A GEOMETRIA DEDUTIVA EM LIVROS DIDÁTICOS DAS
ESCOLAS PÚBLICAS DO ESTADO DE SÃO PAULO PARA
O 3
ºE 4
ºCICLOS DO ENSINO FUNDAMENTAL
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
PUC/SP
São Paulo
A GEOMETRIA DEDUTIVA EM LIVROS DIDÁTICOS DAS
ESCOLAS PÚBLICAS DO ESTADO DE SÃO PAULO PARA
O 3
ºE 4
ºCICLOS DO ENSINO FUNDAMENTAL
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para obtenção do título de MESTRE EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, sob a orientação do
Prof. Dr. Saddo Ag Almouloud.
PUC/SP
São Paulo
Banca Examinadora
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______________________________
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Foram várias as pessoas que colaboraram na realização deste trabalho, seja direta ou indiretamente. A todas essas pessoas, meus sinceros agradecimentos. Presto meus agradecimentos especiais:
Ao meu esposo Miguel, parceiro na realização dos mais importantes sonhos de minha vida.
Ao meu filho Jonas, minha maior alegria e com quem mais aprendo.
Aos meus pais e irmãos, pelo exemplo de perseverança, fé e honestidade.
Ao meu orientador. Prof. Dr. Saddo Ag Almouloud, pela confiança, autonomia e, sobretudo por contribuir com minha formação de pesquisadora.
Aos professores doutores Maria Ângela Miorim e Wagner Rodrigues Valente, pelas valiosas observações realizadas no Exame de qualificação.
Aos amigos Eliana, Leila, Gustavo e João, companheiros nas horas de estudo.
Aos funcionários da biblioteca da PUC-SP – Matemática, que tiveram a paciência em auxiliar na tarefa de levantamento dos livros didáticos analisados na pesquisa.
Aos professores Ricardo e Alda, pelos trabalhos de traduções e de revisão do texto.
À equipe da direção, coordenação e secretaria da Escola Estadual Barão de Jundiaí, pelo incentivo e compreensão.
LISTA DE FIGURAS...8
RESUMO...9
ABSTRACT...10
INTRODUÇÃO...11
CAPÍTULO 1 ESTUDOS PRELIMINARES...13
1.1 Definição das formas de raciocínio, indução e demonstração e de sistema lógico...13
1.2 A história da demonstração e dos sistemas dedutivos geométricos...14
1.2.1 A história da origem da demonstração...14
1. 2.2 A história dos sistemas dedutivos geométricos...17
1. 3 Estudo histórico da Educação Matemática...20
CAPÍTULO 2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICO-METODOLÓGICA...26
2.1 Metodologia da pesquisa...26
2.1.1 A pesquisa documental como metodologia para a coleta de dados...26
2.1.2.A pesquisa bibliográfica para estudar o ensino-aprendizagem da Geometria dedutiva...26
2.2 A história das disciplinas e a noção de “vulgata escolar”...27
2.3 A classificação das Geometrias proposta por Parsysz...29
2.4 A Organização Praxeológica...31
CAPÍTULO 3 APRESENTAÇÃO DA PESQUISA...33
3.1 A relevância do tema...33
O ENSINO-APRENDIZAGEM DA GEOMETRIA DEDUTIVA - CATEGORIZAÇÃO
DE ANÁLISE...37
4.1 Categoria 1: Articulação entre G1–Geometria Spatio-gráfica e G2–Geometria Proto-axiomática em validações de propriedades geométricas...37
4.2 Categoria 2: Análise dos exercícios para apreensão das propriedades geométricas, seguindo uma Organização Praxeológica...44
4.3 Categoria 3: Articulação dos registros de representação semiótica mobilizados em uma demonstração geométrica...50
CAPÍTULO 5 ANÁLISE DAS COLEÇÕES DE LIVROS DIDÁTICOS DO INÍCIO DA DÉCADA DE 1990...53
5. 1 Análise da Coleção 1: A conquista da Matemática...53
5. 2 Análise da Coleção 2: Matemática e Realidade...60
5. 3 Análise da Coleção 3: Matemática na Medida Certa...67
CAPÍTULO 6 ANÁLISE DAS COLEÇÕES DE LIVROS DIDÁTICOS DO INÍCIO DA DÉCADA DE 2000...75
6. 1 Análise da Coleção 1: Novo Praticando Matemática...75
6. 2 Análise da Coleção 2: Idéias e Relações...85
6. 3 Análise da Coleção 3: Tudo é Matemática...96
CONCLUSÕES...109
BIBLIOGRAFIA...122
APÊNDICE - RELAÇÃO DAS COLEÇÕES DE LIVROS DIDÁTICOS A SEREM ANALISADOS...126
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1 - Classificação de Geometrias proposta por Parsysz (2000)...30
FIGURA 2 – Círculos de Euler para representar correlações entre conceitos...40
FIGURA 3 – Círculos de Euler para representar correlações entre conceitos...41
FIGURA 4 – Falsa evidência da figura apresentada por Fetissov (1997)...42
RESUMO
Esta pesquisa tem o objetivo de analisar o ensino da Geometria dedutiva nos livros didáticos do 3o. e 4o ciclos do Ensino Fundamental mais utilizados nas
escolas públicas do Estado de São Paulo, desde a década de 1990 até os dias atuais.
Segundo Chervel (1990), uma tendência de abordagem apresentada nos manuais pedagógicos se estabelece após mudanças importantes na história da educação. Nesta última década, uma mudança significativa na história da Educação Matemática brasileira foi a implantação do Programa Nacional do Livro Didático (PNLD), em 1995. Assim, definimos para a nossa pesquisa dois períodos de análise: o início dos anos 1990 e o início dos anos 2000, períodos anterior e posterior, respectivamente, a essa implantação. Nossas questões de pesquisa versam sobre como, em cada época, as coleções de livros didáticos acompanharam as discussões da Didática da Matemática no que se refere ao ensino-aprendizagem da Geometria dedutiva e sobre as diferenças dessas apropriações nas duas épocas.
Os resultados de nossa pesquisa sobre as coleções analisadas dos anos 1990 fornecem indícios de uma abordagem para a Geometria dedutiva em que as demonstrações são apresentadas aos alunos seguidas de exercícios apenas de aplicação, revelando um ensino prático para a Matemática.
Os resultados da análise das coleções dos anos 2000 indicam otimismo em relação ao ensino da Geometria dedutiva. Para estudar as propriedades geométricas, além dos exercícios de aplicação, solicitam-se aos alunos validações empíricas e dedutivas, o que caracteriza um enfoque heurístico, conforme definição de Lakatos (1976). Entretanto, cumpre fornecer caminhos para que os alunos se apropriem do raciocínio dedutivo em Geometria, segundo recomendações baseadas em estudos de teóricos da Didática da Matemática, atendidas apenas parcialmente nas coleções analisadas das duas épocas.
ABSTRACT
This study aims at analysing the teaching process of Deductive Geometry in school-books prepared to the 3rd and 4th cycles of Ensino Fundamental (from the 1st to the 8th degrees – students usually from 7 to 15 years) used in state-run schools in Sao Paulo State from the 1990s to the present day.
According to Chervel (1990), after an important change in the history of Education there follows a trend in the approach chosen for pedagogical handbooks. In the past decade, a significant change in the history of Brazilian Education concerning Mathematics was the implementation of Programa Nacional do Livro Didático – National Programme for School Textbooks (PNLD), in 1995. That made us separate two periods for the purpose of analysis in our study: the early 1990s and the early 2000s – periods respectively before and after this implementation. Our queries turned on how, in each period, school-books were close to the debates of Mathematical Didactics about the teaching-learning process of Deductive Geometry and on how the differences of views for each period took place.Results for the selected book sets printed in 1990s show signs of the Deductive Geometry approach in which demonstrations are presented to students and followed only by application exercises, typifying a practical teaching of Mathematics.
