ةلداعملا لولح ددع :

 

2ln 0 mx x  .

 

2ln 0 mx x  ئفاكت

 

2 ln mx  x ئفاكتو

 

2 ln x m x  ئفاكتو

 

2 ln x x m x x    يأ

 

f x  x m نٌب ةكرتشملا طقنلا لصاوف ًه ةلداعملا لولح هنمو

 

Cf ةلداعملا يذ مٌقتسملاو y  x m ةٌناٌب ةءارقب : ناك اذإ 0 m  ادحاو لاح لبقت ةلداعملا ّنإف . ناك اذإ 2 0 m e   نٌلح لبقت ةلداعملا ّنإف . ناك اذإ 2 m e  افعاضم لاح لبقت ةلداعملا نإف . ناك اذإ 2 m e  لاولح لبقت لا ةلداعملا نإف . راذح : مٌق m ةلادلا فٌرعت ةعومجمب اهل ةقلاعلا f . ثلاثلا نٌرمتلا  I -h ىلع ةفّرعم ةلاد



 1;



ـب :

 

2





2 ln 1 h x x  x x . .1 بسحا

 

1 lim x h x   و

 

lim xh x . .2 لجأ نم ،هّنأ نٌّب x نم



 1;



:

 

1 2( 1)2 ' 1 x h x x     تارٌّغت لودج لّكش ّمث ، h . .3 بسحا

 

0 h ةراشإ جتنتساو

 

h x مٌّق بسح x .

II -f ىلع ةفّرعم ةلاد



 1;



ًلٌ امك :

 

1 ln



1



1 x f x x x      . ًمسن

 

Cf ًف ًناٌبلا اهلٌثمت ىلإ بوسنملا يوتسملا طَاجرئ دياعري ىهعي



O i j; , 



. .1 ـ أ ةعحا

 

1 lim x f x   اٌناٌب ةجٌتنلا رّسفو . ـ ب ةجٌتنلا مادختساب lim t t e t    ّنأ نهرب ، : ln lim 0 u u u   . ـ ـج جتنتسا

 

lim x f x . ـ د بسحا

  



lim 1 xf x  x  ىنحنملل لئام براقم مٌقتسم دوجو جتنتساو

 

Cf . ـ ـه ىنحنملا ةٌعضو سردا

 

Cf لئاملا براقملا مٌقتسملا ىلإ ةبسنلاب . .2 لك لجأ نم ،هّنأ نٌّب x نم



 1;



،

 

 

2 ' ( 1) h x f x x   تارٌّغت لودج لّكش ّمث ، f . .3 ىنحنملا ّنأ نٌّب

 

Cf ةلداعملا وذ مٌقتسملا عطقٌ 2 y نٌب ةروصحم اهتلصاف ةطقن دنع 3, 3 و 3, 4 . .4 مسرا

 

Cf . لحلا  I -h ىلع ةفّرعم ةلاد



 1;



ـب :

 

2





2 ln 1 h x x  x x . .1 باسح

 

1 lim x h x   و

 

lim xh x .

 

1 lim x h x     ّنلأ





1 lim ln 1 x x      و 2 1 lim 2 1 x x x     

 

lim xh x   ّنلأ





lim ln 1 x x    و 2 lim 2 xx  x   .2 نٌٌبت لك لجأ نم ،هّنأ x نم



 1;



:

 

1 2( 1)2 ' 1 x h x x     .

  



1 2



1



1



1 2



1



2 1 ' 2 1 1 1 1 x x x h x x x x x              لك لجأ نم x نم



 1;



،

 

' 0 h x  ةلادلا هٌلعو h ىلع امامت ةدٌازتم



 1;



. تارٌّغت لودج h . x 0 

 

' h x + +

 

h x  0  .3 باسح

 

0 h

 

2

 





0 0 2 0 ln 0 1 0 h      1 

ةراشإ جاتنتسا

 

h x مٌّق بسح x .  0 1  x + 0 

 

h x II -f ىلع ةفّرعم ةلاد



 1;



ًلٌ امك :

 

ln



1



1 1 x f x x x      . ًمسن

 

Cf ًف ًناٌبلا اهلٌثمت ىلإ بوسنملا يوتسملا طَاجرئ دياعري ىهعي



O i j; , 



. .1 باسح ـ أ

 

1 lim x f x   اٌناٌب ةجٌتنلا رّسفو .





1 ln 1 lim 1 x x x       ّنلأ





1 lim ln 1 x x      و 1 lim 1 0 x x      هنمو

 





1 1 ln 1 lim lim 1 1 x x x f x x x            . ةجٌتنلا مادختساب ـ ب lim t t e t    ّنأ نهرب ، : ln lim 0 u u u   . عضن t u e ذئدنع ln t  u ناك اذإ t ىلإ لوئٌ  ّنإف u ىلإ لوئٌ  . هنمو lim lim ln t t u e u t u      هٌلعو ln 1 lim lim 0 ln u u u u u u     جاتنتسا ـ ـج

 

lim x f x . انٌدل





ln 1 ln lim lim 0 1 x u x u x u       هنمو

 

ln



1



lim lim 1 1 x x x f x x x          بسحا ـ د

  



lim 1 xf x  x  ىنحنملل لئام براقم مٌقتسم دوجو جاتنتساو

 

Cf .

