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A exploração de sequências e regularidades como suporte para o desenvolvimento do pensamento algébrico

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Academic year: 2021

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UNIVERSIDADE DE LISBOA INSTITUTO DE EDUCAÇÃO

A Exploração de Sequências e Regularidades como Suporte Para o

Desenvolvimento do Pensamento Algébrico

Ana Margarida Leandro Morais

Dissertação

CICLO DE ESTUDOS CONDUCENTE AO GRAU DE MESTRE EM EDUCAÇÃO

Área de Especialização em Didática da Matemática

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UNIVERSIDADE DE LISBOA INSTITUTO DE EDUCAÇÃO

A Exploração de Sequências e Regularidades Como Suporte Para o

Desenvolvimento do Pensamento Algébrico

Ana Margarida Leandro Morais

Dissertação orientada pelo Professor Doutor João Pedro Mendes da Ponte

CICLO DE ESTUDOS CONDUCENTE AO GRAU DE MESTRE EM EDUCAÇÃO

Área de Especialização em Didática da Matemática

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Resumo

Esta investigação tem como objetivo principal estudar o modo de promover o desenvolvimento do pensamento algébrico de alunos do 2.º ano, dando especial atenção às capacidades de representação e de generalização. Na sua base está uma experiência de ensino, realizada entre outubro e dezembro de 2011. Esta experiência assenta na conjetura de ensino-aprendizagem que os alunos desenvolvem estas capacidades realizando tarefas de cunho essencialmente exploratório, interagindo socialmente a partir do trabalho em pequenos grupos e em coletivo, e utilizando diferentes representações matemáticas e estratégias de generalização. A experiência estrutura-se em sete tarefas envolvendo sequências pictóricas repetitivas e crescentes, sendo as aulas conduzidas por mim, no duplo papel de professora e investigadora. A metodologia é de natureza qualitativa, de cunho interpretativo. A recolha de dados é feita por observação participante na sala de aula (com elaboração de diário de bordo e transcrição dos registos áudio e vídeo) e análise documental (de documentos produzidos pelos alunos). De modo a responder às questões do estudo, é realizada uma análise de conteúdo, a partir da técnica da análise temática ou categorial, e uma análise de discurso

Os resultados do estudo revelam diferenças entre o trabalho realizado pelos alunos em sequências repetitivas e crescentes, sendo as primeiras que os alunos evidenciam mais facilidade em continuar e as últimas que a maioria dos alunos consegue generalizar. De um modo geral, os alunos recorrem a representações informais por eles criadas e à linguagem natural. Alguns deles usam representações mais formais. Os alunos conseguem pensar de forma geral e abstrata e, para isso, utilizam diversas estratégias construtivas, nomeadamente a de representação e contagem, a aditiva e a do objeto inteiro. Usam também estratégias desconstrutivas, como a da decomposição dos termos. Tendo em conta a estreita relação entre o pensamento algébrico e a capacidade de generalizar, os resultados obtidos mostram que, apesar de algumas dificuldades que por vezes se manifestam, esta experiência de ensino contribuiu para o desenvolvimento deste pensamento matemático dos alunos, comprovando-se assim a conjetura de ensino-aprendizagem que está na base do estudo.

Palavras-chave: Pensamento algébrico, sequências pictóricas, representações, estratégias de generalização, dificuldades.

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Abstract

The main purpose of this research is to study how to develop grade 2 students’ algebraic thinking, focusing on their capabilities of representating and generalizing. The study is based on a teaching experience which took place between October and December 2011. This experience is based on a teaching-learning conjecture which states that students develop those skills a) through carrying out exploratory tasks; b) through social interaction in small groups and then in whole class; and c) by using different mathematical representations and generalization strategies. The teaching experience is composed of seven different tasks, which include both repetitive and growing pictorial sequences. As I simultaneously lead the classes, I play the double role of teacher and researcher,. I chose to use a qualitative methodology, and interpretative paradigm. The collection of the data is made by a) participant observation in the classroom (writing of the logbook and doing transcriptions of audio and video records) and b) document analysis (namely those that are produced by students). In order to answer my research questions I use both content analysis (based on a thematic or categorical analysis) and discourse analy.

The findings of this research show differences between the work made by students in repetitive and growing sequences. In repetitive sequences, students can easily continue the sequences proposed and in growing sequences students generalize more easily. Regarding representations, students use mainly natural language and informal representations which they create. Additionally, some of them use more formal representations. In terms of generalizations, students can make use of general and abstract thinking, by using several constructive strategies (namely, representation, counting, additive strategy and the whole object strategy). Moreover, they also use deconstructive strategies, such as the decomposition of terms. Considering the close relationship between the algebraic thinking and the ability to generalize, the results obtained show that, despite some difficulties, the described teaching experience contributed to the development of students’ mathematical thinking, validating the teaching-learning conjecture in which this research is based upon.

Keywords: Algebraic thinking; pictorial sequences; representations; generalization strategies; difficulties.

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Agradecimentos

Desde o início dos trabalhos de mestrado, contei com o apoio e a confiança de várias pessoas que, direta ou indiretamente, contribuíram para a concretização desta aventura e às quais agradeço, reconhecida. Pelo papel particularmente relevante que desempenharam, gostaria de agradecer de modo especial a algumas delas…

Em primeiro lugar, uma palavra de gratidão aos meus alunos pela disponibilidade, entusiasmo e empenho que demonstraram durante o desenvolvimento da experiência de ensino. Sem eles não teria sido possível concretizar este estudo.

Quero deixar uma palavra de reconhecimento ao meu orientador, o Professor Doutor João Pedro da Ponte, pela sua disponibilidade, frontalidade, exigência, paciência, incentivo e apoio constante ao longo deste trabalho de investigação… um Muito Obrigada, Professor!

Gostaria de agradecer à Sandra pela sua disponibilidade e ajuda durante o processo de recolha de dados. À Célia que me acompanhou nesta etapa da vida e a quem agradeço a discussão de ideias, as sugestões construtivas e sobretudo o seu apoio. A ambas obrigada pela amizade que demonstraram e continuam a demonstrar.

À Regina, à Vânia, ao Alberto e ao Telmo por todo o apoio e amizade...

Aos meus pais, aos meus sobrinhos, ao meu cunhado e à minha avó, a quem dediquei menos tempo nestes últimos dois anos, mas os quais estiveram sempre no meu pensamento.

À minha irmã pela proteção, amparo, carinho e por tudo...

Gostaria ainda de agradecer de uma forma muito especial à minha amiga de sempre, Catarina, pela paciência, amparo, incentivo e apoio constantes, nesta etapa final, e que me deram força para terminar, bem como a sua disponibilidade e paciência para reler este trabalho e para traduzir para Inglês o resumo desta dissertação. OBRIGADA POR TUDO MINHA QUERIDA AMIGA!

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Índice

Capítulo 1 - INTRODUÇÃO ... 1

Orientações curriculares para o ensino da Álgebra ... 1

O pensamento algébrico no ensino inicial da Matemática ... 2

Motivações pessoais ... 6

Objetivo e questões do estudo ... 8

Organização geral do estudo ... 9

Capítulo 2 - SEQUÊNCIAS E REGULARIDADES NO DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO ALGÉBRICO ... 11

Sequências e regularidades ... 11

A importância do trabalho com sequências e regularidades ... 11

Sequências e regularidades na aula de Matemática ... 16

Representações ... 18

Representações matemáticas ... 18

Representações matemáticas em tarefas que envolvem sequências pictóricas ... 22

Estratégias e dificuldades dos alunos no trabalho com sequências pictóricas ... 23

Estratégias ... 23

Dificuldades ... 31

Capítulo 3 - A EXPERIÊNCIA DE ENSINO ... 35

Experiência de ensino: objetivos e organização ... 35

Tarefas ... 38

Dinâmica da sala de aula ... 42

Capítulo 4 - METODOLOGIA DE INVESTIGAÇÃO... 45

Opções metodológicas gerais e design ... 45

Participantes ... 48

Instrumentos de recolha de dados ... 49

Análise de dados ... 51

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Capítulo 5 - A EXPERIÊNCIA DE ENSINO NA SALA DE AULA ... 55

