Sessão Técnica de Sistemas Dinâmicos
Coordenação: Claudio Aguinaldo Buzzi
Programação
Qua 25/04
Qui 26/04
Sex 27/04
14h00-14h20
P. R. Silva
A. J. Santana
T. Carvalho
14h20-14h40
L. F. Martins
T. Ferraiol
T. Rodrigues
14h40-15h00
C. Pessoa
P. H. Baptistelli
P. Cardin
15h00-15h20
W. Pereira
L. G. Oliveira
M. Dumett
Resumos
T´
ıtulo: Structural stability of constrained systems on compact manifold.
Autor:
Paulo Ricardo da Silva.
Resumo:
We consider constrained systems and impasse regular regular
curves on S
2. We study the structural stability and present the Peixoto’s
theorem for constrained systems on S
2.
Moreover we make a global analysis
of the systems
A
(x).˙x = F (x),
x ∈ IR
3,
A ∈ M(3),
F : IR
3→ IR
3in the Poicar´e ball (i.e. in the compactification of IR
3with the sphere S
2of
the infinity)
T´
ıtulo: Folhea¸c˜
oes singulares de dimens˜
ao 2 constru´ıdas a partir de
retratos de fase de campos de vetores.
Autor:
Luciana de F´atima Martins.
Resumo:
Nesta apresenta¸c˜ao exibiremos um m´etodo de constru¸c˜ao de
fo-lhea¸c˜oes singulares no toro s´olido S
1xD
2a partir de campos de vetores X
em D
2dados por seu retrato de fase. Algumas das folhea¸c˜oes s˜ao obtidas
fazendo a suspens˜ao do campo X. Uma tal folhea¸c˜ao F tˆem a propriedade
que as folhas da folhea¸c˜ao de dimens˜ao 1 obtida nos discos Σ = {θ} × D
2fazendo a interse¸c˜ao das folhas de F com Σ s˜ao precisamente as ´orbitas de
X. Reciprocamente, para uma fam´ılia de folhea¸c˜oes singulares em S
1xD
2,
mostramos que as folhea¸c˜oes induzidas nos discos Σ como acima (ou em uma
perturba¸c˜ao do disco) s˜ao orient´aveis e bem caracterizadas.
T´
ıtulo: Ciclicidade de gr´
aficos em do tipo Lips em duas e trˆ
es dimens˜
oes.
Autor:
Claudio Gomes Pessoa.
Resumo:
Nesta apresenta¸c˜ao falaremos dos resultados conhecidos
envol-vendo bifurca¸c˜oes de uma classe de gr´aficos, chamados de lips (i.e. l´abios),
que ocorrem genericamente em fam´ılias infinitamente diferenciaveis a trˆes
parˆametros de campos de vetores em variedades de dimens˜ao dois. Os l´abios
consistem de um conjunto de gr´aficos formados por duas selas-n´o, uma
atra-tora e outra repulsora, conectadas pelas separatrizes dos setores hiperb´olicos
e por ´orbitas comuns aos interiores dos setores nodais das selas-n´o. Tamb´em
discutiresmos as poss´ıveis extens˜oes deste problema para dimens˜ao trˆes.
On the reversible quadratic polynomial vector fields on S
2Claudio Pessoa,
Weber F. Pereira,
Depto de Matem´atica, IBILCE, UNESP, 15054-000, S˜ao Jos´e do Rio Preto, SP
E-mail: pessoa@ibilce.unesp.br, weberf@ibilce.unesp.br
Abstract: In this work, we study a class of quadratic reversible polynomial vector fields on S
2with (3, 2)-type reversibility. We classify all isolated singularities, symmetric and nonsymmetric,
and we prove the nonexistence of limit cycles for this class. Our study provides tools to determine
the phase portrait for these vector fields.
Conjugação topológica de fluxos em sistemas de controle e grupos de
Lie
Alexandre J. Santana (e-mail: ajsantana@uem.br)
Universidade Estadual de Maringá, Maringá, Paraná, Brasil
1
Resumo
Considere dois fluxos Φ e Ψ em espaços topológicos M e N . Num contexto geral, conjugação topológica visa esta-belecer condições para estes fluxos no intuito de encontrar homeomorfismos entre M e N que levam Φ-trajetórias em Ψ-trajetórias, preservando a parametrização pelo tempo. Neste contexto, o principal objeto desta palestra é a conjuga-ção topológica de fluxos. Em particular, nós generalizamos o resultado clássico que, no caso de hiperbolicidade, duas equações diferenciais autônomas lineares são topologicamente conjugadas, se e só se as dimensões dos subespaços está-veis coincidem. Para provar este resultado, a existência de domínios fundamentais homeomorfos, um para cada fluxo, é essencial para construir a conjugação.
