Análise dinâmica de absorsores de vibrações do tipo stockbridge

(1)

An´

alise dinˆ

amica de absorsores de vibra¸

c˜

oes

do tipo Stockbridge

Diogo Fernandes dos Santos

Disserta¸c˜ao apresentada `a

Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto para obten¸c˜ao do grau de

Mestre em Engenharia Mecˆanica

Orientador

Prof. Jos´e Dias Rodrigues

Laboratório de Vibra¸cões de Sistemas Mecânicos Departamento de Engenharia Mecânica Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

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Department of Mechanical Engineering Faculty of Engineering

University of Porto Porto, Portugal.

Diogo Fernandes dos Santos E-mail: em10027@fe.up.pt

Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Departamento de Engenharia Mecˆanica

Laboratório de Vibra¸cões de Sistemas Mecânicos Rua Dr. Roberto Frias s/n, Sala M206

4200-465 Porto Portugal

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Resumo

As linhas de transmissão aéreas são constantemente excitadas pelo vento podendo levar a diversos tipos de falhas nomeadamente nos condutores.

As falhas mais comuns são provocadas por fadiga nos condutores e acontecem devido a vibra¸cões eólicas. Estas devem-se à forma¸cão de vórtices para velocidades do vento entre 1 e 7 m/s. Caso não seja dada a devida aten¸cão a este problema, podem surgir falhas nos condutores provocando cortes na distribui¸cão de elétricidade.

Têm sido desenvolvidos aparelhos que controlam estas vibra¸cões aumentando assim o tempo de vida dos cabos. Um dos mais utilizados foi desenvolvido por George H. Stockbridge em 1925 e é usualmente chamado de Stockbridge-damper.

Ao longo da disserta¸cão é realizado um estudo de um modelo anal´ıtico desenvolvido por Wagner que prevê a resposta de absorsores simétricos. São apresentadas equa¸cões que possibili-tam o cálculo das frequências naturais, dos fasores de deslocamento e da potência dissipada no absorsor.

Nesta disserta¸cão será também utilizado um programa de elementos finitos que possibilita a análise dinâmica de absorsores simétricos e assimétricos.

Vários modelos experimentais são ensaiados em regime for¸cado passivo com o objetivo de medir as fun¸cões de transmissibilidade para posterior cálculo da potência dissipada. A excita¸cão é aplicada através de um ”shaker”electromagnético e as respostas são medidas em acelerómetros piezoeléctricos.

Finalmente, são comparados os resultados obtidos experimentalmente com os do programa de elementos finitos e calculadas as potências dissipadas pelos vários modelos experimentais.

Keywords: vibra¸cões eólicas, linhas de transmissão aéreas, Stockbridge, transmissibilidade, potência dissipada.

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(5)

Abstract

Overhead lines are constantly threatened by wind forces causing many types of damage on conductors.

Most common failures are due to fatigue in conductors and happen because aeolian vibrati-ons. Aeolian vibrations occurs due to vortex-shredding at wind velocities of 1 to 7 m/s. This problems can cause several damages in conductors causing problems on the electrical distribu-tion.

In order to reduce these vibrations and increase the conductors life-time, new instruments have been developed. George H. Stockbridge developed the Stockbridge-damper, the most com-monly used damper in aeolian vibrations control.

In this work there is presented an analytical model developed by Wagner, which provides the response of a symmetrical damper. Some equations were developed to obtain the eigenfre-quencies, the displacement alley and the damper’s power dissipation.

A finite element model was developed to perform the simulation of symmetrical and asym-metrical dampers.

A few experimental models are tested with a electromagnetic ”shaker”in order to measure the model’s transmissibility functions to calculate the power dissipation.

Finally, the experimental and numerical results will be compared and model’s power dissi-pation calculated.

Keywords: aeolian vibrations, overhead lines, Stockbridge-damper, transmissibility, power dis-sipation.

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(7)

‘S´o se nos detivermos a pensar nas pequenas coisas chegaremos a compreender as grandes.’

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Agradecimentos

Aproveito este espa¸co para homenagear e agradecer às pessoas que, directa ou indirectamente, contribu´ıram para a elabora¸cão desta disserta¸cão.

Em primeiro lugar agrade¸co `a minha fam´ılia, pelo apoio dado durante todo o meu tempo de estudante e pela possibilidade que me deram de viver estes cinco anos no Porto.

Em segundo lugar aos amigos que fiz durante estes cinco anos, que me ajudaram a passar muitas barreiras e a continuar sempre no bom caminho e que certamente deixar˜ao saudades.

Quero agradecer ao meu orientador José Dias Rodrigues, pela disponibilidade, ajuda e dedi-ca¸cão ao longo de todo o semestre, mas principalmente, agradecer pelo interesse que surgiu em mim para o estudo de vibra¸cões mecânicas.

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Conte´

udo

Resumo i Abstract ii Agradecimentos vii Nomenclatura xv 1 Introdu¸c˜ao 1 1.1 Enquadramento . . . 1 1.2 Objetivos . . . 1 1.3 Estrutura . . . 2

2 Fundamentos Teóricos 3 2.1 Linhas de transmissão aéreas . . . 3

2.1.1 Condutores . . . 4

2.1.2 Tipos de Vibra¸c˜oes . . . 5

2.2 Vibra¸c˜oes E´olicas . . . 8

2.2.1 Mecanismo de excita¸c˜ao . . . 8

2.2.2 Frequˆencias Naturais do Condutor . . . 10

2.3 Dissipa¸c˜ao de energia - Balan¸co energ´etico . . . 11

2.3.1 Energia fornecida pelo vento . . . 12

2.3.2 Energia dissipada pelo condutor . . . 13

2.3.3 Energia dissipada pelo absorsor . . . 14

2.3.4 Deforma¸c˜oes . . . 15

2.4 Absorsores do tipo Stockbridge . . . 15

3 Análise dinâmica do absorsor Stockbridge 21 3.1 Modelo Wagner - Absorsor Simétrico . . . 21

3.1.1 Equa¸c˜ao de movimento . . . 21

3.1.2 Frequˆencias naturais . . . 22

3.1.3 Regime For¸cado-Resposta . . . 23

3.1.4 For¸ca transmitida ao absorsor . . . 24

3.1.5 Potˆencia dissipada pelo absorsor . . . 25

3.2 Modelo Wagner - Valida¸c˜ao . . . 27

3.2.1 Frequˆencias naturais . . . 27

3.2.2 Regime For¸cado-Resposta . . . 27

(12)

3.2.4 Potˆencia dissipada pelo absorsor . . . 30

3.3 Modelo de elementos finitos . . . 31

3.3.1 Fun¸cões de transmissibilidade - Parti¸cão das equa¸cões do MEF . . . 31

3.3.2 Modelo Sim´etrico . . . 32

3.3.3 Modelo assim´etrico . . . 37

4 Ensaios experimental 41 4.1 Modelos experimentais . . . 41

4.2 Montagem experimental . . . 43

4.3 Calibra¸c˜ao das propriedades da barra . . . 46

4.4 Propriedades dos modelos experimentais . . . 47

5 Resultados experimentais 49 5.1 Modelos sim´etricos com as massas de 91.8 g . . . 49

5.2 Modelos sim´etricos com as massas de 119.4 g . . . 52

5.3 Modelos assim´etricos com massa de 91.8 e 119.4 g . . . 54

5.4 Modelo assimétrico com a seçcão de encastramento deslocada . . . 57

6 Discussão dos Resultados 59 6.1 Compara¸cão com o método dos elementos finitos . . . 59

6.1.1 Modelos Sim´etricos . . . 60

6.1.2 Modelos Assim´etricos . . . 63

6.2 Potˆencia dissipada pelos modelos . . . 66

6.3 Influência da rota¸cão das massas na dissipa¸cão de potência . . . 71

6.4 Influência do coeficiente de amortecimento histerético na dissipa¸cão de potência . 75 7 Conclusão 79 7.1 Conclusões . . . 79

7.2 Trabalhos Futuros . . . 80

A Equipamento Experimental 81

(13)

Lista de Figuras

2.1 Linhas de transmiss˜ao a´ereas. . . 3

2.2 Sec¸c˜ao dos condutores ACSR e AAAC [SAOG, 2014]. . . 4

2.3 Conjunto de condutores. . . 6

2.4 V´ortices de Von Karman. . . 8

2.5 Representa¸c˜ao de v´arios regimes de escoamento [Vecchiarelli, 1997]. . . 9

2.6 Modo de vibra¸c˜ao de um condutor [Products, 2013]. . . 10

2.7 Falha de fadiga [Products, 2013]. . . 11

2.8 Abras˜ao na liga¸c˜ao do condutor ao isolador [Products, 2013]. . . 12

2.9 Valores para a fun¸c˜ao f nc obtidos por v´arios autores [Wolf et al., 2008]. . . 13

2.10 Fun¸cões impedância para vários valores de velocidades [Wolf et al., 2008]. . . 14

2.11 Absorsor Stockbridge ligado ao condutor [Guedes et al., 2005]. . . 16

2.12 Modos de vibra¸c˜ao de um absorsor sim´etrico [Kasap]. . . 16

2.13 Localiza¸c˜ao do absorsor no condutor [Vecchiarelli et al., 2000]. . . 17

2.14 Potˆencia dissipada de um amortecedor Stockbridge [Miranda, 2014]. . . 19

3.1 Modelo equivalente [Wagner et al., 1973]. . . 21

3.2 M´odulo dinˆamico e fase de um absorsor Stockbridge − − −,—— , anal´ıtico ◦, •, experimental [Wagner et al., 1973]. . . 25

3.3 Potˆencia dissipada por ciclo —— anal´ıtico, _{◦ experimental [Wagner et al., 1973].} 26 3.4 Fasor de deslocamento para o grau de liberdade 1. . . 28

