Figura 1 - Interface do GeoGebra

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Janela algébrica

Janela de visualização

Entrada de comandos

Barra de ferramentas Barra de menus

O GeoGebra é um software de matemática dinâmica livre. Foi desenvolvido por Markus Hohenwarter e, posteriormente, modificado devido às contribuições de colaboradores do mundo todo. Já foi traduzido para diversos idiomas com o objetivo de aprender e ensinar matemática nas escolas. Ele é livre para ser copiado, distribuído e transmitido para fins não comerciais, podendo ser baixado através do endereço eletrônico http://www.geogebra.org/cms/pt_BR/download/. Há versões disponíveis para Windows, Linux, entre outros. É um software bastante completo, pois permite a visualização da janela algébrica e da janela geométrica simultaneamente. Ele é extremamente didático, apresentando uma interface agradável e de fácil acesso com os comandos e instruções de como utilizá-los. Permite o estudo da geometria, da álgebra e do cálculo.

No site oficial do GeoGebra http://www.geogebra.org, o usuário pode se comunicar com várias pessoas do mundo inteiro, tirando suas dúvidas, postando ideias e sugestões. Nesse fórum existem comunidades de vários idiomas. Além disso, estão disponíveis também tutoriais e materiais compartilhados por pessoas do mundo todo.

Atualmente, há 147 Institutos GeoGebra espalhados por todo o mundo, sendo 6 deles aqui no Brasil. São eles: GeoGeobra Instituto de Fortaleza, GeoGebra Institute of Maringá Paraná, GeoGebra Institute of Rio de Janeiro, GeoGebra Institute of Rio Grande do Norte, Instituto GeoGebra de São Paulo e GeoGebra Institute of Uberlândia.

Nesta seção apresentamos em primeiro lugar, os principais comandos e ferramentas do GeoGebra e, em seguida, atividades de exploração do software. Outras dúvidas podem ser sanadas clicando em “Ajuda” do programa.

Ao abrir o GeoGebra a interface inicial será a seguinte:

Figura 1 - Interface do GeoGebra

Ao se realizar qualquer construção na janela de visualização, utilizando os botões da barra de ferramenta, automaticamente, será exibida a sua representação algébrica na janela de álgebra. No campo de entrada de comandos, também é possível criar objetos digitando a sua expressão algébrica e teclando “enter”, sendo apresentado a sua representação gráfica na janela de visualização.

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A janela de visualização pode ser personalizada conforme as necessidades do usuário. Por exemplo, ao se realizar construções geométricas, os eixos e a malha quadriculada podem ser desativados, caso seja necessário. Para ativar ou desativá-los basta clicar com o botão direito do mouse na janela de visualização e clicar sobre “eixos” ou “malha”, conforme Figura 2. Com esse mesmo comando é possível alterar o zoom e a escala dos eixos X e Y, clicando em “zoom” e “EixoX : Eixo Y”, respectivamente.

Figura 2 - Ativação ou desativação de eixos e malha

A barra de ferramentas é composta por 12 janelas, conforme a Figura 38.

Figura 3 - Barra de Ferramentas

Clicando na setinha que situa-se no canto direito inferior de cada janela, várias ferramentas serão disponibilizadas. A partir desse ponto iremos discorrer brevemente sobre as principais funções de cada ferramenta.

Ferramentas da Janela 1

Clicando em na janela 1, tem-se as seguintes ferramentas:

Botão Nome da Ferramenta Função da Ferramenta

Mover Selecionar, mover, arrastar, apagar e manipular os objetos. Também pode ser acionado teclando “Esc”.

Rotação em Torno de um Ponto

Rotacionar objetos a partir de um ponto. Dica de uso: ângulos.

Gravar para a Planilha de Cálculo

Gravar uma sequência de valores na Folha de Cálculo, quando algum objeto é movimentado.

