x 4 0 MAT 4A AULA ) D(f) = IR {-2, 2} ALTERNATIVA B 10.02) x 2 3x + 2 > 0 Raízes : 1 e 2 S: x < 1 ou x > 2 ALTERNATIVA E 10.

MAT 4A AULA 10 10.01) 2

x

4

0

x

2

e

x

2

 



 

D(f) = IR – {-2, 2} ALTERNATIVA B 10.02) x2 _{– 3x + 2 > 0} Raízes : 1 e 2 S: x < 1 ou x > 2 ALTERNATIVA E 10.03) x – 10 ≥ 0 x ≥ 10 ALTERNATIVA C 10.04) f(x) > 0 para x ≠ - 3 f(x) = 0 para x = - 3

Não existe valor de x tal que f(x) < 0 ( F )

( V ) ( V )

( V ) ( V ) ( V ) 10.05) f(x) > 0 para x < 3 f(x) < 0 para x > 3 f(x) = 0 para x = 3 ( V ) ( V ) ( V ) ( V ) ( V ) ( V ) 10.06) 16 – x2 _{> 0} x2 _{– 16 < 0} Raízes : -4 e 4 S: -4 < x < 4 Inteiros: {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} ALTERNATIVA C 10.07) x2 _{– 1 ≥ 0}

S: x ≤ -1 ou x ≥ 1 ALTERNATIVA D 10.08) Questões certas = x 3x – 1(20 – x) ≥ 28 x ≥ 12 xmín= 12 questões certas ALTERNATIVA A 10.09) L(x) = 100 (10 – x)(x – 2) L(x) = -100 (x – 10)(x – 2) Raízes: 10 e 2 2 < x < 10 ALTERNATIVA C 10.10) 2x2 _{+ 5x - 3 ≠ 0} Bháskara  x ≠ 1/2 e x ≠ -3 IR – {-3, ½} ALTERNATIVA A

10.11)

4

x

0

1 x



_



1

x

4

  

Inteiros: {0, 1, 2, 3, 4} ALTERNATIVA D 10.12) 3 – x2 _{≥ 0} Raízes: ±√3

3

x

3



 

ALTERNATIVA B 10.13) (n – 9)(n2 _{+ 4n + 5)(n + 7) < 0} -7 < n < 9 Inteiros: {-6, -5, -4, -3, -2, -, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Soma = 15

ALTERNATIVA B 10.14) 5m + 24 > 5 500 5m > 5 476 m > 1 095, 2

8

m 700

42 m

5

3

m

658

5

m

1 096,7











 



1 095,2 < m < 1 096,7 m = 1 096 Soma = 1 + 0 + 9 + 6 = 16 10.15) 2

x 1 0

x

4

0

 





  



S : [1 , 2) ALTERNATIVA B

10.16) ALTERNATIVA C 10.17) 2

2

x

0

x

8x 12

0

x

2

x

2 e x

6

S : x

2

 

















 







ALTERNATIVA E 10.18)

1

1

x

20

12

x

1

1

0

x

20

12

x

12

x (x

20)

0

(x

20)(12

x)

32 2x

0

(x

20)(x 12)















 



_







_

 



Inteiros Positivos:{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 16, 17, 18, 19} ALTERNATIVA B

10.19) a) 2 2 2 2 2

12

Área

28

12

(x

3)(2x

4)

28

12

2x

2x 12

28

2x

2x 12

28

2x

2x 12

12

x

x

20

0

x

x 12

0









































  







 





Condições:

x

3

0

x

3

2x

4

0

x

2

    





_{   }



Ou seja: x > 2 Solução: 3 ≤ x ≤ 4 b) Área = 28 Raízes: -5 e 4

Considerando as condições, temos: x = 4 Lados: 7m e 4m

10.20) a)

L = V – C L = - 5n2 _{+ 100n – 320 – (5 + 10n)} L = - 5n2 _{+ 90n – 325} L > 0 - 5n2 _{+ 90n – 325 > 0} -n2 _{+ 18n – 65 > 0} Raízes: 13 e 5 Intervalo: 5 < n < 13 Condições: 4 ≤ n ≤ 16 Solução: 5 < n < 13 b)

Maior lucro possível : Vértice da função Lucro

máx 2 máx máx

18

n

2.( 1)

n

9 pássaros

L

L(9)

L

5.9

90.9 325

L

80 reais

 







 







MAT 4A AULA 11 11.01)

8

x

8

x

8

  



ALTERNATIVA C 11.02)

x

12 ou x

12

x

12

 





ALTERNATIVA B 11.03) ( V ) ( V ) ( V ) ( F ) O correto é

x



4

( V ) 11.04)

x

6

20

x

6

20 ou x

6

20

x

26 ou x

14

 

 

  



 

SOMA = 12 ALTERNATIVA C 11.05)

x

x

x

x ou x

x

x

ou x

0

Solução : x

0







 







ALTERNATIVA D 11.06)

a) FALSO – para x = 0 também é válido; b) FALSO – para x = 0 também é válido; c) FALSO – para qualquer valor de x; d) FALSO – para qualquer valor de x; e) VERDADEIRO ALTERNATIVA E 11.07) 2

x

4 x

4

0

Bháskara : x

2

Assim :

x

2 ou x

2



 





 

ALTERNATIVA C 11.08) Para x > 0  f(x) = 1 Para x < 0  f(x) = -1 Imagem: {-1, 1} ALTERNATIVA C 11.09)

Intercepta eixo das abscissas: f(x) = 0

1 x

2

0

1 x

2

1 x

2 ou 1 x

2

x

1 ou x

3

  

 

 

  

 



Então: a = -1 b = 0 c = 3 d = 0

d + c - b – a = 0 + 3 - 0 – (-1) = 4 ALTERNATIVA A 11.10)

E

2

5

3

5

E

5

2 3

5

E

1

 

 



  



ALTERNATIVA E 11.11) a) FALSO – o correto é 2

(xy)



xy

b) FALSO c) FALSO d) FALSO e) VERDADEIRO ALTERNATIVA E 11.12) 2 2 2 2 2 2

3x

4

x

4

3x

4

x

4

x

0

ou

3x

4

(x

4)

x

2

 



 

  

  



  

Substituindo os valores, concluímos que não há solução real, assim:

S

 

ALTERNATIVA C



 

 

 







2 2 2 2

E

2

2

2

2

2 1

1

2

E

2

2

2

2

2 1

1

2

E

2

2

2

2

2 1

2 1

E

4

















 

 



  

 

 



 





ALTERNATIVA B 11.14)

x

2

5

5

x

2

5

3

x

7

 

   

  

Inteiros não negativos: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} ALTERNATIVA E

11.15)

O gráfico mostra que: f(0) = 2

f(2) = 0 f(4) = 2

Substituindo nas opções colocadas nas alternativas, temos:

f(x)

 

x

2

ALTERNATIVA B

O gráfico mostra que: f(-2) = f(0) = f(2) = 1 f(-1) = f(1) = 0

Substituindo nas opções colocadas nas alternativas, temos:

f(x)



x



1

ALTERNATIVA A 11.17)

f(x)

0

x 1 1 0

x 1

1

1

x 1 1

0

x

2



  

 

   

 

ALTERNATIVA D 11.18)

x

2

3

3x

2

5

3

x

2

3

3x

2

5 ou 3x

2

5

1

x

5

7

x

1 ou x

3

7

Solução :

x

5

3

  