Results for the selected book sets printed in the 2000s point to an optimistic view regarding the teaching of Deductive Geometry. In order to study Geometry properties, besides application exercises, students were asked to do the empirical and deductive validations, which typifies heuristic approach, according to Lakato’s definition (1976). However, it is fundamental to show students the ways to master deductive reasoning in Geometry, as recommended by the theoretical studies of Mathematical Didactics, only partially attended to in the book sets analysed for the two given periods.
INTRODUÇÃO
Ao ingressar no curso de Mestrado em Educação Matemática da PUC-SP, em 2003, fui convidada a participar do Projeto “Problemas envolvendo uma apreensão significativa da Geometria, via demonstração”. Esse projeto, por sua vez, é parte de outro – “Criação de núcleo-embrião de ensino-aprendizagem e pesquisa em Educação Matemática no Ensino Fundamental em escolas públicas de São Paulo” –, ambos sob coordenação de meu orientador, o Prof. Dr. Saddo Ag Almouloud. A partir daí, iniciei a pesquisa sobre o tema ensino da Geometria
dedutiva no Ensino Fundamental brasileiro para desenvolver minha dissertação.
Como professora de Matemática de uma escola da rede de ensino do Estado de São Paulo, dois fatos chamaram a minha atenção quanto ao ensino da Geometria dedutiva. O primeiro foi quando preparava o meu planejamento de curso para a 8a. série do Ensino Fundamental, no início de 2004. Para isso, pesquisei algumas coleções de livros didáticos e constatei uma considerável variedade de enfoques para a Geometria dedutiva. Em reunião com os outros professores da escola para definir o planejamento, minha proposta de intercalar os conteúdos de Geometria ao longo do ano causou-lhes espanto e provocou resistência. Com a minha insistência, relevando a importância do aspecto visual da Geometria, ouvi o seguinte comentário de um dos presentes: “Um pouco de Geometria, tudo bem, mas demonstração, não!”.
Outro fato que me chamou a atenção foi durante uma discussão entre professores sobre o exame de Matemática do último concurso para provimento de cargos de professores para o Ensino Fundamental e Médio do Estado de São Paulo, realizado em novembro de 2003. Nessa prova, uma questão apresentava uma demonstração geométrica e solicitava explicações das suas passagens. As explicações eram simples, versavam sobre congruência de ângulos opostos pelo vértice e de triângulos. Um dos professores declarou que, ao perceber que se tratava de demonstração, tratou logo de pular a questão e usar o precioso tempo para outra questão mais prática e fácil.
propomo-nos a estudar o ensino da Geometria dedutiva no 3º e 4º ciclos do
Ensino Fundamental, realizando uma análise didática de livros didáticos. A pesquisa foi organizada do seguinte modo:
No primeiro capítulo, realizamos os Estudos Preliminares: a definição das formas de raciocínio, indução e demonstração e de sistemas lógicos; a história da demonstração e dos sistemas dedutivos geométricos e o estudo histórico da Educação Matemática.
No segundo capítulo, apresentamos a fundamentação teórico-metodológica utilizada.
No terceiro capítulo, apresentamos a pesquisa, destacando a relevância do tema e o problema de pesquisa.
No quarto capítulo, apresentamos uma pesquisa bibliográfica sobre o ensino-aprendizagem da Geometria dedutiva para o Ensino Fundamental, a partir de teorias da Didática da Matemática, no intuito de estabelecer as categorias de análise dos livros didáticos.
No quinto capítulo, apresentamos a análise dos livros didáticos referentes ao início dos anos 1990, período influenciado pelo declínio do Movimento da Matemática Moderna no Brasil e pelas teorias da Didática da Matemática.
No sexto capítulo, apresentamos a análise dos livros didáticos referentes ao início dos anos 2000, período influenciado pelas teorias da Didática da Matemática e, no Brasil, pelos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) e pelo Programa Nacional do Livro Didático (PNLD).
CAPÍTULO 1
ESTUDOS PRELIMINARES
1. 1 Definição das formas de raciocínio, indução e demonstração e de sistema lógico
Inicialmente, explicamos o sentido das formas de raciocínio, indução e demonstração que utilizamos neste trabalho.
Fetissov (1997) chama de indução o método de obtenção de conclusões gerais por meio do exame de numerosos casos particulares.
Recorremos a Balacheff (1987) para definir demonstração. O autor afirma que muitas vezes as expressões explicação, prova e demonstração são tomadas como sinônimos, embora ele as distinga, como descrito a seguir:
Chama-se explicação um discurso visando tornar inteligível o caráter de verdade, adquirido pelo locutor, de uma proposição ou de um resultado.
Chama-se prova uma explicação aceita por uma comunidade dada em um momento dado. Esta decisão pode ser o resultado de um debate cuja significação é a exigência de determinar um sistema de validação comum aos interlocutores.
Chama-se demonstração uma prova que só pode ser aceita no
seio da comunidade matemática. Ela é uma seqüência de enunciados organizada segundo regras determinadas. Um enunciado é considerado como verdadeiro, ou é deduzido daqueles que o precedem com a ajuda de uma regra de dedução tomada em um conjunto de regras bem definido.
(BALACHEFF, 1987, p. 147-149, tradução e grifos nossos).
Balacheff afirma ainda que a diferenciação desses conceitos coloca em relevo as dimensões sociais da demonstração como resultado de um processo particular de prova.
Segundo Polya (1977), num sistema lógico, os axiomas, as definições e as proposições não estão relacionados em seqüência aleatória, mas dispostos em perfeita ordem. Cada proposição está de tal maneira situada que ela pode basear-se nos axiomas, definições e proposições que a precedem.
Assim, um sistema geométrico compõe-se de um número relativamente pequeno de verdades fundamentais ou postulados, obtidos por indução e aceitos sem demonstração, decorrendo as demais verdades geométricas desses postulados através de deduções. É por isso que se considera a Geometria uma ciência fundamentalmente dedutiva. (FETISSOV, 1997, p 21).
Ora, o sistema da Geometria está cimentado por
demonstrações...Em suma, se a educação pretende incutir no estudante a noção de sistema lógico, deve reservar um lugar para as demonstrações geométricas. (POLYA, 1977, p. 116).
1. 2 A história da demonstração e dos sistemas dedutivos geométricos
No intuito de esclarecer os termos sobre a Geometria dedutiva utilizados neste trabalho e de torná-los significativos, neste item realizamos um estudo histórico da demonstração e dos sistemas dedutivos geométricos.
1. 2. 1 A história da origem da demonstração
Neste item, apresentamos um estudo histórico da origem da demonstração.
Utilizamos as considerações de Domingues (2002) sobre a demonstração entre os povos antigos. Para o autor, por vários milênios, a Matemática se desenvolveu sem se valer do método dedutivo. A Matemática babilônica e a egípcia, por exemplo, não se basearam em nenhuma estrutura axiomática que pudesse servir de garantia para a validade dos procedimentos práticos de que essencialmente se compunham. O critério de confiabilidade das regras e procedimentos usados era simplesmente a concordância com a realidade a que se destinavam, o que também pode ser tomado como uma idéia de verdade de Matemática.
sucessores perceberam a necessidade de um método estritamente racional. Mas, segundo o mesmo autor, recentemente se argüiu contra essa tese, afirmando que a Matemática do século VI a.C. era muito primitiva para admitir tal contribuição. Os que sustentam essa opinião às vezes se referem aos argumentos de Zenão de Eléia (c. 450 a.C.) e Hipaso de Metaponto (c. 470 a.C.). Como possível inspiração para o método dedutivo, os argumentos de Zenão parecem ter influenciado profundamente o desenvolvimento da Matemática grega, influência comparável à da descoberta dos incomensuráveis, com a qual talvez se relacione. Certamente, as dúvidas e problemas levantados seriam um campo fértil para a dedução e não seria absurdo considerar o fim do V século a.C. como o início da forma racional dedutiva.
