Governador Eduardo Braga Vice–Governador
Omar Aziz Reitor
Lourenço dos Santos Pereira Braga Vice–Reitor
Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró–Reitor de Planej. e Administração
Antônio Dias Couto
Pró–Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários Ademar R. M. Teixeira
Pró–Reitor de Ensino de Graduação Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró–Reitor de Pós–Graduação e Pesquisa
Walmir de Albuquerque Barbosa
Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado) Carlos Alberto Farias Jennings
NUPROM
Núcleo de Produção de Material Coordenador Geral João Batista Gomes
Projeto Gráfico Mário Lima Editoração Eletrônica Helcio Ferreira Junior Revisão Técnico–gramatical
João Batista Gomes
Silva, Clício Freire da.
S586g Geometria I / Clício Freire da Silva, Cláudio Barros Vitor, Ieda Maria de Araújo Câmara Costa. – Manaus/AM: UEA, 2006. – (Licenciatura em Matemática. 2. Período)
149 p.: il. ; 29 cm. Inclui bibliografia
1. Geometria. I. Vitor, Cláudio Barros. II. Costa, Ieda Maria de Araújo Câmara. III. Título.
CDU (1997): 514 CDD (19.ed.): 516
UNIDADE I – Noções primitivas . . . . 09
TEMA 01 – Noções e proposições primitivas . . . .11
TEMA 02 – Segmento de reta - Conceitos primitivos - ponto, reta e plano . . . 13
TEMA 03 – Ângulos . . . 16
TEMA 04 – Ângulos - Exercícios propostos . . . 20
TEMA 05 – Paralelismo - Retas paralelas . . . 22
TEMA 06 – Perpendicularismo . . . 25
UNIDADE II – Polígonos . . . . 29
TEMA 07 – Triângulos . . . 31
TEMA 08 – Triângulos - Exercícios propostos . . . 33
TEMA 09 – Congruência de triângulos . . . 34
TEMA 10 – Pontos notáveis no triângulo . . . 37
TEMA 11 – Quadriláteros . . . 39
TEMA 12 – Quadriláteros - Principais propriedades e aplicações . . . 43
TEMA 13 – Polígonos . . . 48
TEMA 14 – Polígonos - Exercícios propostos . . . 51
UNIDADE III – Elementos na circunferência . . . . 53
TEMA 15 – Circunferência e Círculo . . . 55
TEMA 16 – Circunferência e Círculo - Exercícios propostos . . . 58
TEMA 17 – Ângulos na circunferência . . . 60
TEMA 18 – Ângulos na circunferência - Exercícios propostos . . . 61
TEMA 19 – Polígonos inscritos e circunscritos . . . 63
TEMA 20 – Polígonos inscritos e circunscritos - Exercícios propostos . . . 66
UNIDADE IV – Relações métricas no triângulo . . . . 67
TEMA 21 – Teorema de Tales . . . 69
TEMA 22 – Semelhança de triângulos . . . 72
TEMA 23 – Relações métricas no triângulo retângulo . . . 75
TEMA 24 – Relações métricas no triângulo retângulo - Exercícios propostos . . . 76
TEMA 25 – Teorema de pitágoras . . . 77
TEMA 26 – Teorema de pitágoras - Exercícios propostos . . . 79
TEMA 27 – Relações métricas no triângulo qualquer . . . 84
TEMA 28 – Relações métricas no triângulo qualquer - Exercícios propostos . . . 86
UNIDADE V – Áreas de superfícies . . . . 89
TEMA 29 – Relações métricas na circunferência . . . 91
TEMA 30 – Relações métricas na circunferência - Exercícios propostos . . . 93
TEMA 31 – Atividade de laboratório . . . 96
TEMA 32 – Áreas de figuras planas - Triângulos . . . 97
TEMA 33 – Atividade de laboratório . . . 101
TEMA 34 – Áreas de figuras planas - Quadriláteros . . . 102
TEMA 35 – Áreas de figuras planas - Polígonos . . . 106
TEMA 36 – Atividade de laboratório - Teorema de Pitágoras . . . 111
TEMA 37 – Áreas de superfícies planas - Círculo . . . 113
TEMA 38 – Atividade de laboratório . . . 117
TEMA 39 – Atividade de laboratório - Decomposição de polígonos . . . 119
TEMA 40 – Atividade de laboratório - Pontos notáveis no triângulo . . . 120
UNIDADE VI – Atividades de laboratório . . . 123
Respostas de Exercícios . . . 139
Clício Freire da Silva
Licenciado em Matemática – UFAM Bacharel em Matemática – UFAM
Pós-graduado em Instrumentação para o Ensino da Matemática – UFF Mestrando em Matemática (Geometria Diferencial) – UFAM
Cláudio Barros Vitor
Licenciado em Matemática – UFAM
Pós-graduado em Didática e Metodologia do Ensino Superior - UNESC
Iêda Maria de Araújo Câmara Costa
Especialista em Ensino de Matemática – UFAM. Mestranda em Matemática (Geometria Diferencial) – (UFAM)
A realidade amazônica, por si só, é um desafio à educação tradicional, aquela que teima em ficar arraigada à sala de aula, na dependência única dos métodos triviais de ensino. A Universidade do Estado do Amazonas já nasceu consciente de que o ensino presencial mediado é a única estratégia capaz de respon-der aos anseios de um público que, por estar disperso, tem de ser atendido por projetos escudados em dinamismo técnico–científico.
Assim, a Licenciatura Plena em Matemática, ancorada no Sistema Presencial Mediado, nasceu para ofere-cer aos discentes as habilidades necessárias para que eles venham a construir seus próprios objetivos exis-tenciais, estimulando–lhes a ousadia de aceitar o novo e de criar novas possibilidades de futuro, dando–lhes uma visão multifacetada das maneiras de educar.
Os livros–textos em que o curso se apóia são produzidos com o rigor didático de quem sabe que a história da educação, no nosso Estado, está sendo reescrita. Os agentes desse processo têm visão crítica e apos-tam na formação de novos professores que saberão aliar inteligência e memória, não permitindo que o ensi-no em base tecensi-nológica ganhe a coensi-notação de “um distanciado do outro”.
A autonomia de agir que cada um está aprendendo a conquistar virá, em breve, como resposta aos desafios que se impõem hoje.
Lourenço dos Santos Pereira Braga Reitor da Universidade do Estado do Amazonas
TEMA 01
NOÇÕES E PROPOSIÇÕES PRIMITIVAS Introdução
Euclides, o grande matemático grego, foi o principal responsável pelo avanço da geome-tria. Nascido por volta de 300a.C., Fundador da Escola de Alexandria, escreveu um tratado de matemática sob o título Os elementos (com-posto de treze volumes), que se constituiu, du-rante mais de 20 séculos.
No livro, Euclides expõe, em ordem lógica, os principais assuntos da geometria. Inicia apre-sentando os entes primitivos e algumas definições. A seguir, considera alguns postula-dos e, finalmente, demonstra uma série de teo-remas que serviriam de base para a demons-tração de outras propriedades.
O livro é considerado a primeira compilação formal do saber matemático ocidental. A rígida organização da obra forneceu o padrão de apresentação para tudo que se fez posterior-mente em matemática, daí o nome Geometria Euclidiana.
Conceitos Primitivos – São aqueles apresen-tados intuitivamente, ou seja, sem definição. Nascem em nossa mente pela observação e experiência.
Exemplos: o ponto, a reta e o plano.
Os demais conceitos são apresentados por uma definição que se utiliza de conceitos já conhecidos.
Postulados ou axiomas – São proposições (afirmações) aceitas como verdadeiras sem prova ou demonstração, apenas pela experiên-cia ou observação.
Postulados Fundamentais – Servem de suporte para o estudo da geometria que ora estudamos.
Alguns postulados Importantes:
•
Uma reta tem infinitos pontos.•
Dois pontos distintos determinam uma úni-ca reta .•
Por um ponto passam infinitas retas.•
Dois pontos distintos determinam uma úni-ca reta.•
Três pontos não-colineares determinam um único plano.•
A reta que passa por dois pontos distintos, pertencentes a um plano, também está con-tida nesse plano.Postulado de Euclides
Por um ponto P, não pertencente a uma reta r, passa uma única reta paralela a essa mes-ma reta r.
Teoremas
Um teorema é composto de duas partes:
•
a parte que se supõe conhecida, chamada de hipótese;•
a parte que se deseja provar, chamada de tese.Exemplos:
a) Se duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, então os ângulos corre-spondentes são congruentes.
Hipótese: Duas retas paralelas são cor-tadas por uma transversal.
Tese: Os ângulos correspondentes são congruentes.
b) Se um triângulo é isósceles, então os ângu-los da base são congruentes.