3.5 Fasor de deslocamento para o grau de liberdade 2. . . 29

3.6 M´odulo dinˆamico e fase de um absorsor Stockbridge. . . 29

3.7 Potˆencia dissipada por ciclo. . . 30

3.8 Esquema do modelo sim´etrico. . . 32

3.9 Esquema do modelo em elementos finitos. . . 33

3.10 Varia¸c˜ao da frequˆencia fundamental com o comprimento da barra. . . 33

3.11 Varia¸c˜ao da frequˆencia fundamental com a massa concentrada. . . 34

3.12 1o _{e 2}o _{modo de vibra¸c˜}_{ao. . . .} ₃₅

3.13 FRF - receptˆancia, mobilidade e acelerˆancia. . . 35

3.14 Fun¸c˜oes transmissibilidade. . . 36

3.15 Esquema do modelo assim´etrico. . . 37

3.16 Esquema do modelo assim´etrico em elementos finitos. . . 37

3.17 Modos de vibra¸c˜ao. . . 38

3.18 Fun¸c˜oes de transmissibilidade da massa m1. . . 39

3.19 Fun¸c˜oes de transmissibilidade da massa m2. . . 39

4.1 Desenho de um modelo experimental. . . 41

(14)

4.3 Massas cil´ındricas. . . 42

4.4 Barras de alum´ınio. . . 42

4.5 Representa¸c˜ao esquem´atica da montagem experimental. . . 43

4.6 Shaker eletromagn´etico - LDS V400. . . 44

4.7 Montagem com aceler´ometros no absorsor. . . 44

4.8 Analisador dinˆamico de sinal - Signal Analyser Unit Type 2035 B&K. . . 45

4.9 Amplificador do shaker - LDS PA100E. . . 45

4.10 Aceler´ometros: a) B&K 4508; b) ENDEVCO 27A11. . . 46

4.11 Fun¸c˜ao transmissibilidade da barra. . . 47

5.1 TR - a) Diagrama de Bode e b) Diagrama de Nyquist. . . 49

5.2 TR - Magnitude da fun¸c˜ao transmissibilidade. . . 50

5.3 Magnitude da fun¸c˜ao transmissibilidade para os v´arios conjuntos. . . 51

5.4 Compara¸c˜ao entre as formas naturais de vibra¸c˜ao do segundo modo para diferen-tes comprimentos. . . 51

5.5 TR - a) Diagrama de Bode e b) Diagrama de Nyquist. . . 52

5.6 Compara¸c˜ao entre transmissibilidades. . . 53

5.7 Magnitude da fun¸c˜ao transmissibilidade para os v´arios conjuntos. . . 53

5.8 Magnitude das fun¸c˜oes transmissibilidade. . . 55

5.11 Esquema do 3o _{modelo modelo assim´etrico ensaiado. . . .} ₅₇

6.1 Esquema utilizado no c´alculo do momento de in´ercia. . . 60

6.2 Compara¸c˜ao das fun¸c˜oes de transmissibilidade para os modelos com 119.4 g. . . 61

6.3 Compara¸c˜ao das fun¸c˜oes de transmissibilidade para os modelos com 91.8 g. . . . 63

6.4 Compara¸cão entre as fun¸cões de transmissibilidade do modelo assimétrico de 280 mm. . . 64

6.5 Compara¸cão entre as fun¸cões de transmissibilidade do modelo assimétrico de 300 mm. . . 64

6.6 Compara¸cão entre as fun¸cões de transmissibilidade do modelo assimétrico com encastramento descentrado. . . 64

6.7 Potˆencia dissipada por ciclo. . . 66

6.8 Potˆencia dissipada pelos modelos com as massas de 91.8g. . . 67

6.9 Potˆencia dissipada pelos modelos com sa massas de 119.4g. . . 68

6.10 Potˆencia dissipada pelos modelos de 220 mm com massas diferentes. . . 68

6.11 Potˆencia dissipada pelos modelos de 280 mm com massas diferentes. . . 69

6.12 Potˆencia dissipada pelo absorsor assim´etrico com 280 mm. . . 70

6.13 Compara¸cão entre a potência dissipada pelos modelos simétricos e assimétricos. . 70

6.14 Potˆencia dissipada pelos absorsores assim´etricos. . . 71

6.15 Potˆencia dissipada pelos dois modos - modelos com massas de 119.4 g. . . 72

6.16 Potˆencia dissipada pelos dois modos - modelos com massas de 91.8 g. . . 73

6.17 Potˆencia dissipada pelos dois modos - modelos assim´etricos. . . 75

6.18 Influencia do amortecimento histerético na magnitude das fun¸cões transmissibili-dade. . . 76 6.19 Zoom à fun¸cão de transmissibilidade T R11 na segunda frequência de ressonância. 77

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Lista de Tabelas

2.1 Propriedades de alguns condutores AAAC [SAOG, 2014]. . . 5

2.2 Propriedades de alguns condutores ACSR [SAOG, 2014]. . . 5

2.3 Compara¸c˜ao entre as respostas do condutor [Verma, 2002]. . . 7

2.4 Coeficientes obtidos por v´arios autores [Wolf et al., 2008]. . . 13

2.5 Compara¸cão entre os vários métodos [Miranda, 2014]. . . 19

3.1 Absorsor Stockbridge-propriedades. . . 24

3.2 Propriedades da barra. . . 34

3.3 Propriedades da massa cil´ındricas. . . 34

3.4 Frequˆencias naturais para v´arios comprimentos do cabo. . . 36

3.5 Modelo assim´etrico - Parˆametros. . . 38

4.1 Propriedades da barra. . . 46

4.2 Propriedades e dimens˜oes das barras. . . 47

4.3 Propriedades e dimens˜oes das massas. . . 48

5.1 Valores das frequências naturais e das razões de amortecimento para o 1o _ensaio. ₅₁ 5.2 Valores das frequências naturais e das razões de amortecimento para o 2o _ensaio. ₅₄ 5.3 Valores das frequências naturais e das razões de amortecimento para o 3o _ensaio. ₅₆ 5.4 Valores das frequências naturais e das razões de amortecimento para o 4o _ensaio. ₅₇ 6.1 Compara¸cão entre as frequências naturais experimentais e numéricas para a massa de 119.4 g. . . 62

6.2 Compara¸cão entre as frequências naturais experimentais e numéricas para a massa de 91.8 g. . . 63

6.3 Frequências naturais experimentais e numéricas para absorsores assimétricos e respectivos desvios. . . 65

6.4 Potências dissipadas pelos modelos simétricos nas ressonâncias. . . 74

6.5 Potências dissipadas em watts (W ) pelos modelos assimétricos nas ressonâncias. 75 6.6 Parâmetros do modelo. . . 76

(16)

(17)

Nomenclatura

Vari´aveis escalares

Re número de Reynolds D diâmetro do condutor [m] ν viscosidade cinemática [P a· s] v velocidade do flu´ıdo m/s

fs frequência de forma¸cão dos vórtices [Hz]

Cs n´umero de Strouhal

Lc comprimento do condutor [m]

T tens˜ao no condutor [N ] n modo de vibra¸c˜ao

P potˆencia dissipada pelo absorsor [W ] F for¸ca de excita¸c˜ao [N ]

Vs velocidade da excita¸c˜ao [m/s]

θv ˆangulo de fase entre for¸ca e velocidade [rad]

M matriz de massa K matriz de rigidez

C matriz de amortecimento

L comprimento do cabo messenger m massa concentrada [kg]

Jc momento de in´ercia no centro de massa [kgm2]

{x} vector deslocamento [m]

{X1} amplitude da resposta em deslocamento do grau de liberdade 1 [m]

{X2} amplitude do fasor da resposta em deslocamento do grau de liberdade 2 [m]

γ fase da resposta em deslocamento do grau de liberdade 1 [rad] β fase da resposta em deslocamento do grau de liberdade 2 [rad] µ coeficiente de amortecimento hister´etico

ω frequˆencia [rad/s] ρ massa vol´umica [kg/m3_]

(18)

Siglas e outros

F RF fun¸c˜ao de resposta em frequˆencia

T R fun¸c˜ao transmissibilidade

M EF m´etodo dos elementos finitos

L220− M119.4 absorsor simétrico com barra de 220 mm e com massas de 119.4 g L220− M91.8 absorsor simétrico com barra de 220 mm e com massas de 91.8 g L280_{− M119.4 − M91.8 absorsor com barra de 280 mm e com massas de 119.4 g e 91.8 g} L110− L190 − M91.8 absorsor assimétrico com seçcão de encastramento descentrada

(19)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

1.1 Enquadramento

A energia elétrica necessita de ser transportada ao longo de grandes distâncias, desde o local da sua produ¸cão até ao local de consumo. Existem dois métodos usados nessa distribui¸cão, por linhas aéreas ou por linhas subterrâneas.

As linhas de transmissão aéreas, em geral, são mais económicas e a sua constru¸cão necessita de um capital inicial inferior ao necessário para construir linhas subterrâneas. Para a transmissão de uma potência de 11kV um cabo subterrâneo tem um custo 5 vezes superior ao do condutor utilizado nas linhas aéreas, para 132kV 8 vezes e para 400kV 23 vezes [Bayliss and Hardy, 2012]. No entanto, este tipo de distribui¸cão apresenta alguns problemas, sendo o mais comum devido ao vento. Os condutores podem ter vários quilómetros de comprimento e estão constantemente em movimento devido a esta for¸ca. Dependendo da velocidade do vento, o condutor vibrará com diferentes frequências e amplitudes, tendo assim diferentes tipos de resposta.

