Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n.5, p.31072-31083 may. 2020. ISSN 2525-8761
Quebra-cabeças pitagórico como material concreto manipulável: um relato
de experiência
Pitagoric puzzles as concrete handling material: an experience report
DOI:10.34117/bjdv6n5-532
Recebimento dos originais: 26/04/2020 Aceitação para publicação: 26/05/2020
Edivania Augusto dos Santos
Graduada em Licenciatura em Matemática pela Universidade do Estado de Mato Grosso Instituição: Universidade do Estado de Mato Grosso (UNEMAT)
Endereço: Rua A, S/n, Bairro São Raimundo, CEP: 78390-000, Caixa Postal 92, Barra do Bugres, Mato Grosso, Brasil.
E-mail: edivaniahenrique23@gmail.com Gleicielen dos Santos de Souza França
Graduanda em Licenciatura em Matemática pela Universidade do Estado de Mato Grosso Instituição: Universidade do Estado de Mato Grosso (UNEMAT)
Endereço: Rua A, S/n, Bairro São Raimundo, CEP: 78390-000, Caixa Postal 92, Barra do Bugres, Mato Grosso, Brasil.
E-mail: gleicielensouza@hotmail.com Sumária Sousa e Silva
Doutora em Ciências pela Universidade de São Paulo Instituição: Universidade do Estado de Mato Grosso (UNEMAT)
Endereço: Rua A, S/n, Bairro São Raimundo, CEP: 78390-000, Caixa Postal 92, Barra do Bugres, Mato Grosso, Brasil.
E-mail: sumariasousa@gmail.com
RESUMO
O presente artigo trata-se de um relato de experiência sobre a aplicação de uma oficina realizada durante o estágio, junto ao Programa de Bolsas de Iniciação à Docência (PIBID), intitulada: “Uma forma diferente de demonstrar o teorema de Pitágoras”. O objetivo da oficina foi utilizar o quebra-cabeça pitagórico como recurso pedagógico manipulável, visando uma proposta metodológica diferenciada para a melhoria do processo de ensino-aprendizagem da disciplina de matemática. A oficina foi realizada por um período de 4 horas e teve como público alvo uma turma do 1° ano do Ensino Médio, de uma escola Estadual do município de Barra do Bugres, estado de Mato Grosso. Durante a oficina os alunos confeccionaram e fizeram o uso de material manipulativo feito com papel cartão. Para validar essa proposta, aplicou-se atividades antes e depois da oficina. Os resultados indicaram que antes da oficina uma pequena porcentagem teve êxito na resolução das atividades. E após percebeu-se que o resultado foi satisfatório, pois grande parte dos alunos conseguiu resolver a atividade proposta. O processo de ensino-aprendizagem através do material didático manipulável começou a fazer sentindo para aluno, no instante que
Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n.5, p.31072-31083 may. 2020. ISSN 2525-8761 os discentes compreenderam o teorema na prática, ou seja, envolvendo situações do dia a dia. Portanto, nesta concepção evidenciamos que foi viável e satisfatório o uso de recurso manipulativo para facilitar o entendimento dos conceitos envolvidos no teorema de Pitágoras.
Palavras-chave: Ludicidade. Material concreto. Teorema de Pitágoras.
ABSTRACT
This article is an experience report on the application of a workshop held during the internship, together with the Teaching Initiation Scholarship Program (PIBID), entitled: “A different way to demonstrate the Pythagorean theorem” . The objective of the workshop was to use the Pythagorean puzzle as a manipulative pedagogical resource, aiming at a different methodological proposal to improve the teaching-learning process of the mathematics discipline. The workshop was held for a period of 4 hours and had as target audience a class of 1st year of High School, from a State school in the municipality of Barra do Bugres, state of Mato Grosso. During the workshop the students made and made use of manipulative material made with cardboard. To validate this proposal, activities were applied before and after the workshop. The results indicated that before the workshop a small percentage was successful in solving the activities. And after it was realized that the result was satisfactory, since most of the students managed to solve the proposed activity. The teaching-learning process through the manipulative didactic material began to make sense to the student, at the moment that the students understood the theorem in practice, that is, involving everyday situations. Therefore, in this conception we evidenced that it was feasible and satisfactory to use a manipulative resource to facilitate the understanding of the concepts involved in the Pythagorean theorem.
