MECÂNICA
DIMENSIONAMENTO POR TRAÇÃO E COMPRESSÃO
A tração é um esforço que tende a alongar um corpo, ao passo que a compressão atua de maneira oposta, tendendo a diminuir o tamanho do objeto. Para o dimensionamento baseado nesses tipos de esforços, utilizam-se as fórmulas a seguir:
onde, F– carga aplicada
S– área da seção transversal
σ
– tensãoE– módulo de elasticidade do material
ε
- deformação sofrida∆
ℓ
– variação de comprimentoℓ
0 - comprimento inicialZ – estricção
∆
S
–
variação da área
S0
- área inicial
Em se tratando de um projeto, faz-se necessária a adoção de um coeficiente de segurança, que é aplicado sobre o valor de uma tensão conhecida do material a ser utilizado, obtendo-se a tensão admissível, ou seja, aquela que realmente será a base para o dimensionamento de uma peça. O coeficiente de segurança pode ser obtido a partir da tabela a seguir ou ser adotado de acordo com a experiência do projetista.
σ
adm - tensão admissívelσ
rup - tensão de ruptura N– coeficiente de segurançaσ
= FS
E =
σ
ε
ε
= ∆ℓ
ℓ
0
σ
adm =σ
rupN
Z = ∆
S
TABELA PARA CÁCULO DO COEFICIENTE DE SEGURANÇA
N = A . B . C . D
FATOR ESPECIFICAÇÃO VALOR
A
Ferro fundido e aço carbono 2
Forjada, temperada, aço níquel 1,2
B
Carga estática 1
Carga dinâmica 2
Carga alternada 3
C
Carga constante 1
Carga gradual 2
Pouco impacto 3
Alto impacto 4 a 5
D
Materiais dúcteis 1,5
Materiais frágeis 2
Exercícios:
1) Determine qual o alongamento sofrido por um corpo de 50mm de comprimento que, submetido a uma força axial de tração, ficou com 50,25mm de comprimento.
2) E se o corpo de prova possuísse 50mm de comprimento e ficasse com 50,75mm, após a aplicação de uma carga axial de tração, qual seria o percentual de alongamento?
3) Calcule a tensão que deve ser suportada por um tirante de aço de 2cm2 de seção transversal, sabendo-se que o material está exposto a uma força de 2300kgf.
5) Um corpo de prova metálico de 10mm de diâmetro e 50mm de comprimento foi submetido a uma carga axial de tração de 3,5t , tendo seu comprimento aumentado para 54,5mm e seu diâmetro reduzido para 8,2mm. Determine o alongamento e a estricção percentuais, bem como a tensão produzida sobre o referido corpo de prova.
6) Um corpo de prova de aço com diâmetro d = 20mm e comprimento
ℓ
0 = 60mm será submetido a um ensaio de compressão. Se for aplicada uma força F de 1,57t, determine a tensão absorvida pelo corpo de prova e o seu comprimento final, sabendo-se que o módulo de elasticidade do aço é igual a 2,1 x 106 kgf/cm2.7) Uma barra de latão de seção transversal circular, diâmetro de 20mm e comprimento de 0,5m, pode se alongar em 0,08cm, quando submetida a uma carga axial de tração. Sabendo-se que o módulo de elasticidade do latão é de 9,5 x 105 kgf/cm2, determine a carga máxima que pode ser suportada pela referida barra.
8) Uma barra de aço, de seção transversal quadrada, suporta uma carga axial de tração de 25t. Sabendo-se que a tensão de ruptura do material é de aproximadamente 3981 kgf/cm2 e adotando-se um coeficiente de segurança igual a 2, dimensione a mesma.
9) Uma barra de aço, de seção transversal circular, suporta uma carga axial de tração de 50t. Sabendo-se que a tensão de ruptura do material é de aproximadamente 3000 kgf/cm2 e adotando-se um coeficiente de segurança igual a 1,5, dimensione a mesma.
10) Uma barra de aço níquel, de seção transversal circular, suporta uma carga axial de tração estática de 60t, aplicada gradualmente. Sabendo-se que a tensão de ruptura do
material é de aproximadamente 4000 kgf/cm2, dimensione a mesma.
11) Uma barra de ferro fundido, de seção transversal quadrada, suporta uma carga axial de tração estática de 48t, aplicada de forma constante. Sabendo-se que a tensão de ruptura do
12) Duas barras de aço, iguais e de seção transversal circular, são articuladas nas extremidades e suportam uma carga de 40t, conforme a figura abaixo. Sabendo-se que a tensão de ruptura do material é de aproximadamente 3981 kgf/cm2 e adotando-se um coeficiente de segurança igual a 2, dimensione as barras.
