Universidade de Cabo Verde

Narciso Gomes 1

Universidade de Cabo Verde

Departamento Ciˆencia & Tecnologia

Texto te´orico de An´alise Matem´atica III

Prof. Narciso Resende Gomes

Ano lectivo: 2012/2013

1.1 Derivadas parciais - ordem superior . . . 3

1.2 T´ecnicas de derivadas parciais . . . 3

1.3 Interpreta¸c˜ao geom´etrica de derivadas parciais . . . 4

1.4 Teorema de Schwarz . . . 5

1.5 Aplica¸c˜ao de derivadas parciais . . . 6

1.6 Exerc´ıcios propostos . . . 7

Referˆ

encias

[1] A. Breda e J. Costa,C´alculo com fun¸c˜oes de v´arias vari´aveis. McGraw Hill-Portugal, Lisboa, 1996.

[2] E. Lima, An´alise Real - Vol. 2. Rio de Janeiro, Brasil, 2004.

[3] H. Bertolossi, C´alculo diferencial a v´arias vari´aveis. Edi¸c˜oes Loyola e editora PUC-Rio, S˜ao Paulo, Brasil, 2002.

[4] S. Lang, Calculus of Several Variables. Adison-Wesley, 1973.

[5] T. Apostol, C´alculo (Vol. 2). Editora Revert´e, 1996.

2 _{Aula te´orica de apoio - An´alise Matem´atica III, UniCV}

1

Derivadas parciais

Sejam D ⊂ Rn _{um conjunto aberto,}

x= (x1, . . . , xn) e f :D →R uma fun¸c˜ao.

Defini¸c˜ao 1: A derivada parcial def em rela¸c˜ao `a j−esima´ vari´avel no ponto x∈ D´e denotada por

∂f ∂xj

(x) = lim

h→0

f(x1, . . . , xj+h, . . . , xn)−f(x1, . . . , xn)

h

se o limite existe.

Sendo n= 2, ou seja, D ∈_R2

:

1. A derivada parcial de f em rela¸c˜ao `a vari´avel x, no ponto (x, y) ∈ D ´e denotada por ∂f_∂x(x, y) e definida por

∂f

∂x(x, y) = limh→0

f(x+h, y)−f(x, y) h

se o limite existe.

2. A derivada parcial de f em rela¸c˜ao `a vari´avel y, no ponto (x, y) ∈ D ´e denotada por ∂f_∂y(x, y) e definida por

∂f

∂y(x, y) = limh→0

f(x, y+h)−f(x, y) h

se o limite existe.

Analogamete para n = 3,

• ∂f

∂x(x, y, z) = limh→0

f(x+h, y, z)−f(x, y, z)

h .

• ∂f

∂y(x, y, z) = limh→0

f(x, y+h, z)−f(x, y, z)

h .

• ∂f

∂z(x, y, z) = limh→0

f(x, y, z+h)−f(x, y, z)

h .

Nota¸

c˜

oes

• ∂f

∂x(x, y) ou fx(x, y).

• ∂f

1.1

Derivadas parciais - ordem superior

Seja a fun¸c˜ao z =f(x, y).As derivadas parciais de segunda ordemdenotam-se por

• fxx =

∂ ∂x

∂f ∂x(x, y)

= ∂

2_f

∂x∂x(x, y) = ∂2_f

∂x2(x, y).

• fyy =

∂ ∂y

∂f ∂y(x, y)

= ∂

2

f

∂y∂y(x, y) = ∂2

f ∂y2(x, y).

• fxy =

∂ ∂x

∂f ∂y(x, y)

= ∂

2

f

∂x∂y(x, y).

• fyx=

∂ ∂y

∂f ∂x(x, y)

= ∂

2

f

∂y∂x(x, y).

Observa¸c˜ao 1: Se estas derivadas parciais existirem em todos os pontos de um aberto D, poder´a existir derivadas de terceira ordem, e assim sucessivamente. De forma an´aloga definimos derivadas parciais de ordem superior para a fun¸c˜ao de trˆes oumais vari´aveis.

Exerc´ıcio 1: Considere-se a fun¸c˜ao

f(x, y) =

xy, sey6=x x3

, sey=x.

Determine ∂f

∂x(1,1) e ∂f ∂x(2,2)

Exerc´ıcio 2: Usando a defini¸c˜ao da derivada parcial, determine:

1. ∂f

∂x(0,0) e ∂f

∂y(1,2), sendo f(x, y) =x

2_y

;

2. ∂f

∂x(1,1) e ∂f

∂y(0,0), sendo f(x, y) =

x, x < y y, sex≥y.

1.2

T´

ecnicas de derivadas parciais

Derivar parcialmente em rela¸c˜ao ax significa derivar de forma simples em rela¸c˜ao a esta vari´avel e as demais vari´aveis s˜ao fixadas como constantes. O processo ´e an´alogo em rela¸c˜ao `as outras vari´aveis.

Exemplo 1: Dada a fun¸c˜ao f(x, y) = x3

y4

. A derivada de primeira ordem em rela¸c˜ao a

x, ∂f ∂x =

∂x3_y4

∂x = 3x

2

y4

.A derivada de primeira ordem em rela¸c˜ao a y, ∂f ∂y =

∂x3_y4

∂y = 4x3

y3.

Exerc´ıcio 3:

1. Seja f(x, y) = _x2xy_+y2. Determine ∂f ∂x e

∂f ∂y.

2. Seja a fun¸c˜aof(θ, φ) = sin(3θ) cos(2φ). Determine ∂f ∂θ e

∂f ∂φ.

3. Seja f(x, y, z) = arctan(xyz). Determine ∂f ∂x,

∂f ∂y e

∂f ∂z.