Keywords: Playfulness. Concrete material. Pythagorean theorem.
1 INTRODUÇÃO
O Teorema de Pitágoras é um dos mais utilizados em Geometria Plana, porém muitas vezes é comumente tratado como uma simples fórmula a memorizar, deixando de lado a sua compreensão, o que causa desinteresse por parte de muitos alunos, desde o Ensino Fundamental ao Ensino Médio. No entanto, o uso de diferentes demonstrações desse teorema pode servir tanto para discussões no aspecto da matemática formal, em sala de aula, quanto em contextualizações em aplicações no cotidiano (CAVALCANTI e ROCH, 2011). Especialmente no que diz respeito a concepção tradicional de que a Matemática é uma ciência exata, formal e abstrata, e que conduz a uma prática de ensino histórica, dissociada da realidade (HIRATSUKA, 2006). Atualmente são conhecidas cerca de 400 demonstrações desse teorema, e ele pode se apresentar de diversas formas, não somente por áreas dos polígonos, por exemplo, mas também pelo volume dos sólidos (BASTIAN, 2000).
Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n.5, p.31072-31083 may. 2020. ISSN 2525-8761 Neste sentido, faz-se necessário o uso de alternativas metodológicas no ensino de Teorema de Pitágoras, de maneira dinâmica e interessante, proporcionando uma maior interação entre aluno e professor, de forma a socializar o conhecimento adquirido. Segundo Wappler e Grando (2014), o uso de recursos didáticos diferenciados proporciona aos estudantes a oportunidade de investigar, descobrir o gosto pela matemática e buscar novos métodos de resolver determinados problemas. Como por exemplo, o Tangram (SILVA e LOPES, 2013), ou quebra-cabeças Pitagórico, confeccionado com papel cartão, objeto de estudo do presente trabalho.
O Tangram é um tipo de quebra-cabeça, de origem chinesa, de surgimento desconhecido, cuja sua formação se dá pela união de sete figuras geométricas planas; sendo cinco triângulos, um paralelogramo e um quadrado, obtidos pela decomposição específica de um quadrado. Seu desafio consiste em organizar, todas as sete peças sem sobrepor umas às outras, de modo correspondente a uma figura que serve como modelo ou referência (MACEDO et al., 2015; NOVAES, SILVA JUNIOR, NOVAES, 2014). Além disso, o Tangram estimula a criatividade e pode ser aproveitado no ensino da matemática para introduzir conceitos de geometria plana e para promover o desenvolvimento de capacidades psicomotoras e intelectuais, pois permite interagir de forma lúdica a manipulação de materiais concretos com a formação de ideias abstratas (ROCHA, 2018).
Neste contexto, o presente trabalho relata os resultados alcançados em uma oficina intitulada: “Uma forma diferente de demonstrar o teorema de Pitágoras”, realizada durante o estágio no Programa de Bolsas de Iniciação à Docência (PIBID), junto à Universidade do Estado de Mato Grosso (UNEMAT). O objetivo da oficina foi usar uma metodologia alternativa que estimule o desenvolvimento de habilidades de pensamento abstrato, relações espaciais, lógica, imaginação, estratégias para resolver problemas, por intermédio de material lúdico.
2 REFERENCIAL TEÓRICO
Um dos grandes desafios na atualidade é despertar atenção dos alunos, e uma das alternativas que vários pesquisadores defendem é a importância da criatividade de escolha do material didático, como proposta metodológica para enfatizar o ensino, em especial de matemática. Dentre eles pode-se destacar em caso particular a utilização do material didático lúdico e manipulável, ou material concreto. Rodrigues e Gazire (2012) afirmam que, o material concreto é fundamental, uma vez que facilita a observação, análise, além de desenvolver o raciocínio lógico e crítico, sendo um excelente aliado do aluno na construção dos seus conhecimentos.
Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n.5, p.31072-31083 may. 2020. ISSN 2525-8761 O Tangram é um tipo de material concreto, que tem como objetivo a assimilação e a verificação do Teorema de Pitágoras, a partir da manipulação das peças, com o intuito de decompor os quadrados construídos sobre os catetos e depois equicompor em um quadrado de lado igual à hipotenusa. De forma que a soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos seja igual à área do quadrado construído sobre a hipotenusa (GALLETTI e GANDULFO, 2013).
Wappler e Grando (2014), enfatizam a importância do uso de materiais concretos, experimentais, envolvendo instrumentos de medida e de desenho, além de situações do cotidiano. De forma a despertar nos estudantes o gosto pela matemática, oportunizando-lhes diversas formas de investigar, descobrir e redescobrir métodos de resolver determinados problemas.
De acordo com Lorenzato (2006), a presença de um laboratório de matemática nas escolas, com diversos materiais didáticos, melhora significativamente a qualidade do ensino. Enquanto para algumas escolas isso não é realidade, se faz necessário que o docente seja criativo e investigador na escolha e produção de material manipulável com objetivos já definidos. Mais importante do que dispor de um bom material didático é saber utilizá-lo corretamente em sala de aula, para que se tenha uma aprendizagem significativa (RODRIGUES e GAZIRE, 2012). Para tanto o professor exerce um papel importante na vida do aluno, tanto na direção do sucesso como no fracasso escolar.
Nesse sentido é comum perceber que muitos professores sentem necessidade de resultados satisfatórios tendo consciência que é preciso estimular o interesse dos alunos em aprender matemática nos dias atuais. Fiorentini e Miorim (1990) afirmam que a busca por alternativas metodológicas vem aumentando cada vez mais por parte de professores, que acreditam que é possível quebrar esse paradigma, em relação ao aprendizado dos alunos nas aulas de matemática. E dessa forma buscam respostas participando de encontros, conferências ou cursos, com intuito de adquirir uma melhor qualidade de ensino de uma forma diferenciada. Pois acreditam que com isso os alunos possam entender o conteúdo de matemática de uma forma prazerosa e com mais facilidade. Assim, Almeida (1990, p.43) ressalta que:
Temos consciência também de que, quando um professor desperta na criança a paixão pelos estudos, ela mesma buscará o conhecimento e fará tudo para corresponder e não decepcionar. [...]. Quando a pessoa descobre que a maior e melhor escola é aquela que
Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n.5, p.31072-31083 may. 2020. ISSN 2525-8761 existe dentro dela mesma, ninguém mais a segura. [...]. Isso tudo se resume numa questão: “Saber despertar, conscientizar e confiar”.
Os materiais concretos possibilitam aprender matemática de uma forma lúdica, ao trazer para a sala de aula essas atividades, tornam o processo de ensino e aprendizagem mais satisfatórios para o aluno. E assim desenvolvem habilidades que facilitam o trabalho do professor de matemática, desde que seja bem planejada para alcançar os objetivos dos conteúdos proposto a ser ensinado. Além de permitir a transformação por continuidade, ou seja, a estrutura física do material vai mudando à medida em que ele vai sofrendo transformações, por meio de operações impostas pelo sujeito que o manipula (RODRIGUES e GAZIRE, 2012).
É importante destacar que a utilização do material concreto por si só, não garante aprendizagem, é fundamental o papel do professor nesse processo, enquanto mediador da ação e articulador das situações experienciadas no material concreto e os conceitos matemáticos, para uma posterior abstração e sistematização (SANTOS, OLIVEIRA, OLIVEIRA, 2013).