  



ln



1



lim 1 lim 0 1 x x x f x x x            _ ىنحنملل لئام براقم مٌقتسم دجوٌ نذإ ؛

 

Cf هتلداعم 1 y  x ىنحنملا ةٌعضو ةسارد ـ ـه

 

Cf لئاملا براقملا مٌقتسملا ىلإ ةبسنلاب . قرفلا ةراشإ سردن

 

f x y . انٌدل

 

ln



1



1 x f x y x      ًقٌقح ددع لك لجأ نم ؛ x لاجملا نم



 1;



، 1 0 x   ةراشإ هنمو

 

f x y ةراشإ سفن ًه





ln x 1   .

 

0 f x  y ئفاكٌ





ln x 1 0    ئفاكٌو





ln x  1 0 ئفاكٌو 1 1 x   يأ 0 x 

 

0 f x  y ئفاكٌ





ln x 1 0    ئفاكٌو





ln x  1 0 ئفاكٌو 0  x 1 1 يأ 1 x 0   

 

0 f x  y ئفاكٌ





ln x 1 0    ئفاكٌو





ln x  1 0 ئفاكٌو 1 1 x   يأ 0 x  .

 0 1  x  0 +

 

f x y

 

Cf تحت

 



 

Cf قوف

 



 

Cf عطقٌ

 

 ةطقنلا ًف



0; 1



A  ةٌبسنلا ةٌعضولا .2 لك لجأ نم ،هّنأ نٌٌبت x نم



 1;



،

 

 

2 ' ( 1) h x f x x   .

 



































 



2 2 2 2 2 1 1 ln 1 _{1 ln 1 1 1 ln 1} 1 ' 1 1 1 1 1 1 x x _{x x x h x} x f x x x x x  _{  }   _         _{ }            ةراشإ

 

' f x ةراشإ سفن نم ًه

 

h x . تارٌّغت لودج f . .3 ىنحنملا ّنأ نٌٌبت

 

Cf ةلداعملا وذ مٌقتسملا عطقٌ 2 y نٌب ةروصحم اهتلصاف ةطقن دنع 3, 3 و 3, 4 . ةلادلا f لاجملا ىلع ةرمتسم



0;



لاجملا ىلع ةرمتسم ًه ًلاتلاب



3,3;3, 4



انٌدلو

 

3,3 1,96 f  و

 

3, 4 2, 06 f  يأ

 

3,3 2

 

3, 4 f  f ًقٌقح ددع دجوٌ ةطسوتملا مٌقلا ةنهربم بسح هنمو  لاجملا نم



3,3;3, 4



ثٌحب

 

2 f   يأ

 

Cf ةلداعملا وذ مٌقتسملا عطقٌ 2 y اهتلصاف ةطقن دنع  نٌب ةروصحم 3, 3 و 3, 4 . .4 مسر

 

Cf . x 1 ₀ 

 

' f x  0 +

 

f x   1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 -6 0 1 1 x y

عبارلا نٌرمتلا  I -g لاجملا ىلع ةفّرعملا ةلادلا ًه



0;



ًلٌ امك :

 

2 2 1 2 ln g x  x  x x 1 . ةلادلا تارٌّغت سردا g اهتارٌغت لدج لكش ّمث ، . 2 . أ ) ةلداعملا ّنأ نٌّب

 

0 g x  لاجملا ىلع لبقت



0;



ادٌحو لاح  ثٌح 1,5  2 . ب ) ةراشإ جتنتسا

 

g x لاجملا ىلع



0;



. II -f لاجملا ىلع ةفّرعملا ةلاّدلا



0;



ًلٌ امك :

 

2 ln 1 x f x x  

 

Cf ًف ًناٌبلا اهلٌثمت ىلإ بوسنملا يوتسملا طَاجرئ دياعري ىهعي



O i j; , 



. 1 ) أ ) بسحا

 

0 lim x f x   و

 

lim x f x اٌسدنه جئاتنلا رّسف ؛ . ب ) نع رّبع

 

' f x ةللادب

 

g x ةلادلا تارٌغت جتنتساو f اهتارٌغت لودج لكش ّمث . 2 . ّنأ نٌّب

 

2 1 2 f    ددعلل ارصح جتنتساو

 

f  . 3 . سامملا ةلداعم بتكا

 

 ىنحنملل

 

Cf ةلصافلا تاذ ةطقنلا دنع 1 . 4 . مسرا

 

 و

 

Cf . 5 . ًقٌقحلا طٌسولا مٌق بسح ،اٌناٌب شقان m ةلداعملا لولح ددع ، :

 

1 2 f x  xm . III -h لاجملا ىلع ةفّرعملا ةلادلا ًه



0;



ًلٌ امك :

 

2 ln 1 x h x x   مسر نكمٌ فٌك حرشا

 

Ch ةلادلا ىنحنم h ىلع ادامتعا

 

Cf مسرا ّمث ،

 

Ch . لحلا  I -g لاجملا ىلع ةفّرعملا ةلادلا ًه



0;



ًلٌ امك :

 

2 2 1 2 ln g x  x  x x 1 . ةلادلا تارٌّغت ةسارد g اهتارٌغت لدج لكش ّمث ، .