 



   





_{  }

_{ }



  







_{ }

_



 

Inteiros: {3, 4, 5} Produto = 60 ALTERNATIVA B 11.19)

2 2 2 2 2

5

5

1

x

x

4

8

4

3

x

5

5

1

4

x

x

8x

10x

3

0

4

8

4

1

x

2

ou

5

5

1

x

x

8x

10x

7

0

x

4

8

4

1 3

S :

,

2 4







 





 





_{  }

 





   



   













11.20)

4

2t

0

V(t)

10 (4

2t) (2t

6)

V(t)

12 para t

2 ou t

3 (IMPOSSÍVEL)

2t

6

0

4

2t

0

V(t)

10 (2t

4) (2t

6)

V(t)

20

4t para t

3

2t

6

0

4

2t

0

V(t)

10 (4

2t) (6

2t)

V(t)

2

4t para t

2

2t

6

0

4

2t

0

2t

6

0



























  





























  









_

_

_

_

_

_

_

_{ }

_

  









 



V(t)



10 (2t





4) (6





2t)



V(t)



8 para 2

 

t

3





Há um único caso possível (valores de t coerentes) para volume constante que é para V(t) = 8 que ocorrerá das 10h até 11h (2 < t < 3, a partir das 8h).

MAT 4A AULA 12

12.01)

Função Par: f(-x) = f(x) ALTERNATIVA E

12.02) Função Ímpar: f(-x) = -f(x) ALTERNATIVA C 12.03) x – 2 = 10 x = 12 Se f(x – 2) = x2 Então, f(12 – 2) = 122 _{f(10) = 144} ALTERNATIVA C 12.04)

Para uma função polinomial ser PAR, basta todos os expoentes de x serem PARES, assim: a) PAR b) PAR c) NÃO É PAR d) PAR e) PAR ALTERNATIVA C 12.05)

Para uma função polinomial ser ÍMPAR, basta todos os expoentes de x serem ÍMPARES, assim: a) ÍMPAR b) ÍMPAR c) ÍMPAR d) NÃO É ÍMPAR e) ÍMPAR ALTERNATIVA D 12.06) ( V ) ( V ) ( V )

( F ) Existem as funções sem paridade

( F ) f(x) = 0 é PAR e ÍMPAR simultaneamente

12.07)

Função PAR: gráfico é simétrico ao eixo y; Função ÍMPAR: gráfico é simétrico à origem;

PAR : II, III e VI ÍMPAR: I, IV e V ALTERNATIVA E

12.08)

Todos os expoentes PARES ALTERNATIVA B 12.09)

f(5x)

5.f(x)

x

5

f(25)

5.f(5)

75

5.f(5)

f(5)

15

x

1

f(5)

5.f(1)

15

5.f(1)

f(1)

3



 











 











ALTERNATIVA A 12.10) Funções Trigonométricas PAR: cosseno e secante

Produto (mesmo critério para Divisão) PAR . ÍMPAR = ÍMPAR

PAR . PAR = PAR ÍMPAR . ÍMPAR = PAR

ALTERNATIVA E 12.11) 2 2

f(x

3)

x

2

x

4

f( 4

3)

( 4)

2

f( 1)

18







    

 

   

ALTERNATIVA B 12.12)

f(xy)

=

f(x)

y

f(300)

=

5

f(100.3)

=

5

f(100)

3

=

5

®

f(100)

=

15

f(700)

=

f(100.7)

f(700)

=

f(100)

7

f(700)

=

15

7

ALTERNATIVA A 12.13)

f(n 1)

n 1

Substitui n por (n 2) :

f(n 2 1)

n 2 1

f(n 1)

n 3

  



    

  

ALTERNATIVA E 12.14)

f(n 1)

(n 1).f(n)

n

7

f(8)

8.f(7)

f(8) f(7)

8.f(7) f(7)

7.f(7)

x

7

f(7)

f(7)

f(7)

 



 















ALTERNATIVA B 12.15) Funções Trigonométricas PAR: cosseno e secante

ÍMPAR: seno, cossecante, tangente e cotangente

Produto (mesmo critério para Divisão) PAR . ÍMPAR = ÍMPAR

PAR . PAR = PAR ÍMPAR . ÍMPAR = PAR ALTERNATIVA E

ALTERNATIVA C 12.17)

f(x 1)

f(x)

f(1)

1

x

1

f(2)

f(1)

f(1)

1 2.f(1)

f(1)

2

1

3

x

2

f(3)

f(2)

f(1)

f(3)

1

f(3)

2

2

3

1

x

3

f(4)

f(3)

f(1)

f(4)

f(4)

2

2

2

1

5

x

4

f(5)

f(4)

f(1)

f(5)

2

f(5)

2

2

 



 





 





 







  



 







  



 







  



ALTERNATIVA C 12.18)

f(x 1)

x.f(x)

1

3

1

1

3

1

x

f

f

f

2

2

2

2

2

2

 

 

 

 

 

_{ }

 

_{ }



_{ }

  

 

 

 

ALTERNATIVA A 12.19 f(7)  f(6) = 2  6 + f(6) f(5) = 2  5 + f(5) f(4) = 2  4 + f(4) f(3) = 2  3 = f(7)  f(3) = 2  (6 + 5 + 4 + 3) = 2  18 = 36 12.20 f(0+1) = 2  f(0)  15  43 = 2f(0)  15

 

  











 



 







f(x).f(y)

f(x

y)

x

1 e y

3

f 1 .f

3

f 1

3

3.4

f 1

3

12

f 1

3

x

1 e y

1

3

f 1 .f 1

3

f 1 1

3

3.12

f(2

3 )

36

f 2

3





























 







 













f(0) = 58  2 = 29

MAT 4B AULA 10

10.01)

ALTERNATIVA A

A taxa de mortalidade infantil diminui conforme aumenta a escolaridade da mãe. Isso acontece em todos os países independente do nível saneamento básico oferecido.

10.02)

Contribuição efetiva positiva : I , II e III ALTERNATIVA E

10.03)

Todos os tipos de pele possuem um FPS mínimo, ou seja, é recomendável que para todos os tipos, seja feito o uso do protetor solar.

ALTERNATIVA B

10.04)

O período de repouso é com distância “zero” de casa, ou seja, ela está em casa. ALTERNATIVA D

10.05)

Os gráficos das regiões Norte e Centro-Oeste são praticamente o mesmo. ALTERNATIVA E

10.06

Observe que no país em que o item é considerado o mais caro do mundo, a figura do item está TOTALMENTE colorida. Isso significa que o café não é o mais caro em nenhum dos cinco países.

São 6 períodos de 30 min cada, dos quais 3 deles a velocidade  50 Km/ Então: 3 6 = 0,5 = 50% 10.08 2x = 270  x = 135 4x = 4  135 = 540 10.09) Analisando a tabela. ALTERNATIVA C 10.10 1) Vm = s = 400 0 t 4    = 100 m/min = 0,1 Km/min  60 = 6 Km/h

2) De 6 a 8 min a posição não muda

 0 = 1 200 m

10.11

Gastos do PIB com tratamento: 7,3% do PIB Valor movimentado pela indústria: 3,5% do PIB

10.12

Solução. Essa forma de divisão sempre gera um número de páginas representado por potências de 2. Como queremos 32 páginas, implica em 16 folhas. De acordo com as orientações de dobras a divisão da folha será em 4 x 4 retângulos, com a altura maior que a largura. Logo, as dimensões serão: (10,5 x 4) por (15,5 x 4) por = 42cm x 62cm.