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Novo Ponto

Criar um novo ponto seja na janela de visualização ou sobre um objeto qualquer, como retas, segmentos, polígonos,

circunferências etc. Ponto em Objeto

Cria um ponto vinculado a um objeto seja em seu interior ou em sua fronteira. Assim, o ponto só poderá ser movido dentro do objeto ou em sua fronteira.

Vincular / Desvincular Ponto

Anexar um ponto a um objeto, tornando-o dependente. Nesse caso, o ponto só poderá ser movido dentro do objeto.

Intersecção de Dois Objetos

Criar um ponto de intersecção entre dois objetos. Para tanto pode-se clicar nos dois objetos ou na intersecção dos mesmos. No primeiro caso, todas as intersecções existentes serão marcadas. No segundo, apenas uma intersecção será marcada.

Ponto Médio ou Centro Criar um ponto médio entre dois pontos ou de um segmento, bem como obter o centro de uma cônica.

Número Complexo Criar um número complexo clicando na janela de visualização.

Reta definida por Dois Pontos

Traçar uma reta a partir de dois pontos ou utilizando a própria ferramenta para criá-los.

Segmento definido por Dois Pontos

Traçar um segmento a partir de dois pontos ou utilizando a própria ferramenta para criá-los.

Segmento com Comprimento Fixo

Criar um segmento com medida definida a partir de um ponto. Ao clicar sobre o ponto de origem uma janela será aberta e digita-se o valor do comprimento desejado.

Semirreta definida por Dois Pontos

Traçar uma semirreta a partir de dois pontos ou utilizando a própria ferramenta para criá-los.

Caminho Poligonal Criar uma linha poligonal selecionando os pontos desejados. Vetor definido por Dois

Pontos

Criar um vetor a partir de dois pontos ou utilizando a própria ferramenta para criá-los.

Vetor a Partir de um Ponto Criar um vetor paralelo a partir de um ponto qualquer. Para tanto, basta clicar sobre o ponto e depois sobre o vetor.

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Reta Perpendicular Traçar uma reta perpendicular clicando em um ponto e depois em uma reta, segmento, semirreta ou vetor.

Reta Paralela Traçar uma reta paralela clicando em um ponto e depois em uma reta, segmento, semirreta ou vetor.

Mediatriz Traçar uma reta perpendicular a um segmento passando pelo seu ponto médio.

Bissetriz Traçar uma bissetriz selecionando três pontos ou um par de retas, semirretas, vetores ou segmentos de reta.

Reta Tangente Traçar uma reta tangente a uma cônica, circunferência ou uma função, a partir de um ponto.

Reta Polar ou Diametral Traçar uma reta polar ou diametral a partir de um ponto ou uma reta.

Reta de Regressão Linear Traçar uma reta que melhor se ajusta a um determinado conjunto de pontos selecionados com o botão “mover”.

Lugar Geométrico Traçar o lugar geométrico de um objeto a partir de um movimento do mesmo.

Polígono

Criar um polígono irregular. Para fechar o polígono, deve-se clicar no ponto inicial, assim ele será criado automaticamente.

Aparecerá o valor da área desse polígono na janela de álgebra. Polígono Regular

Criar um polígono de lados congruentes, criando dois vértices com a própria ferramenta e, em seguida, digitar a quantidade de lados desejados na janela que se abrirá.

Polígono Rígido Criar um polígono irregular rígido, ou seja, que não é possível alterar o tamanho dos seus lados.

Polígono Semideformável

Criar um polígono irregular semideformável, ou seja, é possível alterar o tamanho dos seus lados, somente a partir de alguns vértices.

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Círculo dados Centro e um de seus Pontos

Criar um círculo a partir de um centro e um ponto construídos com a própria ferramenta ou de dois pontos já definidos. Círculo dados Centro e

Raio

Criar um círculo a partir de um ponto e com raio de comprimento determinado.

Compasso Criar um círculo a partir de uma distância definida por dois pontos ou um segmento, determinando assim o raio.