 

0 lim 1 x g x    ّنلأ 2 0 lim 2 ln 0 x x x    و 2 0 lim 1 1 x x     .

 

2 2 1 lim lim 1 2 ln xg x xx _x x    _   _   

 

1 2 ' 2 2 2 ln . 2 4 ln 2 4 ln g x x x x x x x x x x x x     _  _       ًقٌقح ددع لك لجأ نم x لاجملا نم



0;



، 4x 0   ةراشإ هنمو

 

' g x ةراشإ سكع ًه ln x . لجأ نم

 

0;1 x  ، lnx 0 هنمو

 

' 0 g x  لجأ نمو



1;



x   ، lnx 0 هنمو

 

' 0 g x  ةلادلا ًلاتلاب لاجملا ىلع امامت ةدٌازتم لاجملا ىلع امامت ةصقانتم و

 

0;1 g



1;



ةلاّدلا تارٌغت لودج g . 2 . أ ) ةلداعملا ّنأ نٌٌبت

 

0 g x  لاجملا ىلع لبقت



0;



ادٌحو لاح  ثٌح 1,5  2 . ةلادلا انٌدل g لاجملا ىلع امامت ةدٌازتمو ةرمتسم

 

0;1 لاجملا ًف اهمٌق ذخأتو

 

1; 2 و

 

0 1; 2 لاجملا ىلع نذإ

 

0;1 ،

 

0 g x  . ةلادلا انٌدلو g لاجملا ىلع امامت ةصقانتمو ةرمتسم



1;



لاجملا ًف اهمٌق ذخأتو



; 2



و





0 ; 2 نذإ ةلداعملا

 

0 g x  ادٌحو لاح لبقت  لاجملا ًف



1;



ّنأ امبو ؛

 

1,5 1, 42 g  و

 

2 0,55 g   يأ

   

1,5 2 0 g g  ّنإف 1,5  2 . ب ) ةراشإ جاتنتسا

 

g x لاجملا ىلع



0;



.   0 x  0 +

 

g x II -f لاجملا ىلع ةفّرعملا ةلاّدلا



0;



ًلٌ امك :

 

2 ln 1 x f x x  

 

Cf ًف ًناٌبلا اهلٌثمت ىلإ بوسنملا يوتسملا طَاجرئ دياعري ىهعي



O i j; , 



. 1 )أ ) باسح

 

0 lim x f x   و

 

lim x f x .

 

0 lim x f x     ّنلأ 0 lim ln x x     و 2 0 lim 1 1 x x     .

 

2 ln lim lim 0 1 x x x x f x x x       ّنلأ ln lim 0 x x x   و 2 lim 0 1 x x x    . اٌسدنه جئاتنلا رٌسفت . انٌدل

 

0 lim x f x     نذإ

 

Cf هتلداعم براقم مٌقتسم لبقٌ 0 x  ( بٌتارتلا روحم )

 

lim 0 xf x  نذإ

 

Cf هتلداعم براقم مٌقتسم لبقٌ 0 y  ( لصاوفلا روحم ) راوجب  . ب ) نع رٌبعتلا

 

' f x ةللادب

 

g x

 



























 



2 2 2 _{2 2} 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 ln 1 1 2 ln _{1 2 ln} ' 1 1 1 1 x x x x x x _{x x x g x} x x f x x x x x x x     _{ }         ةلادلا تارٌغت جاتنتساو f ًقٌقح ددع لك لجأ نم انٌدل x لاجملا نم



0;



،



₂



2 1 0 x x   ةراشإ هنمو

 

' f x ةراشإ سفن ًه

 

g x . ةلاّدلا نذإ f لاجملا ىلع امامت ةدٌازتم

 

0; لاجملا ىلع امامت ةصقانتمو



;



. x 0 1

 

' g x + 0 

 

g x 2 1  

ةلادلا تارٌغت لودج f . x 0  

 

' f x + 0



 

f x f

 

  0 2 . ّنأ نٌٌبت

 

2 1 2 f    انٌدل

 

0 g   ئفاكٌ 2 2 1 2 ln 0 يأ 2 2 1 ln 2      نذإ

 

_

_

2 2 2 2 2 2 2 2 1 ln ₂ 1 1 1 1 2 1 2 f   _                 ددعلل ارصح جاتنتسا

 

f  . انٌدل 1,5  2 هانعم 2 2, 25 4 ئفاكٌو 2 4,52 8 ئفاكٌو 2 1 1 1 8 2 4,5 يأ

 

0,12f  0, 23 3 . سامملا ةلداعم ةباتك

 

 ىنحنملل

 

Cf ةلصافلا تاذ ةطقنلا دنع 1 .

