Amostragem de aceitação para variáveis não gaussianas

(1)

Amostragem de Aceitação para Variáveis não Gaussianas 1

Errata

Pág. - Capítulo Linha e/ou Fórmula

Onde se lê Deve ler-se

i - Resumo

14 [ANSI/ASQC Z1.9, 2008] MIL-STD 414

i - Resumo

24 …alguns estudos limites… …alguns estudos com limites… i -

Resumo

29 …(dando maior enfase…)… …(dando maior ênfase …)…

iii - Abstrat

13 [ANSI/ASQC Z1.9, 2008] MIL-STD 414

iii - Abstrat

20 single limits on AS, … single limits, …

iii - Abstrat

31 …, both methods being compared. …, both methods are compared. v -

Conteúd o

4 Amostragem de Aceitação para Variáveis Expenenciais

Amostragem de Aceitação para Variáveis Exponenciais

1 – Cap. 1

7 …, explicita e implicitamente, … …, explícita e implicitamente, … 2 –

Cap. 1

14 Segundo Montgomery (1991),… Segundo Montgomery (2004), … 2 –

Cap. 1

22 Ainda segundo Montgomery (1991), … Ainda segundo Montgomery (2004), … 4 –

Cap. 1

18 Estas últimas foram introduzidas por A. Shewhart em 1924.

Estas últimas foram introduzidas por W. A. Shewhart em 1924.

6 – Cap. 1

10 …, tratado em normas clássicas [ANSI/ASQC Z1.9, 2008], …

…, tratado em normas clássicas MIL-STD 414, …

6 – Cap. 1

23 Como objectivos específicos, estudar … Como objectivos específicos, pretende-se estudar …

6 – Cap. 1

24 Gumbel, avaliando a influência … Gumbel, e avaliar a influência … 6 –

Cap. 1

29 … quando o produto poder ser classificado …

… quando o produto puder ser classificado …

7 – Cap. 1

23 de rejeitar lotes de “má” qualidade são mal calculados, …

de aceitar lotes de “má” qualidade são mal calculados, …

8 – Cap. 1

4 … constitui boa uma alternativa … … constitui uma boa alternativa … 12 –

Cap. 2

22 … podemos proceder a: … pode proceder-se a:

13 – Cap. 2

(2)

Amostragem de Aceitação para Variáveis não Gaussianas

2 13 –

Cap. 2

22 … podemos rejeitar … pode rejeitar-se

13 – Cap. 2

23/24/25 …(por exemplo, para um lote de dimensão 100, uma amostra de dimensão 15, α=5% e uma fracção defeituosa de 1%, rejeita-se o lote). …

…(por exemplo, não é possível garantir um α de 5%, para um lote de dimensão 100, uma amostra de dimensão 15 e uma fracção defeituosa de 1%). … 14 – Cap. 2 29 …, as desigualdades do tipo ≤ e ≥, respectivamente … …, as desigualdades do tipo ≥ e ≤, respectivamente … 15 – Cap. 2

6 …, que nos irão auxiliar … …, que irão auxiliar … 17 –

Cap-. 2

2 (estamos a considerar que … (está a considerar-se que … 26 – Cap. 3 Sistema de equações (3.17

)

               − − = − − − = ⇔ − − − 2 1 1 1 AQL LTPD AQL LTPD z z z z n z z z z z z k β α α β β α                − − = − − = ⇔ − − − 2 1 1 1 AQL LTPD AQL LTPD z z z z n z z z z z z k β α α β β α 26 – Cap. 3

8 e 9 …, enquanto que o valor da constante de aceitação é simétrico.

…, assim como a constante de aceitação. 28 – Cap. 3 Eq. (3.22) ( ) ( ) ( ) _      − _≥ _∧ − _≥ = ≥ ∧ ≥ = = L L U U L U ac k X U k L X P k Q k Q P P P σ σ ω ω Ac.lote ( ) ( ) ( ) _   ≥ − ≥ − = ≥ ≥ = = L L U U L U ac k X U k L X P k Q k Q P P P σ σ ω ω Ac.lote I I 28 – Cap. 3 Sistema de equações (3.25

)

               − − = − − − = − − − 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 AQL LTPD L AQL LTPD L z z z z n z z z z z z k β α α β β α                − − = − − = − − − 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 AQL LTPD L AQL LTPD L z z z z n z z z z z z k β α α β β α 28 – Cap. 3

10 …, consideram-se os valores kL, kU e …, consideram-se os valores kL = kU =k

e 28 –

Cap. 3

12 …, o valor de k relativo ao outro limite deve ser recalculado.