Círculo definido por Três Pontos

Criar um círculo a partir de três pontos já construídos ou utilizando a própria ferramenta.

Semicírculo definido por Dois Pontos

Criar um semicírculo a partir de dois pontos já construídos ou utilizando a própria ferramenta.

Arco Circular dados Centro e Dois Pontos

Criar um arco circular clicando primeiramente no centro e após em dois pontos quaisquer. Para determinar o arco menor é preciso clicar no sentido anti-horário e para o arco maior no sentido horário.

Arco Circular definido por Três Pontos

Criar um arco a partir de três pontos já construídos ou utilizando a própria ferramenta.

Setor Circular dados Centro e Dois Pontos

Criar um setor circular clicando primeiramente no centro e após em dois pontos quaisquer. Para determinar o setor menor é preciso clicar no sentido anti-horário e para o setor maior no sentido horário.

Setor Circular definido por Três Pontos

Criar um setor a partir de três pontos já construídos ou utilizando a própria ferramenta.

Elipse

Criar uma elipse a partir de três pontos (dois focos e um ponto da própria curva) que podem ser construídos com a própria

ferramenta ou através de pontos não colineares já determinados. Hipérbole

Criar uma hipérbole a partir de três pontos (dois focos e um ponto da própria curva) que podem ser construídos com a própria ferramenta ou através de pontos não colineares já determinados. Parábola Criar uma parábola dado um ponto (foco) e uma reta diretriz. Cônica definida por Cinco

Pontos

Criar uma cônica a partir de cinco pontos já determinados ou construídos com a própria ferramenta. O formato da cônica (parábola, elipse ou hipérbole) dependerá da posição dos pontos.

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Ângulo

Marcar e medir ângulos a partir de três pontos, duas retas, duas semirretas, dois segmentos e dois vetores. Para determinar o ângulo maior é preciso clicar no sentido anti-horário e para o ângulo menor no sentido horário.

Ângulo com Amplitude Fixa

Criar um ângulo com medida determinada a partir de dois pontos ou um segmento, digitando-se a amplitude em uma janela que se abrirá automaticamente após a seleção dos pontos ou segmento. Distância, Comprimento

ou Perímetro

Determinar: a distância entre dois pontos, duas retas ou um ponto e uma reta; o comprimento de um segmento; e, o

perímetro de uma circunferência, elipse ou um polígono. O valor aparecerá na janela algébrica e na janela de visualização.

Área Determinar a área de um polígono, circunferência ou elipse. O valor aparecerá na janela algébrica e na janela de visualização. Inclinação Determinar a inclinação de uma reta, exibindo um triângulo

retângulo e um valor que representa a tangente do mesmo. Criar Lista Determinar uma lista com os valores de um conjunto de pontos

selecionados com a ferramenta “mover”.

Reflexão em Relação a uma Reta

Construir a reflexão de um objeto qualquer em relação a uma reta.

Reflexão em Relação a um Ponto

Construir a reflexão de um objeto qualquer em relação a um ponto.

Reflexão em Relação a um Círculo (Inversão)

Construir a reflexão de um objeto qualquer em relação a uma circunferência.

Rotação em Torno de um Ponto por um Ângulo

Rotacionar um objeto a partir de um ponto e um ângulo que deve ser digitado em uma janela que se abre automaticamente após o clique sobre o ponto que se deseja realizar a rotação.

Translação por um Vetor Transladar um objeto a partir de um vetor já construído. Homotetia dados Centro e

Razão

Construir um objeto ampliado ou reduzido a partir de um ponto e um fator que deve ser digitado após selecionar o objeto e o centro da homotetia.

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Inserir Texto

Inserir texto estático (não depende de nenhuma construção), dinâmico (é vinculado a um objeto sofrendo alterações quando os mesmos são manipulados) ou em LaTeX (pode inserir textos simples estáticos ou dinâmicos e fórmulas).