Exploração da Sequência Repetitiva: Sequência com círculos (Tarefa 1) ... 55

Realização da tarefa na sala de aula ... 55

Representações matemáticas utilizadas pelos alunos ... 56

Estratégias utilizadas pelos alunos na generalização de regularidades ... 59

Dificuldades manifestadas pelos alunos no trabalho com a sequência ... 63

Síntese/reflexão ... 69

Exploração da Sequência Repetitiva: Sequência com quadrados (Tarefa 2) ... 71

Realização da tarefa na sala de aula ... 71

Representações matemáticas utilizadas pelos alunos ... 72

Estratégias utilizadas pelos alunos na generalização de regularidades ... 76

Dificuldades manifestadas pelos alunos no trabalho com a sequência ... 80

Síntese/reflexão ... 85

Exploração da Sequência Repetitiva: Sequência com triângulos e retângulos (Tarefa 3) ... 87

Realização da tarefa na sala de aula ... 87

Representações matemáticas utilizadas pelos alunos ... 90

Estratégias utilizadas pelos alunos na generalização de regularidades ... 96

Dificuldades manifestadas pelos alunos no trabalho com a sequência ... 99

Síntese/reflexão ... 102

Exploração da Sequência Crescente: Sequência em V (Tarefa 4) ... 104

Realização da tarefa na sala de aula ... 104

Representações matemáticas utilizadas pelos alunos ... 105

Estratégias utilizadas pelos alunos na generalização de regularidades ... 108

Dificuldades manifestadas pelos alunos no trabalho com a sequência ... 115

Síntese/reflexão ... 120

Exploração da Sequência Crescente: Sequência em T (Tarefa 5) ... 121

Realização da tarefa na sala de aula ... 121

Representações matemáticas utilizadas pelos alunos ... 122

Estratégias utilizadas pelos alunos na generalização de regularidades ... 126

Dificuldades manifestadas pelos alunos no trabalho com a sequência ... 134

Síntese/reflexão ... 139

Exploração da Sequência Crescente: Sequência com cubos (Tarefa 6) ... 141

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vii

Representações matemáticas utilizadas pelos alunos ... 141

Estratégias utilizadas pelos alunos na generalização de regularidades ... 145

Dificuldades manifestadas pelos alunos no trabalho com a sequência ... 152

Síntese/reflexão ... 157

Criação e exploração de sequências: Criem a vossa própria sequência (Tarefa 7) .. 158

Realização da tarefa na sala de aula ... 158

Representações matemáticas utilizadas pelos alunos ... 159

Estratégias utilizadas pelos alunos na generalização de regularidades ... 164

Dificuldades manifestadas pelos alunos no trabalho com sequências ... 170

Síntese/reflexão ... 173

Capítulo 6 - CONCLUSÃO ... 175

Síntese do estudo ... 175

Síntese e discussão dos resultados ... 177

Representações usadas pelos alunos ... 181

Estratégias utilizadas pelos alunos na generalização de regularidades ... 185

Dificuldades manifestadas pelos alunos no trabalho com sequências ... 188

Reflexão final ... 193

REFERÊNCIAS ... 199

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Índice de anexos

Anexo 1 - Planificação da experiência de ensino ... 207

Anexo 2 - Tarefas selecionadas para a experiência de ensino ... 209

Sequências repetitivas Tarefa 1 – Sequência com círculos ... 209

Tarefa 2 – Sequência com quadrados ... 210

Sequência repetitiva no sentido contrário Tarefa 3 – Sequência com triângulos e retângulos ... 211

Sequências crescentes Tarefa 4 – Sequência em V ... 212

Tarefa 5 – Sequência em T ... 213

Tarefa 6 – Sequência com Cubos ... 214

Criação e exploração de sequências Tarefa 7 – Criem a vossa própria sequência ... 215

Anexo 3 - Distribuição dos alunos pelos grupos de trabalho ... 217

Anexo 4 - Guião do diário de bordo ... 219

Anexo 5 - Tabela com as categorias de análise estabelecidas à posteriori ... 221

Índice de tabelas

Tabela 1 - Três tipos de representação (Castro, 2005, p. 15). ... 22

Tabela 2 - Calendarização da experiência de ensino. ... 38

Tabela 3 - Fases do estudo. ... 54

Índice de figuras

Figura 1 - Termos relacionados com padrão (Adaptado de Vale, 2009, p. 11). ... 12

Figura 2 - Sequências de quadrados de fósforos (Rivera & Becker, 2008, p. 66)... 25

Figura 3- Relação entre diversos tipos de tarefas, em termos do seu grau de desafio e de abertura (Ponte, 2005, p. 17). ... 39

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ix

Figura 5 - Sequência com círculos. ... 56

Figura 6 - Representações utilizadas pelos alunos na reprodução da sequência. ... 56

Figura 7 - José (Grupo 1) associa a sequência numérica à sequências pictórica apresentada, tal como a maioria dos seus colegas dos outros grupos... 57

Figura 8 - Sequência com quadrados. ... 71

Figura 9 - Diversas formas de reproduzir a sequência. ... 72

Figura 10 - Rita (Grupo 3) reproduz a sequência agrupando-a pela unidade que se repete, composta por 3 elementos... 72

Figura 11- Representação simbólica dos alunos do grupo 4 para responder à questão 3. ... 73

Figura 12 - Flávio associa a sequência pictórica à numérica à medida que vai reproduzindo a sequência que lhe é apresentada. ... 73

Figura 13 - António numera apenas os quadrados azuis. ... 73

Figura 14 - Pelo número insuficiente de quadrados, Filipa recorre aos quadrados utilizados para representar os primeiros termos da sequência e assim poder continuá-la até aos termos solicitados. ... 74

Figura 15 - Tentativa do aluno Miguel (Grupo 2) para encontrar o 30.º elemento. ... 75

Figura 16 - Representação simbólica realizada por Miguel (Grupo 2). ... 76

Figura 17 - Simão continua a sequência sem respeitar a forma de cada elemento. ... 80

Figura 18 - Respostas apresentadas por Miguel (Grupo 2) às questões 2, 3 e 4 são exemplos de que alguns alunos se referem apenas à cor de cada elemento que compõem a sequência. ... 81

Figura 19 - Cármen utiliza tanto a nomenclatura dos números ordinais como a dos cardinais. ... 82

Figura 20 - Resposta apresentada por Sónia (Grupo 2) à questão 11. ... 84

Figura 21 - Respostas escritas por Juliana (Grupo 4) às questões 11 e 12. ... 84

Figura 22 - Justificação não válida apresentada por Filipe (Grupo 4)... 84

Figura 23 - Justificação não válida apresentada por Mónica (Grupo 5). ... 85

Figura 24 - Sequência com triângulos e retângulos. ... 87

Figura 25 - Representações utilizadas pelos alunos na reprodução da sequência. ... 90

Figura 26 - Representação da reprodução da sequência realizada pelo grupo 5. ... 90

Figura 27 - Representações icónicas feitas pelos alunos do grupo 3... 91

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x

Figura 29 - Frederico recorre à sequência numérica para descobrir o 18.º elemento, no entanto, ao recomeçar a numeração não repara que há 3 triângulos seguidos na

sequência por si formada. ... 93

Figura 30 - José usa os numerais ordinais para responder à questão 8. ... 94

Figura 31 - Exemplo da resposta apresentada por um elemento do grupo 4, Filipe, que recorre a palavras e símbolos matemáticos para justificá-la. ... 94

Figura 32 - Resposta dada por António (Grupo 3). ... 95

Figura 33 - Respostas escritas por Cármen às questões 10 e 11... 95

Figura 34 - Resposta apresentada pelo grupo 5. ... 97

Figura 35 - Resposta apresentada pelo grupo 3. ... 100

Figura 36 - Exemplo de uma resposta à questão 8 escrita por Juliana (Grupo 4). ... 100

Figura 37 - Exemplo de uma das respostas dadas no grupo 2, pela aluna Cármen, que manifesta uma dificuldade de estratégia ao utilizar a estratégia de representação e contagem. ... 101

Figura 38 - Exemplo da resposta apresentada pelo grupo 1, que não consegue apresentar uma justificação escrita, evidenciando uma dificuldade de comunicação. ... 101

Figura 39 - Justificação não válida apresentada pelo grupo 5 à questão 10. ... 102

Figura 40 - Justificação não válida dada pelo grupo 1 à questão 11. ... 102

Figura 41 - Sequência em V. ... 104

Figura 42 - Grupo 4 usa os círculos manipuláveis para representar a 4.ª figura. ... 105

Figura 43 - Grupo 3 desenha o 4.º elemento. ... 105

Figura 44 - Representação dos 10 primeiros elementos da sequência (Grupo 1). ... 106