…, o valor de k deve ser recalculado. 29 – Cap. 3 Sistema de equações (3.26

)

                    − − = − − − = − − − 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 AQL LTPD L AQL LTPD L z z z z n z z z z z z k β α α β β α                     − − = − − = − − − 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 AQL LTPD L AQL LTPD L z z z z n z z z z z z k β α α β β α 29 – Cap. 3

9 em que as constantes de aceitação são simétricas (k_U =−k_L) e a dimensão da amostra é igual nas

em que, k =_U k_L e n =_U n_L nas

29 – Cap. 3

(3)

3 30 –

Cap. 3

-1 onde tn-1( λ), é uma distribuição t não

central de parâmetro de não centralidade λ, …

onde tn-1( λ), é uma distribuição t não

central, com n-1 graus de liberdade e parâmetro de não centralidade λ, … 32 – Cap. 3 Sistema de equações (3.42)

(

)

(

)

⇔_ ( )_{( )}

( )

=₌− ⇔    = = ≥ − = = ≥ − − β α β µ µ α µ µ λ λ n k F n k F k Q P k Q P n n t t L L 1 1 0 1 1 1 1 0

(

)

(

)

( )( )

( )

⇔     − = = ⇔    = = ≥ − = = ≥ − − β α β µ µ α µ µ λ λ 1 1 1 1 0 1 1 0 n k F n k F k Q P k Q P n n t t L L 33 – Cap. 3 Eq. (3.45) ( ) ( ) ( )       − _≥ _∧ − _≥ = ≥ ∧ ≥ = = L L U U L U ac k S X U k S L X P k Q k Q P P P ω Ac.loteω ( ) ( ) ( ) _   ≥ − ≥ − = ≥ ≥ = = L L U U L U ac k S X U k S L X P k Q k Q P P P ω Ac.loteω I I 36 – Cap.3 11/12 µ =µ;

λ

µ

σ

2 ₌ 3 E[ X]=

µ

;

λ

µ

3 ] [X = V 50 – Cap. 5 15/26

µ

=

θδ

;

σ

2 =

θδ

2. E[ X]=

θδ

; V[X]=

θδ

2. 53 – Cap. 5

9 …, o sistema (5.14) pode se reescrito da seguinte forma:

…, o sistema (5.14) pode ser reescrito da seguinte forma: 53 – Cap. 5 Sistema de equações (5.16) ( )( ) ( )( ) ⇔              − =             − ≤ =             − ≤ ⇔        =       = ≥ − =       = ≥ − − β θ α θ β δ δ δ θ α δ δ δ θ θ θ 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 , 1 1 , 1 0 LTPD F L k L n Y P AQL F L k L n Y P k L n Y P k L n Y P Gama Gama ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )        = = ⇔       = = − − − − − − − 1 : 2 2 2 1 ) 1 , ( 2 ; 2 1 ) 1 , ( 2 1 ; 2 2 ; 2 2 ; 2 1 ) 1 , ( 2 1 ; 2 1 1 , 2 ; 2 1 1 , LTPD F AQL F n AQL F n k k LTPD F n k AQL F n Gama n Gama n n n Gama n Gama n Gama θ α θ θ β θ α θ α θ θ β θ θ α θ θ χ χ χ χ θ χ θ χ θ ( )( ) ( )( ) ⇔              − =             ≤ =             ≤ ⇔        =       = ≥ − =       = ≥ − − β θ α θ β δ δ δ θ α δ δ δ θ θ θ 1 2 2 2 1 2 1 1 , 1 1 , 1 0 LTPD F L k L n Y P AQL F L k L n Y P k L n Y P k L n Y P Gama Gama ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )        = = ⇔       = = − − − − − − − 1 : 2 2 2 1 ) 1 , ( 2 ; 2 1 ) 1 , ( 2 1 ; 2 2 ; 2 1 ) 1 , ( 2 1 ; 2 1 1 , 2 ; 2 1 1 , LTPD F AQL F n AQL F n k k LTPD F n k AQL F n Gama n Gama n n Gama n Gama n Gama θ α θ θ β θ α θ θ β θ θ α θ θ χ χ χ θ χ θ χ θ 55 – Cap. 5 Sistema de equações (5.20)