A 53º 53º C sen 53º = 0,80 cos 53º = 0,60
B
40t
13) Duas barras de aço, iguais e de seção transversal quadrada, são articuladas nas extremidades e suportam uma carga de 60t, conforme a figura abaixo. Sabendo-se que a tensão de ruptura do material é de aproximadamente 3000 kgf/cm2 e adotando-se um coeficiente de segurança igual a 1,5, dimensione as barras.
/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /
A 37º 37º C sen 37º = 0,60 cos 37º = 0,80
B
60t
14) Duas barras articuladas, AB de seção circular e BC de seção quadrada, suportam na articulação B uma carga de 41t, conforme a figura. A tensão de ruptura do aço utilizado é de 4200 kgf/cm2 e são adotados os coeficientes de segurança 2,8 e 4,2, respectivamente, para a barra tracionada e para a comprimida. Determine o diâmetro da seção transversal da barra AB e o lado do quadrado da barra BC.
A sen 25º = 0,57 cos 25º = 0,82
25º
41t
DIMENSIONAMENTO POR CISALHAMENTO
O esforço conhecido por cisalhamento ocorre quando duas forças de mesma direção e sentidos opostos atuam praticamente na mesma seção, tendendo a provocar o corte do corpo. Um exemplo bem típico do esforço de cisalhamento pode ser representado pela tesoura, na qual suas lâminas promovem forças de mesma direção e sentidos opostos, ocasionando o corte do material. Ao analisarmos uma peça ou um conjunto, devemos verificar onde ocorre a possibilidade de cisalhamento e visualizarmos a área a ser cisalhada. Desta forma, é possível realizar o dimensionamento, utilizando-se a fórmula a seguir, além do cálculo da área sujeita ao cisalhamento.
Exercícios:
1) Emprega-se um rebite para ligar duas barras de aço, conforme a figura abaixo. Sabendo-se que o rebite possui diâmetro igual a 0,8cm e deverá suportar uma carga de 3t, determine a tensão de cisalhamento no mesmo.
REBITE BARRAS
2) Um operário necessita unir duas barras de aço, que serão submetidas a uma força axial de tração de 9,6 toneladas, por intermédio de rebites. Sabendo-se que ele utilizará um total de 6 rebites na execução do serviço, e que os mesmos possuem 1,6cm de diâmetro, determine a tensão de cisalhamento a qual estão submetidos os rebites.
REBITE BARRAS
3) Um operário necessita unir duas barras de aço, que serão submetidas a uma força axial de tração de 8 toneladas, por intermédio de rebites. Sabendo-se que ele só dispõe de rebites
τ
= FS
F– carga aplicada
S– área da seção cisalhada
de 2cm de diâmetro, cujo material dos mesmos resiste a uma tensão de cisalhamento da ordem de 400 kgf/cm2, determine o número mínimo de rebites que deverá utilizar, a fim de que seja suportado o referido esforço.
REBITE BARRAS
4) O desenho abaixo representa uma união de garfo e braço, através de um pino, muito comum em tratores. Sabendo-se que o conjunto será submetido a uma força de 11 toneladas e que a tensão admissível ao cisalhamento do material do pino é de 3100 kgf/cm2, determine o diâmetro do pino.
pino garfo
11t
braço
5) Uma chapa de 25mm de espessura deverá ser perfurada por um punção, aplicando-se uma carga de 31,4t. Sabendo-se que a tensão de cisalhamento do material da chapa é de 400kgf/cm2, determine o diâmetro máximo do punção a ser utilizado.
PUNÇÃO
6) Uma chapa de 20mm de espessura deverá ser perfurada por um punção, aplicando-se uma carga de 15,7t. Sabendo-se que a tensão de cisalhamento do material da chapa é de 500kgf/cm2, determine o diâmetro máximo do punção a ser utilizado.
PUNÇÃO
CHAPA
7) Considere o pino de 1,6 cm de diâmetro submetido a uma força axial de tração de 3 toneladas. Sabendo-se que a altura da cabeça do pino é de 5mm, determine a tensão de cisalhamento a qual se encontra submetida.
pino
3t
5mm
8) O pino metálico de seção transversal circular encontra-se submetido a uma força axial de tração de 4,71 toneladas. Sabendo-se que a altura da cabeça do pino é de 6mm e a tensão de cisalhamento do material do mesmo é de 500 kgf/cm2, dimensione-o.
pino
4,71t
llll Mt llll Mt 6,0cm 2cm 2,2c m eixo polia
chaveta 9) A figura ao lado mostra uma polia
solidarizada a um eixo por
intermédio de uma chaveta de dimensões 2,0cm x 2,2cm x 4,0cm. Sabendo-se que o momento de torção aplicado à polia é de 12.000kgf x cm e que o diâmetro do eixo é de 6cm, determine a tensão de cisalhamento a qual se encontra submetida a chaveta.