Figura 45 - Miguel representa todos os termos até ao solicitado (10.º). ... 106

Figura 46 - Resposta apresentada pela aluna Mónica à questão 4... 107

Figura 47 - Resposta apresentada pela aluna Mónica à questão 5... 107

Figura 48 - Representação feita pelo aluno Frederico. ... 108

Figura 49 - Resposta inicial apresentada pelo grupo 4 à questão 5. ... 111

Figura 50 - Resposta escrita por Filipe na questão 5. ... 113

Figura 51 - Respostas escritas por Juliana na questão 5. ... 113

Figura 52 - 4.º elemento da sequência desenhado por Flávio (Grupo 1) e Luís (Grupo 2), respetivamente. ... 115

Figura 53 - Representação realizada pelo grupo 4 do 5.º elemento da sequência. ... 116

Figura 54 - Resposta apresentada pelos alunos do grupo 4 à 4.ª questão. ... 117

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Figura 56 - António não respeita a forma de cada termo ao reproduzir a sequência. .. 119

Figura 57 - Sequência em T. ... 121

Figura 58 - Reprodução da sequência realizada pelo grupo 3, que utiliza material manipulável. ... 122

Figura 59 - Representação feita por Cármen das diferentes formas que o seu grupo consegue ver a sequência. ... 123

Figura 60 - Representação icónica utilizada por Mónica na resposta à questão 4. ... 124

Figura 61 - Representação simbólica utilizada por Filipe na resposta à questão 5. ... 125

Figura 62 - Representação simbólica utilizada por Mónica na resposta à questão 5. .. 125

Figura 63 - Representação simbólica utilizada por Mónica na resposta à questão 6. .. 125

Figura 64 - Resposta escrita por Rodrigo (Grupo 1) à questão 2. ... 127

Figura 65 - Justificação apresentada pelo grupo 4 à questão 5. ... 131

Figura 66 - Explicação apresentada por Miguel para saber o número de pentágonos de qualquer figura. ... 132

Figura 67 - Representação da figura 4 realizada por Rodrigo. ... 135

Figura 68 - Representação da figura 4 realizada por José. ... 135

Figura 69 - Representação do 4.º termo da sequência construída por António. ... 135

Figura 70 - Representação da figura 4 construída por Filipe. ... 136

Figura 71 - Tabela preenchida de forma errada por Fernando (Grupo 3). ... 137

Figura 72 - Juliana parece realizar uma expressão matemática, no entanto, recorre à expressão escrita para completar a sua ideia. ... 138

Figura 73 - Resposta escrita por Cármen (Grupo 2). ... 138

Figura 74 - Sequência com cubos. ... 141

Figura 75 - Grupo 4 recorre aos materiais manipuláveis para responder à questão 2. . 141

Figura 76 - Representações do 3.º termo da sequência realizadas por alguns alunos de diferentes grupos. ... 142

Figura 77 - Representação realizada por Miguel. ... 142

Figura 78 - Outra forma de representar o 3.º termo da sequência. ... 142

Figura 79 - Representação feita por Rita. ... 143

Figura 80 - Representação simbólica realizada por Filipe (Grupo 4)... 143

Figura 81 - Representação simbólica feita por Juliana (Grupo 4). ... 144

Figura 82 - Representação simbólica construída por Mónica. ... 144

Figura 83 - Representação simbólica realizada pelo grupo 2. ... 144

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xii

Figura 85 - Justificação apresentada por Mónica na questão 5. ... 152

Figura 86 - Dificuldades de representação e de análise manifestadas por exemplo por Sónia (Grupo 4) e António (Grupo 3), respetivamente. ... 153

Figura 87 - Justificação apresentada pelos alunos do grupo 2 à questão 4. ... 155

Figura 88 - Sequência de Filipe composta por figuras geométricas. ... 159

Figura 89 - Figuras e sólidos geométricos desenhados por Carla. ... 159

Figura 90 - Sequência repetitiva criada por Flávio... 160

Figura 91 - Sequência repetitiva construída por Juliana... 160

Figura 92 - Representação simbólica feita por Juliana. ... 161

Figura 93 - Representações usadas por Rita. ... 161

Figura 94 - Representação simbólica utilizada por Rita. ... 161

Figura 95 - Representação da parte que se repete na sequência de António. ... 162

Figura 96 - Explicação apresentada por Juliana perante a sequência criada por Frederico. ... 162

Figura 97 - Sequência criada por Miguel. ... 162

Figura 98 - Representação apresentada por Miguel através da sua linguagem natural. 163 Figura 99 - Representação usada por José a partir da usa linguagem natural para explicar a formação da sua sequência. ... 164

Figura 100 - Representações concebidas por Mónica para a formação das 2 sequências. ... 164

Figura 101 - Explicação apresentada por Filipe para a formação da sua sequência. ... 164

Figura 102 - Justificação dada por Miguel para a formação da sequência criada por Filipe. ... 165

Figura 103 - Justificação apresentada por Frederico para a formação da sequência criada por Juliana. ... 165

Figura 104 - Justificação dada por Mónica para a formação da sequência de Rita. ... 166

Figura 105 - Sequência criada por Rodrigo. ... 166

Figura 106 - Explicação apresentada por Sónia para a formação da sua sequência. .... 167

Figura 107 - Explicação apresentada por Frederico para a formação da sua sequência. ... 167

Figura 108 - Sequência criada por José. ... 169

Figura 109 - Explicação apresentada por Filipe perante a sequência criada por José. . 170

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xiii

Figura 111 - Explicação apresentada por Cármen para a formação da sequência de Sónia. ... 172 Figura 112 - Tentativa de Luís em criar uma sequência crescente e a respetiva explicação para a sua formação. ... 172 Figura 113 - Primeira sequência crescente criada por Filipa... 172 Figura 114 - Segunda sequência crescente criada por Filipa... 173

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Capítulo 1

INTRODUÇÃO

O presente capítulo começa por referir as orientações curriculares para o ensino da Álgebra, bem como os aspetos essenciais que caracterizam o pensamento algébrico. De seguida, apresenta também as ideias principais que me motivaram à realização deste estudo e descreve o objetivo e as questões orientadoras desta investigação.

Orientações curriculares para o ensino da Álgebra

Durante muitas décadas, o ensino da Álgebra tem o seu início no 3.º ciclo, sendo muito marcado pela manipulação dos símbolos e das expressões algébricas. Porém, os investigadores afastam-se da resolução de equações como a principal atividade do ensino da Álgebra, e passam para abordagens ligadas à generalização, sequências numéricas, variáveis e funções (Carraher & Schliemann, 2007). Assim, nos últimos anos, as novas orientações curriculares para o ensino básico e secundário, têm dado uma nova perspetiva à Álgebra, trazendo para mais cedo o seu ensino e dando uma nova ênfase a este tema: o desenvolvimento do pensamento algébrico dos alunos (Ponte, Branco, & Matos, 2009).

A valorização do ensino da Álgebra e, consequentemente, do pensamento algébrico, constitui uma inovação curricular em Portugal. Ela surge, por exemplo, no

Currículo Nacional do Ensino Básico (ME-DEB, 2001) que, apesar de não explicitar

competências específicas no domínio da Álgebra para o 1.º ciclo, refere, nomeadamente a importância de desenvolver nos alunos, ao longo de todos os ciclos, a predisposição para procurar sequências e regularidades e para formular generalizações em situações diversas, incluindo contextos numéricos e geométricos.

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2

O atual Programa do Ensino Básico (ME, 2007) advoga também a abordagem da Álgebra desde os primeiros anos de escolaridade. Este programa refere que é “o estabelecimento de um percurso de aprendizagem prévio no 1.º e 2.º ciclos que possibilita um maior sucesso na aprendizagem posterior, com a consideração da Álgebra como forma de pensamento matemático, desde os primeiros anos” (ME, 2007, p. 7). Neste programa, a Álgebra não é introduzida no 1.º ciclo do ensino básico como um tema independente, mas objetivos de cunho algébrico são contemplados noutros temas, nomeadamente Números e Operações e Geometria. Assim, a Álgebra aparece como forma de pensamento matemático, tendo em vista o desenvolvimento da capacidade de abstração, a partir do trabalho com regularidades generalizáveis em sequências de formas, desenhos e/ou conjuntos de números, que é essencial neste nível de ensino, contribuindo desta forma para o desenvolvimento do pensamento algébrico.