 



 

' 1 1 1 y f x  f هنمو





1 1 2 y  x  يأ 1 1 2 2 y  x  . 4 . مسر

 

 و

 

Cf . 5 . ًقٌقحلا طٌسولا مٌق بسح ،اٌناٌب ةشقانملا m ةلداعملا لولح ددع ، :

 

1 2 f x  xm . ناك اذإ 1 2 m   نٌلح لبقت ةلداعملا نإف . ناك اذإ 1 2 m   ادحاو لاح لبقت ةلداعملا نإف افعاضم . ناك اذإ 1 2 m   لولح اهل سٌل ةلداعملا ّنإف . III -h لاجملا ىلع ةفّرعملا ةلادلا ًه



0;



ًلٌ امك :

 

2 ln 1 x h x x   (Cf) 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 -6 0 1 1 x y

مسر نكمٌ فٌك حرش

 

Ch ةلادلا ىنحنم h ىلع ادامتعا

 

Cf ، انٌدل

 

 

2 2 ln ; ln 0 1 ln ; ln 0 1 x h x x x x h x x x  _{ }    _  _{ }   هنمو

 

 





 

 

 

; 1; ; 0;1 h x f x x h x f x x           . لاجملا ًف نذإ



1;



نوكٌ

 

Ch ىلع قبطنم

 

Cf لاجملا ًفو

 

0;1 ،

 

Ch رظانٌ

 

Cf لصاوفلا روحمل ةبسنلاب . سماخلا نٌرمتلا  f لاجملا ىلع ةفّرعملا ةلاّدلا



0;



ـب :

 

ln x f x x  ًمسن ،

 

C ةلادلل لثمملا ىنحنملا f يوتسملا ًف ىلإ بوسنملا طَاجرئ دياعري ىهعي



O i j; , 



. لٕطناجدحٔ 2cm 1 . بسحا ـ أ

 

lim xf x و

 

0 lim x f x   اٌناٌب نٌتجٌتنلا رّسف و . لاجملا نم ًقٌقح ددع لك لجأ نم هنأ نٌّب ـ ب



0;



:

 

2 1 ln ' x f x x   . ةلادلا رٌّغت هاجتا سردا ـ ـج f اهتارٌّغت لودج لكش و . 2 . ىنحنملا ّنأ نٌّب ـ أ

 

C فاطعنا ةطقن لبقٌ E اهٌٌثادحإ نٌٌعت بلطٌ . سامملا ةلداعم بتكا ـ ب

 

D ىنحنملل

 

C أدبملا لمشٌ يذلا O . 3 . مسرا

 

 ،

 

D و

 

C . 4 . امامت بجوملا ًقٌقحلا طٌسولا مٌق بسح اٌناٌب شقان m ةلداعملا لولح ددع ، x m x . لحلا  f لاجملا ىلع ةفّرعملا ةلاّدلا



0;



ـب :

 

ln x f x x  ًمسن ،

 

C ةلادلل لثمملا ىنحنملا f يوتسملا ًف ىلإ بوسنملا طَاجرئ دياعري ىهعي



O i j; , 



. لٕطناجدحٔ 2cm 1 . بسحا ـ أ

 

lim xf x و

 

0 lim x f x  

 

ln lim lim 0 x x x f x x    

 

0 0 ln lim lim x x x f x x        ّنلأ 0 lim ln x x     و 0 lim 0 x x     . اٌناٌب نٌتجٌتنلا رٌسفت . ّنأ امب

 

lim 0 xf x  ّنإف

 

C هتلداعم براقم مٌقتسم لبقٌ 0 y  ( لصاوفلا روحم ) و

 

0 lim x f x     هنمو

 

C هتلداعم براقم مٌقتسم لبقٌ 0 x  ( بٌتارتلا روحم )

ًقٌقح ددع لك لجأ نم هنأ نٌٌبت ـ ب x لاجملا نم



0;



:

 

2 1 ln ' x f x x   .

 

2 2 1 . ln 1 ln ' x x x x f x x x  _   ةلادلا رٌّغت هاجتا ةسارد ـ ـج f ةراشإ

 

' f x ةراشإ سفن نم ًه 1 ln x .

 

' 0 f x  هانعم 1 ln x 0 ئفاكٌو lnx 1 يأ x e .