Nesta disserta¸cão será dada uma maior importância às vibra¸cões eólicas, que acontecem quando a velocidade do vento se encontra entre os 1 e 7 m/s, fazendo os condutores vibrarem com altas frequências e amplitudes baixas, levando assim a falhas de fadiga [Vecchiarelli et al., 2000].

Não existindo um controlo eficaz podem ocorrer danos na rede de distribui¸cão deixando um número elevado de pessoas sem eletricidade durante um longo per´ıodo de tempo. Vários estudos foram feitos de forma a perceber o comportamento do condutor diminuindo assim a sua amplitude de resposta.

George H. Stockbridge desenvolveu a primeira versão do absorsor Stockbridge que tem sido usado no controlo de vibra¸cões do tipo eólico. No entanto, este absorsor não é universal, ou seja, para trabalhar nas condi¸cões ideais necessita que as suas caracter´ısticas dinâmicas estejam corretamente ajustadas às dos condutores onde serão aplicados. Caso contrário surgem danos graves na liga¸cão do absorsor ao condutor [Hagedorn, 1987].

1.2 Objetivos

Esta disserta¸cão tem como objetivos principais o estudo dinâmico de absorsores de vibra-¸cão do tipo Stockbridge, em particular a caracteriza¸cão da potência dissipada e a cria¸cão e consequente teste de modelos experimentais.

De modo a concretizar estes objetivos ser´a necess´ario:

(20)

• Pesquisa de modelos dinˆamicos de absorsores Stockbridge e de informa¸c˜ao sobre testes experimentais realizados;

• Utiliza¸c˜ao do m´etodo de elementos finitos de modo a prever o comportamento dos modelos experimentais;

• Cria¸c˜ao de modelos experimentais;

• Realiza¸cão de ensaios experimentais para valida¸cão do programa de elementos finitos. • Cálculo e compara¸cão da potência dissipada pelos vários modelos experimentais.

1.3 Estrutura

Esta disserta¸cão está dividida em 7 cap´ıtulos. Este cap´ıtulo introduz o problema e mostra os objetivos da disserta¸cão. O segundo cap´ıtulo contém grande parte da pesquisa elaborada e informa¸cão relevante para o problema sobre as linhas de transmissão aéreas.

No terceiro cap´ıtulo é apresentado um modelo anal´ıtico para o comportamento dinâmico do absorsor e também o modelo de elementos finitos, recorrendo ao programa BaPMEF;

No quarto cap´ıtulo apresentam-se os modelos experimentais bem como os equipamentos utilizados para os testes.

O quinto cap´ıtulo cont´em os resultados experimentais, sendo a sua discuss˜ao realizada no sexto cap´ıtulo.

Finalmente, no sétimo cap´ıtulo são apresentadas as conclusões retiradas ao longo do trabalho e sugestões para trabalhos futuros.

(21)

Cap´ıtulo 2

Fundamentos Te´

oricos

2.1 Linhas de transmiss˜

ao a´

ereas

Como referido no cap´ıtulo 1 as linhas de transmissão aéreas, figura 2.1, são um meio essencial na distribui¸cão de energia elétrica. São constitu´ıdas por cabos, por torres e por componentes iso-ladores. Os cabos ou condutores transportam a energia elétrica; as torres erguem os condutores a uma distância segura do solo, evitando o contacto destes com pessoas, animais ou vegeta¸cão, e permitem também o espa¸camento entre os condutores; os isoladores impedem o contacto directo entre o condutor e as torres evitando a dissipa¸cão de energia através da estrutura.

Figura 2.1: Linhas de transmiss˜ao a´ereas.

Existem dois tipos de torres, as de tensão situadas onde a energia é produzida e consumida e as torres intermédias, mais comuns, que sustentam os condutores através de suspensões isolado-ras. O vão é a distância entre duas torres consecutivas. Esta distância tem elevada importância ao n´ıvel do custo total da linha. Vãos curtos necessitam de torres de menores dimensões uti-lizando menos material. Contudo, como é de prever o número necessário de torres aumenta. Com vãos mais longos o condutor faz um arco maior, sendo necessário a constru¸cão de torres de maiores dimensões.

Valores t´ıpicos para a distância entre duas torres consecutivas encontram-se na ordem dos 300 metros [Vecchiarelli, 1997]. No entanto, existem vãos com variados tamanhos desde 100 metros até 600 metros [Bayliss and Hardy, 2012].

(22)

2.1.1 Condutores

Os condutores são os componentes principais nas redes de distribui¸cão aéreas tendo a fun¸cão de conduzir a corrente elétrica. Na figura 2.2 estão representados dois tipos de condutores muito utilizados, os ACSR, que são compostos por um núcleo, que pode ter 1 a 7 cabos de a¸co galvanizado, envolvido por camadas concêntricas de cabos de alum´ınio e os AAAC que são totalmente em ligas de alum´ınio.

Os mais utilizados são os ACSR devido à sua resistência mecânica elevada e baixo custo de produ¸cão. Neste condutor o a¸co galvanizado suporta a carga enquanto o alum´ınio conduz a maior parte da corrente [SAOG, 2014]. Em ambientes marinhos ou industriais podem sofrer corrosão galvânica, devido à presen¸ca de dois metais diferentes. O alum´ınio pode funcionar como ˆ

anodo e ser consumido rapidamente. [Azevedo and Cescon, 2002]. Condutores AAAC possuem uma rela¸cão peso-resistência mecânica superior e são mais resistentes à corrosão.

A escolha do condutor a utilizar depende da aplica¸cão, sendo que para vãos muito longos a utiliza¸cão dos AAAC tem vantagens. São mais leves provocando assim um arqueamento menor do condutor [Bayliss and Hardy, 2012]; a sua utiliza¸cão torna-se ideal quando as cargas impostas pelo vento ou gelo são baixas.

Nas tabelas 2.1 e 2.2 estão presentes alguns condutores comercializados pela Oman Cables Industry [SAOG, 2014]. Observando as tabelas é poss´ıvel reparar que para uma área nominal semelhante, os condutores AAAC são mais leves e apresentam uma tensão de rotura inferior aos condutores refor¸cados por a¸co.

(23)

2.1. Linhas de transmiss˜ao a´ereas Tabela 2.1: Propriedades de alguns condutores AAAC [SAOG, 2014].

Nome No_./Diˆ_{ametro nominal} _{Area Nominal}´ _Massa _Tens˜_{ao de Rotura Nominal}

(No_./mm) _(mm2₎ _(Kg/Km) _(KN)

Mulberry 19/3.18 150.9 414.3 44.52

Poplar 37/2.87 239.4 659.4 70.61

Sorbus 61/3.71 659.4 1822.5 194.53

Tabela 2.2: Propriedades de alguns condutores ACSR [SAOG, 2014].

No_./Diˆ_{ametro nominal} _{Area Nominal}_´ _Massa _Tens˜_{ao de Rotura Nominal}

A¸co (No./mm) Alum´ınio (No./mm) (mm2₎ _(Kg/Km) _(KN)

7/3.20 12/3.20 152 714 80.20

7/3.0 30/3.0 261 979 92.25

7/3.60 54/3.60 620.9 2085 167.42

2.1.2 Tipos de Vibra¸c˜oes

Dependendo da velocidade do vento, os condutores respondem de formas diferentes. A pas-sagem do vento pelo condutor cria for¸cas aerodinâmicas. Estas for¸cas podem ser de sustenta¸cão, agindo perpendicularmente ao escoamento, ou de arrasto na dire¸cão do vento. Para velocidades diferentes a resultante destas for¸cas varia provocando assim respostas variadas no condutor. O tipo de falha que o condutor sofre está diretamente relacionado com a sua resposta, sendo esta dependente da velocidade do vento [Verma, 2002].

O condutor pode vibrar de v´arias formas sendo as mais comuns:

• Vibra¸cões eólicas - A passagem do vento pelo condutor, com uma velocidade baixa, dá origem a vórtices. O deslocamento é maioritariamente na vertical com amplitudes baixas, na ordem do diâmetro do condutor e frequências altas [Hagedorn, 1982]. Os condutores são constantemente fletidos o que leva a problemas de fadiga.

Este tipo de vibra¸cão será abordado ao longo da disserta¸cão.

• Vibra¸cões do tipo Galopante - Caracterizam-se por frequências muito baixas e ampli-tudes altas, podendo ocorrer contacto entre dois condutores. São o tipo de resposta que provoca maiores danos, podendo danificar condutores, isoladores e torres. Este fenómeno pode ter três causas diferentes:

1. Condutores de grande diˆametro (>40mm). 2. Oscila¸c˜oes iniciadas pela queda de gelo.

3. Condutores congelados, que devido ao gelo, ficam com formas diferentes e sujeitos a for¸cas aerodinâmicas instáveis para velocidades do vento médias [Bayliss and Hardy, 2012].

• Vibra¸cões do tipo esteira - Este tipo de vibra¸cão ocorre maioritariamente em conjunto de dois ou mais condutores que possuem liga¸cões fixas entre si, figura 2.3.

Os condutores vibram horizontalmente com frequências de vibra¸cão entre 1 e 10 Hz. As vibra¸cões são causadas por vento moderado a forte com velocidade que varia entre 4 a 18 m/s. É frequente a ocorrência deste fenómeno em cabos secos situados em terrenos amplos [Miranda, 2014].

(24)

Figura 2.3: Conjunto de condutores.

Na tabela 2.3, é feita a compara¸cão entre dois tipos de vibra¸cão que ocorrem no condutor. São dados alguns valores de amplitudes e frequências. No entanto estes valores variam bastante dependendo da bibliografia consultada.

(25)

2.1. Linhas de transmiss˜ao a´ereas

Tabela 2.3: Compara¸c˜ao entre as respostas do condutor [Verma, 2002].