OBS: Repare que as divisões da folha possuem mesma área, mas a de menor perímetro foi 4 x 4.

DIVISÕES DA FOLHA 1 x 16 2 x 8 4 x 4 8 x 2 16 x 1 ÁREA 2 604 2 604 2 604 2 604 2 604 PERÍMETRO 267 230 208 290 517 10.13 968 + 218 = 1 186 10.14

x: população brasileira (em milhões) 2006 y: população brasileira (em milhões) 2009

( 3) 0,10x 0,07y 5,2 ₊ 0,26x 0,21y 8,2      _{ }  · 0,30x 0,21y 15,6 + 0,26x 0,21y 8,2          0,004x = 7,4  x = 185 mi  10% de x = 18,5 0,1  185  5,2 = 0,007y 18,5  5,2  0,07 = y Y = 190 mi

10.15

Concentração de íons de cobre em mg/L 50 000 mg  20 000 L

x  1 L x = 2,5 mg/L

Pelo gráfico II em 24 h, a concentração de Cu2+ _{é de aproximadamente 2,5 mg/L. O que causa} 50% de mortalidade.

10.16

1) CHUVEIRO – (tempo total de utilização) Pot = 3 500 watts = 3,5 kw E = Pot  t 70 = 3,5  Tempo/dia t = t = 20 = 2 30 30 3  h 2 3  60 = 40 min/dia 2) LAVADORA DE ROUPA E = Pot  6 = x  12  x = 0,5 kw = 500 watts 3) SECADOR E = Pot  Δt 7 = 1,4  Δt  Δt = 5h 10 min ₌ 1 60 min 6

S = h  1

6  n = 30

10.17

Se o candidato ganha 30% do total dos votos válidos, então 30% correspondem a 1

2 votos

válidos, sendo assim votos válidos = 60% e brancos e nulos = 40%.

10.18

4 777  x 8 848  100% x  54%

10.19

Exercício resolvido no material

10.20

Exercício resolvido no material

MAT 4B AULA 11 11.01 + 20 sal. 5% 160 10 hab6 10% 250 000 energia    · · ·

Até 3 sal. 50% 160 10 hab.6

30% 250 000    · · Consumo 20 sal.  25 000 ₅ 5 16 10· ·

3 sal.  3 25 000₆ 5 16 10 · · · 5 25 000 5 16 10· · = x  6 3 25 000 5 16 10 · · · x = 10 3  x = 3,3 11.02 100 alunos Questão Acertos Turma A Erros Turma A Acertos Turma B Erros Turma B 74% 1 32 8 42 18 76% 2 28 12 48 12 84% 3 36 4 48 12 40% 4 16 24 24 36 50% 5 20 20 30 30 11.03 A) 132  2 = 264  264  40 = 6,6 B) 192  2 = 384  384  60 = 6,4 11.04 4 + 36 _{- 4 36} 2 · 20  2  6 = 8 11.05 2 ₌ 2 _{= 2} 12 ₌ 24 1 ₊ 1 3 + 2 5 5 4 6 12 · = 4,8

mA mG nH 11.06 a = 12 3 = 4 b = 3_{2 4 6 = 2 6· ·} 3 _{= 2  1,8 = 3,6} c = 3 = 3 = 36 1 1 1 6 3 2 11 2 4 6 12     = 3,27... 11.07 5 min e 140 seg = 440

5 seg.  88 seg = 1min e 28 s

11.08 6 5 + 7,3 2 + 7,5 3 + x 2 + 6,2 2 1 2 3 2 2    · · · _{= 7,3} 6,5 + 14,6 + 22,5 + 2x + 12,4 = 7,3  10 2x = 73  56 2x = 17  x = 8,7 11.09 5 42 = 20,5  5 = 861 5 x 41  = 20 5  x = 820  861  820 = x x = 41 11.10

Antes da substituição: 6  1,92 = 11,45 m Depois: 6  1,90 = 11,40

 a media dos 2 atletas 11,52 11, 40 3  _{= 0,04} 11.11 P1 + p2 = 1 (52) 52P1 – 52P2 = 52 82P1 + 52P2 P1 + P2 = 72,1 82P1 + 52P2 = 72,1 30P1 = 20,1 P1 = 0,67 P2 = 0,33 11.12 Considerando 100 vizinhos 74  70 = 52,50  70% x  100% x = 7 500 reais

7 500  5 250 = 2 250 reais para 25 pessoas  2 250

25 = 90 reais. 11.13 1 100 10 + 1 650 4 + 2 200 3 + 1,1 1 1 18 · · · _{= 1 650} 24 200 + 1,1x = 29 700 1,1x = 5 500.

11.14 (V) b = 2a  h = 2 1 1 a 2a = 2 4a 2 1 3 2a   (F) h = 2 2 35 2 35 35 1 1 7 5 12 6 7 5      · ·  5,8 (F) mH = 1 1 b r b r_{2 2 2}2b ₂ b r b r b r b r           mH = 2 2 2 2b b r e mH = 2 2 b r b  (V) 2 1 1 a b 11.15 1 x ₁ x _x 2 x   ·  x + 1 x  2 11.16

BE  AB  passa pelo centro da O, então CE = ED, ou seja, ED = CD

2

AD2 _{= DF}2 _{+ AF}2 AD2 _{= EB}2 _{+ (AB } CD 2 )2 AD2 _{= AB}2 _{ AB  CD +} CD2 4 + BE2 Pitágoras D ECB 2 CD 2       + BE 2 _{= BC}2

Pitágoras DADF  Pitágoras DECB

AB2_{ AB  CD = AD}2_{ BC}2 Mas AB = AD AB2_{ AB  CD = AB}2_{ BC}2 BC2 _{= AB  CD} BC = AB CD· = MÉDIA GEOMÉTRICA 11.17 1 túnel  1h 2º túnel  3h 3º túnel  6h + 1º túnel 6 1 7h 2º túnel 6 + 3 = 9h   Possibilidades 1 3 7 11 3 3   _{ h ou} 1 3 9 13 3 3   _{ h} Média 11 13 8 3 3 2 2   = 4h Ou Média 3º túnel 7 9 2  _{= 8h}

Média total = 1 3 8 12 3 3   _{ = 4h} 11.18 I) mP = 9 e NP = 3 PA = mP NP 10 2 2  _{ = 5} II) PG = 7 3·  21 III) PH = 2 2 21 21 1 1 10 5 7 3    · 4 = 5(5  x)  4 = 25  5x 5x = 21  x = 21 5 11.19

Exercício resolvido no material

11.20

MAT 4B AULA 12 12.01 6 7 2  = 6,5 gols 12.02 Z = 0 X = 0 3 8 9 8 10 7 45 20 20       _{ = 2,25} Y = 2 12.03

a) FALSO - Mais da metade

b) FALSO – O aumento não é constante, ou seja, não é P.A

c) VERDADEIRO

d) FALSO – O aumento não é constante, ou seja, não é linear.

