Considerações finais sobre a exploração da tarefa

Por último, os alunos devem, com esta tarefa, estudar a influência que os parâmetros das representações algébricas têm nas representações gráficas de uma família de funções

( )

f x =m x b+ . Partindo de exemplos concretos para os valores dos parâmetros m e b, de-vem descrever o comportamento da representação gráfica da função e referir também algumas propriedades da mesma.

No caso do parâmetro m, por exemplo, os alunos devem observar os três casos possí-veis, em que este toma valores positivos, valores negativos ou o valor zero.

Na discussão dos resultados, o professor pode dar atenção especial ao caso específico em que m=0 pois neste, como já referido nas explorações atrás apresentadas, algumas pro-priedades sofrem grandes alterações. De facto, os alunos podem não dar a devida atenção a esta situação particular ou podem não relacionar o parâmetro m com a inclinação da recta.

Para o estudo da influência do parâmetro b, os alunos devem observar também os três casos possíveis, tal como fizeram anteriormente.

Após a análise dos parâmetros, os alunos devem então fazer algumas reflexões relati-vamente ao papel de cada parâmetro, ao tipo de funções que estes determinam e algumas ca-racterísticas das famílias de funções, como domínio, contradomínio e injectividade.

Na discussão com a turma, o professor deve levar os alunos a notar que algumas con-clusões que fazem nem sempre estão correctas. Neste caso, por exemplo, se a função é cons-tante então não é injectiva.

O professor pode ainda orientar a análise das características gerais desta família de funções e, posteriormente, as especificidades de cada alteração que a mudança de um parâme-tro provoca nas representações gráficas das funções.

Considerações finais sobre a exploração da tarefa

Na discussão com a turma pode ser feito um resumo acerca das propriedades da fun-ção afim considerando os dois parâmetros. Nesta, o professor deve dar atenfun-ção específica às estratégias evidenciadas pelos alunos na exploração da tarefa e aos processos que eles vão evidenciando à medida que se analisam as diversas questões e as suas resoluções.

Neste tipo de tarefas as ideias surgem naturalmente mas nem sempre resultam de um pensamento correcto. Na discussão com a turma, o professor deve levar os alunos a notar que algumas conclusões que fazem nem sempre estão correctas, fazendo com que analisem os erros e aproveitem estas reflexões para esclarecer raciocínios, promover a clareza e o rigor nas representações e nas respostas dadas às questões.

TRANSFORMAÇÕES DE FUNÇÕES

Considere a função real de variável real f x

( )

=x3.

1. Utilizando a calculadora gráfica, visualize a representação gráfica da função e faça um esboço da mesma em papel.

2. Visualize as representações gráficas de funções definidas por expressões do tipo

( )

( )

g x = f x +a, atribuindo a a diferentes valores.

Compare as representações gráficas obtidas. Registe as suas conclusões.

3. Considere a família de funções obtidas a partir da função f através da expressão

( )

(

)

h x = f x b+ , observando a influência do parâmetro b na representação gráfica. Visu-alize as representações gráficas de funções desta família e compare as representações ob-tidas.

Registe as suas conclusões.

4. Visualize as representações gráficas de funções definidas por expressões do tipo

( )

( )

i x =c f x , atribuindo a c:

valores superiores a 1;

valores positivos, mas inferiores a 1;

valores iguais ou inferiores a – 1;

valores negativos, mas superiores a – 1.

Para cada um destes casos, compare as representações gráficas obtidas e registe as suas conclusões.

5. Faça, agora, um estudo semelhante ao anterior, mas considerando a família de funções obtidas a partir de f através da expressão j x

( )

= f k x

( )

. Compare as representações gráficas obtidas e registe as suas conclusões.

Conhecimentos prévios dos alunos

Com o trabalho desenvolvido anteriormente, os alunos devem ser capazes de:

Identificar e relacionar objecto e imagem;

Identificar domínio e contradomínio de uma função;

Observar e interpretar representações gráficas;

Identificar os zeros de uma função a partir da sua representação gráfica;

Fazer um esboço da representação gráfica de uma função.