E´olico Galopante Esteira

Gama de de 3 de 0.08 de 0.15

Frequˆencias a 150 Hz a 3 Hz a 10 Hz

Amplitudes 0.01D a 1D 5D a 3000D 0.5D a 80D

de Vibra¸c˜ao

Condi¸cões climatéricas favoráveis

Vento uniforme uniforme uniforme

Velocidade de 1 de 7 de 4

a 7 m/s a 18 m/s a 18 m/s

Superf´ıcie desprotegida/ gelo desprotegida/

do conductor gelo sim´etrico assim´etrico seca

Danos

Causas fadiga devido cargas dinˆamicas colis˜ao entre condutores `

a carga c´ıclica elevadas e desgaste acelerado

Tempo at´e de 3 meses de 1 a de 4 a

`

a falha a 20 anos 20 horas 18 horas

Componentes condutores condutores, torres condutores e

(26)

2.2 Vibra¸

c˜

oes E´

olicas

Vibra¸cões do tipo eólico são bastante comuns nos condutores das linhas aéreas podendo provocar danos que afetam negativamente o funcionamento destas. Condutores danificados pela vibra¸cão, têm de ser reparados ou substitu´ıdos levando à poss´ıvel paragem da rede de energia.

Exemplo disso aconteceu no Brasil em 2002 onde uma falha, devido a fadiga, num condutor ACSR deixou cerca de 67 milh˜oes de habitantes sem eletricidade [Azevedo and Cescon, 2002].

Estudar este tipo de vibra¸cões de forma a perceber como minimizar ou controlar a amplitude de vibra¸cão tem então grande importância.

2.2.1 Mecanismo de excita¸c˜ao

Quando um escoamento de ar, com uma velocidade reduzida, passa por um corpo cil´ındrico, ou neste caso por um condutor, geram-se vórtices. Estes surgem na face inferior e na face superior de forma alternada, criando assim diferen¸cas de pressões que provocam o movimento do condutor [Products, 2013]. Este fenómeno foi estudado por Von Karman e é exemplificado na figura 2.4.

Figura 2.4: V´ortices de Von Karman.

O coeficiente de Reynolds (2.1) é um número adimensional que relaciona as for¸cas de inércia com as for¸cas viscosas permitindo conhecer o regime de escoamento,

Re=

vD

ν (2.1)

onde v representa a velocidade do flu´ıdo, D o diˆametro do cilindro e ν a viscosidade cinem´ a-tica do fluido.

A figura 2.5 mostra que o aparecimento de vórtices é cont´ınuo para valores de Reynolds entre os 40 e 300000. Estes valores correspondem a situa¸cões onde o vento tem uma velocidade moderada ou baixa.

(27)

2.2. Vibra¸c˜oes E´olicas

(28)

O número de Strouhal (2.2) é um fator adimensional que facilita o cálculo da frequência com que os vórtices alternam de posi¸cão, sendo assim poss´ıvel calcular a frequência com que o condutor vibra para uma dada velocidade do vento. Este valor é fun¸cão do número de Reynolds e da rugosidade do cilindro [Vecchiarelli, 1997].

fs=

csv

D (2.2)

onde fs é a frequência de forma¸cão dos vórtices, cs é o coeficiente de Strouhal e D o diâmetro

do condutor.

Para um cilindro o coeficiente cs toma o valor de 0.19 [Hagedorn, 1987]. Usando este valor e

substituindo na equa¸cão (2.2) com velocidades do vento entre 1 e 7 m/s e diâmetros do condutor variados (entre 6 e 50 mm) obtém-se a gama de frequências poss´ıveis para a gera¸cão de vórtices, que se situa entre os 4 e 215 Hz.

Dentro desta gama de frequências existe um feed back entre o condutor e a passagem do ar. Quando a frequência dos vórtices é próxima de uma frequência natural do cabo, este come¸ca a vibrar aumentando o seu deslocamento. O movimento do condutor altera a frequência com que os vórtices surgem tornando-a ainda mais próxima da sua frequência natural. O aparecimento dos vórtices fica então sincronizado com uma frequência natural do condutor, sendo que a vibra¸cão deixa de ser influenciada por varia¸cões na velocidade do vento [Kiessling et al., 2003].

Este fenómeno é conhecido como lock-in. Estando em ressonância o condutor sofre um n´ıvel de vibra¸cão elevado, vibra com uma forma harmónica, figura 2.6, tendo nós for¸cados nas liga¸cões com a estrutura e um maior ou menor número de pontos nodais ao longo do vão dependendo do modo de vibra¸cão em que se encontra [Products, 2013].

Figura 2.6: Modo de vibra¸c˜ao de um condutor [Products, 2013].

2.2.2 Frequˆencias Naturais do Condutor

Determinar as frequências naturais de um vão com o intuito de evitar a ressonância do condutor tem elevada importância. Estas dependem da tensão a que o condutor está sujeito, do seu peso e do seu comprimento. Normalmente os vãos apresentam um espectro de frequências naturais muito denso, podendo o espa¸camento entre frequências ir dos 0.1 até 1 Hz [Brown, 2009]. Para o caso do espa¸camento ser de 0.1 Hz existem cerca de 500 modos diferentes entre os 10 e 50 Hz [Hagedorn, 1982].

A rigidez do condutor é muito baixa podendo ser desprezada para o cálculo das frequên-cias naturais, assim o condutor tem um comportamento idêntico ao de uma corda. As suas frequências naturais podem ser calculadas pela seguinte equa¸cão [Products, 2013][Brown, 2009]:

fs = n 2Lc s T µ (2.3)

(29)

2.3. Dissipa¸cão de energia - Balan¸co energético onde fs é a frequência natural em Hertz, n o número do modo de vibra¸cão, Lc o comprimento

do vão, T a tensão no condutor e µ a massa do condutor por unidade de comprimento. Por exemplo, as frequências naturais de um condutor com 254 metros com uma tensão de 21048 N e uma massa por unidade de comprimento de 1.629 kg/m são dadas por:

fs= 0.233× n[Hz] (2.4)

Sendo um sistema continuo, o condutor possui um número infinito de modos naturais. Entre a gama de frequências 1 e 20 Hz existem aproximadamente 100 frequências naturais de vibra¸cão. ´

E poss´ıvel observar que existe um espectro muito denso de frequências naturais. Para velocidades do vento entre os 1 e os 7 m/s, a frequência de excita¸cão irá ser quase sempre parecida com uma frequência natural do condutor, desencadeando o processo referido em 2.2.1 , provocando a ressonância.

2.3 Dissipa¸

c˜

ao de energia - Balan¸

co energ´

etico

Quando o condutor vibra é flectido obrigando os cabos que o constituem a escorregar uns sobre os outros, este movimento relativo provoca dissipa¸cão de energia por friçcão. Outro meio de dissipa¸cão, ocorre a n´ıvel microscópio e é conhecido como amortecimento metalúrgico. A combina¸cão destes dois tipos de dissipa¸cão constitui o amortecimento próprio do condutor [Vec-chiarelli et al., 2000]. Este amortecimento depende do deslocamento do condutor e é conhecido por amortecimento histerético ou estrutural. Varia com o material e diâmetro do condutor, tensão a que está sujeito e comprimento do vão [Kiessling et al., 2003]. O aumento da tensão no condutor tem vantagens a n´ıvel económico mas reduz o seu amortecimento. Valores de tensão comuns são cerca de 20% da tensão de cedência do condutor.

Não existindo outro meio de dissipa¸cão, o condutor não dissipa energia suficiente provocando um aumento do seu deslocamento, aumentando assim as amplitudes de vibra¸cão e consequen-temente um aumento da probabilidade de ocorrência de falhas de fadiga, figura 2.7, bem como abrasão nas liga¸cões entre o condutor e a estrutura, figura 2.8.

Figura 2.7: Falha de fadiga [Products, 2013].

Devido ao baixo amortecimento do condutor, principalmente a baixas frequências, a utiliza-¸cão de absorsores de vibra¸cões permite uma redu¸cão das amplitudes de vibra¸cão. A dissipa¸cão de energia é agora repartida pelos absorsores e condutores. O balan¸co energético é então descrito pela equa¸cão (2.5) [Hagedorn, 1982]:

(30)

Figura 2.8: Abras˜ao na liga¸c˜ao do condutor ao isolador [Products, 2013].

onde Pw ´e a energia fornecida pelo vento ao condutor, PD a energia dissipada nos absorsores e

PC a energia dissipada pelo condutor devido ao amortecimento estrutural.

Este balan¸co pode ser utilizado para determinar o comportamento do condutor, sendo que as expressões das energias e das deforma¸cões foram obtidas em [Hagedorn, 1982] e [Wolf et al., 2008]. No entanto, este método assume as seguintes hipóteses:

• Para o cálculo dos modos de vibra¸cão a rigidez à flexão é desprezada; • A tensão e a massa do condutor são uniformes ao longo do vão; • O condutor está fixo horizontalmente nas suas extremidades; • As duas extremidades encontram-se à mesma altura;

• O vento actua na horizontal com velocidade constante;

• O condutor vibra somente na vertical com uma forma harm´onica;

• O condutor ´e composto por cilindros infinitesimais que absorvem energia conforme a sua amplitude de deslocamento.

2.3.1 Energia fornecida pelo vento

A energia fornecida pelo vento ao condutor pode ser calculada pela seguinte express˜ao, Pw = Lcf3D4f nc

A D

(2.6) sendo Lc o comprimento do vão, D o diâmetro do condutor, A a amplitude de vibra¸cão e f a

frequência para a forma¸cão dos vórtices.

A fun¸cão f nc é conhecida como power reduction function; foi obtida por vários autores recorrendo a métodos experimentais realizados em túneis de vento. Alguns destes resultados podem ser consultados na figura 2.9.