Segundo o mesmo autor, outras sugestões de historiadores indicam que as causas da forma dedutiva da Matemática encontram-se fora dela. Uma, por exemplo, vê no desenvolvimento sociopolítico das cidades-estado da Grécia o surgimento da dialética e a conseqüente exigência de base racional para a Matemática e outros estudos. Outra sugestão um tanto semelhante é que a dedução pode ter provindo da lógica, nas tentativas de convencer um oponente de uma conclusão, procurando premissas das quais a conclusão segue necessariamente.
A esse respeito, afirma Struik (1985) que um dos modos de estudar a história da Matemática e da ciência em geral é considerar o seu lado social, ou seja, a relação do conhecimento com a sociedade e cita, como exemplo, que o aparecimento da demonstração em Matemática foi contemporâneo ao aparecimento da cidade-estado grega.
Arsac (1987) apresenta um estudo da gênese histórica da demonstração. Alegando haver carência de fontes históricas, o autor utiliza conceitos desenvolvidos da didática para ajudar a esclarecer essa gênese e, em seu trabalho, focaliza a época da passagem da prova para a demonstração, adotando a definição desses termos apresentada por Balacheff (1987), citadas no início deste capítulo. Para isso, o autor considera dois pontos de vista: o externalista e o internalista, explicados a seguir.
hipotético-dedutiva seria a aplicação das regras do debate argumentado que governavam a vida política na cidade grega.
O ponto de vista internalista sugere que a demonstração surgiu da necessidade de solução de um problema interno da Matemática: o problema da irracionalidade, da incomensurabilidade, que, segundo os historiadores, é contemporâneo à aparição da demonstração, também no V século a.C. Esse ponto de vista é sustentado por Caveing.
Arsac (1987) faz uma análise das ligações entre a irracionalidade e a demonstração e descreve o que acredita ser o prólogo da demonstração: o Pitagorismo. O autor considera as características no campo matemático do pensamento pitagórico e do método da antiferese, usado para determinar a alíquota comum entre dois segmentos. Havia o obstáculo da incomensurabilidade entre o lado e a diagonal do quadrado e do pentágono. No campo aritmético, descreve-se a dificuldade de obter a raiz de alguns números e as ternas pitagóricas, correspondentes aos lados de triângulos retângulos isósceles.
Segundo Eves (1995), a descoberta dos números irracionais foi surpreendente e perturbadora para os pitagóricos. Em primeiro lugar, porque parecia desferir um golpe mortal na filosofia pitagórica, segundo a qual tudo dependia dos números inteiros e de razões entre eles. Além disso, parecia contrária ao senso comum, pois, intuitivamente, havia o sentimento de que toda grandeza poderia ser expressa por algum número racional. A contrapartida geométrica era igualmente espantosa, pois ninguém poderia duvidar que, dados dois segmentos de reta, sempre seria possível encontrar um terceiro segmento de reta, talvez muito pequeno, que coubesse exatamente um número inteiro de vezes em cada um dos dois segmentos dados.
Arsac (1987) conclui que, por volta do século V a.C., se caracterizou a busca da superação desse obstáculo interno à Matemática – o problema da irracionalidade e da incomensurabilidade – e que esses problemas só foram superados com a ajuda de um aporte externo. Apoiando-se em Szabo, o autor afirma que é inconcebível que a recusa do empirismo e o emprego da demonstração pelo absurdo tenham aparecido espontaneamente entre os gregos. Mas a esse argumento de razão se juntou o fato histórico de que tais atitudes eram características da filosofia eleata, baseada no pensamento dos filósofos Zenão e Parmênide de Eléia (c. 450 a.C.) e na lógica do terceiro excluído. O autor explica também que existem boas razões para que o problema da irracionalidade e o raciocínio por absurdo tenham aparecido no âmbito grego e não em outros lugares, seguindo comparação das culturas grega, chinesa e indiana. O raciocínio por absurdo não foi utilizado na Matemática chinesa e indiana até por volta do século XIV.
Arsac (1987) conclui que a demonstração surgiu na Grécia, no V século a. C., e que uma síntese entre o ponto de vista internalista e externalista é a mais verossímil: a transformação da Matemática em ciência hipotético-dedutiva, que envolve o emprego da demonstração e de axiomas, levou à superação da contradição associada ao problema da irracionalidade, mas a solução escolhida está ligada à influência da sociedade grega.
1. 2. 2 A história dos sistemas dedutivos geométricos
Neste item, apresentamos um estudo histórico da evolução da demonstração e dos sistemas dedutivos geométricos.
Domingues (2002) afirma que a crise da Matemática grega, devida à demonstração da irracionalidade, deixa claro que a idéia de utilizar encadeamentos articulados mediante raciocínios lógicos para o desenvolvimento da Matemática já era realidade nessa época. Mas o mesmo autor pondera que, para chegar ao método postulacional, com vistas à criação de sistemas matemáticos os mais amplos e confiáveis possíveis, faltava uma estruturação preliminar composta de noções básicas, postulados e definições.
organizar logicamente a Geometria num sistema dedutivo, a partir de umas poucas noções básicas e definições iniciais. Essas tentativas culminaram no século III a. C. com Os Elementos, de Euclides - uma compilação da Matemática elementar da época.
Polya (1977) considera a disposição ordenada das proposições o maior sucesso de Euclides e o seu sistema lógico o maior mérito dos Elementos.
Fetissov (1997) também considera a obra de Euclides o primeiro dos sistemas dedutivos e, por mais de dois milênios, seu modelo por excelência.
Boyer (1974) descreve Os Elementos como uma obra dividida em treze livros ou capítulos, dos quais versam os primeiros seis sobre Geometria plana elementar, os três seguintes sobre teoria dos números, o livro X sobre incomensuráveis e os últimos três principalmente sobre Geometria no espaço. Não há introdução nem preâmbulo e o primeiro livro começa abruptamente com uma lista de vinte e três definições. Em seguida às definições, Euclides dá uma lista de cinco postulados e cinco axiomas (ou noções comuns).
Segundo Fetissov (1997), ainda hoje, o ensino de muitas partes da Geometria na escola média reflete a influência do sistema geométrico de Euclides.
De acordo com Domingues (2002), no modelo dedutivo utilizado por Euclides, possivelmente inspirado em Aristóteles, não há conceitos primitivos. Todos os objetos geométricos a estudar, mesmo os mais intuitivos, são explicitamente definidos. Efetivamente, o objetivo de Euclides não era apenas apresentar formalmente os objetos iniciais de seu discurso, mas também garantir que eles correspondiam a uma realidade ligada à experiência e expectativa do leitor. Os postulados que se seguiam, por sua vez, tinham caráter de auto-evidência. Por essas razões, as axiomáticas como a usada por Euclides nos
Elementos, calcadas de alguma maneira na evidência e na experiência, vieram a
ser conhecida como axiomáticas materiais.
O autor afirma ser natural que uma obra em evidência por tantos séculos não escapasse de inúmeras análises e críticas ao longo do tempo, que revelaram uma série de falhas lógicas.
Destituiu-se a convicção secular de que só era possível uma única Geometria e abriu-se caminho para a criação de muitas outras. Com a possibilidade de criar essas Geometrias puramente “artificiais”, tornou-se evidente que a Geometria não está necessariamente ligada ao espaço físico. Os postulados da Geometria tornaram-se, para o matemático, meras hipóteses, cuja verdade ou falsidade físicas não lhe dizem respeito. Enquanto na axiomática material costumava-se pensar nos objetos que representam os conceitos primitivos de um discurso axiomático como conhecidos antes dos postulados, agora os postulados passaram a ser considerados anteriores à especificação dos conceitos primitivos. Esse novo ponto de vista do método axiomático tornou-se conhecido como
axiomática formal, em oposição à anterior axiomática material.
Segundo o mesmo autor, a axiomática formal foi desenvolvida sistematicamente pela primeira vez por David Hilbert (1862-1943), no seu famoso
Fundamentos da Geometria, de 1899. Esse pequeno livro, que alcançou nove
edições, é hoje um clássico dessa área. Escorado pela grande autoridade desse autor em Matemática, o trabalho implantou firmemente o método postulacional da axiomática formal não só no campo da Geometria como também em quase todos os ramos da Matemática do século XX.