Pelo seu lado, o National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) (2007) considera igualmente a Álgebra como um fio condutor curricular desde o jardim de infância e recomenda que os professores ajudem os alunos a construir uma base sólida assente na compreensão e nas suas experiências como preparação para um trabalho algébrico mais aprofundado, em níveis mais avançados.

Desta forma, verifica-se que o NCTM (2007) apresenta uma perspetiva semelhante à do Currículo Nacional (ME-DEB, 2001), no que diz respeito à Álgebra nos primeiros anos de escolaridade, e o Programa de Matemática (ME, 2007) segue também a mesma linha, propondo a Álgebra quase como tema transversal que se inicia desde cedo, a partir do trabalho de investigação de regularidades em sequências, estabelecimento de relações e propriedades.

O pensamento algébrico no ensino inicial da Matemática

Nos últimos anos existe uma maior preocupação por parte dos investigadores sobre aspetos relacionados com a natureza da aprendizagem da Matemática, a estrutura da Matemática, o papel dos professores, e a viabilidade da “Álgebra para todos” (Carraher & Schliemann, 2007).

O termo “Álgebra” engloba dois conceitos distintos: pensamento algébrico e simbolismo algébrico (Zazkis & Liljedahl, 2002). Esta distinção é fundamentada por Zazkis e Liljedahl (2002): por um lado, um atual reconhecimento na possibilidade de não dar tanta atenção à manipulação de símbolos e, por outro, a existência de um

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movimento para “early algebra”, no ensino básico, que assenta na estrutura em vez do cálculo. Este termo - “early algebra” - é também usado por Carraher e Schliemann (2007) para abranger o pensamento algébrico e a Álgebra relacionados com o ensino de jovens alunos, entre os 6 e os 12 anos. Ponte (2006) refere que a expressão “desenvolvimento do pensamento algébrico” resume muito bem os objetivos da Álgebra, ao nível escolar. Vários investigadores têm refletido sobre a natureza deste pensamento, que consiste em algo mais profundo do que manipular expressões e resolver equações (Carraher & Schliemann, 2007; Kaput, 1999, 2008; Matos, Silvestre, Branco & Ponte, 2008; Molina, 2011; Papic, Mulligan & Mitchelmore, 2011; Ponte, 2006) e defendem o seu desenvolvimento desde cedo, nos anos iniciais do ensino.

Quanto à referida introdução precoce da Álgebra no currículo de Matemática, Carraher e Schliemann (2007), apresentam cinco questões e duas perspetivas diferentes para cada uma delas. A primeira diz respeito às relações entre a Aritmética e a Álgebra, podendo fazer-se a distinção entre estes dois ramos da Matemática, o que cria, segundo os autores, uma fronteira clara entre este dois domínios ou, por outro lado, pode-se defender a continuidade entre eles. A segunda questão está relacionada com o processo

versus objeto, em que a Matemática pode ser encarada como operação/processo/cálculo/

procedimento/algoritmo ou como objeto/estrutura/relação. No entanto, os autores referem que este aspeto pode provocar discordância acerca das vantagens das abordagens processuais versus estruturais.

A terceira questão apresentada por Carraher e Schliemann (2007) refere-se ao papel referencial da Álgebra, isto é, a compreensão algébrica pode crescer através da modelagem ou, por outro lado, a Álgebra pode ser encarada como a originária de distração e interferência. A quarta questão prende-se com a representação simbólica, estritamente definida, pois, segundo estes autores, existem diferenças substanciais de opinião quanto à importância, timing, e mecanismos associados à notação algébrica convencional ou simbólica. Os autores argumentam que a representação simbólica pode merecer um lugar de destaque na aprendizagem inicial ou, em contrapartida, a sua introdução pode ser adiada por vários anos, para evitar a suscetibilidade de os alunos se envolverem na manipulação de símbolos sem sentido.

A quinta e última questão também faz alusão à representação simbólica, mas como definição mais ampla. Carraher e Schliemann (2007) referem que representações tabulares, gráficas, e o sistema de linguagem natural podem estar relacionados com o pensamento algébrico. Mas, por outro lado, estes sistemas de representação podem ser

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pontos essenciais para a aprendizagem da Álgebra. Os autores referem também que, os sistemas de representação podem ainda ser considerados importantes mesmo após ter um domínio do pensamento simbólico (em sentido restrito), ou encarados como pré-algébricos.

Pela sua vez, Molina (2011) defende também uma abordagem inicial da Álgebra, na medida em que esta enriquece o ensino da Matemática, mesmo nos primeiros anos de escolaridade, facilitando o desenvolvimento mais profundo e integrado da Aritmética e da Álgebra. A Álgebra é apresentada por Papic, Mulligan e Mitchelmore (2011) como uma linguagem simbólica, que permite expressar relações e generalizações, normalmente envolvendo números, e usá-los para resolver problemas sem necessitar de realizar cálculos numéricos muito extensos. Encontrar e usar generalizações pode ser considerado pensamento algébrico.

Kaput (2008) defende que a Álgebra permite simbolizar generalizações de regularidades e restrições e considera que um dos aspetos do pensamento algébrico é a generalização e a expressão de generalizações cada vez mais sistemática, em sistemas convencionais de símbolos. Deste modo, encara a Álgebra como um pensamento sintaticamente guiado e como ações sobre generalizações expressas em sistemas de símbolos. Este autor apresenta ainda três linhas da Álgebra que visam o desenvolvimento do pensamento algébrico por parte dos alunos, e que expressam os aspetos já referidos, nomeadamente:

1. Estudo das estruturas e sistemas abstratos de operações e relações, incluindo sistemas decorrentes da Aritmética (Álgebra como aritmética generalizada) e do raciocínio quantitativo;

2. Estudo de funções, relações e variação conjunta (covariação);

3. Aplicação de um conjunto de linguagens de modelação, tanto no interior como no exterior da Matemática. (p. 11)

Assim, o pensamento algébrico pode ser definido como algo que se manifesta quando os alunos fazem generalizações sobre dados e relações matemáticas, através de conjeturas e argumentos, expressos através de uma linguagem cada vez mais formal e adequados à idade (Kaput, 1999). Esta perspetiva inspira o NCTM (2007), que indica que o pensamento algébrico, ao longo da escolaridade, implica “compreender padrões, relações e funções”; “representar e analisar situações e estruturas matemáticas usando símbolos algébricos”; “usar modelos matemáticos para representar e compreender relações quantitativas”; “analisar a variação em diversos contextos” (p. 104). Desta

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forma, generalizar é visto como a chave da Matemática elementar e o objetivo orientador das aulas de Matemática, na medida em que contribui para o desenvolvimento do raciocínio matemático (Russell, 1999; Warren, 2009) e também da compreensão algébrica (Warren, 2009), e pode ocorrer em qualquer conceito matemático lecionado desde os primeiros anos de escolaridade (Kaput, 1999). Estas generalizações podem ser expressas em palavras ou em símbolos e podem resultar da observação, por parte do aluno, de sequências. Do mesmo modo, os alunos recorrem ao pensamento algébrico quando, a partir da análise de determinados casos, conseguem por um lado generalizar, por exemplo, sobre as propriedades da soma de números pares ou ímpares ou, por outro, quando reconhecem e expressam propriedades de um sistema numérico, de que é exemplo a propriedade comutativa da adição (Blanton & Kaput, 2005, Molina, 2011). Estes aspetos resultam de um tipo específico de pensamento algébrico designado de pensamento relacional (Molina, 2011). Isto é, perante expressões aritméticas e algébricas, os alunos utilizam o pensamento relacional quando consideram expressões como um todo, as analisam, distinguem alguns detalhes e reconhecem algumas relações, e quando usam essas relações para construir uma solução estratégica.

Uma profunda compreensão aritmética, por exemplo, requer generalizações matemáticas que são de natureza algébrica (Carraher & Schliemann, 2007). Assim, a Aritmética pode ser o contexto privilegiado para integrar as características do pensamento algébrico, tendo em conta as suas inerentes regularidades, equivalências, múltiplas formas de conceptualizar as relações numéricas, analisar e representar relações entre quantidades e também com o seu lado funcional, que inclui estudar padrões, analisar como variam as quantidades e identificar correlações entre variáveis (Molina, 2011).

O pensamento algébrico pode ser visto como uma forma particular de reflexão matemática e ser caracterizado pelo sentido indeterminado que é típico dos objetos algébricos básicos, tais como variáveis e parâmetros desconhecidos; pelos objetos indeterminados que são manuseados analiticamente; sendo o modo peculiar do uso dos símbolos para designar tais objetos, aquilo que faz o pensamento algébrico (Radford, 2010). Neste sentido, Carraher e Schliemann (2007) referem que os alunos do ensino básico, nos anos iniciais, podem aprender sucessivamente regras, princípios e representações.

