3. PROBABILIDADE Capítulo
3
3.1. INTRODUÇÃO
Um dos objetivos da Estatística é o de estabelecer inferências sobre parâmetros da população (média, desvio padrão, ...), partindo da análise de uma amostra dessa população. Contudo, sabemos que ao considerar uma outra amostra da mesma população os seus estimadores (média, desvio padrão, ...) podem ter valores diferentes ou até confirmar os anteriores, assim, não devemos acreditar que as inferências sejam exatas. Por exemplo, em uma amostra de 100 pessoas de uma população verifica-se que 10 não comem chocolate. Podemos imaginar que exatamente 10% da população não come chocolate? Não, pois em outras amostras desta população podemos verificar outros resultados. Assim, é conveniente examinar várias amostras para se quantificar o percentual dos que não comem chocolate. Neste capítulo, seguiremos direção inversa às técnicas de inferência Estatística. Partindo de uma população conhecida, queremos determinar, numericamente, as chances de se obter amostras desta população com determinada característica. Por exemplo, numa caixa estão 3 bolas brancas e 2 pretas de mesma rugosidade e tamanho (é a população); com os olhos vendados, retiram-se, simultaneamente, duas bolas, qual é a chance (em números) de se obter uma bola de cada cor (amostra)?. A estes números, que estimam as chances, chamaremos de probabilidade. Não se preocupe, o problema proposto será resolvido oportunamente (3.4(8)).
Na natureza existem dois tipos de fenômenos: os determinísticos e os aleatórios.
Os fenômenos determinísticos são aqueles em que os resultados são sempre os mesmos, qualquer que seja o número de experimentos realizados. Sabemos, por exemplo, que a água se solidifica a 0ºC; todas as vezes que repetirmos a experiência isto ocorrerá. Os fenômenos aleatórios são aqueles em que os resultados não são previsíveis ao se realizar um experimento. Por exemplo, no lançamento de uma moeda não se pode prever o resultado, cara ou coroa, mesmo realizado sob idênticas condições.
Exemplos de experimentos com fenômenos aleatórios:
1) No lançamento de uma moeda, observar face superior exposta.
2) No lançamento de duas moedas, observar as faces superiores expostas. 3) No lançamento de um dado, observar os pontos da face superior exposta.
4) Retirar apenas uma bola de um pacote com três bolas, branca, verde e azul, e observar a sua cor.
5) Escolher uma residência em uma cidade e observar se os moradores utilizam um determinado tipo de produto.
3.2. ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTOS
Espaço amostral,, de um experimento aleatório é o conjunto dos resultados possíveis do experimento.
Nos experimentos citados na introdução (3.1.), temos:
1) ={Ca , Cc } , onde Ca é cara e Cc é coroa. 2) ={(Ca ,Ca) , (Ca, Cc ) , (Cc , Ca ) , (Cc , Cc ) } 3) ={1, 2, 3, 4, 5, 6 }
4) ={branca, verde, azul} 5) ={residências da cidade}
Cada elemento de é chamado de evento elementar ou de ponto amostral. De modo geral, todo subconjunto de é chamado de evento.
Você pode dizer quantos e quais são os eventos de ={a,b,c}?
Respondendo: O conjunto F()={,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}} é formado por todos os subconjuntos de . Assim, cada elemento de F() é um evento de
. O subconjunto é chamado de evento impossível (nunca ocorre): imagine ocorrer o evento {k} em sendo ka, kb e kc ou, então, em outro exemplo, sair face 7 no lançamento de um dado. Os conjuntos {a},{b}e{c} são chamados de eventos elementares; {a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}são compostos de eventos elementares. ={a,b,c}é chamado de evento certo (sempre ocorre).
O número de elementos de F() é dado por n(F()) = 2n, onde n é o número de elementos de . Verifica-se, no exemplo acima, que n() =3 e, assim, n(F()) = 23 = 8.
3.2.1. EVENTOS E OPERAÇÕES
Em um experimento, dizemos que um evento ocorre se acontecer um dos eventos elementares que o compõe. Veja:
Lança-se um dado uma única vez, supondo que você apostou no evento {2,4,6} e surgiu, por exemplo, face 2, então o seu evento ocorreu e você ganhou. Situação idêntica é a de comprar um bilhete de rifa e ter o número sorteado.
Sejam A e B eventos de um espaço amostral . Definimos:
a) Evento intersecção: ao evento formado pelos elementos comuns a ambos os eventos A e B. Será indicado por AB.
a) b)
AB AB
c) Evento complementar: Seja A um evento. O evento formado pelos elementos de distintos dos elementos de A é chamado de evento complementar de A. Notação:A.
Assim, A = - A .
Note que: AA= e A A =
d) Eventos mutuamente excludentes: Os eventos A e B são mutuamente excludentes se, e só se, AB =..
Os eventos A e A são mutuamente excludentes, pois AA=
3.3. CÁLCULO DE PROBABILIDADE DE UM EVENTO
Vamos apresentar três definições de probabilidade: pela freqüência relativa, pela probabilidade teórica ou laplaciana e pela definição axiomática de probabilidade.