 

' 0 f x  هانعم 1 ln x 0 ئفاكٌو lnx 1 يأ 0 x e

 

' 0 f x  هانعم 1 ln x 0 ئفاكٌو lnx 1 يأ x e . ةلاّدلا نذإ f ىلع امامت ةدٌازتم

 

0;e ىلع امامت ةصقانتمو



e;



. ةلادلا تارٌّغت لودج f . x 0 e 

 

' f x + 0



 

f x 1 e  0 2 . ىنحنملا ّنأ نٌٌبت ـ أ

 

C فاطعنا ةطقن لبقٌ E اهٌٌثادحإ نٌٌعت بلطٌ .

 









2 4 4 3 3 1 . 2 1 ln _{2 1 ln} 1 2 2 ln 3 2 ln " x x x _{x x x} x x x f x x x x x  _{ }             ًقٌقح ددع لك لجأ نم x لاجملا نم



0;



، 3 0 x  ةراشإ هنمو

 

" f x ةراشإ سفن ًه 3 2ln x   .

 

" 0 f x  هانعم 3 2lnx 0    ئفاكتو 3 ln 2 x  يأ 3 x  e

 

" 0 f x  هانعم 3 2lnx 0    ئفاكت و 3 ln 2 x  يأ 3 x  e e3 0 x + 0 

 

" f x

 

" f x ددعلا دنع مدعنت 3 e راوجب اهتراشإ نم رٌغتو 3 e ةطقنلا هنمو

 



3 3



; E e f e فاطعنا ةطقن ًه ًنحنملل

 

C . سامملا ةلداعم ةباتك ـ ـج

 

D ىنحنملل

 

C أدبملا لمشٌ يذلا O . لكشلا نم سامملا ةلداعم

 

0 0



 

0 ' y f x x x f x

 

O D هانعم

 

0 0



 

0 0f ' x 0x f x ئفاكتو 0 0 0 2 0 0 1 ln ln 0 x x x x x     _{ }    ئفاكتو 0 0 1 2 ln 0 x x   _ 

ئفاكتو 0 1 ln 2 x  يأ 0 x  e ًه سامملا ةلداعم نذإ

 

' y f e x يأ 1 2 y x e  3 . مسر

 

D و

 

C . 4 . بجوملا ًقٌقحلا طٌسولا مٌق بسح اٌناٌب ةشقانملا امامت m ةلداعملا لولح ددع ، x m x . x m x ئفاكت lnmx lnx ئفاكتو ln ln x m x ئفاكتو ln lnm x x  يأ

 

ln f x  m ناك اذإ 0m1 ّنإف lnm 0 لبقت ةلداعملا ًلاتلابو ادٌحو لاح . ناك اذإ 1 1_m _ee ّنإف 1 0 ln m e   ةلداعملا ًلاتلابو نٌزٌامتم نٌلح لبقت ناك اذإ 1 e m e ّنإف 1 ln m e  لبقت ةلداعملا ًلاتلابو افعاضم لاح . ناك اذإ 1 e m e ّنإف 1 ln m e  لولح اهل سٌل ةلداعملا ًلاتلابو . سداسلا نٌرمتلا  I ) حٚددعنا حناّدنا g ٗهع حفّسعي



0;



ـت :

 

2 1 ln g x  x  x . 1 . حناّدنا سّٛغذ ِاجذا ضزدا g . 2 . ةعحا

 

1 g ىٛمن اعثذ جرُرظا ّىث x جزاشإ

 

g x . II ) حـــٚددعنا حناّدنا f ٗهع حفّسعي



0;



ـت :

 

ln 1 x f x x x    1 . ةعحا ـ أ

 

lim xf x ةعحا ـ ب

 

0 lim x f x   اٛظدُْ حجٛرُنا سّعف ّىث ، . 2 . مك مجأ ٍي َّّأ ٍّٛت ـ أ x ٍي



0;



ٌّإف

 

 

2 ' g x f x x   حناّدنا سّٛغذ ِاجذا جرُرظا ّىث f . حناّدنا خاسّٛغذ لٔدج مكش ـ ب f . 3 . ىٛمرعًنا ٌّأ ٍّٛت ـ أ

 

D ّرنداعي ٘رنا 1 y  x ُٗحًُهن مئاي بزامي

 

C f . حٛعضٔ ضزدا ـ ب

 

Cf ٗنإ حثعُنات

 

D . 4 . ىٛمرعًنا ٌّأ ٍّٛت

 

 حنداعًنا اذ 1 1 y x e    حطمَ ٙف ُٗحًُنا ّطًٚ A آٛرٛثادحإ ٍٛٛعذ ةهطٚ . 5 . ىظزا

 

 ،

 

D ٔ

 

Cf . (C) 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 -6 0 1 1 x y

محنا  I ) حٚددعنا حناّدنا g ٗهع حفّسعي



0;



ـت :

 

2 1 ln g x  x  x . 1 . حناّدنا سٍّغت يادتا حسازد g . حناّدنا ٗهع قامرشلإا مثمذ



0;



اُٚدنٔ :

 

1 ' 2 g x x x    مك مجأ ٍي x لاجًنا ٍي



0;



،

 

' 0 g x  حناّدنا ٙنارناتٔ g ٗهع اياًذ حصلاُري



0;



. 2 . باسح

 

1 g مٍقن اعثت جاتىتساَ x جزاشإ

 

g x .