Inserir Imagem Inserir uma imagem nos formatos png, jpeg, gif ou tif. Caneta Escrever ou desenhar à mão livre na janela de visualização. Função à Mão Livre Desenhar uma função ou um objeto geométrico à mão livre. Relação entre Dois Objetos

Determinar a relação entre dois objetos mostrando o resultado em janela que se abre automaticamente após a seleção dos objetos e da ferramenta.

Calculadora de Probabilidades

Calcular probabilidades e realizar distribuição estatística.

Inspetor de Funções Inspecionar funções em um determinado intervalo, explicitando os valores de máximo e mínimo, raízes, comprimento, área etc.

Controle Deslizante

Modificar, manualmente ou automaticamente, o valor de ângulos e números, através do estabelecimento de um valor máximo, mínimo e seu incremento.

Caixa para Exibir / Esconder Objetos

Exibir ou esconder objetos na janela de visualização a partir da escolha dos mesmos.

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Mover Janela de Visualização

Mover a janela de visualização, ou seja, a área de trabalho e todos os objetos contidos nela.

Ampliar

Ampliar a área de trabalho, após clicar em qualquer local da mesma. O mesmo efeito pode acontecer utilizando a barra de rolagem do mouse.

Reduzir

Reduzir a área de trabalho, após clicar em qualquer local da mesma. O mesmo efeito pode acontecer utilizando a barra de rolagem do mouse.

Exibir / Esconder Objeto

Exibir ou esconder objetos clicando-se sobre eles e,

posteriormente, sobre qualquer outra ferramenta. Só então os objetos serão escondidos. Para reexibi-los basta selecionar novamente a ferramenta “exibir/esconder objeto”. Também é possível exibir ou esconder os objetos, clicando-se no botão do mesmo na janela de álgebra.

Exibir / Esconder Rótulo Exibir ou esconder os rótulos dos objetos, clicando sobre eles. Copiar Estilo Visual Copiar o estilo visual dos objetos, ou seja, cor, dimensão, estilo de

reta, tamanho do ponto, espessura da reta etc.

Apagar Objeto Apagar qualquer objeto. Também, pode-se realizar tal ação selecionando o objeto e teclando “delete”.

A barra de menus possui vários itens. Nesse material iremos destacar apenas alguns deles, já que muitos se assemelham à tantos outros softwares.

No menu “Arquivo” é possível:

criar um novo arquivo ou uma nova janela; abrir um novo arquivo ou um arquivo já gravado; abrir páginas da WEB que possuem applets; gravar as construções;

compartilhar um arquivo postando no site oficial do geogebra;

criar Applets utilizando a opção “Planilha Dinâmica como Página WEB (html)...” no item “Exportar”;

copiar a construção para outros softwares clicando em “Copiar para Área de Transferência”.

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No menu “Editar” é possível:

desfazer ou refazer alguma ação incorreta; copiar e colar objetos;

inserir imagem de arquivo ou da área de transferência;

alterar as propriedades dos objetos como cores, espessura das retas etc;

selecionar as construções; inverter as seleções;

exibir / esconder objetos e rótulos; apagar objetos.

No menu “Exibir” é possível:

Ocultar ou exibir a janela de álgebra, a planilha de cálculo, a janela CAS, a janela de visualização, a janela de visualização 2, o protocolo de construção, o teclado virtual, o campo de entrada e o layout para configurações;

Exibir duas janelas de visualização simultaneamente clicando em “janela de visualização 2”;

O protocolo de construção ajuda sobremaneira para acompanhar o desenvolvimento da mesma;

A “Janela CAS” permite realizar cálculos aritméticos (potenciação, fatoração, resolução de equações, derivar ou integrar) utilizando símbolos.