Hipótese: Um triângulo é isósceles. Tese: Os ângulos da base são congruentes. Pode–se demonstrar um teorema por três mé-todos:
•
Direto: partindo da hipótese, chega-se à tese.•
Indireto: negando a tese, chega-se à ne-gação da hipótese.•
Contradição ou absurdo: negando a tese, chega-se à negação de uma verdade já estabelecida, antes mesmo de se chegar à negação da hipótese.Exemplos:
Se dois ângulos são opostos pelo vértice (o.p.v.), então os ângulos são congruentes.
•
Hipótese: os ângulos são opostos pelo vér-tice (o.p.v).•
Tese (ou conclusão): os ângulos são con-gruentes.Demonstração do teorema
H:
α
eβ
são o.p.v. T:α ≅ β
Afirmativa:
α
+ Y = 180° Justificativa: Ângulos adjacentes suplemen-tares.Afirmativa: Y +
β
= 180°Justificativa: São ângulos adjacentes suple-mentares.
Afirmativa:
α
+ Y = Y +β
Justificativa: Propriedade transitiva das igual-dades.
Afirmativa:
α
+ Y = Y +β
Justificativa: Propriedade do cancelamento. Portanto,
α
=β
1. Identifique a hipótese e a tese em cada caso. a) Se duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, então os ângulos corre-spondentes são congruentes.
b) Se duas retas cortadas por uma transversal são paralelas, então elas determinam ângu-los alternos internos congruentes.
Solução
a) Hipótese – Duas retas paralelas são cor-tadas por uma transversal.
Tese – Os ângulos correspondentes são congruentes.
b) Hipótese – Duas retas cortadas por uma transversal são paralelas.
Tese – Essas retas determinam ângulos alternos internos congruentes.
1. Classificar em verdadeiras ou falsas as afir-mações:
a. ( ) Dados dois pontos distintos, existe um único plano passando por eles.
b. ( ) Os vértices de um triângulo são coplanares e estão no mesmo plano. c. ( ) Uma reta qualquer separa um plano em
dois semiplanos.
d. ( ) Por três pontos distintos quaisquer pas-sa sempre um único plano.
e. ( ) O número máximo de retas que quatro pontos podem determinar é de seis retas. 2. Assinale a alternativa falsa:
a) Por dois pontos distintos passa uma única reta.
b) Por quatro pontos quaisquer passa sempre um único plano.
c) O conceito de plano é primitivo. d) O plano tem infinitos pontos.
3. Classifique em verdadeiras ou falsas as afir-mações:
a. ( ) Uma reta tem dez pontos distintos. b. ( ) Um plano tem cinco pontos distintos. c. ( ) Existem infinitos pontos fora de uma reta. d. ( ) Existem pontos fora de um plano que
são colineares.
e. ( ) Dois pontos quaisquer distintos estão sempre contidos em pelo menos um plano.
f. ( ) Todo triângulo está contido em um úni-co plano.
g. ( ) Quatro pontos quaisquer estão sempre contidos em um único plano.
4. Demonstre o teorema:
Se dois ângulos são adjacentes suplemen-tares, então suas bissetrizes formam um ângu-lo reto.
TEMA 02
SEGMENTO DE RETA
Conceitos Primitivos – Ponto, reta e plano No dia-a-dia, são encontrados diversos exem-plos desses conceitos primitivos.
Exemplos:
a) A marca deixada em uma folha de papel pela ponta de um lápis.
O ponto é indicado com letras maiúsculas do nosso alfabeto.
b) Uma estrada dá-nos idéia de reta.
A reta não tem começo, nem fim, nem espessura. É representada por letras minúsculas do nosso alfabeto.
c) A superfície do rio Amazonas dá-nos a idéia de plano.
O plano é indicado por letras minúsculas do alfabeto grego, tais como
α
(alfa),β
(beta)γ
(gama), etc.Semi-reta
Em relação ao ponto A, a reta fica dividida em duas partes:
Cada uma dessas partes é chamada semi-reta, e o ponto A é chamado origem das semi-retas.
Exemplo de semi-retas:
Indicação: AB→ (lê-se semi-reta AB) Retas coplanares
Duas ou mais retas são coplanares quando es-tão contidas no mesmo plano.
As retas coplanares podem ser:
a) concorrentes – quando têm apenas um ponto comum;
b) paralelas – quando não têm ponto comum; c) coincidentes – quando têm todos os
pon-tos comuns. Segmento de reta
O conjunto formado pelos pontos A e B e por todos os pontos da reta entre A e B é chama-do segmento de reta.
Os pontos A e B são chamados extremos do segmento AB.
Indicação: AB (lê–se segmento AB)
⎯
Segmentos consecutivosDois segmentos são consecutivos quando possuem um extremo comum.
Os segmentos AB e
⎯
BC possuem um extremo⎯
comum: B.Logo: AB e
⎯
BC são segmentos consecutivos.⎯
Segmentos colinearesDois segmentos são colineares quando estão contidos na mesma reta.
Se os segmentos são colineares e consecu-tivos, nesse caso diz-se adjacentes.
Exemplo:
Segmentos congruentes
Dois segmentos são congruentes quando pos-suem a mesma medida, tomada numa mesma unidade.
Indicamos a congruência entre AB e
⎯
CD⎯
escrevendo: AB⎯
≅
CD (lê–se segmento AB é congruente ao segmento CD)Ponto médio de um segmento
Chama-se ponto médio de um segmento o ponto que divide o segmento dado em dois segmentos congruentes.
1. Que ente geométrico lhe sugere: a) os buracos existentes no botão? b) o encontro entre duas paredes? c) o piso da sala de aula?
Solução
a) Ponto b) Reta
c) Plano
2. Usando os símbolos
∈
,∉
,⊂
, determine a relação existente entre:a) A ... r b) A... s c) A... t d) B... r e) B... s f) C...
α
g) C ... r h) C...s i) D...
α
Solução
a)
∈
b)∈
c)∉
d)
∉
e)∈
f)∈
g)
∈
h)∉
i)∈
j)∉
l)⊂
m)⊂
3. Dê a posição relativa dos pares de retas.
a) r ...s d) t...u b) r... .... t e) s... u c) r ... x Solução a) Paralelas. d) Paralelas. b) Concorrentes. e) Concorrentes. c) Coincidentes.
4. Verifique se os segmentos são consecutivos, colineares, ou adjacentes.
a) AB e BC b) BC e CD
c) AB e BD d) CD e DE
Solução
a) Consecutivos e colineares (adjacentes). b) Consecutivos.
c) Consecutivos.
d) Consecutivos e colineares (adjacentes). 5. Na figura, M é o ponto médio de AB, N o ponto
médio de BC e P, o ponto médio de CD.
Responda:
a) Quanto mede o segmento NP? b) Quanto mede o segmento MC? c) Quanto mede o segmento AN? d) Quanto mede o segmento MP?
Resposta
a) 3,5cm b) 5.5cm
c) 6,5cm d) 7,5cm
1. Escreva, em seu caderno, algumas idéias geo-métricas que lhe sugere a idéia de Ponto, Reta, e Plano.
2. Quantas semi-retas há numa reta, com origem nos quatro pontos A, B, C e D da reta? 3. Se forem marcados três pontos distintos A, B e
C sobre uma reta r, quantos segmentos de reta com extremidades em dois desses pontos ficam determinados? Quais são eles? Faça o desenho. 4. Sobre uma reta r, marque os pontos A, B e C, nessa ordem, tais que AB = 6cm e BC = 10cm. a) Quanto mede o segmento AC?
b) Se M é o ponto médio de AB e N é o ponto médio de AC, quanto mede MN?
5. Se AB = 20cm, determine x, em cada item: a) AP = x + 6cm b) AC = 3x
PB = x BC = x + 2cm 6. Determine x e AB, sabendo que M é o ponto
médio de AB.
7. Sobre uma reta r, marque os pontos A, B e C, nessa ordem, com AB = 6cm e BC = 4cm. Se M é o ponto médio de AB e N é o ponto médio de BC, calcule a medida dos seguintes seg-mentos:
a)MB
⎯
b) BNc) NC
⎯
d)MN⎯
e) AN
⎯
8. Se PA e
⎯
QB são segmentos congruentes de⎯
uma reta r, Mostre que os segmentos PQ e⎯
AB⎯
são congruentes.TEMA 03 ÂNGULOS
No dia-a-dia, observa-se que existem diversos objetos que possuem uma certa abertura, dan-do-nos idéia de ângulo. Os ângulos são usa-dos, na engenharia, na fabricação de móveis, no lançamento de foguetes, na utilização de saté-lites, na rota de avião, estacionamentos, em de-senhos, etc.
Definição
As duas semi-retas OA e → OB dividem o plano em→ duas regiões: uma convexa e outra não-convexa.
