Aviso
Este material ´e apenas um resumo de parte do conte´udo da disci-plina.
O material completo a ser estudado encontrase no Cap´ıtulo 7 -Se¸c˜ao 7.3 do livro texto da disciplina:
• N´umeros e Fun¸c˜oes Reais, E. L. Lima, Cole¸c˜ao PROFMAT.
Fun¸
c˜
oes polinomiais: gr´
aficos de polinˆ
omios
Carlos Humberto Soares J´unior
Gr´
aficos de polinˆ
omios
Proposi¸c˜ao
Seja
p(x ) = a0+ a1x + · · · + anxn, com an6= 0.
1 Se n ´e par ent˜ao, para |x | suficientemente grande, p(x ) tem o
mesmo sinal de an;
2 Se n ´e ´ımpar ent˜ao:
a) o sinal de p(x ) ´e igual ao sinal de an, para |x | suficientemente grande com x > 0;
b) o sinal de p(x ) ´e oposto ao sinal de an, para |x | suficientemente grande com x < 0;
3 Em ambos os casos (n par ou ´ımpar), quando |x | cresce
ilimitadamente, |p(x )| tamb´em cresce ilimitadamente.
Demonstra¸c˜ao: Podemos reescrever o polinˆomio da seguinte forma:
p(x ) = xn an+an−1 x + · · · + a1 xn−1 + a0 xn | {z } =f (x ) .
Observe que se tomarmos |x | suficiente mente grande, cada parcela de f (x ) se torna t˜ao pequena quanto se deseje, portanto o sinal de an+ f (x ) ´e o mesmo de andesde que |x | seja
suficientemente grande. Assim:
a)Se n ´e par o sinal de xn´e sempre positivo e para |x | suficientemente grande o sinal de
p(x ) = xn(a
n+ f (x )) ´e igual ao sinal de an.
b)Se n ´e ´ımpar o sinal de xnser´a positivo para x > 0 e negativo para x < 0. Logo, o sinal de
p(x ) = xn(a
n+ f (x )) ser´a igual ao sinal de anse |x | for suficientemente grande com x > 0, e o
sinal de p(x ) = xn(a
n+ f (x )) ser´a oposto ao sinal de an se |x | for suficientemente grande com
x < 0.
Aqui concl´ımos que todo polinˆomio de grau ´ımpar possui pelos menos uma ra´ız real.
c)Observe que p(x ) = xn(a
n+ f (x )) cresce ilimitadamente com |x |, pois an+ f (x ) se
Gr´
aficos de polinˆ
omios
Vejamos abaixo os esbo¸cos de alguns gr´aficos.
Outra informa¸c˜ao ´util para tra¸car o gr´afico de um polinˆomio ´e de-terminar a localiza¸c˜ao de suas ra´ızes.
Por continuidade, sabemos que se p(a) < 0 e p(b) > 0 ent˜ao existe uma ra´ız de p entre a e b. Um algoritmo eficiente para determin-armos uma ra´ız de p(x ) = 0 ´e o m´etodo de Newton. Segundo esse m´etodos, se x1´e um n´umero pr´oximo de uma ra´ız, ent˜ao a sequˆencia
x1, x2, . . . , xn, . . . , em que
xk+1= kk−
p(x ) p0(x )
onde p0(x ) = a1+ 2a2x + · · · + nanxn−1, tem como limite uma ra´ız
Gr´
aficos de polinˆ
omios
Podemos interpretar geometricamente o ponto xk+1 como sendo
o ponto de interse¸c˜ao da reta tangente ao gr´afico de p no ponto (xk, p(xk)) com o eixo OX .
Exerc´ıcio
Determinar uma ra´ız de p(x ) = x5− 5x2+ 1.
Solu¸c˜ao: Observe que p(0) = 1 e que p(1) = −3 e portanto p tem uma ra´ız entre 0 e 1.
Iniciaremos tomando x = 12. Neste caso
x1 = x0− p(x0) p0(x 0) = 0, 45333 x2 = x1− p(x1) p0(x 1) = 0, 45138 x3 = x2− p(x2) p0(x 2) = 0, 45134
o que j´a ´e uma boa aproxima¸c˜ao para a ra´ız de p entre 0 e 1, pois a pr´oxima itera¸c˜ao dar´a o mesmo valor se aproximarmos somente at´e a quinta casa decimal.
.
At´e breve!