Nesta palestra nós primeiro falaremos de fluxos de sistemas de controle afim em Rd, depois de fluxos de campos vetoriais invariantes a esquerda em grupos de Lie.
No caso de sistemas de controle, nós consideramos sistemas da forma
˙ x = A0x + a0+ m X i=1 ui(t)[Aix + ai], u = (u1, ..., um) ∈ U , (1)
onde Ai∈ gl(d, R), ai∈ Rd, e U := {u ∈ L∞(R, Rm), u(t) ∈ U para todo t ∈ R} é o conjunto das funções de controle
adimissíveis com valores no conjunto U ∈ Rm. Nós denotamos as soluções com condição inicial x(0) = x
0 ∈ Rdpor
ψ(t, x0, u), t ∈ R.
O sistema de controle (1), chamado sistema de controle afim, define um sistema dinâmico (ou fluxo) em U × Rdpor
Ψ : R × U × Rd→ U × Rd, Ψ
t(u, x) = (θtu, ψ(t, x, u)), (2)
onde (θtu)(s) := u(t + s), s ∈ R, é o shift em U. De fato, Ψ satisfaz as propriedades de fluxo Ψ0 = id e Ψt+s =
Ψt◦ Ψspara t, s ∈ R. Se U é compacto e convexo, o conjunto U de funções de controle adimissíveis é um espaço
metrizável compacto com a topologia fraco∗ de L∞ e Ψ é um fluxo produto contínuo. Neste trabalho, nós assumimos
que conjugações topológicas de tais fluxos respeitem a estrutura produto; i.e., também para conjugações topológicas nos fibrados vetoriais U × Rd a primeira componente deve ser independente da segunda componente. Com isto nós estudamos, no contexto mais geral de fluxo afim em fibrados vetoriais, a existência de soluções únicas. Como resultados principais desta parte, nós provamos que fluxos lineares são topologicamente conjugados a sua parte linear, com uma hipótese adicional de continuidade. Em particular, usando a classificação de sistemas de controles lineares nós obtemos uma classificação de sistemas de controles afins.
Por fim trataremos de fluxos de campos vetoriais invariantes a esquerda em grupos de Lie. Lembramos que no caso clássico de sistemas dinâmicos, os fluxos são dados por matrizes em gl(d, R). Sabendo que este conjunto é a álgebra de Lie do grupo de Lie Gl(d, R) e sabendo da relação entre elementos hiperbólicos e a decomposição de Iwasawa de grupos de Lie semissimples, é natural pensar no resultado acima no caso de grupos de Lie semissimples. Considerando o grupo de Lie semissimples G, o principal resultado desta parte da palestra estabelece que os fluxos em G de campos nilpotentes ou hiperbólicos são topologicamente conjugados. A técnica usada na demonstração consiste em mostrar a existência de seções transversais em G, associadas a tais campos. Finalmente, nós consideramos o produto semidireto G = H o V , onde H é um grupo de Lie arbitrário e V é isomorfo a Rn. Nós mostramos que a conjugação topológica de fluxos em G, induzidos por elementos (A, b) da álgebra de Lie g = h o V , não depende de b.
Expoentes de Lyapunov para Fibrados Principais e Associados
Thiago Ferraiol (e-mail: tfferraiol@uem.br)
Universidade Estadual de Maringá
Resumo
Nesta apresentação pretendo mostrar uma generalização dos expoentes de Lyapunov de cociclos lineares para uma classe de fluxos em fibrados principais, conforme proposta em [2]. O contexto será o de fluxo de endomorfismos de um G-fibrado principal, onde G é um grupo de Lie semissimples, e de seus fluxos induzidos nos G-fibrados Flag associados. O caso clássico de expoentes em fibrados vetoriais se recupera desta generalização tomando o fluxo induzido no fibrado Flag cuja fibra é o espaço projetivo. Em [3], mostra-se a versão do teorema ergódico multiplicativo para o nosso contexto, além de uma propriedade de estabilidade estrutural a partir da relação entre os espectros de Morse e de Lyapunov.