O ângulo convexo da figura acima pode ser indicado por: AÔB (lê–se “ângulo AOB”) Se as duas semi-retas OA e → OB forem opostas,→ o ângulo é chamado raso ou de meia-volta.
Se as duas semi-retas OA e → OB, que formam o→ ângulo, forem coincidentes, temos um ângulo nulo ou de uma volta.
Os Babilônios, povo da Antiguidade, habita-va a região onde hoje se situa o Iraque. Esse povo tinha um calendário de 12 meses lunares, com 30 dias cada mês, totalizando 360 dias (12 x 30). Eles acreditavam que esse era o tempo que o Sol levava para dar uma volta completa em torno da Terra, girando em órbita circular. Assim, a cada dia o Sol percor-ria um arco correspondente a dessa cir-cunferência. Hoje, sabe-se que o Sol não “gira” em torno da Terra e que o ano tem mais de 360 dias. Mas devemos lembrar que os babilônios fizeram suas observações e seus cálculos há mais de 4 mil anos.
As noções de ângulo foram desenvolvidas na Grécia antiga. Deve-se a Hiparco de Nicéia (II a.C.), considerado pelos gregos como o pai da Astronomia, a primeira divisão do círculo em 360 partes iguais, com o objetivo de medir ângulos.
A cada um desses 360 arcos em que a cir-cunferência foi dividida, associamos um ângu-lo cuja medida chamamos de 1 grau.
Medida de um ângulo
Para medir ângulos, utiliza-se o transferidor, um instrumento que tem como unidade o grau.
No transferidor da figura, tem-se um ângulo raso que foi dividido em 180 ângulos de um grau (indica-se por 1°):
O grau tem dois submúltiplos:
•
Minuto – corresponde a do grau.Indica–se um minuto por 1’.
•
Segundo – corresponde a do minuto.Indica-se um segundo por 1”.
Quando um ângulo é medido em graus, minu-tos e segundos, diz–se que ele está expresso no sistema sexagesimal.
A reunião de duas semi-retas de mesma origem chama-se ângulo.
Outras unidades de medida
Radiano – É a medida de um ângulo central cor-respondente a um arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência a que pertence.
A circunferência possui 27
π
rd.Grado – É a medida de um ângulo central, que corresponde a da circunferência (sistema decimal de medidas).
Correspondência entre as unidades de medida:
Ângulos Congruentes
Dois ângulos são congruentes quando pos-suem a mesma medida.
Os ângulos AÔB e CÔD têm a mesma medida (30°). Podemos afirmar que esses ângulos são congruentes. Assim:
AÔB
≅
CÔD (lê–se “AÔB é congruente a CÔD)Propriedades da congruência
•
Reflexiva: AÔB≅
AÔB.•
Simétrica: se AÔB≅
‘CÔD, entãoCÔD
≅
AÔB.•
Transitiva: se AÔB≅
CDF e CDF≅
FGH, então AÔB≅
FGH.Ângulos consecutivos
Dois ângulos são consecutivos quando pos-suem um vértice e um lado comuns.
São exemplos de ângulos consecutivos: AÔC e CÔB
AÔC e AÔB CÔB e AÔB Ângulos adjacentes
Dois ângulos são adjacentes quando possuem um vértice comum, um lado comum e não pos-suem pontos internos comuns.
AÔC e CÔB são ângulos adjacentes.
Duas retas concorrentes determinam vários ângulos adjacentes.
São exemplos de ângulos adjacentes: AÔC e BÔC
BÔC e CÔD CÔD e DÔA DÔA e AÔB
Grau Grado Radiano
Uma volta 360º 400 gr 2πrd
Meia volta 180º 200 gr 2πrd
Um quarto
Bissetriz de um ângulo
Os ângulos AÔC e CÔB são congruentes, e a semi-reta OC é a bissetriz do ângulo AÔB .→
Ângulo reto, agudo e obtuso
De acordo com suas medidas, os ângulos re-cebem nomes especiais.
Ângulo reto é aquele que tem por medida 90°. Exemplo:
Ângulo agudo é aquele cuja medida é menor que 90°.
a)
b)
Ângulo obtuso é aquele cuja medida é maior que 90°.
Exemplos:
a)
b)
Ângulos complementares
Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90°.
AÔB e BÔC são complementares. m(AÔB) + m(BÔC) = 90°.
Ângulos suplementares
Dois ângulos são suplementares quando a so-ma de suas medidas é 180°.
AÔB e BÔC são suplementares. m(AÔB) + m(BÔC) = 180°.
Propriedades dos ângulos
As propriedades dos ângulos são de grande importância na resolução de alguns exercícios.
•
Dois ângulos adjacentes, cujos lados exteri-ores estão em linha reta, são suplementares. ^a + ^b = 180º•
A soma de ângulos adjacentes formados em torno de um ponto e de um mesmo lado de uma reta é igual a 180°.•
A soma de ângulos adjacentes formados em torno de um ponto é igual a 360°.^a + ^b + ^c + ^d = 360º
•
As bissetrizes de dois ângulos adjacentes, de lados exteriores em linha reta, formam um ângulo reto, ou seja, são perpendiculares.1. Qual o valor de x? a) Solução X + 60º = 90º X = 90º – 60º X = 30º b) Solução X + 53º = 180º X = 180º – 53º X = 127º
2. Calcule o valor de x nas figuras: a) Solução 10º + X+ 25º = 90º X = 90º – 35º X = 55º b) Solução 60º + X + 40º = 180º X = 180º – 100º X = 80º m(MÔM) = 90º ou OM ⊥ OM´
c) Solução 70º + 90º +5X = 360º 5X = 360º – 160º 5X = 200º X = 40º
3. Calcule o valor de x e de y na figura:
Solução Y + 58º = 180º Y = 180º – 58º Y = 122º X + Y = 180º X + 122º = 180º X = 180º – 122º X = 58º
4. Dois ângulos opostos pelo vértice têm medi-das expressas por 2x – 100° e x + 30°. Qual o valor de x?
Solução
2x – 100° = x + 30° 2x – x = 30° + 100º x = 130º
5. Transforme 100 grados em graus. Solução
Aplicando uma regra de três simples: 400gr 360º
100gr x
=
⇒
400 x = 360 . 100⇒
400 x = 36000
⇒
x =⇒
x = 90º Portanto 100 grados correspondem a 90 graus.TEMA 04
ÂNGULOS
1. Use o transferidor para encontrar a medida do ângulo destacado nas figuras:
a) b) c)
2. Classifique os pares de retas em concorrentes e paralelas: a) a e b b) b e s c) r e s d) a e r 3. Transforme: a) 60 graus em radianos; b) 50 grados em graus; c)
π
/6 radianos em graus.4. Dado um ângulo de medida X, indicar: a) seu complemento;
b) seu suplemento;
c) o dobro do seu complemento; d) a metade do seu suplemento; e) o triplo de seu suplemento.
5. A metade da medida de um ângulo mais a medida do seu complemento é igual a 58o.
Quanto mede o ângulo?
6) A medida de um ângulo somada a 1/3 da medi-da de seu complemento é igual a 66º. Quanto mede esse ângulo?
7. A medida de um ângulo somada à metade da medida de seu complemento dá 55º. Quanto mede o suplemento desse ângulo?
8. Somando-se a medida do complemento com a medida do suplemento de um ângulo obtém-se 130°. Quanto mede esobtém-se ângulo?
9. Qual o valor de X?
⎯
OP é bissetriz de AÔB AOP = 3x – 5°
BOP = 2x + 10°
10. Calcule o valor de x, nas figuras: a) b)
c)
11. Com a ajuda da régua e “do transferidor, trace a bissetriz do ângulo AOB.
12. Determine os valores indicados por letras em cada figura. a) b) c) d) e)
TEMA 05 PARALELISMO Retas paralelas
Há inúmeras situações no dia-a-dia que nos dão idéias de paralelismo. Por exemplo, pode-se ressaltar os fios de alta tensão, as ruas de sua cidade, etc.
No encontro das duas retas com a transversal, ficam determinados oito ângulos com vértices no ponto de intersecção, conforme a figura abaixo:
Os ângulos internos são ^3, ^4, ^5 e ^6. Os ângu-los ^1, ^2, ^7 e 8 chamam-se ângulos externos. Um externo e outro interno, situados do mesmo lado da transversal e com vértices diferentes, chamam-se ângulos correspondentes.
^3 e ^7 ; ^4 e ^8 ; ^1 e ^5 ; ^2 e ^6.
Ângulos internos, situados em lados opostos da transversal e com vértices diferentes cha-mam-se ângulos alternos internos.