Aprendizagens visadas

Com o seu trabalho na tarefa Transformações de Funções pretende-se que os alunos desenvolvam a capacidade de analisar representações gráficas de funções cúbicas e a capaci-dade de identificar os efeitos das mudanças de parâmetros nas representações gráficas de fa-mílias de funções.

Em particular os alunos devem ser capazes de:

Observar e interpretar representações gráficas;

Relacionar as representações algébrica e gráfica de uma função e de famílias de funções;

Observar, representar e analisar transformações de uma dada função, nomeada-mente: translações verticais e horizontais, simetrias e dilatações/contracções;

Exprimir processos e ideias matemáticas, oralmente e por escrito;

Formular conjecturas.

Orientações para o professor

1. Indicações gerais

A tarefa foi planificada para noventa minutos (cinquenta minutos para a exploração e quarenta minutos para discussão da tarefa).

Transformações de Funções

Duração Prevista Exploração Apresentação e Discussão de Resultados

90 min 50 min 40 min

Nos primeiros cinquenta minutos pretende-se que os alunos: explorem as representa-ções gráficas de algumas famílias de funrepresenta-ções e façam o estudo de características e proprieda-des das mesmas, com o auxílio da calculadora; analisem propriedaproprieda-des de uma função e as apliquem a outras funções obtidas a partir desta. Durante os quarenta minutos seguintes serão confrontadas e discutidas as ideias e respostas às questões, assim como os processos utiliza-dos pelos alunos.

Nesta tarefa os alunos podem trabalhar aos pares ou em grupos de três elementos e pretende-se que, juntamente com as respostas, elaborem um pequeno relatório da resolução da tarefa.

Assim, esta tarefa permite a identificação de algumas propriedades de uma função e a sua relação com representações gráficas de outras funções obtidas a partir desta. A exploração desta tarefa possibilita ainda o desenvolvimento de diferentes estratégias na resolução das questões que envolvem representações de funções e relações entre as mesmas.

2. Algumas explorações

Através deste conjunto de questões, os alunos devem identificar algumas propriedades partindo da representação gráfica que constroem inicialmente e relacionar funções e as suas representações gráficas com ela, tendo em conta as propriedades das mesmas.

Observando a representação gráfica a partir da calculadora gráfica ou de um programa específico de representação de funções, e respondendo ao pretendido na questão 1, os alunos devem verificar que o domínio da função é
e o seu contradomínio é também o conjunto dos números reais; os alunos podem ainda notar que a origem do referencial é um dos pontos da representação gráfica da função.

Para responderem às questões seguintes, os alunos devem escolher vários valores a atribuir aos parâmetros de modo a identificarem propriedades comuns nas diferentes famílias de funções, observando as alterações nas representações gráficas das novas funções relativa-mente à mudança do parâmetro. Neste processo, devem atribuir a cada um deles diferentes valores e analisar as representações gráficas que resultam da variação do parâmetro em causa.

Assim, na questão 2, os alunos devem fazer um estudo cuidado sobre as representa-ções gráficas de funrepresenta-ções definidas por expressões do tipo g x

( )

= f x

( )

+a, fazendo variar os valores a atribuir ao parâmetro a. Sendo g x

( )

= f x

( )

+a, tem-se g x

( )

= +x3 a. Podem, então, obter-se as seguintes representações gráficas para a com valores positivos iguais ou maiores que 1 e para a com valores positivos menores que 1 (estabelecendo a comparação com a função representada por f x

( )

=x3):

Por outro lado, os alunos devem observar algumas representações gráficas quando atribuem a a valores negativos inferiores ou iguais a −1 e valores negativos superiores a −1:

Representações gráficas de alguns elementos da família de funções

( )

3

g x = +x a, com a>1

Representações gráficas de alguns elementos da família de funções

( )

3

A representação gráfica da função g x

( )

= +x3 a, para a≥1 (respectivamente, 1

a≤ − ), obtém-se a partir da representação gráfica de f x

( )

=x3 fazendo uma translação vertical associada ao vector

( )

0,a , ou seja, de a unidades no sentido ascendente (respectiva-mente, descendente); o mesmo acontece com a representação gráfica da função

( )

3

g x = +x a, para 0< <a 1 (respectivamente, para − < <1 a 0).