3.3.1. FREQÜÊNCIA RELATIVA
Seja A um evento de . O valor da probabilidade do evento A, denotada por p(A), pode ser obtido diretamente dos resultados do experimento.
Para isto, vamos considerar a freqüência relativa do evento A, isto é, fr(A)=
N A n( )
, onde n(A) é o número de ocorrências do evento A em N experimentos realizados. É certo o fato de que, ao repetirmos o procedimento com mesmo número N de vezes, o número fr(A) pode ter valor diferente. Porém, entendemos que aumentando o número N de experimentos a seqüência dos resultados de fr(A) pode se aproximar de um valor fixo entre 0 e 1. Veja o exemplo abaixo:
No lançamento de uma moeda, ={Ca , Co }. Para o evento A dado pela ocorrência de cara Ca verificou-se :
N=número de lançamentos Ocorrências = A freq.relat de A freq. Percentual de A 100 53 0,53 53%
200 96 0,48 48% 300 147 0,49 49% 400 202 0,505 50,5% 500 247 0,494 49,4% 600 299 0,4983 49,83%
O valor fixo, para o qual tende a estabilização da freqüência relativa, quando se
aumenta o número de experimentos, define a probabilidade de A, daí, lim fr(A) = p(A).
No exemplo, p(A) = 0,5.
CONSIDERAÇÕES: A freqüência relativa é uma medição experimental do valor da probabilidade. Porém, este modo de obter a probabilidade tem inconveniências como:
- efetuar muitas repetições do experimento para obter a probabilidade
- o número fixo limite pode não existir (seqüência de resultados não converge).
3.3.2. PROBABILIDADE TEÓRICA OU LAPLACEANA
Num experimento aleatório, onde n() é o número de elementos do espaço amostral e n(A) é o número de elementos de um evento A, define-se probabilidade de A, e indica-se por p(A), ao valor
p(A) =
n A n
Exemplos:
1) Em apenas um lançamento de uma moeda equilibrada (cada face tem a mesma chance de ocorrer), qual é a probabilidade de ocorrer o evento cara?
Temos:
= {Ca , Co } , sendo n() = 2 A = {Ca }, sendo n(A) = 1 Logo, pela definição, p(A) =
2 1
2) Em apenas um lançamento de um dado equilibrado (cada face com mesma chance de ocorrer), qual é a probabilidade de ocorrer a face número 5?
Temos:
= {1,2,3,4,5,6 } , sendo n() = 6 A = {5 }, sendo n(A) = 1
Logo, pela definição, p(A) =
6 1
3) Em apenas um lançamento de um dado equilibrado, qual é a probabilidade de ocorrer face com número múltiplo de 3?
Temos:
= {1,2,3,4,5,6 } , sendo n() = 6 A = {3,6 }, sendo n(A) = 2
Logo, pela definição, P(A) =
6 2
=
3 1
Continuando o raciocínio, p() =
n n
=
n
0
= 0 e p() =
n n
= 1
Assim, podemos entender que 0p(A)1, para todo A, e, ainda, que os eventos elementares de têm a mesma probabilidade que é igual a
m
1
, onde n() =m.
CONSIDERAÇÕES: Devemos deixar claro que esta definição de probabilidade: - parte da hipótese de que os resultados elementares de são equiprováveis (têm a mesma probabilidade de ocorrer). Portanto, serve para uma classe de fenômenos ideais de comportamento. Neste caso, aumentando o número de experimentos, a freqüência relativa de um evento A se aproximará do seu valor teórico p(A);
3.3.3. FUNÇÃO DE PROBABILIDADE
Seja E um experimento (ex: lançar moeda, dados, ...) e o seu espaço amostral. A função p que associa a cada evento X de F() um único número real p(X) do intervalo [0,1] tais que:
1) p() = 1 e
2) p(AB) = p(A) + p(B), onde A e B são eventos mutuamente excludentes de , é chamada de função de probabilidade.
Cada número real p(X), imagem de p, é chamado de probabilidade do evento X.
Exemplo:
Considerando ={a,b,c,d} e definindo p : F() [0,1] , tal que: p({a})=2/8, p({b})=3/8, p({c})=1/8 e p({d})=2/8, verificar se p é uma função de probabilidade.
Solução:
Precisamos mostrar que: 1) p() = 1
Sabendo-se que ={a,b,c,d}= {a}{b}{c}{d} e, ainda, que os eventos {a}, {b}, {c} e {d} são dois a dois mutuamente excludentes, então, p() = p({a}{b}{c}{d} ) = p({a}) + p({b}) + p({c}) + p({d}) = 2/8 + 3/8 + 1/8 + 2/8 = 1
2) p(AB) = p(A) + p(B), sendo AB =
Se pretendermos verificar a igualdade de forma experimental então teremos de examinar todas as possibilidades com eventos mutuamente excludentes de . Calma, não faremos isto, apenas apresentaremos um caso para o entendimento.