Recorremos à citação de Struik para ressaltar o trabalho de Hilbert:
...há ocasiões em que alguma coisa realmente grande surge de estudos de registros de casos passados. O mais conhecido é o trabalho de Hilbert sobre os fundamentos axiomáticos da geometria, baseado na busca dos pontos fortes e fracos dos
Elementos de Euclides e na investigação – quando necessária até mesmo assimilação – de outras contribuições através dos tempos, desde Arquimedes, Pappus até Pascal e Pasch. Nesse caso uma parte quase fossilizada da matemática foi recriada com uma nova e esplêndida vida.(Struik, 1985, p. 199).
Fetissov (1997) também salienta que Hilbert, com seu magistral
Fundamentos da Geometria, construiu formalmente, evitando as armadilhas da
Segundo Eves (1995), no fim do século XIX, Hilbert e outros formularam o conceito de axiomática formal e desenvolveram a idéia de um ramo da Matemática como um corpo abstrato de teoremas deduzidos de um conjunto de postulados. Cada Geometria tornou-se, sob esse ponto de vista, um ramo particular da Matemática. Conjuntos de postulados para uma ampla variedade de Geometrias foram estudados.
Fetissov (1997) afirma que, embora muito já tenha sido feito, o trabalho dos geômetras em construir sistemas geométricos aprimorados continua nos dias de hoje.
1. 3 Estudo histórico da Educação Matemática
Nesse item apresentamos uma síntese da história da Educação Matemática desde o início do século XX.
Descrevemos um panorama mundial das mudanças significativas deste período e de suas repercussões no Brasil, procurando enfocar como o ensino da Geometria foi abordado. Para esse estudo, utilizamos trabalhos sobre Educação Matemática de Miorim (1998), Vianna (1988), Pavanello (1993), Pires (1995) e Pires(2004), que são referenciados no decorrer da descrição.
Miorim (1998) explica que o primeiro movimento de modernização internacional da Matemática aconteceu no início do século XX, influenciado pelas idéias de Félix Klein (1849-1925) e tinha por objetivo principal diminuir o descompasso entre os estudos científico-tecnológicos e o ensino da Matemática clássica, euclidiana, desenvolvido por escolas de nível secundário. Até então, desde muitos séculos, apresentava-se aos alunos desse nível de ensino uma Matemática “tradicional”, a antiga Matemática grega euclidiana. Segundo Vianna (1988) os livros didáticos, em sua grande maioria, faziam todas as demonstrações e ao final de cada capítulo, era comum encontrar uma lista para provar os teoremas. Os alunos, muitas vezes, eram obrigados a memorizar as demonstrações. Nessa época, os teoremas eram apresentados aos alunos em ordem numérica dentro de uma cadeia lógica. Então, a Geometria era apresentada como um sistema lógico-dedutivo.
época estava bem avançada, na fase de fundamentação do que já havia sido verificado empiricamente e estruturada pela teoria dos conjuntos.
Segundo a autora, essa “moderna Matemática” apresentava alto nível de generalidade, elevado grau de abstração e maior rigor lógico, podendo ser identificada com as estruturas e a axiomatização. Foi influenciada pelo desenvolvimento das Geometrias não-euclidianas de Gauss (1777-1855), Lobatchevski (1792-1856) e Bolyai (1802 – 1860) e pelas axiomatizações da Geometria de Euclides realizadas, sobretudo por Hilbert (1862-1943), com sua obra Fundamentos da Geometria, publicada em 18991. Também influenciaram
essa “moderna Matemática” o desenvolvimento da lógica, as extensões da noção de número e o aparecimento da álgebra “abstrata”. Os elaboradores dessa primeira reforma, porém, optaram por uma proposta de modernização modesta, não introduzindo os últimos avanços da Matemática na escola secundária, mas alguns elementos mais atuais, considerando uma continuidade para o desenvolvimento de outros estudos no curso superior. Os elaboradores dessa reforma também alertaram para os perigos da formalização excessiva no ensino. Por exemplo, Felix Klein fez restrições com relação à introdução dos conceitos da teoria dos conjuntos e defendeu o estudo dos grupos apenas no ensino superior.
Então, esse movimento modernizador para o ensino de Matemática nas escolas secundárias do início do século XX procurou, como elementos fundamentais para a elaboração de sua proposta, a intuição (os estudos formais deveriam acontecer apenas após um trabalho intuitivo dos conceitos), as aplicações práticas da Matemática a outras áreas do conhecimento e a articulação entre os vários ramos da Matemática, utilizando, como elemento unificador, o conceito de função.
No Brasil, as idéias desse primeiro movimento foram trazidas por Euclides Roxo, por volta de 1930, e a reforma Francisco Campos continha as propostas modernizadoras de Roxo para o Ensino da Matemática2.
Segundo Miorim (1998), não se pode dizer que os objetivos desse primeiro movimento modernizador da Matemática foram alcançados. O movimento foi alvo de muitas críticas, principalmente pela forte tradição do estilo euclidiano. A autora
1 Uma breve descrição histórica deste período é apresentada no item 1. 2. 2 deste capítulo.
2 Sobre a contribuição de Euclides Roxo na modernização do ensino de Matemática no Brasil,
relata que, de acordo com Felix Klein,havia um “culto a Euclides”, forte empecilho à entrada das idéias modernas nas escolas. Pires (2004) constata que não houve a apropriação esperada do estilo heurístico de apresentação da Matemática, proposto pelo movimento, nos livros didáticos brasileiros da década de 1930.
Apesar da resistência ao movimento, as propostas do movimento influenciaram significativamente futuras discussões sobre a Educação Matemática em diferentes países.
Miorim (1998) relata que o desenvolvimento da “moderna Matemática” culminou com os trabalhos de Nicolas Bourbaki, nome fictício escolhido por um grupo de matemáticos, cujo objetivo era expor toda a Matemática na forma axiomática e unificada, utilizando como elemento unificador, as estruturas. Em 1959, a Organização Européia de Cooperação Econômica (OECE) organizou uma Conferência Internacional, em Royaumont, em que especialistas de vinte países discutiram propostas de mudança para o ensino de Matemática da escola de nível médio. Nessa conferência foram estabelecidas as bases do Movimento da Matemática Moderna, idealizadas principalmente pelo matemático francês, pertencente ao grupo Bourbaki, Jean Dieudonné (1906-1992). Os objetivos do Movimento da Matemática Moderna eram similares ao movimento anterior, do início do século XX, ou seja, diminuir o descompasso entre a Matemática ensinada no secundário e seus avanços tecnológicos. Porém, diferentemente da primeira proposta modernizadora, a proposta do Movimento da Matemática Moderna baseou-se, exclusivamente, na moderna Matemática, em sua forma axiomática desenvolvida pelo grupo Bourbaki, na qual os elementos essenciais eram as estruturas como elemento unificador, a teoria dos conjuntos, com sua linguagem simbólica e as relações.
Segundo Pavanello (1993), quanto à Geometria, optou-se, num primeiro momento, por acentuar as noções de figura geométrica e de intersecção de figuras como conjuntos de pontos do plano, adotando, para a sua representação, a linguagem da teoria dos conjuntos. A coerência do Movimento exigia que a Geometria fosse abordada pelo enfoque das transformações.