No menu “Opções” é possível:

Escolher no item “Descrições Algébricas”, se a janela algébrica exibirá o valor, a definição ou o comando do objeto criado;

No item “Pontos sobre a malha” configurar a inserção do ponto na malha quadriculada;

Arredondar as casas decimais dos valores numéricos; Configurar os rótulos dos objetos criados;

Modificar o tamanho da fonte dos símbolos, letras e números presentes na janela algébrica, na janela de visualização ou na folha de cálculo;

Alterar o idioma;

Realizar configurações no item “Avançado”.

No menu “Ferramentas” é possível: Configurar a barra de ferramentas;

Criar uma nova ferramenta atendendo aos interesses do usuário; Editar ou excluir a ferramenta criada no item “Gerenciar ferramentas”.

No menu “Ajuda” é possível:

Recorrer à ajuda para tirar dúvidas sobre o GeoGebra; Abrir a página de tutoriais do site oficial do GeoGebra;

Pesquisar materiais já compartilhados no site através do item “GeoGebraTube”; Reportar erro aos criadores do software;

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ATIVIDADE 1: Retas e segmentos

Abra um novo arquivo e salve com o nome “ATIVIDADE 1” dentro da pasta GEOGEBRA que está na área de trabalho. Em seguida, faça o que se pede:

Retire os eixos (clique com o botão direito do mouse na janela de visualização e, em seguida em ).

Trace uma reta qualquer (clique em ).

Renomeie essa reta para “b” (clique com o botão direito do mouse sobre a reta e, em seguida, em ).

Trace um segmento de reta qualquer (clique em ). Nomeie seus pontos para E e F (clique com o botão direito do mouse sobre o segmento de reta e, em seguida, em ).

Modifique a cor do segmento da atividade anterior, aumente a espessura da linha para “7” e escolha a decoração que mais lhe agradar (clique com o botão direito do mouse sobre o segmento e, em

).

Trace um segmento com tamanho fixo de 8 cm e modifique sua cor e sua espessura conforme desejar (clique em ).

Salve todas as suas construções clicando em “Arquivo” e posteriormente em “Gravar”.

ATIVIDADE 2: Retas paralelas, perpendiculares e mediatriz

Trace um segmento de reta AB(clique em ).

Trace uma reta perpendicular a esse segmento passando pelo ponto A (clique em ). Modifique a cor da reta perpendicular para verde.

Insira um ponto C em qualquer parte da janela de visualização (clique em ).

Trace uma reta paralela ao segmento ABpassando pelo ponto C (clique em ). Modifique a cor dessa reta para vermelho.

Confirme a sua construção medindo os ângulos das retas paralelas e da perpendicular (clique em ). Trace uma mediatriz no segmento AB (clique em ). Em seguida, modifique sua cor para azul. Salve todas as suas construções clicando em “Arquivo” e posteriormente em “Gravar”.

ATIVIDADE 3: Triângulo, bissetriz e incentro

Construa um triângulo ABC de qualquer tamanho (clique em ).

Meça os seus ângulos (clique em ). Arraste os valores para dentro do triângulo posicionando-os em frente aos seus referidos ângulos (clique em ).

Modifique as cores dos ângulos colocando cada um de uma cor diferente (clique com o botão direito do mouse em “propriedades”).

Trace as bissetrizes dos ângulos Aˆ, Bˆ e

Cˆ

(clique em ). Marque o incentro, denominando de I (clique em ).

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ATIVIDADE 4: Triângulo, mediana e baricentro

Construa um triângulo ABC de qualquer tamanho (clique em ).

Meça seus lados (clique em ). Arraste os valores para fora do triângulo posicionando-os junto aos seus referidos lados (clique em ).

Trace as suas medianas e nomeie os seus pontos conforme a figura ao lado (clique em e ).

Marque o baricentro, denominando de G (clique em ).

Trace os segmentos AD e

DC

sobre o lado

AC

(clique em ). Em seguida

modifique suas cores e decore-os de maneira a mostrar a sua congruência, conforme a figura abaixo. Faça o mesmo procedimento para todos os outros segmentos congruentes.