Sejam os eventos A={a,b} e B={d} de . É evidente que AB =
a) Obter p(A)+ p(B)
Temos A={a,b}={a}{b} e {a}{b}=, logo, segue que p(A) = p({a,b}) = =p({a}{b}) = p({a}) + p({b}) = 2/8 + 3/8 = 5/8. Analogamente, p(B) = p({d})=2/8. Assim, p(A) + p(B) = 5/8 + 2/8 = 7/8.
b) Obter p(AB)
Temos AB= e AB={a,b,d}={a}{b}{d}, logo, segue que p(AB)= p({a}{b}{d}) = p({a}) + p({b}) + p({d}) = 2/8 + 3/8 + 2/8 = 7/8.
Após examinarmos todas as situações com os eventos mutuamente excludentes e acontecer como A e B acima, concluiremos que a função p é função de probabilidade.
--- --- EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 3.1
1) Considerando ={a,b,c,d} e definindo p : F() [0,1] , tal que: p({a})=1/4, p({b})=1/4, p({c})=1/4 e p({d})=1/4, verificar se p é uma função de probabilidade.
2) Demonstre as Propriedades: considerando A, B e C eventos de , a) p() = 0
b) p(A) = 1 – p(A)
c) p(AB) = p(A) + p(B) – p(AB)
d)p(ABC) =p(A)+p(B)+p(C) –p(AB)–p(AC)–p(BC)+p(ABC) e) p(AB) = p(AB)
f) p(AB) = p(AB)
--- 3.4. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1) Um número é escolhido ao acaso no conjunto = {1,2,3, ... , 49,50}. Qual é a probabilidade de que o número escolhido seja um múltiplo de 6 ou de 8?
Solução:
M6 ={ múltiplos de 6 do conjunto }= {6,12,18,24,30,36,42,48}, n(M6)=8 M8 ={ múltiplos de 8 do conjunto }= {8,16,24,32,40,48}, n(M8)=6
M6M8={múltiplos de 6 e de 8 do conjunto } = { 24,48}, n(M6M8)=2 e n() = 50
Assim,
p(M6M8) = p(M6) + p(M8) - p(M6M8 ) =
50 8
+
50 6
-
50 2
=
50 12
= 0,24 ou 24%.
2) Em uma sala de aula estão 10 rapazes e 20 moças. Cinco rapazes e dez moças têm olhos castanhos. Escolhido um aluno ao acaso, qual a probabilidade de que seja uma moça ou tenha olhos castanhos?
Solução:
= { alunos da sala }, n() = 30
A = { moças}, n(A) = 20 e B = {alunos de olhos castanhos}, n(B) = 15. AB = { moças de olhos castanhos}, n(AB) =10
Assim,
p(AB) = p(A) + p(B) - p(AB) =
30 20
+
30 15
-30 10
=
30 25
= 0,8333 ou 83,33%.
Solução:
Sendo p(AB) = 0, temos AB=. Assim, ABC= e, portanto, p(ABC)= 0 Usando a propriedade:
p(ABC) = p(A) + p(B) + p(C) - p(AB) - p(BC) - p(AC) + p(ABC) = =
4 1
+ 4 1
+ 4 1
- 0 - 0 - 8 1
+ 0 = 8 5
= 0,625 ou 62,5%
4) Um dado é viciado de modo que a probabilidade de ocorrer os números 5 e 6 é três vezes maior do que a probabilidade de ocorrer os outros números. Joga-se o dado. Qual a probabilidade de ocorrer o número 6?
Solução:
Temos ={1,2,3,4,5,6} e p(1)=p(2)=p(3)=p(4)= e p(5)=p(6)=3.
Sabendo que p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+ p(5)+p(6)=1, temos, ++++3+3 =1 Assim, 10 = 1 e , logo, =
10 1
Portanto, p(6) = 3. = 3.
10 1
=
10 3
= 0,3 ou 30%.
5) Em um colégio estudam-se francês e espanhol. De um total de 130 estudantes, 80 não estudam francês, 70 não estudam espanhol e 30 estudam francês e espanhol. Se um estudante é escolhido ao acaso, qual a probabilidade dele:
a) estudar nenhuma das 2 línguas?
b) estudar exatamente uma das 2 línguas? Solução:
F E y + z = 80 (I) x + z = 70 (II) x 30 y x + y + z + 30 = 130 (III) z
Substituindo (I) em (III), segue que x(80) 30 130 e, daí, x =20. Substituindo
(II) em (III), tem-se y(70) 30 130 , logo, y = 30. Substituindo x =20 em (II) ou, então,
y = 30 em (I), teremos z = 50.
Portanto:
a) A = {estudantes que não estudam F ou E}, tem-se p(A) = 50/130 = 0,3846 ou 38,46%
b) B = {estudantes que estudam só uma língua}, tem-se p(B) = (20+30)/130 ou 38,46%
6) Jogam-se dois dados honestos. Consideremos os eventos: A ocorre ponto 2 no primeiro dado
Determine:
a) p(A) + p(B) b) p(C) + p(AB) c) p(ABC)
Solução:
Note que o número de elementos de formado pelos pares de pontos decorrentes do lançamento de dois dados é n()=36.