Miorim (1998) afirma que, ao contrário do primeiro Movimento, a adesão ao Movimento da Matemática Moderna foi maciça, devido a razões externas ao campo científico-tecnológico, mas a ele vinculadas. Um desses fatores foi a preocupação dos Estados Unidos em modernizar o ensino da Matemática, que se manifestou fortemente durante a segunda Guerra Mundial porque os soldados americanos apresentavam alto grau de deficiência com relação à Matemática. Outro fator importante foi o lançamento do primeiro foguete russo em 1957, o Sputnik, evidenciando a defasagem tecnológica americana. As propostas do movimento foram também reforçadas pelos estudos psicológicos de Jean Piaget (1896-1980). A conseqüência de todos esses fatores foi a maciça repercussão do Movimento da Matemática Moderna no mundo todo, com exceção da Itália e dos países ligados à Rússia. No Brasil, o Movimento da Matemática Moderna foi discutido e implementado especialmente por meio das atividades desenvolvidas pelo Grupo de Estudos do Ensino da Matemática – GEEM, fundado em 1961, por professores do Estado de São Paulo, tendo como principal representante Osvaldo Sangiorgi.
Segundo Miorim (1998), durante o IV Congresso Nacional de Ensino da Matemática, em 1962, o GEEM apresentou exemplos de trabalhos bem-sucedidos com a Matemática Moderna e uma proposta de programa para a escola secundária, orientado por essas idéias. O V Congresso Nacional de Ensino da Matemática, coordenado pelo GEEM, em 1966, em São José dos Campos – SP, foi dirigido especialmente à Matemática Moderna e seu ensino e teve a participação de vários professores estrangeiros. Esse Congresso reforçou a repercussão do movimento no Brasil, conforme citação a seguir:
O espírito da “Matemática moderna” presente no V Congresso veio apenas reforçar a difusão das idéias modernizadoras que, especialmente por meio dos cursos organizados pelo GEEM – com o apoio do MEC e da Secretaria de Estado – e da publicação dos primeiros livros didáticos de acordo com essa nova orientação, a partir da primeira metade da década de 60, desencadearam um processo de implantação da Matemática moderna nas escolas brasileiras. (MIORIM, 1998, p. 114).
crença se seriam pedagogicamente aplicáveis e da coragem de romper com os padrões tradicionalmente aceitos.
Segundo Pires (1995) no sistema de ensino público do Estado de São Paulo, a presença da matemática Moderna ficou especialmente registrada na elaboração dos chamados Guias Curriculares, organizados para orientar as escolas de 1º grau, que se estruturavam em cursos de oito séries, por força da Lei
de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (L. F. no. 5692/71). A autora afirma que são marcas da implantação do Movimento da Matemática Moderna no Brasil a predominância dos termos algébricos sobre os geométricos, o tratamento da Geometria como um tema ilustrativo dos conjuntos ou da álgebra.
Pavanello (1993) afirma que, como conseqüência da mudança de abordagem para a Geometria encontrada nos livros didáticos da época, os professores ficaram perdidos por possuírem formação deficiente e então o ensino da Geometria foi sendo abandonado nas escolas brasileiras até a década de 1980. A autora denunciou ainda a dualidade das escolas brasileiras da época, como “escola que se ensina a Geometria” (escola da elite) X “escola onde não se ensina a geometria” (escola do povo).
Segundo Vianna (1988), no declínio do Movimento da Matemática Moderna, surgiram críticas ao dedutivo no ensino, por parte de psicólogos, pedagogos e matemáticos. O dedutivo foi acusado de ser rigoroso e abstrato. E a conseqüência disso foi que os livros brasileiros da década de 1980 conservaram as demonstrações dos teoremas mais tradicionais, mas na parte de exercícios diminuíram ou aboliram quaisquer exercícios de caráter lógico ou para demonstrar. Foi defendido um ensino mais “prático”, de aplicação de propriedades.
As críticas ao Movimento da Matemática Moderna fizeram surgir a Didática da Matemática como um corpo importante de conceitos teóricos próprios atualmente reconhecida como disciplina autônoma no campo científico.
Na década de 1990, identificamos na história da Educação Matemática brasileira um fato importante, a implantação do Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) para todas as séries do Ensino Fundamental, em 1995.
específico para legislar sobre a política do livro didático, o Instituto Nacional do Livro (INL). A partir daí, a ação federal nessa área vem se aperfeiçoando com a finalidade de prover as escolas das redes federal, estaduais, municipais e do Distrito federal com obras didáticas e para-didáticas.
Em 1985 foi criado o programa Nacional do Livro Didático para distribuição gratuita dos livros didáticos pelo governo com características diferenciadas dos programas anteriores, como a indicação dos livros feita pelos professores, a reutilização do livro, implicando a abolição do livro descartável e o aperfeiçoamento das especificações técnicas para sua produção, visando maior durabilidade e possibilitando a implantação de bancos de livros didáticos. Porém até o início da década de 1990, a distribuição não alcançava a abrangência de todo o Ensino Fundamental e a distribuição dos livros era comprometida pelas limitações orçamentárias, restringindo-se o atendimento até a quarta série.
CAPÍTULO 2
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICO-METODOLÓGICA
2. 1 Metodologia da pesquisa
2. 1. 1 A pesquisa documental como metodologia para a coleta de dados
No intuito de estudar a história do ensino da Geometria dedutiva no Brasil desde o início da década de 1990, utilizamos, como recurso metodológico para a coleta de dados, a pesquisa documental.
Segundo Pádua (2000), pesquisa documental é aquela realizada a partir de documentos, contemporâneos ou retrospectivos, considerados cientificamente autênticos (não-fraudados). A autora ressalta o uso da pesquisa documental em pesquisas de investigação histórica:
[...] tem sido largamente utilizada nas ciências sociais, na investigação histórica, a fim de descrever/comparar fatos sociais, estabelecendo suas características ou tendências. (PÁDUA, 2000, p. 65).
Utilizamos como fontes dessa pesquisa documental coleções de livros didáticos de cada época analisada.
2. 1. 2 A pesquisa bibliográfica para estudar o ensino-aprendizagem da Geometria dedutiva
Pádua (2000) afirma que o pesquisador pode utilizar um recurso metodológico ou uma integração entre dois ou mais recursos, dependendo do seu objeto de pesquisa. Assim, utilizamos também a pesquisa bibliográfica para realizar um estudo sobre o ensino-aprendizagem da Geometria dedutiva no intuito de estabelecer critérios para a análise dos documentos: os livros didáticos.
determinado assunto, escritas por vários autores, em épocas diversas. Desse modo, procuramos abranger vários autores, como Lakatos (1978), Balacheff (1987), Arsac (1987) e Duval (1993). Tivemos o cuidado de analisar trabalhos que pertenciam a uma mesma linha de estudo, observando que os de publicação mais recente referenciavam os anteriores, já estudados. Essa pesquisa bibliográfica está descrita no quarto capítulo.
2. 2 A história das disciplinas e a noção de “vulgata escolar”
Considerando que nosso estudo sobre a abordagem da Geometria dedutiva nos programas curriculares e nas coleções de livros didáticos contribui para a história das disciplinas, utilizamos, como referência, o trabalho de Chervel (1990) sobre a história das disciplinas escolares. O autor ressalta a importância de estudar a história das disciplinas como contribuição para a história da educação e para a história cultural:
Desde que se compreenda em toda a sua amplitude a noção de disciplina, desde que se reconheça que uma disciplina escolar comporta não apenas as práticas docentes da aula, mas também as grandes finalidades que presidiram sua constituição e o fenômeno de aculturação de massa que ela determina, então a história das disciplinas escolares pode desempenhar um papel importante não somente na história da educação, mas na história cultural. (CHERVEL, 1990, p. 184).
Chervel afirma que é tarefa do historiador das disciplinas escolares estudar o núcleo da disciplina - formado pelos conteúdos explícitos e as baterias de exercícios - e que esses estudos beneficiam-se de uma documentação abundante à base de cursos manuscritos, manuais e periódicos pedagógicos.
Consideramos que uma coleção de livros didáticos seja um tipo de manual pedagógico, o que fundamenta seu uso em nossa pesquisa para estudar a história do ensino da Geometria dedutiva no Brasil.
Os conceitos ensinados, a terminologia adotada, a coleção de rubricas e capítulos, a organização do corpus de conhecimento, mesmo os exemplos utilizados ou os tipos de exercícios praticados são idênticos, com variações aproximadas. (CHERVEL, 1990, p. 203).
