Introdução a Programação Linear. Prof. Dr. João Ferreira Netto

Introdução a Programação Linear

Introdução

 Após a etapa de modelagem matemática, surge a

necessidade de encontrar respostas (soluções) para o modelo matemático construído.

 Em se tratando de um modelo com função objetivo

e restrições lineares, além de variáveis reais não-negativas, teremos um modelo referente a um Problema de Programação Linear (PPL).

 É necessário um método de solução do modelo

Sistemática de Resolução de Problemas de

Pesquisa Operacional

Problema Real Modelo Conceitual Modelo Matemá-tico Solução Feedback Validação Bertrand, Fransoo (2002)

Introdução

 Apesar da diversidade de modelos, quanto à função

objetivo (minimizar ou maximizar) e quanto às restrições (igualdade e desigualdades), bem como quanto às variáveis, iremos trabalhar com uma

forma padrão, para o qual o algoritmo de solução

poderá ser aplicado:

 Função objetivo: minimização  Restrições: igualdade

 Variáveis: não-negativas

Forma Padrão do Problema de

Programação Linear

0 : a sujeito min    x b Ax cx z z Onde:



c₁ c₂  c_n



 c              n x x x  2 1 x              m b b b  2 1 b _{[ ]} ij a  A Vetor linha Vetores colunas Matriz m x n (n≥m)

Soluções Viáveis & Solução Ótima



   0



 x R :Ax b,x

F n Conjunto de soluções viáveis do

problema de programação linear (“feasible set”)

será solução ótima do problema de programação linear na forma padrão se

* x F  * x * cx cx x F  

Equivalência - Restrições de

desigualdade

 Uma restrição do tipo:

é equivalente às restrições:

 Analogamente, uma restrição do tipo:

é equivalente às restrições: i n in i i x a x a x b a_{1 1}  _{2 2}            0 2 2 1 1 i i i n in i i s b s x a x a x a  i n in i i x a x a x b a_{1 1}  _{2 2}            0 2 2 1 1 i i i n in i i s b s x a x a x a 

Variável residual ou de folga

Equivalência - Restrições de

desigualdade

 É interessante notar que:

é equivalente às restrições: i n in i i x a x a x b a_{1 1}  _{2 2}              i n in i i i n in i i b x a x a x a b x a x a x a   2 2 1 1 2 2 1 1

Equivalência - Função Objetivo

Maximização

 Seja: 0 : a sujeito max : P1 Problema    x b Ax cx z z 0 : a sujeito min : P2 Problema     x b Ax cx w w * x

Seja solução ótima do problema P2. Então: P1. de ótima solução é e : Logo . qualquer para * x cx cx* x cx cx*      F

Equivalência - Variáveis irrestritas em

sinal

 Se uma variável de decisão for irrestrita em sinal,

então ela pode ser substituída pelo par de variáveis

 ...tal que: i x   i i x x e 0 , 0 -       i i i i i x x x x x

Exemplo

 Colocar na forma padrão o seguinte PPL:

0 , 18 6 7 2 7 13 3 4 2 29 3 6 5 4 6 6 4 max 3 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1                  x x x x x x x x x x x x x x z 0 , , , , 18 6 7 2 7 2 7 13 3 4 2 2 29 3 6 5 4 4 6 6 4 4 min 6 2 1 1 6 3 2 1 1 5 3 2 1 1 4 3 2 1 1 3 2 1 1                                   x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x w 

Forma Padrão de um Problema de

Programação Linear

n j x m i b x a x c z z j i n j ij j n j j j , , 2 , 1 0 , , 2 , 1 : a sujeito min 1 1       





 

Resolvendo um PPL

 Considere um problema de programação linear com

n variáveis e m equações independentes.

 As seguintes possibilidades poderão acontecer: n =

m, n < m, n > m.

 O caso de interesse em programação linear é

quando n>m.

 Será desenvolvido um procedimento em o sistema

será resolvido para m variáveis dependentes, em função de n-m variáveis independentes.

Resolvendo um PPL

 Quantas formas há de escolher n-m variáveis

independentes dentre n variáveis?