e) FALSO – Média Artimética = 6,1 e Mediana = 5,0

ALTERNATIVA C

12.04 Ma = 50  10  Ma = 5 Me = 4 Mo = 3 12.05

2 2 + 7 2 + 3 x 7 · · · = 6 18 + 3x = 42  3x = 24  x = 8 12.06 As medidas são (x1, x2, …, x100) se x50 ≠ x51, a mediana é: M= x50+x51 2 x50 < M < x51 xi < M para todo i <51

50% dos valores estão abaixo da mediana

12.07 30 6,4 +50 5,2 192 260 452 80 80 80    · · = 5,65 12.08 450 30 420 48 48   = 8,75 12.09 100 alunos 20 50 240 175 120 45 650 100 100       = 6,5 25.60.280 300 135 50 750 100 100     = 7,5 mL = 7,5

12.10 2; 2; 2; 4; 5; 10; x  Me = 4 4  x < 21 12.11 52 + 42 + 30 + 80 + 102 = 30,6 20 = 15,3 Ma Mo = 17 Me = 16 12.12

Notas em ordem crescente

0

6

6,5

6,5

7

7

8

8

10

10

Com a ausência a Mediana é 7;

Com a presença, se tirasse até 7, a mediana continuaria 7 e a equipe permaneceria em 3º

lugar. Se tirasse de 7 até 8, a mediana ficaria entre 7 e 7,5 permanecendo em 3º lugar. Se

tirasse 8, a mediana seria 7,5 e continuaria em 3º lugar. Se tirasse mais que 8, a mediana

também seria 7,5 e continuaria em 3º lugar.

12.13 Ma = 2 500 80 = 31,25 Me = 30 35 2  _{= 32,5} Mo = 35 X = 31,25 + 32,5 + 35 = 98,75 98  x < 99 12.14 Ma = 1,72 Me = 1,70 a +b + c + d = 4  1,72 a + 2  1,70 + d = 6,88 a + d = 6,88  3,4 a + d = 3,48 a d 2  _{= 1,74} 12.15

O Salário de R$ 2 800,00 não é o valor de nenhuma função, sendo assim, ele é a média

de dois salários distintos. Esses salários precisam ocupar as posições centrais (precisa

ser quantidade par de funcionários) e a soma entre eles precisa ser de R$ 5 600,00.

Assim, os salários das posições centrais precisam ser de R$ 2 000,00 e R$ 3 600,00.

O salário de R$ 2 000,00 ocupará a 10ª posição e, necessariamente, o salário de R$ 3

600,00 ocupará a 11ª posição (total de 20 funcionários).

Assim, precisam ser demitidos 10 dos 30 funcionários, sendo que todos os que serão

demitidos possuem salário de R$ 3 600,00.

ALTERNATIVA D

12.16 Nota % Média 4 a 5 16% 4,5 5 a 6 32% 5,5 6 a 7 8% 6,5 7 a 8 16% 7,5 8 a 9 22% 8,5 9 a 10 6% 9,5 72 176 52 120 187 57 664 100 100       = 6,64 12.17 1 040 m + 840 F m F · · = 1 000 1 040m + 840F = 1 000m + 1 000F  40m = 160F  m = 4F 12.18 Media min. = 7 1 + 10 4 + 15 7 + 13 10 + 5 13 347 50  50 · · · · · = 6,94 Média máx. = 7 3 + 10 6 + 15 9 + 13 12 + 5 15 447 50  50 · · · · · = 8,94 12.19

Exercício resolvido no material

12.20

MAT 4C AULA 10 10.01 ad  cb ≠ 0 ad cb bd bd  a c b  d 10.02

I –

A . X = B

A

-1

_.A.X=A

-1

_.B

I.X=A

-1

_.B

X=A

-1

_.B

VERDADEIRO

II –

8x

0,15y

9,60

6x

0,25y

11,60

8x

0,15y

9,60

0x

0,55y

17,80

y

32,36

x

0,59









_

_











_

_{ }







VERDADEIRO

III –

1 1 1

1

det A

det A

1

det A

1,10

10

det A

0,91

11

  









FALSO

ALTERNATIVA C

10.03 1 1

det B

4 5

det B

1

1

5

1

1

B

1

4

1

1

1

5

B

1

4

 

 

 









_

_



 



























 

_







SOMA = 1

ALTERNATIVA B

10.04 det A = 2 a b 1 0 c d  0 1 a + 2c = 1  2c = 0 b + 2d = 0  2d = 1 a = 1 ; c = 0 b = 1; d = 1 2

A1 ₌ 2 2 _{1 1} 2 2 1 0 1 0 2 2 2     10.05 det A = 2 A1 = 1 2 1 ₁ 2 2 ₂ 2 6 _{1 3} 2 2  _    10.06 det A = 7 + 10  20  28 3 det A = 9 28 37 3 3     10.07 det A = 8 + 2  12  8 3 det A = 18  8 3  54 8 62 3 3     det A1 _{= } 3 62 10.08 det A  0  3m + 6  0  m  2 10.09

2x2 _{+ 6x  10 + 9  15x  12 + x + 3  0} 2x2 _{ 8x  10  0} x2_{ 4x  5  0} S = 4 P = 5 x’ = 1 e x’’ = 5 10.10 det A = 2  1 + 1 2 =  1 2 A1 ₌ 2 1 ₁ 1 2 2 2 0 1 1 0 2 2 2    _   10.11 A = 1 1 3 4 2 0 7 5 3   det A = 6  60 + 42 + 12 = 0 det A = 0  não tem inversa.

10.12 (1)  1 1 3 1 = 2 det A = 4 + 5 + 12  10  4  6  det A = 1 32 A det A = a23  2 1 = 2

10.13 (1)  0 1 2 1  = 2 det A = 6  9  4  det A = 7 a12 = A21 det A  a12 = 2 7    2 7 10.14 16  1 det A = 22  det A 4 = det2 _{A  det A = 2} 10.15 det A = 1 A1 = 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1      10.16

a) VERDADEIRO

b) FALSO -

a



0 e a



1

c) FALSO – det (A – B) ≠ det A – det B

d) FALSO – det (AB) = detA . detB



2

m

_{= 2}

n

_{. detB}



_{detB = 2}

(m - n)

e) FALSO – Os dois produtos resultam em matrizes nulas, ou seja, os produtos são

iguais.

ALTERNATIVA A

det A  0 50 + 5x2 _{+ 4x  2x}2_{ 20  25x  0} 3x2 _{ 21x + 30  0} x2_{ 7x + 10  0} x’  2 x’’  5 10.18 A1_{ A  X = A}1 _{ B} IN  X = A1  B X = A1_{ B} 10.19 (1)  7 6 4 4 5 2 10 9 7 6 3 3 0 3 1 2 2 1           (1)  1 0 3 1 1 0 3 3 3 = (1)  (3 + 9  9) = 3 10.20 4 3 9 12 (-1) 3 2 7 9 2 0 5 8 3 2 11 14 (-1)     · · (1)  1 2 2 6 3 6 2 6 7 18 9 18 0 4 5 12 8 12           

(1)  3 4 3 8 11 9 4 7 4          = (1)  (132  144  168 + 132 + 189 + 128) (1)  (5) = 5 10.21 (1)  x 1 1 3 2 2 x 1 2 0 0 2 2 6 x 4 2 8 x 14 2 2 1 6 3 4 0 7 7               < 0 56(x  1)  7(x  1)(x + 4) +28 < 0 56x  56  7(x2 _{+ 3x  4) + 28 < 0} 56x  28  7x2_{ 21x + 28 < 0} (1)(7x2 _{+ 35x) < 0} 7x2 _{ 35x < 0} x’ = 0 x’’ = 5 1 + 2 + 3 + 4 = 10 10.22