Por outro lado, temos:
A= { (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6) } , B = { (1,3),(2,2), (3,1) } e
C ={(1,1),(2,2), (3,3),(4,4),(5,5),(6,6)} AB = {(2,2)}
ABC = {(2,2)} E, assim, p(A) =
) ( ) ( n A n = 36 6
, p(B) = ) ( ) ( n B n = 36 3
, p(C )= ) ( ) ( n C n = 36 6 e p(AB) = ) ( ) ( n B A n = 36
1 e p(ABC) = 36
1 . Portanto,
a) p(A) + p(B) = 6/36 + 3/36 = 9/36 = 0,25 ou 25% b) p(C) + p(AB) = 6/36 + 1/36 = 7/36 = 0,1944 ou 19,44% c) p(ABC) =1/36 = 0,0278 ou 2,78%
7) De um conjunto de 4 valetes e 4 damas distintas são retiradas 3 cartas, simultaneamente, ao acaso. Qual a probabilidade de se obter:
a) no máximo duas damas?
b) no mínimo um valete? Solução:
= {formado de todas as ternas de cartas} , então, n() = C8,3 = 56
a) A = { ternas de cartas com , no máximo, duas damas}
n(zero damas) = C4,0 . C4,3 = 4
n(uma dama ) = C4,1 . C4,2 = 24 n(A) = 52 n(duas damas) = C4,2 . C4,1 = 24
Portanto, p(A) = ) ( ) ( n A n = 56 52
Outro modo de resolver esta questão:
A = {ternas de cartas formadas com três damas}, assim, n(A) = C4,3 . C4,0 = 4.
Neste caso, p(A) = 4/56 .
Sabemos que p(A) = 1 p(A), logo, p(A) = 1 4/56 = 52/56 = 0,9286.
b) B = { ternas de cartas com , no mínimo, um valete} Temos:
B = { ternas com zero valetes} = { ternas com três damas} = A,
logo, p(B) = p(A) = 4/56.
Portanto, p(B) = 1 p(B ) = 1 4/56 = 52/56 ou 92,86%
8) Em uma caixa existem 3 bolas brancas e 2 pretas. Retirando-se, simultânea- mente, duas bolas, qual a probabilidade de serem:
a) uma de cada cor? (exemplo para introduzir probabilidade) b) ambas brancas?
Solução:
= { formado de todas as duplas de bolas} , então, n() = C5,2 = 10
A = { pares de bolas com cores diferentes}, então, n(A) = C3,1. C2,1 = 3 . 2 = 6 B = { pares de bolas brancas}, então, n(B) = C3,2 = 3
a) p(A) = ) (
) (
n A n
= 10
6 =
5 3
b) p(B) = ) (
) (
n B n
= 10
3
--- EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 3.2
1) No lançamento simultâneo de dois dados, determinar a probabilidade de se obter:
a) soma dos pontos igual a 8; R: 5/36 b) pares de pontos iguais; R: 6/36 c) soma dos pontos igual a 4. R: 3/36
2) Um número inteiro é escolhido, ao acaso, entre os números: 1,2,3,4, ..., 20. Qual a probabilidade de:
3) Retira-se uma carta de um baralho completo de 52 cartas. Qual a probabilidade de sair:
a) um valete e uma carta de espadas? R: 1/52 b) Um valete ou uma carta de espadas? R: 16/52
4) Em um congresso estão 15 matemáticos e 12 geólogos. Qual a probabilidade de se formar uma comissão com 5 elementos, na qual figurem exatamente 3 matemáticos e 2 geólogos? R: 0,37
5). Em uma sala estão 5 rapazes com mais de 21 anos, 4 rapazes com menos de 21 anos, 6 moças com mais de 21 anos e 3 moças com menos de 21 anos. Uma pessoa é escolhida ao acaso dentre as 18. Os seguintes eventos são definidos:
A: a pessoa tem mais de 21 anos B: a pessoa tem menos de 21 anos C: a pessoa é rapaz
D: a pessoa é uma moça. Calcule:
a) a probabilidade de A, B, C e D ocorrer. R: 11/18, 7/18, 9/18 e 9/18 b) p(BD) R: 13/18
c) p(AC) R: p(AC)=p(AC)= 1 p(AC)= 115/18= 3/18
6) Uma urna contém as letras A,A,A,R,R e S. Retirando-se letra por letra, sem reposição, qual a probabilidade da seqüência de saída das letras formar a palavra ARARAS ? R: 1/60
7) A tabela abaixo dá as características sangüíneas de pessoas.