 Exemplo: n = 100; m = 40               m n m n n 28 10 . 4 , 1 40 100 _     

Exemplo

0 , , 18 6 4 6 7 2 7 11 4 2 3 6 23 2 29 4 2 3 6 5 4 2 9 4 6 6 4 min 5 1 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1                         x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z 

 Resolver o sistema abaixo para x₃ , x₄ e x₅ em

função de x₁ e x₂ , aplicando o método de eliminação de Gauss Jordan.

 A regra geral para eliminação de uma dada variável

x_j é:

1. Sendo i a linha em que a variável será mantida

com coeficiente 1, definir como elemento pivô e

para :

2. Para as demais linhas :

a) Para a coluna j:

b) Para as demais colunas

Método de Eliminação de Gauss-Jordan

j x ij a j s  ij i i ij is is a a b b a a'  / ; '  / i r  0  rj a' s j  rj i r r ij rj is rs rs a a b b b a a a a a     ' '

Exemplo

18 6 4 6 7 2 / 7 11 4 2 3 6 / 23 2 29 4 2 3 6 / 5 4 0 2 / 9 4 6 6 4 5 4 3 0 5 4 3 2 1         x x x z z x x x x x

 O elemento pivô será o coeficiente de x₃ na 1ª linha.

Esta variável será eliminada do sistema, aparecendo com valor 0 nas demais linhas.

Exemplo

40 2 8 0 3 / 16 2 / 23 18 0 4 0 3 6 3 / 29 3 / 4 3 / 2 1 18 / 5 3 / 4 58 2 / 7 8 0 3 / 13 12 5 4 3 0 5 4 3 2 1              x x x z z x x x x x

 O elemento pivô será o coeficiente de x₄ na 2ª linha.

Esta variável será eliminada do sistema, aparecendo com valor 0 nas demais linhas.

Exemplo

4 2 0 0 3 / 2 2 / 1 2 / 9 0 1 0 4 / 3 2 / 3 3 / 20 3 / 4 0 1 9 / 7 3 / 1 22 2 / 7 0 0 3 / 5 0 5 4 3 0 5 4 3 2 1          x x x z z x x x x x

 O elemento pivô será o coeficiente de x₅ na 3ª linha.

Esta variável será eliminada do sistema, aparecendo com valor 0 nas demais linhas.

Exemplo

2 1 0 0 3 / 1 4 / 1 2 / 9 0 1 0 4 / 3 2 / 3 4 0 0 1 3 / 1 3 / 2 15 0 0 0 2 / 1 8 / 7 5 4 3 0 5 4 3 2 1        x x x z z x x x x x

 Após a aplicação de Gauss-Jordan, o sistema

Exemplo (todas as possibilidades de fixar 2

variáveis em 0)

x1 x2 x3 x4 x5 sol viável? fo 9,6 13,2 _-6,8 0 0 não 0 2,1818 7,6364 0 6,9546 0 sim 9,2727 4,5 3 0 0 2,125 sim 9,5625 -8 0 9,3333 16,5 0 não 22 3 0 2 0 2,75 sim 12,375 6 0 0 _-4,5 3,5 não 9,75 0 6 2 9 0 sim 12 0 _-6 6 0 4 não 18 0 12 0 13,5 _-2 não 9 0 0 4 4,5 2 sim 15

Exemplo

0 , , 2 3 1 4 1 2 / 9 4 3 2 3 4 3 1 3 2/8 1/2 7 15 min 5 1 5 2 1 4 2 1 3 2 1 2 1               x x x x x x x x x x x x x z 

 Com a aplicação de Gauss-Jordan, o sistema

resultante gerou uma forma canônica, em que as variáveis dependentes aparecem com coeficiente 1 em sua respectiva linha e 0 nas demais; a função objetivo é escrita apenas em função das variáveis independentes.

 Neste caso, foi obtida a seguinte solução:

 Particularmente, fazendo x₁=x₂=0 (variáveis não

básicas), teremos x₃=4, x₄=9/2 e x₅=2 (variáveis básicas).