(

)

(

)

(

)

       = = − − − − 1 : 2 1 1 ) 1 , ( 2 ; 2 1 1 ) 1 , ( 2 1 ; 2 2 ; 2 2 ; 2 1 1 ) 1 , ( 1 1 1 1 LTPD F AQL F n AQL F n k Gama n Gama n L n n Gama L L L L L θ α θ θ β θ α θ α θ θ

χ

θ

e

(

)

(

)

(

)

       = − − − = − − − − − 1 1 1 : 1 2 2 1 ) 1 , ( 2 1 ; 2 2 1 ) 1 , ( 2 ; 2 2 1 ; 2 2 1 ) 1 , ( 2 2 2 LTPD F AQL F n AQL F n k Gama n Gama n U n Gama U U U U U θ α θ θ β θ α θ θ

χ

θ

(

)

(

)

(

)

       = = − − − − 1 : 2 1 1 ) 1 , ( 2 ; 2 1 1 ) 1 , ( 2 1 ; 2 2 ; 2 1 1 ) 1 , ( 1 1 1 LTPD F AQL F n AQL F n k Gama n Gama n L n Gama L L L L θ α θ θ β θ α θ θ

χ

θ

e

(

)

(

)

(

)

       = − − − = − − − − − 1 1 1 : 1 2 2 1 ) 1 , ( 2 1 ; 2 2 1 ) 1 , ( 2 ; 2 2 1 ; 2 2 1 ) 1 , ( 2 2 2 LTPD F AQL F n AQL F n k Gama n Gama n U n Gama U U U U U θ α θ θ β θ α θ θ

χ

θ

(4)

Amostragem de Aceitação para Variáveis não Gaussianas 4 55 – Cap. 5 Sistema de equações (5.21)            =                   = − − − − 1 2 2 : 2 2 1 ) 1 , ( 2 2 ; 2 1 ) 1 , ( 2 2 1 ; 2 2 2 ; 2 2 2 ; 2 1 ) 1 , ( LTPD F AQL F n AQL F n k Gama n Gama n L n n Gama L L L L L L θ α θ θ β θ α θ α θ θ χ χ χ χ θ e            =       −       −       − = − − − − − 1 2 1 2 1 : 2 1 2 1 ) 1 , ( 2 2 1 ; 2 1 ) 1 , ( 2 2 ; 2 2 2 1 ; 2 1 ) 1 , ( LTPD F AQL F n AQL F n k Gama n Gama n U n Gama U U U U U θ α θ θ β θ α θ θ χ χ χ θ            =                   = − − − − 1 2 2 : 2 2 1 ) 1 , ( 2 2 ; 2 1 ) 1 , ( 2 2 1 ; 2 2 2 ; 2 1 ) 1 , ( LTPD F AQL F n AQL F n k Gama n Gama n L n Gama L L L L L θ α θ θ β θ α θ θ χ χ χ θ e            =       −       −       − = − − − − − 1 2 1 2 1 : 2 1 2 1 ) 1 , ( 2 2 1 ; 2 1 ) 1 , ( 2 2 ; 2 2 2 1 ; 2 1 ) 1 , ( LTPD F AQL F n AQL F n k Gama n Gama n U n Gama U U U U U θ α θ θ β θ α θ θ χ χ χ θ 68 – Cap. 6

11/12 Por fim, obtém-se uma amostra simulada, de dimensão 5000, a partir de QU e,

considerando …

Por fim, obtém-se uma amostra

simulada, de dimensão 5000, a partir de valores QU e, considerando … 71 – Cap. 6 Eq. (6.27)

( )

θ δ λ θ δ λ δ θ −      − − − −       − = x X e x x f 1 , IR ∈ > > >0,

θ

0,

δ

0,

λ

x

( )

θ δ λ θ δ λ δ θ −      − − − −       − = x X e x x f 1 , IR ∈ > > >

λ

,

θ

0,

δ

0,

λ

x 71 – Cap. 6 Eq. (6.28)

( )

θ δ λ_−      − − = x X x e F , IR ∈ > > >0,

θ

0,

δ

0,

λ

x

( )