Em nossa pesquisa, tivemos a preocupação de estudar a história da Educação Matemática brasileira de 1990 até hoje para escolher os períodos significativos de análise e também para que a escolha de coleções de livros didáticos relevantes de cada período não fosse aleatória ou errônea. Sobre o perigo de escolher livros didáticos para análise aleatoriamente, Chervel alerta:
A descrição e análise dessa vulgata são a tarefa do historiador de uma disciplina escolar. Cabe-lhe, se não pode examinar minuciosamente o conjunto da produção editorial, determinar um corpus suficientemente representativo de seus diferentes aspectos. A prática, freqüente, de uma amostra totalmente aleatória não pode conduzir, e não conduz efetivamente, a não ser a resultados frágeis, até mesmo caducos. (CHERVEL, 1990, p. 203).
O autor afirma que uma vulgata se estabelece após mudanças importantes na história da educação:
A experiência elementar de todo historiador das disciplinas lhe ensina que as vulgatas evoluem ou se transformam. As exigências intrínsecas de uma matéria ensinada nem sempre se acomodam numa evolução gradual e contínua. A história das disciplinas se dá freqüentemente por alternância de patamares e de mudanças importantes, até mesmo de profundas agitações.
(CHERVEL, 1990, p. 204, grifo nosso).
pelos estudos em Educação Matemática e também pelos Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN (1998).
Por interessarmo-nos em um corpo editorial o mais próximo possível da prática pedagógica para dar relevo à história, o critério de escolha das coleções de livros didáticos foi eleger as de maior penetração mercadológica. Para o período dos anos 1990, anterior à implantação do PNLD, foram escolhidas as coleções com maior vendagem para as escolas públicas do Estado de São Paulo, com informações obtidas diretamente de três expressivas editoras de São Paulo: Saraiva/Atual, Scipione e FTD. No início de 2005, o departamento editorial de Matemática de cada editora anunciou sua coleção mais vendida, totalizando, portanto, três coleções para análise. Para o período dos anos 2000, influenciado pela implantação do PNLD para todas as séries do Ensino Fundamental, consultou-se a Secretaria da Educação do Estado de São Paulo para identificar as três coleções mais distribuídas para as escolas do Governo do Estado de São Paulo, que foram escolhidas via PNLD de 2005. A relação das coleções de livros didáticos obtida nessas consultas referentes a cada período está descrita no apêndice.
Os livros didáticos foram considerados, em nossa pesquisa, manuais de apoio ao professor. Desse modo, analisamos todas as recomendações ao professor, considerando também os prefácios e manuais do professor.
2. 3 A classificação das Geometrias proposta por Parsysz
Parsysz (2000) propôs um modelo de classificação de Geometrias, que considera, de um lado, os objetos em jogo físicos ou teóricos e, de outro, os
modos de validações perceptivo ou dedutivo.
Como Geometrias não-axiomáticas, o autor apresenta G0-Geometria
Concreta e G1-Geometria Spatio-gráfica. Em G0 os estudos geométricos são
Do lado oposto, Parsysz classifica as Geometrias axiomáticas: Geometria
Proto-Axiomática (G2) e Geometria Axiomática (G3). Em G2, ocorre a concepção
de um esquema da realidade em que as definições fazem sentido e os resultados passam a ser validados com técnicas dedutivas. Em G2-Geometria Proto-axiomática, a figura construída em G1 tem status de figura genérica e a dedução é reconhecida como ferramenta de validação no interior de um sistema axiomático. Em G3, não se faz referência à realidade e a Geometria é totalmente explicada. Trabalhando em G3, o aluno é capaz de situar-se nos diferentes sistemas axiomáticos, bem como compará-los.
O quadro 1 sintetiza essa classificação:
Classificação de Geometrias
Geometrias não axiomáticas Geometrias axiomáticas
Tipo de Geometria Geometria concreta (G0) Geometria spatio-gráfica (G1) Geom. Proto-axiomática (G2) Geometria axiomática (G3)
Objetos Físicos Teóricos
Validações Perceptivas Dedutivas
Figura 1
(Fonte: PARSYSZ, 2000, p. 64)
Parsysz considera que a articulação entre G0, G1 e G2 é o ponto central da problemática do ensino obrigatório da Geometria e que a gestão do salto conceitual entre G1 e G2 é um elemento essencial, devendo ser fixados os conceitos em jogo de G1 e G2 e sua articulação, bem como o status da figura. Em G1, os conceitos são representações físicas dos objetos concretos, enquanto em G2 os conceitos em jogo são entidades abstratas, asseguradas por definições, axiomas e propriedades e podem ser representadas por objetos físicos, sem, entretanto, limitar-se a eles.
Em nosso trabalho, estamos interessados em observar como a abordagem das validações das propriedades geométricas em cada coleção de livros didáticos do 3º e 4º ciclos do Ensino Fundamental se enquadra nas G1-Geometria
Spatio-gráfica e G2-Geometria Proto-axiomática. Em G1-Geometria Spatio-Spatio-gráfica, as validações das propriedades são verificadas empiricamente, enquanto em G2-Geometria Proto-axiomática, a validação é dedutiva. Analisaremos em cada coleção, no estudo das propriedades geométricas, quando e como ocorre a entrada em G2-Geometria Proto-axiomática e como são articulados os dois tipos de validação, ou seja, a articulação entre G1-Geometria Spatio-gráfica e G2-Geometria Proto-axiomática.
2. 4 A Organização Praxeológica
Utilizamos em nossa análise a teoria de Chevallard (1999) sobre Organização Praxeológica.
Segundo o Dicionário Houaiss da Língua Portuguesa (Houaiss, 2001)
praxe significa “aquilo que se pratica habitualmente, rotina, uso, prática,
pragmática”. Praxeologia, portanto, equivale ao estudo das praxes e se refere ao estudo das práticas, das atividades rotineiras.
Segundo Chevallard (1999), a Organização Praxeológica está presente na Teoria Antropológica do Didático, que situa a atividade matemática no conjunto de atividades humanas e de instituições sociais.
O autor utiliza as noções de tarefa, técnica, tecnologia e teoria para modelizar as práticas sociais e, em particular, a atividade matemática.
Na raiz da noção de praxeologia, encontra-se a noção de tarefa. Na maioria dos casos, uma tarefa se expressa por um verbo e pressupõe um objeto relativamente preciso. Exemplo de tarefa: calcular o valor de uma função em um ponto. Tarefas são “artefatos”, “obras” construídas institucionalmente, nas quais a reconstrução em tal instituição, por exemplo, em tal classe, é um problema que constitui o próprio objeto da didática.
A seguir, Chevallard (1999) define tecnologia o discurso racional sobre uma técnica. A tecnologia tem por objetivo primeiro justificar racionalmente a técnica, assegurando cumprir bem as tarefas, ou seja, realizar o que foi pretendido. Uma segunda função da tecnologia é explicar, tornar inteligível, esclarecer a técnica. Uma terceira função corresponde a um emprego mais atual do termo tecnologia: a função de produção de técnicas. Isso permite constatar a existência de tecnologias potenciais esperando técnicas ou porque não se tornaram tecnologias de alguma técnica, ou porque são tecnologias de pouquíssimas técnicas.
Segundo o mesmo autor, o discurso tecnológico contém asserções que podem solicitar a razão. Passa-se, então, a um nível superior de justificação,
explicação e produção o da teoria que retoma, em relação à tecnologia, o
papel que esta tem em relação à técnica.
Chevallard (1999) conclui que, em torno de um tipo de tarefa, encontra-se um trio formado por uma técnica, uma tecnologia e uma teoria. Esse bloco (tarefa, técnica, tecnologia, teoria) constitui uma praxeologia, a qual, por sua vez, é constituída por dois blocos: o tecnológico-teórico (tecnologia, teoria), indicado como “saber”, e o prático-técnico (tarefa, técnica), que constitui o “saber-fazer”.