5cm
ℓ
2,2c m eixo polia chaveta10) A figura ao lado mostra uma polia solidarizada a um eixo por intermédio de uma chaveta de dimensões ℓ x 2,2cm x 5,0cm, cujo material suporta uma tensão máxima de cisalhamento de 700 kgf/cm2. Sabendo-se que o momento de torção aplicado à polia é de 14000kgf x cm e que o diâmetro do eixo é de 5cm,
determine a largura “
ℓ
” da chaveta11) A junta representada na figura a seguir é utilizada frequentemente para unir extremidades de dois eixos. As duas partes são solidarizadas por intermédio de seis parafusos de 1,5cm de diâmetro. Sabendo-se que o momento torsor a ser transmitido é de 20400 kgf x cm, determine a tensão de cisalhamento à qual os parafusos se encontram submetidos.
parafuso
12 cm
12) A junta representada na figura a seguir é utilizada frequentemente para unir extremidades de dois eixos. As duas partes são solidarizadas por intermédio de seis parafusos, cujo material apresenta uma tensão de cisalhamento de 616 kgf/cm2. Sabendo-se que o momento torsor a Sabendo-ser transmitido é de 18480 kgf x cm, determine o diâmetro dos parafusos.
parafuso
DIMENSIONAMENTO POR TORÇÃO
eixos maciços eixos vazados
T– torque ou momento torsor aplicado
d– diâmetro do eixo
de – diâmetro externo do eixo
di – diâmetro interno do eixo
τ
– tensão de cisalhamentoExercícios:
1) Uma barra de aço, cujo material suporta uma tensão cisalhante de 600 kgf/cm2, está submetida a um torque de 2 t.m. Sabendo-se que a mesma é maciça, determine o seu diâmetro.
2) A árvore deve executar com segurança o trabalho proposto no esquema abaixo. O material a ser utilizado apresenta tensão de cisalhamento da ordem de 480 kgf/cm2, para a qual deverá ser adotado um coeficiente de segurança igual a 1,2. Sabendo-se que a mesma é maciça, determine o seu diâmetro.
τ
= 16T
π
x
d33) Um eixo de aço apresenta tensão de cisalhamento admissível igual a 840 kgf/cm2.
Supondo que o diâmetro do eixo seja de 37,5mm, determinar o torque máximo T que pode
ser transmitido. Qual seria o torque máximo T’ se fosse feito um furo de 25mm de diâmetro ao longo do eixo?
4) O eixo maciço de 30 mm de diâmetro é usado para transmitir os torques aplicados às engrenagens. Determinar a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos C e D do eixo. Indicar a tensão de cisalhamento nos elementos de volume localizados nesses pontos.
Ângulo de torção
1) Uma barra cilíndrica maciça de 1m de comprimento e diâmetro igual a 10cm está submetida a um torque de 1 t.m. Sabendo-se que o material da barra apresenta um módulo de elasticidade de cisalhamento da ordem de 8 x 105 kgf/cm2, determine o ângulo de torção sofrido.
2) Uma barra cilíndrica de diâmetro igual a 9,5cm encontra-se submetida a um torque de 1,3 t.m, sofrendo um ângulo de torção de 0,86º. Sabendo-se que o material da barra apresenta um módulo de elasticidade de cisalhamento da ordem de 8 x 105 kgf/cm2, determine o comprimento máximo com o qual a barra pode ser confeccionada.
θ
= 32T xℓ
π
x d4 x Gθ
–
ângulo de torçãoT– torque ou momento torsor aplicado
d– diâmetro do eixo
ℓ
-
comprimento do eixoDIMENSIONAMENTO DE VIGAS
1 – TIPOS DE VIGAS
Denominam-se vigas as estruturas formadas por barras, de eixo plano, submetidas a esforços, contidos no plano da estrutura.
VIGA EM BALANÇO
VIGA SIMPLESMENTE APOIADA
Uma viga, articulada nas duas extremidades, recebe o nome de viga simplesmente
apoiada. Em geral, temos numa das extremidades um apoio articulado fixo e na outra, um apoio articulado móvel.
VIGA SIMPLESMENTE APOIADA COM BALANÇOS
Quando a viga simplesmente apoiada se prolonga além de um, ou ambos os apoios, diz-se que se trata de uma viga simplesmente apoiada com balanços.
F – carga aplicada A – apoio articulado fixo B – apoio articulado móvel
F – carga aplicada A – apoio articulado fixo B – apoio articulado móvel
F F F A A C
C B
B
Quando a viga é apoiada só em uma extremidade, de tal forma que, nesse ponto, não possam girar, quer o eixo, quer a seção transversal, diz-se que se trata de uma viga engastada ou em balanço
2 –TIPOS DE CARREGAMENTOS
CARGAS CONCENTRADAS: O carregamento é representado por cargas aplicadas em determinados pontos da viga em questão.