 

2 1 1 1 ln1 0 g      1 0 x  0 +

 

g x II ) حـــٚددعنا حناّدنا f ٗهع حفّسعي



0;



ـت :

 

ln 1 x f x x x    1 . باسح ـ أ

 

lim xf x

 

ln lim lim 1 x x x f x x x        ّنلأ ln lim 0 x x x   و lim 1 xx    . باسح ـ ب

 

0 lim x f x   . اُٚدن 0 ln lim x x x     ُّئ

 

0 lim x f x     . اٍسدىٌ حدٍتىنا سٍسفت .

 

Cf ّرنداعي بزامي ىٛمرعي مثمٚ 0 x  ( ةٛذاسرنا زٕحي ) . 2 . مك مخأ هم ًّوأ هٍٍثت ـ أ x هم



0;



ّنإف

 

 

2 ' g x f x x  

 

 

2 2 2

 

2 1 ln 1 ln ' 1 x x _{g x} x x x f x x x x  _        _{ }      جزاشإ

 

' f x جزاشإ طكع ْٙ

 

g x مجأ ٍي

 

0;1 x  ،

 

0 g x  ُّئ

 

' 0 f x  . مجأ ٍئ



1;



x   ،

 

0 g x  ُّئ

 

' 0 f x  حناّدنا ٌذإ f ٗهع اياًذ حصلاُري

 

0;1 ٗهع اياًذ جدٚاصرئ



1;



. حناّدنا خاسٍّغت لَدخ ـ ب f . g x _{1 0} 

 

' f x  0 ₊

 

f x   0

3 . مٍقتسمنا ّنأ هٍٍثت ـ أ

 

D ًتنداعم يرنا 1 y  x ىىحىمهن مئام بزاقم

 

Cf .

  



ln lim 1 lim 0 x x x f x x x       ىٛمرعًنا ُّئ

 

D ّرنداعي ٘رنا 1 y  x ُٗحًُهن مئاي بزامي

 

C f . حٍعضَ حسازد ـ ب

 

C f ىنإ حثسىنات

 

D . اُٚدن

  



ln 1 x f x x x     جزاشإ ُّئ

  

1



f x  x  جزاشإ طكع ْٙ ln x .  1 0 x  0 +

 

f x y

 

Cf تحت قوف

 

D

 

Cf عطقٌ

 

 ةطقنلا ًف

 

1; 0 A ةٌبسنلا ةٌعضولا 4 . مٍقتسمنا ّنأ هٍٍثت

 

 حنداعمنا اذ 1 1 y x e    ىىحىمنا ّسمٌ

 

C f حطقو ًف A اٍٍتٍثادحإ هٍٍعت ةهطٌ .

 

0 ' 1 f x  ُٙعذ

 

2 1 g x x   ئفاكٚٔ 2 2 1 ln x   x x ئفاكٚٔ lnx 1 ٘أ x e اُٚدنٔ

 

1 1 f e e e    ٔ 1 1 y e e    ىٛمرعًنا ٌذإ

 

 ُٗحًُنا ّطًٚ

 

C f حطمُنا ٙف 1 ; 1 A e e e  _{ }      5 . مسز

 

 ،

 

D َ

 

Cf . عباسلا نٌرمتلا  ةٌددعلا ةلادلا ربتعن f لاجملا ىلع ةفّرعملا



0;



ًلٌ امك :

 

2 ln 1 x f x x   و

 

Cf ًف ًناٌبلا اهلٌثمت ىلإ بوسنملا يوتسملا طَاجرئ دياعري ىهعي



O i j; , 



. 1 ) أ ) بسحا

 

0 lim x f x   و

 

lim x f x اٌسدنه جئاتنلا رّسف ؛ . ب ) ةلادلا رٌّغت هاجتا سردا f لاجملا ىلع



0;



اهتارٌغت لودج لكش ّمث .

 

D

 

Cf 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 -6 0 1 1 x y A

2 ) أ ) ىنحنملا ةٌعضو سردا

 

Cf مٌقتسملا ىلإ ةبسنلاب

 

 هتلداعم يذلا : 1 y . ب ) سامملا ةلداعم بتكا

 

T ىنحنملل

 

Cf ةلصافلا تاذ ةطقنلا ًف 1 . ـج ) ةلداعملا ّنأ نٌّب

 

0 f x  لاجملا ًف لبقت

 

0;1 ادٌحو لاح  ثٌح ، 0,4 0,3 e   e . 3 ) ئشنأ

 

T و

 

Cf . 4 ) ةلادلا نكتل h ىلع ةفرعملا

 

0   ًلٌ امك :

 

1 2 ln x h x x   . نكٌلو

 