θ δ λ_−      − − = x X x e F , IR ∈ > > >

λ

,

θ

0,

δ

0,

λ

x 72 – Cap. 6 8/9       − Γ =

θ

δ

µ

1 1 , apenas para

θ

>1; _            − Γ −       − Γ =

θ

δ

σ

2 2 1 2 2 1 1 , apenas para

θ

>2.       − Γ =

θ

δ

1 1 ] [ X E , apenas para

θ

>1; _            − Γ −       − Γ =

θ

δ

1 2 1 1 ] [X 2 2 V , apenas para

θ

>2. 81 – Cap. 6 11/12

µ

=

λ

+

γδ

, sendo

γ

a constante de Euler; 2 2 2 6 1

δ

π

σ

= . E[ X]=

λ

+

γδ

, sendo

γ

a constante de Euler; 2 2 6 1 ] [X =

π

δ

V . 88 – Cap. 6

5 Uma vez mais, para que ω seja pequeno,

δ

tem de obedecer às condições já expostas

Uma vez mais, para que ω seja pequeno,

λ

tem de obedecer às condições já expostas

(5)

Amostragem de Aceitação para Variáveis não Gaussianas 5 88 – Cap. 6 Sistema de equações (6.73)

(

)

(

)

(

)

       =         − − = − − 1 ln ln : ln 2 ln 1 2 1 ; 2 1 2 ; 2 1 2 1 ; 2 1 1 1 LTPD AQL n AQL n k n n L L n L α β α

χ

e

(

)

(

)

(

)

       = − −         − − = − 1 1 ln 1 ln : 1 ln 2 ln 2 2 ; 2 2 2 1 ; 2 2 2 ; 2 2 2 2 LTPD AQL n AQL n k n n U U n U α β α

χ

(

)

(

)

(

)

       =         − − = − − 1 ln ln : ln 2 ln 1 2 1 ; 2 1 2 ; 2 1 2 1 ; 2 1 1 1 LTPD AQL n AQL n k L L n n L L n L α β α

χ

e

(

)

(

)

(

)

       = − −         − − = − 1 1 ln 1 ln : 1 ln 2 ln 2 2 ; 2 2 2 1 ; 2 2 2 ; 2 2 2 2 LTPD AQL n AQL n k U U n n U U n U α β α

χ

89 – Cap. 6 Sistema de equações (6.74)             =                               − − = − − 1 2 ln 2 ln : 2 ln 2 ln 2 2 1 ; 2 2 2 ; 2 2 2 1 ; 2 LTPD AQL n AQL n k n n L L n L α β α

χ

e             =       −       −                   − − = − 1 2 1 ln 2 1 ln : 2 1 ln 2 ln 2 2 ; 2 2 2 1 ; 2 2 2 ; 2 LTPD AQL n AQL n k n n U U n U α β α

χ

.             =                               − − = − − 1 2 ln 2 ln : 2 ln 2 ln 2 2 1 ; 2 2 2 ; 2 2 2 1 ; 2 LTPD AQL n AQL n k L L n n L L n L α β α

χ

e             =       −       −                   − − = − 1 2 1 ln 2 1 ln : 2 1 ln 2 ln 2 2 ; 2 2 2 1 ; 2 2 2 ; 2 LTPD AQL n AQL n k U U n n U U n U α β α

χ

. 99 – Capítulo 8 Expressã o relativa ao LTPDEN ( ) (z AQL kN) n AQL EN e LTPD = 2 − +1− ln 1 ( ) ( AQL N) n k z n AQL EN e LTPD ₌ 2 − +1− ln 1 2 ; 2 β χ 100 – Cap.8 Nota rodapé (10)

Substituindo a expressão de

α

N, dada por

(9.6) na expressão anterior, obtém-se…

Substituindo a expressão de

α

N, dada por

(8.6) na expressão anterior, obtém-se… 101 –

Cap.8

13 coincidentes, com e sem ajuste dos

α

’s. Estes resultados constam da tabela 8.4.

coincidentes, com ajuste dos

α

’s. Estes resultados constam da tabela 8.4. 113 –

Cap. 8

8 conforme, para um risco de 10% é de 16.13%. Assim sendo, …

conforme, para um risco do consumidor de 10% é de 16.13%. Assim sendo, … 116 –

Cap. 8

1 Da análise das figuras 8.8 a 8.15, pode verificar-se que …

Da análise das figuras 8.13 a 8.20, pode verificar-se que …

(6)