3 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
O trabalho realizado ocorreu sob forma de experimentação do fazer pedagógico, com uma abordagem metodológica qualitativa, cuja a intenção foi proporcionar situações que proporcionassem aos alunos a construção de conhecimentos sobre as figuras planas através da construção e uso Quebra-cabeça Pitagórico. A oficina intitulada: “Uma forma diferente de demonstrar o teorema de Pitágoras”, teve duração de 4 horas, e ocorreu no 2° semestre do ano letivo de 2017, em uma turma de alunos do 1º ano do Ensino Médio, contendo 14 discentes no total, do turno vespertino, da Escola Estadual Alfredo José da Silva, localizada no município de Barra do Bugres, estado de Mato Grosso.
O desenvolvimento da oficina envolvendo a confecção e utilização de materiais manipuláveis para o ensino de Geometria Plana, especialmente o Teorema de Pitágoras ocorreu nas seguintes etapas:
Inicialmente, a abordagem aos alunos ocorreu sob forma dialógica, para averiguar se os mesmos conheciam algumas formas geométricas e se conseguiam identificá-las no seu cotidiano. Neste contexto, após uma explicação do referido objeto de conhecimento, os alunos realizaram uma atividade para que pudéssemos analisar o nível de conhecimento que eles apresentavam naquele momento. Feito isso mencionamos que a aula seria por meio de material
Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n.5, p.31072-31083 may. 2020. ISSN 2525-8761 manipulativo, de forma a explorar os seguintes aspectos geométricos do Teorema de Pitágoras: a soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos de um triângulo retângulo for igual a área dos quadrados construídos sobre a hipotenusa desse triângulo. Nessa perspectiva utilizou-se a oficina de quebra-cabeças para demonstração do Teorema de Pitágoras, confeccionados em papel cartão.
Em um segundo momento iniciou-se o processo de construção do material que seria utilizado para abordar tal conceito, durante esse processo os alunos formaram grupos com quatro componentes no total. Logo após a formação dos grupos disponibilizou-se todo o material necessário para construção das peças que formariam o quebra-cabeças pitagórico. Foram construídos vários triângulos retângulos com medidas diferentes, e os catetos foram feitos em forma de quadrados, medindo 1cm2. Feito isso, finalizamos o processo de construção do material que seria utilizado para o desenvolvimento da oficina.
Em um terceiro momento, os alunos permaneceram em grupo, para iniciarmos a discursão sobre o que eles acharam do processo de construção do quebra-cabeças em grupo. E demos início a abordagem do Teorema de Pitágoras por meio do material manipulativo. Neste momento os alunos iniciaram o processo de sobrepor todas as peças construídas no triângulo pitagórico, construído pelos mesmos. Deste modo, durante as atividades propostas na oficina os alunos foram convidados a decompor os quadrados construídos sobre os catetos em alguns pedaços e depois reagrupar as peças exatamente sobre o quadrado construído sobre a hipotenusa. E assim perceberam a relação existente entre os comprimentos dos lados do referido triângulo, e compreenderam de forma eficiente o porquê do Teorema de Pitágoras ter seu enunciado “a soma dos quadrados de seus catetos corresponde ao quadrado de sua hipotenusa”. Segundo eles, isso foi possível ser verificado porque eles aglutinaram os quadrados dos catetos opostos e adjacentes e chegaram à conclusão que seria da mesma medida da hipotenusa.
Em um quarto momento, foi realizada uma atividade após o processo de intervenção didática, sendo no mesmo âmbito que a primeira atividade, antes da intervenção, essa atividade foi composta por situações problemas do cotidiano envolvendo o teorema de Pitágoras. E assim constatar se de fato os alunos compreenderam a importância desse objeto de conhecimento por meio de sua aplicabilidade em seu cotidiano.
4 ANÁLISE DOS DADOS
Na Figura 1 é possível observar o envolvimento dos alunos com as atividades propostas durante a realização da oficina utilizando material concreto ou material manipulativo. Com a
Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n.5, p.31072-31083 may. 2020. ISSN 2525-8761 manipulação do material concreto os alunos observaram que os quadradinhos que formam as áreas dos quadrados menores cabem dentro do quadrado maior, construído sobre a hipotenusa.