Exercício resolvido no material

10.23

11 12 13 21 22 23 31 32 33 A A A 2 0 0 A A A 2 1 0 A A A 4 1 2      transposta = 2 2 4 0 1 1 0 0 2     det A = A1 = 1 1 2 1 1 0 2 2 0 0 1    MAT 4C AULA 11 11.01 A + B = 28 A + C = 35 B + C = 23 A + B = (35 – C) + (23 – C) C = 15 A = 20 B = 8 Alternativa D 11.02 D = 1 2 1 2 1 1 1 1 2 = 2 + 2 + 2  1  1  8 = 4 Dx = 23 2 1 21 1 1 28 1 2 = 46 + 56 + 21  28  23  84 = 12 x = 12 4   = 3

11.03 x = 2 2x + 2 = 92 (5) 11x + 5y = 500 10x  5y = 460 11x + 5y = 500 x = 40 11.04 12  2K + 5 = 13 2K = 13  17 2K = 4  K = 2 11.05 3m n 18 6m n 18        9m = 36  m = 4 6  4 + n = 18 n = 18  24  n = 6 11.06 9x 3y 33 4x 3y 18       _{ }  5x = 15  x = 3 3  3 + y = 11  y = 2 11.07

x = Dx D  D = 3 5 4 7  = 21 + 20 = 41 11.08 x = 6 1 1 18 2 0 14 1 3 36 18 28 54 28 6 3 4 9 4 1 1 1 3 2 0 2 1 3                 = 7 11.09 3x 2y 9 3 (-2) 4x 3y 11        · · = 9x 6y 27 8x 6y 22           x = 5 3  5 + 2y = 9 2y = 6  y = 3 x2 _{+ y}2 _{= 25 + 9 = 34} 11.10 Y = 4 9 1 3 11 4 2 2 2 88 72 6 22 32 54 10 16 8 9 4 48 6 5 4 1 1 3 2 4 2 3 2                   = 2

11.11 x y z 6 y-4z =-10 (-1) y+2z=8         · = y 4z 10 y 2z 8      _{ }  6z = 18 = 3 y = 8  6 = 2 x = 1 12 _{+ 2}2 _{+ 3}2 _{= 14} 11.12 D = 1 2 1 2 1 1 1 1 2 = 2 + 2 + 2  1  1  3 = 4 Dx = 16 2 1 15 1 1 17 1 2 = 32 + 34 + 15  17  16  60 = 12 Dy = 1 16 1 2 15 1 1 17 2 = 30 + 16 + 34  15  17  64 = 16 X = 3 Y = 4 Z = 16  3  8 = 5 11.13 1 (c 1)y 0 y 1 c c y 1      _{      }  1 + (c + 1)(1  c) = 0 1  1  2c c2 _{= 0} c2 _{+ 2c = 0}

c = 0 e c = 2 11.14 2 2 x y 2 a (-b) bx+ay=a b     _  · · = bx by ₂2ab₂ bx ay a b        _{  }  (a  b)y = a2 _{ 2ab + b}2 (a  b)y = (a  b)2 y = a  b x = 2a  a + b  x = a + b 11.15 2 ax y a ( 1) x y 2a 1     _{   }  · = 2 ax y a x y 2a 1    _ _{    }  (a  1)x = a2_{ 2a + 1} x = a  1 a  1 + y = 2a  1  y = a (1) = 1 11.16 2 2 a x+b y = 2 a b ( b) (a) b x+a y = a + b     · · · · · · · · = 2 2 3 2 abx b y 2ab abx a y a ab           (a2_{ b}2_{)y = a}3_{ ab}2 y = a(a₂2 b )₂2 a b    y = a ax + b  a = 2ab ax = ab x = b

11.17 Dx = 31 2 5 31 5 3 38 3 2 = 310 + 228 + 465  950  279  124 =  350 x = 5 10x + 10y + 10z = 100 x + y + z = 10 y + z = 10  5  y + z = 5 = x 11.18 2) x + y = z  x + 2 = 5  x = 3 3) z  t = 4  t = 1 1) z t 4 2z t 11    _  _{ }  = 3z = 15  z = 5 5) y  5 + 1 =  2  y = 2 11.19 x y z t 11 x y z t 9             = 2x = 2  x = 1 x y z t 7 x y z t 5        _{     }  = 2  2t = 12 2 t = 10  t = 5 1) 1 + y + 3 + 5 = 11  y = 2 2) 1  y  z  5 = 9 3) 1 y z 5 9 1 y z 5 7                = 2z  10 = 16 2z = 6  z = 3 x  y  z = 30

11.20 2x y z w 1 x 2y z w 2 x y 2z w 3 x y z 2w 4            _             5x + 5y + 5z + 5w = 10 x + y + z + w = 2 1 + y + 1 + 2 = 2  y = 0 2x y z w 1 x y z w 2      _{     }   x = 1 x y 2z w 3 x y z w 2      _{     }   z = 1 x y z 2w 4 x y z w 2      _{     }   w =2 S = {(1, 0, 1, 2)} 11.21 D = sen2_{ + cos}2_{ = 1} Dx = cos 2 cos sen2 sen       =

cos2_{  sen  sen}3_{ 2sen cos}2_  sen cos2_{  sen}3_

 sen(cos2_{ + sen}2_{) = sen} x = sen

1) sen2_{  (cos)y = cos}2_{ sen}2_ = (cos)y = cos2_ = y = cos MAT 4C AULA 12 12.01 x 5y 10z 500 x y z 92 x z             = 5y 11z 500 y 2z 92 (-5)     _{ }  · z = 40 x = 40 y = 12 12.02 200x 50y 600z 1 350 50 28x+4y+24z=66 4 x+0,5y+0,6z=2,2       _    = 4x y 12z 27 7x+y+6z=16,5 x+0,5y+0,6z=2,2         (7x + y + 6z = 16,5)  (4x + y + 12z = 27) = 3x  6z  10,5 [(x + 0,5y + 0,6z = 2,2) 2] + (7x + y + 6z = 16,5) = 5x + 4,8z = 12,1 3x  6z  10,5  (5)  15x  30z  52,5 5x + 4,8z = 12,1  (3) 15x  14,4z = 36,3 15x 30z 52,5 15x 14, 4z 36,3           44,7z = 88,8  z = 2  100 = 200

3x = 10,5 + 12  3x = 1,5  x = 0,5  100 = 50 Y = 27  2  24  y = 1  100 = 100 12.03 5R + 3A + 2C = 17,20 3R + 2A + 3C = 14,00 C – R = A – C  – R – A + 2C = 0 -3R-3A+6C=0 3R+2A+3C=14 ì í ï îï -A+9C=14 Þ A=9C-14 5R + 3(9C – 14) + 2C = 17,20  5R = 59,2 – 29C (I) –R –(9C–14) + 2C = 0  R = –7C+14 (II) Substituindo (II) em (I), tem-se:

5(–7C + 14) = 59,2 – 29C –35C + 70 = 59,2 – 29C  6C = 10,8 C = 1,8 R = –7C+14  R = –7  1,8+14  R = 1,4 –R – A + 2C = 0  –1,4 – A + 21,8 = 0 A = 2,2