Pode então verificar-se que mudanças no parâmetro a de funções do tipo

( )

( )

g x = f x +a afectam as representações gráficas desta família de funções, deslocando-as verticalmente relativamente à função f x

( )

.

Com a exploração da questão 3, os alunos devem estudar as funções obtidas a partir da função f através da expressão h x

( )

= f x b

(

+

)

, observando a influência do parâmetro b. Sendo h x

( )

= f x b

(

+

)

, temos h x

( ) (

= +x b

)

3. Podem então obter-se as seguintes

representa-Representações gráficas de alguns elementos da família de funções

( )

3

g x = +x a, com a< −1

Representações gráficas de alguns elementos da família de funções

( )

3

ções gráficas atribuindo a b valores positivos e valores negativos (estabelecendo a compara-ção com a funcompara-ção representada por f x

( )

=x3):

A representação gráfica da função h x

( ) (

= +x b

)

3, para b>0, obtém-se a partir da re-presentação gráfica de f x

( )

=x3 fazendo uma translação horizontal associada ao vector

(

−b, 0

)

. Por sua vez, a representação gráfica da função h x

( ) (

= +x b

)

3, para b<0, obtém-se a partir da representação gráfica de f x

( )

=x3 fazendo uma translação horizontal associada ao vector

(

−b, 0

)

.

Pode verificar-se que mudanças no parâmetro b de funções do tipo h x

( )

= f x b

(

+

)

afectam as representações gráficas desta família de funções, deslocando-as horizontalmente segundo o vector

(

−b, 0

)

relativamente à função f x

( )

.

O professor deve realçar o facto de que as translações horizontais, ao contrário das verticais, não são intuitivas. Enquanto nas verticais os alunos observam que o valor atribuído

Representações gráficas de alguns elementos da família de funções h x

( ) (

= x b+

)

3, com b>0

Representações gráficas de alguns elementos da família de funções h x

( ) (

= x b+

)

3, com b<0

ao parâmetro influencia a representação gráfica de forma evidente (a variação do parâmetro a implica a translação vertical da representação gráfica associada ao vector

( )

0,a ), nas transla-ções horizontais os alunos devem verificar que a variação do parâmetro b implica a transla-ção horizontal da representatransla-ção gráfica associada ao vector

(

−b, 0

)

.

Relativamente à questão 4, os alunos devem estudar as representações gráficas de fun-ções definidas por expressões do tipo i x

( )

=cf x

( )

, observando a influência do parâmetro c. Sendo i x

( )

=c f x

( )

, temos i x

( )

=c x

( )

3 . Podem então obter-se as seguintes representações gráficas atribuindo ao parâmetro c valores positivos superiores ou iguais a um ou inferiores a um (estabelecendo a comparação com a função representada por f x

( )

=x3):

Através de diversos exemplos, os alunos devem observar que a representação gráfica da função i x

( )

=c x

( )

3 , com c>1, obtém-se a partir da representação gráfica de f x

( )

=x3 dilatando-a na vertical, uma vez que o valor de cada imagem é multiplicado por c. Da mesma forma, e atribuindo valores distintos entre zero e um, a correspondente representação gráfica

Representações gráficas de alguns elementos da família de funções i x

( )

=c x

( )

3 , com c>1

Representações gráficas de alguns elementos da família de funções

( )

( )

3

da função i x

( )

=c x

( )

3 obtém-se a partir da representação gráfica de f x

( )

=x3 contraindo-a na vertical, uma vez que o valor de cada imagem é multiplicado por c.

Tal como sugerido no enunciado, os alunos devem, também, analisar quais as mudan-ças provocadas pelo parâmetro cnas representações gráficas, quando este assume valores negativos. Assim, podem obter-se as seguintes representações gráficas atribuindo ao parâme-tro c valores negativos inferiores ou iguais a um ou superiores a um (estabelecendo a compa-ração com a função representada por f x

( )

=x3):

Os alunos devem observar que: a representação gráfica da função i x

( )

=c x

( )

3 , com 1

c= − , obtém-se a partir da representação gráfica de f x

( )

=x3 por meio de uma simetria relativamente ao eixo Oy; a representação gráfica da função

( )

( )

3

i x =c x , com c< −1, ob-Representações gráficas de alguns elementos da família de

funções _{i x}

( )

=_{c x}

( )

3 _{, com} − < <_{1 c 0}

Representações gráficas de alguns elementos da família de funções _{i x}

( )

=_{c x}

( )

3 _{, com c}< −₁

tém-se a partir da representação gráfica de f x

( )

=x3 por meio de uma simetria relativamente ao eixo Oy, seguida de uma dilatação na vertical.