Tipo A Tipo B Tipo AB Tipo O RH+ 20 15 15 20 RH- 10 5 10 5 Escolhendo-se, ao acaso, uma dessas pessoas, qual é a probabilidade dela:
a) ter sangue tipo A? R: 30/100 b) não ter sangue com fator RH- ? R: 70/100 c) ter sangue tipo AB com fator RH+ ? R: 15/100 d) não ter sangue tipo O com fator RH- ? R: 95/100
8). Numa urna há 5 bolas brancas, 4 vermelhas e 2 pretas. Retirando-se, simultaneamente, 3 bolas, qual a probabilidade de:
a) exatamente 2 serem brancas? R: 0,36 b) nenhuma vermelha? R: 0,21 c) no máximo uma branca? R: 0,58 d) pelo menos uma vermelha? R: 0,79
9) Numa caixa existem 7 bolas pretas e 4 brancas. Retirando-se, simultaneamente, duas bolas, qual a probabilidade de:
10) Uma estação meteorológica informa que, para um certo dia, a probabilidade de chover é 60%, a de fazer frio é 65% e a de chover e fazer frio é de 35%. Determinar, para esse dia, a probabilidade de:
a) chover ou fazer frio. R: 90% b) não chover e não fazer frio R: 10% c) chover e não fazer frio. R: 25% d) não chover e fazer frio. R: 30%
11) Três pessoas A,B e C disputam uma corrida. A probabilidade de A ganhar é o dobro de B e a probabilidade de B ganhar é três vezes maior que a de C. Quais são as probabilidades de vitória de cada um?
R: p(A) = 6/10, p(B) = 3/10 e p(C) = 1/10
--- 3.5. PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDENTE
Sejam X e Y eventos de um espaço amostral . O problema é determinar a probabilidade do evento X sabendo-se que ocorreu Y. Notação p(X/Y).
Vejamos os casos:
3.5.1. A PROBABILIDADE DE OCORRER O EVENTO X DEPENDE DE Y
Introduziremos a noção de probabilidade condicional através do exemplo:
1) Numa caixa existem 4 bolas de gude, sendo duas Brancas, uma Verde e outra Azul. Retirando-se duas bolas, uma por vez, sem reposição, pede-se determinar a probabilidade da segunda bola ser verde dado que a primeira saiu branca.
Solução:
Espaço amostral = {BB, BV, BA, VB, AB, AV }, n()=6 e os eventos de : Y ={a 1 bola é branca} = { BB, BV, BA} e X={a 2bola é verde} = {BV, AV}.
Y X BB
VB BA BV AV
AB
Devemos calcular a probabilidade condicional p(X/Y):
Neste caso, apenas nos interessa os elementos de X que estejam em Y. Assim, Y torna-se o novo espaço amostral e, nele, queremos os elementos com a 2bola verde, isto é, o conjunto XY={BV}.
Portanto, p(X/Y) = (X Y) (Y)
n n
=
3 1
Observação:
a) Não parece evidente...?. Haviam 4 bolas e saiu uma branca, logo, restaram 3 bolas, das quais uma é verde, assim, a probabilidade de sair uma verde é 1/3.
b) Modo formal: p(X/Y) =
(X Y) ( ) (Y) ( )
n n n n
= (X Y) (Y)
p p
=
1 6 3 6
=
3 1
Definição: A probabilidade condicional p(X/Y) entre os eventos X e Y de um espaço amostral é dada pelo quociente de p(XY) por p(Y):
p(X/Y) = (X Y) (Y)
p p
, se p(Y)0.
Outro modo de se observar p(X/Y):
Devemos construir um diagrama em árvore indicando nos seus “galhos” as possibilidades de cores das bolas nas 1ª e 2ª retiradas e, também, as suas respectivas probabilidades de ocorrer. Chamaremos o diagrama de “árvore de probabilidades”.
As probabilidades correspondentes as retiradas da 2ª bola, indicadas nos “segundos ramos” dos “galhos”, se referem às probabilidades condicionais após a 1ª retirada. Vemos em destaque no diagrama que p(X/Y) = p(2ªbola verde/ 1ªbola branca)=1/3.
O destaque nos mostra ainda que p(X/Y) = (X Y) (Y)
p p
. B 1/3
B 1/3 V : p(YX)= p(Y).p(X/Y)= 2/4.1/3 = 2/12 = 1/6 1/3
2/4 A
2/3 B 1/4 V
1/3 A
1/4
2/3 B A
3.5.2. A PROBABILIDADE DE OCORRER O EVENTO X NÃO DEPENDE DE Y
Se a ocorrência ou não de Y nada afetar a probabilidade de ocorrência de X, então, p(X/Y) = p(X). Neste caso, diz-se que X e Y são eventos independentes. Sendo p(XY) = p(X/Y) . p(Y) e p(X/Y) = p(X), segue que:
P(XY) = P(X) . P(Y) Vejamos os exemplos:
2) Numa caixa existem 4 bolas de gude, sendo duas Brancas, uma Verde e outra Azul. Retirando-se duas bolas, uma por vez, com reposição, pede-se determinar a probabilidade da segunda bola ser verde dado que a primeira saiu branca.
Solução:
As probabilidades correspondentes as retiradas da 2ª bola, indicadas nos “segundos ramos” dos “galhos”, se referem às probabilidades condicionais após a 1ª retirada. Vemos em destaque no diagrama que p(X/Y) = p(2ªbola verde/ 1ªbola branca)= p(X)=1/4.