Outro elemento que pertence à Organização Praxeológica, que utilizamos em nosso trabalho é o discurso teórico-tecnológico, ou seja, o uso simultâneo da teoria e da tecnologia em relação a uma técnica.
CAPÍTULO 3
APRESENTAÇÃO DA PESQUISA
3. 1 A relevância do tema
Nos Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN (1998), encontramos a recomendação de atividades que favoreçam o raciocínio dedutivo como desenvolvedor da argumentação lógica, necessário na validação de resultados em resoluções de problemas. E os PCN relevam a importância da Geometria dedutiva nesse processo:
Os problemas de geometria vão fazer com que o aluno tenha contato com a necessidade e as exigências estabelecidas por um raciocínio dedutivo. (BRASIL, 1998, p. 86).
No texto de Polya (1977), encontramos considerações sobre a importância do ensino da Geometria dedutiva para desenvolver o raciocínio lógico:
Se o aluno não tiver aprendido este ou aquele fato geométrico específico, não terá perdido muito. Mas se ele não se houver familiarizado com as demonstrações geométricas, terá deixado escapar os melhores e mais simples exemplos das verdadeiras provas e perdido a melhor oportunidade de adquirir a idéia do raciocínio rigoroso. Sem esta idéia, faltar-lhe-á o verdadeiro critério para comparar argumentos de todos os tipos que lhes apresentem na moderna vida cotidiana. Em suma, se a educação pretender incutir no estudante as noções da prova intuitiva e do raciocínio lógico, ela deverá reservar um lugar para as demonstrações geométricas. (POLYA, 1977, p. 116).
Além de desenvolver o raciocínio rigoroso, as demonstrações geométricas também auxiliam na apreensão dos conceitos geométricos, como salienta Almouloud (2003):
A construção de situações para a sala de aula, nas quais a iniciação à demonstração tem um papel importante, pode levar os alunos de 5a. a 8a. séries a uma melhor compreensão dos conceitos
Então, interessamo-nos por investigar o quadro do ensino da Geometria dedutiva, no Brasil, desde 1990 até a época atual.
Os PCN (1998) nos motivaram a pesquisar a abordagem da Geometria dedutiva nos livros didáticos:
[...] a formação de professores, tanto a inicial quanto a continuada, pouco tem contribuído para qualificá-los para o exercício da docência. Não tendo oportunidade e condições para aprimorar sua formação e não dispondo de outros recursos para desenvolver as práticas da sala de aula, os professores apóiam-se quase exclusivamente nos livros didáticos, que, muitas vezes, são de qualidade insatisfatória. (BRASIL, 1998, p. 21).
Constatamos que as pesquisas de Miorim (1998), Pavanello (1993), Vianna (1988), Pires (1995) e de Pires (2004) citadas no primeiro capítulo, abordam o ensino da Matemática no Brasil em períodos até o fim da década de 1980.
Então, para este trabalho, escolhemos investigar o ensino da Geometria dedutiva por meio da análise de livros didáticos de época mais recente que a daqueles pesquisadores: desde o início dos anos 1990 até os dias atuais.
Chervel (1990) define o termo ”vulgata escolar” associando-o ao fato de que, em determinada época, o ensino dispensado pelos professores é o mesmo para a mesma disciplina e para o mesmo nível e que quase todos os manuais dizem a mesma coisa. Uma vulgata se estabelece após mudanças importantes na história da educação.
Na década de 1990 identifica-se no Brasil uma mudança significativa na história da Educação, a implantação do Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) em 1995, em que os livros didáticos são avaliados e distribuídos pelo governo para todas as séries do Ensino Fundamental. Então, delimitamos nossa fase da educação matemática brasileira em dois períodos: anterior e posterior à implantação do Programa Nacional do Livro Didático para todo o Ensino Fundamental, em 1995, ao considerar sua relevante influência no mercado editorial de livros didáticos brasileiros.
a abordagem da Geometria nas chamadas por Pavanello (1993) de “escolas do povo”.
3. 2 O problema da pesquisa
Por considerar o ensino da Geometria dedutiva um meio poderoso para adquirir rigor de raciocínio (Polya, 1977) e um auxílio importante na apreensão dos conceitos geométricos (Almouloud, 2003), propusemo-nos neste trabalho a investigar o ensino da Geometria dedutiva no 3º e 4º ciclos do Ensino Fundamental, de 1990 até hoje, mediante a análise dos livros didáticos do Estado de São Paulo.
Para realizar essa análise, valemo-nos de categorias que se assentam sobre estudos da Didática da Matemática, surgida no declínio da influência do Movimento da Matemática Moderna. Os períodos da Educação Matemática brasileira analisados são recentes: anterior e posterior à implantação do Programa Nacional do Livro Didático (PNLD), em 1995.
Nossa pesquisa busca responder às seguintes questões:
- Em que medida os livros didáticos paulistas de 3º e 4º ciclos do Ensino Fundamental acompanharam discussões da Didática da Matemática sobre o ensino da Geometria dedutiva nos períodos anterior e posterior à implantação do Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) para este nível de ensino, em 1995?
- O que distingue os livros didáticos paulistas de 3º e 4º ciclos do Ensino Fundamental do período anterior daqueles do período posterior à implantação do PNLD (1995) quanto à incorporação dos resultados de pesquisas sobre o ensino-aprendizagem da Matemática, mais especificamente sobre o ensino da Geometria dedutiva?
“Criação de núcleo-embrião de ensino-aprendizagem e pesquisa em Educação Matemática no Ensino Fundamental em escolas públicas de São Paulo”, ambos sob coordenação do Prof. Dr. Saddo Ag Almouloud.
Os resultados de nossas pesquisas visam provocar nos professores reflexões sobre a importância do ensino da Geometria dedutiva no 3º e 4º ciclos
CAPÍTULO 4
O ENSINO-APRENDIZAGEM DA GEOMETRIA DEDUTIVA - CATEGORIZAÇÃO DE ANÁLISE
Em nosso trabalho, realizamos uma pesquisa bibliográfica sobre o ensino-aprendizagem da Geometria dedutiva para o 3º e 4º ciclos do Ensino Fundamental no intuito de estabelecer categorias utilizadas na análise dos livros didáticos. As teorias pesquisadas para estabelecer essas categorias são estudos da Didática da Matemática. As nossas categorias, como resultado dessa pesquisa bibliográfica, estão descritas a seguir.
4.1 Categoria 1: Articulação entre G1–Geometria Spatio-gráfica e G2– Geometria Proto-axiomática em validações de propriedades geométricas
Utilizando o estudo da classificação das Geometrias proposta por Parsysz (2000), descrita em nossa fundamentação teórica, interessa-nos verificar nas coleções de livros didáticos como é feita a articulação entre G1-Geometria Spatio-gráfica e G2-Geometria Proto-axiomática em validações das propriedades geométricas. Em G1, as propriedades são validadas empiricamente. Identificamos quando e de que maneira ocorre a entrada em G2, quando aparecem as primeiras validações dedutivas de propriedades geométricas.
Para identificar elementos que influenciam a maneira pela qual ocorre essa entrada em G2, recorremos a teorias da Didática da Matemática, descritas a seguir.
Elas são concebidas como idéias possíveis de aprender no transcorrer da própria aprendizagem. Entretanto, são sempre necessárias tanto ao ensino como à aprendizagem da Matemática. O autor aponta como exemplo de noções paramatemáticas a noção de demonstração. Na prática da Matemática, é sempre necessário realizar uma demonstração. Normalmente, apresenta-se ou pede-se ao aluno a demonstração de um teorema, sem discutir o que é. A conseqüência disso é que os alunos não entendem o que estão fazendo, nem para quê.
Almouloud (2003) inclui em seu esquema para favorecer a construção de conceitos geométricos junto aos alunos a recomendação de que conheçam os estatutos das definições, dos postulados e dos teoremas, ferramentas utilizadas em uma demonstração.