Figura 1: Alunos envolvidos na oficina sobre o teorema de Pitágoras.
Fonte: Os autores, 2020.
Destaca-se também que a atividade foi realizada em grupos, por acreditarmos que o trabalho em equipe enriquece as discussões e levantam hipóteses, que convergem e divergem em diferentes momentos, e são essas discussões que estimulam o desenvolvimento de uma aprendizagem significava. Para Freire (1996) aprendemos a pensar junto com o outro, num grupo coordenado por um educador, onde a ação, a interação e a troca movem o processo de aprendizagem.
Foi possível observar também que grande parte dos alunos compreenderam a relação de Pitágoras em um triângulo retângulo, com uso dos materiais concretos para demonstrá-la usando equivalência da área, conforme mostra a Figura 1. E identificar que a área do quadrado construído sobre o lado maior do triângulo retângulo, ou seja, a hipotenusa do triângulo, é igual a soma das áreas do quadrado construído sobre os dois catetos desse triângulo retângulo, conseguiu-se ter uma percepção melhor de ângulos, além de entender todo o processo que estava sendo realizado para chegar na definição do teorema.
Poucos estudos investigam especificamente o efeito dos suportes de representação sobre a resolução de problemas com o uso de material manipulativo. Dentre eles podemos destacar o trabalho realizado por Selva (1998), no qual investigou a capacidade de resolução de problemas matemáticos, por crianças com idade entre 6 a 8 anos, em três situações diferentes: com o uso de material concreto do tipo fichas; papel e lápis; e cálculo oral. Os resultados indicaram que o uso de fichas, bem como o uso de lápis e papel apresentaram desempenho similar, porém, superior àquela situação sem o material, apenas com o cálculo ministrado de forma oral.
Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n.5, p.31072-31083 may. 2020. ISSN 2525-8761 Batista e Spinillo (2008) também analisaram a importância do uso de material concreto na resolução de problemas matemáticos, por um total de 40 crianças, divididas em dois grupos. No primeiro, as crianças utilizaram material concreto indefinido (fichas plásticas) e no segundo grupo, as crianças utilizaram material concreto definido (caixas, flores, carrinhos). Os pesquisadores observaram o uso do material concreto definido favoreceu a compreensão das relações lógico-matemáticas, em comparação ao material concreto indefinido. Eles ressaltaram ainda que, nem todo material concreto é igual, pois existem aqueles que proporcionam um maior desempenho do que outros. De fato o material concreto apresenta propriedades diferentes, uma com caráter manipulativo e outra representacional, ambas relevantes do ponto de vista educacional.
Silva e Lopes (2013) realizaram estudos comparando o uso do Tangram como material concreto do tipo manipulável (feito de EVA) e virtual, através do software Geogebra, e posterior aplicação do jogo Tangram, com alunos de séries iniciais, de uma escola básica. Os resultados mostraram ambos os materiais se mostraram complementares, pois apresentaram diferentes abordagens para alcançar o objetivo proposto no trabalho, que foi a construção dos conceitos de perímetro e área de figuras planas. O Tangram de EVA possibilitou aos alunos identificar as diferentes formas geométricas (quadrado, triângulo e paralelogramo), enumerar diversas possibilidades de montagens com a utilização das peças. E também possibilitou aos alunos a identificação de propriedades como: a congruência dos lados e a presença da simetria, presentes nas figuras. Enquanto o Tangram virtual mostrou-se mais eficaz quanto a abordagem dos conceitos, pois apresentava uma quantidade maior de desafios e também mais possibilidades de exploração do ambiente na tela do computador.