Da mesma forma, a representação gráfica da função i x

( )

=c x

( )

3 , com − < <1 c 0, ob-tém-se a partir da representação gráfica de f x

( )

=x3 por meio de uma simetria relativamente ao eixo Oy, seguida de uma contracção na vertical.

Na fase de discussão, o professor deve sintetizar os resultados observados anterior-mente: se c >1, a representação gráfica dilata verticalmente; se, por outro lado, c <1, a representação gráfica contrai verticalmente.

Na última questão devem ser analisadas as representações gráficas da família de fun-ções obtidas a partir de f x

( )

=x3 através da expressão j x

( )

= f k x

( )

, observando a influên-cia do parâmetro k. Sendo j x

( )

= f k x

( )

, vem j x

( ) ( )

= k x 3. Tal como na questão anterior, devem ser levados em consideração diferentes valores relativamente ao parâmetro k. Neste caso podem utilizar-se os exemplos já analisados, e os alunos devem observar que mudanças no parâmetro k em funções do tipo j x

( ) ( )

= k x 3 afectam a representação gráfica da mesma, pois: se k >1, a representação gráfica contrai na horizontal, segundo o factor 1

k ; se, por

outro lado, k <1, a representação gráfica dilata na horizontal, segundo o factor 1

k .

Explorações de Alunos

Como referido, nesta tarefa é pedido aos alunos que analisem a representação algébri-ca de uma função cúbialgébri-ca e estudem as representações gráfialgébri-cas de funções definidas por ex-pressões dos tipos g x

( )

= f x

( )

+a, h x

( )

= f x b

(

+

)

, i x

( )

=cf x

( )

e j x

( )

= f k x

( )

, reflec-tindo sobre o papel dos diferentes parâmetros nessas representações.

Na resolução da primeira questão os alunos podem analisar a representação algébrica de uma função cúbica e fazer um esboço da sua representação gráfica. Para este esboço, tor-na-se necessário saber diferenciar objecto e imagem e relacionar os dois.

Após o estudo da representação gráfica da função definida por f x

( )

=x3, os alunos devem passar à análise das representações gráficas de funções definidas por expressões do tipo g x

( )

= f x

( )

+a, estudando a influência do parâmetro a . Podem, deste modo, observar quais as mudanças que ocorrem nas representações gráficas, no que respeita, por exemplo, à intersecção da representação gráfica com os eixos e às transformações geométricas ocorridas relativamente à função inicial.

No tocante à intersecção com o eixo Oy, podem surgir respostas como as que se apre-sentam:

Na discussão global na turma, o professor pode enfatizar as consequências que as alte-rações do parâmetro provocam nas representações gráficas, ao nível da ordenada na origem.

Quanto ao estudo das transformações geométricas observadas na representação gráfica associada aos vários valores concretos de a , os alunos podem apresentar alguns casos e re-flectir em torno das suas explorações, exprimindo as suas intuições e conjecturas. Por vezes, a generalização pode surgir de modo precipitado, pela simples observação de um exemplo:

Para além de observarem que a ordenada na origem se altera, os alunos verificam que a representação gráfica da nova função resulta de uma translação vertical associada ao vector

No caso especifico em que a=0, o professor pode informar os alunos que esta situa-ção é interpretada como sendo a translasitua-ção identidade, ou seja, a associada ao vector

( )

0, 0 :

Relativamente à análise das representações gráficas de funções definidas por expres-sões do tipo h x

( )

= f x b

(

+

)

, a questão deve levar os alunos a atribuir vários valores concre-tos a b e observar quais as mudanças que ocorrem nas representações gráficas.

Neste caso, os alunos afirmam que a representação gráfica da nova função sofre uma translação horizontal, mas não identificam o vector que lhe está associada, dando a resposta correcta em linguagem natural.