Ch قباسلا ملعملا سفن ًف ًناٌبلا اهلٌثمت . أ ) ًقٌقح ددع لك لجأ نم هّنأ نٌّب x ،مودعم رٌغ

   

0 h x   h x . ؟ جتنتست اذام ب ) ىنحنملا ئشنأ

 

Ch ىنحنملا ىلع ادامتعإ

 

Cf . ـج ) ًقٌقحلا طٌسولا مٌق بسح ،اٌناٌب شقان m ةلداعملا لولح ددع ، :





2 lnx  m1 x . لحلا  ةٌددعلا ةلادلا ربتعن f لاجملا ىلع ةفّرعملا



0;



ًلٌ امك :

 

2 ln 1 x f x x   و

 

Cf ًف ًناٌبلا اهلٌثمت ىلإ بوسنملا يوتسملا طَاجرئ دياعري ىهعي



O i j; , 



. 1 ) أ ) باسح

 

0 lim x f x   و

 

lim x f x . 0 ln lim x x x     هنمو

 

0 0 2 ln lim lim 1 x x x f x x         انٌدل ln lim x x x  هنمو

 

2 ln lim lim 1 1 x x x f x x      اٌسدنه جئاتنلا رٌسفت . انٌدل

 

0 lim x f x     نذإ

 

Cf هتلداعم براقم مٌقتسم لبقٌ 0 x  ( بٌتارتلا روحم ) . انٌدلو

 

lim 1 xf x  نذإ

 

Cf هتلداعم براقم مٌقتسم لبقٌ 1 y  راوجب  . ب ) ةلادلا رٌّغت هاجتا ةسارد f لاجملا ىلع



0;



.

 

2



2



2 2 ln 2 1 ln ' x x x x f x x x      _     ًقٌقح ددع لك لجأ نم انٌدل x ، 2 0 x  ةراشإ هنمو

 

' f x ةراشإ سفن نم ًه 1 ln x .

 

' 0 f x  ًنعت 1 ln x 0 ئفاكٌ lnx 1 يأ x e .

 

' 0 f x  ًنعت 1 ln x 0 ئفاكٌ lnx 1 يأ 0 x e

 

' 0 f x  ًنعت 1 ln x 0 ئفاكٌ lnx 1 يأ x e . ةلاّدلا نذإ f ىلع امامت ةدٌازتم

 

0;e ىلع امامت ةصقانتمو



e;



.

x 0 e 

 

' f x + 0



 

f x 2 1 e   1 2 ) أ ) ىنحنملا ةٌعضو ةسارد

 

Cf مٌقتسملا ىلإ ةبسنلاب

 

 هتلداعم يذلا : 1 y . انٌدل

 

2 ln 1 x f x x  

 

1 0 f x   هانعم 2 ln 0 x x  ئفاكت lnx 0 يأ 1 x  .

 

1 0 f x   هانعم 2 ln 0 x x  ئفاكت lnx 0 يأ 1 x 

 

1 0 f x   هانعم 2 ln 0 x x  ئفاكت lnx 0 يأ 0 x 1 . 1 0 x + 0 

 

1 f x 

 

Cf قوف

 



 

Cf تحت

 



 

Cf عطقٌ

 

 ةطقنلا ًف

 

1;1 A ةٌبسنلا ةٌعضولا ب ) سامملا ةلداعم ةباتك

 

T ىنحنملل

 

Cf ةلصافلا تاذ ةطقنلا ًف 1 .

 



 

' 1 1 1 y f x  f هنمو





2 1 1 y  x   يأ

 

T :y 2x 1 ـج ) ةلداعملا ّنأ نٌٌبت

 

0 f x  لاجملا ًف لبقت

 

0;1 ادٌحو لاح  ثٌح ، 0,4 0,3 e   e . ةلادلا f لاجملا ىلع ةرمتسم

 

0;1 لاجملا ىلع ةرمتسم ًهف 0,4 0,3 ; e e     انٌدلو

 

0,4 0,19 f e   ،

 

0,3 0,19 f e  يأ

   

0,4 0,4 0 f e f e  ًقٌقح ددع دجوٌ ةطسوتملا مٌقلا ةنهربم بسح هنمو  لاجملا نم 0,4 0,3 ; e e     ثٌحب

 

0 f   ةلاّدلا ّنأ امبو f ىلع امامت ةدٌازتم

 

0;1 ّنإف  دٌحو . 4 ) ةلادلا نكتل h ىلع ةفرعملا

 

0   ًلٌ امك :

 

1 2 ln x h x x   . نكٌلو

 

Ch قباسلا ملعملا سفن ًف ًناٌبلا اهلٌثمت . أ) ًقٌقح ددع لك لجأ نم هّنأ نٌٌبت x ،مودعم رٌغ

   

0 h x   h x . ؟ جتنتست اذام نكٌل x مودعم رٌغ اٌقٌقح اددع :

   

1 2 ln x 1 2 ln x 2 ln x 2 ln x 0 h x h x x x x x            لجأ نم   انٌدل    

انٌدلو

   

0 h x h x  هنمو

 

 

h x h x ةلاّدلا نذإ h ةٌجوز . ب ) مسرلا ـج ) ًقٌقحلا طٌسولا مٌق بسح ،اٌناٌب ةشقانملا m ، ةلداعملا لولح ددع :





2 lnx  m1 x .