^3 e ^6 ou ^4 e ^5
Ângulos externos, situados em lados opostos da transversal, como ^1 e ^8 ou ^2 e ^7, com vér-tices diferentes, chamam-se ângulos alternos externos.
^1 e ^8 ou ^2 e ^7
Se uma transversal intercepta duas retas para-lelas, os ângulos correspondentes são congru-entes.
Portanto:
^2 = ^6 , ^4 = ^8, ^1 = ^5, ^3 = ^7. Exemplo:
Se m e n são duas retas paralelas e a = 50º, verifique como determinar a medida dos outros ângulos: ^a = ^e = 50° ângulos correspondentes ^a + ^c = 180° ângulos suplementares ^c = 180° – 50° ^c = 130° ^g = ^c = 130° ângulos correspondentes ^a + ^b = 180° ângulos suplementares ^b = 180° – 50° ^b = 130° ^b = ^f = 130° ângulos correspondentes ^b + ^d = 180° ângulos suplementares ^d = 180° – 130° ^d = 50° ^d = ^h = 50° ângulos correspondentes
1. A reta t é uma transversal às retas m e n.
Determine:
a) quatro pares de ângulos correspondentes Solução
b e f; d e h; a e e; c e g
b) dois pares de ângulos alternos internos Solução
e e f; e e d
c) dois pares de ângulos alternos externos Solução
e e h; b e g
2. Na figura, a reta t é uma transversal às retas paralelas m e n.
a) Se a = 110°, calcule h. Solução
h = 110°, pois a e h são alternos externos. b) Se d = 105°, calcule g.
Solução g = 75°
3. As retas r e s são paralelas, e t é uma transver-sal. Calcule as medidas dos ângulos assinala-dos nas figuras.
a) Solução ^a = 60º correspondente; ^c = 60º (o.p.v) ^b + 60º = 180º
⇒
^b = 180º– 60º = 120º Portanto: ^a = 60º ; ^b = 120º ; ^c = 60º b) Solução n = 72º ( o.p.v); m = 108º n + m = 180 colaterais internos n =72º, logo 72º + m =180; m = 180 – 72 = 108; p = 72º pois p + m =180 (suplementares) p = 180 – 108 = 72. Portanto n = 72º , m =108º e p = 72º1. Sabendo que r//s, dê nome aos pares de ân-gulos:
b) ^m e ^p correspondentes.
2. Sabendo que r//s, dê nome aos pares de ângulos: a) ^a e ^p;
b) ^a e ^q.
3. Sabendo que r//s, calcule, em cada caso, o valor de x:
a)
b)
4. Sabendo que r//s, dê nome aos pares de ângu-los e determine o valor de x:
a)
b)
c)
5. Calcule x, y e z, sabendo que r e s são parale-las.
a)
b)
6. Sendo r paralela a s, qual é o valor de x? a)
b)
7. Sabendo que r é paralela a s, determine os va-lores de x e de y. a) 5 x 30° 2 x 15° s 4 x 7 70° 3x 20°
b)
8. Se r // s e // u, qual deve ser o valor de cada ângulo indicado por letra na figura?
9. Duas retas paralelas e uma transversal deter-minam dois ângulos correspondentes cujas medidas são 2x – 30° e x + 10°. Calcule as me-didas dos ângulos obtusos determinados por essas retas.
10. Duas retas, cortadas por uma transversal, for-mam ângulos correspondentes expressos em
graus por . Determine x de
modo que essas retas sejam paralelas.
TEMA 06
PERPENDICULARISMO Introdução
Duas retas são perpendiculares se, e somente se, são concorrentes e formam ângulos adja-centes suplementares congruentes.
Duas semiretas são perpendiculares se estão contidas em retas perpendiculares.
Dois segmentos de retas são perpendiculares se estão contidas em retas perpendiculares. Retas oblíquas
Se duas retas são concorrentes e não são per-pendiculares, diz-se que essas retas são oblí-quas.
Perpendicularismo entre reta e plano Uma reta r é perpendicular a um plano
α
se, e somente se, r é perpendicular ou ortogonal a todas as retas deα
que passam pelo ponto de intersecção de r eα
.•
Para que uma reta r seja perpendicular a um planoα
, basta ser perpendicular a duas retas deα
.Perpendicularismo entre planos
Dois planos,
α
eβ
, são perpendiculares se, e somente se, existe uma reta de um deles que é perpendicular ao outro:Projeções ortogonais sobre um plano A projeção ortogonal de um ponto sobre um plano é o pé da perpendicular ao plano con-duzida pelo ponto.
P’ é a projeção ortogonal de P sobre
α
.Projeção de uma figura
A projeção ortogonal de uma figura sobre um plano é o conjunto das projeções ortogonais dos pontos da figura sobre o plano.
F´= proj0F
Projeção de uma reta
Para se obter a projeção de uma reta r sobre um plano
α
, há dois casos a considerar: a) Se a reta r é perpendicular ao planoα
, suaprojeção ortogonal sobre ele é o traço da reta no plano.
b) Se a reta r não é perpendicular ao plano
α
, sua projeção ortogonal sobreα
é o traço (intersecção) emα
, do planoβ
perpendicu-lar aα
, conduzido por r.Projeção de um segmento de reta
Para se obter a projeção de um segmento de reta AB sobre um plano
⎯
α
, também temos dois casos a considerar:a) Se o segmento de reta AB é perpendicular
⎯
ao plano, sua projeção ortogonal sobre o plano é um ponto, que é o traço da reta emα
.b) Se o segmento de reta AB não é perpendi-
⎯
cular ao planoα
, basta projetar as suas ex-tremidades sobreα
, para se obter a proje-ção do segmento.Distância de ponto a plano
A distância de um ponto a um plano é a distân-cia do ponto à sua projeção ortogonal no plano.
A distância de um ponto a um plano é a menor das distâncias do ponto aos pontos do plano. Distância entre reta e plano paralelos A distância entre uma reta e um plano parale-los é a distância de um ponto qualquer da reta ao plano.
Para se achar a distância entre uma reta e um plano paralelos, basta tomar um ponto P na reta e achar a distância de P ao plano.
r
P’
p’ projr s
Distância entre planos paralelos
A· distância entre dois planos paralelos é a dis-tância de um ponto qualquer de um deles ao outro plano.
Para se achar a distância de dois planos
α
eβ
paralelos basta considerar um ponto P num deles (por exemplo, P
∈
(β
) e obter a distância do ponto P ao outro plano (α
).1. Classificar em verdadeiro (V) ou falso (F): a. ( ) Duas retas que formam ângulo reto são
perpendiculares.
b. ( ) Duas retas que são perpendiculares for-mam ângulo reto.
c. ( ) Duas retas são ortogonais formam ân-gulo reto.
a. ( ) Duas retas que formam ângulo reto são ortogonais.
2. Classificar em verdadeiro (V) ou falso (F): a. ( ) Uma reta perpendicular a um plano é
perpendicular a infinitas retas do plano. b. ( ) Uma reta perpendicular a um plano é perpendicular a qualquer reta do plano. c. ( ) Uma reta perpendicular a um plano é
reversa a todas as retas do plano. d. ( ) Uma reta perpendicular a um plano é
ortogonal a infinitas retas do plano. e. ( ) Uma reta perpendicular a um plano
forma ângulo reto com todas as retas do plano.
3. Classificar em verdadeiro (V) ou falso (F): a. ( ) Se uma reta e um plano são paralelos,
então toda reta perpendicular à reta dada é perpendicular ao plano.
b. ( ) Se uma reta e um plano são perpendicu-lares, então toda reta perpendicular à reta dada é paralela ao plano ou nele está contida.
c. ( ) Uma reta e um plano, ambos perpen-diculares a uma outra reta em pontos distintos, são paralelos.
d. ( ) Se dois planos são paralelos, então to-da reta perpendicular a um deles é per-pendicular ao outro.
e. ( ) Dois planos, ambos perpendiculares a uma mesma reta, são secantes.
f. ( ) Duas retas, ambas perpendiculares a um mesmo plano, são reversas.
g. ( ) Se duas retas são paralelas, então todo plano perpendicular a uma delas é per-pendicular à outra.