Com alguma frequência, como indicado na figura seguinte, os alunos reconhecem a translação horizontal, mas identificam incorrectamente o vector que lhe está associado:

No caso especifico em que b=0, de modo análogo ao anteriormente referido, o pro-fessor deve esclarecer os alunos que pode ocorrer uma translação da representação gráfica relativamente à função inicial, a translação identidade, ou seja, segundo o vector

( )

0, 0 .

Como referido atrás, é importante que o professor realce o facto de que as translações horizontais não são observadas de forma intuitiva, pois a soma de um valor bimplica a trans-lação horizontal da representação gráfica associada ao vector

(

−b, 0

)

.

Segue-se a análise das representações gráficas de funções definidas por expressões do tipo i x

( )

=cf x

( )

, comparando-as e reflectindo sobre a influência de c nessas representações. Neste caso, são ainda dadas algumas referências de apoio (valores a atribuir ao parâmetro), de forma a orientar o trabalho e as reflexões dos alunos. As referências são:

• Atribuir a c valores positivos (menores e maiores que 1, respectivamente):

A par da análise das representações gráficas, os alunos apresentam as conclusões que vão tirando ao longo das suas explorações, como mostram os exemplos que se seguem:

Nas conclusões apresentadas, os alunos referem-se à “abertura dos gráficos” quando pretendem aludir à dilatação ou contracção da representação relativamente à da função inicial. Na primeira resolução apresentada em cima, referem também “quanto maior é o valor de

c …” quando deveriam indicar “quanto maior é o valor absoluto de c ”. Estes são aspectos

que devem ser debatidos na fase de discussão colectiva.

Para além disso, focam ainda diversos aspectos relacionados com as observações que fazem: quadrantes onde se situam as representações gráficas das funções ou proximidade da representação com o eixo Oy.

Por último, os alunos devem fazer uma análise das representações gráficas de funções

( )

=

( )

vando quais as mudanças que ocorrem nas representações gráficas. Neste caso, são também dadas as referências de apoio à exploração para orientar o trabalho e as reflexões dos alunos. As referências são:

• Atribuir a k valores positivos, menores e maiores que 1, respectivamente:

• Atribuir a k valores negativos, inferiores e superiores a −1, respectivamente:

A partir das explorações realizadas, os alunos podem retirar algumas conclusões:

Nas situações apresentadas, os alunos associaram as representações obtidas nesta fa-mília de funções com as últimas que haviam observado (do tipo

( )

( )

3

função de referência f x

( )

= x3, estabelecendo as analogias possíveis. Concluem, ainda, que as transformações nas representações gráficas das funções do tipo j x

( ) ( )

= k x 3 são seme-lhantes às das funções do tipo i x

( )

=c x

( )

3 , pois a única diferença é que “o valor de k tam-bém é elevado ao cubo”.

Nalgumas situações, retiram outro tipo de conclusões, como é o caso dos quadrantes onde se situam as representações gráficas e a maior ou menor “abertura da função”.

Considerações finais sobre a exploração da tarefa

Na fase de discussão colectiva, o professor deve dar atenção específica às estratégias evidenciadas pelos alunos na resolução da tarefa, aos processos que vão utilizando à medida que exploram e analisam as diversas questões propostas e às conclusões que retiram, pois es-tas podem não estar correces-tas.

Como curiosidade, e no sentido de relacionar as questões 4 e 5 da tarefa, o professor pode discutir com os alunos qual o tipo de simetria que se observa, em relação à representa-ção gráfica f x

( )

=x3, quando:

• na família de funções do tipo i x

( )

=c f

( )

x =c x

( )

3 , atribuímos a c o valor −1, ou

• na família de funções do tipo j x

( )

= f

( ) ( )

k x = k x 3, atribuímos a k o valor −1. De facto, as representações analíticas são equivalentes (− = −x3

( )

x 3), logo as repre-sentações gráficas coincidem. No entanto, no primeiro caso, deve ser evidenciada a simetria das representações gráficas, em relação ao eixo Oy; já na segunda situação, deve identifi-car-se a simetria em relação ao eixo Ox.