Exemplo

2 1 2 1 5 2 1 4 2 1 3 2 / 1 8 / 7 15 3 / 1 4 / 1 2 4 / 3 2 / 3 2 / 9 3 / 1 3 / 2 4 x x z x x x x x x x x x            

Exercício

 Vamos fazer uma representação geométrica deste

problema no plano das variáveis independentes.

Representação Geométrica

0 ; 0 2 3 1 4 1 2 3 1 4 1 2 9 4 3 2 3 2 9 4 3 2 3 4 3 1 3 2 4 3 1 3 2 2 1 2 1 5 2 1 2 1 4 2 1 2 1 3 2 1                       x x x x x x x x x x x x x x x x x

 A Woodcarving, Inc. de Giapetto fabrica dois tipos de brinquedos

de madeira: soldados e trens. Um soldado é vendido por US$ 27 e usa US$ 10 em matérias-primas.

 Cada soldado fabricado aumenta os custos variáveis de

mão-de-obra e custos indiretos de Giapetto em US$ 14.

 Um trem é vendido por US$ 21 e usa US$ 9 em matérias-primas.

Cada trem construído aumenta os custos variáveis de mão-de-obra e custos indiretos da Giapetto em US$ 10.

 A fabricação de soldados e trens de madeira requer dois tipos de

mão de obra qualificada: carpintaria e acabamento. Um soldado exige 2 horas de trabalho de acabamento e 1 hora de trabalho de carpintaria. Um trem requer 1 hora de acabamento e 1 hora de trabalho de carpintaria. A cada semana, a Giapetto pode obter toda a matéria-prima necessária, mas apenas 100 horas de acabamento e 80 horas de carpintaria. A demanda por trens é ilimitada, mas no máximo 40 soldados são comprados a cada semana. Giapetto quer maximizar o lucro semanal custos de receita .

 Formule um modelo matemático da situação de Giapetto que

Utilização dos

setores (horas/unidade) Disponibilidade semanal

Soldado Trem

ACABAMENTO 2 1 100 horas

1. Variáveis de decisão 2. Função objetivo Maximizar o lucro semanal do sr. Giapetto max z = 3. Restrições 3.1. Disponibilidade da mão de obra ACABAMENTO: CARPINTARIA: 3.2. Demanda máxima por soldados 3.3. Não negatividade (27‐10‐14)s + (21‐10‐9)t =  3s + 2t 2s + t  100 s + t  80 s  40 s, t  0 s = quantidade de soldados produzidos por semana t = quantidade de trens produzidos por semana

Exemplo

0 , , 18 6 4 6 7 2 7 11 4 2 3 6 23 2 29 4 2 3 6 5 4 2 9 4 6 6 4 min 5 1 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1                         x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z 

 Resolver o sistema abaixo para x₃ , x₄ e x₅ em

função de x₁ e x₂ , aplicando o método de eliminação de Gauss Jordan.

Exemplo

0 , , 2 3 1 4 1 2 / 9 4 3 2 3 4 3 1 3 2/8 1/2 7 15 min 5 1 5 2 1 4 2 1 3 2 1 2 1               x x x x x x x x x x x x x z 

 Com a aplicação de Gauss-Jordan, o sistema

resultante gerou uma forma canônica, em que as variáveis dependentes aparecem com coeficiente 1 em sua respectiva linha e 0 nas demais; a função objetivo é escrita apenas em função das variáveis independentes.

 Neste caso, foi obtida a seguinte solução:

 Particularmente, fazendo x₁=x₂=0 (variáveis não

básicas), teremos x₃=4, x₄=9/2 e x₅=2 (variáveis básicas).

Exemplo

2 1 2 1 5 2 1 4 2 1 3 2 / 1 8 / 7 15 3 / 1 4 / 1 2 4 / 3 2 / 3 2 / 9 3 / 1 3 / 2 4 x x z x x x x x x x x x            

 Vamos fazer uma representação geométrica deste

problema no plano das variáveis independentes.