Para o uso desta fun¸c˜ao existem polin´omios que aproximam as curvas que aparecem na figura 2.9 [Kasap]:

Riegert & Currie(1991)

f nc A D = 807.4 A D 1.953 − 767.6 A D 2 − 3.2 A D 3 − 78.2 A D 4 (2.7)

(31)

2.3. Dissipa¸c˜ao de energia - Balan¸co energ´etico

Figura 2.9: Valores para a fun¸c˜ao f nc obtidos por v´arios autores [Wolf et al., 2008].

Curva m´edia entre Carroll (1936) e Diana & Falco (1971)

f nc A D =−99.73 A D 3 − 101.62 A D 2 + 0.627 A D + 0.2256 (2.8)

2.3.2 Energia dissipada pelo condutor

Como foi referido anteriormente, o condutor tem a capacidade de dissipar energia devido ao seu amortecimento interno e ao escorregamento relativo entre os cabos que o constituem. Esta energia pode ser calculada pela seguinte express˜ao,

PC = LcK

(A/D)l_fm

Tn , (2.9)

onde K é um fator de proporcionalidade que caracteriza o amortecimento interno no condutor, os coeficientes l, m e n são constantes que deveriam ser iguais para todos os condutores. Valores obtidos experimentalmente para estes coeficientes são apresentados na tabela 2.4.

Tabela 2.4: Coeficientes obtidos por v´arios autores [Wolf et al., 2008].

Autor l m n Comprimento (m)

Tompkins et al. 2.3 5.0 1.9 36

Claren & Diana 2.0 4.0 2.5 46

Sepp¨a 2.5 5.75 2.8 36

Kraus & Hagedorn 2.47 5.38 2.8 30

Noiseux 2.44 5.63 2.76 63

M¨ocks & Schmidt 2.44 5.38 2.4 30

Mech. Lab Politecnico di Milano 2.43 5.5 2 46

(32)

2.3.3 Energia dissipada pelo absorsor

Os absorsores têm um papel importante na dissipa¸cão de energia total do sistema. Para se proceder ao cálculo deste valor é necessário conhecer inicialmente as propriedades dinâmicas destes. Para isso são realizados testes experimentais recorrendo a um ”shaker”. Neste teste é imposto um deslocamento harmónico no absorsor que cria uma for¸ca no ponto de liga¸cão shaker-absorsor. A fun¸cão que relaciona a amplitude da velocidade com esta for¸ca é chamada impedância mecânica e é utilizada para o cálculo da energia dissipada [Wolf et al., 2008]. A figura 2.10 mostra a magnitude de fun¸cões impedância para várias velocidades de deslocamento im-posto. Nesta figura é poss´ıvel observar um comportamento não linear, isto porque a impedância é fun¸cão da frequência e da amplitude de velocidade imposta.

Figura 2.10: Fun¸cões impedância para vários valores de velocidades [Wolf et al., 2008]. A energia dissipada pode então ser calculada utilizando as seguintes equa¸cões [Vecchiarelli, 1997], [Wolf et al., 2008]. PD = 1 4T cwk 21− (h2+ g2) 1 + h2_{+ g}2 D 2A D 2 , (2.10) onde h =₋ sin 2_kl 1(sin(2kl1+ 2γ sin α) sin2_kl 1+ γ2+ 2γ sin kl1sin(kl1+ α) , (2.11) g = sin 2_kl

1cos 2kl1+ γ2+ γ sin 2kl1sin α

sin2_kl 1+ γ2+ 2γ sin kl1sin(kl1 + α) (2.12) k = 2πfr mL T , (2.13) cw= r T mL , (2.14) γ = T Zcw . (2.15)

Sendo k e cw o número e a velocidade da onda, T a tensão a que o condutor está sujeito,

Z o valor absoluto da impedância, α a fase da impedância, mL a razão massa comprimento do

(33)

2.4. Absorsores do tipo Stockbridge

2.3.4 Deforma¸c˜oes

Nas linhas de transmissão aéreas a rigidez à flexão é muito pequena não tendo pois grande influência no cálculo dos modos e frequências naturais de vibra¸cão. Apesar disso, para o cálculo das deforma¸cões é preciso ter em conta este parâmetro [Hagedorn, 1982].

A expressão para o cálculo das deforma¸cões no condutor, em certos pontos de interesse, como no meio do vão, nas suspensões isoladoras e na seçcão de liga¸cão ao absorsor podem ser aproximadas pelas expressões utilizadas para o cálculo de deforma¸cões numa viga com rigidez à flexão EI, sendo a expressão geral,

ε(x, t) = d 2u

00_{(x, t),} _(2.16)

onde d é o diâmetro de flexão, diferente do diâmetro do condutor. Isto devido à sua estrutura complexa. Pode ser calculado pela seguinte expressão:

d = KsD, (2.17)

onde Ks´e o coeficiente de escorregamento que necessita de ser obtido por meios experimentais.

De acordo com [Wolf et al., 2008] a deforma¸cão a meio do vão é dada pela expressão εA= k2A

d

2, (2.18)

a deforma¸cão nas suspensões isoladoras é dada por,

εB = k A p2(1 + h2_{+ g}2₎ r T EI d 2 s 1 + g2_{+ h}2 sin2_kl 1 + 4g cot kl1+ 2g(1− cot2kl1), (2.19)

e a deforma¸cão na seçcão de liga¸cão do condutor com o absorsor por, εD = d 2kA q (_b 1− c1)2+ (b2− c2)2 r T EI, (2.20) com:

b1 =− sin kl1− g cos kl1− h sin kl1, (2.21)

b2= cos kl1+ g sin kl1− h cos kl1, (2.22)

c1 = (1− g) cos2_kl 1 sin kl1 + h cos kl1, (2.23) c2 = (1 + g) cos kl1+ h cos2_kl 1 sin kl1 . (2.24)

2.4 Absorsores do tipo Stockbridge

O absorsor Stockbridge, figura 2.11, é o dispositivo mais utilizado no controlo das vibra¸cões do tipo eólico. Foi inventado em 1925 por George Stockbridge. Em geral são constitu´ıdos por duas massas r´ıgidas ligadas às duas extremidades de um cabo composto por 7 a 19 fios de a¸co enrolados em hélice. A liga¸cão entre o absorsor e o condutor é assegurada por um grampo [Wagner et al., 1973]. Esta liga¸cão permite que o deslocamento sofrido pelo condutor num dado ponto seja transmitido ao absorsor. As massas provocam a flexão do cabo de a¸co, conhecido por

(34)

messenger, ocorrendo assim dissipa¸cão de energia devido aos mesmos mecanismos presentes nos condutores, ou seja, devido à friçcão provocada pelo escorregamento relativo entre os vários cabos e pelo amortecimento metalúrgico. A dissipa¸cão de energia acontece numa banda de frequências próxima da sua frequência natural tomando valores máximos quando o absorsor é excitado com essa frequência [Guedes et al., 2005]. Se a soma da energia dissipada pelo conductor e pelo absorsor Stockbridge for superior à energia fornecida pelo vento, o condutor vibrará com menor amplitude e durante menos tempo.

Condutor

Engate

Massa

Cabo Messenger

Figura 2.11: Absorsor Stockbridge ligado ao condutor [Guedes et al., 2005].

A escolha das massas, do comprimento e da rigidez do cabo messenger a utilizar tem grande influencia no desempenho do dispositivo. Num absorsor simétrico, cada massa tem dois graus de liberdade idênticos, que correspondem ao primeiro e segundo modo de vibra¸cão do absorsor. Para o primeiro modo ,figura 2.12.a), o deslocamento máximo surge na massa, enquanto que no segundo, devido à rota¸cão da massa, surge no cabo messenger, figura 2.12.b).

Absorsores assimétricos possuem quatro modos de vibra¸cão, aumentando a gama de frequên-cias a que podem dissipar energia.

(35)

2.4. Absorsores do tipo Stockbridge A escolha do absorsor e o local de liga¸cão ao condutor tem elevada importância. Para um funcionamento correto é necessário que a impedância do absorsor seja muito próxima da impe-dância do condutor a ser protegido [Markiewicz, 1995]. A liga¸cão é usualmente feita perto das suspensões isoladoras como é mostrado na figura 2.13. Normalmente é escolhida uma distância de l1≈λ/4, sendo λ o menor comprimento de onda com que o condutor responde. Isto garante

que o absorsor nunca estar´a acoplado num nodo de vibra¸c˜ao [Hagedorn, 1982].

Figura 2.13: Localiza¸c˜ao do absorsor no condutor [Vecchiarelli et al., 2000].

O absorsor Stockbridge exerce uma for¸ca e um momento concentrados no ponto de liga¸cão com o condutor. Se as caracter´ısticas do absorsor não estiverem correctamente ajustadas às caracter´ısticas dinâmicas do condutor, a for¸ca e o momento aumentam de valor alterando o comportamento do condutor, podendo surgir deslocamentos demasiado elevados na vizinhan¸ca da liga¸cão [Guedes et al., 2005].

A resposta do condutor é então muito influenciada pelas caracter´ısticas dinâmicas e pelo posicionamento do absorsor. No entanto, ambos, são temas que não foram completamente estudados.

A eficiência de um absorsor pode ser medida de acordo com duas filosofias diferentes. Uma delas, recorrendo a métodos que se aproximam mais da realidade, onde é necessário testar o absorsor ligado ao condutor. Na segunda, recorrendo a um método, mais directo, onde o absorsor é ligado a um shaker que lhe impõe somente um deslocamento vertical.