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Pode-se assim dizer que o pensamento algébrico envolve as capacidades de estabelecer generalizações e relações, interpretar situações e resolver problemas (Matos, Silvestre, Branco, & Ponte, 2008), representando essas relações e raciocinando sobre elas tanto quanto possível de modo geral e abstrato (Ponte, 2006).As potencialidades do pensamento algébrico no 1.º ciclo do ensino básico são apontadas em investigações realizadas em Portugal. Nomeadamente, Canavarro (2009) apresenta-as “como argumento para defender a inclusão do pensamento algébrico no currículo de Matemática dos primeiros anos (…) não só o seu carácter preparatório para a Álgebra dos anos posteriores, mas também o seu contributo para o aprofundamento da compreensão da Matemática e do poder desta área do saber” (p. 13). Pimentel (2010) partilha desta ideia afirmando que o desenvolvimento do pensamento algébrico nos primeiros níveis de escolaridade é importante não só como preparação e resolução do insucesso da Álgebra nos níveis mais avançados, mas também como forma de aprofundar a Aritmética, “que muitas vezes não se apoia na compreensão de conceitos mas apenas na mecanização de procedimentos” (p. 129).

Pelo seu lado, Alvarenga e Vale (2007) defendem que “os alunos, desde os primeiros anos de escolaridade, podem e devem ser encorajados a observar padrões e a representar tanto geométrica como numericamente, iniciando o estudo da Álgebra de um modo fortemente intuitivo e informal” (p. 2).

Por sua vez, Branco (2008) sugere que “é necessário compreender de que modo o desenvolvimento do pensamento algébrico pode ser promovido nos primeiros anos de escolaridade” (p. 190). Esta ideia é partilhada por Ponte e Velez (2011), que acrescentam que, em Portugal, ainda está por explorar “o estudo do papel das representações no currículo, na aprendizagem dos alunos e nas práticas profissionais dos professores deste nível de ensino” (p. 16).

Pimentel (2010) a partir do seu estudo conclui que as crianças envolvem-se em atividade muito próxima da prática dos matemáticos, formulando, testando, conjeturando e provando afirmações de generalidade, e como tal, vê possibilidade e vantagem numa abordagem precoce de ideias algébricas.

Motivações pessoais

O estudo de tópicos da Álgebra está tradicionalmente associado a dificuldades de aprendizagem, constituindo muitas vezes uma fonte de insucesso escolar em

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Matemática (Abrantes, Serrazina, & Oliveira, 1999). Para mim, a palavra “Álgebra” estava muito associada à resolução de equações e inequações, tendo surgido no momento em que a Matemática começa a trabalhar com letras, tornando-se mais complexa. Esta complexidade é por mim sentida, em algumas unidades temáticas relativas à Álgebra, ao longo do meu percurso na escola secundária, sobretudo no 12.º ano. Naquela altura, aprender Álgebra não teve para mim grande significado e sentia dificuldades em trabalhar muitos dos seus tópicos, apesar de a Matemática ter sido sempre a minha disciplina preferida e onde tinha mais facilidade.

Perante essas dificuldades, e sem voltar a usar os conteúdos abordados, depressa esqueci o que aprendi! Enquanto estudante, o termo “Álgebra” era-me familiar, não por ser usado pelos meus professores ou por aparecer nos manuais escolares (eu nem tive a noção que a estudei!), mas por ouvir outras pessoas mais velhas comentarem que era um tópico da Matemática muito difícil e apenas alguns alunos mais capacitados nesta área conseguiam acompanhar este tema.

Enquanto professora do 1.º ciclo, o tema da Álgebra esteve, até recentemente, fora das minhas preocupações. No meu curso de formação inicial e na formação contínua de Matemática de âmbito nacional que frequentei, este tema nunca foi abordado. Ao analisar os relatórios anuais do Ministério de Educação sobre as Provas de Aferição de Matemática realizadas pelos alunos do ensino básico, deparei-me com o facto de um dos itens em que os alunos do 1.º ciclo têm que mostrar os seus conhecimentos refere-se à área temática de Álgebra e Funções. No anterior Programa do 1.º ciclo (ME, 1990) este tema não era referido, pelo que eu também não relacionava este termo com a minha prática letiva.

Ao ler os referidos relatórios, fiquei surpreendida, como poderiam os alunos ser avaliados numa área não mencionada no programa?! No que incide a Álgebra e Funções no 1.º ciclo? Como tenho trabalhado esta temática com os meus alunos? Será que tenho contribuído para o seu sucesso nesta área? Analisar os itens das provas de aferição que dizem respeito a este tema ajudou-me a perceber alguns dos aspetos em que incide, mas não foi suficiente para responder às minhas dúvidas.

Recentemente, a reflexão sobre as orientações curriculares nacionais, nomeadamente o atual programa do ensino básico (ME, 2007), e internacionais, a partir do documento Princípios e Normas para a Matemática Escolar (NCTM, 2007), bem como a frequência no mestrado em Didática da Matemática contribuem para me esclarecer. Consciencializo-me assim que a Álgebra no 1.º ciclo pode ser introduzida

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como forma de pensamento matemático, a partir da procura de regularidades generalizáveis, as quais ajudam a desenvolver a capacidade de abstração e, consequentemente, o desenvolvimento do pensamento algébrico. Este contributo faz crescer a minha vontade em aprofundar o tema.

Assim, a recente e crescente importância dada ao ensino da Álgebra numa fase inicial da escolaridade, associada à falta de conhecimento sobre o modo como concretizar este ensino, nos primeiros anos de escolaridade, são as motivações fulcrais para o desenvolvimento do presente estudo.

Objetivo e questões do estudo

O presente estudo insere-se no quadro de uma experiência de ensino, no 2.º ano de escolaridade, cujo objetivo é promover o desenvolvimento do pensamento algébrico, a partir das capacidades de representação e de generalização. Esta experiência tem como conjetura de ensino aprendizagem a ideia que os alunos desenvolvem estas capacidades (representação e generalização) realizando tarefas matemáticas de cunho essencialmente exploratório (Ponte, 2005), que envolvam sequências e regularidades, interagindo socialmente a partir do trabalho em pequenos grupos e em grupo turma e utilizando diferentes representações matemáticas e estratégias de generalização.

A partir da realização desta experiência, procuro compreender como se desenvolve o pensamento algébrico dos alunos, na fase inicial do 1.º ciclo, explorando situações que envolvam sequências e regularidades. Mais especificamente, procuro saber:

i) Que representações usam os alunos na realização de tarefas que envolvam sequências repetitivas e sequências crescentes?

ii) Que estratégias de raciocínio usam os alunos para responder a questões de distintos níveis de complexidade, incluindo questões que envolvem generalizações?

iii) Que dificuldades apresentam os alunos ao realizar tarefas que envolvam a representação e a generalização?

Com o intuito de responder a estas questões, os alunos de uma turma do 2.º ano resolvem tarefas, que envolvem sequências e regularidades, e eu procuro evidenciar as representações utilizadas, as generalizações formuladas e as dificuldades encontradas

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por eles. Deste modo, pretendo identificar eventuais contributos de uma experiência de ensino que tem por base esta estratégia curricular de aprendizagem dos alunos. O propósito principal deste estudo é assim contribuir para conhecer formas de promover o sucesso dos alunos na aprendizagem da Álgebra.

Organização geral do estudo

Perante as motivações iniciais e a formulação do objetivo e das questões que acabo de apresentar, surge a necessidade de aprofundar conhecimentos e de explicitar conceitos, a partir da revisão da literatura dos aspetos centrais em torno dos quais assenta o estudo. Assim, no capítulo dois são aprofundados pontos relacionados com a análise e exploração de sequências e regularidades, enquanto promotoras do desenvolvimento do pensamento algébrico. Também é feita uma abordagem às representações matemáticas e às estratégias de generalização usadas pelos alunos perante tarefas que envolvem sequências e que visam a promoção do pensamento algébrico, bem como às dificuldades manifestadas por eles.

No capítulo três, a proposta pedagógica – experiência de ensino – é apresentada e enquadrada, sendo referido o tipo de tarefas a realizar e realizada uma abordagem à planificação das mesmas e as dinâmicas da sala de aula, bem como a respetiva calendarização. Segue-se o capítulo quatro, onde apresento as opções metodológicas do estudo, caracterizo a turma participante, e apresento, ainda, os procedimentos seguidos na recolha e análise de dados.