DE QUEM É A RESPONSABILIDADE?

O ponta de lança da selecção nacional “cortou” uma jogada da defesa, fazendo um “chapéu” ao guarda-redes da equipa adversária e colocando a bola na baliza, mesmo junto à linha. Este golo foi decisivo, já que foi o único do jogo!

Depois dos noventa minutos, houve um debate acalorado nas bancadas da equipa que perdeu, sobre a responsabilidade deste golo: teria o guarda-redes hipótese de saltar e apanhar a bola ou deveriam os defesas ter feito um

melhor trabalho?

O Hugo, que tinha assistido ao jogo, fez aos amigos o seguinte esclarecimento da jo-gada que terminou em golo:

Passados t segundos do pontapé na bola, esta encontrava-se à altura h (em metros) do solo, sendo

( )

1 2

10 5 2

h t = + t− t .

Com base nas palavras do Hugo, responda às questões que se seguem: 1. Quando t=0, então

( )

1

2

h t = . No contexto deste problema, qual é o significado deste valor?

2. Determine t quando h t

( )

>2,3 e descreva o significado dos valores que encontrou para t .

3. Quanto tempo decorreu, após o pontapé, até que a bola atingiu o solo? (Apresente o valor exacto ou um valor arredondado às centésimas).

4. Recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora, procure responder à seguinte questão:

Estando o guarda-redes por baixo da bola no instante em que esta atingiu a altura máxima, conseguiria ele apanhá-la com um salto?

Apresente, na sua resposta:

•a representação gráfica da função, ajustada ao contexto, na qual deve estar devida-mente assinalado o ponto necessário à resolução do problema;

•as coordenadas do(s) ponto(s) relevantes;

Conhecimentos prévios dos alunos

Com o trabalho desenvolvido anteriormente, os alunos devem ser capazes de:

Identificar e relacionar objecto e imagem;

Identificar domínio e contradomínio de uma função;

Observar e interpretar representações gráficas e algébricas de uma função qua-drática em contextos adaptados de situações do dia-a-dia;

Relacionar as representações algébrica e gráfica de uma função quadrática;

Determinar o vértice de uma parábola;

Determinar os zeros de uma função a partir da sua representação algébrica;

Exprimir processos e ideias matemáticas, oralmente e por escrito.

Aprendizagens visadas

Com o seu trabalho na tarefa De Quem é a Responsabilidade?, pretende-se que os alunos desenvolvam a capacidade de enquadrar o modelo matemático referido na tarefa, no contexto em que este foi proposto, de forma a dar significado ao mesmo e responder às questões.

Trata-se de um problema adaptado de uma situação quotidiana e pode ser resol-vido na aula ou enquadrado numa ficha para avaliação. Como tal, pretende-se que os alunos interpretem os dados do enunciado e respondam às questões que são propostas, com base nas aprendizagens feitas ao longo do estudo das funções quadráticas.

Orientações para o professor

1. Indicações gerais

A tarefa foi planificada para quarenta minutos (vinte minutos para a resolução e vinte minutos para discussão da tarefa).

De Quem é a Responsabilidade?

Duração Prevista Exploração Apresentação e Discussão de Resultados

Nos primeiros vinte minutos pretende-se que os alunos interpretem os dados do enunciado e respondam às questões que são propostas, com base nas aprendizagens fei-tas ao longo do estudo das funções quadráticas. Durante os vinte minutos posteriores (não seguidos, no caso de uma ficha de avaliação) são confrontadas e discutidas as idei-as e respostidei-as às questões, idei-assim como os processos mentais utilizados pelos alunos.

2. Algumas explorações

Através do primeiro conjunto de questões, os alunos podem desenvolver a capa-cidade de analisar um contexto semi-real, observando e interpretando a representação algébrica que é indicada. Os estudantes devem verificar inicialmente que o modelo ma-temático que ilustra a situação apresentada é

( )

1 10 5 2

2

h t = + t− t , sendo t o tempo de-corrido (em segundos) após o pontapé na bola e h a altura (em metros) desta relativa-mente ao solo.