Ex.: um pilar apoiado sobre uma viga.
CARGAS DISTRIBUÍDAS: O carregamento é contínuo e uniforme sobre toda a extensão da viga ou parte da mesma.
Ex.: uma parede apoiada sobre uma viga.
3 – ESFORÇOS CORTANTES
Quando se carrega uma viga, aparecem, em geral, esforços internos, constituídos por tensões normais e de cisalhamento, nos diversos pontos de seu interior. São considerados esforços cortantes as cargas aplicadas à viga e as reações geradas nos apoios da mesma.
Para determiná-los é necessário, de início, calcular a força e o momento que estão solicitando a seção considerada. Pela estática, utilizamos que, quando um corpo encontra-se em equilíbrio, a resultante das forças que agem nesencontra-se corpo deve encontra-se anular, ou encontra-seja, o somatório dessas forças deve ser igual a zero.
4 – MOMENTOS FLETORES
O momento fletor é o momento produzido por todos os esforços que atuam naquela parte da estrutura que se conservou em equilíbrio. Seu valor pode ser obtido com o
F – carga concentrada
F – carga distribuída por metro linear de viga
F
F/m A
A
C
emprego da equação da estática que estabelece que a soma dos momentos em relação a um ponto qualquer é nula.
5 – DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS CORTANTES E DOS MOMENTOS FLETORES E ESBOÇO DOS SEUS RESPECTIVOS DIAGRAMAS
VA
VB m n
p
Precisamos relembrar, da estática, que o momento é calculado através do produto de uma força pela distância da mesma ao ponto de rotação, uma vez que momento é a tendência que uma força possui em produzir um movimento de rotação num determinado corpo.
O somatório dos momentos em relação a qualquer ponto deve ser igual a zero. Em geral, consideramos as forças da esquerda para a direita. Utilizaremos, então, o apoio B para nossos cálculos. MB = 0
Na resistência dos materiais, utiliza-se a seguinte convenção: o momento que gira no sentido horário será positivo (+) e o momento que gira no sentido anti-horário, negativo (-). (VA x p) – (F x n) = 0 VA = F x n
p
Calculada a reação no apoio A, utilizamos a equação da estática que nos diz que a resultante deve ser igual a zero: forças verticais de sentidos opostos.
R = 0 VA + VB = F VB = F – VA
Depois de determinadas as reações nos apoios da viga, é possível construir o diagrama de esforços cortantes:
D.Q.
VA +
VB
F – carga aplicada A – apoio articulado fixo B - apoio articulado móvel VA– reação no apoio A VB– reação no apoio B m,n – distâncias da carga às extremidades
Para determinarmos o momento fletor em cada seção da viga, consideramos as forças situadas à esquerda da seção em questão:
MA = 0 (não existem forças à esquerda de A) MC = + (VA x m)
MB = + (VA x p) – (F x n) = 0 (o momento fletor nas extremidades é nulo)
Desta forma, esboçamos o diagrama de momentos fletores:
D.M.
+
Exemplo: Determine as reações nos apoios da viga a seguir e desenhe o diagrama de esforços cortantes e o diagrama de momentos fletores.
4t
1,5m 2,5m
D.Q. + _ D.M. +
MB = 0
(VA x 4) – (4 x 2,5) = 0 4VA –10 = 0 → 4VA = 10 VA = 10
4 VA = 2,5t
R = 0 VA + VB = 4 VB = 4 – VA VB = 4 – 2,5 VB = 1,5t
MA = 0
MC = + (2,5 x 1,5) MC = + 3,75 t x m
MB = + (2,5 x 4) – (4 x 2,5) MB = + 10 – 10
MB = 0
A A A A C C C
C B
B B B MC VA VB
2,5t 2,5t
1,5t 1,5t
Exercícios: Determine as reações nos apoios das vigas a seguir e desenhe o diagrama de esforços cortantes e o de momentos fletores.
1)
9t
4m 2m
2)
6t
1,5m 2,5m
A
A
C
C B
3)
8t
2t
2,0m 2,0m 2,0m
4)
10t
4t
1,5m 2,0m 1,5m
A
A
C
C B
B D
5)
12t
2t
1,5m 2,5m 1,0m
6) 6t 3t 3t
2,0m 1,0m 1,5m 1,5m
A
A
C
C B
B D
7) 8t
2t 3t
1,5m 1,0m 1,5m 1,0m
8) 5,5t 4t
1,0m 3,0m 2,0m
A
A C
C B
B D
9) 7,5t 2t
1,5m 2,5m 1,0m
10) 6,5t
2t 2t
1,5m 1,5m 1,0m 1,0m
A
A C
C B
B D
11) 8t
4t 6t 1t
2,0m 2,0m 1,0m 1,5m 1,0m
A