No capítulo cinco, apresento e discuto os principais resultados deste estudo, descrevendo o percurso global do trabalho realizado pelos alunos da turma que protagoniza o estudo, tendo em especial atenção as representações e estratégias usadas por eles, tal como as dificuldades por si manifestadas durante a realização da experiência de ensino. Finalmente, no capítulo seis, faço a síntese do estudo, apresento as principais conclusões da investigação realizada e termino com uma reflexão sobre os contributos desta investigação para o meu desenvolvimento pessoal e profissional, refiro alguns contributos científicos dados por este estudo e dou algumas sugestões que me parecem pertinentes serem futuramente aprofundadas. Na parte final, incluo as referências bibliográficas e os anexos.

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Capítulo 2

SEQUÊNCIAS E REGULARIDADES NO

DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO ALGÉBRICO

O presente estudo dá atenção às estratégias de generalização utilizadas pelas crianças na resolução de tarefas que envolvem sequências e regularidades, bem como ao modo de as representar, como forma de desenvolver o pensamento algébrico. Este capítulo aborda investigações relativas às potencialidades do trabalho com sequências pictóricas e regularidades na sala de aula, e às representações matemáticas e estratégias de generalização usadas pelos alunos em tais tarefas. Analisa também as dificuldades manifestadas pelos alunos na resolução de tarefas que envolvem sequências e regularidades.

Sequências e regularidades

A importância do trabalho com sequências e regularidades

A Matemática é um campo do conhecimento que, entre outros aspetos, se interessa pelo estudo de padrões, numéricos ou geométricos, sendo designada por Devlin (2002) como a “ciência dos padrões”. Para este autor, na base da atividade matemática está a análise de padrões, nomeadamente padrões numéricos, de formas, de movimento, entre outros. Estes fazem parte do nosso quotidiano, podendo ser encontrados em papéis de parede, tapetes, disposição do mobiliário na sala de aula, pavimentações das ruas e nas calçadas, etc. (Luís, Bártolo, & Serrazina, 1996). O conceito “padrão” tem uma natureza multifacetada, assim como muitos usos, podendo

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ser caracterizado por diferentes caminhos. Alguns dos termos associados à ideia, conceito e construção de padrão são apresentados na figura 1.

Figura 1 - Termos relacionados com padrão (Adaptado de Vale, 2009, p. 11).

Neste estudo os termos usados são “regularidades” e “sequências”, referidos como tópico e subtópico do Programa de Matemática do Ensino Básico, no 1.º ciclo (ME, 2007). Regularidades e sequências é um conteúdo matemático que Luís, Bártolo e Serrazina (1996) consideram como “muito rico e ao mesmo tempo interessante” (p. 44). Rico, por possibilitar trabalhar de uma forma lúdica conceitos diversos, e interessante, por ser transversal a todo o programa de Matemática.

Para que se perceba a relação que existe em ambos os termos (regularidades e sequências) é útil começar por definir sequência. Este conceito pode ser usado quando nos referimos a uma disposição ou arranjo de números, formas, cores ou sons onde se detetam regularidades (Castro Martínez, 2005; Vale et al., 2006). Enquanto o termo regularidade aponta para a relação existente entre os diversos objetos, aquilo que é comum a todos eles ou que de certo modo os liga (Ponte, 2009). Pode-se assim dizer que o trabalho com sequências tem por base a descoberta de regularidades, estando relacionado com o pensamento que varia, nomeadamente, a posição ou contagem associada a cada desenho ou número. Para Luís, Bártolo e Serrazina (1996), este

padrão regularidade ordem generalização sequência repetição variável regra estrutura ...

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trabalho, para além de estimular os alunos que manifestam mais dificuldades, ajuda a (i) “compreender como a matemática se aplica à vida diária”; (ii) “desenvolver capacidades de classificação e ordenação de informação”; (iii) estabelecer conexões entre os temas do programa; (iv) “facilitar o pensamento matemático”; e (v) “desenvolver a capacidade de resolver problemas” (p. 44).

Desde há alguns anos que o estudo de sequências e regularidades vem sendo proposto para o ensino da Matemática desde os primeiros anos de escolaridade. Exemplo disso, tal como já foi mencionado, é a referência à exploração de sequências e procura de regularidades no documento Competências Essenciais para o Ensino Básico (ME-DEB, 2001). Este estudo também é defendido pelo NCTM, nos Princípios e

Normas para a Matemática Escolar (NCTM, 2007), como um aspeto importante para o

ensino da Álgebra.

A exploração de sequências numa fase inicial da aprendizagem da Matemática, segundo Vale (2009), contribui para o desenvolvimento da capacidade de abstração, resolução de problemas (estando de acordo com o que já foi referido), raciocínio e comunicação em diferentes contextos e usando diferentes representações. Mas coloca-se a questão de saber como é que o raciocínio pode ser estimulado a partir do trabalho com sequências e regularidades.

Na verdade, a exploração de sequências e regularidades envolve a exploração e manipulação de objetos; a sua observação, descrição e raciocionar sobre a sua evolução, estimulando assim o raciocínio (Russell, 1999). Neste sentido, Borralho et al. (2007) defendem que o raciocínio lógico pode ser desenvolvido a partir da introdução do trabalho com sequências, logo no pré-escolar. Uma vez desenvolvido, o raciocínio é uma ferramenta que permite às crianças, por um lado, desenvolver e compreender o pensamento abstrato (Castro, 2005; Russel, 1999), um aspeto fundamental do pensamento humano e a base do trabalho matemático, e, por outro lado, o raciocínio ajuda as crianças a resolver problemas (Castro, 2005). Assim, associado ao trabalho com sequências e regularidades, vários autores (e.g., Branco, 2008; Carraher & Schliemann, 2007; ME, 2007; NCTM, 2007; Pimentel et al., 2010; Ponte, 2005; Radford, 2010; Rivera & Becker, 2009; Vale & Pimentel, 2009; Zazkis & Liljedahl, 2002) apontam o desenvolvimento da capacidade de raciocínio algébrico. Esta ideia é apresentada no Programa de Matemática do Ensino Básico (ME, 2007), que refere o desenvolvimento do pensamento algébrico como um dos objetivos da exploração de regularidades numéricas em sequências e em tabelas de números.

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À medida que a exploram, os alunos reconhecem e continuam a sequência, analisam-na e descrevem-na, e identificam a sua regra de formação (baseada, por exemplo, na repetição ou em características geométricas). Devem, por isso, ser incentivados a formular uma lei geral de formação, chegando assim à generalização (Alvarenga & Vale, 2007; ME, 2007; Pimentel et al., 2010; Zazkis & Liljedahl, 2002). As generalizações podem ser desenvolvidas a partir do raciocínio, isto é, os alunos usam o raciocínio para pensar acerca das propriedades de determinados objetos matemáticos e assim desenvolver generalizações que se aplicam a classes de objetos (Russell, 1999).

Os alunos devem ser incentivados a generalizar, em níveis elementares, a partir do trabalho com sequências, tal como defendem Pimentel et al. (2010), pois, segundo Radford (2010), ao generalizar sequências os alunos são introduzidos na Álgebra. Também Ponte (2005) considera que, desde os primeiros anos de escolaridade, se deve fomentar a procura de regularidades e a formulação de generalizações. Pela sua vez, Rivera e Becker (2009) acreditam que o trabalho com sequências constitui uma oportunidade para construir e justificar generalizações algébricas. Este trabalho é apontado por Ponte, Branco e Matos (2009) e por Pimentel (2010) como contributo para o desenvolvimento do sentido de número dos alunos e também da sua capacidade de generalização. As sequências também são referidas num dos documentos do NCTM (2007) como a base do pensamento algébrico, sendo que a sua exploração incentiva os alunos a identificar relações e a fazer generalizações, constituindo assim uma base para estes progredirem de raciocínios recursivos para raciocínios envolvendo relações funcionais.