Existem três normas que descrevem alguns dos procedimentos para a determina¸cão das caracter´ısticas dinâmicas de amortecedores de vibra¸cão e de sistemas amortecidos, sendo elas:

• ”IEEE Guide on Conductor Self Damping Measurement”(IEEE Std. 563-1978);

• ”IEEE Guide on the Measurement of the Performance of Aeolian Vibration Dampers for Single Conductors”(IEEE Std. 664-1993);

• ”Requirements and tests for Stockbridge type aeolian vibration dampers”(IEC 61 897). A norma IEEE Std 664-1993 apresenta os quatro métodos falados anteriormente, auxiliando a padroniza¸cão dos ensaios. Os métodos são conhecidos por [Miranda, 2014]:

(36)

• Inverse Standing Wave Ratio (ISWR) ou Método da Velocidade Constante - Determina as caracter´ısticas de dissipa¸cão de energia, com medi¸cões de amplitudes nos nós e anti-nós em cada frequência natural do cabo onde o absorsor irá atuar.

• Decay method ou Método do Decaimento - Determina as caracter´ısticas de dissipa¸cão de energia pela medi¸cão da taxa de decaimento da amplitude de movimento, após um per´ıodo de vibra¸cão for¸cada a uma frequência natural do sistema e uma amplitude de teste fixa. • Power method ou Método da potência - Neste ensaio são determinadas as caracter´ısticas

de dissipa¸cão de energia de um absorsor por meio da medi¸cão da for¸ca e da velocidade durante o per´ıodo de teste no ponto de fixa¸cão ao shaker.

• Forced Response method ou Método da Resposta For¸cada – Determina as caracter´ısticas de dissipa¸cão de energia de um amortecedor por meio da medi¸cão da for¸ca e da velocidade transmitida para um amortecedor que é montado diretamente sobre o shaker.

Segundo as normas, os métodos que recorrem ao condutor são os mais corretos, uma vez que se aproxima mais do objetivo, medir a energia que o absorsor dissipa estando ligado a um condutor. No entanto apresentam também alguns problemas relacionados com este método.

Estes testes definem o comportamento do sistema completo, não sendo poss´ıvel obter somente a parte relacionada com o absorsor. Fazer uma análise completa seria extremamente dif´ıcil, uma vez que existem muitas variáveis que teriam de ser analisadas, tornando os testes economicamente inviáveis. Diferentes posi¸cões e números de absorsores ao longo do condutor ou diferentes tipos de condutores são exemplos dessas variáveis.

Por outro lado, o teste do método da resposta for¸cada é mais fácil e mais económico, forne-cendo a informa¸cão necessária [Diana et al., 2003]. Existindo as condi¸cões necessárias seria este teste que seria realizado nesta disserta¸cão.

Este método determina a potência dissipada através da medi¸cão das velocidades do shaker e das for¸cas de excita¸cão que o absorsor impõe ao shaker, sendo o cálculo realizado recorrendo `

a express˜ao (2.25):

P = 1

2F Vscos θv, (2.25)

onde P é a potência dissipada, F a for¸ca de excita¸cão, Vs a velocidade de excita¸cão e θv o

ˆ

angulo de fase entre a for¸ca e a velocidade medidas no shaker.

A figura 2.14 é o resultado da equa¸cão (2.25) e representa a potência dissipada em fun¸cão da frequência de excita¸cão para um absorsor do tipo Stockbridge com uma massa total de 5.99 kg.

A tabela 2.5 compara os v´arios m´etodos referidos na norma IEEE 664-1993.

No próximo cap´ıtulo serão apresentados modelos anal´ıticos que prevêem a resposta do ab-sorsor.

(37)

2.4. Absorsores do tipo Stockbridge

Figura 2.14: Potˆencia dissipada de um amortecedor Stockbridge [Miranda, 2014].

Tabela 2.5: Compara¸cão entre os vários métodos [Miranda, 2014].

Método da Método da Método do Método da

Velocidade Constante Potˆencia Decaimento Resposta For¸cada

Necess´ario sim sim sim n˜ao

condutor

Teste de discreto discreto discreto cont´ınuo

frequˆencia

Tempo de 8horas 4horas 4horas 30 minutos

ensaio

Principal evita problemas com recolha e an´alise ampla gama r´apida recolha

vantagem o formato de onda de dados direta de amplitudes de dados

Principal dificuldades em poss´ıveis erros dificuldades de não mede desvantagem medir amplitudes devido a perdas medi¸cão com a influência do

altos n´ıveis de condutor amortecimento

(38)

(39)

Cap´ıtulo 3

An´

alise dinˆ

amica do absorsor Stockbridge

Neste capitulo será apresentado um modelo de um absorsor simétrico elaborado por [Wagner et al., 1973], de modo a perceber de que forma se comporta um absorsor Stockbridge real. Serão apresentadas equa¸cões que possibilitam o cálculo das frequências naturais, dos fasores de deslocamento e da potência dissipada no absorsor. Será feita também uma valida¸cão das equa¸cões apresentadas.

De seguida, ainda neste cap´ıtulo, será apresentado um programa de elementos finitos que permite uma aproxima¸cão mais correta do problema, bem como a análise dinâmica de absorsores assimétricos.

3.1 Modelo Wagner - Absorsor Sim´

etrico

3.1.1 Equa¸c˜ao de movimento

[Wagner et al., 1973] come¸cou por analisar absorsores sim´etricos criando um sistema equi-valente com 2 graus de liberdade figura 3.1. O sistema apresenta uma mola sem massa (cabo messenger) e uma massa encastrada. Este modelo foi tamb´em utilizado por [Kalombo et al., 2012].

(40)

A equa¸c˜ao de movimento ´e dada por:

M¨x + C ˙x + Kx = C ˙y + Ky (3.1)

onde M ´e a matriz de massa, C a matriz de amortecimento, K a matriz de rigidez, e x e y os vetores de deslocamento.

A matriz M ´e composta por

m11= m, m12= m21= ml e m22= J = Jc+ ml2, (3.2)

sendo m o valor de uma das massas, l a distância do centro de massa ao ponto de união massa-cabo e Jc o momento de inércia no centro de massa.

Os elementos da matriz K:

k11= 4k, k12= k21= 2kL e k22=

4kL2

3 , (3.3)

sendo k o coeficiente de rigidez e L a distˆancia entre o encastramento e o ponto de uni˜ao massa-cabo.

Neste modelo existe uma rela¸cão entre as for¸cas de amortecimento e as for¸cas elásticas resultantes do deslocamento e da rota¸cão da massa.

ωcij = µkij (3.4)

ou na forma matricial,

ωC = µK (3.5)

sendo µ o coeficiente de amortecimento hister´etico.

Utilizando esta rela¸cão é criada uma nova matriz de rigidez que contém a parte respeitante ao amortecimento.

K*= K + iωC = K(1 + iµ) (3.6)

Rescrevendo (3.1), a equa¸c˜ao de movimento ´e dada por

M¨x + K*x = K*y. (3.7)

3.1.2 Frequˆencias naturais

Para o cálculo das frequências naturais não existe amortecimento, sendo que µ=0. É também necessário estar em regime livre, ou seja, y(t)=0.

M¨x + Kx = 0 (3.8)

A solu¸cão da equa¸cão (3.8) conduz a um problema de valores e vetores próprios

[K− ω2_M]_{· {x} = {0}.} _(3.9)

As frequências naturais são calculadas resolvendo a seguinte equa¸cão,

K_{− ω}2M= 0, (3.10)

(41)

3.1. Modelo Wagner - Absorsor Sim´etrico ω1 = h− a 2mρ 1/2 (3.11) e ω2 = h + a 2mρ 1/2 (3.12) onde ρ = (r/l2), r =pJc/m, h = (1 + ρ)k11+ k22 l2 − 2k12 l , a 2 _{= h}2 − 4ρ_l₂(k11k22− k212)

3.1.3 Regime For¸cado-Resposta

Assumindo que a solicita¸cão é do tipo harmónica e apenas no grau de liberdade 1, y(t) = y1 0 = Y1eiωt 0 (3.13) as respostas do sistema serão do mesmo tipo, ou seja,

x(t) = ¯Xeiωt _(3.14)

˙x(t) = iω ¯Xeiωt x(t) =¨ −ω2_Xe_¯ iωt _(3.15)

com os fasores de resposta em deslocamento iguais a { ¯X_{} =}X1e

iγ

X2eiβ

, (3.16)

onde X1 e X2 representam as amplitudes e γ e β as respectivas fases. Substituindo as

equa¸cões (3.13), (3.14), (3.15) e (3.16) em (3.37), resolvendo e após várias simplifica¸cões feitas por [Wagner et al., 1973], os fasores de resposta em deslocamento são dados pelas expressões:

¯ X1 Y1 = (1 + iµ) 1 + iµ− S1η 2 (1 + iµ− η2_{)(1 + iµ}_{− αη}2₎ (3.17) e ¯ X2 Y1 = (1 + iµ) l −αη2_S 2 (1 + iµ_{− η}2_{)(1 + iµ}_{− αη}2₎, (3.18) onde η = ω ω1 , α = ω1 ω2 2 , S1 = α(1 + ρ)k11 mρlω2 1 , S2 = k12− lk11 mρlω2 2 .

(42)

As respostas anal´ıticas para os deslocamentos no grau de liberdade 1 e 2 s˜ao ent˜ao dadas por:

x1(t) = X1cos(ωt− γ) (3.19)

e

x2(t) = X2cos(ωt− β). (3.20)

3.1.4 For¸ca transmitida ao absorsor

A for¸ca total transmitida ao absorsor é composta por duas componentes, uma devido a for¸cas elásticas e outra devido a for¸cas dissipativas, e é dada pela expressão 3.21.

F = 2m( ¨x1+ l ¨x2), (3.21)

onde o fator 2 é devido às duas metades do absorsor. Substituindo os componentes da equa¸cão 3.14 na equa¸cão 3.21 e utilizando a equa¸cão 3.16, a for¸ca harmónica vem dada por:

F = F0eiωt=|F0|ei(ωt + φ), (3.22)

onde F0 ´e uma quantidade complexa,

F0= 2mω2(X1eiγ+ lX2eiβ). (3.23)

Substituindo as equa¸cões dos fasores de resposta em deslocamento 3.17 e 3.18 na equa¸cão 3.23, obtém-se a amplitude da for¸ca transmitida ao absorsor.