4. Classificar em verdadeiro (V) ou falso (F): a. ( ) Dois planos perpendiculares a um
ter-ceiro são paralelos.
b. ( ) Dois planos perpendiculares a um ter-ceiro são perpendiculares entre si. c. ( ) Se dois planos são paralelos, então
to-do plano perpendicular a um deles é perpendicular ao outro.
d. ( ) Se dois planos são perpendiculares, então toda reta perpendicular a um de-les é paralela ao outro ou está contida nesse outro.
e. ( ) Se dois planos são perpendiculares, então toda reta paralela a um deles é perpendicular ao outro.
f. ( ) Se uma reta e um plano são paralelos, então todo plano perpendicular à reta dada é perpendicular ao plano dado. g. ( ) Se uma reta e um plano são paralelos,
então todo plano perpendicular ao plano dado é perpendicular à reta dada. 5. Classificar em verdadeiro (V) ou falso (F):
a. ( ) A projeção ortogonal de um ponto sobre um plano é um ponto.
b. ( ) A projeção ortogonal de uma reta sobre um plano é uma reta.
c. ( ) A projeção ortogonal de um triângulo sobre um plano é sempre um triângulo. d. ( ) As projeções ortogonais, sobre um mesmo plano, de duas retas são para-lelas, então as retas são paralelas. e. ( ) Se os planos projetantes de duas retas,
não perpendiculares ao plano de jeção, são paralelos, então as pro-jeções dessas retas são paralelas.
TEMA 07 TRIÂNGULOS Introdução
O triângulo é um polígono de três lados. A forma triangular é bastante utilizada em vá-rias situações do nosso dia-a-dia.
Elementos de um triângulo
Os principais elementos de um triângulo são:
Vértices: pontos A, B e C. Lados: segmentos AB, BC e CA. Ângulos internos: ângulos Â, Ê e ê. Ângulos externos: ângulos â, b e ê.
O triângulo é o único polígono que não possui diagonais.
A soma das medidas dos ângulos internos (Si)
de um triângulo é dada por: Si = 180°.
A soma das medidas dos ângulos externos (Se) de um triângulo é dada por: Se = 360°. Usa-se o símbolo
Δ
para representar a palavra triângulo. Assim, um triângulo ABC pode ser nomeado,Δ
ABC.Pode-se estabelecer uma relação entre os la-dos e os ângulos internos de um triângulo, que será importante em nossos estudos.
Classificação dos Triângulos
Os triângulos podem ser classificados quanto aos lados ou quanto aos ângulos.
Classificação dos triângulos quanto aos lados: Quanto aos lados, os triângulos classificam-se em: eqüilátero , isósceles ou escaleno. Eqüilátero: quando os três lados são congru-entes.
⎯
AB
≅ ⎯
BC≅ ⎯
AC Isósceles: quando apenas dois lados são con-gruentes.⎯
AB
≅ ⎯
ACEscaleno: quando os três lados têm medidas diferentes.
med (AB)
⎯
≠
med (AC)⎯
≠
med (BC)⎯
≠
med(AB).⎯
Triângulos quanto aos ângulosQuanto aos ângulos, os triângulos classificam-se em: acutângulo, retângulo e obtusângulo.
•
Acutângulo: quando os três ângulos inter-nos são agudos (medida menor que a de um ângulo reto).•
Retângulo: quando um dos ângulos é reto.•
Obtusângulo: quando um dos ângulos éobtuso.
Condições de existência de um triângulo Dado o
Δ
ABC, sendo a medida do lado BC, b⎯
medida do lado AC e c medida do lado⎯
AB,⎯
pode-se escrever as seguintes relações: a < b + cb < a + c c < a + b
Portanto, ao comparar o maior lado com a soma dos outros dois, pode-se saber se existe ou não triângulo.
Propriedade da soma dos ângulos dos triân-gulos
A soma das medidas dos ângulos de um triân-gulo é 180º.
Demonstração:
Considere o triângulo ABC e observe os ângu-los ^A, ^B, e ^C do triângulo.
Pelo vértice A, pode-se traçar uma reta r para-lela ao lado BC .Observe os ângulos: ^1,^A e^2.
Do paralelismo de r e BC, considerando a transversal AB, decorre que:
⎯
1
≡
^BDo paralelismo de r e BC, considerando a
⎯
transversal AC, decorre que:^2
≡
^C Portanto^A + ^B + ^C = 1800
1. Observe a figura:
a) Quais são os vértices? Solução: X, Y, Z
b) Qual é o lado comum dos ângulos X eY? Solução: XY
c) Qual é o lado oposto ao ângulo Z? Solução: XY
2. Verifique se existe ou não um triângulo com la-dos medindo: (justifique suas respostas) a) 4cm, 4cm e 4cm
Solução: Sim, pois 4 < 4 + 4. b) 3cm, 3cm e 2cm
Solução: Sim, pois 3 < 3 – 2. c) 1cm, 2cm e 3cm
Solução: Não, pois 3 < 1 + 2 é falsa. 3. Classifique os triângulos abaixo quanto à
medi-da dos seus lados: a) Solução: Escaleno. b) Solução: Eqüilátero. c) Solução: Isósceles.
4. O triângulo ABC é isósceles de base BC. Sabendo-se que AB = 3x – 10, BC = 2x + 4 e AC = x + 4, calcule a medida de BC. Solução: 3x –10 = x + 4 BC = 2x + 4 3x – x = 4 + 10 BC = 2. 7 + 4 2x = 14 BC = 14 + 4 X = BC =18 X = 7
5. Determine os lados do triângulo da figura, sabendo-se que ele tem 60cm de perímetro.
Solução: x + 3 + x – 7 + x – 2 = 60 3 x + 3 – 7 – 2 = 60 3 x – 6 = 60 3 x = 60 + 6 3 x = 66 X = X = 22 Lado X + 3 Lado X – 2 22 + 3 22 – 2 25 20 Lado X – 7 22 – 7 15
Portanto, os lados são: 15, 20 e 25.
TEMA 08
TRIÂNGULOS
1. Observe a figura:
a) Quantos são os vértices? Quais são eles? 3; R, S T.
b) Quantos são os lados? Quais são eles? 3; RS, RT ST
c) Quantos são os ângulos? Quais são eles? 3; R, S T.
2. Verifique, se existe ou não, um triângulo com lados medindo: (justifique suas respostas) a) 5cm, 7cm e 3cm
b) 3cm, 2cm e 7cm c) 3cm, 3cm e 2cm d) 5cm, 5cm e 10cm
3. O triângulo ABC é isósceles de base BC. Sa-bendo-se que AB = 2x – 7 e AC = x + 5, deter-mine x.
4. Determine x, y e o lado do triângulo eqüilátero, sabendo-se que AB = X + y, AC = X + 3 e BC=y + 4
5. Um triângulo ABC é isósceles de base BC. Determine o perímetro sabendo que:
AB = 2x + 3, AC = 3x – 3 e BC = X + 3. 39cm 6. Dois lados de um triângulo medem, respectiva-mente, 8cm e 21cm. Sabendo que a medida do terceiro lado é múltiplo de 6, quanto poderá medir esse lado?
7. Os lados de um triângulo são medidos por três números inteiros e consecutivos. Sabendo que o perímetro é 12cm, quais são os lados? 3cm, 4cm e 5cm.
8. Calcule os ângulos dos triângulos. Depois, classifique os triângulos quanto aos ângulos: a)
b)
9. Num triângulo, os três ângulos são congruen-tes. Quanto mede cada ângulo?
10. Calcule x e y na figura abaixo:
TEMA 09
CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS Introdução
Dois triângulos são congruentes quando seus lados e seus ângulos são respectivamente con-gruentes.
⎯
AB≅ ⎯
A’B’ A≅
^A’⎯
AC≅ ⎯
A’C’ e B≅
^B’⎯
BC≅ ⎯
B’C’ C≅
^C’Sob certas condições, a congruência de dois triângulos pode ser garantida com a inspeção de apenas três elementos. Essas condições são chamadas de casos de congruência de triângulos.
Casos de congruência
1.ocaso: L.A.L– (Lado – Ângulo – Lado)
Dois triângulos que possuem dois lados e o ângulo compreendido entre eles respectiva-mente congruentes são congruentes.
⎯
AB
≅ ⎯
A’B’^B
≅
^B’⇒ Δ
ABC≅ Δ
A’B’C’⎯
BC
≅ ⎯
B’C’2.ocaso: A.L.A. (Ângulo – Lado – Ângulo)
Dois triângulos que possuem um lado e dois ângulos adjacentes a esse lado respectiva-mente congruentes são congruentes.
B
≅
^B⎯
BC
≅ ⎯
B’C’⇒ Δ
ABC≅ Δ
A’B’C’ C≅
^C’3.ocaso: L.L.L. (Lado – Lado – Lado)
Dois triângulos que possuem os três lados respectivamente congruentes são congru-entes.
⎯
AB
≅ ⎯
A’B’⎯
AC
≅ ⎯
A’C’⇒ Δ
ABC≅ Δ
A’B’C’⎯
BC
≅ ⎯
B’C’4.o caso: L.A.Ao. (Lado – Ângulo – Ângulo
Oposto)
Dois triângulos que possuem um lado, um ângu-lo adjacente e um ânguângu-lo oposto a esse lado respectivamente congruentes são congruentes.