O uso de atividades com o material manipulativo ajuda a compreender melhor os conceitos matemáticos e de forma involuntária estimula a criatividade e consequentemente a aprendizagem (SOUZA, 2010). Porém é válido ressaltar que o conhecimento matemático não se deriva do uso do material concreto, ele é construído a partir dos significados atribuídos às ações e reflexões da criança e/ou do jovem sobre a situação. Apesar do material concreto auxiliar a estabelecer uma conexão entre as ações realizadas e a formalização matemática, ele não é a chave da compreensão (SANTOS, OLIVEIRA, OLIVEIRA, 2013).
O Gráfico 1 mostra que 27,2% dos alunos conseguiram resolver as atividades propostas, antes da oficina, enquanto 72,7% não conseguiram responder as atividades, entretanto após aplicação da oficina o resultado foi absolutamente positivo considerando que 66,6% dos discentes conseguiram resolver as atividades com êxito, enquanto 33,3% não conseguiram.
Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n.5, p.31072-31083 may. 2020. ISSN 2525-8761 Fonte: Os autores, 2017
O método de avaliação adotado teve o intuito de reforçar os conhecimentos sobre a demonstração do teorema de Pitágoras de forma lúdica. E por meio do material manipulável, facilitar a compreensão da demonstração do teorema em questão. Pelos resultados alcançados foi possível analisar que grande parte dos alunos apresentou um resultado positivo referente quanto ao uso do material concreto em questão, uma vez que houve um maior número de acertos na resolução das atividades após a realização da oficina, objeto de conhecimento matemático aplicado.
Dante (2005, p.60) afirma que, “devemos criar oportunidades para as crianças usarem materiais manipulativos (...), a abstração de ideias tem sua origem na manipulação e atividades mentais a ela associadas”. Dessa forma compreender a demonstração apresentada no material manipulável deixa aula dinâmica e interessante. No contexto educacional a motivação dos alunos é um importante desafio com que devemos confrontar, pois tem implicações diretas na qualidade do processo de ensino e aprendizagem. O aluno motivado procura novos conhecimentos e oportunidades, participa nas tarefas com entusiasmo e revela disposição para novos desafios (LOURENÇO e PAIVA, 2010). De acordo com Barboza (2014) para motivar os alunos a aprender, é fundamental ainda que o professor tenha competência para conhecer suas necessidades, propondo desafios adequados, levando-os a construir conhecimento.
Com a execução dessa oficina, considera-se, ter contribuído também para melhoria das competências e desenvolvimento de habilidades necessárias para aprendizagem do objeto de
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não acertaram 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 N ° d e al u n o s q u e p ar ti ci p ar am d a ati vi d ad e
Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n.5, p.31072-31083 may. 2020. ISSN 2525-8761 conhecimento em questão. Destaca-se ainda que houve uma maior interação e fortalecimento das relações interpessoais.
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS
O relato de pesquisa apresentado nesse artigo apresentou um tipo de material que pode ser desenvolvido por alunos e professores de forma a contribuir com o processo de ensino-aprendizagem do conteúdo abordado (Teorema de Pitágoras). Além disso, contribuiu para reforçar que a manipulação de materiais concretos contribui para um melhor entendimento da abstração e comprovação das teorias matemáticas. Além disso, possibilitou interação entre os alunos e maior motivação para o desenvolvimento das atividades propostas.
Verificou-se ainda que os alunos expressam uma situação “decorar um teorema”, o Teorema Pitágoras que diz; “em um triângulo retângulo qualquer, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”. Fica evidente que muitos alunos não entendem o processo que é realizado para chegar na solução final. Portanto, usar material manipulável pode contribuir para aulas mais dinâmicas, conciliando teoria e prática nas aulas de matemática.
Ressaltamos cada vez mais a importância de sermos professores reflexivos, sobre as práticas em sala de aula, sempre em busca de uma metodologia de ensino que melhore a aprendizagem do aluno. A integração permanente e contínua entre a teoria e prática, certamente propiciará uma aprendizagem mais significava, especialmente no âmbito das ciências exatas e da natureza.
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