O preço da cerveja é 0,40 centavos a mais que o preço do refrigerante

12.04 x 3y 12 x 2y 2         5y = 10  y = 2 e x = 6  x y = 3 12.05

2x

y

3

6x

3y

9

2x

y

3

0x

0y

0

y

2x

3

S : (x;2x

3)

 



   



 





_

_









ALTERNATIVA D

12.06 6z = 18  z = 3 4y + 5z = 23  4y + 15 = 23  y = 2 x + 2y + 3z = 14  x + 4 + 9 = 14  x = 1 12.07

 

 

3 x 3y z 2 3x y 2z 4 2 2x 5y 3z 3        _{  }   _{    }  · · 1 3 1 2 0 10 1 10 0 1 5 1      10y z 10 ( 5) y 5z 1      _{  }  · 49y = 49  y = 1 10  10 = z  z = 0 x  3 + 0 = 2  x = 1 12.08

 

2 3x 2y 10 6x 4y 20     _{   }  · 0 = 0 12.09 y z 1 ( 1) y 3z 1           · -2z =0  z = 0 y = -1 2x = 2  x = 1 12.10 3 + 2z  2(1 + z)  2z = 1 2z = 1  1  z = 1 x = 3 + 2  x = 5 y = 1 + 1  y = 2 12.11 x y z 0 ( 2) 3x 2y z 7 10y 9z 12       _{  }   _{  }  · 1 1 1 0 0 5 4 7 0 10 9 12    _{ }     _     2 10y 8z 14 10y 9z 12           z = 2 12.12

 

2x 5z 4 ( 2) x y 3z 5 3 3x y z 3            _{  }  · · 1 1 3 5 0 4 8 12 0 2 11 6     _{ }     _{ }     (11) 44y 88z 132 16y 88z 48           28y = 84  y = 3 12.13 3 1 1 2 5 0 0 10 7 0 0 14             x = 2 y + z =  4 12.14 y = 2x – 1 z = x 12.15 3x + z = 3  9  3a + 2  a = 3 8 = 4a  a = 2 x z 5 2a x z 1         2x = 6  2ª X = 3  a z = x  1  z = 2  a 12.16

2x 2y 12 2y 2z 14 2x 2w 18     _{ }   _{ }   2x + 2y + 2z + 2w = 32 12.17 x 2y 5 2x 4y 10        (x + 2y = 5)  2 = 2x + 4y = 10 12.18 3x 2y 10 (2) 6x 4y 18     _{ }  · 12.19 x reais G m x 2 000 m T x 4 000 G T x 700         _     _ = 2G + 2m + 2T = 3x + 1 300 G + m + T = x 1 700 3x 1 300 = 2x + 3 400 x = 2 100 reais. 12.20

x

y

z

10

3x

y

4z

8

5x

3y

6z

28

x

y

z

10

0x

2y

z

22

0x

2y

z

22

x

y

z

10

0x

2y

z

22

0x

0y

0z

0

z

22

2y

x

32 3y

S.P.I

S : (32 3y; y;22

2y)

  





_{ }

_





_

_

_



  





_

_{ }





_

_{ }



  





_

_{ }





_

_

_















12.21

x

2y

3z

0

2x

5y

7z

1

x

y

2z

3

x

2y

3z

0

0x

y

z

1

0x

y

z

3

x

2y

3z

0

0x

y

z

1

0x

0y

0z

4

S.I











_

_

_



   













_{   }





_{   }













_{   }





_

_

_{ }



MAT 4D AULA 10 10.01

Temos:

x2 _{= 120}2 _{+ 90}2 _{ x}2 _{= 14 400 + 8100} x2 _{= 22 500  x = 150 cm}

Somando as duas pontas com a parte inclinada do corrimão temos 150 cm + 60 cm = 210 cm = 2,10 m 10.02 x2 _{= (40  x)}2 _{+ 20}2 x2 _{= 1 600  80x + x}2 _{+ 400} 80x = 2 000  x = 25 Km 10.03

A mesma distância entre A e G é quando traçamos um segmento no plano, ou seja, planificando o cubo.

 K = 1 2 10.04 x2 _{+ 15}2 _{= 17}2 x2 _{+ 225 = 289} x2 _{= 64  x = 8} 10.05 h2 _{= m  n} 10.06

52 _{= m  13} m = 25 13 h2 ₌ 25 144 15 · 13 h = 5 12 60 13  13 · A = 13 60 13 2 · = 30 10.07 x2 _{= 5 + 3  x = 8  x = 2 2} 10.08 4 + 3 2  4 + 3  1,4 4 + 4,2  8,2 cm 10.09

(10 + x)2 _{= (2 + x)}2 _{+ (9 + x)}2 100 + 20x + x2 _{= 4 + 4x + x}2 _{+ 81 + 18x + x}2 x2 _{+ 2x  15 = 0} x’ =  5 x’’ = 3 10.10 x2 _{+ y}2 _{= (3x)}2 y2 _{= 8x}2 y = 2 2x hip cat = 3x 3 2 4 2 2x  10.11 y2 _{= 3,9}2 _{ 1,5}2 y2 _{= 15,21  2,25} y2 _{= 12,96} y = 3,6 z2 _{= 2,5}2 _{ 1,5}2 z2 _{= 6,25  2,25} z2 _{= 4} z = 2 x = y  z  x = 3,6  2 = 1,6 10.12

b a 11 b a 11         b = 11  a = 0 b2 _{= a}2 _{+ 11}2 b2 _{ a}2 _{= 121  (b + a)(b  a) = 121} ou b a 121 b a 1     _{ }   b = 61  a = 60 Perímetro 11 + 60 + 61 = 132 cm 10.13 (3 + x)2 _{= x}2 _{+ 64} x2 _{+ 6x + 9 = x}2 _{+ 64} 6x = 55 x = 55 6  9,16 chih 10.14

302 _{+ (50  x)}2 _{= 20}2 _{+ x} 300 + 2 500  100x + x2 _{= 400 + x}2 3 000 = 10x  x = 30 10.15 xx' = 16  2,25 = 36 yy’ = 12  2,25 = 27 x2 _{= 36}2 _{+ 27}2 x2 _{= 1 296 + 729} x = 2 025  x = 45 10.16

x2 _{= 130}2 _{ 50}2 x2 _{+ 16 900  2 500} x2 _{= 14 400} x = 120 Vm = Vr  cos 72 = Vr  120 130 Vr = 72 13 12 ·  Vr = 78 Km/h 10.17 z2 _{= 8}2 _{+ x}2 z2_{ x}2 _{= 64} (z + x)(z  x) = 64 z + x = 16 z  x = 4 z = 10 e x = 6 w2 _{= 8}2 _{+ y}2 w2 _{ y}2 _{= 64} (w  y)(w + y) = 64 w + y = 32 w  y = 2 w = 17 e y = 15 64 = 16  4 64 = 32  2

64 = 64  1 e 64 = 8  8  não convem S =



6 15 8



2  · = 84 10.18 1) 2) * h  a = b  c  h = bc a S = p  r a h a b c 2 2    ·  r a  bc a = a + b + c  r  r = bc a b c  10.19

Exercício resolvido no material

10.20

MAT 4D AULA 11 11.01

A área dos dois lotes, em unidades de área é a) 350 b) 380 c) 420 d) 450 e) 480

11.02

Sendo L a medida limite para o lado do quadrado, temos L2 _{= 0,06  5x  10x}

L2 _{= 3x}2

11.03

Ao construirmos qualquer figura com as peças do Tangram todas as áreas serão iguais, portanto para descobrir a área da casa basta saber a área do hexágono.