F0 = h_{− a} ρ η 2_Y 1(1 + iµ) 1 + iµ_{− η}2_(S 1+ αS2) (1 + iµ− η2_{)(1 + iµ}_{− αη}2₎. (3.24)

[Wagner et al., 1973] representou a equa¸c˜ao obtida e comparou os resultados com os valores obtidos em ensaios experimentais. Testou um absorsor com as seguintes caracter´ısticas:

Tabela 3.1: Absorsor Stockbridge-propriedades. Propriedades m 2.74 kg Jc 0.01714 N m2 L 0.23 m l 0.048 m ρ 2.716 a 237_{× 10}3 _{N m}−1 h 273_{× 10}3 _{N m}−1 k11= 4k 31.4 N m−1 µ 0.16

(43)

3.1. Modelo Wagner - Absorsor Simétrico As frequências naturais deste modelo podem ser calculadas recorrendo às equa¸cões (3.11) e (3.12). Os parâmetros da tabela 3.3 conduzem aos seguintes valores de frequências:

ω1= 273× 103_{− 237 × 10}3 2_{× 2.74 × 2.716} 1/2 = 49.184 rad/s, (3.25) e ω2= 273× 103_{+ 237}_{× 10}3 2_{× 2.74 × 2.716} 1/2 = 185.12 rad/s. (3.26)

Convertendo para Hertz, ω1 = 7.828 Hz e ω2 = 29.46 Hz.

Na figura 3.2 estão representados o módulo dinâmico _|F0|/Y1 e a fase φ entre a for¸ca e o

deslocamento em fun¸cão da frequência. Compara também resultados obtidos experimentalmente com os calculados.

Figura 3.2: M´odulo dinˆamico e fase de um absorsor Stockbridge − − −,—— , anal´ıtico ◦, •, experimental [Wagner et al., 1973].

Apesar dos resultados experimentais comprovarem as equa¸cões anteriores, existem alguns dados errados que impossibilitam a reprodu¸cão deste gráfico recorrendo ao MATLAB. Exemplo disso são valores dos parâmetros como a e h, variáveis dependentes do coeficiente de rigidez como mostram as equa¸cões 3.11 e 3.12, que tomam valores diferentes se forem calculados pelas referidas equa¸cões.

Por este motivo foram desenvolvidas novas equa¸c˜oes que ser˜ao apresentadas mais a frente.

3.1.5 Potˆencia dissipada pelo absorsor

Wagner apresenta também um modelo para a potência dissipada no absorsor. Esta pode ser calculada tendo em conta somente os termos que dizem respeito ao amortecimento, ou seja, a matriz de amortecimento C e as velocidades ˙x e ˙y. Esta expressão pode ser escrita na forma matricial da seguinte forma,

D(t) = 2( ˙x− ˙y)T_{C( ˙x}_{− ˙y),} _(3.27)

(44)

D(t) = 2µ ω ˙ x1− ˙y1 ˙ x2 T K ˙ x1− ˙y1 ˙ x2 , (3.28)

que depois de realizadas as opera¸cões matriciais, conduz à expressão para a potência dissipada, D(t) = 2µ

ω [k11( ˙x1− ˙y1)

2_{+ 2k}

12x˙2( ˙x1− ˙y1) + k22x˙22]. (3.29)

Integrando a equa¸cão (3.29) no per´ıodo obtém-se a expressão para a potência dissipada por ciclo, P (ω) = 1

T Z T

0

D(t)dt, (3.30)

que após a resolu¸cão do integral e simplifica¸cão leva a,

P (ω) = µωhk11 ¯X12+ Y2− 2 ¯X1Y cos(γ)

+ 2k12 X¯1X¯2cos(γ− β) − ¯X2Y cos(β) + k22X¯22

i

(3.31) A figura 3.3 representa a potência dissipada por ciclo para o absorsor descrito anteriormente. Como foi referido, é poss´ıvel observar que o absorsor é mais eficiente quando está a ser excitado numa gama próxima das suas frequências naturais, neste caso próxima dos 8 e dos 30 Hz.

(45)

3.2. Modelo Wagner - Valida¸c˜ao

3.2 Modelo Wagner - Valida¸

c˜

ao

Devido a algumas incoerências no artigo [Wagner et al., 1973] optou-se por calcular as frequências naturais e as respostas analiticamente, isto de forma a poder validar ou não as equa¸cões que são apresentadas de uma forma muito trabalhada neste artigo.

3.2.1 Frequˆencias naturais

Partindo do problema de valores e vetores pr´oprios,

|K − ω2M_{| = 0} (3.32)

substituindo a matriz K e M pelos seus coeficientes, k11− ω2m k12− ω2ml k12− ω2m k22− ω2J = 0 (3.33)

após a resolu¸cão do determinante obtém-se a equa¸cão caracter´ıstica,

(mJ_{− m}2l2)ω4+ (2mlk12− mk22− Jk11)ω2+ k11k22− k122 = 0 (3.34)

que conduz `as frequˆencias naturais do problema,

ω1 = s mk22+ Jk11−p(Jk11+ k22m− 2k12lm)2− 4(Jm − l2m2)(k11k22− k₁₂2 )− 2k12lm 2Jm_{− 2l}2_m2 (3.35) e ω2 = s mk22+ Jk11+p(Jk11+ k22m− 2k12lm)2− 4(Jm − l2m2)(k11k22− k122 )− 2k12lm 2Jm− 2l2_m2 (3.36) com J = Jc+ ml2.

Após a obten¸cão das equa¸cões (3.35) e (3.36) seguiu-se a valida¸cão das equa¸cões (3.11) e (3.12) apresentadas por [Wagner et al., 1973]. Devido à diferente complexidade das equa¸cões optou-se primeiramente por uma valida¸cão numérica recorrendo ao MATLAB e de seguida anal´ıtica através do MuPAD, sendo que em ambos os casos essa valida¸cão foi conseguida.

Seguiu-se ent˜ao para o c´alculo das respostas.

3.2.2 Regime For¸cado-Resposta

Partindo da equa¸c˜ao de movimento,

M¨x + K*x = K*y, (3.37)

e substituindo as equa¸cões (3.14) e (3.16) e pondo em evidência ¯X obtém-se, −ω2m_m11 m12 21 m22 + (1 + iµ)k11 k12 k21 k22 | {z } [Z] ¯ X1 ¯ X2 | {z } ¯ {X} = (1 + iµ)k11Y1 k12Y1 | {z } {F} (3.38)

(46)

{ ¯X} = [Z]−1{F} (3.39) que resolvendo conduz aos fasores de deslocamento ¯X1 e ¯X2,

¯ X1 Y1 = ω 2_{(1 + iµ)(k} 12m12− k11m22) + (1 + 2iµ− µ2)(k22k11− k212) |[Z]| (3.40) e ¯ X2 Y1 = ω 2_{(1 + iµ)(k} 11m12− k11m11) |[Z]| (3.41) com, |[Z]| = ω4_(m 11m22− m212) + ω2[k22m11(−1 − iµ) + k12m12(2 + 2iµ)]

+k11k22(1 + 2iµ− µ2) + k11m22(−1 − iµ) + k212(−1 − 2iµ + µ2)

As equa¸cões obtidas são muito mais complexas do que as equa¸cões (3.17) e (3.18). Tentou-se então realizar a valida¸cão numérica. As equa¸cões apresentaram resultados diferentes sendo que as obtidas apresentam valores mais coerentes do que as apresentadas por [Wagner et al., 1973], nomeadamente quando são utilizadas no cálculo da potência dissipada.

As respostas representadas nas figuras 3.4 e 3.5 foram obtidas com os valores utilizados por Wagner. Contudo, foi necess´ario alterar o valor da rigidez, por ser um valor muito baixo. Para esta representa¸c˜ao utilizou-se um coeficiente de rigidez k igual a 1600 N m−1, visto aparecer no artigo como valor para outro absorsor.

As figuras 3.4 e 3.5 são coerentes. As ressonâncias ocorrem para as mesmas frequências. Contudo, por não ser fornecido um gráfico para as respostas, não existe forma de verificar se estão corretos ou se pelo menos possuem o mesmo andamento. Segue-se então para a for¸ca transmitida ao absorsor. 0 10 20 30 40 50 0 2 4 6 Hz X1/Y 1 0 10 20 30 40 50 0 50 100 150 200 Hz φ (deg)

(47)

3.2. Modelo Wagner - Valida¸c˜ao 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 Hz X2/Y 1 0 10 20 30 40 50 −200 −100 0 100 200 Hz φ (deg)

Figura 3.5: Fasor de deslocamento para o grau de liberdade 2.

3.2.3 For¸ca transmitida ao absorsor

Para o cálculo da for¸ca transmitida ao absorsor é necessário substituir as novas equa¸cões (3.17) e (3.18) na expressão (3.23). Recorrendo ao MATLAB obteve-se gráfico representado na figura 3.6. 0 10 20 30 40 50 0 2 4 6 8x 10 5 Hz F0 /Y 1 (N m −1 ) 0 10 20 30 40 50 0 50 100 150 200 Hz φ (deg)

Figura 3.6: M´odulo dinˆamico e fase de um absorsor Stockbridge.

Observando os gráficos das figuras 3.6 e 3.2 é poss´ıvel encontrar algumas semelhan¸cas. Tudo indica que as equa¸cões obtidas estão corretas. Os valores certamente que são diferentes, devido ao fato do absorsor analisado por Wagner possuir uma rigidez muito inferior à que está a ser utilizada na representa¸cão deste gráfico.