6 117 –

Cap.8

16 i)_{Determina-se a média e o desvio padrão} da Weibull, dados em (8.14);

ii)_{A aceitação do lote no caso Gaussiano} com

σ

desconhecido (dados Gaussianos – ajuste à Gaussiana) é dada pela expressão (8.11);

i)_{Determina-se a média e o desvio} padrão da Weibull, dados em (8.18); ii)_{A aceitação do lote no caso}

Gaussiano com

σ

desconhecido (dados Gaussianos – ajuste à Gaussiana) é dada pela expressão (8.12);

118 – Cap. 8

12 respectivamente, dados em (8.14). respectivamente, dados em (8.18). 124 –

Cap. 8

11 iii)_{A aceitação do lote no caso Fréchet} (dados Fréchet – ajuste à Fréchet), com base nos resultados (6.30) e (6.34) é

iii)_{A aceitação do lote no caso Fréchet} (dados Fréchet – ajuste à Fréchet), com base nos resultados (6.33) e (6.37) é:

126 – Cap. 8

2 Os valores de LTPDF e kF da coluna

“Dados Fréchet Ajuste à Fréchet” foram obtidos pela solução do sistema (6.34), tal que …

Os valores de LTPDF e kF da coluna

“Dados Fréchet Ajuste à Fréchet” foram obtidos pela solução do sistema (6.37), tal que …

130 – Cap. 8

7 ii)_{A aceitação do lote no caso Gaussiano} com

σ

desconhecido (dados Gaussianos – ajuste à Gaussiana) é dada pela condição da expressão (8.11);

iii)_{A aceitação do lote no caso Fréchet} com

θ

desconhecido (dados Fréchet – ajuste à Fréchet), com base no resultado (6.49) é:

ii)_{A aceitação do lote no caso} Gaussiano com σ desconhecido (dados Gaussianos – ajuste à Gaussiana) é dada pela condição da expressão (8.14);

iii)_{A aceitação do lote no caso Fréchet} com

θ

desconhecido (dados Fréchet – ajuste à Fréchet), com base no resultado (6.52) é:

131 – Cap. 8

23 sistema (6.50), que a aceitação do lote para a fracção não conforme LTPDFN é

β

, ou

seja

sistema (6.53), que a aceitação do lote para a fracção não conforme LTPDFN é

β

, ou seja 131 –

Cap. 8

28 LTPDF, foram obtidos pela resolução do

sistema (6.50), recorrendo a métodos de simulação,

LTPDF, foram obtidos pela resolução do

sistema (6.53), recorrendo a métodos de simulação,

(7)

7 136 –

Cap.

12 i)_{A aceitação do lote no caso Gumbel} (dados Gumbel – ajuste à Gumbel), com base nos resultados (6.56) e (6.59) é:

i)_{A aceitação do lote no caso Gumbel} (dados Gumbel – ajuste à Gumbel), com base nos resultados (6.62) e (6.59) é:

141 – Cap. 8

24 ii) A aceitação do lote no caso Gaussiano com

σ

ii) A aceitação do lote no caso Gaussiano com

σ

142 – Cap. 8

1 iii) A aceitação do lote no caso Gumbel com

δ

desconhecido (dados Gumbel – ajuste à Gumbel), com base no resultado (6.74) é:

iii) aceitação do lote no caso Gumbel com

δ

desconhecido (dados Gumbel – ajuste à Gumbel), com base no resultado (6.77) é: 149 – Cap. 8 Na tabela 8.27 – 2ª coluna e referente à distribuiç ão Gama

( )

∫

− − Γ − = − U t X dt e t x F 0 1 1 1 1 δ θ θ _θ δ

( )

∫

− − Γ − = − U t X dt e t U F 0 1 1 1 1 δ θ θ _θ δ 149 – Cap. 8 Na tabela 8.27 – 2ª coluna e linha referente à distribuiç ão Weibull θ δ     − x e θ δ     − U e 151 – Cap. 8 Legenda da tabela 8.29

Tabela 8.29: Avaliação da performance dos planos

de Amostragem de Aceitação clássicos com σ conhecido, quando …

Tabela 8.29: Avaliação da performance dos

planos de Amostragem de Aceitação clássicos com σ desconhecido, quando …

153 – Cap. 9

19 …, com base no sistema (1). …, com base no sistema (2.1). 154 –

Cap. 9

2 convergência é muito lenta. convergência é muito lenta com a variação de n.