Se um lado do hexágono é igual a 2cm o seu lado oposto terá o mesmo valor, assim percebemos pela figura que a soma das áreas dos dois triângulos maiores é igual a 4 cm2_{, pois} juntos foram um quadrado de lado 2cm. Comparando com o Trangram original (figura 1) esses dois triângulos maiores correspondem à metade da área total de um Tangram.

Concluímos que a área da casa como de qualquer figura construída com o Tangram obedecendo às regras estabelecidas pelo enunciado será igual a 8cm2_.

d = L 2  4 = L 2  L = 2 2

A = (2 2)2 _{= 8 cm}2

I. Todo quadrado é um retângulo (4 ângulos retos)

II. Todo quadrado é um losango (apresenta 4 lados congruentes) III. Todo losango é um paralelogramo (possui lados opostos paralelos)

IV. Todo paralelogramo é um trapézio (quadrilátero convexo com 2 lados paralelos)

11.05

Como os lados são iguais e perpendiculares entre si, toda diagonal é bissetriz do ângulo formado em cada vértice.

11.06 L2 _{= 80  L 80  L = 4 5} 11.07 ATOTAL = 24 + 6 = 30 cm2 11.08 1 3  _   = 3 4 = 180  = 45o 11.09

P = 2 + 5 + 5 + 7 + 5 = 24 11.10 P = 2 + 5 + 5 + 4 = 16 11.11 b x 180 y 2b 180       _ x  y = b 11.12

Base do quadrado menor = x  2 Base do quadrado médio = x Base do quadrado maior = x + 2 x + 2 = y + 4  y = x  2

(x  2)2 _{+ (x + 2)}2 _{+ x}2 _{= 83} x2_{ 4x + 4 + x}2 _{+ 4x + 4 + x}2 _{= 83} 3x2 _{+ 8 = 83} 3x2 _{= 75} x2 _{= 25  x = 5} 11.13 B b B b 2 2  _  = 12 2B 2 = 12  B = 12 B b = 2  12 b = 2  b = 6 11.14



6 3



3 ₂₇ 2 2 4   cm2 11.15

(15 + 18)  (15 + 17) 33  32 = 1 056

11.16

a = 3  3,6 + 7,2 a = 18 cm

4x + 2a = 36 4x + 2y = 36 4(2y) + 2y = 36 10y = 36 y = 3,6 x = 2  3,6  x = 7,2 x = y + 2b cos 60o ₌ b y = 1 2 b = y 2 x = y + 2 y 2  x = 2y 11.17 sen 60o ₌ h 12 3 h 2 12  h = 6 3 L = R

12  6 3 = 18 6  x 72 2 18 6 = x 4 2 2 · 2 = x x = 2 2 11.18

01 – FALSO – Em um quadrilátero convexo, a soma dos ângulos internos é sempre 360º ;

02 – VERDADEIRO - a = r, então, o perímetro será igual a 5r;

04 – VERDADEIRO – A área do trapézio corresponde a área de 3 triângulos equiláteros

iguais de lado r, então:

2

r

3

Área

3

4

 

08 – VERDADEIRO

16 – VERDADEIRO – os ângulos da base maior medem 60º

SOMA = 30

11.19

exercício resolvido no material

exercício resolvido no material MAT 4D AULA 12 12.01 Distância Q e C = 2 R 2  _{ 3,14  6 370  20 001,8} Vm = d t 800 = 20 001,8 t  t  25 h 12.02 TG: sobra = 4  12 4   TM: sobras = 4  4  2 1 2         4   TP: sobra = 4  16  2 1 4        4  12.03

* Deslocamento do rolo em relação ao solo 2R Y = 4R 12.04

V

( )

C

=

2

p

.10

®

C

=

20

p

cm

F

( )

A

= p

.6

2

®

A

=

36

p

cm

2

F

( )

C

=

50

®

2

p

R

=

50

®

R

=

25

p

cm

V

( )

A

=

36

p ® p

R

2

=

36

p ®

R

=

6cm

12.05 12.06

Inicialmente tem-se:

2

C

2 R

A

R

 

 

 

2 2

C´ 2 .(3R)

C´ 3.2 R

C´ 3C

A´

3R

A´ 9 R

A´ 9.A

 







 

 



ALTERNATIVA D

12.07 S = (62 _{ 4}2_{) } S = 20 12.08 4L = 640  L = 160 2R = 628 R = 628 6,28  R = 100 R 100 5 L 160  8 12.09 R = 20 A = 60  120  2  R2 A = 7 200  2  3,14  400 A = 7 200  2 512 A = 4 688 cm2 _{= 0,48 m}2 12.10

R ou 2R 12.11 Ac = R2 As = (2R)2 _{ R}2 _{= 4R}2 _R2





2 2 R 4 R 4  _      12.12 R2 _{= 400} R = 20  1,15  R’ = 23  R2 _{= 529} 400 100% 120 x     x = 32,25% 12.13

 

2 Setor o 2 o 2 2 o 2

Área

R

360

Setor Círculo Menor(Área

a)

a

4

R

4

360

R

1440

Setor Círculo Maior(Área

A)

2

A

3R

360

1

A

R

80

1

A

1440

80

A

18





 







 













  



 







12.14 (R + r)2 _{= R}2 _{+ (2R  r)}2

R2 _{+ 2Rr + r}2 _{= R}2 _{+ 4R}2 _{ 4Rr + r}2 4R2 _{= 6Rr} 4R = 6r R 6 3 r  4  2 12.15 A1 = A2 + A3 y + T + x = w + y + z + x T = W + z 12.16 2R2 _{= 5}2 _{ R =} 5 2 2 Ao = 2 5 2 2           Ao = 25 2 4 ·  Ao = 25 2 

12.17 AD = 5 BC  5 = 4  3  BC = 12 5 * 42 _{= 5  AC  AC =} 16 5 * 32 _{= 5  CD  CD =} 9 5 2 2 2 1 5 16 9 - - 2 2 10 10 _{     }     _{     }            · · · 2   (6,25  2,56  0,81) 2,88 2  _{= 1,44} 12.18 R2 _{= (R  1)}2 _{+ ( 3)}2 2R = 4  R = 2 sen  = 3 2  = 60o S = 120 360   R2

S = 4

3



12.19

Exercício resolvido no material

12.20

Exercício resolvido no material

MAT 4E AULA 10

10.01

sen 75º = sen(30 + 45)

sen 75º = sen30o_{ cos45}o _{+ sen40}o_{ cos30}o

sen 75º = 1 2 2 3 2 · 2  2 · 2

sen 75º = 2 6

4

10.02

(F) cos (27º + 12º) = cos 27º  cos 12º + sen 27º  sen 12º (V)

(V)