⎯
BC
≅ ⎯
B’C’B
≅
^B’⇒ Δ
ABC≅ Δ
A’B’C’ A≅
^A’1. Em cada item abaixo, os dois triângulos são congruentes. Indique o critério de congruência utilizado
a) b)
Solução: Caso L.A.L Solução: Caso A.L.A 2. Dê o caso de congruência do triângulo abaixo
e descubra os valores indicados pelas letras.
Solução: Caso L.A.L
X = 30cm ; b = 40cm ; a = 50cm
3. Na figura, o triângulo PCD é congruente ao triângulo PBA. Sabendo que AB = 15, CD = x + 5, AP = 2y + 17 e PD = 3y – 2, calcule x e y.
Solução
Por hipótese, tem-se que:
Δ
PCD≅ Δ
PBA Logo: AP = PD 2y + 17 = 3y – 2, 2y – 3y = – 2 – 17 –y = –19 (–1) Y = 19 O segmento CD=AB x + 5 = 15 x = 15 – 5 x = 10 Por tanto: x =10 e y = 191. Em cada um dos casos abaixo, verifique se os triângulos são congruentes; em caso afir-mativo, escreva o caso que garante a con-gruência.
b)
c)
2. Os triângulos dados em cada item são congru-entes. Dê o caso de congruência e descubra os valores indicados pelas letras.
a)
b)
3. AM é bissetriz do ângulo A. Qual o valor de x e de y?
4. Na figura, a = b, PQ = PR e c = d.
a) Qual o caso de congruência que permite escrever
Δ
PQS≅ Δ
PTR?b) Qual o lado do triângulo PTR que é congru-ente a QS?
⎯
5. Na figura abaixo, os dois triângulos são con-gruentes. Indique o critério de congruência uti-lizado. Em seguida, calcule x.
6. Na figura, os triângulos ABC e CDA são congru-entes. Sabendo que B^AC = 120°, C^AD = 27°, B^CA = 3y e A^CD = 2x, determine x e y.
7. Na figura, o triângulo CBA é congruente ao triângulo CDE. Sabendo que AB = 35, CE = 22, AC = 2x – 6 e DE = 3y + 5, calcule x e y.
8. Na figura, os triângulos ABD e CBD são con-gruentes. Sabendo que AB = x, AD = 1O, BC = 5 e CD = 3y + 1, calcule x e y.
TEMA 10
PONTOS NOTÁVEIS NO TRIÂNGULO Introdução
Além dos lados, vértices, ângulos internos e ângulos externos, os triângulos apresentam outros elementos, entre os quais as cevianas. Denomina-se ceviana a qualquer segmento que une um vértice ao lado oposto ou ao seu prolongamento.
Ca: ceviana relativa ao lado a. Mediana
Considerando um triângulo qualquer ABC
Pode –se:
Determinar o ponto médio M do lado BC. O segmento AM é chamado de mediana relati-
⎯
va ao lado BC.Mediana de um triângulo é o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. Todo triângulo possui três medianas, que se encontram em um ponto chamado de baricentro. As três medianas se encontram no ponto G, que é o baricentro do
Δ
ABC.Bissetriz
Considerando um triângulo qualquer ABC, pode-se:
Traçar a bissetriz do ângulo interno Â.
O segmento AO é a bissetriz do triângulo rela-
⎯
tiva ao ângulo Â.Bissetriz de um triângulo é o segmento contido na bissetriz de um dos ângulos internos do triân-gulo, cujos extremos são o vértice desse ângu-lo e o ponto de cruzamento com o lado oposto. Todo triângulo tem três bissetrizes que se en-contram num ponto chamado de incentro (I).
Altura
Considerando um triângulo qualquer ABC
Pode –se:
Traçar pelo ponto A um segmento perpendicu-lar ao lado BC.
O segmento AH é a altura relativa ao lado BC.
⎯
O ponto H é o “pé da altura” relativa ao lado AB. Altura de um triângulo é o segmento que liga um dos vértices ao lado oposto (ou ao seu pro-longamento) e que é perpendicular a esse lado. Todo triângulo tem três alturas. O ponto de encontro das retas que contêm as alturas é chamado de ortocentro (O).Mediatriz
Todo triângulo possui três mediatrizes de lados que se encontram em um único ponto.
Denomina-se circuncentro o ponto de encon-tro das três mediatrizes dos lados de um triân-gulo. É o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.
1. Reconheça nos seguintes triângulos o seg-mento AO como mediana, bissetriz ou altura:
⎯
a) b)c)
Solução
Mediana; Bissetriz e Altura
2. No triângulo ABC a seguir, AM é a mediana. Determine o perímetro desse triângulo.
Solução
AM é a mediana, portanto MC = 1,9cm logo o lado BC = 3,8cm
P = 2,2cm + 3,5cm + 3,8cm P = 9,5cm.
1. Com auxílio de régua e compasso, construa um triângulo cujas medidas dos lados sejam 6cm, 5cm e 8cm. Em seguida, trace suas bis-setrizes e determine o seu incentro.
2. Desenhe um triângulo cujas medidas dos lados sejam 7cm, 4cm e 6cm. A seguir, deter-mine o ortocentro.
3. Responda:
a) Qual é o nome do ponto de intersecção das mediatrizes dos lados de um triângulo? A que corresponde esse ponto?
b) Qual é o nome do ponto de intersecção das bissetrizes internas de um triângulo? A que corresponde esse ponto?
4. No triângulo ABC da figura, AH corresponde à altura, à mediana ou à bissetriz?
5. Classifique os segmentos AR,
⎯
AS e⎯
AT do triân-⎯
gulo ABC, como: altura, mediana ou bissetriz.6. No triângulo ABC a seguir, AM é a mediana. Determine o perímetro desse triângulo.
TEMA 11 QUADRILÁTEROS Um breve histórico
Tanto entre os sumérios como entre os egíp-cios, os campos primitivos tinham forma retan-gular. Também os edifícios possuíam plantas regulares, o que obrigava os arquitetos a cons-truírem muitos ângulos retos (de 90o). Embora
de bagagem intelectual reduzida, aqueles homens já resolviam o problema como um desenhista de hoje. Por meio de duas estacas cravadas na terra, assinalavam um segmento de reta. Em seguida, prendiam e esticavam cordas que funcionavam à maneira de com-passos: dois arcos de circunferência se cortam e determinam dois pontos que, unidos, secionam perpendicularmente a outra reta, for-mando os ângulos retos.
O problema mais comum para um construtor é traçar, por um ponto dado, a perpendicular a uma reta. O processo anterior não resolve este problema, em que o vértice do ângulo reto já está determinado de antemão. Os antigos geômetras solucionavam-no por meio de três cordas, colocadas de modo a formar os lados de um triângulo retângulo.
Definição
Dados quatro pontos A, B, C e D coplanares, dis-tintos e não-colineares três a três. Se os segmen-tos AB,
⎯
BC,⎯
CD e DA interceptam-se apenas nas⎯
extremidades, denominamos quadrilátero a reunião desses quatro segmentos.Elementos:
•
Vértices: A, B, C e D;•
Ângulos: ^A (D^AB), ^B (A^BC), ^C (B^CD) e ^D(C^DA);•
Lados: AB,⎯
BC,⎯
CD,⎯
AD⎯
•
Diagonais: AC e BD.⎯
O quadrilátero possui 2 diagonais (segmento que tem como extremidades dois vértices não consecutivos), soma dos ângulos internos igual a 360º e soma dos ângulos externos igual a 360º. CASOS NOTÁVEIS
Trapezóide Definição
É o quadrilátero que não possui lados paralelos.
Trapézio Definição
Um quadrilátero plano convexo é um trapézio se, e somente se, possui dois lados paralelos.
⎯
AD // BC
⎯
Os lados paralelos do trapézio são chamados de bases.
Podemos classificar os trapézios de acordo com os lados não-bases como:
•
Isósceles: os lados não-bases são congru-entes.⎯
AD ≡BC
⎯
•
Escaleno: os lados não-bases não são con-gruentes.•
Retângulo, possui dois ângulos retos.Os ângulos ^B e ^C são suplementares. Paralelogramo
Definição
Um quadrilátero plano convexo é um paralelo-gramo se, e somente se, possui os lados opos-tos paralelos.
ABCD é paralelogramo
⇔ ⎯
AC//BD e⎯
AB//⎯
CD.⎯
RetânguloDefinição
Um quadrilátero plano convexo é um retângu-lo se, e somente se, possui os quatro ânguretângu-los congruentes.
ABCD é retângulo
⇔
^A ≡^B ≡^C ≡^D. Losango ou RomboDefinição
Um quadrilátero plano convexo é um losango se, e somente se, possui os quatro lados con-gruentes.