2 lnx  m1 x ئفاكذ 2 ln 1 x m x   ئفاكذ 2 ln 1 x m x   ٘أ

 

h x m . حكسرشًنا ظمُنا مصإف ْٙ خدجُٔ ٌإ حنداعًنا لٕهح ٍٛت

 

Ch حنداعًنا ٘ذ ٙمفلأا ىٛمرعًنأ y m . ٌاك اذإ 1 m ٍٛهح مثمذ حنداعًنا ٌّإف . ٌاك اذإ 2 1 m 1 e    لٕهح حعٚزأ مثمذ حنداعًنا ٌّإف . ٌاك اذإ 2 1 m e   ٍٛفعاضي ٍٛهح مثمذ حنداعًنا ٌّإف . 2 1 m e   لٕهح آن طٛن حنداعًنا ٌّإف . نماثلا نٌرمتلا  ةٌددعلا ةلادلا ربتعن f ىلع ةفّرعملا  ًلٌ امك :

 

1





ln 1 2 x f x  x e .

 

Cf ًف ًناٌبلا اهلٌثمت ىلإ بوسنملا يوتسملا طَاجرئ دياعري ىهعي



O i j; , 



. .1 ةباتك نكمٌ هّنأ نٌّب

 

f x ، لكشلا ىلع :

 

1





ln 1 2 x f x   x e . .2 ةلاّدلا ّنأ نهرب f ةٌجوز . .3 بسحا

 

lim x f x و

 

lim xf x . .4 ةلادلا رٌّغت هاجتا سردا f اهتارٌّغت لودج لّكش ّمث ، . .5 ىنحنملا ّنأ تبثأ

 

Cf نٌلئام نٌبراقم نٌمٌقتسم لبقٌ

 

 و

 

' امهٌتلداعم نٌٌعت بلطٌ . .6 مسرا

 

 ،

 

' و

 

Cf . .7 ةلادلا ربتعن g لاجملا ىلع ةفّرعملا



1;



ـب :

 

1 ln x g x x     _ _ . ـ أ ًقٌقح ددع لك لجأ نم هّنأ قّقحت x لاجملا نم



1;



،

 

 

ln g x  f x . ةلادلا رٌّغت هاجتا جتنتسا ـ g . ـ ب ةلادلا تارٌّغت لودج لّكش g . (T) (Cf) (Ch) 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 -6 0 1 1 x y

لحلا  ةٌددعلا ةلادلا ربتعن f ىلع ةفّرعملا  ًلٌ امك :

 

1





ln 1 2 x f x  x e .

 

Cf ًف ًناٌبلا اهلٌثمت ىلإ بوسنملا يوتسملا طَاجرئ دياعري ىهعي



O i j; , 



. .1 ةباتك نكمٌ هّنأ نٌٌبت

 

f x ، لكشلا ىلع :

 

1





ln 1 2 x f x   x e . انٌدل

 

1





 

1





ln 1 ln 1 2 2 x x x f x  x  e f x  x  e e 





1 ln 1 2 x x x e    





1 ln 1 2 x x e     .2 ةلاّدلا ّنأ تابثإ f ةٌجوز . لجأ نم x  ّنإف x   انٌدل و

 

1





 

ln 1 2 x f x   x  e f x ةلادلا هنمو f ةٌجوز . .3 باسح

 

lim x f x و

 

lim x f x .

 

 

1





lim lim ln 1 2 x xf x xf x   x  e   ّنلأ





lim ln 1 x 0 x e  و 1 lim 2 x x   .

 

 

 

lim lim lim

xf x xf x tf t   .4 ةلادلا رٌّغت هاجتا ةسارد f .

 

1 1

_

2

_

_

1

_

' 2 1 2 1 2 1 x x x x x x x e e e e f x e e e             ًقٌقح ددع لك لجأ نم x ،





2 ex  1 0 ةراشإ هنمو

 

' f x ةراشإ سفن ًه 1 x e  .

 

' 0 f x  ًنعت 1 0 x e   ئفاكٌو 1 x e  يأ 0 x 

 

' 0 f x  ًنعت 1 0 x e   ئفاكٌو 1 x e  يأ 0 x 

 

' 0 f x  ًنعت 1 0 x e   ئفاكٌو 1 x e  يأ 0 x  ةلادلا نذإ f لاجملا ىلع امامت ةصقانتم



; 0



لاجملا ىلع امامت ةدٌازتمو



0;



. ةلادلا تارٌّغت لودج f .





1 ln ln 1 2 x x x e e     x  0 

 

' f x  0 +

 

f x   ln 2