(F) cos (2x – x) = cos 2x  cos x + sen 2x  sen x

10.03 tg( + ) = 2 4 6 1 2 4 7  _   · 10.04

m = sen 90º  cos x +  cos 90º m = cosx

10.05

y = sen  cos x + sen x  cos  + cos

2  _{ cos x +sen} 2  _{ sen x} y = sen x + sen x  y = 0 10.06

cos cosx  sen senx  2(cos2 sen2  senx)

cosx  2cosx  3cosx

10.07

sen x  cos 45o _{+ sen 45}o_{ cos x + sen x  cos 45}o_{ sen 45}o_{ cos x}

2 sem x  2

10.08

sen105

o

=

sen(45

o

+

60

o

)

sen105

o

=

_sen45

o

_{cos 60}

o

+

_sen60

o

_{cos 45}

o

sen105

o

=

2

2

×

1

2

+

3

2

×

2

2

sen105

o

=

₂

×

1

4

+

3

4

æ

è

ç

ö

ø

÷

sen105

o

=

2 1

( )

+

3

4

ALTERNATIVA E

10.09

sen x  cos2 _{y  sen y  cos x  cos y + cos x  cos y + sen x sen}2 _y sen x 10.10 tg(45  30)  tg45o _o tg30o _o 1 tg30 tg45   · 3 1 3 3 1 3   









3 3 3 3 3 3 3 3    ·  9 6 3 3 9 3     12 6 3 6  = 2  3 10.11

2  sen b  cos a + 2  sen a  cos b 2(sen  (a + b))

10.12 1, 4 2 = 0,7 45o ₌ 30o 60o 1 3 2 4  _  _ 2,7 4 = 0,6

sen 45o = sen30o sen60o 2  = 1 3 2 2 2  10.13

sen x  sen y + cos x  cos y cos(x + y)  cos 3  ₌ 1 2 10.14 tg = 0,5 5 1 10 100  20 tg( + ) = 2,5 25 1 10 100  4 1 tg tg tg ₂₀ 1 1 1 tg tg _{1 tg} 4 20         ·  _{ · } 1 5 + 4tg = 1  1 20  tg 4 + 80tg = 20  tg 81tg = 16 tg = 16 81

10.15 4  30º  15º = 105º cos 105o _{= cos(60 + 45)} cos 105º = 1 2 2 · 2  3 2 2 · 2 cos 105o ₌



2 - 6



4 10.16 * sec2 _{x = 1 + tg}2_{x  1 + 25  secx = 26} * sec2 _{y = 1 + tg}2_{y  1  2  secy = 2} * sen2 _{x = 1  cos}2_{x  1 } 1 26 = 25 26  senx = 5 26 * sen2 _{y = 1  cos}2_{y  1 } 1 2 = 1 2  seny = 1 2 sec(x  y) =



1



1 1 1 5 1 cos x y 26 2 26 2   _{·  ·} sec(x  y) = 1 2 13 13 6 6 3 4 13·   tg(x  y) = 5 1 4 2 1 5 6 3  _{ }  sec2_{(x  y) = 1 +} 4 9 = 13 9 sec(x  y) = 13 3

10.17 tg15o ₌ 11,7 x  tg(60o 45o) = 11,7 x 3 1 4 2 3 11,7 = 2- 3 = 2 x 1 3     x = 11,7 = 11,7 0,3 2 3 = 39 m 10.18

(sena  cosb + senb  cosa)(sena  cosb  senb  cosa) sen2_{a  cos}2_{b  senb}2 _{ cos}2_a

(1  cos2_{a)  cos}2_{b  sen}2_{b  cos}2_a cos2_{b  cos}2_a(cos2_{b + sen}2_b) cos2_{b  cos}2_a 10.19 cos =  4 5 e cos =  3 5 sen  cos + sen  cos

3 3 4 4 5 5 5 5 _ _ _          · · 9 16 25 25     _{ }   = 1 10.20







 





 







2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x

y

3

cos x

y

cos

3

1

cos x cos y

senxseny

2

E

senx

seny

cos x

cos y

E

sen x

2senxseny

sen y

cos x

2cos x cos y

cos y

E

sen x

cos x

sen y

cos y

2 cos x cos y

senxseny

1

E

1 1 2

2

E

3



 











































   



MAT 4E AULA 11 11.01

sen(4x)

sen(2.2x)

sen(4x)

2.sen(2x)cos(2x)





ALTERNATIVA B

11.02 tg2A = 2 tgA₂ 1 tg A ·  tg2A = 2 10 1 100 · tg2A = 20 99  11.03

( F ) Não é soma dos quadrados, é a diferença;

( V )

( V )

( V )

( V )

11.04 2  sen  cos  2kp 11.05 cos2_{ sen}2_{ p}2_{ k}2 11.06 2 2 2 2 2 2 2 2

cos(2x)

cos x

sen x

cos(2x)

(1 sen x) sen x

cos(2x)

1 2sen x

cos(2x)

cos x (1 cos x)

cos(2x)

2cos x 1





 



 



 





( V )

( V )

( V )

( F )

( F )

11.07 cos20 = 1  2  sen2_{ 1  2 } 3 36 cos20 = 1  1 5 6  6 11.08 y = sen(2 22 30')o 2 ·  sen45 2

y = 2

4

11.09

2 2 2 2

cos sen cos sen

17 17 17 17    _       _     _ _ _ _  _ _{ } _   ·   1  cos 2 17        = cos 2 17        11.10

m = 2senA  cosA  2senA  cosA m = 2senA  (1  cos2_A) m = 2senA  sen2_A m = 2  sen3_{A = 2 } 3 2 10       = 16  10 3_{ 1,6  10}2 11.11 cos(2x) = 2  cos2x  1 cos(2x) = 2  9 16  1  9 8  1 cos(2x) = 1 8 11.12

sen2_{a  2sena  cosa + cos}2_{a =} 9

25

1  9

25 = 2  sena  cosa 16

11.13

(cos2_{x + sen}2_{x)  (cos}2_{x  sen}2_{x)  1  cos2x}

11.14

y = sen2₇₅o_{ 2sen75}o_{ cos75}o _{+ cos}2₇₅o y = 1  sen(2  75o_{)  1  sen150}o y = 1  sen30o_{ 1 } 1 2 y = 1 2 11.15 2 2 x x 2sen cos 2 2 x x cos sen 2 2              _           = x sen 2 2 1      ·  _{ senx} 11.16 tg2 = 2 3 1 3 · =  3 tg =  3 11.17 MQ = cos x senx cos x senx     

   cosx  senx + cosx  senx

detMQ = 2  senx  cosx detMQ = sem(2x)

11.18 tg(2x) = 5 o o o o tg45 tgx tg45 tgx 1 tg45 tgx 1 tg45 tgx     ·  · = 1 tgx 1 tgx 1 tgx 1 tgx  _    2 2 2 1 2tgx tg x 1 2tgx tg x 1 tg x       = 2 4tgx 1 tg x 2tg(2x) = 2  5 = 10 11.19 y = x x 1 2 sen cos 2 2 1 senx      _{   }      · · y = 1 senx 1 senx   = 1 11.20 E = tg(A  B + B  C) E =

















tg A B tg B C 1 tg A B tg B C      ·  E = 0

MAT 4E AULA 12 12.01 132 _{= 5}2 _{+ x}2 x2 _{= 144  x = 12} tg = 6 5 tg( + ) = 12 5 6 tg ₁₂ 5 6 5 1 tg 5     ·  5tg + 6 = 12  72tg 5  25tg + 72tg = 60  30 tg = 30 97 12.02 AD2 _{= L}2 ₊ L2 4  2 5L 4 AP = L 5 2 cos = L L 5 2  2 5 * 2 +  = 90o