Verifique a sua construção, exibindo o valor de cada segmento congruente (clique sobre o segmento na janela de álgebra com o botão direito do mouse, em seguida, clique em e depois em

). Arraste os valores para fora do triângulo, conforme a figura a seguir.

Agora, marque todos os triângulos formados pelas medianas. Em seguida, calcule as suas áreas. O que você observa? Insira uma caixa de texto e escreva a sua observação (clique em ).

Salve todas as suas construções clicando em “Arquivo” e posteriormente em “Gravar”.

ATIVIDADE 5: Circunferência e polígonos

Desenhe um círculo qualquer (clique em ).

Insira um ponto na circunferência (clique em ). Trace o setor menor passando por esse ponto (clique em ).

Meça o ângulo formado por esse setor (clique em ).

Em outro espaço da janela de visualização, construa um pentágono regular (clique em ). Construa uma circunferência circunscrita no pentágono criado (clique em ).

Agora é com você! Utilize os conhecimentos obtidos até o momento e: a. Marque o centro da circunferência;

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ATIVIDADE 6: Função do 2º grau

1ª parte:

Antes de iniciar a construção verifique se os eixos e a malha quadriculada estão ativados. Se não estiver, clique com o botão direito do mouse sobre a janela de visualização e ative-as.

Construa 3 seletores “a”, “b” e “c” (clique em e, após, em qualquer lugar da janela de visualização). Agora, digite no “campo de entrada” a seguinte função y=a*x^2+b*x+c e tecle enter.

Mova o seletor “a” para o lado direito (valores positivos) e observe o que acontece com a parábola (clique primeiramente sobre e depois sobre a bolinha preta no seletor).

Mova o seletor “a” para o lado esquerdo (valores negativos) e observe a posição da parábola. Coloque o seletor “a” sobre o valor 0 (zero) e observe o que acontece com a parábola. Abra uma caixa de texto (clique em e, após, em qualquer lugar da janela de visualização) e responda as questões abaixo. Não se esqueça de colocar o número da questão antes da reposta. Questão 1 – Quando o valor de “a” é positivo o que ocorre com a concavidade da parábola? Questão 2 – Quando o valor de “a” é negativo o que ocorre com a concavidade da parábola? Questão 3 – Quando o valor de “a” é igual a 0 (zero) o que acontece com a parábola? 2ª parte:

Agora, digite no “campo de entrada” (Vértice[d]) e tecle “enter”. Você irá observar que o vértice da parábola irá aparecer na janela de álgebra e um ponto no gráfico. Clique com o botão direito do mouse sobre o ponto que apareceu no gráfico e clique em “Propriedades → ”

Mova o seletor “a” para qualquer valor diferente de 0 (zero).

Coloque seletor “b” sobre o valor 0 (zero) e verifique onde se posicionará o vértice da parábola. Observe o valor do seletor e o valor do vértice no gráfico.

Mova os seletores “a” e “c” e observe novamente.

Abra uma caixa de texto (clique em e, após, em qualquer lugar da janela de visualização) e responda as questões abaixo. Não se esqueça de colocar o número da questão antes da reposta. Questão 4 – Quando o valor de “b” é 0 (zero) onde se posicionará o vértice da parábola?

3ª parte:

Mova os seletores “a” e “b” para qualquer valor diferente de 0 (zero).

Marque a intersecção da parábola com o “eixo y” (clique em e, em seguida, no encontro da parábola com o eixo y).

Clique com o botão direito do mouse sobre o ponto de intersecção e, em seguida, em “propriedades”. No item “Exibir rótulos” clique na seta e escolha a opção “nome & valor”. Feche a janela de

propriedades.

Agora, mova o seletor “c” e observe a relação existente entre o valor do seletor e do ponto de intersecção.

Coloque o seletor “a” no valor 2, o seletor “b” no valor – 3 e o seletor “c” no valor 4.