O destaque nos mostra ainda que p(XY) = p(Y). p(X/Y) = p(Y). p(X).
3) Joga-se um dado e uma moeda. Qual a probabilidade de se obter “ponto 4” no dado e “cara” na moeda?
Solução:
Temos: ={1Ca, 1Co, 2Ca, 2Co, 3Ca, 3Co, 4Ca, 4Co, 5Ca, 5Co, 6Ca, 6Co}, n() =12. Y ponto 4 no dado = { 4Ca, 4Co }, n(Y) = 2
X cara na moeda = {1Ca, 2Ca, 3Ca, 4Ca, 5Ca, 6Ca }, n(X) = 6 XY = {4 Ca }, n(XY) = 1.
Logo, p(Y) = 2/12 e p(X) = 6/12
Note que sair “cara” na moeda independe do fato ter saído “ponto 4” no dado. Portanto, para se saber a probabilidade de ocorrer conjuntamente X e Y temos:
p(XY) = p(X) . p(Y) = 12
6 .
12 2
= 144
12 =
12 1
= 0,0833 ou 8,33% B
2/4
B 1/4 V : p(YX)= p(Y).p(X/Y)= 2/4.1/4 = 2/16 1/4
2/4 A
2/4 B 1/4 V
1/4 A
1/4
2/4 B A
3.5.3. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1) Lança-se um dado e uma moeda. Sejam os eventos: A: ocorre no dado um número maior do que 2 e B: ocorre número par no dado e cara na moeda. Pede-se:
a) p(A) b) p(B) c) p(AB) d) p(A/B) e) p(B/A)
Solução:
Temos: = {1Ca, 1Co, 2Ca, 2Co, 3Ca, 3Co, 4Ca, 4Co, 5Ca, 5Co, 6Ca, 6Co}, n()=12 A = {3Ca, 3Co, 4Ca, 4Co, 5Ca, 5Co, 6Ca, 6Co}, n(A)=8
B = {2Ca, 4Ca, 6Ca}, n(B)=3 AB = {4Ca, 6Ca} , n(AB)=2 Assim,
a) p(A) = (A) ( )
n
n =12
8 =
3 2
= 0,6666 b) p(B) = (B)
( )
n
n = 12
3 =
4 1
= 0,25
c) p(AB) = (A B) ( )
n n
= 12
2 =
6 1
= 0,1666 d) p(A/B) = (A B) (B) P P = 12 / 3 12 / 2 =2/3
e) p(B/A) = (A B) (A) P P = 12 / 8 12 / 2 = 8 2 = 4 1 = 0,25
2) Duas cartas são retiradas, sucessivamente, ao acaso de um baralho honesto com 52 cartas. Determine a probabilidade de ambas serem ases. Estude o problema:
a) com reposição da primeira carta no baralho e b) sem reposição da primeira carta no baralho.
Solução:
Sejam Y = { a primeira carta é um Ás} X = { a segunda carta é um Ás} a) com reposição
Neste caso, os eventos Y e X são independentes, a saída da segunda carta não depende do resultado da primeira. Assim,
p(XY) = p(X) . p(Y) = 52
4 .
52 4
= 0,0059 ou 0,59% b) sem reposição
Os eventos Y e X deixam de ser independentes, pois a saída de uma carta modifica a quantidade de cartas do baralho para a próxima retirada (diminuiu uma carta). Assim, p(XY) = p(Y) . p(X/Y) =
52 4
51 3
= 0,0045 ou 0,45%
3) Uma urna contém 7 bolas vermelhas e 3 bolas brancas. Três bolas são retiradas, sucessivamente, ao acaso e sem reposição. Determinar a probabilidade de que as duas primeiras bolas sejam vermelhas e a última seja branca.
Solução:
P(V)=7/10
V
p(V/V)=6/9V
p(B/VV)= 3/8B
Temos que p(V) é a probabilidade de sair bola vermelha na primeira retirada, p(V/V) de sair a segunda vermelha após ter ocorrido a primeira vermelha e p(B/VV) de sair a terceira branca após ter saído as duas vermelhas.O produto das probabilidades dos ramos do galho no dará p(V VB). Então, p(V VB) = p(V). p(V/V). p(B/VV) =
10 7 . 9 6 . 8 3 = 40 7 ou 17,50%
4) Uma caixa contém 8 bolas vermelhas, 3 brancas e 9 azuis de mesmo tamanho.