É importante também considerar no ensino as explicações sobre os métodos indutivos e suas diferenças com a dedução, sobre sistemas lógicos ou dedutivos, sobre a forma axiomática da Geometria e suas evoluções, podendo, para isso, relacioná-los com o contexto histórico, descrito nos estudos preliminares deste trabalho.
Consideramos também, na entrada em G2-Geometria Proto-axiomática, a importância da apresentação para os alunos de esquemas de demonstração e de explicações sobre a lógica empregada em uma demonstração geométrica.
novo resultado, e assim por diante. Esse método de raciocínio científico chama-se análise.
Fetissov (1997) ressalta a dificuldade de encontrar a seqüência correta de conclusões que demonstre um teorema e a importância da necessidade de treinamento para isso:
É claro que quando se busca a demonstração de um teorema nem sempre é fácil encontrar a seqüência de conclusões. Nem sempre se consegue acertar de imediato o caminho correto, havendo necessidade, às vezes, de abandonar uma estratégia escolhida e tentar outra... A habilidade na aplicação do método analítico, facilitando a descoberta, por meios próprios, dos caminhos de uma demonstração, exige bastante treinamento; assim, para desenvolvê-la, é preciso fazer muitos exercícios envolvendo demonstrações. (FETISSOV, 1997, p. 51-52) .
Fetissov (1997) também chama a atenção para o fato de que todo teorema pode ser demonstrado por dois métodos – o direto e o indireto – e explica:
Quando se estabelece a veracidade da proposição a ser demonstrada mediante uma ligação direta entre ela e as que foram demonstradas anteriormente, então se trata de uma demonstração direta. Quando se põe em dúvida a veracidade da proposição a ser demonstrada, supondo-a falsa, e se chega a alguma contradição com as condições constantes no enunciado ou alguma proposição já demonstrada anteriormente, então se trata de uma demonstração indireta, que são chamadas também de demonstrações por redução ao absurdo. Costuma-se recorrer a esse tipo de demonstração quando, ao procurar argumentos, se verifica que a demonstração direta é difícil ou, às vezes, impossível. (FETISSOV, 1997, p. 52).
Para não cometer erros nas deduções, Fetissov recomenda conhecer alguns esquemas mediante os quais se representam as correlações entre conceitos quaisquer, inclusive os geométricos. O esquema de representar correlações entre conceitos, proposto pelo matemático Euler (1707 –1783), é exemplificado pela seguinte dedução:
1 – Em todo retângulo as diagonais são congruentes entre si; 2 – Todo quadrado é um retângulo;
3 – Dedução: em todo quadrado as diagonais são congruentes entre si.
Segue a esquematização do autor para esse exemplo.
Chamemos de P o maior dos conjuntos considerados, no caso o dos quadriláteros cujas diagonais são congruentes entre si. Chamemos de M o conjunto intermediário, no caso o conjunto dos retângulos. Chamemos de S o menor dos conjuntos, no caso o conjunto dos quadrados. Isso posto, pode-se esquematizar o raciocínio da seguinte maneira:
1 – M está contido em P; 2 – S está contido em M;
3 – Conclusão S está contido em P.
Representando graficamente essas relações entre conjuntos, temos:
Figura 2
(Fonte: FETISSOV, 1997, p.31)
É óbvio que, nessas condições, o círculo S se acha totalmente contido no círculo P.
P
M
Outra forma de raciocínio apresentada por Fetissov é a que leva a uma conclusão negativa, como a dedução seguinte:
1 – Todo quadrilátero cuja soma dos ângulos opostos não seja 180° não é inscritível numa circunferência;
2 – A soma dos ângulos opostos de um paralelogramo obliquângulo não é igual a 180°;
3 – Conclusão: Um paralelogramo obliquângulo não é inscritível numa circunferência.
Representando o conjunto dos quadriláteros inscritíveis uma circunferência por P, o conjunto dos quadriláteros cuja soma dos ângulos opostos é diferente de 180° por M e a classe dos paralelogramos obliquângu los por S, o raciocínio enquadra-se no seguinte esquema:
1 – Nenhum elemento de M pertence a P; 2 – S está contido em M;
3 – Conclusão: Nenhum elemento de S pertence a P.
Essa correlação também pode ser representada graficamente por meio dos círculos de Euler:
Figura 3
(Fonte: FETISSOV, 1997, p. 32)
Fetissov (1997) afirma que a grande maioria dos raciocínios dedutivos da Geometria se desenvolve segundo um dos esquemas aqui ilustrados e tal representação das correlações entre os conceitos geométricos favorece a possibilidade de bem entender a estrutura de qualquer raciocínio lógico e de descobrir erros em conclusões incorretas.
P
M
Outro elemento considerado na entrada em G2-Geometria Proto-axiomática é o questionamento da evidência da figura como meio de provar uma proposição geométrica.
Fetissov (1997) ressalta a importância de questionar a evidência da figura, sugerindo a apresentação de atividades para que os alunos percebam o engano em confiar nela. O autor cita como exemplo o trabalho de um aluno de sexta série que tinha como tarefa estudar o teorema do ângulo externo de um triângulo (um ângulo externo de um triângulo é maior que qualquer dos dois internos não adjacentes a ele), fato que o professor já havia ensinado em classe. E o aluno questionava, ao mostrar o desenho em seu livro de Geometria (fig 4): “ Para que uma demonstração tão longa e difícil, se, pelo desenho, se vê que o ângulo externo é obtuso e que os internos não adjacentes a eles são agudos? Sendo um ângulo obtuso sempre maior que um ângulo agudo, não há motivo para uma demonstração!”.
Figura 4
(Fonte: FETISSOV, 1997, p. 16)
O erro desse aluno foi basear-se em casos particulares, não atentando para possíveis propriedades diferentes da figura usada. O aluno pretendia demonstrar o teorema do ângulo externo de um triângulo considerando apenas triângulos acutângulos, nos quais, efetivamente, todos os ângulos externos são obtusos e, portanto, maiores que os internos. O teorema não se refere apenas ao triângulo desenhado no livro, mas a todo e qualquer triângulo. Supondo que o Ponto A se afaste do ponto C em linha reta, obteremos um triângulo ABC (fig. 5) em que o ângulo do vértice B também é obtuso. Se o ponto A se afastar muito do ponto C, então o triângulo resultante será tão comprido que não haverá como
B
A C D
E
perceber nenhuma diferença entre o ângulo interno B e o ângulo externo por meio de um transferidor.
Figura 5
(Fonte: FETISSOV, 1997, p.27)
A propósito desse exemplo, Fetissov ressalta o papel desempenhado pelo desenho na demonstração de um teorema geométrico:
Deve-se ter em mente que o desenho é apenas um meio auxiliar para a demonstração do teorema, que é apenas um exemplo, um caso particular de toda a classe das figuras geométricas, objeto da demonstração considerada. Por isso, é muito importante separar no desenho dado as propriedades gerais e permanentes daquelas particulares e casuais. (FETISSOV, 1997. p. 28).
Arsac (1987) também afirma que é necessário, como primeira etapa em direção à demonstração em Geometria, chegar a uma dúvida do apelo à figura como meio de prova, para depois buscar por meio da demonstração um caráter geral, não se limitando à incerteza trazida por algumas figuras particulares. E acrescenta:
O problema da evolução do rigor, sobretudo no domínio da Geometria, consiste em compreender como se pode ser levado a passar de provas baseadas na evidência da figura a demonstrações em que a figura é apenas o suporte, o que é, aliás, o problema proposto no ensino da geometria. (ARSAC, 1987. p. 27, tradução nossa).
Analisamos também como ocorre a articulação entre G1-Geometria Spatio-gráfica e G2-Geometria Proto-axiomática. Se a coleção deixa claro que estudar uma propriedade geométrica em G1-Geometria Spatio-gráfica, ou seja, validá-la empiricamente, é importante para levantar uma conjectura, mas que é sempre
A
B
C