(48)

3.2.4 Potˆencia dissipada pelo absorsor

Utilizando a equa¸cão (3.31) da potência dissipada pelo absorsor , e substituindo as equa¸cões calculadas para os fasores de deslocamento (3.40) e (3.41) é poss´ıvel obter um novo gráfico para potência dissipada pelo absorsor, representada na figura 3.7.

O gráfico da figura 3.7 mostra que o absorsor dissipa energia de uma forma eficiente quando entra em ressonância. No entanto, quando se afasta dessa frequência de excita¸cão existe uma diminui¸cão muito mais acentuada do que a presente no gráfico da figura 3.3.

0 10 20 30 40 50 10−3 10−2 10−1 100 101 102 Hz Potência /W

Figura 3.7: Potˆencia dissipada por ciclo.

Concluindo este cap´ıtulo, é de assinalar que as figuras apresentadas por Wagner estão cla-ramente corretas, os dados obtidos experimentalmente comprovam isso. No entanto, devido a erros, possivelmente tipográficos, nos dados do Stockbridge ou nas equa¸cões, não é poss´ıvel re-produzir novamente estes gráficos. Os gráficos obtidos com as equa¸cões anal´ıticas desenvolvidas neste trabalho apresentam semelhan¸cas com os apresentados no artigo, o que me faz crer que as equa¸cões estão corretas. Todos eles apresentam picos nas ressonâncias tendo estas sempre o mesmo valor, 14 Hz para a frequência fundamental e 35 Hz para a frequência do segundo modo de vibra¸cão. A expressão (3.31) será utilizada mais a frente para calcular a potência dissipada pelos modelos experimentais.

(49)

3.3. Modelo de elementos finitos

3.3 Modelo de elementos finitos

O modelo de elementos finitos constitui um modelo mais preciso e rigoroso que permite considerar as propriedades distribu´ıdas de rigidez e de massa do cabo messenger, ao contr´ario do modelo discreto de Wagner.

Para o estudo do absorsor Stockbridge recorreu-se ao programa BaPMEF. Este programa possibilita a análise dinâmica de absorsores simétricos e assimétricos, permitindo a análise modal para determina¸cão de frequências e formas naturais e a análise em frequência para calcular as fun¸cões de resposta em frequência e a transmissibilidade do sistema. As fun¸cões transmissibili-dade têm grande importância para o cálculo da potência do sistema, sendo estas obtidas pela parti¸cão das equa¸cões do método de elementos finitos.

Este programa permite também alterar os parâmetros do modelo com facilidade, sendo pos-s´ıvel fazer várias simula¸cões em pouco tempo.

3.3.1 Fun¸cões de transmissibilidade - Parti¸cão das equa¸cões do MEF

O programa BaPMEF permite a obten¸cão das fun¸cões de resposta em frequência do tipo transmissibilidade. Nesta seçcão são mostradas as equa¸cões que permitem a obten¸cão destas fun¸cões.

Come¸cando pelo sistema de equa¸c˜oes diferenciais de movimento do modelo discreto,

[m]{¨u(t)} + [k] {u(t)} = {f(t)} (3.42)

onde [m] e [k] representam, respectivamente, as matrizes espaciais de massa e de rigidez, os vectores {u(t)} e {ü(t)} o deslocamento e a acelera¸cão respectivamente e o vector {f(t)} a excita¸cão actuante no sistema.

Para uma excita¸cão passiva sob a forma de um movimento s(t) imposto, a parti¸cão da equa¸cão matricial de movimento (3.42) no deslocamento imposto e nos graus de liberdade u(t) conduzem à equa¸cão matricial,

mss msu mus muu ¨ s(t) ¨ u(t) + kss ksu kus kuu + s(t) u(t) = f (t) 0 (3.43) Para um deslocamento imposto harm´onico,

s(t) = Sejωt (3.44)

a resposta estacion´aria e a for¸ca transmitida valem,

u(t) = ¯U ejωt (3.45)

fs(t) = ¯Fsejωt (3.46)

Substituindo (3.44), (3.45) e (3.46) nas equa¸c˜oes de movimento (3.43), obt´em-se, mss msu mus muu −ω2_Sejωt −ω2_{U e}_¯ jωt + kss ksu kus kuu Sejωt ¯ U ejωt = ¯ Fsejωt 0 (3.47) Factorizando ejωt _vem, −ω2 mss msu mus muu + kss ksu kus kuu Sejωt ¯ U ejωt = ¯ F ejωt 0 (3.48)

(50)

Após divisão por ejωt _{obtém-se o sistema de equa¸c˜}_{oes algébricas,} −ω2 mss msu mus muu + kss ksu kus kuu S ¯ U = ¯ F 0 (3.49) Desenvolvendo a equa¸cão matricial obtêm-se as equa¸cões,

− ω2mssS− ω2msuU + k¯ ssS + ksuU = ¯¯ Fs (3.50a)

− ω2musS− ω2muuU + k¯ usS + kuuU = 0¯ (3.50b)

A equa¸cão matricial (3.50b) constitui um sistema de equa¸cões algébricas cuja solu¸cão é o vector de fasores ¯U e pode reescrever-se na forma,

kuu− ω2muu

¯

U =− kus− ω2mus S (3.51)

A solu¸c˜ao do sistema de equa¸c˜oes (3.51) fornece o vector de fasores de cada grau de liberdade, sendo a amplitude e a fase dados, respectivamente, pela magnitude e argumento dos fasores,

¯ U = _¯

U1 U¯2 . . . U¯n

T

(3.52) Uma vez determinada a solu¸c˜ao ¯U , a partir de (3.50a) ´e ainda poss´ıvel determinar-se a for¸ca transmitida ao sistema pelo movimento imposto,

¯

Fs= ksu− ω2msu

_¯

U + kss− ω2mss S (3.53)

As fun¸c˜oes de transmissibilidade do sistema podem ainda ser calculadas pela equa¸c˜ao 3.51 da seguinte forma, Trs(ω) = ¯ Ur S = −(kus− ω2mus (kuu− ω2muu) , (3.54)

sendo r o grau de liberdade da resposta e s o grau de liberdade da excita¸c˜ao.

3.3.2 Modelo Sim´etrico

Adoptando a simplifica¸cão utilizada por [Wagner et al., 1973], o absorsor simétrico será composto somente por metade do cabo messenger, possuindo uma extremidade encastrada e uma massa na outra extremidade como mostra a figura 3.8.

Figura 3.8: Esquema do modelo sim´etrico.

Para os vários testes o absorsor será sempre discretizado por 50 elementos de viga Euler-Bernoulli, com o último nó carregado com uma massa Mce um momento de inércia concentrado

Jc, conforme se representa na figura 3.9.

Nas várias simula¸cões serão variados os comprimentos do messenger e dos valores das massas e momentos de inércia concentrados.

(51)

3.3. Modelo de elementos finitos

Figura 3.9: Esquema do modelo em elementos finitos.

Simula¸c˜ao

Para adquirir alguma sensibilidade para a dinâmica do absorsor e ilustrar a utiliza¸cão do programa BaPMEF, apresenta-se um simula¸cão para um absorsor simétrico onde o cabo mes-senger é materializado por um barra de seçcão recta rectangular e cujas massas concentradas são materializadas por massas cil´ındricas localizadas nas extremidades da barra.

Antes da escolha das dimensões da barra e das massas cil´ındricas foi elaborado um estudo onde se tentou compreender a influência do comprimento da barra e da massa na frequência fundamental do sistema. Variando a altura da massa cil´ındrica, o valor da massa e do momento de inércia são alterados, sendo o seu valor calculado da seguinte forma:

mc= r2 massaπ 2 lmassaρ (3.55) Jc= 1 4mcr 2 massa+ 1 12mcl 2 massa (3.56)

O gráfico 3.10 foi obtido recorrendo ao MATLAB e tem como base o método da energia de Rayleigh. Representa a varia¸cão da frequência fundamental com o comprimento da barra, para três valores de massas diferentes.

0.110 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 20 40 60 80 100 120 140 160 180 L_barra /m Hz M_c= 0 M c= 0.0795 kg M c= 0.1060 kg

Figura 3.10: Varia¸c˜ao da frequˆencia fundamental com o comprimento da barra.

A frequência fundamental depende do comprimento da barra. Ainda assim, quando existe uma massa concentrada as frequências baixam e mantêm-se quase constantes. O gráfico 3.11 mostra a varia¸cão das frequências fundamentais com a massa concentrada para barras com três comprimentos diferentes.

(52)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 M c /kg Hz L_barra= 0.100 m L barra= 0.120 m L_barra= 0.140 m

Figura 3.11: Varia¸cão da frequência fundamental com a massa concentrada. Observando estes dois gráficos conclui-se que:

• A massa concentrada tem grande influência nos valores das frequências fundamentais; • Com o aumento do valor da massa o comprimento da barra vai perdendo a influência; Sendo assim para a primeira simula¸cão foi escolhido a barra com metade do comprimento igual a 0.120 m e uma massa cil´ındrica com 0.06 m de altura, que apresenta a sua frequência fundamental nos 19.27 Hz

As propriedades da barra s˜ao apresentadas na tabela 3.2 e as propriedades das massas apre-sentadas na tabela 3.3.

Tabela 3.2: Propriedades da barra. Data Ebarra 68 GP a bbarra 15× 10−3 m hbarra 2× 10−3 m Lbarra 120× 10−3 m ρ 2700 kg/m3

Tabela 3.3: Propriedades da massa cil´ındricas. Data

lmassa 60× 10−3 m

mc 79.5× 10−3 kg

Jc 2.6963× 10−5 N m2

• Frequˆencias e formas naturais de vibra¸c˜ao, figura 3.12;