ABCD é losango CD ≡
⎯
DA⎯
Quadrado Definição
Um quadrilátero plano convexo é um quadrado se, e somente se, possui os quatro ângulos congruentes e os quatro lados congruentes.
ABCD é quadrado
⇔
^A ≡^B ≡^C ≡^D e⎯
AB ≡ BC ≡
⎯
CD ≡⎯
DA.⎯
Propriedades Trapézio qualquerEm qualquer trapézio ABCD, nessa ordem, de bases AB e
⎯
CD temos:⎯
De fato, como AB //
⎯
CD temos⎯
AD e⎯
BC retas⎯
transversais. Então:Os ângulos ^A e ^D, assim como ^B e ^D, são colaterais internos. Logo, são suplementares. Trapézio isósceles
Os ângulos adjacentes às bases são congru-entes.
Demonstração
•
Pelos vértices da base menor traçamos re-tas perpendiculares às bases.•
Temos os triângulos semelhantes AA’D e BB’C, caso de semelhança do triângulo retângulo. Logo ^D≡ ^C.•
Sendo ^A e ^D, assim como ^B e ^C, suple-mentares. Temos ^A ≡ ^B1. Num trapézio isósceles, os ângulos adjacentes à mesma base são representados por 2x + 15º e 3x – 25º. Determinar a medida de cada um dos ângulos do trapézio.
Solução
2x + 15 = 3x – 25 ⇒ x = 40º, logo os ângulos das bases são: 95º e 85º.
Trapézio isósceles
As diagonais de um trapézio isósceles são congruentes.
Dado o trapézio ABCD.
Temos, por hipótese: AD
⎯
≡ BC e pela demon-⎯
stração anterior D ≡ C e ^A ≡ ^B. Tese: queremos mostrar que BD ≡⎯
AC.⎯
Demonstração
Tomemos os triângulos ABD e ABC,
Note que, por hipótese, AD
⎯
≡ BC e⎯
^A ≡ ^B, e ainda temos o lado AB comum aos triângulos.⎯
Pelo caso LAL de congruência, podemos afir-mar que BD ≡⎯
AC.⎯
Paralelogramo
Os ângulos opostos são congruentes.
Demonstração
Por hipótese, AB //
⎯
CD, então⎯
AC é transver-⎯
sal, logo ^A + ^C = 180º e, AC //⎯
BD, então⎯
CD⎯
é transversal, daí ^C + ^D = 180º.. De modo análogo, mos-tramos ^B ≡^C.
2. Prove que a bissetriz de dois ângulos conse-cutivos de um paralelogramo cortam-se em um ângulo reto.
Solução
Observe o paralelogramo ABCD,
Como os ângulos opostos são congruentes, podemos afirmar que:
e . Temos ainda
α
eβ
suple-mentares, logo
⇒
^V = 90ºEm todo paralelogramo, os lados opostos são congruentes.
Observe o paralelogramo ABCD. Tracemos a diagonal AC.
⎯
Queremos mostrar que AD ≡
⎯
BC e⎯
AB ≡⎯
CD.⎯
DemonstraçãoA reta suporte da diagonal AC é transversal às
⎯
retas suporte de AB e⎯
CD. Então os ângulos⎯
B^AC e A^CD são congruentes (alternos internos). Os triângulos ABC e ACD são congruentes, caso LAAo(AC é comum, B⎯
^AC ≡ A^CD e ^B ≡ ^D).Podemos concluir, pela congruência dos triân-gulos, AD ≡
⎯
BC e⎯
AB ≡⎯
CD.⎯
Em todo paralelogramo, as diagonais dividem-se ao meio.
Dado o paralelogramo ABCD, suas diagonais e a respectiva intersecção entre elas.
Os triângulos ABM e CMD são congruentes, caso ALA (M^AB ≡ MCB, AB ≡
⎯
CD e A⎯
^BM ≡ M^DC). Então, DM⎯
≡ MB⎯
⇒
M é ponto médio da dia-gonal BD e⎯
AM ≡⎯
MC⎯
⇒
M é ponto médio da diagonal AC, como queríamos demonstrar.⎯
1. Determine o valor de x em cada um dos qua-driláteros:
a) b) 2. Observe a figura abaixo e responda aos itens:
a) Se ABCD for um trapézio isósceles, ^c = 80º e ^d = 20º, quanto mede cada um dos ângu-los do trapézio?
b) Se ABCD for um trapézio escaleno, ê = 60º, ^b = 110º e CD ⊥ AE, quanto mede cada um dos ângulos do trapézio?
c) ABCD é um trapézio em que ^D = 60º, ^c = 85º e ^B = 130º; quanto mede o ê? d) ABCD é um trapézio em que B^CE = 160º e
ê = 50º; quanto mede o ^B? 3.
Pretende-se abrir um túnel numa montanha de A para B, tendo sido determinada a direcção AE de tal forma que o seu prolongamento passa por B. Mas pretendendo também traba-lhar de B na direcção de A, determinou-se E^AD = 82º, A^DC = 98º e D^CB = 112º. Quantos graus deve medir o C^BF para que o prolongamento de BF passe por A.
4. Determine a medida x indicada no paralelo-gramo abaixo.
5. ABCD é um trapézio de bases AB e
⎯
CD. Se⎯
DP⎯
e CP são bissetrizes; determine x e B⎯
^CD.6. ABCD é um paralelogramo, AP é bissetriz,
⎯
AP = 7cm e PC = 3cm; determine o perímetro do paralelogramo.7. Calcule os lados de um paralelogramo, saben-do que o seu perímetro mede 84m e que a soma dos lados menores representa da soma dos lados maiores.
8. Em um trapézio retângulo, a bissetriz de um ângulo reto forma com a bissetriz do ângulo agudo do trapézio um ângulo de 110º. Deter-mine o maior ângulo do trapézio.
9. A soma dos ângulos consecutivos de um trapézio é igual a 78º e sua diferença 4º.
Deter-mine o maior ângulo do trapézio. 10. (VUNESP) A afirmação falsa é:
a) Todo quadrado é um losango.
b) Existem retângulos que não são losangos. c) Todo paralelogramo é um quadrilátero. d) Todo quadrado é um retângulo.
e) Um losango pode não ser um paralelo-gramo.
11. Do trapézio da figura, sabe-se que AD = DC = CB e BD = BA. O ângulo ^D mede:
a) 36º b) 60º
c) 72º d) 108º
e) 144º
12. Em um trapézio retângulo, a bissetriz de um ângulo reto forma com a bissetriz do ângulo agudo do trapézio um ângulo de 110º. Deter-mine o maior ângulo do trapézio.
13. Em um trapézio retângulo, o menor ângulo mede 32º. O maior ângulo desse polígono mede: a) 138º b) 148º c) 158º d) 168º e) 178º 14. (CESGRANRIO) As base MQ e
⎯
NP de um⎯
trapézio medem 42cm e 112cm respectiva-mente. Se o ângulo M^QP é o dobro do ângulo P^NM, então o lado PQ mede:⎯
a) 154cm b) 133cm c) 91cm d) 77cm e) 70cm TEMA 12 QUADRILÁTEROS
Retângulo, losango e quadrado – principais propriedades e aplicações.
Retângulo
Da primeira propriedade de paralelogramo que demonstramos, os ângulos opostos são con-gruentes, o retângulo é um paralelogramo. En-tão, valem as propriedades do paralelogramo no retângulo. Vejamos outras propriedades do retângulo.
No retângulo, as diagonais são congru-entes.
Demonstração
Hipótese: ABCD é retângulo. Tese: AC ≡
⎯
DB.⎯
ABCD é retângulo
⇒
ABCD é paralelogramo⇒ ⎯
AD ≡ BC e⎯
AB ≡⎯
CD.⎯
O triângulo
Δ
ABD é congruente ao triânguloΔ
ACD, pois, AD é comum,⎯
^A ≡ ^D = 90º e⎯
AB ≡ CD. Caso LAL. Logo
⎯
AC ≡⎯
DB.⎯
Todo paralelogramo que tem diagonais con-gruentes é um retângulo.
Demonstração
Hipótese: ABCD é paralelogramo e AC ≡
⎯
DB.⎯
Tese: ABCD é retângulo.e
Observe que AD ≡
⎯
BC,⎯
AC ≡⎯
DB (hipótese) e⎯
⎯
CD é comum. Pelo caso LLL, podemos afirmar que
Δ
BCD ≡Δ
ACD, então, B^CD ≡ A^DC. Como A^BC ≡ A^DC e D^AB ≡ B^CD, ABCD é um parale-logramo. Temos:^A ≡ ^B ≡ ^C ≡ ^D = 90º, logo ABCD é retângulo.