Extraindo-se ao acaso, sucessivamente, 3 bolas sem reposição, qual a probabilidade de: a) ocorrer uma bola de cada cor? (não especifica a ordem de retirada)
b) ocorrer ao menos uma bola branca? Solução:
a) Vamos supor, inicialmente, que ocorra a 1 bola vermelha, a 2 bola branca e a 3 Azul. A probabilidade de que ocorra nesta ordem é:
p(VBA) = p(V) p(B/V) p(A/VB) =
20 8 19 3 18 9 = 95 3
A probabilidade é a mesma para toda ordem de saída das três cores, pois só permutam os numeradores dos fatores do produto indicado. Assim, o número de possibilidades de saída é P3= 3! = 6 modos. Logo,
p( sair uma de cada cor) = (P3 ) . p(VBA) = 6 . 95
3 =
95 18
ou 18,95% Outra resolução:
p( sair uma de cada cor) =
3 , 20 1 , 9 1 , 3 1 , 8 C C C C = 95 18
(20 é o número de bolas da caixa)
b) Consideremos B ocorre pelo menos uma bola branca, logo, B não ocorre bola branca nas três extrações. Assim:
p( B ) = p (B B B) = p ( B ). p( B / B ) . p( B / B B ) = = 17/20 . 16/19 . 15/18 = 34/57
Como p(B) = 1 p(B ), segue que p(B) = 134/57 = 23/57 ou 40,35%. Outra resolução:
p(sair pelo menos uma branca) = 1 3,0 17,3 20,3
C C
C = 23
57 (20 é o número de bolas da caixa)
5) Duas pessoas atiram ao mesmo tempo em uma caça. Sabendo-se que a primeira pessoa tem 80% de chance de acertar e a segunda tem 70% , qual a probabilidade de :
a) a caça não ser atingida ? b) a caça ser atingida? Solução:
Os eventos são independentes, pois o fato de uma pessoa acertar o tiro não implica que a outra deva errar ou acertar também.
a) p(a caça não ser atingida) = p( A B ) = p( A ) . p( B ) = 0,2 . 0,3 = 0,06. b) Sabemos que p(AB) = 1p(A B ) e p(A B ) = p( A B ).
Assim, p(AB) = p(a caça ser atingida) =1 p(A B ) = 1 p( A ).p( B ) = 1 0,06 = 0,94
Outra resolução o item b): p(AB) = p(A) + p(B) p(AB) = p(A) + p(B) – p(A).p(B) = 0,8 + 0,7 – 0,8 . 0,7 = 0,94.
6) Num certo colégio, 2% dos homens e 5% das mulheres usam óculos. 40% dos estudantes são mulheres. Um estudante é escolhido ao acaso e usa óculos. Qual a probabilidade de que seja homem?
Solução:
Seja A estudante usa óculos
A : p(HA) = 0,012 0,02
H
0,6 0,98 A
A : p(MA) = 0,02 0,4 0,05
M
0,95 A
Temos que p(A) = p(HA) + p(MA) = 0,012 + 0,02 = 0,032 Logo, p(H/A) = (H A)
(A)
p p
= 0,012 0,032 =
3
8 ou 37,5%.
--- EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 3.3
1) Em certa região brasileira ocorreu 6 anos de seca em um período de 66 anos. Qual a probabilidade de serem secos os 3 próximos anos? R: 0,075 %
2) Num certo rio, a probabilidade de ocorrer, em um ano, uma enchente que alaga a vizinhança é 2%. Qual a probabilidade de :
a) não ocorrer enchente nos próximos 3 anos? R: 94,12%
b) ocorre pelo menos uma vez enchente no próximos 3 anos? R: 5,88%
E C3
C4 C1 C2
4) Um lote é formado por 20 peças defeituosas e 80 perfeitas. Se pegarmos, sucessivamente, ao acaso, duas peças e considerarmos que a primeira é defeituosa, qual a probabilidade da segunda também ser defeituosa, considerando:
a) sem reposição? R: 19/495 b) com reposição? R: 1/25
5) São retiradas duas cartas de um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade de serem dois reis? Estudar o problema:
a) sem reposição de carta no baralho. R: 0,45% b) Com reposição de carta no baralho R: 0,59%
6) As probabilidades de três jogadores A,B e C marcarem um gol quando cobram um pênalti são 2/3, 4/5 e 7/10, respectivamente. Se cada um cobrar uma vez, qual a probabilidade de que pelo menos um marque um gol? R: 49/50
7) Uma industria possui duas maquinas que produzem parafusos. A máquina A é responsável por 40% da produção diária e a máquina B por 60%. A produção de A tem 20% de defeitos e a de B tem 10%. Toma-se ao acaso um parafuso e vê-se que não tem defeitos. Qual é a probabilidade que tenha sido fabricado pela máquina A ? R: 16/43 ---
3.6. TEOREMA DE BAYES
Vamos utilizar o diagrama abaixo para entender de forma particular o teorema de Bayes.
Os eventos C1, C2 , C3 e C4 constituem uma partição do espaço amostral e o evento E, E, tem interseção com algumas das partes Ci , i=1,2,3,4, não todas vazias. Ao dizer que um conjunto de eventos Ci , i=1,2,3,4 forma uma partição de deseja-se informar que a união deles é e que dois a dois as suas interseções são vazias. Conhecendo-se p(Ci) e p(E / Ci) , i=1,2,3,4, o problema que se apresenta é o de encontrar:
1º) p(E): probabilidade do evento E e
Solução:
1º) Obter p(E).