Abra uma caixa de texto (clique em e, após, em qualquer lugar da janela de visualização) e responda as questões abaixo. Não se esqueça de colocar o número da questão antes da reposta. Questão 5 – Qual a função formada? (Dica: olhe na janela algébrica)

Questão 6 – Observe o ponto de intersecção do gráfico e o valor de “c”. O que você conclui sobre a relação existente entre o valor “c” e o “eixo y”?

4ª parte:

De acordo com as suas observações, complete os espaços abaixo:

Se a > 0 (positivo) então a concavidade da parábola é voltada para ______________ (cima ou baixo). Se a < 0 (negativo) então a concavidade da parábola é voltada para ______________ (cima ou baixo). Se a = 0 o gráfico é uma _________________ (reta ou parábola).

Quando b = 0 o vértice da parábola toca o __________________ (Eixo X ou Eixo Y). A parábola toca o Eixo Y no valor de “a”, “b” ou “c” da função? __________________.

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ATIVIDADE 7: Ângulos formados por duas retas paralelas e

uma transversal

Trace duas retas paralelas e uma transversal passando pelas paralelas;

Marque alguns pontos sobre as retas (conforme a figura ao lado) e meça os ângulos;

Questão 1 - O que você observou sobre as medidas dos ângulos? Pinte os ângulos congruentes com a mesma cor.

Mova as retas e verifique o que acontece com os ângulos.

Questão 2 - Pesquise o nome desses ângulos e estabeleça uma regra para eles.

Utilize a ferramenta “inserir texto” e escreva as suas conclusões para cada questão proposta. Salve o arquivo na área de trabalho com o nome “ângulos formados por paralelas e transversal”.

ATIVIDADE 8: Circunferência

Construa uma circunferência qualquer e uma de suas cordas.

Trace a mediatriz dessa corda. O que você verifica em relação à perpendicular e a circunferência? Enuncie essa propriedade e tente explicar porque isso ocorre.

ATIVIDADE 9: Soma dos ângulos internos do triângulo

Construa um triângulo qualquer. Meça seus ângulos internos.

Utilize a janela de entrada e monte uma expressão para calcular a soma dos ângulos internos.

Movimente um dos vértices do triângulo e verifique o que acontece com a soma dos ângulos internos. Agora, utilizando o GeoGebra mostre porque isso ocorre.

Formalize seu pensamento escrevendo a demonstração na caixa de texto.

ATIVIDADE 10: A reta de Euler

Construa um triângulo qualquer.

Trace as suas alturas e marque o ortocentro, nomeio-o de O. Oculte as retas deixando somente o ponto O do ortocentro.

Trace as medianas e marque o baricentro, nomeio-o de G. Oculte as retas deixando somente o ponto G do baricentro.

Trace as mediatrizes e marque o circuncentro, nomeio-o de H. Oculte as retas deixando somente o ponto H do circuncentro.

Trace uma reta passando pelos pontos O, G e H.

Mova os vértices do triângulo e verifique o que ocorre com os pontos O, G e H. Enuncie uma propriedade para esse fato, escrevendo-a na caixa de texto.

Agora, trace os segmentos

OG

e

GH

e determine a razão entre eles. O que você observou sobre essa razão? Mova os vértices do triângulo e verifique o que ocorre com a razão.

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NÓBRIGA, J. C. C.; LA, L. C. Aprendendo matemática com o GeoGebra. São Paulo: Exato, 2010. REALI, G. A. et al. Ferramentas mediadoras no ensino da matemática: Moodle e GeoGebra a favor do aprendizado de saberes matemáticos. In: CONFERENCIA LATINOAMERICANA DE GEOGEBRA, 1., 2012, Montevideu. ATAS. Conferencia Latinoamericana de GeoGebra, 2012. p. 245 - 251. Disponível em: <http://www.geogebra.org.uy/2012/actas/47.pdf.>. Acesso em: 19 jul. 2013.