O RETÂNGULO ÁUREO
Vamos ver um retângulo que tem uma pro-priedade interessante. Ele é chamado de retângulo áureo ou retângulo de ouro e é o preferido dos artistas e arquitetos.
O retângulo áureo tem uma propriedade inte-ressante. Considere um retângulo áureo ABCD de onde foi retirado um quadrado ABEF, como mostra a figura:
O retângulo que sobra, EFCD, é semelhante ao retângulo ABCD.
Seja x a medida do lado AB e y a medida do
⎯
lado AD. Então, vale a proporção:⎯
De onde se deduz que x2= y2 – yx, ou seja,
x2+ yx – y2 = 0.
Resolvendo a equação em x, tem–se:
Se y = 1, então x = 0,618. Se x = 1, então y = 1, 618
O número irracional 1,618... é chamado razão áurea.
A construção do retângulo áureo é simples. Basta seguir o esquema:
O retângulo AHCG é áureo.
Com o auxílio de um compasso, podemos traçar uma espiral, como a do Nautilus marinho.
Losango
Lembre-se de que o losango é um paralelo-gramo com lados opostos congruentes. Todo losango possui as diagonais perpen-diculares entre si.
Hipótese: ABCD é losango, e AC e
⎯
BD são⎯
suas diagonais.Tese: AC
⎯
⊥ BD.⎯
Pelo caso LLL, temos as seguintes congruên-cias:
Δ
AMB ≡Δ
CMD ≡Δ
AMD ≡Δ
CMB, logo os ângulos do vértice M são congruentes e iguais a 90º.Todo paralelogramo que tem diagonais per-pendiculares é um losango.
Demonstração
Hipótese: ABCD é paralelogramo e AC
⎯
⊥ BD.⎯
Tese: ABCD é losango.Basta tomar os mesmos triângulos da demons-tração anterior usando, agora o caso LAL de congruência.
Δ
AMB ≡Δ
CMD ≡Δ
AMD ≡Δ
CMB e, portanto,⎯
AB≡ BC
⎯
≡ CD⎯
≡ DA.⎯
QuadradoTodo quadrado é retângulo e losango.
É retângulo, pois ^A ≡ ^B ≡ ^C ≡ ^D = 90º, e é losango porque AB
⎯
≡ BC⎯
≡ CD⎯
≡ DA.⎯
BASES MÉDIAS Triângulo
São os segmento que têm como extremidades os pontos médios de dois lados de um triângulo.
•
XZ é base média relativa ao lado⎯
BC.⎯
•
YZ é base média relativa ao lado⎯
AB.⎯
•
XY é base média relativa ao lado⎯
AC.⎯
A base média é paralela ao terceiro lado. DemonstraçãoHipótese: AX ≡
⎯
XB e⎯
AZ //⎯
ZC.⎯
Tese: XZ //⎯
BC.⎯
Por C traçamos uma reta paralela ao segmen-to AB, encontramos sua intersecção com a re-
⎯
ta suporte do segmento XZ.⎯
Temos:
⇒
B^AC ≡ A^CD, alternos inter-nos. Pelo caso ALA, temosΔ
AXZ ≡Δ
CDZ⇒
⎯
CD ≡ AX ≡
⎯
XB⎯
⇒
BCDX é um paralelogramo e, portanto, XZ //⎯
BC.⎯
Observe também que XZ ≡
⎯
ZD, logo Z é ponto⎯
médio de XD. Então,⎯
. O que nos leva a outra propriedade.A base média é igual à metade do terceiro lado.
1. No triângulo ABC de lados AB = 13cm, BC = 9cm e AC = 8cm, e M, N e P, pontos médios dos lados AB,
⎯
BC e⎯
AC, respectivamente.⎯
Calcule o perímetro do triângulo MNP.Solução
O lado MP é base média do lado AB, portanto MP = 6,5cm. De modo análogo, encontramos NP = 4cm e MN = 4,5cm. Temos, então, 2p
Δ
MNP = 15cm.Trapézio
A base média de um trapézio é o segmento que tem extremidades nos pontos médios dos lados não-paralelos.
A base média de um trapézio é paralela às bases deste.
Demonstração
Hipótese: ABCD é um trapézio, M é ponto médio do lado AD e N é ponto médio
⎯
BC.⎯
Tese: MN //⎯
AB e⎯
MN //⎯
CD.⎯
Chamamos de E a intersecção das retas e .
Observando os triângulos BEN e CDN, temos:
⎯
BN ≡NC, B
⎯
^NE ≡ C^ND (o.p.v.) e B^EN ≡ N^DC (alternos internos).Pelo caso LAAo,
Δ
BEN ≡Δ
CDN⇒ ⎯
BE ≡CD e⎯
⎯
NE ≡ND.
⎯
Do
Δ
ADE temos: M ponto médio do lado AD e N⎯
ponto médio do lado DE, daí⎯
MN //⎯
AB e⎯
MN //⎯
CD.⎯
Observe, também que , como
⎯
BE ≡ CD (
⎯
Δ
BEN ≡Δ
CDN), concluímos que . Podemos, então, enunciar: A base média de um trapézio é a média arit-mética de suas bases.2. Prove que os pontos médios de um quadri-látero qualquer é um paralelogramo.
Solução
Dado o quadrilátero ABCD, por seus pontos médios determinamos o quadrilátero MNPQ.
Pela diagonal AC, temos:
PQ é base média do triângulo ACD e MN é base média do triângulo ABC, então
e ainda PQ//MN. De modo
aná-logo mostramos que e PN//QN.
1. Usando um barbante de comprimento 144cm, construímos um triângulo eqüilátero e com o mesmo barbante construímos depois um qua-drado. Determine a razão entre a altura do triângulo e a diagonal do quadrado.
2. Gabriel deseja construir uma canoa com for-mas geométricas, conforme a figura seguinte.
Usando uma fita métrica, Gabriel verificou que sua canoa tem o perímetro, na superfície considerada no desenho, igual a 845cm. Ajude o Gabriel a encontrar a medida do lado do triângulo na proa. 3. Considere um quadrilátero ABCD cujas diago-nais AC e BD medem, respectivamente, 13cm e 6cm. Se M, N, P e Q são os pontos médios do quadrilátero dado, o perímetro do quadri-látero MNPQ é igual a:
a) 35cm b) 25cm
c) 19cm d) 17,5cm
e) 9,5cm
4. Considere o trapézio ABCD de base média MN,
⎯
sabendo que CD = x e AB = y, mostre que(mediana de Euler).
5. Calcule x no trapézio abaixo:
6. Calcule x e y no trapézio abaixo:
7. Calcule x, y e z no trapézio abaixo:
8. Sabendo que MN = x – 2y + 5, calcule a mediana de Euler no trapézio:
9. Em um trapézio, a base maior mede 12cm e a diferença entre a base menor e a mediana de Euler mede 3cm. A base média desse trapézio mede:
a) 7cm b) 8cm
c) 9cm d) 10cm
e) n.r.a.
10. Calcule a base menor de um trapézio sabendo que a soma da base média com a mediana de Euler é igual a 12cm e que a razão entre as bases é 2.
a) 5cm b) 6cm
c) 8cm d) 9cm
e) n.r.a.
11. Em um trapézio, as diagonais dividem a base média em segmentos proporcionais a 2, 1, 2. A razão entre as bases do trapézio é:
a) b)
c) d)
12. Prove que a altura de um trapézio retângulo que tem o ângulo agudo medindo 30º é igual à metade do lado não perpendicular às bases. 13. Num trapézio isósceles ABCD, a base menor
⎯
AB é congruente aos lados não-paralelos. Prove que as diagonais são bissetrizes dos ângulos ^C e ^D.
14. Pelo ponto médio M da base BC de um triân-
⎯
gulo isósceles ABC traçamos os segmentos⎯
MN e
⎯
MQ respectivamente paralelos aos lados⎯
AB e AC do triângulo. Prove que APMC é um⎯
losango.
TEMA 13 POLÍGONOS
Linhas poligonais e polígonos
Linha poligonal é uma sucessão de segmentos consecutivos e não-colineares, dois a dois. Classificam-se em:
Linha poligonal Linha poligonal fechada simples fechada não-simples
Linha poligonal Linha poligonal aberta simples aberta não-simples
Polígono é uma linha fechada simples. Um polígono divide o plano em que se encontra em duas regiões (a interior e a exterior), sem pontos comuns.
Elementos de um polígono
Um polígono possui os seguintes elementos:
Lados: Cada um dos segmentos de reta que une vértices cosecutivos: AB,
⎯
BC,⎯
CD,⎯
DE,⎯
EA.⎯
Vértices: Ponto de encontro de dois lados consecutivos: A, B, C, D, E.Diagonais: Segmentos que unem dois vértices não-consecutivos: AC,