O trabalho com sequências e regularidades também pode proporcionar aos alunos o desenvolvimento da capacidade de comunicação do seu raciocínio. Neste sentido, Lannin (2003) argumenta que as tarefas que promovem a generalização dão uma oportunidade aos alunos para se empenharem nas discussões sobre ideias matemáticas importantes. Este ponto de vista é também defendido por Ponte, Branco e Matos (2009), que acrescentam outros aspetos que os alunos são capazes de adquirir com mais facilidade com este trabalho, nomeadamente, a compreensão de conceitos matemáticos e o desenvolvimento da capacidade de estabelecer conexões com outros tópicos matemáticos. Este último aspeto é também referido no Programa de

Matemática do Ensino Básico (ME, 2007), que enfatiza as sequências e regularidades,

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Barbosa et al. (2011) consideram que o trabalho com sequências desenvolve nos alunos as capacidades transversais de resolução de problemas, raciocínio e comunicação.

Por outro lado, a exploração de sequências e regularidades contribui para que os alunos procurem usar diferentes representações, nomeadamente, a linguagem do dia a dia, gestos, tabelas de valores e letras (Warren, 2009). Nos primeiros anos de escolaridade, a linguagem natural é o meio pelo qual os alunos expressam a generalização encontrada numa determinada sequência (Alvarenga & Vale, 2007; Carraher e Schliemann, 2007; ME, 2007; Pimentel et al., 2010).

Segundo Branco (2008), a partir da análise de sequências, os alunos devem desenvolver a capacidade de observar, identificar e descrever sequências e regularidades, assim como, continuar uma determinada sequência ou de criar novas sequências. Papic, Mulligan e Mitchelmore (2011), consideram que identificar a unidade que se repete numa sequência é essencial para que a criança reconheça a estrutura da regularidade, o que pode acontecer desde muito cedo (na idade pré-escolar), desde que lhe sejam proporcionadas atividades de aprendizagem significativas. Esta ideia é partilhada por Barbosa et al. (2011), que defendem que esta identificação permite aos alunos organizar o seu pensamento, ir além do mero processo de repetição e distinguir diferentes tipos de sequências. No entanto, por vezes, os alunos descrevem sequências como se fosse apenas necessário prestar atenção à variável dependente, e como se esse fosse o objetivo principal da tarefa (Carraher & Schliemann, 2007). Mas, ser capaz de continuar a sequência já pode ser entendido como compreensão da sua repetição, da sua regularidade e ser capaz de descrever um elemento geral pode ser visto como a solução de uma sequência (Zazkis & Liljedahl, 2002).

Barbosa et al. (2011) veem o estudo de sequências e regularidades como uma preparação dos alunos para aprendizagens posteriores, permitindo explorar outros conteúdos e criar uma base para a aprendizagem futura da Álgebra, tal como referem Vale et al. (2007). No entanto, Carraher e Schliemann (2007) chamam a atenção que, para constituírem de facto um ponto de partida para a Álgebra, as tarefas com sequências devem focar-se na transformação de regras e de representações numéricas e geométricas, trabalho que pode começar no jardim de infância ou no 1.º ciclo do ensino básico.

Deste modo, o estudo das sequências, no ensino da Matemática contribui, por um lado, para o desenvolvimento do pensamento algébrico e de outras capacidades matemáticas (Vale & Pimentel, 2009; Zazkis & Liljedahl, 2002), como a capacidade de

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estabelecer generalizações e a capacidade de fazer representações (Ponte, Matos, & Branco, 2009); e, por outro, contribui para uma aprendizagem mais significativa, permitindo que os alunos se envolvam mais na sua aprendizagem e proporcionando-lhes um ambiente de aprendizagem semelhante à sua realidade e experiências (Luís, Bártolo & Serrazina, 1996; Vale et al., 2007; Vale & Pimentel, 2009).

Sequências e regularidades na aula de Matemática

As sequências a propor aos alunos na sala de aula podem ser pictóricas (envolvendo figuras) ou numéricas (envolvendo números). Cada figura ou número numa sequência é apelidado de “termo”. Pode encontrar-se o valor de um termo sem se escreverem todos os termos que o antecedem, através da regra que determina essa sequência (Vorderman, 2011).

Numa sequência pictórica, a análise incide na identificação de regularidades e na descrição das características locais e globais das figuras que a compõem e também da sequência numérica que lhe está diretamente associada (Carraher & Schliemann, 2007; Ponte, Branco, & Matos, 2009). A exploração de sequências pictóricas e numéricas inclui a procura de regularidades e o estabelecimento de generalizações (Ponte, Branco, & Matos, 2009). Luís, Bártolo e Serrazina (1996) e Ponte, Branco e Matos (2009) referem que reconhecer regularidades envolve muitos conceitos associados aos termos de uma sequência, nomeadamente, a cor, a forma, o tamanho, a orientação dos objetos e o número.

Existem dois tipos principais de sequências (Ponte, Branco, & Matos, 2009; Vale & Pimentel, 2009; Zazkis & Liljedahl, 2002), as repetitivas e as crescentes. Rivera e Becker (2008) falam ainda num terceiro tipo importante de sequências, as decrescentes. Independentemente do tipo, a ideia essencial de uma sequência implica repetição ou mudança.

As sequências repetitivas são consideradas por Ponte, Branco e Matos (2009) como sendo “as mais simples” e as que “podem ser usadas para o trabalho inicial da procura de regularidades e da generalização” (p. 47). Neste tipo de sequências existe uma unidade (formada por um ou mais elementos ou termos) identificável que se repete de forma cíclica, indefinidamente. Estas sequências podem ser trabalhadas com as crianças desde muito pequenas, podendo usar-se materiais manipuláveis numa fase inicial e, posteriormente, representações pictóricas. As sequências repetitivas são um

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meio para a Álgebra e um contexto para a generalização, desde que os alunos compreendam a unidade que se repete. Assim, devem ser proporcionadas aos alunos tarefas que lhes permitam reconhecer esta unidade, descrever, continuar e criar sequências a partir de contextos diversificados e em que sejam estimulados a explicitar e justificar oralmente os seus pensamentos.

Nas sequências crescentes cada termo depende do termo anterior e da sua posição na sequência, designada por ordem. Neste tipo de sequências é importante ter em atenção o primeiro elemento, tendo em conta que este pode influenciar a compreensão por parte dos alunos da formação da sequência. Estas sequências proporcionam uma grande diversidade de situações com explorações muito ricas e variadas (Barbosa et al., 2011). As sequências crescentes podem ser lineares ou não lineares, isto é, a tradução algébrica pode ser feita ou não a partir de uma expressão polinomial do 1.º grau (Barbosa et al., 2011). Estas sequências são muito importantes na passagem da Aritmética para a Álgebra.

Numa fase inicial da aprendizagem, nas salas de aula, segundo Warren (2005) surge a exploração de sequências de repetição e de crescimento usando formas, cores, movimento, tato e som. É solicitado às crianças que copiem e continuem essas sequências, identificando a parte que se repete ou que cresce e encontrando elementos em falta. Segundo a investigadora, esta exploração centra-se apenas no pensamento variável onde a variação ocorre na própria sequência, como por exemplo, qual o elemento que se segue.

Uma sequência repetitiva ou crescente pode ser continuada de diferentes maneiras (Ponte, Branco, & Matos, 2009; Vale & Pimentel, 2009). Ou seja, existem diferentes possibilidades de continuação de uma sequência e diferentes alunos podem interpretar os termos apresentados de modos alternativos e assim continuá-la de maneiras distintas. Rivera e Becker (2008) falam mesmo numa tendência por parte dos alunos em ver determinada sequência de formas diferentes, o que pode naturalmente originar diferentes generalizações para a mesma sequência.

Perante esta situação é importante promover nos alunos a partilha de raciocínios e a justificação das suas opções. Por outro lado, é importante que os alunos sejam capazes de continuar a sequência em sentido contrário, pois este tipo de tarefas exige o pensamento reversível (Barbosa et al., 2011), o que pode não ser muito fácil. Além disso, também é importante trabalhar tarefas requerendo a indicação de um ou mais

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termos da sequência, em que não sejam dados os termos iniciais (Ponte, Branco & Matos, 2009; Vale & Pimentel, 2009).

Representações

Representações matemáticas

Representar é um dos processos essenciais da Matemática, sendo a sua importância reconhecida por vários investigadores. Kaput (1999) considera que o pensamento algébrico, nas suas variadas formas, e o uso de representações algébricas estão entre as ferramentas intelectuais mais poderosas que a nossa civilização desenvolveu. Ponte e Serrazina (2000) consideram que a forma como as ideias matemáticas são representadas influencia o modo como elas são compreendidas e usadas. O uso de representações no ensino desta área curricular tem ganho destaque nos últimos anos, nomeadamente a partir da publicação dos Princípios e Normas (NCTM, 2007).