Representação Geométrica

0 ; 0 2 3 1 4 1 2 3 1 4 1 2 9 4 3 2 3 2 9 4 3 2 3 4 3 1 3 2 4 3 1 3 2 2 1 2 1 5 2 1 2 1 4 2 1 2 1 3 2 1                       x x x x x x x x x x x x x x x x x

Representação

Geométrica

x₂ x₁ J H F E D C B A G I 3/2 x₁ - 3/4 x₂ ≤ 9/2 -1/4 x₁ + 1/3 x₂ ≤ 2 2/3 x₁ + 1/3 x₂ ≤ 4 x₃ = 0 x4 = 0 x5 = 0

Representação

Geométrica

x1 x2 x3 x4 x5 z A 0 0 4 9/2 2 15 B 3 0 2 0 11/4 99/8 C 9/2 3 0 0 51/24 153/16 D 24/11 84/11 0 153/22 0 102/11 E 0 6 2 9 0 12 x1 x2 x3 x4 x5 z F 0 ‐6 6 0 4 18 G 6 0 0 ‐9/2 7/2 39/4 H 48/5 66/5 ‐99/10 0 0 0 I 0 12 0 27/2 ‐2 9 J ‐8 0 28/3 33/2 0 22 Soluções Viáveis Soluções Inviáveis

Representação

Geométrica

x₂ x₁ J H F E D C B A G I E1 E1 E2 x1 x2 x3 x4 x5 z E1 8/7 4 40/21 81/4 20/21 12 E2 16/5 2/5 26/15 0 8/3 12 E 0 6 2 9 0 12 Neste exemplo, cada

vértice possui n-m

variáveis nulas, correspondendo a uma forma canônica

Representação

Geométrica

x₂ x₁ J H F E D C B A G I E1

Exemplo

2 1 0 0 3 / 1 4 / 1 2 / 9 0 1 0 4 / 3 2 / 3 4 0 0 1 3 / 1 3 / 2 15 0 0 0 2 / 1 8 / 7 5 4 3 0 5 4 3 2 1        x x x z z x x x x x

 Será que a solução indicada por esta forma

canônica é ótima?

 Pela análise da função objetivo, se x₁ assumir um

valor positivo, a função z irá variar a uma taxa de -7/8. O mesmo vale para x₂ , cuja função irá variar a uma taxa de -1/2.

 Vamos escolher reescrever a forma canônica em

função de x₁ (a variável com a taxa mais negativa), introduzindo-a na base. Para isso, vamos verificar o impacto que isto gera nas demais variáveis da base.

Exemplo

2 1 1/ 2 8 / 7 15 x x z   

Exemplo

 Sendo um pressuposto que todas as variáveis sejam

não-negativas, vamos verificar o máximo valor que

x₁ poderá assumir sem tornar nenhuma variável negativa.

 O máximo valor que x₁ pode assumir é 3, quando x₄

passa a valer 0. Desta forma, uma nova forma canônica será escrita para x₃ , x₁ e x₅ em função de

x₂ e x₄ (x₄ deixará de ser variável básica, dando lugar a x₁). 5 1 1 5 1 1 4 1 1 3 zera não 4 / 1 2 3 2 / 3 2 / 9 2 / 3 2 / 9 6 3 / 2 4 3 / 2 4 x x x x x x x x x x             

Exemplo

2 1 0 0 3 / 1 4 / 1 2 / 9 0 1 0 4 / 3 2 / 3 4 0 0 1 3 / 1 3 / 2 15 0 0 0 2 / 1 8 / 7 5 4 3 0 5 4 3 2 1        x x x z z x x x x x

 O elemento pivot será o coeficiente de x₁ na 2ª linha

(linha da variável que irá sair). Esta variável será eliminada do sistema, aparecendo com valor 0 nas demais linhas. 15 ; 2 ; 2 / 9 ; 4 ; 0 ; 0 Básica Solução 1 5 4 3 2 1 a       x x x x z x

Exemplo

4 / 11 1 6 / 1 0 24 / 5 0 3 0 3 / 2 0 2 / 1 1 2 0 9 / 4 1 3 / 2 0 8 / 99 0 12 / 7 0 16 / 15 0 5 1 3 0 5 4 3 2 1 x x x z z x x x x x       8 / 99 ; 4 / 11 ; 0 ; 2 ; 0 ; 3 Básica Solução 2 5 4 3 2 1 a       x x x x z x

 A solução não é ótima pois o coeficiente de x₂ na

função objetivo é negativo, indicando que há possibilidade de melhoria.