Além dos resultados já citados acima, pretendo mostrar como essa estabilidade estrutural pode fornecer condições para a regularidade dos expoentes de Lyapunov por pequenas perturbações do fluxo, generalizando, por exemplo, o resultado apresentado em [1], que fornece a analiticidade dos expoentes de Lyapunov para uma classe de fluxos em fibrados vetoriais que deixam um cone invariante.
Palavras-chave: Expoentes de Lyapunov, Fibrados Principais, Fibrados Flag.
Referências
[1] David Ruelle. Analycity Properties of the Characteristic Exponents of Random Matrix Products Advances in Mathe-matics, v.32, p.68-80, 1979.
[2] Lucas Seco and Luiz San Martin. Morse and Lyapunov spectra and dynamics on flag bundles, Ergodic Theory and Dynamical Systems, v.26, p.923-947, 2009.
[3] Luciana Alves and Luiz San Martin. Multiplicative Ergodic Theorem on Flag Bundles for Flows on Principal Bundles of Reductive Lie Groups. Artigo submetido, 2011.
Teoria invariante no estudo de campos de vetores
reversíveis-equivariantes
Patricia Hernandes Baptistelli
Universidade Estadual de Maringá Maringá, PR
phbaptistelli@uem.br
Resumo
A presença de simetrias e antissimetrias em um sistema dinâmico pode levar ao apare-cimento de soluções múltiplas, além de afetar a genericidade da ocorrência de bifurcações locais. Simetrias e antissimetrias em um sistema de equações diferenciais são transformações do retrato de fase que levam trajetórias sobre outras trajetórias, incluindo uma reversão no tempo para as antissimetrias. Quando ambas ocorrem simultaneamente, o sistema é chamado reversível-equivariante e o conjunto Γ de todos estes elementos tem estrutura de grupo. Neste caso, a existência de um homomorfismo σ : Γ → {−1, 1} implica na existência de um subgrupo normal de índice 2, formado apenas pelas simetrias de Γ e denotado por Γ+. Neste trabalho, usamos ferramentas da teoria invariante algébrica para obter a forma
geral de campos de vetores Γ−reversíveis-equivariantes a partir da teoria invariante para Γ+.
Este trabalho foi desenvolvido em colaboração com Miriam Manoel (ICMC/USP).
Expansões Periódicas de Frações Contínuas e Equações Quadráticas
Leonardo G. de Oliveira (leonardogonoli@hotmail.com)
Túlio O. Carvalho (tcarvalho@uel.br)
Departamento de Matemática - Universidade Estadual de Londrina,
CP 6001, Londrina, PR, 86051-990
23 de março de 2012
ResumoNeste artigo, expomos brevemente parte da teoria sobre frações contínuas, estudo que o primeiro autor faz dentro de suas atividades do PICME. Distinguimos o comportamento das expansões em frações contínuas de números racionais e irracionais e suas diferenças quanto à unicidade, por exemplo. A aplicação de Gauss é usada para demonstrar que toda expansão periódica ou pré-periódica representa um número irracional que é raiz de uma equação do segundo grau. Palavras-chave: Frações contínuas, aplicação de Gauss.
1 Introdução
Este estudo se baseou grandemente na monografia [1] e também em [2], onde se pode encontrar as demonstrações dos teoremas que não são apresentadas.
Definição 1. Dado x 2 R, uma sequência de naturais (ak)k 1(finita ou infinita) que satisfaça
x = a0+ 1 a1+ 1 a2+ 1 ... + 1 ak 1+ 1 ak+ 1 ...
é chamada expansão em frações contínuas de x e representada como x = a0+ [a1, a2,· · · , ak 1, ak,· · · ]
Definição 2. Para a0, a1, a2,· · · , an,· · · 2 N, os convergentes
pn
qn, n 2 N da fração contínua são dados por
[a0; a1, a2,· · · , an] = a0+ 1 a1+ 1 a2+ 1 ... + 1 an = pn qn 2 Q .
Quando a0 = 0, escreve-se simplesmente [a1, a2,· · · , an] =
pn
qn. Note que p0
= a0, q0 = 1, p1 = a0a1+ 1e
q1= a1. Convencionamos q 1= 0e p 1= 1. Denominamos cada fração
pk
qk
como convergente de x, enquanto cada ai
é chamado de quociente de x.
O estudo das frações contínuas pode seguir por muitos rumos. Nesse texto veremos como se comportam expansões de racionais e de irracionais e, com o estudo sobre as sequências dos convergentes de expansões em frações contínuas, con-cluiremos que ter expansão periódica ou pré-periódica e ser raiz de uma equação quadrática são condições equivalentes.