O fato de C1, C2 , C3 e C4 constituírem uma partição do espaço amostral , segue que suas interseções com E são eventos mutuamente exclusivos, isto é,
( ECi ) (ECj ) = , ij, i=1,2,3,4 e j=1,2,3,4 e, netas condições,
(EC1 ) (EC2 ) ( EC3) (EC4 ) = E [C1C2 C3 C4 ] = E = , e, assim,
E = (EC1 ) (EC2 ) ( EC3) (EC4 ).
Utilizando o conceito de probabilidade de união de eventos descrita em exercícios de aplicação 3.1.(2d), segue que
p(E) = p(EC1 ) + p(EC2 ) + p( EC3) + p(EC4 ).
Aplicando a regra do produto nas interseções, em 3.5, tem-se
p(E) = p(C1).p(E / C1) + p(C2).p(E / C2) + p(C3).p(E / C3) + p(C4).p(E / C4), logo,
p(E) = 4
1
p(C ).p(E / C )i i
i
.2º) Obter p(Cj / E) para algum j {1, 2,3, 4}
Temos, pela definição de probabilidade condicional, que j
j
p(C E) p(C / E)
p(E)
e esta relação é equivalente a
j j j
p(C ). (E / C ) p(C / E)
p(E)
p
Substituindo p(E), obtido na questão 1º) acima, segue que
j j j 4
i i 1
p(C ). (E / C ) p(C / E)
p(C ).p(E / C )
i
p
, j {1, 2,3, 4} .Generalizando: Teorema de Bayes
“ Sejam os eventos C1, C2 , C3 ... Cn que formam uma partição do espaço amostral
j j j
i i 1
p(C ). (E / C ) p(C / E)
p(C ).p(E / C )
n
i
p
, j {1, 2,3,..., } n . Exemplo prático:Imagine que C1, C2 , C3 e C4 sejam caixas que contêm bolas de gude, conforme descreve a tabela abaixo. O espaço amostral é formado pelas bolas contidas nas caixas, as quais constituem a sua partição. Seja E o evento formado pelas bolas de cor branca (B) de .
Cores C1 C2 C3 C4 Branco (B) 2 3 1 0 Azul (A) 3 1 0 0 Verde (V) 0 0 2 4
Temos da tabela que p(C1) = p(C2) = p(C3) = p(C4) = 1/4 e p(E/C1)= 2/5, p(E/C2)= 3/4, p(E/C3)= 1/3 e p(E/C4)= 0.
Questões:
a) Escolhendo-se ao acaso uma caixa e dela retira-se (também ao acaso) uma bola. Qual é a probabilidade de ser branca?
Solução: Queremos p(E), onde E é o evento “sair bola branca” Considerar a árvore de probabilidades conforme a tabela acima:
A probabilidade de retirar bola branca é:
A probabilidade de retirar uma bola branca é:
2/5 B : p(C1B) = 1/4 . 2/5 = 2/20
C1 3/5 A
0 V 1/4
3/4 B : p(C2B) = 1/4 . 3/4 = 3/16
C2 1/4 A
1/4
0 V
1/4 B : p(C3B) = 1/4 . 1/3 = 1/12
1/3
C3 0 A
2/3 V 1/4
B : p(C4B) = 1/4 . 0 = 0
0
C4 0 A
1
p(E) = p(C1B) + p(C2B) + p(C3B) + p(C4B)= 2/20 + 3/16 + 1/12 + 0 = 0,3708
Nota: Outro modo de entender p(E)
p(E) = p(C1).p(B/ C1) + p(C2).p(B/ C2) + p(C3).p(B/ C3) + p(C4) p(B/ C4) =
= 1/4 . 2/5 + 1/4 . 3/4 + 1/4 . 1/3 + 1/4 . 0 = 89/240 = 0,3708
b) Sabe-se que foi retirada, ao acaso, uma bola branca. Qual é a probabilidade da bola ter saído da caixa C3 ? (Bayes)
Solução:
Queremos p(C3 / E).
Temos que p(C3 / E) = p(C3 E)
p(E)
= p(C3 B)
p(E)
= 1/12
89 / 240 = 20
89 = 0,2247.
--- EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 3.4
1) Uma caixa A contém 3 moedas de ouro e 2 de prata e outra B, 2 moedas de ouro e 4 de prata. Escolhe-se ao acaso uma das caixas e retira-se uma moeda.
a) qual é a probabilidade de que seja moeda de ouro? R. 28/60 b) qual é a probabilidade de que seja moeda de prata? R. 8/15
c) qual a probabilidade de que seja de prata, sabendo-se que foi extraída da A?R.2/5 d) sabendo-se que a moeda retirada é de prata, pede-se a probabilidade de que tenha saído de A. R. 3/8
2) Sabe-se que 75% dos funcionários de uma empresa são homens e deles 20% trabalham com vendas. 30% das mulheres trabalham em produção.
Considerar: H: homem, M: mulher, V: vendas e P: produção. Pede-se:
a) p(HV) R. 0,15 b) p(V / H) R. 0,2 c) p(P / M) R. 0,3 d) p(V) R. 0,325 e) p(HV) R. 0,925 f) p(H / V) R. 0,4615 g) p(M /V) R. 0,5385