A palavra “representação” pode ter diversos significados, dependendo do contexto em que é usada. Gerald Goldin (2008) considera que uma representação é “uma configuração que pode representar outra coisa de alguma forma. Por exemplo, uma palavra pode representar um objeto da vida real; um numeral pode representar o número de elementos de um conjunto ou representar a posição de um número numa reta numérica” (p. 178). Uma representação matemática não pode ser compreendida isoladamente, mas sim observada no seu contexto, tendo em conta um sistema de representação, com regras e significados bem definidos.

Segundo o NCTM (2007) este termo sinaliza um conceito ou uma relação matemática, “expressa numa determinada forma e à forma, em si mesma” (p. 75). Nesta perspetiva, representações podem referir-se ao processo de representar ou ao respetivo produto (representações externas), tal como a processos e produtos que ocorrem internamente na mente das pessoas (representações internas) (Ponte & Serrazina, 2000). Neste sentido, Goldin (2008) distingue representações externas como sendo aquelas que têm existência física, sendo fáceis de observar, como por exemplo, as palavras escritas, numerais, gráficos ou equações algébricas. Enquanto as representações internas não podem ser observadas diretamente, tornando-se difícil analisar como se formam em cada indivíduo e como se caracterizam.

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Castro (2005) e Valério (2005) fazem também referência a representações externas e internas. Assim, para pensar ou raciocinar sobre ideias matemáticas é necessário representá-las internamente para que a mente tenha possibilidade de operar com elas. Para comunicar essas ideias aos outros é preciso representá-las externamente (Castro, 2005). Ao representar, segundo Valério (2005), os alunos “estão a exteriorizar aquilo que pensam e a forma como organizam essa informação” (p. 38).

Goldin (2008) refere que as representações internas são inferidas a partir do trabalho que os alunos realizam, ou são capazes de realizar, com as representações externas no ambiente de sala de aula. Este autor apresenta cinco tipos de representações internas, sendo eles: (1) sistema verbal/sintático, que está relacionado com as capacidades da linguagem natural – competências lexicais, associações verbais, assim como as componentes gramaticais e sintáticas; (2) sistema sensorial, que corresponde às perceções visual, tática e auditiva; (3) sistema de notações formais, que inclui representações internas correspondentes à aprendizagem do sistema convencional de símbolos matemáticos (numeração, notações algébricas, etc.) e da sua manipulação; (4)

sistema de planeamento, monotorização e execução cognitivo, que orienta a resolução

de problemas, incluindo o raciocínio estratégico; e (5) sistema afetivo, que corresponde aos afetos de uma forma geral, relacionados com crenças, atitudes e sentimentos que ocorrem durante a aprendizagem matemática e a resolução de problemas (p. 182).

Cada um destes cinco tipos de representações internas permite a cada indivíduo produzir um conjunto de representações externas, nomeadamente: (1) linguagem escrita e falada; (2) ícones, desenhos, representação pictórica, produções musical e rítmica; (3) fórmulas matemáticas e equações; (4) expressão de metas, objetivos, planos, decidir estruturas; e (5) contacto visual, expressões faciais contacto físico, risos e lágrimas, e exclamações que transmitem emoção (Goldin, 2008).

Pode-se dizer que as ideias matemáticas podem ser representadas de forma convencional ou não convencional. Tanto o NTCM (2007) como vários autores portugueses (Canavarro, 2009; Ponte & Serrazina, 2000; Valério, 2005) defendem a importância de encorajar os alunos a representar as suas ideias sob formas que, para eles, façam sentido, mesmo que não sejam as convencionais, de que são exemplo desenhos, esquemas ou linguagem natural. Nesta perspetiva, estas representações podem ser o ponto de partida para a evolução e construção de conhecimento, na medida em que, ao usar as suas próprias representações a aprendizagem, poder-se-á tornar mais significativa para os alunos, uma vez que estes assumem um papel mais ativo (Valério,

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2005). A este propósito Ponte e Velez (2011) referem que os alunos devem saber tirar partido do trabalho com as suas próprias representações relacionando-as com outras representações matemáticas.

No entanto, é também essencial que os alunos aprendam formas de representação convencionais, uma vez que estas podem facilitar a sua aprendizagem da matemática, bem como a comunicação com terceiros das suas ideias matemáticas (Canavarro, 2009, NCTM, 2007; Valério, 2005). As representações convencionais são, para Goldin (2008), representações externas e incluem, segundo este autor e Carraher e Schliemann (2007), tabelas, enquanto registo organizado de valores numéricos; gráficos cartesianos; retas numéricas; notações algébricas; diagrama de Venn; entre outras. Estas representações são também representadas e processadas internamente. Deste modo, segundo Ponte e Velez (2011), quando um aluno utiliza os seus conhecimentos na construção de um dos exemplos referidos, pode-se tentar compreender a sua forma de pensamento e respetivas dificuldades. Da mesma forma, pode-se procurar compreender como foram interiorizados os conceitos envolvidos aquando a explicação de uma definição ou procedimento. O NCTM (2007) sugere que a transição para as representações convencionais esteja associada aos métodos e raciocínio utilizados pelos alunos.

A realização de representações como gestos, desenhos, palavras, símbolos matemáticos, gráficos e cálculos é designada por Radford (2010) por atividade semiótica. A partir desta atividade pode emergir progressivamente o recurso a um objeto. O autor chama a este processo “objetificação”, relacionando-o com as ações criadas para fazer a ponte entre algo, isto é, tornar qualquer coisa aparente, o que só se consegue pela tomada de consciência.

Por sua vez, Bruner (1999) indica que as representações podem ser: (i) ativas, constituídas por ações realizadas para alcançar determinado resultado; (ii) icónicas, dependentes de imagens ou gráficos que representam um conceito sem o definir por completo; e (iii) simbólicas, enquadradas num “sistema simbólico que é regido por regras ou leis para a formação e transformação de proposições” (p. 66), ou seja, realiza-se usando a linguagem, palavras ou outros símbolos. Para o autor, estes modos de representações sobrepõem-se e interrelacionam-se mais do que se mantêm separados, variando em dificuldade e utilidade consoante a idade e a experiência dos alunos. A representação icónica é importante na fase inicial da resolução de um problema (Rivera & Becker, 2009).

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Valério (2005) refere que os diferentes tipos de representação podem ser uma maneira de ajudar a transpor o problema verbal para uma forma visual, ligar o real ao abstrato ou obter um resultado (por exemplo, contando). À medida que os alunos vão contactando cada vez com mais representações é importante, segundo o NCTM (2007), que reflitam sobre o uso que fazem delas “de modo a desenvolverem uma compreensão dos pontos fortes e fracos de várias representações com objectivos diferentes” (p. 78).

Para Valério (2005), as representações podem também ser um recurso para resolver problemas, para encontrar uma solução ou para compreender aquilo que se está a fazer. Estas permitem, segundo o NCTM (2007), que os alunos reconheçam a natureza matemática comum de situações distintas. Tomar consciência da “existência de semelhanças nas formas de representar problemas diversos constitui um importante passo em direção à abstracção” (p. 162).

Valorizando o uso de representações, tanto Valério (2005) como o NCTM (2007) defendem que tanto alunos como professores beneficiam com ele. Neste sentido, Carraher e Schliemann (2007) referem que múltiplas representações devem ser utilizadas em contextos com significado para o aluno, pois permitem situar e aprofundar a aprendizagem da Matemática e de generalizações de quantidades e números. Segundo Valério (2005) e o NCTM (2007), o aluno torna-se mais ativo na construção do seu conhecimento, quando usa representações e estas, acrescenta o NCTM (2007), podem “ajudar os alunos a organizarem o seu raciocínio”, bem como “tornar as ideias matemáticas mais concretas e acessíveis à reflexão” (p. 76). Carraher e Schliemann (2007) e o NCTM (2007) defendem que cabe ao professor incentivar e ensinar a usar essas formas de representação, pois estas permitem ao aluno exprimir, enriquecer e aprofundar os seus raciocínios algébricos. Então, é essencial que o professor esteja atento aos seus alunos, escutando-os, observando as suas atividades matemáticas, analisando os seus registos e refletindo sobre as implicações dessas observações e análises (NCTM, 2007). Por outro lado, o NCTM (2007) e Valério (2005) referem que o professor, a partir destas representações, pode obter informações sobre o aluno, compreendendo os seus modos de interpretação e de raciocínio.

Referências

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