4 / 11 1 6 / 1 0 24 / 5 0 3 0 3 / 2 0 2 / 1 1 2 0 9 / 4 1 3 / 2 0 8 / 99 0 12 / 7 0 16 / 15 0 5 1 3 0 5 4 3 2 1 x x x z z x x x x x      

Exemplo

 O elemento pivot será o coeficiente de x₂ na 1ª linha

(linha da variável que irá sair). Esta variável será eliminada do sistema, aparecendo com valor 0 nas demais linhas.

Exemplo

24 / 51 1 36 / 11 16 / 5 0 0 2 / 9 0 3 / 1 4 / 3 0 1 3 0 3 / 2 2 / 3 1 0 16 / 153 0 24 / 1 32 / 45 0 0 5 1 2 0 5 4 3 2 1       x x x z z x x x x x 16 / 153 ; 24 / 51 ; 0 ; 0 ; 3 ; 2 / 9 Básica Solução 3 5 4 3 2 1 a       x x x x z x

 A solução não é ótima pois o coeficiente de x₄ na

função objetivo é negativo, indicando que há possibilidade de melhoria.

24 / 51 1 36 / 11 16 / 5 0 0 2 / 9 0 3 / 1 4 / 3 0 1 3 0 3 / 2 2 / 3 1 0 16 / 153 0 24 / 1 32 / 45 0 0 5 1 2 0 5 4 3 2 1       x x x z z x x x x x

Exemplo

 O elemento pivot será o coeficiente de x₅ na 3ª linha

(linha da variável que irá sair). Esta variável será eliminada do sistema, aparecendo com valor 0 nas demais linhas.

Exemplo

22 / 153 11 / 36 1 44 / 45 0 0 11 / 24 11 / 12 0 11 / 12 0 1 11 / 84 11 / 24 0 11 / 9 1 0 11 / 102 22 / 3 0 22 / 30 0 0 4 1 2 0 5 4 3 2 1      x x x z z x x x x x 11 / 102 ; 0 ; 22 / 153 ; 0 ; 11 / 84 ; 11 / 24 Básica Solução 4 5 4 3 2 1 a       x x x x z x

 A solução é ótima pois o coeficiente das variáveis

 Os pontos candidatos a solução ótima são os

pontos extremos do espaço de solução (vértices).

 Cada vértice pode ser representado por uma forma

canônica (há situações em que mais de uma forma canônica representará o mesmo vértice).

 No exemplo introdutório: i) Quantidade de vértices:

; ii) Em cada vértice tem-se

exatamente (n-m=2) variáveis iguais a zero; iii)

Dentre o número total de vértices, foi constatado

que 5 vértices são viáveis e 5 inviáveis.

 Uma possível forma de encontrar a solução ótima

de um PPL pode ser por meio de um procedimento ingênuo com a seguinte estrutura:

1. Enumerar (gerar) todos os vértices.

2. Verificar se a base associada a cada vértice é

viável e comparar o valor da função objetivo com os demais vértices examinados, para identificar o vértice ótimo.

 Este procedimento obrigatoriamente terá que gerar

todos os vértices (mesmo os inviáveis), e somente será capaz de achar a solução ótima no final da análise de todos eles. Isto viabiliza a solução apenas de problemas de pequeno porte.

Resolvendo um PPL

Determinação da Solução Inicial

PPL – Forma Padrão

PPL – Forma Canônica

Escolha de uma base viável Método de Gauss-Jordan

 Seja o problema de programação linear na forma canônica:

Algoritmo Simplex

𝑥 𝑥 … 𝑥 … 𝑥 𝑥 … 𝑥 … 𝑥 𝑧 0 0 0 0 𝑐̄ … 𝑐̄ … 𝑐̄ 𝑧 𝑥 1 0 0 0 𝑎̄ 𝑎̄ 𝑎̄ 𝑏 𝑥 0 1 0 0 𝑎̄ 𝑎̄ 𝑎̄ 𝑏 ⋮ 0 0 ⋮ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑥 0 0 1 0 𝑎̄ 𝑎̄ 𝑎̄ _, 𝑏 ⋮ 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑥 0 0 0 1 𝑎̄ 𝑎̄ 𝑎̄ _, 𝑏 Variáveis básicas (dependentes) Variáveis não-básicas (independentes)

Algoritmo Simplex

 Forma canônica inicial do exemplo introdutório.

𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑧

𝑧 7/8 1/2 0 0 0 15

𝑥 2/3 1/3 1 0 0 4

𝑥 3/2 3/4 0 1 0 9/2

 Forma canônica de um PPL:

Algoritmo Simplex

min 𝑧 𝑧 𝑧 𝑐̄ 𝑥 𝑥 𝑎̄ 𝑥 𝑏 𝑥 𝑎̄ 𝑥 𝑏 ⋱ 𝑥 𝑎̄ 𝑥 𝑏 𝑥 0

1. É dada uma forma canônica viável.

2. Examinar a solução básica atual para verificar se

ela é ótima. Isto consiste em examinar os coeficientes

a) Se não existir 𝑐̅ 0 , a solução básica atual é ótima;

interromper o procedimento;

b) Em caso contrário, ir para o passo 3.

3. Melhoria da solução básica atual

a) Selecionar o mínimo 𝑐̅ 0, isto é, 𝑐̅ min 𝑐̅ 0 . A variável

não básica atual 𝑥 vai ser aumentada a partir de zero, tornando-se básica na próxima solução.

b) Para determinar qual das variáveis básicas atuais irá ceder

lugar, analisar o quociente: min

3. Há duas possibilidades...

a) Existe na coluna de 𝑥 pelo menos um 𝑎 0. A variável

básica na equação de r, 𝑥 vai deixar de ser básica na próxima solução, sendo substituída por 𝑥 .

b) Não existe na coluna de 𝑥 um elemento 𝑎 0 A solução é

ilimitada.

4. Para obter na nova forma canônica, aplicar o

método de Gauss-Jordan de eliminação, tendo como pivô , que está na intersecção da coluna da variável que vai se tornar básica, com a linha da variável que vai deixar de ser básica.

5. Voltar ao passo 2.

Exercícios

Considere o seguinte problema de programação linear:

Exercícios

min 𝑧 4𝑥 6𝑥 6𝑥 4𝑥 9 2 𝑥 4𝑥 5 6 𝑥 3𝑥 2𝑥 4𝑥 29 2𝑥 23 6 𝑥 3𝑥 2𝑥 4𝑥 11 7 2 𝑥 7𝑥 6𝑥 4𝑥 6𝑥 18 𝑥 , … , 𝑥 0

1) Resolver o sistema abaixo para x₁ , x₃ e x₄ em função de x₂ e x₅ , aplicando o método de eliminação de Gauss Jordan. Represente graficamente o problema no plano das variáveis x₂ e x_{5 .}

Exercícios

2) Admita-se conhecido um modelo de programação linear associado a um problema de nutrição. Neste problema de nutrição, deseja-se minimizar o custo de uma dieta diária, partindo-se de uma cesta de 12 alimentos diferentes para atender os requisitos mínimos de 5 nutrientes diferentes. Você espera que a solução ótima venha contemplar o consumo de todos esses alimentos? Justifique.

Exercícios

3) Ao se colocar um problema de programação linear na forma padrão, a variável irrestrita em sinal foi

substituída pela diferença . O problema

foi, a seguir, resolvido pelo algoritmo simplex. É possível que na tabela ótima, as variáveis e

Exercícios

4) Resolva, utilizando o algoritmo simplex, o problema de programação linear abaixo. Quantos vértices ótimos ele possui? Ha alguma solução ótima que não pertença às arestas do poliedro viável? Qual?

max 𝑧 36𝑥 18𝑥 24𝑥 sujeito a restrições

6x 3x 4x 24

6x 12x 4x 48

Exercícios

5) Considere o seguinte problema de programação linear:

Aplique o método simplex para resolvê-lo. A partir da última tabela construa uma solução viável na qual o valor da função objetivo seja menor ou igual a -3500 (na forma padrão de minimização).

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