4. Seja u(x, y, z) = exy_{sin(z). Determine} ∂

4 _{Aula te´orica de apoio - An´alise Matem´atica III, UniCV}

1.3

Interpreta¸

c˜

ao geom´

etrica de derivadas parciais

Consideremos o caso n = 2 de uma fun¸c˜ao real f de duas vari´aveis reais (x, y). No caso de existirem, as duas derivadas parciais de primeira de ordem num ponto a = (a, b)∈ D aberto pode ser interpretada da seguinte forma:

Fig. 1: O valor defx(a, b) ´e o declive da recta do planoy=btangente `a curvaz =f(x, b)

em (a, b, f(a, b)).

A derivada parcial de primeira de ordem num ponto em rela¸c˜ao ax, ∂f

∂x(a, b), pode ser interpretada como o declive da recta tangente ao gr´afico def no ponto x=a, isto ´e,

∂f

∂x(a, b) = tanα,

ondeα´e o ˆangulo formado pela tangente ao gr´afico da linhaf no pontox=a e o plano definido pelos eixos dos xxe dos yy. Analogamente,

∂f

∂y(a, b) = tanβ,

Fig. 2: O valor defy(a, b) ´e o declive da recta do planox=atangente `a curvaz =f(a, y)

em (a, b, f(a, b)).

Defini¸c˜ao 2: Seja f :D ⊂_Rn _→

R, com D aberto. A fun¸c˜ao f ´e dita de classe Ck _com

k ≥ 1, em D se as derivadas parciais at´e a ordem k existirem e forem cont´ınuas em todos os pontos de D.Ainda, f diz-se de classe C∞

se f ´e de classeCk_{,∀k ≥1.}

Nota¸c˜ao

f ∈Ck _{ou f ∈C}∞ .

Observa¸c˜ao 2: Dizer que f ´e de classeC0

em D significa que f ´e cont´ınua.

Exemplo 2: A fun¸c˜ao f(x, y) = xy ´e de classe C∞

j´a que ∂f

∂x(x, y) = y e ∂f

∂y(x, y) = x.

As derivadas de segunda ordem ∂

2

f

∂x∂y(x, y) = 1 e ∂2

f

∂y∂x(x, y) = 1. As outras demais derivadas parciais de qualquer ordem s˜ao nulas. Como as fun¸c˜oes anteriores e a fun¸c˜ao nula s˜ao cont´ınuas temos que f ∈C∞

.

Exerc´ıcio 4: Verifique que a fun¸c˜ao f(x, y) =xsiny+y2

cosx ´e de classeC∞ .

1.4

Teorema de Schwarz

Teorema 1.1: Sejax∈ D ⊆Rn.Sef for de classe C2 ∈ D em a= (a1, a2, . . . , an), ent˜ao

∂2

f ∂xi∂xj

(a) = ∂

2

f ∂xj∂xi

6 _{Aula te´orica de apoio - An´alise Matem´atica III, UniCV}

EmR2

, fica

∂2

f

∂x∂y(a, b) = ∂2

f

∂y∂x(a, b).

Observa¸c˜ao 3: Seja a fun¸c˜ao f : D ⊂_R3 _→

R uma fun¸c˜ao de classe C3

. Ent˜ao as suas derivadas mistas de terceira ordem satisfazem:

• ∂ 3 f ∂x∂x∂y = ∂3 f ∂x∂y∂x = ∂3 f ∂y∂x∂x. • ∂ 3_f ∂y∂y∂x = ∂3_f

∂y∂x∂y = ∂3_f

∂x∂y∂y.

1.5

Aplica¸

c˜

ao de derivadas parciais

Defini¸c˜ao 3: Uma fun¸c˜ao f(x, y) diz-se harm´onica se verificar a equa¸c˜ao seguinte, dita

equa¸c˜ao de Laplace,

∂2

f ∂x2 +

∂2

f ∂y2 = 0.

Defini¸c˜ao 4: A equa¸c˜ao diferencial parcial

∂2_u

∂t2 =c 2∂

2_u

∂x2

´e chamada de equa¸c˜ao da onda unidimensional, com a constante c > 0.

Defini¸c˜ao 5: A equa¸c˜ao diferencial parcial

∂u ∂t =c

2∂ 2_u

∂x2

´e chamada de equa¸c˜ao do calor, com a constante c >0.

Defini¸c˜ao 6: As equa¸c˜oes que satisfazem as seguintes igualdades

∂u ∂x =

∂v ∂y e

∂u ∂y =−

∂v ∂x,

s˜ao chamadas de equa¸c˜ao de Cauchy-Riemann.

Exerc´ıcio 5: Mostre que a fun¸c˜ao u(x, y) = ln(x2

+y2

) + 2 arctan(_xy) satisfaz a equa¸c˜ao de Laplace.

Exerc´ıcio 6: Verifique que a fun¸c˜ao u(x, t) = sin(x−ct) ´e uma solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de onda.

Exerc´ıcio 7: Mostre que a fun¸c˜ao u(x, t) =e−t sin(x

c) satisfaz aequa¸c˜ao do calor.

1.6

Exerc´ıcios propostos

1. Mostre que a fun¸c˜ao f definida por f(x, y) =

2xy

x2_+y4, (x, y)6= (0,0)

0, se (x, y) = (0,0), possui derivadas parciais em (0,0),embora seja descont´ınua nesse ponto.

2. Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das fun¸c˜oes seguintes:

(a) f(x, y) = e2xy3 .

(b) f(x, y, z) = ln(ex_+zy_).

(c) f(x, y) = arcsin

q

x2_−y2

x2_+y2

.

(d) f(x, y) =

xy

x+y, x+y6= 0

x, sex+y= 0.