No contexto mencionado no problema, ou seja, em que o ponta de lança fez um “chapéu” ao guarda-redes da equipa adversária, o valor 1

2

h= no instante inicial signi-fica que a bola se encontrava a meio metro do chão quando o jogador avançado a ponta-peou.

Com a segunda questão do problema, os alunos devem determinar t quando

( )

2,3

h t > , ou seja, resolver a correspondente inequação de segundo grau e descrever o significado dos valores encontrados para t .

A determinação analítica dos valores de t que verificam a condição h t

( )

=2,3 conduz-nos aos valores 1 9

5 5

t = ∨ =t e, por observação da representação gráfica da função h, que serve de modelo à situação descrita, pode concluir-se que h t

( )

>2,3 para 1 9,

5 5 t∈_ _

 . Neste contexto, o intervalo de tempo obtido significa que 0,2

segun-dos depois de pontapeada, a bola encontrava-se a 2,3 metros do solo, em subida, e 1,8 segundos depois de lançada, a mesma estava a descer e a uma altura de 2,3 metros do solo.

Na terceira questão os alunos devem descobrir quanto tempo decorreu até que a bola atingiu o solo. Neste caso, antes de efectuarem os cálculos, têm que notar que quando a bola atinge o solo encontra-se a zero metros do chão e, portanto, o valor a atribuir a h, no modelo definido pelo enunciado, é zero. Em seguida, devem determinar o valor de t que satisfaz a equação e o problema. Assim, resolvendo a equação obtida, vem: 2 1 110 110 0 10 5 1 1 2 t t t 10 t 10 = + − ⇔ = − ∨ = + 110 110 1 ,1 10 10 S= − +     

Como t tem de ser positivo no contexto considerado (trata-se do tempo decorri-do), apenas pode ser considerada a solução 1 110

10

t = + , ou seja, 1 110 10

+ segundos após o pontapé a bola atinge o solo. Considerando um valor arredondado às centésimas, como pedido no enunciado, temos: 1 110 2, 05

10

t = + ≈ . Assim, 2,05 segundos após o pontapé a bola atinge o solo.

Por último, depois de fazerem a interpretação do problema e resolução das ques-tões através da representação algébrica, os alunos devem recorrer à calculadora gráfica para representar o modelo matemático que traduz o problema:

Utilizando as potencialidades da calculadora (representação gráfica, tabela, e as várias funções do menu de cálculo) os alunos podem verificar que a bola atinge a altura máxima um segundo após o seu lançamento, que é de 5,5 metros.

Para confirmar este resultado por processos analíticos, é necessário determinar as coordenadas do vértice da parábola correspondente ao modelo, podendo para tal re-correr a diferentes estratégias. Uma delas é o rere-correr à tabela e encontrar as abcissas de dois pontos com a mesma ordenada, calcular a abcissa do vértice e determinar a respec-tiva ordenada, verificando que um dos pontos relevantes é

(

1; 5,5 . Para tal, podem ser

)

utilizados, por exemplo, os zeros determinados na questão anterior: (sendo

10 1 0 10 h_ − _=   ; 10 1 0 10 h_ + _=

  , a abcissa do vértice da parábola pode ser obtida por

10 10 1 1 10 10 1 2 V x     − + +        

= = ; para determinar a altura, basta calcular h

( )

1 ).

Assim, pode-se concluir que, por muito alto que o guarda-redes pudesse ser, e por muito grande que fosse o salto, ele nunca atingiria 5,5 metros de altura, não conse-guindo por isso apanhar a bola. Portanto, pode dizer-se que os jogadores da defesa deve-riam ter feito um melhor trabalho!

Explorações de Alunos

Nesta tarefa pretende-se que os alunos interpretem uma situação concreta à qual se associou um modelo matemático, analisem o modelo, recorram às suas representa-ções gráfica e tabelar, e estabeleçam relarepresenta-ções entre eles de modo a responder às ques-tões formuladas no enunciado.

Na primeira questão, os alunos devem fazer uma análise cuidada da representa-ção algébrica, inserindo-a no contexto do problema. Para tal, podem começar por rela-cionar objecto e imagem e interpretar o seu significado na representação algébrica e no contexto em que esta se enquadra. Neste caso, observam que, no instante inicial, a bola se encontra a meio metro do solo.